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FICHA DE IDENTIFICAÇÃO

1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

1.2 TÍTULO: Confecção de Sólidos Geométricos por meio de Dobraduras.

1.3 PROFESSOR PDE: Adilson de Souza Oliveira

1.4 ÁREA DO PDE: Matemática

1.5 ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO LOCALIZAÇÃO: Colégio Estadual 11 de Abril.

Ensino Fundamental e EJA.

1.6 MUNICÍPIO: Tapejara

1.7 NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO: Cianorte

1.8 PROFESSOR ORIENTADOR IES: Valter Soares de Camargo

1.9 INSTITUTO DE ENSINO – IES: UNESPAR – Campus de Paranavaí

1.10 RELAÇÃO INTERDISCIPLINAR: Matemática e Arte.

1.11 RESUMO: O objetivo desse projeto de intervenção-pedagógica é realizar um estudo

acerca das origens, formas, representações e comparações dos sólidos geométricos,

mostrando aos estudantes que a geometria é um conhecimento necessário e

experimentando uma intervenção criativa da Matemática com a Arte. É fato que a geometria

passa pela escola pública um tanto despercebida, seja pela falta de material didático ou até

pela inclusão do conteúdo no Plano de Trabalho Docente (PTD) das escolas, notando assim

a necessidade de um olhar e uma avaliação diferenciada, que venha a nortear uma melhor

maneira de fazer a junção do aprendizado com a diversão no trabalho da confecção de

sólidos com dobraduras.

1.12 PALAVRAS CHAVE: Geometria; Arte; Sólidos Geométricos; Conhecimento.

1.13 FORMATO DO MATERIAL: Unidade Didática

1.14 PÚBLICO-ALVO DA INTERVENÇÃO: Estudantes do Sétimo ano do Ensino

Fundamental.

1 APRESENTAÇÃO

A proposta deste trabalho é aprofundar com os estudantes um debate de

maneira prática, acerca dos conteúdos: retas, semi-retas, ângulos com suas

comparações, bissetriz de ângulos e arestas, faces e vértices dos sólidos

geométricos.

Busca-se instigar o estudante por meio da confecção dos sólidos,

demonstrando de forma prática as diversas fases na construção do aprendizado

significativo, buscando provocar um grande interesse dos grupos para com os

diversos ramos da geometria e da arte, dando desta forma um incentivo para a sua

continuidade nos próximos anos, mostrando sua relevância para os conteúdos

trabalhados.

Tal trabalho justifica-se pelo fato de observarmos que a maioria dos alunos

apresenta dificuldade em relação ao tema apresentado, por esta razão foi eleito o

trabalho “Sólidos Geométricos com Dobraduras” para a promoção de discussões e

reflexão com forma de compreensão do espaço, suas dimensões e formas, como o

elemento necessário para aprendizagem da geometria.

A relevância do trabalho assenta-se no fato deste promover a interação entre

a disciplina de matemática e Arte, uma vez que sempre caminharam juntos durante

séculos. Todo esse contexto pode ajudar a potencializar capacidades de

observação, projeção, generalização e abstração, estas capacidades favorecem o

desenvolvimento do raciocínio lógico e da criatividade.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Um dos maiores objetivos da educação hoje é procurar proporcionar um

ensino que respeite as individualidades e o ritmo de aprendizagem de cada

estudante, mas sem perder o foco nas mudanças sociais, culturais e tecnológicas e

buscando fazer um ensino lúdico que motive os alunos na busca pela construção de

conceitos relacionados aos conteúdos e ás disciplinas em questão.

De acordo com Dante (2007) a matemática está presente em toda parte e, já

na Antiguidade Matemática e Arte caminhavam juntas. É desse contexto que surge a

preocupação com o estabelecimento de um ideal estético, consequentemente a

necessidade de realizar operações matemáticas: como medir, contar, calcular,

localizar, representar, interpretar, dentre outras.

Martinho (1996, p. 42) afirma que a “Arte e a ciência caminhavam juntas

durante muitos séculos, não sendo difícil reconhecer que comportam um fator

comum essencial: a criatividade como motor gerador de formas e ideias”.

Ora, hoje o mundo repleto de informações propagadas por linguagens

variadas e uma das finalidades da matemática é oferecer meios para o indivíduo

decodificar tais informações, mesmo que por acertos ou erros, imaginações ou

raciocínio lógicos, conjecturas ou críticas, pode ser aprendido por todos, de uma

forma ou de outra.

O importante é perceber que a matemática pode ser aprendida quando

capacidades como observação, abstração, generalização e a projeção quando

trabalhadas com esse objetivo podem favorecer o desenvolvimento do raciocínio

lógico e da criatividade.

De acordo com Sampaio (2012) “A matemática não é uma mecanização de

conceitos, trata-se de uma necessidade, de uma arte a descobrir por todos”. Por

esta razão, torna-se evidente que a relação entre Arte e Matemática é um material

pedagógico muito propicio à aprendizagem dos conceitos da geometria.

A geometria permite que os alunos experimentem a interação criativa entre a Matemática e a Arte. Tomemos o exemplo da repetição de um polígono regular em torno de um ponto sem sobreposição, a exceção da existência de lados comuns, e a sua representação no papel, que conduzirá os estudantes a descortinar se esse polígono pode ou não ser usado para pavimentar o plano. (SAMPAIO, 2012, p. 51).

Esse é um exemplo claro de trabalho com geometria sob situações de

visualização das formas através de atividades lúdicas. Assim, é preciso que no

processo construtivo de ensino, os planos estabeleçam diálogos entre a realidade

vivida e a construída na escola, desenvolvendo potencialidades de criação e

recriação. Sabe-se que a compreensão do espaço com suas dimensões e formas é

um elemento necessário para a formação do aluno no estudo da geometria e, sendo

assim:

Olhar a sala ou o jardim para buscar triângulos, ângulos de formas diferentes, círculos, pirâmides, formas simples e formas complexas constitui excelentes exercícios cerebral, ativando de forma significativa a inteligência lógica – matemática. (ANTUNES, 2006, apud LOURENÇO, 2008, s.p)

Por isso, a representação da realidade tridimensional em superfícies planas

lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada e concisa

com o mundo ao redor.

O conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da realidade externa e o lógico-matemático consiste na coordenação de relações entre o objeto visualizado e seus significados. Assim sendo, quando o aluno identifica um livro em sua dimensão visual é um exemplo de conhecimento físico. Quando ele percebe que este mesmo objeto tem formato semelhante ao quadro branco há existência do conhecimento lógico-matemático, pois o aluno soube assimilar, extraindo dos seus esquemas mentais as formas geométricas dos dois objetos mencionados, juntamente do conhecimento prévio de seriação e classificação de objetos quanto à forma geométrica (FERREIRA, 2011, p. 2).

Para Becker (2001, p. 69) “Aprender é construir conhecimento, resultado das

interações que o sujeito mantém com o meio”, e, para Santos et. al (2013, p. 3):

Na prática escolar são vários os recursos que podem ser utilizados pelos professores para o ensino da geometria entre eles podemos citar: o uso da régua e compasso na construção, utilização de objetos do cotidiano para identificar características presentes naquele tipo de figura geométrica, entre outros.

Os autores ainda afirmam que a utilização de material concreto para a

construção de estruturas ou planificação dos sólidos geométricos pode facilitar a

compreensão e visualização de elementos como arestas e vértices.

Através do uso de material concreto, neste caso, a construção dos sólidos

geométricos através de dobraduras, o aluno poderá conseguir fazer a ligação dos

conteúdos estudados na escola com o seu cotidiano, auxiliando o processo de

aprendizagem, além disso, essa prática pode tornar a aula mais significativa e

instigante para os alunos.

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO ESTRATÉGIA NO TRABALHO COM OS

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Segundo as Diretrizes Curriculares Estaduais (DCEs) a metodologia pela

qual o estudante poderá aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas

situações de aprendizagem é a Resolução de Problemas. Há que se destacar aqui

que para o estudante resolver problemas deve ter antes apropriado de conceitos e

procedimentos matemáticos e verificar um desafio a ser enfrentado.

Conforme o estabelecido pelas DCEs, é preciso levantar e testar hipóteses

na resolução de problemas, e, assim sendo, o que para muitos é apenas um

exercício pode se transformar num grande problema para outros. Isso vai depender

dos conhecimentos prévios que apresentarão no momento da realização do trabalho

que for proposto para ambos.

De acordo com Allevato e Onuchic (2004, p. 220-221):

Numa sala de aula onde o trabalho é feito com a abordagem de ensino aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas, busca-se usar tudo o que havia de bom nas reformas anteriores: repetição, compreensão, o uso da linguagem Matemática da teoria dos conjuntos, Resolução de Problemas e, às vezes, até a forma de ensino tradicional.

Um dado importante a ser destacado na Resolução de Problemas como eixo

organizador do processo ensino aprendizagem, é que esta estratégia desenvolve a

compreensão do estudante pela capacidade de raciocínio e pela crença de que este

tem em fazer matemática.

Para que qualquer situação seja considerada um problema, torna-se

necessário que esta apresente alguma dificuldade, algum obstáculo a ser

ultrapassado, algo em que nossa atividade pensante se ocupe para buscar meios de

atingir os objetivos propostos.

Considerando um problema como um desafio intelectual, o estudante não

deve vê-lo como algo muito difícil que não sinta vontade ou se sinta incapaz de

resolvê-lo, mas também não pode ser muito fácil ao ponto de o estudante ignorá-lo

por não se constituir em algo que o desafie. O estudante deve ser levado a

raciocinar, estruturar e desenvolver estratégias para resolver, analisar e comparar

resultados obtidos durante o processo de resolução de problemas, ou seja, o

estudante deve ser levado a pensar matematicamente.

A valorização da Resolução de problemas se dá a partir da apresentação de

situações concretas que o próprio estudante já vivenciou. Isto vai fazer com que o

estudante procure estabelecer relações do seu cotidiano com os conteúdos

aprendidos anteriormente em matemática ou em outras disciplinas como Artes,

perceber o caráter útil do que está executando e sua importância dentro da própria

matemática.

O que se pode perceber é que a Resolução de Problemas ser o orientador

para a aprendizagem uma vez que proporciona os requisitos necessários para

aprender conceitos, facilita a realização de procedimentos e atitudes matemáticas.

Dentro deste contexto, o professor apresenta-se como um facilitador da

aprendizagem proporcionando meios para que o estudante adquira a habilidade

indispensável para a produção deste na Resolução de Problemas.

Dante (2008, p. 30) afirma que:

A capacidade dos alunos para resolver problemas desenvolve-se ao longo do tempo, como resultado de um ensino prolongado, de várias oportunidades para a resolução de muitos tipos de problemas e do confronto com situações do mundo real. Ao avaliar essa capacidade dos alunos é importante verificar se eles são capazes de resolver problemas não padronizados, de formular problemas a partir de certos dados, de empregar várias estratégias de resolução e de fazer a verificação dos resultados, bem como a generalização deles.

Entende-se que a participação do aluno é um dos pontos fundamentais na

construção de seu conhecimento, observando-se os conceitos a serem construídos

bem como a realização de tarefas na efetivação dessa construção.

Segundo Polya (2006, p. 131):

Ensinar a resolver problemas é educar a vontade. Na resolução de problemas que, para ele, não são muito fáceis, o estudante aprende a perseverar a despeito de insucessos, a apreciar pequenos progressos, a esperar pela idéia essencial e a concentrar todo o seu potencial quando esta aparecer. Se o estudante não tiver, na escola, a oportunidade de se familiarizar com as diversas emoções que surgem na luta pela solução, a sua educação matemática terá falhado no ponto mais vital.

Dessa forma, trata-se de dar ênfase na construção do conceito tratando

significativamente o conteúdo e sua reconstrução, aproximando a linguagem em sua

apresentação, uma vez que cada conceito deve ser interiorizado antes de qualquer

formalização.

2. MATERIAL DIDÁTICO

Os materiais básicos são sugeridos por vários autores como, os escolhidos

aqui foram os indicados por Lorenzato na pág. 11:

jogos;

quebra-cabeças;

figuras;

sólidos;

material didático produzido pelos alunos e professores;

instrumentos de medida;

transparências, fitas, filmes, softwares;

calculadoras;

computadores;

materiais e instrumentos necessários a produção de materiais didáticos”. (LORENZATO, 2009, p.11)

Depois de confeccionados e apresentados em momento específico, estes

serão guardados em um local que pode ser uma sala, um armário ou até mesmo

uma caixa com fácil acesso.

3. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

Este projeto será implementado no Colégio Estadual 11 de Abril, Ensino

Fundamental e EJA do município de Tapejara no Paraná com o intuito de realizar

um estudo acerca das origens, formas, representações e comparações dos sólidos

geométricos, mostrando aos estudantes que a geometria é um conhecimento

necessário e experimentando uma intervenção criativa da Matemática com a Arte.

Antes da elaboração do projeto foi feito uma pesquisa com a diretoria do

colégio para ver a possibilidade real de se disponibilizar um local para a realização

do mesmo. Diante da resposta positiva deu-se sequência as pesquisas bibliográficas

buscando a importância do tema no processo de ensino e aprendizagem dos

conteúdos matemáticos e a importância deste fato nos estudos da educação

matemática.

Para implementação do projeto será realizada uma apresentação a todos os

professores, coordenadores e diretoria do colégio sobre sua importância, local e

como serão implementadas as etapas para o desenvolvimento do mesmo. A

primeira etapa será uma reunião com os professores da área de Matemática e de

Arte a fim de mostrar-lhes a importância do tema e também buscar colaboração no

seu desenvolvimento.

Junto com os alunos do 7o ano será feita uma explanação do projeto e

proposto a realização de atividades em grupo no contra turno que auxiliarão na

confecção dos materiais didáticos que este projeto propõe.

A aplicação do projeto se dará no primeiro semestre de 2017, por meio da

implementação na escola.

Para finalizar será realizado um artigo científico que constatará os resultados

obtidos na implementação do projeto.

4 ATIVIDADES

ATIVIDADE 1

CAIXAS

Objetivos Específicos

Identificar a diagonal do quadrado.

Verificar que o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos

em um triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras).

Identificar os elementos de um prisma (aresta, vértice, face, base).

Calcular área da base, área da superfície lateral e volume do prisma.

Caixa 1

Passos para construção

1º PASSO - Usando uma folha de formato quadrado dobrar ao meio na horizontal,

abrir e dobrar ao meio na vertical, abrir e dobrar ao meio na diagonal uma de cada

vez.

Fonte: Acervo pessoal.

2º PASSO – Dobrar levando os vértices do quadrado ao meio, formando um novo

quadrado.


3º PASSO – Dobre o novo quadrado ao meio, formando um retângulo.


4º PASSO – Abra o retângulo formado e dobre cada metade para o meio.


5º PASSO – Abra apenas as dobras laterais, até formar um hexágono.


6º PASSO – Dobre as laterais do hexágono para o meio.


7º PASSO – Levante as laterais do hexágono (formando as faces).


8º PASSO – Levante um dos vértices do hexágono para formar outra face

(acompanhe as dobras para encaixe).


9º PASSO – Dobre para dentro da caixa ajuste as dobras para encaixe.


10º PASSO – Proceda da mesma forma com o outro vértice.


11º PASSO – Para fazer a tampa da caixa use um papel um pouquinho maior,

usando os mesmos passos do origami.

Caixa 2


1º PASSO - Usando uma folha de formato quadrado dobrar ao meio na vertical e nas

diagonais.


2º PASSO – Usando um dos retângulos formado na primeira dobra, dobre a diagonal

desse retângulo.


3º PASSO – No ponto formado pela diagonal do retângulo com a diagonal do

quadrado, dobre o papel para o meio, transformando uma reta paralela com a dobra

inicial da vertical, formando um retângulo.


4º Passo – Dobre o retângulo formado ao meio, observe que o quadrado inicial está

dividido em três partes iguais, ficando sobrepostas.


5º PASSO – Abra o papel e observe dois retângulos menores ao centro e dois

retângulos maiores nas laterais.


6º PASSO – Dobre os retângulos das laterais ao meio e para dentro.


7º PASSO – Vire o papel, observe que este lado mostra divisões com quatro

retângulos iguais.


8º PASSO - Dobre os retângulos das laterais para dentro encontrando o vinco do

meio, ficando os retângulos sobrepostos.


9º PASSO – Abra uma das laterais, dobre as extremidades do retângulo, formando

triângulos.


10º PASSO – Feche a lateral, e abra a outra, proceda da mesma forma, formando

triângulos nas extremidades do hexágono.


11º PASSO – A figura apresentada é um hexágono, dobre os vértices das

extremidades, na altura que termina o triângulo, para formar um retângulo.


12º PASSO – Abra a última dobra, retornando ao hexágono, feche a lateral, observe

que formaram dois bolsos internos.


13º PASSO – Puxe para fora, ajustando as dobras, levantando as laterais, que

formaram as faces laterais da caixa.


COLÉGIO ESTADUAL 11 DE ABRIL.

ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO

Aluno: _____________________________________n°:______7°ano/turma:______

Disciplina: Matemática - Profº: Adilson ____/____/______

Caixas

Responda as questões para a caixa 1 e para a caixa 2.

1) Qual o formato inicial do papel?

___________________________________________________________________

2) Ao dobrar o papel na diagonal do 1º passo, use a régua para medir os lados do

triangulo formado, depois calcule elevando ao quadrado a medida dos lados,

procure uma relação entre os cálculos obtidos.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

3) Ao final da construção, qual a figura formada na base da caixa?

___________________________________________________________________

4) Calcule a área da base, área da superfície lateral e área da superfície total da

caixa.

___________________________________________________________________

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___________________________________________________________________

5) Calcule o volume de areia que poderia ser colocado na caixa.

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ATIVIDADE 2

QUEBRA CABEÇA

Objetivos Específicos

Representar matematicamente a razão de dois números racionais.

Representar em forma porcentual uma razão.

Calcular o volume de prismas.

Calcular o volume do cubo.

Peças do Quebra Cabeça

Quebra Cabeça Montado




Aluno: _____________________________________n°:______7°ano/turma:______

Disciplina: Matemática Prof: Adilson ____/____/______

Quebra-Cabeça

1) Um cubo deve ser formado com as peças do quebra cabeça cujas peças tem

formas de prismas e cubos e são:

6 peças de dimensões 4 un, 2 un, 1 un.



a) Calcule o volume de cada peça do quebra cabeça.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

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b) Monte um cubo com as peças e diga: qual a medida da aresta do cubo formado?

Calcule o volume com a medida da aresta.

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___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

c) Visualizando as faces do cubo todas são iguais na disposição das peças que a

formam. Separando as peças que formaram uma das faces, na mesma posição em

que se encontram, calcule o volume formado por elas.

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___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

d) Qual a razão do volume dos cubos menores para o volume final do cubo formado

com todas as peças? Qual a porcentagem que o volume dos cubos menores

representa em relação ao volume total do cubo formado?

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ATIVIDADE 3

CUBO

Objetivos

Identificar as diagonais de um polígono.

Identificar retas paralelas.

Identificar e representar frações.

Planificar um cubo.

Calcular área da face e área da superfície total do cubo.

Calcular volume do cubo.

Cubo


1º Passo - Usando um papel de formato quadrado, dobre ao meio na vertical.


2º Passo - Abra o papel e dobre as laterais para dentro até encontrar o vinco do

meio.


3º Passo - Abra o papel, observe que formaram quatro retângulos, dobre as pontas

dos retângulos que estão nas extremidades, de maneira que as pontas dobradas

fiquem na diagonal do quadrado.


4º Passo – Retorne as laterais ao meio. Dobre um dos vértices do retângulo

acompanhando a dobra anterior.


5º Passo – Observe o triangulo formado na última dobra. Encaixe-o debaixo da

lateral.


6º Passo – Proceda da mesma forma na outra extremidade, dobre o triangulo e

encaixe, formando um paralelogramo.


7º Passo – Vire o papel. Dobre as pontas uma pra cima, outra para baixo, observe

que o encontro das dobras forma a diagonal do quadrado.


8º Passo – Construa mais cinco módulos, num total de seis.


9º Passo – Encaixe os módulos, coloque as pontas dentro dos bolsos formados nos

módulos, procurando formar o cubo.


10º Passo – Cubo formado.




Aluno: ____________________________________n°:______7°ano/turma:______

Disciplina: Matemática Profº: Adilson ____/____/______

Cubo

Responda as questões de acordo com as observações realizadas na confecção e no

manuseio do cubo.

1) Ao final do 2º passo as dobras apresentam que tipos de retas?

___________________________________________________________________

2) As faces desse poliedro são todas iguais? Quantas são?

___________________________________________________________________

3) Qual o nome dado a esse poliedro de acordo com o número de faces?

___________________________________________________________________

4) Usando régua para medir e desenhar, faça a planificação do cubo.

5) Calcule a área da face e área da superfície total desse poliedro.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

6) Calcule o volume do cubo.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

7) No 7º passo, qual a fração que representa a superfície da figura do paralelogramo

em relação a superfície do papel inicial?

___________________________________________________________________

8) Ao final do 7º passo obteve-se a diagonal do quadrado. Quantas diagonais tem

um quadrado? Quantas diagonais tem um cubo?

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Atividade 4

Tangram Chinês

Apresentação

Tangram é um quebra cabeça com origem chinesa, onde seu primeiro indício

é de um painel de madeira em 1780, porém existe uma lenda na qual este material

teve origem no século XII com a quebra de um quadrado de porcelana por um

discípulo de um monge chinês taoísta.

O nome Tangram significa “Tábua das Sete Sabedorias” e este material

possui uma grande quantidade de atividades, visto que há 130 anos atrás os

chineses já publicaram em 6 volumes 1700 problemas deste quebra cabeça.

Figura 1

Ensinar EVT – Disponível em: http://ensinarevt.com/jogos/tangram/

Desde que o ocidente entrou em contato com esse jogo, o tangram vem

demonstrando seu caráter sedutor que tem envolvido várias gerações quer seja

como passa tempo ou como manifestação artística.

Trabalharemos aqui algumas dessas atividades, envolvendo principalmente

conteúdos referentes ao Ensino Fundamental, como por exemplo propriedades de

figuras planas, área e fração, que por sua vez podem ser trabalhadas em sala de

aula, em Laboratório de Ensino de Matemática ou em outras atividades

extracurriculares.

Descrição

O Tangram é composto de 7 peças (1 Quadrado, 1 Paralelogramo,

2Triângulos Grandes, 1 Triângulo Médio e 2 Triângulos Pequenos), obtidos de um

quadrado de lado 8 cm podendo ser feito de cartolina americana, EVA ou MDF.

Objetivos

a) Reconhecer algumas figuras geométricas planas e identificar suas propriedades.

b) Calcular áreas de figuras geométricas planas.

c) Reconhecer e interpretar frações em representações concretas.

http://ensinarevt.com/jogos/tangram/

Conteúdo estruturante

Geometria

Números e Álgebra

Grandezas e medidas

Conteúdo básico

Geometria Plana

Números fracionários

Área

Expectativa de aprendizagem

Associar a nomenclatura de figuras geométricas às suas respectivas

representações. Calcular a área de figuras planas, usando unidades de medidas

padronizadas. Associar números fracionários com uma representação concreta e

compará-los.

Material necessário

Para o Laboratório de Ensino e para aplicação em sala de aula, amostra em

cartolina americana, lápis, 2 folhas de sulfite, tesoura.

Para o Laboratório de Ensino:

Amostra em EVA: folha de EVA, lápis, folha sulfite, tesoura.

Amostra em MDF: Placa de MDF, lápis, 2 Papel Sulfite, pincel nº 10 para

pintar,4 latas de tinta acrílica (Cores distintas). Para a confecção em MDF,

indica-se um marceneiro.

Como construir

Em cartolina americana e EVA

Recorte um quadrado de lado 8 cm. O restante da construção vai ser

realizada durante o desenvolvimento da atividade.

Em MDF

Corte as peças em MDF como mostra o projeto. Pinte, com a tinta acrílica,

cada peça de uma cor diferente, ou seja, triângulos grandes de uma cor, triângulos

pequenos de outra cor etc.

Cuidados necessários

Na aplicação: Observar se os alunos estão dobrando e cortando as peças

corretamente conforme o indicado.

Na construção: Que as peças (em MDF) sejam cortadas com as dimensões

conforme mostra o projeto.

Desenvolvimento da atividade

Em cartolina americana

1ª Parte - Construção

Entrega-se o pedaço de cartolina americana recortado na forma de um

quadrado para cada aluno. Pergunta-se, quais são as propriedades de um quadrado

e discuta se este pedaço é realmente um quadrado, ou apenas um objeto concreto

que possui sua forma.

Peça que eles unam dois “vértices opostos” deste “quadrado” e recortem.

Pergunte qual é o nome e as propriedades das duas figuras obtidas.

Figura 2

Peça, para cada aluno, dobrar um dos “triângulos” ao meio, de forma a

unirmos “vértices” de seu lado maior. Discuta com eles qual o nome do ponto

encontrado se considerar a intersecção da marca da dobradura com o lado maior.

Após a discussão, solicite que eles recortem sobre a marca dobrada. Estes

serão os 2 Triângulos Grandes (TG).

Figura 3

Peça para eles encontrarem o ponto médio (PM) do lado maior de “um

triângulo grande” sem recortado. Peça que unam o “vértice oposto” ao lado maior do

Triângulo Grande com o ponto médio (PM). Após recortar sobre a marca dobrada,

pergunte aos alunos as propriedades das figuras resultantes. O “triângulo” formado

será o Triângulo Médio (TM).

Figura 4

Solicite, a cada aluno, para dobrar o “trapézio” ao meio de forma a unir os

“vértices” do lado maior do “trapézio” e posteriormente recortarem sobre as marcas

da dobradura. Pergunte o nome e as propriedades das figuras obtidas.

Figura 5

Solicite aos alunos que unam os “vértices” do lado maior de um dos trapézios

e recorte obtendo as peças que denominaremos por Triângulo Pequeno (TP) e

Quadrado (Q).

Figura 6

Peça aos alunos para pegar o outro “trapézio”, e solicite que eles unam o seu

“vértice” referente ao ângulo reto ao “vértice” oposto a este ângulo reto.

Obtendo, após o recortarem, as peças que serão denominadas por

Paralelogramo e, também, por Triângulo Pequeno. Discuta o nome e as

propriedades da primeira figura.

Figura 7

2ª Parte – Área

Estabelecer com os alunos que a área do Quadrado seja igual 1 u.a (unidade

de área).

Peça para que eles calculem o valor das áreas das outras 6 peças utilizando

a mesma unidade de área estabelecida.

Pergunte quantas maneiras possíveis existem para obter:

i. Triângulo(s) com área igual a 1 u.a..

ii. Triângulo(s) com área igual a 2 u.a..

iii. Triângulo(s) com área igual a 4,5 u.a..

iv. Paralelogramo(s) com área igual a 1 u.a..

v. Paralelogramo(s) com área igual a 6 u.a..

vi. Retângulo(s) com área igual a 4 u.a..

vii. Retângulo(s) com área igual a 8 u.a..

viii. Quadrado(s) com área igual a 1 u.a..

ix. Quadrado(s) com área igual a 2 u.a..

x. Quadrado(s) com área igual a 4 u.a..

xi. Quadrado(s) com área igual a 8 u.a..

3ª Parte – Fração

Estabeleça com os alunos que o quadrado formado com as 7 peças (com

8u.a. do item anterior) representará um inteiro.

Peça para eles representarem a fração correspondente as 7 peças do

tangram e as figuras que estas justapostas possam formar.

Potencialidades

Pode-se estabelecer que outras peças do tangram representem um inteiro da

fração.

Ao considerar o lado de uma figura como uma unidade de comprimento, por

exemplo o lado do quadrado equivale a 1 u.c., pode-se trabalhar com o perímetro

das 7 peças do tangram e as figuras que estas justapostas possam formar. Com

isso pode-se mostrar o porquê não é possível formar um quadrado com 6 peças,

todavia exige que os alunos conheçam conteúdos referentes ao Teorema de

Pitágoras e propriedades referentes a operação de soma de números racionais e

irracionais. Pode-se formar vários tipos de figuras com as peças do Tangram.

Limitações

Caso o material seja feito em MDF, não será possível explorar os conceitos

das figuras da 1ª parte.

LINKS PARA CONSTRUÇÃO DE PRISMAS COM DOBRADURAS

Pirâmide de base quadrada:

https://www.youtube.com/watch?v=c6PkK3KaXHo

Segue em anexo os passos para a construção de uma pirâmide de base quadrada:

1º passo: Corte uma cartolina em forma de um quadrado.

2º passo: Trace as duas diagonais e em seguida trace as perpendiculares dobrando

o quadrado ao meio.

3º passo: Empurre as perpendiculares para o centro, explorando as pontas do

quadrado

4º passo: Levante a ponta do triângulo superior, juntando ao vértice do ponto b.

5º passo: Realizaremos as mesmas operações em todas as outras pontas, sempre

juntando ao vértice b.

6º passo: Realizaremos uma dobra na ponta que está sobrando, com o intuito de

encaixar, para formar a base.

7º passo: Repetiremos a mesma ação nas outras três pontas do quadrado.

8º passo: A parte que ficou sobrando deve ser dobrada para fazer o apoio da base.

9º passo: Em seguida, devemos abrir a pirâmide e podemos dar uma ajuda com um

assopro na parte de baixo, em oposto à base, para ficar bem ajustada.

Objetivos Específicos:

- Trabalhar com os alunos as partes dos sólidos e suas divisões.

- Explorar o número de vértices, faces e arestas da pirâmide.

- Instigar o aluno a manusear as cartolinas por meio da exploração de dobraduras.

Pirâmide de base triangular:

https://www.youtube.com/watch?v=D_CUXIITFhE

https://www.youtube.com/watch?v=c6PkK3KaXHo

https://www.youtube.com/watch?v=D_CUXIITFhE

Segue em anexo os passos para a construção dos sólidos de Platão:

1º passo: Dividir a folha em um quadrado grande e a sobra em dois quadrados

pequenos. (Os quadrados pequenos não serão usados agora).

2º passo: Dobre o quadrado grande fazendo uma perpendicular.

3º passo: Leve a parte de fora da folha até a perpendicular que foi marcada,

acertando o ponto.

4º passo: Devemos abrir agora, levando a ponta direita, até a marca que acabamos

de obter.

5º passo: Em seguida deixemos a ponta para cima e devemos levar a marca inicial

até o centro e acertá-los com a ponta direita, deixando em forma de um vasinho.

6º passo: Pegamos as extremidades e levamos até em cima, fazendo o formato de

um barquinho.

7º passo: Agora viramos ao contrário, dobrando a ponta, formando o triângulo,

dobramos também a pontinha, que serve para travar o triângulo.

8º passo: Para finalizar, devemos pegar a ponta e encaixar dentro da pequena

abertura, já existente e vamos reserva-lo.

Quadrado Pequeno

1º passo: Devemos dobrar os quadradinhos nas duas diagonais.

2º passo: Em seguida, dobramos todas as pontas, levando até o centro do

quadrado.

3º passo: Dobramos novamente na diagonal, está terminada a peça, que vai servir

para ligar as faces dos sólidos de Platão.

Agora passe a cola para fixar essa peça no triângulo grande, em seguida vamos

colocando as peças, formando os sólidos desejados, (o número de peças a ser

colocadas, depende dos poliedros que queremos).

Objetivos Específicos:

- Trabalhar com os alunos os diversos sólidos de Platão.

- Explorar a história das origens dos sólidos e seus significados.

- Instigar o aluno a manusear as cartolinas por meio da exploração de dobraduras.

ATIVIDADES COMPLEMENTARES



Aluno: _____________________________________n°:______7°ano/turma:______

Disciplina: Matemática Profº: Adilson ____/____/______

OS PRIMEIROS CONCEITOS

Entes primitivos

Sabemos que pontos, triângulos, circunferências, pirâmides, etc., são alguns

dos objetos de estudo da Geometria. Esses objetos são denominados entes, noções

ou conceitos geométricos.

O recurso de que dispomos para apresentar um novo ente geométrico é a

definição. Vamos examinar alguns exemplos:

O ponto, a reta e o plano

Exemplos de pontos:

A

B

+

Exemplo de reta:

Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta que tem sua origem no vértice desse ângulo e divide-o em

dois ângulos adjacentes e congruentes.

Exemplo de plano:

Os entes geométricos são os seres que habitam o mundo da geometria. Veja

abaixo alguns entes geométricos:

pirâmide

reta

polígono

Nos exemplos acima somente a reta é um ente geométrico primitivo.

O ponto geométrico é um ente ideal, isto é, só existe na nossa imaginação.

Ele não possui tamanho algum. Todavia a representação de um ponto por menor

que seja, sempre terá um tamanho.

Com a reta e o plano ocorre o mesmo: conceitualmente eles não têm

espessura, qualquer que seja sua forma que representamos.

A reta só tem uma dimensão: sobre ela só podemos medir comprimentos.

O plano tem duas dimensões: sobre ele podemos medir comprimentos e

larguras, mas nele jamais podemos medir espessura.

Numa reta, bem como fora dela existem infinitos pontos.

Dois pontos distintos determinam uma reta.

Este postulado garante que por meio de dois pontos não-coincidentes é

sempre possível traçar uma única reta. Essa propriedade será de grande utilidade

nas construções geométricas.

Como consequência desse postulado, podemos indicar a reta que passa

pelos pontos A e B pelo símbolo AB.

Um ponto de uma reta divide-a em duas partes às quais ele pertence.

reta

semi-reta

Cada uma das partes em que a reta fica dividida é determinada semi-reta e o

ponto de divisão é chamado origem das semi-retas.

A semi-reta que tem origem no ponto A e que passa pelo ponto B será

denominada pelo símbolo AB.

Uma reta de um plano divide-o em duas partes nas quais ela está contida.

plano a

Cada uma das partes é denominada semiplano, e a reta de divisão é

chamada de origem dos semiplanos.

Para indicarmos o semiplano que tem origem na reta r e que passa pelo ponto

A, escrevemos semiplano (r, A).

Segmento de reta

Considere sobre uma reta r dois pontos distintos A e B. A intersecção das

semi-retas AB e BA é denominada segmento de reta.

Ponto médio de um segmento

Chama-se ponto médio de um segmento de reta AB o ponto desse segmento

que o divide em dois segmentos congruentes.

AM = MA

ÂNGULOS

Considere, inicialmente, num plano a, três pontos A, B e C não-alinhados, isto

é, não-pertencentes a uma mesma reta.

Considere agora as intersecções dos seguintes semiplanos:

a1 = ( AB, C) e a2 = (AC, B)

a1 = semiplano de origem AB passando por C.

a2 = semiplano de origem AC passando por B.

Sobreposição de a1 e a2

a1 ∩ a2

a1 interseção com a2

O conceito de ângulo

A reunião das semi-retas AB e AC com qualquer uma das regiões que elas

limitam no plano é denominado ângulo.

ângulo

ângulo

ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Áreas dos paralelogramos, triângulos e trapézios

Segundo a opinião de Heródoto, o pai da História, a Geometria surgiu na

Antiguidade, entre os egípcios, pela necessidade de medir terras (geo – terra, metria

– medida). Após as cheias anuais do Rio Nilo, era necessário refazer as

demarcações, levadas pelas águas, das terras distribuídas pelo rei entre os

agricultores. O conhecimento da extensão de terra cultivável que cabia a cada um

tinha por objetivo estabelecer os impostos que o rei cobraria sobre a produção.

A hipótese de que assim surgiu a Geometria não é mais aceita pelos

historiadores da matemática, mas o problema que a civilização egípcia teve de

enfrentar ilustra quanto é antiga a preocupação de medir áreas. Estabelecer a

extensão de uma superfície de um terreno é o que chamamos medir a área desse

terreno.

A unidade de medida das áreas é um quadrado de lado unitário. Assim, por

exemplo, se quisermos estabelecer a área de um retângulo cujos lados medem 5u e

3u, devemos calcular quantas vezes esse retângulo contém um quadrado de lado u.

Unidade de medida de área.

3u

5u

Graficamente, é fácil verificar, por contagem direta, que um determinado

retângulo contém 15 vezes o quadrado unitário. Também é imediata a verificação de

que esse número pode ser calculado multiplicando-se 5 por 3, usando os mesmos

princípios que utilizamos, por exemplo, para contar carteiras numa sala de aula.

Desse modo, verificamos por processos práticos que a área de um

retângulo é dada pela fórmula base x altura.

Por outro lado, convém que a unidade em que os lados do retângulo estão

expressos compareçam na medida de sua área, e então escrevemos:

Área = 5u x 3u

Área = 15u

Assim, se u = 1cm, a área é igual a 15cm2, se u 1 m, a área é igual a 15m2

etc.

Doravante vamos simbolizar a área pela letra S.

Admitindo que a área de um retângulo seja dada por base x altura e, além

disso, supondo que duas figuras congruentes qualquer tenham áreas iguais, é fácil

deduzir que a área de um paralelogramo qualquer também é dada pela relação base

x altura. Para tanto, considere um paralelogramo ABCD abaixo. Como os triângulos

AED e BEC são congruentes, é imediato que o paralelogramo ABCD e o retângulo

BCEF tem áreas iguais.

h

a

Por fim, como a área do triangulo é SR = a.h, a área do paralelogramo

também será Sp = a.h.

Da área do paralelogramo passa-se para a área do triangulo. De fato, seja

ABE um triângulo qualquer. Pelos vértices A e B conduzimos as retas r e s,

paralelas aos lados BE e AB, respectivamente. Sendo D o ponto de intersecção de r

e s, obtém-se o paralelogramo ABCD cuja área é Sp = a.h. Da congruência dos

triângulos ABE e CDF, deduzimos que suas áreas são iguais, sendo cada uma delas

a metade da área do paralelogramo.

A

h

B C

A

A D s

h

B C

a

Sp = a.h. = SΔ = a.h

2

Assim podemos deduzir uma outra fórmula, agora para expressar a área de

um losango. Sabemos que as diagonais de um losango são perpendiculares e se

cortam em seus pontos médios. Sendo d e d' as medidas das diagonais AC e BD do

losango ABCD abaixo, para a área do triangulo ABC, temos:

d’ d. 2 d . d’ = 2 4 Mas os triângulos ABC e ADC são congruentes e assim a área do losango é o

dobro da área do triangulo ABC, logo:

SL = 2. d . d’ = SL = 2. d . d’ 4 2 EXERCÍCIOS

1) Calcule a área dos seguintes paralelogramos: a)

b)

c)

2) A área de um retângulo é igual a 540 cm2. Calcule os seus lados sabendo que estes são proporcionais a 12 e 5.

3) O perímetro de um retângulo é igual a 20 cm. Calcule a sua área, sabendo

que os seus lados são proporcionais a 3 e 2.

4) Um losango tem lado l = 5 cm. Se sua diagonal maior mede 8 cm, calcule a

sua área.

5) Calcule a área do quadrado descrito na figura seguinte em função de a.

3

2

a

b

a 3a

3a a

a 3a

3a a

6) Calcule a área de um quadrado inscrito num círculo de raio r = 4 m.

7) Calcule a área do triangulo equilátero de lado l.

8) Calcular a altura h e em seguida a área do triângulo.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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6 – Petrópolis, RJ: Vozes, 2006.

BECKER, F. Educação e construção do conhecimento. Porto Alegre. Artmed, 2001.

DANTE, L. R. Matemática: ensino médio: livro do professor. Volume único. São Paulo:

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FERREIRA, Leonardo Alves. Projeto Geometrartes: geometria, artes e reciclagem. Instituto

Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCE, Brasil, 2011.

LOURENÇO, Clean Maria Reis. Projeto Matemática e Arte. Colégio Estadual Getúlio

Vargas. Ananás-To, 2008. Disponível em: http//pt.slideshare.net//CLEAN13/projeto-de-arte-

e-matematica. Acesso em maio de 2016.

MARTINHO, Maria (1996). O infinito através da obra de M. C. Escher – Uma experiência

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ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de

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POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático.

Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

SAMPAIO, Patrícia (2012). A Matemática através da Arte de M. C. Escher. Millenium, 42

(janeiro/junho). Pp. 49-58.

SANTOS, M. L. S. SILVA, C. S. M. CAVALCANTE, J. D. B. JÚNIOR, V. B. S. Sólidos

geométricos: relato de uma atividade com uso de canudos e barbantes. Curitiba, Paraná.

2013. Disponível em:

http://sbem.web1471.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/2389_1379_ID.pdf .Acesso em 3

de out. 2016.

http://sbem.web1471.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/2389_1379_ID.pdf

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