Il Modello di Solow (1956)

Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., University of London)�

Università degli Studi della Calabria

Modelli Macroeconomici

a.a. 2011 - 2012

Iniziamo a studiare il modello di Solow (1956) il quale rappresenta il

benchmark di riferimento di tutta la teoria neo-classica della crescita eco-

nomica. Il modello è anche noto come modello di Solow-Swan poiché svilup-

pato simultaneamente (ma separatamente) dai due autori. Come vedremo il

modello di Solow spiega il processo di accumulazione di capitale all�interno

di una determinata economia.

�Università della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica; E-mail :giurose@unical.it; Homepage: www.ecostat.unical.it/Rose. Tel. 0984-492446.

1

1 Setup generale

1.1 La Funzione di Produzione Aggregata

Si consideri un�economia caratterizzata dalla seguente funzione di produzione:

Yt = F (Kt; At � Lt) (1)

dove t indica il tempo,Y indica la produzione (output), F (:) indica una gener-

ica funzione implicita, K indica il capitale, A indica la tecnologia ed L indica

il lavoro. Si noti che tale funzione di produzione è detta "funzione di pro-

duzione con tecnologia neutrale nel senso di Harrod". Infatti la tecnologia

non è complementare al capitale o ad entrambi i fattori, ma essa è comple-

mentare solo al fattore lavoro. Il termine importante è quindi At � Lt poiché

esso indica che ogni miglioramento della tecnologia (A ") rende il lavoro più

produttivo. Solitamente A � L sono de�nite "unità e¤ettive di lavoro".

Si suppongano soddisfatte le seguenti ipotesi:

1. La funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti. Questa

ipotesi implica che se si raddoppiano entrambi i fattori di produzione

si ottiene il doppio della produzione. Di conseguenza se prendiamo

2

l�equazione (1) e dividiamo entrambi i lati per At � Lt otteniamo:

YtAt � Lt

= F (Kt

At � Lt; 1) (2)

Tale espressione può essere scritta in forma intensiva nel modo seguente:

yt = f(kt) (3)

dove yt = YtAt�Lt rappresenta l�output per unità e¤ettive di lavoro e

kt =Kt

At�Lt rappresenta il capitale per unità e¤ettive di lavoro.

2. Ogni fattore produttivo ha rendimenti decrescenti. Di conseguenza:

@F

@K> 0;

@2F

@2K< 0

e

@F

@L> 0;

@2F

@2L< 0:

Nella forma intensiva queste ipotesi implicano che:

@f

@k= f 0(k) > 0;

@2f

@2k= f 00(k) < 0:

3

Date queste ipotesi possiamo disegnare la funzione di produzione in

forma intensiva f(kt) come illustrato nella Figura 1.

1.2 Ipotesi generali

1. L�economia è chiusa.

2. Il tasso di risparmio di questa economia è esogeno ed è indicato con la

lettera s:

In generale, si consideri una generica variabile xt: Durante tutto il nostro

corso, indicheremo con il simbolo _x la derivata della variabile x rispetto al

tempo, ovvero _x = @x@t: Più semplicemente, poiché la variabile x è funzione

del tempo t, la derivata rispetto al tempo ( _x) ci indica come varia la variabile

x da un istante all�altro. In generale, se dividiamo _x per il suo valore iniziale

xt otteniamo il tasso di crescita della variabile x :

Tasso di crescita =_x

x: (4)

Alla luce di questa premessa, consideriamo il fattore lavoro Lt: Se assumiamo

che la popolazione lavorativa cresce da un anno all�altro ad un tasso costante

4

Figure 1: La funzione di produzione in forma intensiva.

5

(esogeno) n, noi sappiamo che:

Tasso di crescita della popolazione = n =_L

L: (5)

Consideriamo adesso la tecnologia At. Se assumiamo la tecnologia progre-

disca ad un tasso costante (esogeno) g, possiamo scrivere:

Tasso di progresso tecnologico = g =_A

A: (6)

Consideriamo adesso l�evoluzione del capitale Kt da un istante all�altro del

tempo ovvero _Kt:1 Si noti che il modello ha come obiettivo proprio quello di

spiegare il processo di accumulazione del capitale per cui questo non è es-

ogeno, bensì endogeno ovvero deve essere spiegato dal modello e non imposto

a priori. In generale, l�evoluzione del capitale nel tempo è data da:

_Kt = It � �Kt (7)

1In questo caso la derivata prima rispetto al tempo è indicizzata con il pedice t. Seil pedice non ci fosse questo implicherebbe che la variazione della variabile considerataè costante e quindi la derivata prima non è funzione del tempo (come per L ed A). Inquesto caso, invece, poichè noi non sappiamo se la derivata prima del capitale è costantenel tempo (la dobbiamo determinare nel modello) dobbiamo mantenere il pedice t:

6

dove It indicano gli investimenti fatti al tempo t (quindi indicano quanto

capitale si crea al tempo t): Il termine � indica il tasso di deterioramento

del capitale, quindi il termine �Kt indica quanto capitale (esistente) diventa

inutilizzabile.

2 Soluzione del Modello

Poiché l�investimento è dato dalla parte del reddito Yt che viene risparmiata

e non è stata consumata (si ricorda che in una economia chiusa il risparmio

è pari all�investimento) possiamo scrivere l�equazione (7) nel modo seguente:

_Kt = sYt � �Kt (8)

ovvero

_Kt = sF (Kt; At � Lt)� �Kt: (9)

A questo punto si noti quanto segue. L�equazione sopradescritta è un�equazione

di¤erenziale poiché essa mette in relazione la variazione di una variabile ( _Kt)

con il livello della variabile stessa (Kt). Per studiare questa relazione - e

quindi capire cosa accade al processo di accumulazione del capitale con il

7

passare del tempo - è conveniente dividere entrambi i lati dell�eq. (9) per le

unità e¤ettive di lavoro. Così facendo, sfruttando le proprietà della funzione

F (:) che abbiamo descritto in precedenza otteniamo:

_Kt

At � Lt= sf(kt)� �kt: (10)

E� importantissimo notare che, sfortunatamente, _Kt

At�Lt 6= _kt: Infatti _kt =��Kt

At�Lt

�. A parole, il lato sinistro della relazione (10) fa la derivata del capitale

rispetto al tempo e poi la divide per le unità e¤ettive di lavoro. Questa

operazione è diversa da quella indicata con il termine _kt poichè questa ci dice

"prendi il capitale per unità e¤ettive di lavoro e fai la derivata rispetto al

tempo" ovvero deriva rispetto al tempo l�intera espressione kt = Kt

At�Lt : Al �ne

di avere nell�eq. (10) soltanto termini che siano espressi come k dobbiamo

quindi fare degli ulteriori passaggi.

Consideriamo l�espressione kt = Kt

At�Lt e facciamo la derivata rispetto al

tempo (così facendo otteniamo _kt). La derivata è data da:

_kt =_Kt(At � Lt)�Kt( _ALt + _LAt)

(At � Lt)2(11)

8

ovvero:

_kt =_Kt

(At � Lt)� Kt

(At � Lt)

_ALt + _LAtAt � Lt

!(12)

ovvero:

_kt =_Kt

(At � Lt)� kt

_A

At+_L

Lt

!(13)

ovvero:

_kt =_Kt

(At � Lt)� kt (g + n) : (14)

Così facendo abbiamo ottenuto un�espressione per _Kt

(At�Lt) che possiamo sosti-

tuire nella relazione (10), infatti:

_Kt

(At � Lt)= _kt + kt (g + n) : (15)

Sostituendo l�eq. (15) nell�eq. (10) otteniamo:

_kt + kt (g + n) = sf(kt)� �kt (16)

ovvero:

_kt = sf(kt)� (� + g + n)kt: (17)

L�espressione che abbiamo ottenuto è l�equazione cruciale di tutto il modello

9

di Solow. Essa è sempre un�equazione di¤erenziale (questa volta espressa

in _k). Per risolvere questa equazione di¤erenziale dobbiamo domandarci se

esiste uno stato stazionario ovvero se esiste un qualche istante di tempo in

cui _kt = 0: Se troviamo lo stato stazionario abbiamo trovato una situazione

in cui il capitale per unità e¤ettive di lavoro non si modi�ca nel tempo. Lo

stato stazionario si ha nel momento in cui è veri�cata la seguente condizione:

_kt = 0 (18)

ovvero:

sf(kt) = (� + g + n)kt: (19)

La situazione può essere descritta nel seguente modo. Il lato sinistro della

precedente equazione è detto investimento richiesto o investimento neces-

sario. Esso ci dice che il capitale per unità e¤ettive di lavoro si riduce sempre

col passare del tempo per tre ragioni che sono tutte incluse nel lato destro

dell�eq. (19). La prima è che lo stock do capitale K si deprezza ad un tasso �

per cui il capitale per unità e¤ettive di lavoro k = KALdiventa sempre più pic-

colo inquanto si riduce il numeratore. La seconda e la terza ragione risiedono

nel fatto che le unità e¤ettive di lavoro crescono sempre (per ipotesi) a causa

10

Figure 2: Lo stato stazionario

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del progresso tecnologico (g) e della crescita della popolazione (n) e quindi

cresce il denominatore. Quindi il capitale per unità e¤ettive di lavoro si riduce

sempre con il passare del tempo e convergerebbe a zero. Di conseguenza, uno

stato stazionario può esistere solo se viene creato nuovo capitale, creato attra-

verso gli investimenti (sf(kt)) che nell�eq. (19) rappresentano l�investimento

e¤ettivo, e solo se l�investimento e¤ettivo è creato in misura tale da com-

pensare la riduzione del capitale ovvero l�investimento necessario. Quando

questo si veri�ca siamo esattamente nella situazione descritta dall�eq. (19) e

questo è uno stato stazionario.

Gra�camente, la situazione è descritta nella Figura 2. In questa �gura è

facile vedere come lo stato stazionario sarà sempre raggiunto indipendente-

mente dal livello di capitale k da cui si parte. Infatti se k < k� noi avremo che

l�investimento e¤ettivo (sf(k)) supera l�investimento richiesto a¢ nchè il cap-

itale rimanga costante ((�+n+g)k) e questo implica che il livello di capitale

che si accumula cresce e si avvicina a k�: Poiche il capitale ha (per ipotesi)

rendimenti decrescenti, il fatto che si continui ad accumulare capitale gen-

era aumenti sempre più piccoli della produzione e quindi, a parità di tasso

di risparmio, genera investimenti sempre più piccoli. In k� l�investimento

e¤ettivo non è più in grado di spingere oltre il processo di occumulazione

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del capitale poichè esso ha raggiunto una dimensione tale da far si che il

suo deprezzamento compensa esattamente il nuovo capitale creato. Appare

chiaro che se fossimo in un punto con k > k� avremmo che l�investimento

richiesto supera l�investimento e¤ettivo, per cui il livello di capitale disponi-

bile nell�economia si riduce �no ad arrivare ad un livello pari a k�:

3 Considerazioni 1: La Crescita Esogena

Nello stato stazionario k� si genera un così detto balanced growth path ovvero

un processo di crescita bilanciato in cui tutte le variabili crescono sempre

ad un tasso costante. In questo punto la nostra variabile endogena e cioè il

capitale K cresce ad un tasso costante che è pari al tasso a cui crescono le

unità e¤ettive di lavoro ovvero (n+ g). Infatti poichè kt = Kt

AtLtnoi abbiamo

che:

Kt = ktAtLt: (20)

Prendendo i logaritmi di entrambi i lati della precedente espressione otteni-

amo:

logKt = log kt + logAt + logLt (21)

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Facendo la derivata rispetto al tempo di entrambi i lati otteniamo che:

1

Kt

_Kt =1

kt_kt +

1

At_A+

1

Lt_L: (22)

Poichè nello stato stazionario _kt = 0; noi avremo che il tasso di crescita del

capitale ( _Kt

Kt) è dato da:

_Kt

Kt

= g + n (23)

Nello stato stazionario K cresce ad un tasso costante dato dalla somma dei

tassi di crescita di L e A. Poichè abbiamo supposto che la funzione di

produzione F (:) è caratterizzata da rendimenti di scala costanti, in virtù del

fatto che tutti i fattori produttivi (K ed A � L) crescono con il passare del

tempo ad un tasso (n+ g) noi avremo che l�output Y nello stato stazionario

cresce sempre e cresce ad un tasso che è proprio (n + g). Ne consegue che

l�output per lavoratore ovvero il Pil pro-capite di una economia cresce sempre

ad un tasso costante che è pari a g ovvero è determinato dal tasso di progresso

tecnologico. Infatti per sapere a quale tasso cresce il rapporto Y=L ovvero il

pil pro-capite non dobbiamo far altro che prendere i logaritmi del rapporto

e dericare rispetto al tempo. Il risoltato sara che il tasso di crescita del Pil-

procapite è dato dal tasso di crescita del Pil (che è n + g) meno il tasso di

14

crescita della popolazione (che è n) per cui:

Tasso di crescita del Pil procapite =

��Y

L

�= g (24)

Questo risultato ci dice che se un�economia vuole migliorare il tasso di crescita

del pil procapite deve far crescere il tasso di crescita della tecnologia ovvero

deve accellerare il suo progresso tecnologico. Si noti come questo risultato,

pur molto interessante, rappresenta il punto debole di tutto il modello poichè

dal modello non si capisce come fare ad anmentare g: Nel modello di Solow

g non è spiegato ma è esogeno (il modello è anche detto modello con con

crescita esogena) per cui non ricaviamo informazioni su quello che si può fare

per aumentare il livello di crescita del pil procapite in stato stazionario.

4 Considerazioni 2: Il Ruolo del Tasso di Risparmio

Nella Figura 2 è facile notare che il livello di output per unità e¤ettiva di

lavoro (yt) che verrà prodotto nello stato stazionario dipende dal tasso di

risparmio s: Esso, infatti, determina la posizione nello spazio della curva

sf(kt) e quindi determina lo stato stazionario k�: Cosa accade ad una econo-

mia se cresce il tasso di risparmio e quindi il livello degli investimenti? E�

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possibile che risparmiando di più si generino maggiori investimenti e quindi

una maggiore produzione e, alla �ne, un maggiore tasso di crescita del Pil-

pro-capite? Vediamo.

Nella Figura 3 si illustra l�e¤etto di un aumento del tasso di risparmio che

passa da s ad s0. Come si vede, quello che si modi�ca è il livello di output

per unità e¤ettive di lavoro (y0) che si avrà nel nuovo stato stazionario. Allo

stesso tempo però si vede che nel nuovo stato stazionario nulla può essere

cambiato in termini di tasso di crescita di y. Infatti si tratta di un nuovo

stato stazionario che avrà le stesse caratteristiche del precedente in termini di

tassi di crescita delle variabili y; k ed Y=L: Ne consegue che un aumento del

tasso di risparmio non può in�uenzare il tasso di crescita di un�economia nel

suo stato stazionario, ma ha solo un e¤etto sui livelli delle nostre variabili.

Quello che è interessante notare è l�e¤etto dell�aumento di s nel passaggio da

k� a k��: In questa fase infatti, come si vede dalla Figura 3, l�investimento

e¤ettivo supera l�investimento necessario quindi k cresce più di quanto si

deprezza, cioè _k > 0: Se ritorniamo un attimo a guardare la nostra eq. (22)

vediamo che questo risultato implica che il capitale avrà un tasso di crescita

più grande di quello che è il suo valore nello stato stazionario, infatti sarà dato

da (n + g + _k=k). Se il capitale cresce ad un tasso maggiore, allora anche

16

Figure 3: E¤etti di un aumento di s sullo stato stazionario.

17

la produzione Yt crescerà ad un tasso maggiore del suo tasso precedente

che era (n + g). Ne consegue che il Pil-pro-capite non crescerà più ad un

tasso pari a g ma crescerà ad un tasso maggiore (pari a g+qualcosa). Il

risultato implica che un aumento permanente del tasso di risparmio genera

una maggiore crescita del pil-pro-capite solo nel breve periodo ovvero genera

un aumento temporaneo della crescita economica.

In generale gli e¤etti di un aumento del tasso di risparmio sono illustrati

gra�camente nella Figura 4. Tutti i singoli gra�ci rappresentano situazioni

già descritte, fatto salvo per l�ultimo gra�co che illustra gli e¤etti di un

aumento del tasso di risparmio sul consumo. Infatti noi sappiamo che se

in un istante di tempo aumenta il livello di risparmio di una economia, il

consumo si riduce. Ma, poichè col passare del tempo si converge ad uno

stato stazionario con maggiore output, cosa accadrà al consumo nel lungo

periodo? In particolare dobbiamo capire se esso supera il suo livello iniziale -

in virtù della crescita dell�output - oppure se rimane al di sotto del suo livello

iniziale a causa dell�aumento del risparmio.

Per capire bene cosa accade al consumo dobbiamo analizzare il concetto

di golden rule. La golden rule è de�nita come il livello di risparmio che

ci porta ad uno stato stazionario nel quale il consumo di una economia è

18

massimo. Infatti se per un attimo si suppone di risparmiare tutto l�output

che si crea (s = 1) è vero che si massimizza il livello di output per unità

e¤ettiva di lavoro, però è pur vero che in questa economia i lavoratori non

stanno consumando un bel niente e producono solo con lo scopo di produrre

sempre di più! Se si risparmiasse un po�di meno si avrebbe meno output,

ma la soddisfazione degli individui sarebbe maggiore poichè in questo caso

il consumo aumenterebbe. Allo stesso tempo, però, se si risparmia troppo

poco e si consuma tanto si genera poco investimento e quindi poco output

per cui si rischia di avere comunque una situazione non ottimale nel senso

che se gli individui risparmiassero un po� di più si avrebbe un maggiore

output e quindi un livello complessivo di consumo maggiore del precedente.

In termini matematici dobbiamo quindi trovare il tasso di risparmio che porta

l�economia ad un livello di stato stazionario nel quale il consumo è massimo.

Nello stato stazionario il consumo è dato da:

c� = (1� s)f(k�) (25)

ovvero:

c� = f(k�)� sf(k�) (26)

19

Figure 4: E¤etti di un aumento del tasso di risparmio: riassumto gra�co.

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Figure 5: La golden rule

21

poichè nello stato stazionario sf(kt) = (� + g + n)kt avremo che:

c� = f(k�)� (� + g + n)k�t : (27)

facendo la derivata rispetto a k� e ponendola pari a zero troviamo il livello

di stato stazionario che massimizza il consumo ovvero il livello k� nel quale

si veri�ca la seguente uguaglianza:

f 0(k�) = � + g + n: (28)

Essendo la derivata prima della funzione di produzione la tangente alla fun-

zione stessa, ed essendo � + g + n la pendenza della retta dell�investimento

necessario, dalla Figura 5 si può vedere che esiste un unico stato stazionario

che massimizza il consumo. Questo stato stazionario è detto golden rule

steady state, ovvero stato stazionario che massimizza il consumo. A questo

punto possiamo ritornare alla nostra Figura 4 e dire che gli aumenti del tasso

di risparmio mi portano nel lungo periodo ad aumenti del consumo se lo stato

stazionario �nale è identi�cato in un k� � (k� golden rule). Diversamente,

se il livello di stato stazionario iniziale eccede il livello di stato stazionario

di golden rule (k� � (k� golden rule)) aumenti del tasso di risparmio mi

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portano sicuramente a riduzioni del consumo nel lungo periodo. In generale,

per capire cosa accade al consumo se il tasso di risparmio aumenta devo

conoscere 1) lo stato stazionario iniziale; 2) lo stato stazionario �nale; 3) la

stato stazionario di golden rule.

5 Considerazioni 3: La Convergenza

Come abbiamo discusso in precedenza, il modello di Solow non ci aiuta a

capire come fare per aumentare il tasso di crescita del Pil-pro-capite nel

lungo periodo. Pur avendo questo elemento di debolezza, il modello di Solow

è in realtà un modello molto importante poiché pur essendo un modello rel-

ativamente semplice ha la capacità di spiegare alcuni fatti stilizzati molto

importanti. Il primo fatto stilizzato riguarda la così detta � convergence

ovvero il fatto che se la tecnologia è perfettamente trasferibe e ci sono sim-

ili tassi di crescita della popolazione, i diversi Paesi e le diverse economie

tendono a raggiungere lo stesso livello di crescita economica. Se infatti pren-

diamo la nostra equazione di¤erenziale (17) questa ci dice che:

_kt = sf(kt)� (� + g + n)kt

23

dividendo tutto per kt otteniamo un�espressione per il tasso di crescita del

capitale per unità e¤ettiva di lavoro che indichiamo con la lettera :

=_ktkt=sf(kt)

kt� (� + g + n) (29)

Nella Figura 6 possiamo rappresentare in funzione di k le due curve sf(kt)kt

e

(� + g + n) la cui di¤erenza mi da : La prima curva è decrescente poiché

al crescere di k il numeratore diventa più grande ma sempre di un am-

montare più piccolo (rendimenti decrescenti del capitale) mentre il denomi-

natore cresce sempre allo stesso tasso. La seconda funzione è una costante

poichè non dipende da k: Dalla �gura è facile notare come i paesi che sono

lontani dal loro stato stazionario k� avranno un tasso di crescita del capitale

per unità e¤ettive di lavoro ( (P )) più grande dei paesi che sono vicini al

loro stato stazionario ( (R)). Questo implica che prima o poi i paesi più

avanzati saranno raggiunti in termini di accumulazione di capitale e tutti

convergeranno ad uno stesso tasso di accumulazione di capitale per unità

e¤ettive di lavoro il cui tasso di crescita sarà pari a zero (si ricorda che nello

stato stazionario è pari a zero ma le variabili crescono tutte ad un tasso

costante).

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Figure 6: La � convergence

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Il secondo fatto stilizzato riguarda la cosi detta conditional �convergence:

Infatti nella realtà molti paesi possono avere diversi livelli di n, g, e �; ed

in aggiunta possono avere diversi tassi di risparmio. Come illustrato nella

Figura 7, nel caso di Paesi caratterizzati da diversi tassi di risparmio con

s(R) > s(P ) (o alternativamente pensate a due paesi con lo stesso tasso di

risparmio ma con un paese più ricco che, avendo migliori strutture �nanziarie,

attrae i risparmi del paesi più povero) la convergenza avverrà verso due stati

stazionari diversi (k�(R) e k�(P ) con k�(R) > k�(P )), per cui un Paese con

maggiore accumulazione di capitale può continuare ad avere un tasso di ac-

cumulazione del capitale (R) pari a quello di un Paese che si trova molto

più indietro in termini di accumulazione di capitale ( (P )). Ovviamente si

possono avere casi in cui le di¤erenze tra i paesi si ampliano poichè oltre a

diversi tassi di risparmio ci possono essere diversi tassi di progresso tecno-

logico (provate a fare il gra�co). La presenza di conditional � convergence

sembra caratterizzare e¤ettivamente i processi economici dei diversi Paesi ed

essa è pienamente spiegata dal modello di Solow.

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Figure 7: La conditional � convergence

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