1. Disciplina de BIOMECNICA DO MOVIMENTOMestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMDICA 4 Ano, 1 Semestre, 2011ANLISE DE UMA ESTRUTURA DE BARRAS A PARTIR DO MTODODOS ELEMENTOS FINITOSTRABALHO 1.15 Diana Santos* e Joana Paulo*** Diana Catarina Santos72459e-mail: diana.c.santos@ist.utl.com** Joana Margarida Ribeiro Paulo72455e-mail: joana.paulo@ist.utl.comPalavras-chave: Mecnica Computacional, Mtodo dos elementos finitos, Estrutura debarras, Rtulas, Trelias, Reaces nos apoios, Tenses em cada barra, Deformaes.Resumo: Este trabalho consiste no estudo, atravs do Mtodo dos Elementos Finitos, docomportamento de uma estrutura de barras ligadas por rtulas sujeitas aplicao de foras- Trelias. Inicialmente analisou- se uma estrutura composta por barras 2D na qual foramaplicadas foras, com o objectivo de aferir a configurao deformada do sistema, asreaces nos apoios, o valor da deformao num ponto e a tenso em cada barra. Para isso,recorreu-se ao software de computao numrica MATLAB , que a partir das coordenadasdas extremidades de cada barra, da sua seco, do mdulo de elasticidade do material que ascompe, das coordenadas dos pontos fixos do sistema e do mdulo das foras aplicadas e doseu ngulo com o eixo, calcula todas as variveis acima indicadas e as apresenta aoutilizador. As foras aplicadas vo provocar alteraes na estrutura inicial e, por isso, oobjectivo do trabalho determinar a estrutura final deformada (em equilbrio), as reacesnos apoios, a deformao num ponto pedido e as tenses em cada barra.

2. Santos, Diana e Paulo, Joana1. INTRODUO A rea de Mecnica Computacional destaca-se pelo seu crescente desenvolvimento epela sua vasta gama de aplicaes, sendo essencial na formao de estudantes e futurosengenheiros. Em especial para os engenheiros biomdicos, o conhecimento de ferramentascomputacionais preditivas permite a construo de modelos mecnico-biolgicos sofisticadoscapazes de antecipar, com preciso, os resultados de importantes procedimentos mdicos.Neste mbito procedemos a uma aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos anlise de umaestrutura de barras, mais propriamente trelias. O objectivo deste trabalho consiste em usar os conhecimentos adquiridos sobremecnica estrutural para implementar computacionalmente um programa que nos permitaresolver um problema com um sistema de barras 2D em que so aplicadas foras, com recursoao mtodo dos elementos finitos. A resoluo do problema passa por encontrar a configuraodeformada, as reaces nos apoios, o valor do deslocamento nos diferentes pontos do sistemae a tenso em cada barra. Por forma a automatizar os clculos inerentes ao mtodo doselementos finitos, usmos o MATLAB, pelas suas caractersticas de manipulao numrica.2. METODOLOGIA No caso especfico do nosso sistema, so apresentadas 7 barras 2D articuladas em 5pontos (dos quais 2 esto fixos) e aplicao de duas foras, como representado na figura 1.Figura 1 - Exerccio proposto 1.15Sendo: F = 2kN, P = 5kN, A=1.0 m, B=1.5 m, a = 10 mm e b = 20 mm, ! = 30 3. Santos, Diana e Paulo, Joana2.1. Mtodo dos elementos finitos (MEF) De uma forma geral, o mtodo dos elementos finitos a modelao de um problemagenrico que envolve meios contnuos, atravs da anlise de partes discretas desses meios,para os quais possvel conhecer ou obter uma descrio matemtica do seu comportamento;ou seja, estudando o comportamento de cada elemento de uma estrutura em particular, poder-se- generalizar e determinar o comportamento de toda estrutura.Figura 2 - Elemento de barra para aplicao do mtodo de elementos finitos. A este processo de anlise estruturada das partes em detrimento do todo d-se o nomede discretizao. O mtodo dos elementos finitos consiste, essencialmente, em trs passos: Diviso em elementos finitos: divide-se o domnio a analisar em vriossubdomnios, elementos. Cada elemento est ligado aos elementos vizinhos por ns. Oconjunto destes elementos a chamadas rede de elementos finitos. Equaes dos elementos: aps a diviso do domnio necessrio encontrarequaes aproximadas interpoladoras dos ns para cada elemento. Assemblagem das equaes dos elementos: necessrio ligar todos oselementos do domnio de modo a garantir a continuidade e diferenciabilidade da soluo,tendo em conta as condies de fronteira, as quais podem ser foras aplicadas. Sabendo ocomportamento para os pontos do elemento pode-se aproximar o comportamento para o restodo elemento. A soluo para o nosso problema passa pela resoluo do sistema montado. No casodo tipo de problema que proposto resolver neste trabalho, so usadas barras. Pode-se, assim,particularizar para o caso das barras e obter a equao diferencial para barras. Note-se que,por definio, uma barra tem apenas foras axiais. Para qualquer problema de barras a equao diferencial dada por: 4. Santos, Diana e Paulo, Joana ! !" !" !" !" = ! !(1) Em (1), x [0, he] em que he representa o comprimento do elemento, u o campo dedeslocamentos, E o mdulo de elasticidade (Young) e A a rea da seco transversal dabarra, sendo que EA a rigidez axial e f a fora axial da barra. Para a resoluo da equao (1) necessrio encontrar funes aproximadas de modoa que as condies de fronteira, que so normalmente conhecidas para = 0 e/ou = he, sejamrespeitadas. As funes podem ser dadas por: !!"#$%& =! !!=1 !! !! (2)onde !i so as funes base e ! so constantes. necessrio garantir no s as condies deifronteira essenciais (u variveis primrias), o que corresponde a definir os valoresconhecidos de !(!), mas tambm as condies de fronteira naturais (u variveissecundrias). Estas esto relacionadas com as foras pela frmula (3). !" ! !" !"=!(3) Como foi referido anteriormente, o que se pretende calcular so as soluesaproximadas (2). No entanto, se substituirmos a equao (2) directamente na equao (1), asoluo impossvel ou indeterminada. Para contornar este problema multiplicamos aequao (1) por uma funo peso, w(x), e integrando no domnio de 0 a L possvel obteruma soluo aproximada que verifica em mdia essa igualdade. O integral ponderado designado por Formulao Fraca (ou formulao variacional) da equao diferencial e dadopor: ! ! !" ! !"! ! ! ! !" = 0, ! !!"#$%%!"# (4) !"!" Sendo w(x) a funo peso. Nas fronteiras do elemento barra so impostas condies condies de fronteira.Estas podem ser essenciais ou naturais. As primeiras correspondem a deslocamentos impostosem x=0 e/ou x=L, o que faz com que nesses ns a funo peso seja nula, e as segundas 5. Santos, Diana e Paulo, Joanacorrespondem a foras impostas (A.E.u). Figura 3 Elemento da barra ainda possvel obter este integral para um elemento, como na figura 3, alterando oslimites de integrao para xa e xb. Se em (4) substituirmos o u(x) pela sua soluo aproximada(1) vamos obter um sistema de equaes que nos permite calcular !! . Definindo as condies de fronteira Q1 e Q2 obtidas atravs de (3) para os pontos x=xae x=xb e integrando por partes vamos obter a forma fraca, ou seja:!!!!!" !" !!!! ! ! !! EA !" !" !" =!! !"#$ + !! ! !! + !! !!!! , ! !!"#$%%!"# (5)em que Q representa as condies fronteira: !" !" !! = !" !"!! = !" !"(6)!!!! !!!!!! Uma vez que o elemento barra um elemento linear, pois possui dois ns, comodemonstrado na figura 3, e a soluo aproximada do tipo:!!! !! = !! + !! ! (7)onde h o comprimento da barra e dado por xb-xa. Calculando a soluo aproximada em cadan, resolvendo-a em ordem a c1 e c2 e sabendo que!!! ! !! = !! !!!!!obtemos as solues interpoladoras que neste caso so polinmios de Lagrange de 1 grau ! !!!!! = 1 (!) !! = (!) (8) !!!!onde x a coordenada local. 6. Santos, Diana e Paulo, Joana Finalmente, substituindo na equao (5) a equao obtida em (8) obtm-se: ! !!!!! !"!! !" !!!! !!!" !!! !"!!!" =!!!"#$+ !! ! !! + !! ! !!!! , ! ! !"#$%%!"#(9)!" Neste momento, necessrio ainda substituir a funo do peso. Inicialmente, substitui-se a funo peso pela primeira funo de base que toma o valor1 em xe e 0 em xe+1 ; depois pela segunda funo de base que toma os mesmos valores nospontos opostos. Assim, pode-se escrever a igualdade representada pela equao anterior naforma:! ! !! = ! !(10)em que [Ke] a matriz de rigidez e {Fe} o vector das foras e cujas expresses analticas sorespectivamente:!!!! !! !!!!!!K! = !"!! EA !"! !"! dx F!! = !! f! dx + Q!(11) A matriz de rigidez [Ke], especificada para o elementos de barras dada por:!" 1 1 !! = (12)!!11 O que foi feito at agora aplica-se a um problema de barras mas pode ser aplicado aqualquer problema unidimensional. Podemos tambm generalizar para o caso 2D (o casousado para a resoluo do exerccio dado), onde as foras e os movimentos podem ocorrersegundo x ou y. Se considerar uma barra na horizontal temos:1 0 1 0 ! !" 0 0 0 0 ! = !! 1 0 1 0(13)0 0 0 0 Como existe vantagem em utilizarmos um referencial local temos que ter o cuidado depassar de coordenadas do referencial local de cada elemento finito, para o referencial globalatravs da seguinte transformao!! = !! !! !! (14) 7. Santos, Diana e Paulo, Joanacos ! !cos ! sin !cos ! !cos ! sin ! !! = !" cos ! sin ! sin ! cos ! sin ! sin! !! (15) !!cos ! ! cos ! sin ! cos ! ! cos ! sin !!cos ! sin ! sin !cos ! sin ! sin! !em que [Te] a matriz de transformao de coordenadas e o ngulo que o referencial localfaz com o global. Para sistemas com mltiplas barras necessrio construir a matriz de rigidez global[KG]. Para tal, comum recorrer-se a uma matriz de conectividades, que relaciona os graus deliberdade do sistema local com os graus de liberdade do sistema global. Para sistemasbidimensionais, [KG] surge ento como uma matriz nn, onde n o dobro do nmero de nsdo sistema.3. IMPLEMENTAO EM MATLABA implementao computacional do mtodo dos elementos finitos foi feita em MATLAB,. Oprograma foi desenvolvido de forma a permitir uma utilizao fcil e rpida por parte doutilizador. Para iniciar a sua utilizao o utilizador dever abrir o MATLAB, abrindo adirectoria onde os ficheiros se encontram e escrever choose_interface() .3.1. Dados introduzidos pelo utilizador Coordenadas das extremidades (inicial e final) para cada barra, bem como as condiesfronteira (pontos fixos); Mdulo das foras e o seu respectivo ngulo com a horizontal; Propriedades dos materiais; Mdulo de Young do material, que no nosso caso ao, com mdulo de Young 2.1x1011; rea de seco da barra (neste caso, igual para todas 200x10-4m2).3.2. MEF Processamentos de dadosPara utilizar o programa elaborado deve executar-se, em primeiro lugar, a funo 8. Santos, Diana e Paulo, Joanachoose_interface, criada com o intuito de facilitar a introduo de dados pela parte doutilizador. Esta funo chama uma outra funo main, assim denominada por possuir todo oalgoritmo necessrio resoluo do sistema proposto, clculo da deformada (deslocamentos eapresentao grfica da deformada), reaces nos apoios e tenses em cada barra. Com os dados introduzidos pelo utilizador, o programa calcula inicialmentecomprimentos e ngulos das barras com a horizontal. Segue-se ento o clculo da matriz de conectividades, que calculada pela comparaocom o elemento genrico para barras unidas por rtulas (em que cada n possui dois graus deliberdade). Computacionalmente, essa matriz iniciada na primeira linha com os graus deliberdade 1, 2, 3, e 4. O algoritmo usado para calcular esta matriz associa os graus deliberdade s coordenadas dos ns, de tal forma que para as mesmas coordenadas x e y, atribuios graus de liberdade que foram usados na linha anterior para essas coordenadas. Se ascoordenadas ainda no possurem graus de liberdade associados, ento o algoritmo atribui-lheos dois nmeros seguintes aos mais altos j usados na matriz de conectividades. Esta matriz til para o preenchimento da matriz de rigidez global, que soma os valores das contribuiesde cada elemento (barra) para a rigidez global. Estes valores so dados pelas matrizes derigidez local, para cada elemento. Em termos de programao, a matriz de rigidez global calculada pela procura de pares de graus de liberdade, correspondentes a cada n na matriz deconectividades e pelo uso desses ndices de pesquisa para procurar o valor a somar noelemento dado pelo nmero da linha da matriz de conectividades (nmero do elemento). Criada a matriz de rigidez global, segue-se a definio das condies fronteira que feita com base, nos dados introduzidos pelo utilizador, relativamente aos pontos fixos. Nestespontos fixos (em x, y ou xy), o deslocamento zero. Como tal, procede-se ao clculo dosdeslocamentos dos ns para cada um dos seus graus de liberdade, em que [Q] zero (no hdeslocamento), atravs da expresso: K ! ! = F ! + Q(16)em que, como j foi descrito anteriormente, K ! a matriz de rigidez global, {e} o vectordos deslocamentos e [Q] o vector das reaces. Calculados os deslocamentos, para os ns em que eles existem, pretende-se tambm 9. Santos, Diana e Paulo, Joanacalcular as reaces nos apoios, e portanto resolver o sistema anterior, desta vez para o casoem que [Q]0. Assim sendo, como j so conhecidos os valores de deslocamento, j possvel obter as reaces nos apoios, portanto para os ns em que ! =0.Q = K ! ! F ! (17) importante notar que F ! corresponde s foras externas aplicadas em cada n,decompostas em cada uma das direces. ainda pedido que sejam calculados os valores de tenso em cada barra. Sabendo que:!!=! (18)em que a deformao, E, o mdulo de Young e L, o comprimento inicial das barras.O programa desenvolvido calcula as tenses atribuindo deformao o valor dadiferena entre o comprimento das barras deformadas e o valor do comprimento das barras,no seu estado inicial.3.3. Interface Grfica Guide User Interface (GUI)Tal como referido anteriormente, para o utilizador poder resolver ora problemaspropostos, ora introduzir novos dados para um novo problema, criou-se uma interface grficapara introduo e apresentao de dados. As imagens seguintes ilustram o que esta interfacepermite ao utilizador: 1. Executar o programa para um exerccio proposto pelo professor: Figura 4 Interface: escolher modo de introduo dos dados 10. Santos, Diana e Paulo, Joana 2. Definir a escala de ampliao dos valores da deformao, para melhor visualizao: Figura 5- Interface: definio da escala para visualizao da deformada3. Caso o exerccio esteja inserido numa folha de excel de acordo com a disposio pre- determinada (Anexo 1), o utilizado pode simplesmente escolher introduzir o ficheiro. Caso na primeira interface a opo tenha sido manualmente, ter de introduzir as coordenadas das extremidades das barras, tal como as foras e propriedades intrnsecas ao material (se todas as barras tiverem a mesma rea e/ou tiverem o mesmo mdulo de Young, deve colocar uma tag em Manter Dados). Figura 6- Interface: introduo de dados manualmente No canto superior esquerdo indicada o nmero da barra que est a introduzir a cadamomento. Ao escolher Adicionar Barra apresentado outro menu que permite ao utilizadoradicionar mais barras ou terminar a insero de barras, passando assim automaticamente parao clculo do sistema. 11. Santos, Diana e Paulo, Joana Figura 7- Interface: Introduo de uma nova barra Todos os resultados considerados importantes so demonstrados na janela comandos doMATLAB. De forma a simplificar a compreenso do cdigo desenvolvido, criou-se um fluxogramacom a estrutura geral da metodologia implementada. Figura 8 Fluxograma da metodologia implementada 12. Santos, Diana e Paulo, Joana 3.4. Guia do UtilizadorPara realizar o exerccio 1.15 proposto, o utilizador dever efectuar os seguintes passos: 1. Abrir o ficheiro choose_interface.m e executa-lo; 2. Escolher introduzir os dados por um ficheiro do Excel, selecionando o ficheiro Exercicio1.15.xls. (No anexo 1 so especificados todos os parmetros necessrios para o preenchimento da tabela necessria resoluo do exerccio). 3. Escolher a escala de ampliao da deformada (para o nosso caso deve ser usada uma escala=1000, mas depende do material de constituio das barras e das foras aplicadas ao sistema); 4. Obter o desenho da deformada, cujas cores das barras so proporcionais aos valores de tenso das mesmas; 5. Obter na janela de comandos do MATLAB os valores de deslocamento, reaces nos apoios e tenses na linha de comandos.4. RESULTADOS E DISCUSSOTabela 1 Resultados gerais obtidos para o exerccio 1.15.Grau deCoordenadasDeslocamentos Reaces nosForas liberdade (m) apoios (N)externas (N)1N 1 x -0 -1.1e-0040 -2598,12y-1.5 -4.7e-0050-15003N 2 x -1 -4.3e-005004y1.5 -5.5e-0050-20005N 3 x-2 0-1500 06y-1.50 47007N 4 x-1 4.7e-006008 y-0-3.2e-005009N 5 x-0 0 7100 10 y-0 0300 DeslocamentosComo possvel de constatar pelos resultados apresentados na tabela acima, osdeslocamentos no nulos so negativos para todos os ns em todas as direces excepo dadireco x do n 4, em que h um deslocamento, embora muito pequeno, para a direita. Estesresultados permitem-nos ento afirmar que h um deslocamento vertical para baixo dos ns 1, 13. Santos, Diana e Paulo, Joana2 e 4 e um deslocamento desses pontos tambm para a esquerda excepo do ponto 4, comoanteriormente referido. Nos ns 3 e 5, os deslocamentos so zero devido s condiesfronteira impostas pelo utilizador, isto na definio dos pontos fixos, que neste caso so o 3e o 5, em ambas as direces x e y. Os valores tabelados esto de acordo com a deformao prevista para esta estrutura,uma vez que esta sofre a aplicao de uma fora de 3000N, com uma componente de 2598 Nna direco negativa de x no ponto 1, o que desvia a estrutura para a esquerda e uma fora de2000N no ponto 2 e a componente y da fora aplicada no ponto 1 (-1500N), o que desvia aestrutura para baixo. Para a apresentao da deformada crimos uma interface grfica capaz de mostrar todos osresultados pretendidos de uma forma simples e prtica, nomeadamente, a configuraooriginal (atrs a cinzento) juntamente com a configurao deformada da estrutura (a cores),como demonstrado na figura 9. Analisando a configurao deformada da estrutura pode-se afirmar que o processo deassemblagem foi convenientemente realizado uma vez que se verifica continuidade nos vriosns.Figura 9 Deformada resultante do exerccio 1.15 14. Santos, Diana e Paulo, Joana Reaces nos apoios Neste exerccio existem dois pontos fixos ([0,0] e [2,1.2]), de tal forma que soesperadas apenas reaces nos sentidos x e y para cada um dos dois ns. Os nossos resultadosapresentam estas 4 reaces nos apoios, no entanto, os valores obtidos no so os esperados,pois o n 3 apresenta uma reaco de -1500N, valor que deveria de ser positivo de forma aopor-se s foras que esto a ser aplicadas nas barras a que este ponto est ligado. Para que o sistema esteja em equilbrio necessrio que o somatrio de todas as forasna direco x seja 0, assim como para a direco y.!" = !1! + !2! + !5! + !9! (19)!" = 2598,1 + 0 1500 + 710 = 3388,1(20)!" = !1! + !2! + !5! + !9! (21)!" = 1500 2000 + 470 + 30 = 3000 (22) Como se pode verificar pelas equaes apresentadas em anteriormente, o nossoprograma no est a calcular correctamente as reaces nos apoios, dados que o somatrio dasforas nestas componentes no 0. Tenses nas barras As cores apresentadas em cada barra ajudam-nos a perceber o cenrio do qual estamospresentes, relativamente aos valores de tenso. Como possvel de verificar na imagemapresentada em cima, o vermelho corresponde a valores de tenso mxima e o azul-escuro atenso mnima. Isto implica que, barras com cores entre o verde e o vermelho esto traco,pois apresentam valores positivos de tenso e barras com cores entre o azul cu e o azul-escuro correspondem a barras que se encontram compresso, pois apresentam valoresnegativos de tenso.Desta vez os resultados esto de acordo com os resultados esperados, dado que, abarra 1 (0,1.5)-(1,1.5) que est sujeita a duas foras a que apresenta maior valor de tenso eas barras mais distantes do ponto de aplicao das foras apresentam cores azuladas, ou sejatenses inferiores. 15. Santos, Diana e Paulo, JoanaTabela 2 Tenses obtidos para o exerccio 1.15.Barra Tenso (Pa)11.4e+00729.1e+00632.8e+00649.8e+00555.8e+0066-8.1e+0067-6.6e+0068-3.2e+0065. CONCLUSESConclumos que o nosso programa, embora resolva a generalidade dos problemas debarras unidas por rtulas, pelo mtodo dos elementos finitos, apresenta em alguns casos (doqual o nosso exemplo), de valores de reaces nos apoios que no so correctos, embora osdesenhos das deformadas sejam satisfatrios.Estes resultados podero reflectir eventuais erros no cdigo. No entanto, aps longastentativas de validao, continuaram a obter-se valores no esperados para as reaces nosapoios. Foram feitos inmeros testes, em que foi possvel observar a variao da deformadade acordo com as propriedades dos materiais e as foras aplicadas ao sistema.REFERNCIAS[1] J. Folgado, Apontamentos da Disciplina de Biomecnica do Movimento, DEM, IST, 2011[2] S. Hall, Basic Biomechanics, 2nd Edition, Mosby, 1995.[3] K. U.Schmitt, P.Niederer e F. Walz, Trauma Biomechanics, Springer-Verlag, NY, 2004.[4] J. Jaln e E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems The Real-Time Challenge, Springer-Verlag, NY, 1993. 16. Santos, Diana e Paulo, JoanaANEXO 1 Figura 10 Demonstrao de insero de dados do Excel (Exerccio 1.15)No ficheiro Excel, caso o utilizador necessite alterar valores deve introduzir: Coordenadas do primeiro n (inicial) em x e em y; Coordenadas do segundo n (chegada) em x e em y; Pontos Fixos (caso a coordenada tenha ponto fixo =1, caso contrrio =0); rea da seco em milmetros (mm); Mdulo de Elasticidade (Young) em Pascal (Pa); Foras em Newton (N); ngulos em graus ();O exemplo acima demonstrado est definido para 8 barras. Havendo a necessidade deadicionar mais barras, o utilizador necessitar de introduzir novas linhas no ficheiro Excel.Aps a insero de dados estar concluda, dever guardar o novo ficheiro .xls na mesma pastaonde se encontra o cdigo fonte.