ficha para identificação
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Ficha para Identificação – Produção Didático – Pedagógica
Título: Estratégias de Ensino de Geometria Espacial
Autora: Beatriz Alberton Buligon
Disciplina Matemática
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização
Colégio Estadual Irmã Maria Margarida –
Ensino Fundamental, Médio e Normal – Rua
Rio Grande do Sul, 849, centro.
Município da Escola Salto do Lontra
Núcleo Regional de Educação Dois Vizinhos
Professora Orientadora Rosangela Villwock
Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Oeste do Paraná –
UNIOESTE
Resumo A Geometria está presente em nosso dia a dia, de formas variadas. Seja na natureza ou nas construções e transformações feitas pelo homem. No entanto, muitas vezes o estudo desse conteúdo é realizado de forma mecânica, apenas com decoreba e repetição de fórmulas e exercícios, sem que os alunos percebam sua importância e utilidade. Para diminuir essa distância entre a teoria e a prática torna-se necessário uma nova abordagem metodológica. Para tanto, buscou-se desenvolver atividades que venham ao encontro da realidade dos educandos, levando-os a refletir sobre o seu desenvolvimento e aplicabilidade. No decorrer da presente Produção-Didático- Pedagógica, serão apresentadas situações diversas de construção e análises dos sólidos geométricos mais comuns encontrados no dia a dia, fazendo uso de objetos manipuláveis.
Palavras – Chave Sólidos Geométricos; Poliedros; Corpos
Redondos.
Formato do Material Unidade Didática
Público Alunos do 3º ano do Ensino Médio.
Esta Produção-Didático-Pedagógica é parte integrante das produções
teórico – metodológicas desenvolvidas durante o Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE. Será aplicada à alunos do 3º ano do
Ensino Médio do Colégio Estadual Irmã Maria Margarida, na Cidade de Salto
do Lontra – Paraná, durante o primeiro semestre de 2017.
O presente trabalho tem a intenção de realizar uma nova abordagem
acerca da forma de ensinar e aprender o conteúdo de Geometria Espacial. Na
maioria das vezes este assunto é trabalhado apenas por meio de memorização
de fórmulas e a repetição de exercícios, o que pode não ser atrativo para
grande parte dos alunos. Mais especificamente, este trabalho tem como
objetivo possibilitar o entendimento de Geometria Espacial por meio de sua
contextualização, considerando a importância dos cálculos de área total e
volume estudados em sala de aula, para que através destes torne-se possível
sua aplicação em objetos que fazem parte do contexto social.
A escolha por esse tema está relacionada com a percepção de que, em
muitos casos, os alunos não relacionam o que está sendo estudado em sala de
aula com situações reais no seu cotidiano. Buscou-se aqui aproximar a teoria
da prática, partindo da seguinte problemática: “É possível ensinar Geometria
Espacial por meio da contextualização e de uma prática que utilize materiais
manipuláveis, de modo que resulte em aprendizagem significativa?”.
O embasamento teórico que sustentou este material fundamenta-se nas
Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (PARANÁ
2008) e nas Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais (BRASIL, 2002), bem como nos trabalhos de Burak
(2010), D’ambrosio (1989), D’ambrosio (2005), Müller (2000), Pavanello (2004),
Vianna (2002), entre outros.
Conforme Brasil (2002) o método tradicional de ensinar Geometria no
Ensino Médio, focado apenas no cálculo de áreas e volume de alguns sólidos,
não possibilita ao aluno relacionar este conteúdo com a predominância de
paralelepípedos e retângulos nas construções arquitetônicas, tampouco a
preferência dos artistas pelas linhas paralelas e perpendiculares em pinturas e
esculturas. Ao ensinar a geometria no ensino médio, o professor deve
possibilitar que estas e outras questões despontem para que possam ser
discutidas e analisadas pelos alunos.
Burak (2010) afirma que a forma de ensinar e o que se quer alcançar com
essa forma é uma questão que tem tudo a ver com o tipo de homem que se
pretende formar para enfrentar os desafios do século XXI. O que se espera é
que o cidadão desenvolva a autonomia, seja crítico, capaz de trabalhar em
grupo, de tomar decisões diante de situações do cotidiano, tanto na vida
profissional quanto familiar. Para atingir esse nível de desenvolvimento é
necessário fazer uso de uma metodologia que leve em consideração uma nova
perspectiva e que contemple um novo modelo de racionalidade, mais amplo e
capaz de se alinhar com as mudanças impostas.
Com base nestas afirmações, buscou-se desenvolver atividades que
possam despertar o interesse dos alunos em estudar e aprender a Geometria
Espacial, levando-os a entender o processo de construção e de utilização dos
sólidos geométricos em situações reais. Esse material assume o formato de
Unidade Didática, e tem por objetivo propor atividades teórico-práticas com o
intuito de possibilitar o processo de ensino e aprendizagem de uma maneira
mais simples e prazerosa.
A Unidade Didática aqui apresentada está estruturada de forma a contribuir
significativamente com a aprendizagem dos alunos. Esta está dividia em cinco
unidades, com o intuito de investigar acerca dos conhecimentos prévios,
apresentar o conteúdo de poliedros e corpos redondos de forma diversificada
e, finalmente, verificar se houve aprendizagem ao final do processo.
Com atividades diversificadas e dinâmicas pretende-se prender a atenção
e despertar o interesse pela busca de novos conhecimentos. Por meio da
manipulação de objetos do dia a dia e também pela construção dos sólidos
com materiais variados, inclusive fazendo uso da planificação, procura-se
permitir ao aluno investigar e analisar cada sólido geométrico, reconhecendo e
identificando os elementos que fazem parte destes e que serão utilizados nos
cálculos de área e volume.
Antes de iniciar o conteúdo de geometria espacial, se faz necessário
uma revisão sobre a geometria plana. Nesta Unidade faremos uma retomada
neste conteúdo, realizando uma sondagem sobre o que os alunos sabem e se
identificam as figuras planas mais comuns, para em seguida aplicá-las na
geometria espacial. O objetivo é reconhecer e nominar as figuras geométricas
planas e identificar sua utilização.
Atividade 1 - Questionário de investigação
Tempo de duração: 1 hora/aula
Nesta atividade serão aplicadas as questões abaixo com o
intuito de verificar se os alunos reconhecem e sabem nominar
as principais figuras geométricas planas, se já ouviram falar
em geometria espacial e se conseguem relacioná-la com
algumas embalagens utilizadas em seu dia a dia. Assim que o
questionário for concluído, será recolhido para análise posterior.
Objetivo: Levantar dados para verificar o que os alunos conhecem de
geometria e se já identificaram a geometria espacial em situações de seu
cotidiano.
Observação: Professor (a), as respostas das questões propostas, estará
disponibilizado nas Orientações Metodológicas ao final das unidades, bem
como considerações relevantes para o desenvolvimento e interpretação das
mesmas. Porém, questões que apresentam respostas pessoais não serão
respondidas, pois apresentam variações de acordo com a realidade de cada
respondente.
1 – No decorrer de sua vida estudantil, você já teve contato com a geometria
plana. Você reconhece as figuras geométricas representadas a seguir? Será
capaz de nominá-las?
a) _________________ b) ________________
c) ________________ d) ________________
e) ___________________ f) _______________
g) __________________ h) ________________
i) _____________________ j) ________________
2 – Você já ouviu falar em geometria espacial?
( ) sim ( ) Não
3 – O que vem em sua mente quando ouve a expressão “geometria espacial”?
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4 – Quais são as formas mais comuns de embalagens encontradas em sua
casa?
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5 - Que relação estas embalagens tem com a matemática escolar?
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6 - Qual a diferença entre uma figura bidimensional e uma tridimensional?
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7 – Observando sua sala de aula, que elementos geométricos você identifica e
quais objetos representam esses elementos?
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Atividade 2 - Apresentação de vídeo
Tempo de duração: 1 hora/aula
Nesta atividade será apresentado o vídeo “Matemática na
Construção” da coleção Matemática em toda parte tv escola –
Disco 1, vol. 51. Em seguida serão feitos questionamentos à
respeito do conteúdo apresentado, que visam auxiliar na
interpretação do vídeo, bem como fixar a relação da geometria
presente na construção.
Objetivo: Reconhecer a geometria presente na construção civil e a sua
importância
Resenha: Neste vídeo, com duração de 25 minutos, o Professor Bigode
(Antônio José Lopes) e a Professora Lilian Spalding, por meio de uma conversa
informal em um canteiro de obras, trazem de forma descomplicada a relação
1 Disponível em: http://tvescola.mec.gov.br/tve/video/matematica-em-toda-parte-matematica-
na-construcao. Acesso em 10 dez 2016.
entre a matemática escolar e a matemática utilizada em uma construção. Entre
outros assuntos, destacam a geometria presente nas construções dando
atenção especial ao triângulo pela rigidez de sua estrutura. Na sequência são
apresentados os demais polígonos que estão presentes nas construções em
geral, que por meio de suas propriedades permitem grandes feitos nas
estruturas das construções, bem como em objetos de decoração ou móveis
nos interiores de residências.
Utilizando a planificação e a construção de sólidos geométricos, torna-se
mais fácil a compreensão e a visualização dos elementos que os compõem.
Com o objetivo de reconhecer e quantificar vértices, faces e arestas, mesmo
sem usar essa denominação no momento, nesta unidade será desenvolvido
atividades de construção dos poliedros regulares de maneiras diferentes,
buscando elencar seus elementos com o intuito de entender a Relação de
Euler presente nestes sólidos.
Atividade 1 - Construção dos poliedros.2
Tempo de duração: 2 horas/aula
Nesta atividade será realizada a construção de cada
poliedro. A partir delas, os alunos deverão construir um
quadro como do modelo abaixo, contendo o nome do
poliedro, o número de gomas utilizadas (vértices), o número
de palitos (arestas) e o número de posições que o poliedro pode
assumir apoiando-o (sem segurá-lo) sobre um plano. As três primeiras colunas
serão completadas com a realização da atividade 01. A quarta coluna só será
completada depois da construção dos poliedros da atividade 02.
Objetivo: Identificar o número de vértices e de arestas de poliedros.
Material necessário: Para a construção dos poliedros, serão necessários os
seguintes materiais:
Uma caixa de palito dental
Um pacote de bala tipo goma.
2 Esta atividade foi adaptada do vídeo “Aula lúdica de geometria espacial” Construindo
poliedros com jujubas e palito de dente. Autoria Prof Fabiana Andrade com orientação Prof
Geovane André. Rede Estadual RJ. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=qI5agL6LngU#!, a cesso em: 13 ago 2016.
Quadro modelo.
Nome do
Poliedro
Número de
gomas utilizadas
Número de
palitos
utilizados
Número de
posições
assumidas
Na sequência será realizada a construção passo a passo de cada um
dos poliedros regulares:
Tetraedro: A figura 01 abaixo apresenta a construção passo a passo do
tetraedro regular. Para construir este poliedro são necessários 06 palitos
dentais e 04 balas tipo goma.
Figura 01 – Construção passo a passo do tetraedro regular.
Cubo: A figura 02 abaixo apresenta a construção passo a passo do cubo. Para
esta construção são necessários 12 palitos dentais e 08 balas tipo goma.
Figura 02 – Construção passo a passo do cubo
Octaedro: A figura 03 abaixo apresenta a construção passo a passo do
octaedro regular. Para construí-lo são necessários 12 palitos dentais e 06 balas
tipo goma.
Figura 03: Construção passo a passo do octaedro regular
Dodecaedro: A figura 04 abaixo apresenta a construção passo a passo do
dodecaedro regular. Para esta construção são necessários 30 palitos dentais e
20 balas do tipo goma.
Figura 04 – Construção passo a passo do dodecaedro regular
Icosaedro: A figura 05 abaixo apresenta a construção do icosaedro regular.
Para realizá-la são necessários 30 palitos dentais e 12 balas do tipo goma.
Figura 05: Construção passo a passo do icosaedro regular.
Atividade 2 - Construção dos poliedros a partir da planificação
Tempo de duração: 2 horas/aula
Nesta atividade cada poliedro será construído com o
uso dos materiais listados abaixo. Após a sua construção,
os alunos deverão completar o quadro da atividade 01,
informando o número de posições que o poliedro pode
assumir apoiando-o completamente sobre um plano.
Objetivo: Identificar o número de polígonos (faces) que formam o poliedro,
bem como o seu formato em cada um deles.
Material Necessário: Para a construção de cada poliedro serão necessários
os seguintes materiais:
Representação do poliedro planificado em papel sulfite ou cartão;
Tesoura;
Cola.
A figura 06 abaixo apresenta a planificação dos poliedros regulares que
serão construídos nesta atividade.
Figura 06: Planificação dos Poliedros Regulares. 3
Atividade 3 – Relação de Euler
Tempo de duração: 2 horas/aula
Nesta atividade, utilizando os poliedros construídos
nas atividades 01 e 02, será analisado o quadro com a
identificação do poliedro e de seus elementos: Número de
gomas (vértice), número de posições assumidas (face) e o
número de palitos dentais (aresta).
Objetivo: Estabelecer uma relação entre os elementos identificados e
quantificados nas atividades anteriores.
Para a construção do conhecimento da relação de Euler serão aplicados
em sequência os exercícios abaixo:
3 Disponível em: http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial8.php. Acesso em:
08 dez 2016.
1 - Relacione a primeira coluna de acordo com as informações contidas na
segunda:
a – Face
b – Vértice
c – Aresta
( ) Eu sou a linha que resulta do
encontro de duas regiões planas
do poliedro.
( )Represento cada polígono contido
em um poliedro.
( ) Minha função é marcar o ponto
de encontro de três ou mais
regiões planas que definem um
poliedro.
2– Observando o quadro construído nas atividades 01 e 02, você consegue
estabelecer alguma relação entre os elementos dos poliedros?
Após a realização das atividades por parte dos alunos, o professor
discutirá suas soluções formalizando o conteúdo apresentado.
Observação: Nesta atividade deve ser ressaltada a importância da Relação de
Euler para determinar o número de vértices, faces e arestas de poliedros mais
complexos, quando não temos em mãos um modelo concreto que possa
auxiliar nessa contagem.
Definição/Descrição:
Souza (2010) define:
Poliedro: são sólidos limitados por superfícies planas poligonais.
Face: são os polígonos que limitam os poliedros. A quantidade de faces de um
poliedro é finita.
Aresta: são os lados de cada face do poliedro. Cada aresta é comum a apenas
duas faces.
Vértice: são os pontos de intersecção de três ou mais arestas. Os vértices de
cada face são também vértices do poliedro.
Poliedro Regular: Um poliedro é regular quando satisfaz as seguintes
condições:
As faces são polígonos regulares e congruentes entre si;
De cada vértice do poliedro parte o mesmo número de arestas.
Relação de Euler: É dada pela igualdade V + F= A + 2. Onde V é o número de
vértices, F representa o número de faces e A é o número de arestas de um
poliedro.
Prismas e Pirâmides são casos particulares de poliedros. Nesta unidade
será realizado um estudo por meio da análise de diferentes embalagens que
lembram, sugerem ou representam estes sólidos geométricos. Com a
manipulação de objetos do dia a dia, será feita a identificação de
características comuns, bem como diferenças e especificidades, levando os
alunos a reconhecer os elementos de um prisma e de uma pirâmide,
descobrindo por meio dessa análise, caminhos para a determinação das áreas
e volume em cada caso.
Para contribuir com a construção desse conhecimento, será aplicada a
sequência de atividades abaixo:
Atividade 1 - Estudo das embalagens: o formato, as características e os
elementos.
Tempo de duração: 2 horas/aula
Para a realização desta atividade, os alunos, divididos em
duplas, deverão trazer para sala de aula algumas embalagens
de produtos utilizados em suas casas. O professor deverá
estipular o número de embalagens que cada dupla precisa
trazer. Observação: O professor também poderá contribuir com
alguma embalagem de formato diferente que possa não ter sido encontrada
pelos alunos.
Objetivos:
- Reconhecer os sólidos geométricos e os seus elementos, presentes nas
embalagens;
- Analisar a quantidade de material necessária para sua confecção (área total)
e também a capacidade de armazenamento (volume).
Por meio da análise das embalagens presentes, a dupla fará as seguintes
anotações:
1 – Quais as principais características de suas embalagens?
2 – Suas embalagens rolam ou não rolam?
3 – Identifique e quantifique vértices e arestas de suas embalagens?
4 – Faça a planificação das embalagens e determine o número de faces,
bem como o formato das mesmas?
5 – Como você faria para calcular a quantidade de material necessária para
construir cada uma dessas embalagens?
6 – Que figura geométrica representa a base de suas embalagens?
7 – Considerando que suas embalagens são formadas por bases com
formatos diferentes, o que elas apresentam em comum?
Atividade 2 - Pesquisa
Tempo de duração: 2 horas/aula
A pesquisa referente a esta atividade também será realizada em
duplas. Fazendo uso do laboratório de informática, os alunos
deverão buscar respostas para as questões abaixo, que ao final
da aula serão socializadas para a turma, com o intuito de comparar
as respostas encontradas para complementar os conceitos que estão
sendo construídos.
Objetivo: Reconhecer e identificar os elementos de um prisma, bem como sua
utilidade e necessidade no dia a dia.
1 – Na Matemática, o que é um prisma?
2 - Quais são os tipos de prismas, de acordo com a posição de suas arestas?
3 – Quais elementos compõem um prisma?
4 - Qual característica básica define um prisma?
5 – Como são classificados os prismas de acordo com o número de lados de
suas bases?
6 – Em sua opinião, por que se utilizam caixas com esse formato para
armazenar a maioria dos produtos?
Figura 07: Embalagens para armazenamento e transporte de produtos4
Após a realização da pesquisa, cada dupla fará a socialização das
respostas encontradas, o professor deverá mediar uma discussão que
possibilite complementar os conceitos que serão construídos.
Atividade 3 - Estudo de embalagens com o formato de prismas: polígonos
das bases; áreas e volume.
Tempo de duração: 3 horas/aula
Para a realização desta atividade, cada aluno deverá
pesquisar e trazer para a aula: objetos decorativos que
lembram sólidos geométricos (exemplos na figura 1) e as
embalagens utilizadas na atividade anterior. Também serão
utilizados os sólidos de acrílico do Colégio.
4 Disponível em: http://www.sisvend.pt/wp-content/uploads/2015/07/caixas-cartao.jpg . Acesso
em 30 ago 2016.
Objetivos:
- Identificar o polígono que representa a base de cada prisma;
- Encontrar a área da base, lateral total e também o volume em cada caso.
Figura 08 – Exemplos de objetos que lembram prismas
Com estes objetos em mãos serão respondidas as questões abaixo que
possibilitarão encontrar os valores referentes às áreas e volume de cada
prisma:
1 - Identifique o polígono que representa a base em cada prisma e escreva
qual a sua nomenclatura de acordo com essa base. Utilizando os
conhecimentos de geometria plana estudados, determine a área dessas bases.
2 - Faça a planificação do prisma, e verifique qual é a forma de cada face
lateral.
3 – Manipulando cada objeto, descreva o que você identifica como sendo a
área total desses sólidos, e como faria para determinar essa área?
4 – Sabendo que o volume é a capacidade de armazenamento de um
recipiente, descreva como você faria para calcular o volume de cada sólido
utilizado nestas atividades?
Após a realização destas atividades por parte dos alunos, o professor
deverá formalizar o conteúdo por meio de discussões e análise dos elementos
de cada prisma, bem como a determinação das áreas e volume em cada caso
que tenha sido analisado no decorrer da unidade.
Definição/Descrição:
Para Dante (2013)
Prisma: É um tipo especial de poliedro que apresenta como característica uma
dupla de faces (polígonos) congruentes paralelas e opostas unidas por faces
laterais que podem ser retângulos, quadrados ou paralelogramos;
Elementos de um Prisma: As bases, Arestas das bases, Arestas Laterais,
Altura, Faces Laterais, Vértices;
Prisma reto: As arestas laterais são perpendiculares às bases. Neste caso as
faces laterais poderão ser quadrados ou retângulos;
Prisma oblíquo: As arestas laterais não são perpendiculares às bases. Neste
caso as faces laterais serão paralelogramos;
Nomenclatura: Os prismas recebem nomes especiais de acordo com a região
poligonal das bases;
Área da Base (Ab): É a área da região poligonal que forma a base do prisma.
Em um prisma encontram-se duas bases paralelas e congruentes. Para
determiná-la, deve ser utilizado o cálculo da área desse polígono;
Área Lateral (Al): É a área da superfície lateral, formada pelas faces laterais
do prisma;
Área Total (At): É a área da superfície total do prisma, formada pelas faces
laterais e pelas bases;
Volume (V): É a capacidade de armazenamento de um sólido. Para encontrar
o volume de um prisma deve-se multiplicar a área da base pela altura desse
prisma.
.
Atividade 4 - Análise de imagens/embalagens/objetos que lembram
prismas e pirâmides.
Tempo de duração: 3 horas/aula
Para a realização desta atividade, será necessário o uso de
imagens/objetos que lembrem prismas e pirâmides.
Manuseando as duas formas de sólidos geométricos, os
alunos deverão responder as questões abaixo, com o intuito
de compreender a diferença entre eles. Por meio de
experimentações comprovar-se-á que o volume da pirâmide corresponde a
terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura.
Objetivos:
- Estabelecer as principais diferenças entre prismas e pirâmides;
- Identificar os elementos de uma pirâmide;
- Calcular as áreas da base, lateral e total de uma pirâmide;
- Reconhecer que o volume de uma pirâmide é a terça parte do volume de um
prisma de mesma base e mesma altura.
Material necessário:
Imagens/objetos que lembram prismas e pirâmides;
Sólidos de acrílico.
Figura 09: Embalagens que lembram pirâmides5
5 Disponível em: https://fotos.habitissimo.com.br/foto/piramide-de-papel_927617. Acesso em:
08 nov 2016.
Para a construção do conhecimento acerca das pirâmides os alunos
desenvolverão a sequência de atividades listadas abaixo:
1 – Quais as principais diferenças entre um prisma e uma pirâmide?
2 – Que elementos são identificados em uma pirâmide?
3 – Quais desses elementos também aparecem no prisma?
4 – Como você faria pra calcular a área de uma face lateral da pirâmide?
5 – Fazendo uso dos conhecimentos geométricos adquiridos até o momento,
como você faria para determinar a área da base, a área lateral e a área total de
uma pirâmide?
6 – Utilizando água e os sólidos de acrílico, faça a comparação do volume de
um prisma e de uma pirâmide de mesma base e mesma altura. De acordo com
a experiência responda:
a) Como é calculado o volume do prisma?
b) Quantas vezes o volume de uma pirâmide é necessário para encher
completamente de água um prisma que apresente a mesma base e a
mesma altura dessa pirâmide?
c) Estabeleça uma relação matemática para calcular o volume da pirâmide.
Após a realização destas atividades pelos alunos, o professor deverá fazer a
formalização do conteúdo, realizando e conduzindo as discussões necessárias
para a construção do conhecimento.
Definição/Descrição:
Para Souza (2010)
Pirâmide: Constituem outro tipo de poliedro, porém estas possuem apenas
uma base;
Elementos da Pirâmide: Base, vértice da pirâmide, arestas laterais, arestas
da base, faces laterais, altura. Além destes elementos, temos ainda o apótema
da base e apótema da pirâmide;
Nomenclatura: Uma pirâmide pode ser denominada de acordo com o polígono
que forma a sua base. Se a base for um triângulo é uma pirâmide de base
triangular, se a base for um quadrilátero é uma pirâmide de base quadrangular
e assim por diante;
Área lateral (Al): Corresponde à reunião de todas as faces laterais da
pirâmide;
Área da base (Ab): Corresponde à área do polígono que constitui a base da
pirâmide;
Área total (At): Corresponde à reunião da área lateral com a área da base da
pirâmide;
Volume (V): É a capacidade de armazenamento de uma pirâmide. Seu volume
corresponde à terça parte do volume do prisma.
Atividade 5 - Análise do tronco da pirâmide
Tempo de duração: 3 horas/aula
No dia a dia é comum encontrarmos mais objetos que
lembram um tronco de pirâmide do que encontrar objetos
que lembram pirâmides. No entanto, na maioria das vezes
as pessoas não associam esse objeto ao tronco de
pirâmide. As atividades a seguir objetivam esclarecer como se
forma um tronco de pirâmide, quais seus elementos e qual a
relação que este tem com uma pirâmide e ainda compreender a sua
utilização em situações do cotidiano.
Objetivos:
- Identificar em objetos do dia a dia o tronco de uma pirâmide;
- Reconhecer seus elementos e calcular área e volume dos mesmos.
Material necessário:
Objetos/imagens que dão a ideia de uma pirâmide;
Objetos/imagem que dão a ideia de um tronco de pirâmide.
Cachepô (vasos decorativos de madeira, papel, vidro, metal, etc).
Figura 10: Exemplos de objetos que lembram um tronco de pirâmide.
Para construir esse conhecimento, os alunos deverão desenvolver as
atividades abaixo.
1 – Partindo da análise de uma imagem ou objeto no formato de uma pirâmide,
descreva como você acha que se forma um tronco de pirâmide.
2 – Observando os sólidos que representam uma pirâmide e um tronco de
pirâmide, descreva quais são as diferenças mais evidentes entre eles?
3 – Quais os elementos que podem ser identificados em um tronco de
pirâmide?
4 – Qual o formato das faces laterais desse tronco de pirâmide?
5 – Como você faria para calcular a área lateral e a área total de um tronco de
pirâmide?
6 – De que forma pode ser calculado o volume de um tronco de pirâmide?
Na sequência desta atividade será apresentado o vídeo: “A maldição da
pirâmide”6 para demonstrar a utilidade do tronco de pirâmide e também uma
das formas de como se calcula o seu volume. Esta questão irá complementar
as discussões realizadas acerca da questão número 6.
Resenha: Luba pede ajuda a seu avô para fazer um exercício de matemática
cujo objetivo é calcular o volume de um tronco de pirâmide, problema este que
apareceu originalmente em um papiro egípcio com mais de 2.000 anos. Por
meio de uma conversa, o avô explica a Luba que o volume de um tronco de
pirâmide nada mais é que a diferença entre o volume da pirâmide original e o
volume da pirâmide que foi extraída para formar o tronco. O vídeo tem
aproximadamente 10 minutos de duração e mostra exemplos do cálculo de
forma clara e dinâmica.
Assim que os alunos concluírem estas atividades de investigação, o
professor deverá formalizar o conteúdo, fazendo as devidas considerações
para que os mesmos possam compreender os cálculos que devem ser
realizados quando se trata de um tronco de pirâmide, bem como a utilização
desses objetos no dia a dia.
Definição/Descrição
Segundo Souza (2010):
Tronco de Pirâmide: A partir de uma secção horizontal em uma pirâmide, o
sólido original se divide em uma pirâmide menor de altura h e um poliedro
denominado tronco de pirâmide.
Elementos de um tronco de pirâmide: Base maior, base menor, faces
laterais, altura. Além destes, temos ainda o apótema do tronco, aresta da base
maior e a aresta da base menor.
Área Lateral (Al): Corresponde à reunião da área de todas as faces laterais;
Área da base maior (AB): Corresponde a área do polígono que constitui a
base maior do tronco;
6 Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=awhISinN_eg Acesso em: 22 set 2016.
Área da base menor (Ab): Corresponde a área do polígono que constitui a
base menor do tronco;
Área total (At): Corresponde à reunião da área lateral com as áreas das bases
do tronco de pirâmide;
Volume (V): O volume de um tronco de pirâmide pode ser obtido fazendo a
diferença entre os volumes da pirâmide original e da pirâmide que foi extraída
após a secção horizontal, paralela à base.
Nesta unidade será feito o estudo de sólidos geométricos que apresentam
características específicas que os diferenciam dos poliedros estudados nas
unidades anteriores.
Estes sólidos são chamados de corpos redondos por apresentarem
superfícies curvas. São eles: o cilindro, o cone e a esfera.
Ao fazer o estudo desses sólidos, conhecendo suas propriedades e
características, torna-se possível compreender e representar muitos elementos
da vida cotidiana.
Para construção desse conhecimento, será aplicada aos alunos a relação
de atividades a seguir:
Atividade 1 - Identificação de corpos redondos em objetos do cotidiano
Tempo de duração: 1 hora/aula
Esta atividade será desenvolvida a partir da análise
de objetos ou imagens que lembram os sólidos geométricos
classificados como corpos redondos. Essa análise
objetiva proporcionar ao aluno a oportunidade de
reconhecer características particulares desses sólidos e
identificar as principais diferenças entre poliedros e corpos
redondos.
Objetivos:
- Destacar as principais diferenças entre poliedros e corpos redondos;
- Identificar, em objetos do dia a dia, os corpos redondos que serão estudados;
Material necessário:
Sólidos de acrílico;
Embalagens que lembram o formato de corpos redondos;
Para a construção desse conhecimento será aplicada a lista de atividades
abaixo:
1 – Você conhece objetos que rolam?
2– Por que estes sólidos são chamados de corpos redondos?
3 – Qual a principal diferença entre estes sólidos e os poliedros estudados
anteriormente?
4 - No dia a dia você está em contato com diversos objetos. Nestes, você
saberia qual (ou quais) lembra (ou lembram) um cilindro, um cone ou uma
esfera?
Com o desenvolvimento destas atividades, espera-se que os alunos
possam reconhecer em objetos os sólidos que representam corpos redondos,
diferenciá-los e classificá-los de acordo com suas características comuns e
suas particularidades.
Na sequência será aplicada uma lista de atividades que permitirão uma
análise mais detalhada sobre cada um dos três tipos de corpos redondos que
serão estudados.
Atividade 2 - Estudo do Cilindro por meio da análise de embalagens e
outros objetos que lembrem esse formato.
Tempo de duração: 2 horas/aula
Esta atividade será realizada com o auxílio de objetos que
lembram o formato de um cilindro, com o intuito de possibilitar
aos alunos a visualização de seus elementos por meio da
manipulação. Ao trabalhar com a planificação do sólido,
torna-se mais evidente quais as figuras geométricas planas que o
compõem. Por meio dessa planificação, também será possível determinar a
área total que corresponde a quantidade de material utilizado para a confecção
do sólido. Além disso, a atividade permitirá aos alunos investigar como é
possível determinar o volume de um cilindro.
Objetivos:
- Reconhecer os elementos de um cilindro;
- Realizar os cálculos de área e volume do cilindro.
Material necessário:
Embalagens e objetos decorativos que lembram um cilindro;
Sólidos de acrílico;
Planificação do cilindro.
Figura 11: Exemplos de objetos que lembram um cilindro7
Para a construção desse conhecimento, será aplicada a sequência de
atividades abaixo:
1 – Estabeleça a diferença entre círculo e circunferência.
2 – Manipulando objetos que lembram um cilindro, quais elementos você
identifica?
3 – Analisando a planificação de um cilindro, responda:
a) Que figura geométrica representa as bases do cilindro?
b) Utilizando os conhecimentos de geometria plana, já estudados, como
você faria para determinar a área dessa base?
c) Observando um cilindro antes da planificação, você consegue identificar
a figura geométrica que representa a superfície lateral? E após a
planificação?
7Disponível em: https://www.google.com.br/search?q=imagem+de+objetos+que+lembram+um+cilindro&espv=2&biw=1366&bih=662&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwj6k7Sbx7_QAhVFlZAKHa4NADcQ_AUIBigB#imgrc=OvUcDKbtK9WqwM%3ª. Acesso em 26 nov 2016.
d) Estudando este sólido planificado, como você faria para determinar o
total de material necessário para construir uma embalagem de formato
cilíndrico?
e) Como você faria para determinar o volume do cilindro?
Após a conclusão das atividades por parte dos alunos, o professor deverá
fazer a formalização do conteúdo, tecendo suas considerações e aprimorando
os conceitos construídos em cada atividade para a construção do
conhecimento.
Definição/Descrição
De acordo com Souza (2010) e Dante (2013):
Cilindro: Um cilindro pode ser definido matematicamente, considerando-se
dois planos distintos e paralelos, α e β, um círculo de centro O e raio r, contido
em α, e um segmento AB (geratriz do cilindro), com A ϵ α e B ϵ β. Denomina-se
cilindro circular, ou simplesmente cilindro, o conjunto de todos os segmentos
paralelos e congruentes a ao segmento AB com uma extremidade no círculo de
centro O em α e outra extremidade em β.
Elementos do cilindro: Bases, superfície lateral, raio da base, diâmetro da
base, altura, geratriz, eixo do cilindro;
Área da base (Ab): Como as bases de um cilindro são círculos congruentes,
para determiná-la devemos calcular a área do círculo;
Área Lateral (Al): A superfície lateral planificada de um cilindro é formada por
uma região retangular de altura h e comprimento 2πr, para determiná-la
devemos calcular a área desse polígono;
Área total (At): A área total é formada pela área lateral somada com a área
das duas bases do cilindro;
Volume (V): O volume de um cilindro é determinado pelo produto da área da
base pela altura.
Atividade 3 - Estudo do Cone por meio de objetos que lembram esse
formato.
Tempo de duração: 2 horas/aula
A realização desta atividade será por meio da análise de
objetos que lembram o formato do cone, pois a semelhança
deste sólido geométrico está presente em diversos objetos do
dia a dia. Fazendo a manipulação de alguns desses objetos
será possível visualizar e identificar os seus elementos, bem como
características comuns ao cilindro e outras que são próprias do cone.
Fazendo uso de experimentos, os alunos deverão compreender os
cálculos de área e volume de um cone.
Objetivos:
- Reconhecer os objetos do dia a dia que representam um cone;
- Estabelecer a diferença entre cilindro e cone;
- Identificar proximidades entre cone e pirâmide;
- Reconhecer os elementos de um cone;
- Calcular área de um cone;
- Calcular o volume de um cone e comprovar sua equação por meio de
experimentação com o cilindro.
Material necessário:
Casquinha de sorvete no formato de cone;
Chapéu de festa infantil;
Sólido de acrílico;
Planificação do cone.
Figura 12: Imagens de objetos que lembram um cone8
Para auxiliar na construção do conhecimento, será aplicada a sequência de
questões que permitirão aos alunos compreender os objetos analisados.
1 – Os objetos analisados lembram o formato de um cone. Quais
características apresentam em comum?
2 - De acordo com estes objetos, quais são os elementos que você identifica
em um cone?
3 – Analisando a planificação do cone responda: quais os formatos da base e
da superfície lateral?
4 – Como você faria para determinar as áreas da base e da superfície lateral
de um cone? E como você faria para determinar a área total?
5 – Usando água e os sólidos de acrílico que representam o cilindro e o cone,
faça a comparação entre os seus volumes e responda:
8Disponível em:
https://www.google.com.br/search?q=imagem+de+objetos+que+lembram+um+cone&espv=2&b
iw=1366&bih=662&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjuyeaDy7_QAhWBf5AKHcN
UCiIQ_AUIBigB#imgrc=zjPKpZhvjTkQwM%3A. Acesso em 23 nov 2016.
a) Qual a relação matemática que permite calcular o volume do cilindro?
b) Quantas vezes o volume de um cone é necessário para encher
completamente de água, um cilindro que apresente a mesma base e a
mesma altura desse cone?
c) Partindo da relação matemática que permite calcular o volume do
cilindro, estabeleça uma relação matemática que possibilite calcular o
volume do cone.
Após a realização destas atividades, o professor deverá formalizar o
conteúdo, realizando novas discussões e complementando os conceitos que
estão sendo construídos no desenvolvimento das atividades. Poderá fazer uso
de outros exemplos ou mesmo de outras atividades que permitam ao aluno
explorar o conteúdo de forma mais aprofundada.
Definição/Descrição
Segundo Dante (2013):
Cone circular reto: É um sólido geométrico formado por uma base plana e
circular e uma superfície não plana ou arredondada, que é a superfície lateral.
Elementos de um cone: Base; superfície lateral; vértice; eixo do cone
(segmento que liga o vértice ao centro da base); altura (é a distância entre o
vértice e o plano da base); geratriz (segmento de reta que liga o vértice a um
ponto da circunferência da base); raio da base e diâmetro da base.
Área da base (Ab): A área da base corresponde a área do círculo que a
representa, dada por A = πr2.
Área lateral (Al): Corresponde à área do setor circular que determina a
superfície lateral do cone, dada por Al = πrg.
Área total (At): É formada pela superfície lateral (área do setor circular) mais a
superfície da base (área do círculo), dada por At = Al + Ab ou At = πr(g + r).
Volume (V): O volume do cone é a sua capacidade de armazenamento.
Corresponde à terça parte do volume de um cilindro. Portanto, para determiná-
la deve-se multiplicar a área da base pela altura e dividir por três.
Atividade 4 - Estudo do Tronco do cone por meio de materiais
manipuláveis
Tempo de duração: 2 horas/aula
Muitos objetos do dia a dia lembram o formato de um tronco
de cone, no entanto a relação destes com a matemática nem
sempre é percebida. O objetivo da presente atividade é
perceber esta relação e compreender de forma prática os
cálculos matemáticos que podem ser aplicados.
Objetivos:
- Reconhecer em objetos do cotidiano este sólido geométrico;
- Identificar os elementos do tronco do cone;
- Entender a relação entre o cone e o tronco de cone nos cálculos de área e
volume.
Material necessário:
Copo descartável;
Sólidos de acrílico;
Planificação do sólido;
Outros objetos que tenham este formato.
Figura 13: imagem de objetos que lembram um tronco de cone
Para construção desse conhecimento será aplicada a sequência de
atividades abaixo, que permitirá aos alunos investigar e relacionar os cálculos
com sua aplicação em objetos do cotidiano.
1 – Além dos objetos que estão sendo analisados, quais outros utilizados por
você em seu dia a dia, podem ser classificados como um tronco de cone?
2 – Analisando os objetos que representam um tronco de cone, quais
elementos você identifica?
3 – De que forma pode-se calcular a área das bases de um tronco de cone?
4 – Por meio da planificação do sólido, descreva como encontrar a sua área
total.
5 – Utilizando um procedimento semelhante ao do tronco da pirâmide, analise
como pode ser obtido o volume de um tronco de cone.
Após a realização das atividades por parte dos alunos, o professor deverá
formalizar o conteúdo, discutindo possíveis soluções encontradas no decorrer
das aulas. Em determinadas situações poderá ser necessário a intervenção do
professor durante o desenvolvimento das questões, no entanto, sempre que for
possível, os alunos deverão buscar as respostas sem o auxílio do professor,
mesmo que para isso seja necessário algum recurso de pesquisa.
Definição/Descrição:
Para Souza (2010):
Tronco de cone: Dado um cone de altura H e raio R, seccionando este cone
em uma altura h paralela a sua base, forma-se um cone menor de raio r e
altura h e outro sólido geométrico denominado tronco de cone.
Elementos: Base maior (círculo de raio R); Base menor (círculo de raio r);
Altura (distância entre as duas bases); Geratriz (corresponde a cada segmento
contido na geratriz do cone cujas extremidades pertencem às bases do tronco);
Superfície lateral.
Área das Bases: Corresponde a área de cada círculo que representa a base
maior e a base menor do tronco.
Área da superfície lateral: Corresponde a diferença entre as áreas laterais do
cone original e do cone menor formado após a secção transversal que forma o
tronco do cone.
Volume: O volume do tronco de um cone também pode ser calculado pela
diferença entre os volumes do cone original e do cone menor formado após a
secção transversal que forma o tronco do cone.
Atividade 5 - Estudo da Esfera por meio de materiais manipuláveis.
Tempo de duração: 3 horas/aula.
Objetos no formato de esfera fazem parte do dia a dia das
crianças desde muito cedo. É comum encontrar brinquedos
com formato esférico, de vários tamanhos e com várias
funções. Bola de gude ou de sinuca são exemplos de esferas, já
bolas plásticas são exemplos de superfícies esféricas. O estudo da
esfera será feito por meio de objetos do cotidiano, levando os alunos a
compreenderem os conceitos e cálculos matemáticos em situações que fazem
parte de sua realidade.
Objetivos:
- Reconhecer a esfera em objetos do cotidiano;
- Analisar estes objetos;
- Identificar os elementos de uma esfera;
- Determinar área de superfície e o volume de uma esfera.
Material Necessário:
01 Laranja;
01 Bola;
Objetos decorativos;
Sólido de acrílico.
Figura 14: Imagens que lembram esferas9
Para a construção desse conhecimento, será aplicada a lista de atividades a
seguir:
1 – Você sabe a diferença entre uma circunferência, um círculo, uma superfície
esférica e uma esfera? Pesquise essas definições e formule um conceito para
cada caso, apresentando pelo menos um exemplo para cada situação.
2 – Que elementos da esfera podem ser identificados ao se analisar uma bola
de gude, por exemplo?
3 – Agora analise o sólido de acrílico que representa a esfera. Que elementos é
possível visualizar?
4 – O que você entende por área de superfície de uma esfera? E se essa área
for a área de superfície de uma laranja, como você a definiria?
5 – Como determinar por meio de uma equação matemática a área de
superfície de qualquer esfera?
6 – O que você classificaria como volume em uma bola?
7 – De que forma pode ser determinado o volume de uma esfera?
Assim que os alunos concluírem as questões investigativas, o professor
deverá formalizar o conteúdo, levantando novas questões que possam ser
exploradas para uma melhor compreensão dos conceitos abordados.
9 Disponível em:
https://www.google.com.br/search?q=imagem+de+objetos+que+lembram+uma+esfera&espv=2
&biw=1366&bih=662&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjI_dagzr_QAhWCkpAKHSI
OAswQ_AUIBigB#imgrc=_Lh42UhddFW5aM%3A. Acesso em 23 nov 2016.
Definição/Descrição.
Souza (2010) afirma que:
Esfera: Para definir uma esfera, deve-se considerar um número real positivo r
e um ponto C. Denomina-se esfera o conjunto de todos os pontos do espaço
que estão a uma distância menor ou igual a r a partir do ponto C. Neste caso
tem-se uma esfera de raio r e centro C.
Elementos da Esfera: O centro (o ponto C); O eixo (é uma a reta que contém
o centro da esfera); Os polos (são os pontos de intersecção da superfície da
esfera com o eixo); O equador (é a circunferência obtida ao se seccionar a
esfera por um plano perpendicular ao eixo e que passe pelo centro C); Os
paralelos (são as circunferências obtidas ao se seccionar a esfera por planos
paralelos ao plano do equador); Os meridianos (são as circunferências obtidas
ao se seccionar a esfera por planos que contêm o eixo).
Área de superfície: A área de superfície da esfera de raio r é dada por
Volume: O volume de uma esfera de raio r é dado por
Nesta unidade será feita a verificação do processo de ensino e
aprendizagem acerca das atividades desenvolvidas no decorrer do
desenvolvimento da Unidade Didática. Com o intuito de verificar se houve
aprendizagem e se os métodos e recursos utilizados proporcionaram melhoria
na assimilação do conteúdo, será aplicado o questionário abaixo, para que os
alunos discorram sobre os conteúdos estudados.
Questionário de Verificação.
Tempo de duração: 1 hora/aula
As questões a seguir são semelhantes às aplicadas na
primeira unidade. Foram feitas pequenas alterações, com o
intuito de investigar e verificar se os métodos aplicados
proporcionam novas formas de aprendizagem.
Objetivo: Verificar a aprendizagem do conteúdo de geometria após a aplicação
das atividades da unidade didática.
1 – No decorrer de sua vida estudantil, você já teve contato com a geometria
plana. Você reconhece as figuras geométricas representadas a seguir? Será
capaz de nominá-las?
a) _________________ b) ________________
c) ________________ d) ________________
e) _____________________ f) _______________
g) __________________h) ________________
i) _____________________ j) ________________
2 – Neste momento, o que vem em sua mente quando ouve a expressão
“geometria espacial”?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
3 – Quais são as formas mais comuns de embalagens encontradas em sua
casa?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
4 – Neste momento, que relação você é capaz de estabelecer entre estas
embalagens e a matemática escolar?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
5 - Qual a diferença entre uma figura bidimensional e uma tridimensional?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
6 – Observando sua sala de aula, que elementos geométricos você identifica?
E quais objetos representam esses elementos?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
7 – Nas construções em geral, a geometria está presente. Quais elementos
geométricos você identifica?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
8 – Relate se as estratégias aplicadas para o estudo do conteúdo de geometria
espacial foram significativas e se as mesmas contribuíram para a compreensão
e aprendizagem em cada etapa.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Depois da aplicação deste questionário, será feito um estudo para
comparar as respostas apresentadas pelos alunos na atividade número 1 da
primeira unidade. Com as respostas em mãos, será possível verificar se houve
aprendizado e se as metodologias de ensino aplicadas podem ser utilizadas
como recursos didáticos no processo de ensino e aprendizagem.
PRIMEIRA UNIDADE:
ATIVIDADE 1 - Questionário de Investigação
Respostas:
1 -
a) Quadrado
b) Retângulo
c) Círculo
d) Triângulo Equilátero
e) Triângulo Retângulo
f) Losango
g) Paralelogramo
h) Hexágono
i) Trapézio
j) Pentágono
As questões de números 2, 3 e 4 apresentam respostas de cunho pessoal e
devem ser respondidas de acordo com a realidade do aluno.
5 - A matemática está presente nas embalagens de diversas formas, seja
colaborando para o seu formato, determinando a quantidade de material
utilizado na construção, ou definindo a maior capacidade de armazenamento
pelo menor custo de produção. Os cálculos matemáticos contribuem para
resolver estas situações de forma rápida e prática, evitando maiores
desperdícios de materiais.
6 - Uma figura bidimensional apresenta duas dimensões: O comprimento e a
largura. A figura tridimensional é aquela que apresenta três dimensões: o
comprimento, a largura e a altura.
7 - Esta questão será respondida de acordo com a realidade escolar em cada
caso.
Possíveis respostas:
- As superfícies do quadro, do forro, ou do chão da sala de aula podem dar a
ideia de plano;
- As superfícies de portas ou janelas são exemplos de retângulos;
- O caderno e o livro podem representar um paralelepípedo;
- O lixeiro pode representar um cilindro, um tronco de cone ou um tronco de
pirâmide, de acordo com o seu formato.
ATIVIDADE 2 - Apresentação de vídeo
Sugestões de questionamentos:
1 – Você já visitou alguma construção?
2 – Observamos no vídeo várias situações em que a matemática está presente
na construção civil. Você já havia percebido essa relação?
3 – Analisando o prédio do Colégio, quais elementos geométricos você
identifica?
4 – Você conhece alguma ferramenta de trabalho utilizado pelo pedreiro ou
mestre de obras nas construções? Saberia nominá-los?
5 – Qual a função dessa ferramenta?
6 – Você já havia prestado atenção na regularidade das calçadas?
7 – Em sua cidade, dentre as lajotas que são utilizadas para a construção de
calçadas, qual é o formato mais comum em suas superfícies?
8 – Quais os tipos de polígonos que podem ser utilizados para a construção de
ladrilhos ou calçadas e por quê?
9 – Por que não encontramos calçadas feitas apenas com lajotas no formato de
pentágono?
SEGUNDA UNIDADE:
ATIVIDADE 1 – Construção dos poliedros
Quadro de respostas parciais:
Nome do Poliedro Número de
gomas utilizadas
Número de
palitos utilizados
Número de
posições
assumidas
Tetraedro 4 6
Cubo 8 12
Octaedro 6 12
Dodecaedro 20 30
Icosaedro 12 30
ATIVIDADE 2 – Construção dos poliedros a partir da planificação
Quadro de respostas:
Nome do Poliedro Número de
gomas utilizadas
Número de
palitos utilizados
Número de
posições
assumidas
Tetraedro 4 6 4
Cubo 8 12 6
Octaedro 6 12 8
Dodecaedro 20 30 12
Icosaedro 12 30 20
ATIVIDADE 3 – Relação de Euler
Respostas
1 – c, a, b
2 - Nesta questão, espera-se que os alunos apresentem como resposta que em
cada caso a soma dos vértices e das faces corresponde ao número de arestas
acrescido em duas unidades.
TERCEIRA UNIDADE:
ATIVIDADE 1 - Estudo das embalagens: o formato, as características e os
elementos.
Indicação de possíveis respostas
1 – As respostas devem incluir o formato das faces, material utilizado para a
construção da embalagem, estabilidade da embalagem, etc.
2 – Dependendo do formato da embalagem utilizada a resposta poderá ser
positiva (se cilindro, cone ou esfera) ou negativa (se prisma ou pirâmide).
3 – A resposta deverá ser apresentada de acordo com a embalagem utilizada.
4 - A resposta deverá ser apresentada de acordo com a embalagem utilizada.
5- Espera-se que o aluno seja capaz de relembrar os conceitos de área de
figuras planas, já estudados e relacione essas áreas com a área de cada face
da embalagem, concluindo que a quantidade de material utilizado para
construir a embalagem corresponde a soma da área de todas as faces, ou seja:
a área total.
6 – Esta questão deverá ser respondida de acordo com o tipo de embalagem
utilizada.
7– A resposta poderá ser número de faces iguais, número de vértices iguais,
forma das faces laterais iguais ou semelhantes, etc.
ATIVIDADE 2 - Pesquisa
Respostas:
1 – O prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as
bases estão situadas em planos paralelos.
2 – Os prismas podem ser retos quando suas arestas formam com as bases
um ângulo de 90º ou oblíquos quando formam outros ângulos, sempre
diferente de 90º.
3 – Os elementos de um prisma são:
Base;
Altura;
Vértices;
Arestas da base;
Arestas laterais;
Faces laterais.
4 – As faces laterais de um prisma são quadriláteros representados por
retângulos, quadrados ou paralelogramos. O número de faces laterais será
exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui as suas bases
superior e inferior.
5 – De acordo com o polígono que representa a base dos prismas, este recebe
um nome especial:
- Prisma triangular: A base é constituída por triângulos;
- Prisma Quadrangular: A base é constituída por quadriláteros;
- Prisma Pentagonal: A base é constituída por pentágonos;
- Prisma Hexagonal: A base é constituída por hexágonos;
- Prisma Heptagonal: A base é constituída por heptágonos;
- Prisma Octogonal: A base é constituída por octógonos. E assim por diante.
6 – Nesta questão, espera-se que os alunos respondam sobre a capacidade de
armazenamento de caixas nesse formato, bem como a facilidade para o
transporte e empilhamento, entre outros fatores que podem ser citados por eles
ou relembrados pelo professor no momento da socialização.
ATIVIDADE 3 - Estudo de embalagens com o formato de prismas:
polígonos das bases; áreas e volume.
Respostas:
1 – As bases poderão ser triângulos, quadrados, retângulos, hexágonos entre
outros, de acordo com as embalagens presentes. A nomenclatura será em
função da base apresentada, conforme citado na questão cinco da atividade
anterior. Para calcular a área dessas bases, espera-se que os alunos façam
uso do conteúdo de geometria plana, já estudados. Caso não recordem, o
professor poderá auxiliar retomando alguns exemplos.
2 – Fazendo a planificação, os alunos irão perceber que as faces laterais do
prisma poderão ser retângulos, quadrados ou paralelogramos. Para determinar
essa área será necessário encontrar a área de uma face e ainda multiplicar
pelo número de faces laterais do prisma ou pelo número de lados da base.
3 – Espera-se que o aluno perceba que a área total é a junção das áreas das
bases com a área lateral do prisma. Para determiná-la é preciso encontrar a
área das bases de acordo com o polígono que as representam e somar com a
área lateral.
4 – Nesta atividade o professor deverá permitir que os alunos levantem
hipóteses de como poderá ser determinado o volume do prisma. Depois disso,
cabe ao professor mostrar a eles que o volume é o produto da área da base do
prisma pela sua altura.
ATIVIDADE 4 - Análise de imagens/embalagens/objetos que lembram
prismas e pirâmides.
Respostas:
1 – O prisma é formado por duas faces paralelas e congruentes chamadas de
bases, ligadas por arestas laterais, formando as faces laterais do prisma. A
pirâmide é formada por uma face inferior (base) e um vértice, ligado pelas
arestas laterais a cada vértice da base, formando as faces laterais. As faces
laterais do prisma podem ser retângulos, quadrados ou paralelogramos,
enquanto as faces laterais da pirâmide sempre serão triângulos.
2 – Os elementos que são identificados em uma pirâmide são:
Base;
Face lateral;
Aresta lateral;
Aresta da base;
Vértice da pirâmide;
Vértices da base;
Altura;
Apótema da base;
Apótema da pirâmide.
3 – No prisma também aparecem a base (mas neste caso são duas), os
vértices das bases, as faces laterais, arestas laterais, arestas da base e a
altura.
4 – Nesta questão, espera-se que o aluno relembre como é calculada a área de
um triângulo. Além disso, reconheça que a medida da altura do triângulo que
forma a face lateral corresponde a medida do apótema da pirâmide.
Observação: Nesta atividade o professor poderá retomar o Teorema de
Pitágoras, para ser aplicado em atividades seguintes que não apresentem
todos os dados para o referido cálculo.
5 – Para determinar a área da base, é necessário calcular a área do polígono
que representa a base da pirâmide. A área lateral é encontrada fazendo a área
de uma face lateral (triângulo) multiplicada pelo número de lados do polígono
que forma a base da pirâmide. E, finalmente, para encontrar a área total é
necessário fazer a junção da área da base com a área lateral da pirâmide.
6 –
a) O volume de um prisma é calculado multiplicando-se a área da base
pela altura do mesmo.
b) Para encher completamente um prisma com água é necessário utilizar
três medidas da pirâmide.
c) Espera-se que o aluno identifique que se o volume do prisma é o
produto da base pela altura e para encher completamente um prisma
são necessárias três medidas da pirâmide, conclui-se que o volume do
prisma é três vezes maior que o da pirâmide. Em outras palavras, pode-
se dizer que o volume da pirâmide é um terço do volume do prisma, ou
seja, é o produto da área da base pela altura, dividido por três.
ATIVIDADE 5 - Análise do tronco da pirâmide
Respostas:
1 – Espera-se que o aluno seja capaz de visualizar que o tronco de uma
pirâmide se forma a partir de uma secção transversal (ou um “corte” na
pirâmide, paralelo a base) a qual origina dois novos sólidos geométricos: uma
pirâmide menor que a original e semelhante a ela, e outro sólido que é
chamado tronco de pirâmide.
2 – A pirâmide é formada por uma base poligonal e um vértice, ligado aos
vértices da base por arestas laterais, formando faces triangulares. O tronco da
pirâmide é formado por duas bases paralelas e semelhantes, ligadas em seus
vértices por arestas laterais, formando faces no formato de trapézios.
3 – Os elementos do tronco são:
Duas bases: a base da pirâmide inicial chamada de base maior do tronco
e a base determinada pela secção transversal, semelhante a primeira,
chamada de base menor do tronco;
Faces laterais;
Altura do tronco, que é a distância entre as duas bases;
Apótema do tronco, que é a altura da face lateral;
Arestas laterais;
Arestas da base.
4 – As faces laterais de um tronco de pirâmide são regiões poligonais limitadas
por trapézios.
5 – Para determinar a área lateral de um tronco de pirâmide, é necessário
encontrar a área de uma face, ou seja, de um trapézio que a representa e
depois multiplicar pelo número de lados da base.
6 – Nesta questão, espera-se que o aluno perceba que a parte superior à
secção transversal forma uma pirâmide semelhante à original e que o volume
do tronco é a diferença entre os volumes da pirâmide original e a pirâmide
semelhante formada após a secção transversal.
QUARTA UNIDADE
ATIVIDADE 1 - Identificação de corpos redondos em objetos do cotidiano
Respostas:
1 – Sim. A bola de gude, a bola de sinuca, embalagens em formato cilíndrico.
2 - O cilindro, o cone e a esfera são chamados de corpos redondos porque
possuem superfícies arredondadas (não planas).
3 – A base dos sólidos que a possuem, neste caso, o cilindro e o cone, é um
círculo (não estão incluídos aqui os casos de cilindros e cones não circulares).
Enquanto a base dos poliedros sempre será um polígono com no mínimo três
lados/vértices.
4 - O cilindro pode ser reconhecido em objetos do dia a dia como: o rolo de
papel higiênico e de papel toalha, o tudo de tinta de uma caneta, algumas latas
de tinta, alguns modelos de copos, alguns modelos de lixeiros, nos rolos do
cilindro para massas/pães, tubos em geral, etc.
O cone pode ser identificado no chapéu de festa de aniversário,
casquinha de sorvete, etc.
A esfera está representada em bolas esportivas, decorativas, etc.
ATIVIDADE 2 - Estudo do Cilindro por meio da análise de embalagens e
outros objetos que lembrem esse formato.
Respostas:
1 – O círculo e a circunferência são dois termos geométricos que tratam de
duas coisas diferentes. O circulo é a superfície plana limitada por uma linha
curva cujos pontos são equidistantes de um mesmo ponto fixo que é chamado
de centro. A circunferência é a linha curva fechada que limita o círculo.
2 – Espera-se que ao manipular objetos que lembram cilindro e o sólido de
acrílico, o aluno seja capaz de encontrar os seguintes elementos:
As bases;
A superfície lateral;
A altura de um cilindro;
O raio das bases;
O diâmetro das bases.
Observação: Professor (a), nesta questão você deverá destacar que a reta que
passa pelos centros das duas bases é chamado de eixo. Os segmentos que
são paralelos ao eixo, com as extremidades na circunferência das bases, são
chamados de geratriz. A altura é a distância entre as duas bases. Em um
cilindro reto, a altura e a geratriz apresentam a mesma medida, mas no cilindro
oblíquo, estas medidas são diferentes. Neste material serão considerados
apenas cilindros circulares retos, denominados apenas por cilindros.
3 –
a - As bases são representadas por círculos de mesmo raio.
b – Espera-se que o aluno lembre que a área de um círculo é dada por A = πr2.
Caso não lembre, o professor deverá retomar este conceito para a conclusão
da atividade.
c – Espera-se que o aluno visualize que a superfície lateral é formada por um
retângulo. Talvez isto apenas torne-se possível após a planificação do sólido
geométrico.
d – Espera-se que o aluno compreenda que o total de material utilizado
corresponde a área total do cilindro, e, para determiná-la é necessário a soma
das áreas das bases com a área lateral.
e – Nesta questão, espera-se que o aluno perceba que assim como foi feito
nos prismas, para calcular o volume de um cilindro, deve-se multiplicar a área
da base pela altura.
ATIVIDADE 3 - Estudo do Cone por meio de objetos que lembram esse
formato
Respostas:
1 – Todos os objetos apresentam uma base na forma de círculo e um ponto
fora dele que é chamado de vértice, unidos por uma superfície lateral não
plana.
2 – Espera-se que o aluno relacione o cone com o cilindro e reconheça como
elementos do cone:
A base;
O vértice;
A geratriz;
O eixo;
A altura;
A superfície lateral;
O raio da base;
O diâmetro da base.
3 – A base do cone é um círculo e a superfície lateral corresponde a um setor
circular.
Observação: Professor(a) pode ser que os alunos tenham dificuldades de
associar a superfície do cone a um setor circular. Neste caso será necessário
retomar os conceitos acerca do setor circular para dar continuidade as demais
questões desta atividade.
4 – Para determinar a área da base do cone deve-se calcular a área do círculo
que a representa. Com relação à área da superfície lateral, o professor deve
destacar que o setor circular que forma essa superfície corresponde a uma
parte de uma circunferência completa de raio igual a geratriz do cone. O
cálculo da área lateral será feito determinando a área desse setor circular que é
dada por Al = πrg. A área total do cone será obtida por meio da soma da área
da base com a área da superfície lateral.
Observação: Professor (a), nesta questão poderá ser feita a demonstração da
fórmula para a área do setor circular por meio de uma regra de três simples.
5 –
a – O volume do cilindro é dado pelo produto da área da base pela sua altura.
b – Para encher completamente o cilindro com água, são necessárias três
medidas completas do cone.
c – Se é necessário três medidas do cone para encher o cilindro, significa que
o volume do cilindro é três vezes maior que o volume do cone. Podemos dizer
também, que o volume do cone é a terça parte do volume de um cilindro. Para
determinar o volume do cone deve ser feito o produto da área da base pela
altura e em seguida dividir esse valor por três.
ATIVIDADE 4 - Estudo do Tronco do cone por meio de materiais
manipuláveis
Respostas:
1 – A resposta dessa questão pode variar de acordo com a realidade do aluno.
Os objetos citados poderão ser: Alguns tipos de copo, de vasos decorativos, de
pote, de balde, cone de sinalização de trânsito, etc.
2 – Espera-se que o aluno seja capaz de reconhecer como elementos:
As bases formadas por dois círculos de tamanhos diferentes e seus
respectivos raios;
A altura;
A geratriz;
A superfície lateral do tronco de cone.
3 – As bases são formadas por círculos de raios diferentes. Para calcular a
área das bases será necessário calcular a área de cada círculo
separadamente.
4 – Para determinar a área total de um tronco de cone, deve-se somar a área
lateral e a área de cada base. A área da superfície lateral pode ser obtida
calculando a diferença entre as áreas laterais do cone original e do cone
menor, retirado a partir de uma determinada altura para dar origem ao tronco
do cone.
5 – O volume também pode ser obtido fazendo a diferença entre os volumes
dos dois cones: o original e o obtido após a secção transversal que forma o
tronco do cone.
ATIVIDADE 5 - Estudo da Esfera por meio de materiais manipuláveis
Respostas:
1 – A circunferência é uma figura geométrica plana formada por uma linha
fechada formada por pontos equidistante de um ponto localizado no centro
dessa figura. Um exemplo de circunferência é o contorno da forma de pizza.
O círculo é uma superfície plana limitada por uma circunferência. Pode-se dizer
que o círculo é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Um
exemplo de círculo é o fundo de uma forma de pizza.
E para definir uma esfera, deve-se considerar um número real positivo r e um
ponto C. Ela é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma
distância menor ou igual a r a partir do ponto C. Neste caso tem-se uma esfera
de raio r e centro C. Um exemplo muito comum da esfera é a bola de gude.
2 – Por se tratar de um sólido não transparente, pode-se visualizar apenas a
superfície esférica e por ser um objeto tridimensional, sabe-se que tem volume.
3 – Neste caso, será possível visualizar também o centro, o raio e o diâmetro
da esfera.
4 – Espera-se que o aluno seja capaz de reconhecer que a área de superfície
de uma esfera corresponde a todo o contorno da esfera ou a fronteira da
esfera. Em se tratando de uma laranja, pode-se associar a área da superfície
com a superfície da casca da laranja.
5 – A área de superfície de uma esfera é dada por A = 4πr2.
6 – O volume de uma bola de gude corresponde a quantidade de vidro utilizada
em sua confecção.
7 – A equação matemática que permite calcular o volume de qualquer esfera é
dada por .
Referências
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Tecnológica. PCN + Ensino Médio: Orientações Educacionais
Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais/ Ciências da
Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/ SEMTEC. 2002. p
23 – 32.
BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática sob um olhar de Educação Matemática e suas implicações para a construção do conhecimento matemático em sala de aula. Modelagem na Educação Matemática, v. 1, n. 1, p. 10-27, 2010. Disponível em: <http://gorila.furb.br/ojs/index. php/modelagem/article/view/2012>. Acesso em 15 jun 2016.
D’AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar matemática hoje. Temas e Debates.
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D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática - Elo entre as tradições e a
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DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações: Volume 2. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013. p. 182 – 237.
MÜLLER, Iraci. Tendências atuais de educação matemática. Revista de
Ensino, Educação e Ciências Humanas, v. 1, n. 1, 2000. Disponível em:
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PRANÁ, Secretaria de Estado de Educação. Diretrizes Curriculares
Estaduais de Matemática para os anos finais do Ensino Fundamental e
para o Ensino Médio. Curitiba: SEED, 2008.
PAVANELLO, Regina Maria. Por que ensinar/aprender geometria. VII
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SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática. 1. ed. São Paulo: FTD,
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VIANNA, Carlos Roberto. Resolução de Problemas. In: Futuro Congresso e
Eventos. (Org). Temas em EducaçãoI – Livro das Jornadas 2002. Curitiba:
Futuro congresso e Eventos, 2002, p. 401-410. Disponível em:
<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MA
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