instituto superior de profesorado nº 4 “Ángel...

INSTITUTO SUPERIOR DE PROFESORADO Nº 4 “ÁNGEL CÁRCANO”

PROFESORADO DE MATEMÁTICA – CURSO PROPEDÉUTICO

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Estudiante ingresante:

El Equipo Directivo en nombre de todo el personal -Profesores, Administrativos y

Asistentes Escolares-, brinda a cada uno una cálida bienvenida. Los recibimos junto a

todos los que van haciendo posible que, día a día, el ISP Nº 4 con las 12 carreras de

formación docente y 2 carreras técnicas, se mantenga, no sólo como opción vocacional y

profesional, luego de más de 50 años en el territorio, sino que crezca y se avizore como

horizonte esperanzador para tantos jóvenes y adultos de este norte santafesino.

Este cuadernillo tiene como objetivo brindarles información y actividades vinculadas al

desarrollo del Curso Propedéutico. Se organiza en dos Módulos:

Módulo 1: Formación General

Módulo 2: Formación Específica

Podrán encontrar en su lectura y desarrollo aquello que les posibilite inaugurar sus

trayectorias formativas en la Educación Superior.

Por un lado, la Formación General contribuye a pensar en qué consiste ser estudiantes

en el nivel y futuros profesionales: docentes o técnicos. En esta línea, no es carente de

sentido el tiempo que tendrán que invertir para reflexionar acerca de lo elegido, bucear en

sus motivaciones e indagar en el abanico que se ofrece, tal vez como oportunidades o

límites en el recorrido.

En la Formación Específica podrán aproximarse a lo que han elegido para aprender,

enseñar y llevarlo a la práctica. Es breve el tiempo para su desarrollo, pero cada carrera

presenta una propuesta que contribuirá a esa aproximación real con los planes y

contenidos del saber académico específico.

También en este cuadernillo encontrarán orientaciones para organizar sus tiempos de

estudio, emplear técnicas y a la vez recorrer la Institución para conocerla en sus

laberintos de sedes, oficinas, laboratorios, aula multimedial, el lugar del Centro de

Estudiantes, la función de la Asociación Cooperadora, entre otros tantos aspectos que

identifican las particularidades de esta Institución de la Educación Superior.

¡Buen tiempo de aprendizaje! Y más aún, de inter-aprendizaje con diálogos entre

compañeros de camino y los profesionales de esta Institución.

Equipo Directivo



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INDICE

La Institución

Planes de estudio. Correlatividades

Módulo I

A-Estudiante en Educación Superior

B- Formación Docente

C- Módulos de la Formación Específica



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La Institución

Es el Instituto de Educación Superior más antiguo de la Provincia de Santa Fe,

fundado en 1962, recibe como mandato fundacional formar profesionales para el sistema

educativo. Posteriormente incorpora la formación para los niveles primario e inicial y carreras

técnicas.

El Instituto lidera la Educación Pública del Norte de esta provincia con casi 3000 estudiantes que

cursan en 12 carreras de Profesorado y 2 Tecnicatura; con una planta funcional de más de 200

profesores y administrativos.

Para conocer más sobre su organización y carreras, te proponemos que consultes este link:

www.ispn4-santafe.edu.ar

El Instituto se rige por el Reglamento Académico Marco (RAM), te invitamos a leerlo siguiendo

este link:

http://ispn4-santafe.edu.ar/Informacion/Dec4199-15RAM.pdf

En la página siguiente añadimos una breve síntesis de algunos artículos.

Otros datos para agendar

Horarios de atención: de 18hs a 23hs

Dirección: Alvear y Ludueña. Reconquista. Santa Fe. (Sede Central)

Sedes: el Instituto del Profesorado funciona en cuatro sedes:

Escuela Pizzurno - 9 de Julio 315)

Escuela N° 1354 – Claudio Lepratti. B° Chacabuco y Lovato

Instalaciones del Club Platense – Bv. Lovato

Centro Multimedial – Sarmiento 866 – 03482-427404

Teléfono Sede Central: 03482-423853

E-mail de consultas: [email protected]

http://www.ispn4-santafe.edu.ar/http://ispn4-santafe.edu.ar/Informacion/Dec4199-15RAM.pdfmailto:[email protected]



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Síntesis inicial Decreto N° 4199/15 y 4200/16

De la permanencia y promoción:

Condición de permanencia: regularizar o aprobar una Unidad Curricular por año calendario

(Art. 23).

Calificación decimal de 1 a 10. Se aprueban las unidades curriculares con 6 (Art. 25).

Modalidad de cursado: Presencial – Semi presencial – Libre.

Los estudiantes podrán cambiar de modalidad una vez comenzado el período de clases (27).

Solo podrán cursar en condición de Iibre las Unidades Curriculares con formato materia.

De la permanencia y promoción:

Recuperatorios: en todas las instancias acreditables (Art. 29).

Tipo De Cursado Porcentaje de

Asistencia

% Asistencia con

Certificado

Presencial (Art. 30) 75% 50%

Semipresencial (Art. 31) 40%

Libre (Art. 33) SIN

Asistencia por cuatrimestre.

Regularidad: 3 años consecutivos. Cuando haya más de un llamado por turno, el estudiante

podrá presentarse en todos ellos (Art. 34).

De la aprobación de unidades curriculares:

Art. 35: Las formas de aprobación de las Unidades Curriculares serán por promoción con examen

final o por promoción directa.

Promoción directa:

75% de asistencia;

100% de trabajos prácticos entregados en tiempo y forma;

aprobación de exámenes parciales y promedio final 8 o más.

con instancia final integradora: calificación 8 o más (Art. 39).



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Art. 41) Seminarios, Proyectos, Módulos:

podrán ser cursados solamente con categoría de estudiantes regulares, (modalidad

presencial o semi-presencial).

Los requisitos de aprobación serán fijados en los Diseños curriculares - no pudiendo

prescindirse de la exigencia de presentación de un trabajo final de escritura académica

(monografías, ensayos, proyectos, entre otros) con su correspondiente defensa oral.

La nota de aprobación será de 6 (seis) o más, sin centésimos.

La regularidad tendrá validez de un año a partir del primer turno de examen siguiente al del

cursado.

Art. 42) Talleres, Trabajos de Campo, Laboratorio:

Solo admitirán cursado regular, presencial

Los requisitos de aprobación serán fijados en los Diseños Curriculares no pudiendo prescindir

la exigencia de

a) Cumplimentar con el 75% de asistencia a las clases áulicas

b) Aprobar el 100% de las instancias de evaluación previstas en la planificación anual,

contemplando una instancia final integradora.

La nota será de 6 (seis) o más sin centésimos

Estudiante que no haya aprobado podrá presentarse hasta dos turnos consecutivos

inmediatos posteriores a la finalización del cursado

Talleres específicos de prácticas docentes quedan excluidos

DECRETO N° 4200 DEL 25 DE NOV DE 2016

Anexo: TITULO DE LA EVALUACION DE LOS TALLERES DE PRÁCTICA DOCENTE

Art. 28-. Serán requisitos de regularidad, aprobación y acreditación de los Talleres de Práctica

Docente:

a) Cumplimentar con el 75 % de asistencia a las clases áulicas.

b) Aprobar el 100% de las instancias de evaluación previstas por los Talleres de Práctica Docente.

e) Asistir al 100% de las tareas asignadas en las instituciones asociadas.

d) Aprobar una instancia final de integración determinada por cada IES en su REPI.

Art 29: La. Calificación, final para la acreditación de los Talleres de Práctica Docente será de 8

(ocho) puntos o más.



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“Los estudiantes, al ingresar a los estudios superiores, se ven enfrentados a nuevas culturas escritas correspondientes a los distintos campos de estudio. Para llegar a pertenecer a estas culturas, los alumnos -entre otras cosas- deberán cambiar su identidad como pensadores y analizadores de textos”.

Carlino, Paula

Iniciar el cursado de una carrera, requiere aprender un oficio: el oficio de estudiar, como

también requiere entrega y el deseo de conocer y aprender sobre lo que se eligió y los enigmas

que se le plantean a cada uno respecto de eso por conocer. Es al mismo tiempo iniciar una nueva

etapa en la vida, seguramente con ilusiones, proyectos y visión de futuro, es también en algunos

casos, el afianzarse como sujetos separados del grupo familiar, con todo lo que eso implica en

independencia y en adquisición de un lugar propio, que se da en el pasaje de la adolescencia a la

adultez, con todo lo doloroso y, al mismo tiempo, desafiante que esto puede ser.

En el caso del estudiante adulto, es, probablemente, tomarse el tiempo de llevar a cabo algo que

tal vez en otro momento no se pudo concretar. El camino por recorrer no está libre de obstáculos y

constituye un verdadero desafío superarlos.

Un estudiante de nivel superior es un profesional del estudio y del aprendizaje permanente.

Pensar con claridad, argumentar, organizar ideas es importante pero, además, debe: intercambiar

Módulo 1

Formación general



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ideas, integrar grupos de trabajo, aceptar opiniones, juzgar críticamente situaciones,

comprometerse, leer e interpretar a diferentes autores de una manera crítica que permita

posicionarse con fundamentos. Todo esto no se logra pasivamente, sino a través de una

participación activa en el estudio, en la vida académica de la institución, que comienza ya desde el

ingreso a una carrera.

A continuación te proponemos:

En tu casa y como actividades previas al inicio de los encuentros presenciales:

- Leer todo el módulo y completar las Consignas que aparecen como: Actividades No

Presenciales.

- Las demás, las trabajaremos en los encuentros presenciales del Propedéutico.

¿Alumnos o estudiantes?

Nos gustaría compartir con ustedes esta diferenciación que, a simple vista, parecería ser lo

mismo: La palabra alumno viene directamente de “alumnus” que es un niño o un criado, persona

criada por otra. Estudiante, en cambio, es una palabra poco usual que conlleva otras

significaciones. Viene del verbo estudio que significa dedicarse, trabajar con empeño, en buscar

con afán, desear, aspirar…Es decir que el estudiante es el que desea, busca, trabaja con empeño.

El acto de aprender de un alumno siempre supone que haya otro que enseña; la enseñanza y el

aprendizaje se dan en un campo que se crea entre profesor y alumno.

El sujeto (estudiante) es influido por el Otro (profesor) en la búsqueda de un saber más

elaborado, es así que junto con el deseo de saber está la relación transferencial con el otro (algún

profesor en especial).

Por lo antes dicho, generalmente, hay más facilidad para aprender una materia cuando el

profesor cae bien, cuando es “copado”. Freud afirma que esta transferencia puede impulsionar al

estudiante, aumentando su deseo de saber o bloquearlo e inhibirlo.

Es así que el profesor transmite conocimientos, pero, también, y sobre todo, su propio deseo de

saber anclado en sus búsquedas, sus preguntas, sus críticas, análisis, conflictos, sobre los temas

planteados, y en esto, el estudiante queda convocado, impulsionado a realizar su propia

búsqueda, sus preguntas, sus análisis, su acto de aprender.

De allí que el acto de transmisión del docente habilite, propicie el diálogo, la investigación y la

construcción de conocimientos de cada estudiante en su singularidad y con otro/s.

La educación es, básicamente, transformación solidaria del medio y de la persona. Es una

transformación generadora de sentido, tanto para la persona, para su comunidad, así como para la



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propia formación. Para ello, es necesario que el aprendizaje que se produzca sea significativo.

Ahora bien, la construcción de significados no se hace individualmente, sino de forma colectiva y

dialógica, en relación con los otros y las otras, dentro de una comunidad, es decir, para que el

aprendizaje pueda ser catalogado como tal deber ser dialógico, poner en juego todas las voces.

Dificultades y fortalezas

Para que vayamos pensando juntos cómo puede ir dándose su pertenencia a los estudios

superiores, compartimos la inclusión de las principales dificultades y fortalezas detectadas en años

anteriores, en los estudiantes de primer año de las distintas carreras.

Estas problemáticas planteadas por estudiantes pueden servir para revisar y reflexionar sobre

sus prácticas de estudiante del nivel superior. Éste será el primer paso para fortalecer sus

trayectorias y buscar herramientas que les permitan sortear los problemas y dificultades. Además,

pueden contar, en el ámbito institucional, con Profesores Orientadores y un Servicio de Orientación

Educativa que ofrece acompañamiento y contención.

Las dificultades más significativas son:

Temor a no aprobar el propedéutico

No tener tiempo disponible -ya que algunos trabajan y tienen que conciliar trabajo-estudio-.

Falta de organización en el tiempo de estudio

Dificultades interpretar un texto y elaborar conclusiones personales.

Poca motivación para encarar el estudio en algunas asignaturas.

No hay constancia ni perseverancia en los emprendimientos exigidos por los estudios.

Temor a las exposiciones orales.

Dificultades para el trabajo grupal coordinado adecuadamente y con participación activa de

todos los integrantes.

Entre las fortalezas podemos mencionar:

Buenos vínculos con profesores.

Trabajo grupal que favorece, un grupo de clase contenedor.

Creación de lazos de compañerismo y amistad entre los alumnos.

Pertenencia y participación en la institución.

Accesibilidad al estudio por la gratuidad del Instituto.

Mayores posibilidades de acceder a distintas becas.



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Actividad 1: No presencial

Del listado de dificultades y fortalezas detectadas en los estudiantes del Instituto del Profesorado

N° 4:

- ¿Reconoces algunas que podría presentarse en tu caso? ¿Cuáles? ¿Identificas otras que no

estén enunciadas? ¿Cuáles?

- ¿Necesitarías ayuda específica del Servicio de Orientación Educativa para trabajarlas?

¿Cómo estudiar en el nivel superior?

En esta nueva etapa, el nivel superior exige a cada estudiante el mejoramiento de estrategias de

estudio, otras vinculadas a la organización del tiempo, la habilidad para tomar notas, la búsqueda y

selección de la información, mejorar la atención y concentración. Se trata de ingresar a nuevas

culturas de los diferentes campos del conocimiento.

Si bien el mejor modo de empezar a estudiar es diseñar tu propia estrategia de estudio

conociéndote y aprendiendo a lo largo de la carrera, el Servicio de Orientación Educativa te

sugiere:

1. Lee el material asignado por el docente de cátedra antes de ir a clase.

2. Cuando leas, hacé una lista de preguntas sobre ese material -según tu propósito de lectura- y

respóndelas. Anota tus dudas y consúltalas. Acordate que, leer en el nivel superior es también

escribir.

3. Trata de construir el sentido que tienen las palabras desconocidas dentro del texto, sobre todo

las que pertenecen al campo específico de la disciplina (léxico específico), escribí las

definiciones que te da la bibliografía y es conveniente que armes un glosario con ellas o bien

que forme parte de tus apuntes.

4. Trata de asistir a clases, tomá apuntes.

5. En clase pregunta cuando no entiendas algún tema.

6. Familiarízate con los recursos disponibles en biblioteca o internet que puedan ser útiles.

7. La planificación en el estudio supone determinar:

La totalidad de los materiales que debo estudiar: antes de comenzar tengo que reunir todo el

material que necesito: programa de la materia, libros, apuntes personales, bibliografía,

fotocopias de la cátedra, etc.

Consignas



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No es conveniente estudiar sólo de los apuntes, para eso existe la bibliografía de cada

cátedra que explica los temas.

La organización y distribución del tiempo: utilizá un calendario donde registrar todas tus

actividades de horario regular, fechas asignadas para los trabajos prácticos, parciales,

finales. Incluye tiempo para actividades sociales, deportivas, descanso y otros. Es importante

establecer un horario fijo para el estudio para lograr un hábito. Conviene descansar 10

minutos después de una hora de estudio así la mente rendirá mejor.

El lugar de estudio: elegir un lugar ordenado, con buena luz, con un asiento y mesa con

todos los elementos necesarios. La concentración aumenta si se estudia en un lugar

preparado para tal fin.

El compañero de estudios: el aprendizaje siempre se construye con otro-s. Por lo tanto,

podés considerar la importancia de acordar y estudiar con un compañero o varios, para

discutir e intercambiar ideas. Resulta necesario, entonces, decidir juntos los tiempos

destinados al Estudio, el lugar y los tiempos dedicados al estudio individual o grupal.

Algunas preguntas orientativas

Te sugerimos algunas preguntas orientativas para que puedas conocerte en tus fortalezas y

debilidades en esta tarea de Estudiante.

Sólo tienes que contestar a lo que haces habitualmente, para sacar tus propias conclusiones

reflexionando sobre tus aspectos positivos y los que tienes que superar, la respuesta correcta son

los si. Contesta SÍ o NO

Estrategias Motivacionales:

- Siento agrado hacia las materias que estudio.

- Cuando me pongo a estudiar suelo concentrarme en el estudio.

- Cuando tengo preocupaciones o problemas que me impiden

estudiar, suelo intentar relacionarlos con ideas agradables que me

ayuden a estudiar.

- Suelo plantearme la utilidad de lo que voy a estudiar ¿Qué

importancia tiene? ¿Para qué me sirve? ¿Qué utilidad tiene?

- Cuando no tengo ganas de estudiar, para animarme, suelo

comenzar por lo más fácil o atractivo.

- Suelo cambiar de actividad para mantener el interés por lo que

estudio.

SI NO



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Estrategias Cognitivas:

- Cuando voy a estudiar intento hacerme preguntas sobre lo que voy

a leer.

- Para recordar lo que estudio suelo hacer como una guía, divido el

tema en partes.

- Suelo extraer las ideas más importantes del tema que estudio.

- Cuando estudio un tema procuro ampliarlo, consultando en otros

libros o medios.

- Cuando estudio un tema, suelo analizar lo que dice, poniéndome en

un papel crítico y evaluador.

- Cuando estudio, relaciono el tema con otros que ya sé, buscando

semejanzas o diferencias.

Estrategias Metacognitivas

- Antes de ponerme a estudiar, suelo considerar qué actividades o

tiempo me supone el estudio.

- Acostumbro a dividir el estudio o trabajo por partes para que me

resulte más fácil.

- Suelo ser previsor, calculando el tiempo del que dispongo para

distribuirlo de forma realista.

- Cuando termino de estudiar tengo la costumbre de hacer una

revisión de todo para ver si tengo

algunos puntos débiles.



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Este módulo es una invitación para comenzar a pensar en algunas mínimas cuestiones, que

hacen al “ser docente”. Una invitación que intenta además, comenzar a ubicarlos como

estudiantes de nivel superior, donde se encontrarán con la cultura letrada, la cultura escolar, de

los estudiantes y docentes.

Abordamos la formación docente desde distintos lenguajes y contemplando diferentes

realidades posibles, como parte de una dinámica histórica del mundo que va adquiriendo formas

culturales diversas; mundos culturales que dan paso a la creatividad, la imaginación, sin reducir la

formación docente a los contenidos escolares a enseñar, Se trata de conocer el mundo que nos

rodea, promover visiones y emociones, reconocer el cuerpo, sus movimientos.

Pero también, y lo más importante, nuestra intención, es que sea una invitación a pensar la

docencia, y con ella a la enseñanza, como algo que va al encuentro con los variados mundos

culturales, con los diferentes modos de relacionarnos con palabras e imágenes, con los sentidos

que construimos en diálogos interiores y también con otros. Pensar en los que fueron nuestros

maestros, esos que dejaron huella en nosotros, traer las imágenes a nuestra mente para

reflexionar juntos.

Formarse en la Docencia



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Estos mundos culturales enriquecen la formación del estudiante. Propicia un encuentro con

el arte en toda su complejidad para habilitar una instancia socializadora e integradora con el

contexto.

Oswaldo Guayasamin Milo Locket

Frida Kalho Marc Chagal

Cuando como docente se decide comenzar una clase con un texto, un relato, una obra de

arte, un cuento, un dictado; detrás de ello hay siempre una intención. Hemos decidido comenzar

invitándolos a observar imágenes, obras de artistas reconocidos como parte de la cultura a

¿Te suenan conocidas algunas de estas obras? ¿Te animas a buscar información

sobre el artista plástico, por ej. su nacionalidad, aspectos de su vida y su

pensamiento? ¿Conoces artistas plásticos argentinos y/o locales? ¿Dónde podes

conseguir esta información?



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transmitir. Para nosotros, siguiendo a Adela Coria, la intención de pensarla como una invitación, es

porque sentimos la necesidad de poner a disposición de otros (adolescentes, jóvenes y adultos)

los saberes culturales y experiencias que creemos vale la pena compartir en las aulas porque en

ellos se condensan saberes y experiencias que hicieron sentido en nosotros (Coria; 2014)

Y porque queremos compartir con ustedes, que cuando enseñamos, asumimos el desafío

de entrar en “mundos posibles” que abren la imaginación, como lo postula Jerome Bruner (1998).

Nos permitirnos caminar por las huellas que trazaron otros, los grandes maestros,

atrevernos a poner en diálogo su obra con la vida, la escuela con la vida. Enseñar, es de alguna

manera, invitar a otros a entrar a mundos desconocidos, de la mano siempre de otros, en este

caso de los docentes.

Para continuar, y asumiendo los desafíos políticos – pedagógicos que plantea una política

educativa inclusiva, ponemos en diálogo los conocimientos producidos con una lectura

pedagógica como es la de P. Meirieu, que permite una reflexión sobre el disciplinar y enseñar

(1998; 2001;2006)

La lectura propuesta se dirige a “reconstruir sentidos” sobre qué es ser docente, para qué

y por qué es necesario educar; como principios ordenadores de la vida escolar y sostén de las

decisiones institucionales y docentes.

Recuperamos además así, la mirada de Merieu, para quien aprender una disciplina es

aprender la escuela misma, sus fundamentos; o sea, aprender a vivir juntos en un espacio y un

tiempo estructurado con un proyecto específico, y con dos propósitos fundamentales: transmitir

saberes y formar ciudadanos.

Dice el autor que toda intervención pedagógica articula dos condiciones, a saber:

Por un lado, “hacer sitio al que llega y ofrecerle los medios para ocuparlo” y por el otro,

“reconocer la alteridad y la autonomía de quien aprende asumiendo la necesidad de presentar

proposiciones de aprendizajes que movilicen la energía hacia la solución de situaciones nuevas a

resolver, en tanto retos intelectuales” (1998;84).

Coincidimos en que ambas, son condiciones necesarias para garantizar la hospitalidad a

quien llega, y que las mismas se recrean día a día en el aula, donde docentes y estudiantes se

encuentran con el desafío del reconocimiento mutuo de su subjetividad.

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A continuación te presentamos el texto “Carta a un joven profesor. Por qué enseñar hoy”

de Phillip Meireiu (2005).

En esta oportunidad te proponemos la lectura del capítulo 2 que lleva

por título: “Enseñamos para que los demás vivan la alegría de nuestros

propios conocimientos”.

Entre algunos de sus aportes se destaca: “La enseñanza es un

medio para retribuir a aquel maestro que nos permitió descubrir el mundo y

que su influencia nos ha ayudado a construirnos”. Con estas palabras

Meirieu nos alienta a los docentes a reflexionar sobre los modos de

enseñanza -el acto pedagógico- y a defender una docencia centrada en

ayudar al alumno tanto en la comprensión como en su motivación.

A partir de la lectura del capítulo, te proponemos las siguientes actividades: Consignas: A) Desde el texto

1 – Realiza una reseña del Capítulo 2: “Enseñamos para que los demás vivan la alegría de

nuestros propios conocimientos”.

2 –Cómo debe ser un futuro profesor: ¿cuáles son las cuestiones más relevantes para debatir

sobre este tema a partir de la lectura del texto?

3 – Registrar las dudas y preguntas sobre el texto para compartir en clases con tus compañeros y

profesor.

PELICULAS B) Relacionando el texto con una de las siguientes películas, a la elección de cada carrera:

El profesor Lazhar (en el Instituto) Al frente de la clase Todo por un sueño La sonrisa de la Mona Lisa Los Coristas Pizarrones (en el Instituto) El profesor (en el Instituto) Escritores de la Libertad El Profesor Holland (Mi querido profesor) La lengua de las mariposas La profesora de historia Todo comienza hoy



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Mi vida en rosa Otras…..

Sugerencias para trabajar la película:

1. ¿Con qué fragmento del texto de Meirieu, podes relacionar alguna escena de la película?

2. ¿Cuáles son las condiciones-experiencias creadas por el docente para que se produzca la

enseñanza y el encuentro con los alumnos? ¿Qué piensan de ellas?

3. Describe alguna situación de aprendizaje observada ¿Qué ocurre con los aprendizajes de

los alumnos?

4. Elabora una valoración personal del texto y del film

5. Presentar la resolución de estas consignas en formato papel o utilizando una presentación

visual (puede ser en power point, prezi, etc.)

Bibliografía:

Bruner, J. (1998) Realidad mental y mundos posibles. Barcelona: Gedisa.

Coria, A., Pensa, D., y otros.(2002). El uso de nuevas tecnologías en el campo de las ciencias económicas. un estudio exploratorio de las interacciones en el aula virtual.

Coria, Adela (2014). Módulo: Prácticas de enseñanza con TIC. Especialización docente de nivel superior en Educación Primaria y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

Meirieu, P. (2001). La opción de educar. Ética y Pedagogía. España: Octaedro

Meirieu, P. (2006). Carta a un joven profesor. Por qué enseñar hoy. España: Editorial Grao. Anexo: Meirieu, P. (2006).

Se recomienda leer los siguientes link sobre cómo realizar una reseña: http://sitios.ruv.itesm.mx/portales/crea/planear/como/resena.htm; http://blog.udlap.mx/blog/2013/03/comohacerunaresena/

http://sitios.ruv.itesm.mx/portales/crea/planear/como/resena.htmhttp://blog.udlap.mx/blog/2013/03/comohacerunaresena/



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Introducción

Este curso Propedéutico plantea el análisis y estudio del Módulo de la Formación Específica,

donde proponemos recuperar una serie de temas de Matemática aprendidos en la Escuela Secundaria

Obligatoria, a fin de favorecer una mejor articulación con las materias específicas de la carrera.

Iniciar estudios terciarios constituye un reto para todos aquellos que cuenten con ésta grata

oportunidad. Está destinado a los ingresantes a la carrera de Profesorado de Educación Secundaria

en Matemática, teniendo como propósito brindar herramientas para superar las dificultades propias

de la iniciación a estudios superiores y, además, situar al alumno frente al compromiso que el

ejercicio de la docencia implica. Constituye, así, una instancia de introducción, ambientación,

orientación profesional, vocacional y de bienvenida a la cultura académica disciplinar.

Se ha dedicado mucho esfuerzo en él para presentarlo en forma reflexiva y ordenada, como si

fuera una clase de aula. Recoge la experiencia de un grupo de docentes de la Sección donde se

aportan ideas para introducir al alumno en las técnicas de resolución de problemas, o sea la

heurística, sin descuidar el rigor matemático. Por esta razón, contiene una variedad de problemas,

ejercicios y preguntas teóricas. De esta forma, si el alumno adquiere las herramientas mínimas en el

Módulo 2

Formación Específica



30

quehacer matemático, podrá afrontar posteriores retos que se presentarán en el devenir de la

formación.

Por ello, se aconseja que este material sea leído con el auxilio de papel y lápiz, de manera que las

actividades sugeridas como Obligatorias sean realizadas antes del cursado presencial, ya que ello

posibilitará un análisis posterior más provechoso e interesante, con el acompañamiento de los

docentes.

Finalmente, es el ferviente deseo de la Sección Matemática, compartir aunque sea mínimamente

el profundo placer que se siente al estudiar matemática, el desafío de resolver una situación

planteada y la satisfacción de ser parte de este mundo. Bienvenidos.

Objetivos

Se espera que los aspirantes logren:

Consolidar su decisión profesional.

Afianzar conceptos matemáticos para facilitar la apropiación de nuevos contenidos.

Utilizar adecuadamente los distintos lenguajes de la matemática.

Resolver problemas y ejercicios, utilizando los conocimientos desarrollados en cada unidad

didáctica del cuadernillo de propedéutico.

Metodología

Al momento de la inscripción, el aspirante podrá disponer del presente material de trabajo

digitalizado. Recomendamos que revean, exploren, analicen, estudien todos los tópicos que se

desarrollan y realicen las actividades pares propuestas, promoviendo la integración permanente

entre teoría y práctica.

En marzo, el aspirante deberá asistir a un curso de propedéutico de carácter no eliminatorio en el

que realizará, con el acompañamiento de los profesores específicos, una serie de trabajos prácticos

de temas de geometría, álgebra y aritmética. En los trabajos prácticos se retomarán los temas

desarrollados en el cuadernillo.

En esta instancia se propondrá una metodología de trabajo y estudio tendiente a afianzar el

aprendizaje, fomentando – a su vez – el vínculo entre pares. Asimismo, el docente desarrollará los

contenidos que considere pertinentes para que el alumno pueda iniciar sus estudios en el nivel

terciario, contando con una orientación general de la especificidad de la carrera.



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Evaluación

El hablar de evaluación nos remite a pensarla como una práctica reflexiva, en este sentido

posibilita interpretar los alcances del estudio, detectar los obstáculos e interpretar los errores. Es por

ello que se formula una evaluación tendiente a los siguientes objetivos:

Que el alumno logre:

Reconocer los conjuntos numéricos y sus propiedades.

Expresar planteos, mediante el uso del lenguaje coloquial y simbólico.

Manipular los procesos algebraicos mínimos.

Analizar y reflexionar sobre los procesos realizados.

Un instrumento que se utilizará para evaluar serán trabajos prácticos de carácter presencial

llevados a cabo durante el desarrollo de las clases con el acompañamiento de los profesores de

cátedra.



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MATEMÁTICA

La matemática, como ciencia, surgió con el fin de resolver cálculos en el comercio, medir la

Tierra y predecir acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en

cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el

cambio.

Remontándonos a la historia, las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente

desarrolladas por los griegos, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del

rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los contenidos propios de esta ciencia.

Muchos textos griegos y árabes fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de

las matemáticas en la Edad Media. A los Árabes se les debe la creación del sistema numérico

decimal que utilizamos en la actualidad.

Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, los progresos de esta ciencia fueron seguidos por

períodos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos

desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron

creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

En la actualidad, la ciencia matemática se caracteriza por el hecho de que, prácticamente, todas

las ramas del conocimiento humano necesitan utilizar las herramientas de la misma.

La matemática se relaciona no solo con la Física, la Química, la Ingeniería, la Economía, sino

también con otras áreas del conocimiento, tales como la Medicina, la Biología y la Sociología, y con

actividades tan diversas como el deporte y el arte.

Por otra parte, la matemática no solo provee herramientas para resolver problemas, sino que estos

conducen muchas veces a la creación de nuevos conocimientos, que originan a su vez nuevas

teorías.

Asimismo, desde el Diseño Curricular Jurisdiccional (DCJ), esta disciplina es considerada como

un producto cultural y social, la cual es atravesada por las concepciones sociales y las decisiones de

la comunidad matemática, provocándose una interacción que funciona como generador de

conocimientos.

Este material reconoce tres ejes relevantes que se organizan atendiendo a lo planteado por el

DCJ, los cuales se denominan: “Números y Operaciones”, “Geometría y Medida” y “Álgebra y



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Funciones”. Si bien se encuentran diferenciados, no debemos dejar de lado que mantienen una

estrecha relación entre ellos.

Capítulo 1: Los Números

Recorriendo conjuntos numéricos:

Desde la antigüedad, el hombre tuvo la necesidad de contar, tanto para realizar un trueque – que

era su forma de comercio – como para conocer sus posesiones, contar los días transcurridos,

etcétera. Es por eso que “el contar, proceso que a la par de frecuente, es tan arraigado en el hombre,

se presenta en él tan íntimamente vinculado con el pensar y con el hablar que parece poco

concebible que alguna vez haya sido inventado o descubierto”.

Historia de la Matemática, Rey Pastor y Babini

Los números Reales y sus propiedades

En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22,

25,4) como a los números irracionales- son aquellos que no se pueden expresar de manera

fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: 2, .

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa,

puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, por ello se

usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó

finalmente a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear



34

una base rigurosa a la nueva matemática, la cual incluyó definiciones formales (aunque ciertamente

técnicas) del concepto de número real.

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números

reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la potencia de base

real y exponente irracional.

OBJETIVOS:

1. Dominar la lectura, el concepto y la representación en la recta numérica de los números.

2. Utilizar los números y sus propiedades como herramienta para calcular, medir e interpretar

correctamente relaciones matemáticas en distintas situaciones.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número

real.

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos,

pero hay casos en los que se los puede representar geométricamente utilizando regla y compás, y

validando dicha construcción mediante el Teorema de Pitágoras.

A veces se utilizará un subconjunto, o parte, de los números reales en una descripción. Por

ejemplo:

El conjunto N de los números naturales:

Con los números naturales se cuentan los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien se

expresa la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).



35

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Para tener en cuenta:

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural (Ley de Cierre).

Es interesante destacar que la Ley de cierre no se cumple para las siguientes operaciones: diferencia

y cociente de números naturales.

- La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando

el minuendo es mayor que sustraendo.

5 − 3

3 − 5

- El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando

el dividendo es múltiplo del divisor.

6 : 2

2 : 6

El conjunto Z de los números enteros:

Los números enteros son del tipo:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}


Algunas de las aplicaciones atribuidas a este conjunto numérico, refieren a las expresiones de:

saldos (en el campo de la economía), temperaturas (sobre y bajo cero), velocidades, altitudes (sobre

y debajo del nivel del mar), entre otras magnitudes.

Podemos corroborar que las operaciones de adición, sustracción y producto, cumplen con la Ley

de cierre, es decir, al operar dos números enteros el resultado es otro número entero.



36

Por su parte, la división no cumple con esta ley y es entonces que, el cociente de dos números

enteros no siempre es un número entero; sólo ocurre cuando el dividendo es múltiplo del divisor.

Por ejemplo:

6 : 2

(-10):(+2)

2 : 6

El conjunto Q de los números racionales:

Se llama número racional a todo número que puede expresarse como el cociente de dos enteros,

con denominador distinto de cero.


Los números decimales (exactos, periódicos puros y periódicos mixtos) son números

racionales; mientras que aquellos cuya parte decimal contienen infinitas cifras no periódicas, no son

considerados dentro de este conjunto.

Las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de dos números racionales cumplen

con la Ley de Cierre.

Representación decimal de números racionales:

Todo número racional admite una representación decimal, obtenida a partir de realizar la

división entre numerador y denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5;

3405/25=136,2 y 1/3= 0,33333...

Mediante esta operación, los números decimales pueden clasificarse en expresiones

decimales: exactas ó periódicas. Éstas últimas pueden – a su vez – dividirse en periódicas puras o

periódicas mixtas.



37

Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene una cantidad finita de decimales. Por ejemplo:

0,5; 1,348 ó 367,2982345.

Una forma de reconocer un número decimal exacto desde su expresión fraccionaria

irreducible, es analizando su denominador, cuya factorización debe estar compuesta por los factores

primos 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25,...1

Para transformar una expresión decimal en fraccionaria, colocamos en el numerador el número sin

comas y en el denominador un 1 (uno) seguido de tantos ceros como cantidad de cifras contenga la

parte decimal. Ejemplo:

10

77,0

100

17575,1

Expresión decimal periódica es aquélla que tiene infinitas de cifras decimales, pero de modo

que un grupo finito de ellas se repite de manera indeterminada, periódicamente, por ejemplo:

0,333333...; 125,67777777... ó 3,2567256725672567...

Estas expresiones, surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5,

por ejemplo, 1/3=0.33333...

La parte decimal que no se repite se denomina ante - período y la que se repite, período. Por lo

tanto, una expresión decimal periódica pura es aquélla que no tiene ante – período, mientras que

aquella que sí contiene ante – período se denomina expresión decimal periódica mixta.

Expresiones decimales periódicas Puras Expresiones decimales periódicas mixtas

El período aparece inmediatamente después de la

coma.

Para transformar una expresión de este tipo en una

fracción, se debe escribir en el numerador la diferencia

entre el número sin coma y la parte entera; en el

denominador se colocan tantos nueves como cantidad

de cifras conformen el período. Por ejemplo:

= 0,22222… =9

2

= 1,343434…= 99

1134=

99

133

El período no aparece inmediatamente después de la

coma, sino que el período aparece luego del ante –

período.

Para transformar una expresión de este tipo en una

fracción, se debe escribir en el numerador la diferencia

entre el número sin coma y el número conformado por la

parte entera y el ante - período; en el denominador se

colocan tantos nueves como cantidad de cifras

conformen el período y tantos ceros como cantidad de

cifras conformen la parte no periódica.

= 0,3222222… = =

= 1,125353...= =

1 Al factorizar los denominadores tenemos: 1000= y 25=



38

El conjunto I de los números irracionales:

Son aquellos que no terminan ni se repiten en su forma decimal, no se pueden expresar como

razón o cociente de dos enteros. Ejemplos: 5 , 3 12 , 4

3, etc.

Representación Gráfica:

Hay métodos geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta

numérica.

Para representar se debe tener en cuenta que, =1,414..., es decir, 1< < 2.

Se observa el cuadrado del dibujo, se aplica el teorema de Pitágoras2 para hallar su diagonal y se

obtiene:

Con la ayuda de un compás se puede representar exactamente en la recta numérica. Se sabe

que es un número irracional, por lo tanto, el punto P de la recta no puede estar ocupado por

ningún otro número irracional.

En esta recta se representa los números irracionales y .

2 El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual

al cuadrado de la hipotenusa, lo que se expresa de la siguiente manera:

Expresiones decimales Exactas

Periódicas Puras

Mixtas



39

Propiedades de los números reales:

Es importante reconocer que cuando realicemos operaciones con los números reales, éste cuenta

con propiedades, las cuales deben ser tenidas en cuenta.

A continuación presentamos un cuadro donde se nombrarán dichas propiedades. Para conocer en

qué consiste cada una de ellas, podrán acceder al aula virtual Anexo II.

Actividad de ejemplo: ¿A qué subconjunto de los números reales pertenece cada uno de los

siguientes números?

a) 5 b) 3

2 c) 7 d) -14

Propiedades de

números Reales

Conmutativa

Asociativa

Identidad

Inversos

Distributiva

Otras

Propiedades Propiedades de opuestos

Propiedades del cero



40

Respuesta:

a) 5 pertenece a los siguientes subconjuntos: natural, entero, racional y real.

b) 3

2 pertenece a los siguientes subconjuntos: racional y real.

c) 7 pertenece a los siguientes subconjuntos: irracional y real.

d) -14 pertenece a los siguientes subconjuntos: entero, racional y real.

Ejercitación

1) Clasificar cada número como miembro de uno o más de los subconjuntos numéricos:

a) -15 b) 72 c) d) e) f) 0,01

g) 0 h)2π 2) Hacer una lista o describir los elementos de

los siguientes conjuntos: a. El conjunto de los números naturales menores que

7.

b. El conjunto de los números enteros mayores que 10. c. El conjunto de los números enteros comprendidos

entre 7 y 13.

d. El conjunto de los números reales comprendidos entre 2 y 8.

e. El conjunto de los números naturales menores que 1.

3) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si es falsa presentar un

contraejemplo para justificar la respuesta. a. El conjunto de los números naturales es cerrado con

respecto a la sustracción.

b. El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la división.

c. El conjunto de los números racionales contiene el inverso aditivo de cada uno de sus elementos.

d. El producto de dos números reales es un número real.

e. El cociente de dos números reales cualesquiera es otro número real.

4) Identifica la propiedad: a. 5 (4 x 1.2) = (5 x 4) 1.2 b. 14 + (-14) = 0 c. 3 (8 + 11) = 3 (8) + 3 (11) d. ( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

5) Aplica la propiedad indicada: a. 5(x + 8); (conmutativa de adición) b. (3 x 6) 2; (asociativa de multiplicación) c. (9 + 11) + 0; (identidad aditiva) d. 12(x + y); (distributiva) e. 9(6 + 4); (conmutativa de multiplicación) f. (x + y) + z; (asociativa de adición)

6) Hallar la fracción inversa de la fracción inversa de 3/7.

7) ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? a. Fracciones equivalentes representan el mismo

número racional.

b. a/b=c/d, es lo mismo decir ad=bc. c. La inversa de una fracción mayor que 0 no puede

ser menor que 0.

8) ¿Es irracional la raíz cuadrada de cualquier entero impar?

9) Decidir si es cierta ésta afirmación:

.

10) Marcar en la recta numérica: 4, -4/3, -

2,75, , ,

11) Indicar con una cruz a cuál o cuáles de los siguientes conjuntos pertenece cada número:

-15 0,17 0 16/2

/2

/3

0

2 - 10

N

Z

Q

I

R



41

Potenciación y Radicación

El producto de xxx se abrevia 3x . En general, para un entero positivo n ,

nx es la

abreviatura del producto de n factores, cada uno de los cuales es x . La letra n en nx se

denomina exponente y a x se le llama base. Específicamente, si n es un entero positivo tenemos:

OBJETIVOS:

1. Entender y hacer uso correcto de la terminología algebraica.

2. Efectuar correctamente la simplificación expresión de fracciones algebraicas.

3. Simplificar correctamente expresiones radicales dadas aplicando las leyes de los radicales.

4. Racionalizar denominadores de expresiones algebraicas dadas.

A continuación se presentan las leyes básicas de los exponentes y los radicales:

1) Producto de potencias de igual base, la base se mantiene y se suman los exponentes. Queda,

simbólicamente, expresado de la siguiente manera:

2) Todo número elevado a la cero da como resultado 1. Entonces, 10 x si x ≠0

3) Potencia de exponente negativo. En este caso, el signo negativo del exponente indica que la

base se invierte. Una vez realizado dicho paso, el exponente se transforma en positivo.

Simbólicamente queda expresado de la siguiente manera: n

n

xx

1

Otros casos en el cual se puede aplicar esta propiedad es:

Cuando tenemos el exponente negativo en el denominador de una fracción unitaria.

Para quitar el dicho exponente, invertimos la base y al hacerlo el exponente queda positivo.

Por ejemplo: n

nx

x

1.

1)

2)



42

Cuando un número fraccionario está elevado a exponente negativo, por ejemplo

y en esta situación se puede observar que se invierte la base y el exponente

resulta positivo.

4) Cociente de potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

Simbólicamente expresado de la siguiente manera:mn

nm

n

m

xx

x

x

1

5) Potencia de otra potencia, la base se mantiene y se multiplican los exponentes. Por

ejemplo,mnnm xx )(

6) Propiedad distributiva de la potenciación respecto del producto. Simbólicamente:

nnn yxxy )(

7) Propiedad distributiva de la potenciación respecto de la división. Expresión

simbólica:n

nn

y

x

y

x

8) Potencia de exponente fraccionario, se puede expresar como un radical, donde la base se

mantiene, el denominador del exponente ocupa el lugar del índice de la raíz y su numerador

es el exponente del radicando. Simbólicamente:

Casos particulares en los que se pueden utilizar esta propiedad, son los siguientes:

Cuando el numerador del exponente fraccionario es uno, nn xx

1

.

Cuando nos encontramos con la expresión , para poder resolverla se aplican

las propiedades: 3 y 8; Simbólicamente, n

n

n

xxx

111

1

9) Propiedad distributiva de la radicación respecto al producto, nnn xyyx .

10) Propiedad distributiva de la radicación respecto a la división, nn

n

y

x

y

x .

11) Raíz de otra raíz, se puede expresar como otra raíz cuyo índice es el producto de los índices,

expresado simbólicamente de la siguiente manera: mnm n xx



43

12) Propiedad cancelativa de la radicación: se aplica cuando el índice y exponente, son el mismo

número xx mm )( .

Ejemplos:

a. 148686 xxxx

b. 24333

1 55

c. 10

d. 22222332332323 1646464)64( aaaaa e. Escribir expresiones equivalentes que tengan exponentes positivos:

2

23

2

32

x

zy

z

yx

f. Simplifique:

x

y

x

y

yx

yx 2

23

57

53

72

g. Simplifique:

3233 33 323 3323 46 yyxyyxyyxyx

Ejercicios:

Simplificar haciendo uso de las propiedades:

1. 23x

2. 23 32 aa

3.

2

42

xy

yx

4.

43

32

yx

yx

5.

712

109

4

12

yx

yx

6.

22

3

2

3

23

b

a

b

a

7.

223

322

yx

yx

8.

62

128

2

8

yx

yx

9.

10

12

3

3

ba

ba

10. 104160

11. 3 3 512

12. 3232

13.

4/14/3

625

256

81

16

14. 35

20

x

x



44

Capítulo 2: El Álgebra

¿Qué entendemos por álgebra?

El álgebra es una rama de la Matemática que emplea números, letras, signos y símbolos para

hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas, permitiendo así, formular leyes generales y

hacer referencia a números desconocidos (incógnitas).

En este módulo, se trabajará con expresiones algebraicas: polinomios y ecuaciones. Por lo tanto,

cuando hablamos de expresiones algebraicas nos referimos al conjunto de números y letras ligados

entre sí por operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Ecuaciones

Una proposición como 533 xx es un ejemplo de un ecuación lineal, porque la variable x

sólo aparece elevada a la primera potencia. También se dice que es una ecuación condicional; es

válida para ciertos valores de la variable x , pero no para otros. Por ejemplo es verdadera cuando

2x , pero es falsa para 1x . Por otro lado, una ecuación como 6323 xx se llama

identidad porque es verdadera o válida para todos los números reales x .

Resolver una ecuación quiere decir determinar los números reales x para los cuales se cumple la

igualdad. A estos, se los denomina soluciones o raíces de la ecuación dada.

OBJETIVOS:

1. Reconocer ecuaciones de primer grado.

2. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, usando las propiedades de la

igualdad.

3. Plantear y resolver problemas que se expresen como una ecuación de primer grado con una

incógnita.

Ejemplo: 533 xx el primer paso es eliminar los paréntesis aplicando la propiedad

distributiva

593 xx

)9(5)9(93 xx sumar -9 a cada lado de la ecuación

43 xx

)(4)(3 xxxx Sumar - x a cada lado de la ecuación.

42 x



45

42

1)2(

2

1x multiplicar cada lado por ½

2x

Se demuestra que 2x es la solución comprobándola en la ecuación original. ¿Es cierto que

5)2(323 ? En la solución anterior emplearon las dos propiedades básicas de la

igualdad.

Ejercitación:

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones lineales

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

Resolución de problemas

Ejemplo 1) La fórmula que relaciona los grados Fahrenheit y los grados Celsius es CF

9

1605.

Despeje F en términos de C.

Solución: Trate de explicar cada uno de los siguientes pasos.

CF

9

1605

CF 91605

16095 CF

16095

1

CF

325

9 CF

Propiedad de igualdad en la suma

Para todos los números reales ba, y c , si ba , entonces cbca

Propiedad de igualdad en la multiplicación

Para todos los números reales ba, y c , si ba , entonces bcac



46

Se explorará ahora la resolución de problemas planteados en lenguaje coloquial, los cuales

necesitan ser expresados en lenguaje simbólico para poder ser resueltos.

En el problema siguiente, se sugiere reglas importantes para desarrollar la destreza del

razonamiento crítico. Estudie con cuidado la resolución, del ejemplo que sigue.

Ejemplo 2) La longitud de un rectángulo es 1 cm menos que el doble de su ancho. El perímetro es

28 centímetros. Determine las dimensiones del rectángulo.

1. Vuelva a leer el problema y trate de imaginar la situación que se describe. Tome nota de

toda la información brindada.

La longitud es uno menos que el doble del ancho. El perímetro es 28.

2. Identifique que es lo que se pide contestar. Introduzca una variable adecuada, que

normalmente representa la cantidad que se debe determinar. Cuando sea apropiado, utilice

una representación gráfica.

Represente el ancho con .

Entonces, representa la longitud.

3. Con la información disponible, plantee una ecuación donde intervenga la variable.

El perímetro es la distancia que se recorre alrededor del rectángulo. Esto proporciona la

información necesaria para escribir una ecuación.

281212 wwww

4. Resuelva la ecuación aplicando propiedades de la igualdad.

281212 wwww 2826 w

306 w 5w

5. Regrese al problema original para ver si la respuesta obtenida tiene sentido. ¿Parece ser

una solución razonable? ¿Responde a lo solicitado?

El problema original preguntaba las dos dimensiones. Si el ancho, , es 5 cm, entonces la

longitud, , debe ser 9 cm.

6. Compruebe la solución por sustitución directa del valor hallado en el enunciado original del

problema.

Como comprobación, vemos que la longitud del rectángulo, 9 cm, es 1 cm menos que el

doble del ancho, 5 cm, tal como lo dice el problema. También, el perímetro es 28 cm.



47

7. Por último, describa la solución en término de las unidades correctas.

Las dimensiones son 5 cm por 9 cm.

Ejercitación:

Despeje la variable indicada en cada fórmula.

1. Perímetro de un rectángulo 2. Área de un trapecio

1b

w h

l wlP 22 2b

Despeje l . 212

1bbhA

Despeje h .

3. Área superficial de una caja rectangular 4. Volumen de un cilindro

r

h h

w

l

whlhlwA 222 hrV2

Despeje h . Despeje h .

5. La fórmula que relaciona los grados Fahrenheit con los grados Celsius es

325

9 CF

. Despeje C en términos de F.

Calcule C si .

6. Despeje b de ba

abc

2.

7. Despeje R de hRhV 33

1 2 .

8. Determine un número tal que dos tercios de él, incrementados en 1 sea igual a 13.

9. Determine las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 56 cm, si la

longitud es 4 cm mayor que el ancho.

10. Una malla de alambre se colocará alrededor de un terreno rectangular de

modo que el área cercada sea de 800 2m

y el largo del terreno sea el doble de su

ancho. ¿Cuánto m de malla se utilizarán?

11. El perímetro de un rectángulo es de 200 m

y su largo es tres veces el ancho.

Determine las dimensiones del rectángulo.

Inecuaciones y sus gráficas

Si a y b son números reales se dice que “a es menor que” b y se representa a < b o b > a.

Similarmente, se dice que “a es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a b

significa que a b ó a = b; y a b significa que a > b ó a = b.



48

Para tener en cuenta: un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es

menor que 0.

OBJETIVOS:

1. Identificar desigualdades lineales.

2. Encontrar el conjunto solución de una desigualdad de primer grado con una incógnita.

3. Representar el conjunto solución de una desigualdad en la Recta Numérica.

4. Plantear y resolver problemas que se expresen como una desigualdad lineal con una

incógnita.

Propiedades básicas de desigualdades

Ejemplo 1) Determine el conjunto solución de 1273 xx .

Solución: Aplicar dos veces la propiedad aditiva.

1273 xx

)7(12)7(73 xx

823 xx



49

)2(82)2(3 xxxx

8x

El conjunto solución está conformado por todos los números reales que son menores o iguales a

8 , esto es, 8/ xx

Cuando se aplica la propiedad aditiva, se producen desigualdades equivalentes. Esto es, la nueva

desigualdad tiene las mismas soluciones que la original. Se verá lo que sucede cuando se multiplica

cada lado de una desigualdad por el mismo número (propiedad multiplicativa).

Ejemplo 2) Resuelva la desigualdad 10235 x .

Solución: Multiplicar por5

1 cada lado.

)10(5

1235

5

1 x propiedad multiplicativa.

223 x Sumar -3 a cada lado

)3(2)3(23 x Propiedad aditiva

12 x

Multiplicar por 2

1 a cada lado.

)1(2

1)2(

2

1 x Propiedad multiplicativa.

2

1x

El conjunto de soluciones es

2

1/ xx



50

Intervalos de números reales, gráficas y desigualdades

Ejemplo 1

El intervalo abierto (2, 7) representa el conjunto de todos los números reales entre 2 y 7

PERO 2 y 7 no están incluidos. Este intervalo se puede representar usando la notación de una

desigualdad como 2 < x < 7 y gráficamente como:

Ejemplo 2

El intervalo cerrado [-1, 3] representa el conjunto de todos los números reales entre -1 y 3,

inclusive. Este intervalo se puede representar usando la notación de una desigualdad como

31 x y gráficamente como:



51

Ejemplo 3

El intervalo infinito ),2[ representa el conjunto de todos los números reales mayores o

iguales a -2. Este intervalo se puede representar usando la notación de una desigualdad como 2x

y gráficamente como:

Ejercitación:

1) Usando la notación de conjunto; escribir los

siguientes intervalos que están representados en la

recta real:

2) Usando la notación de intervalos; escribir los

siguientes intervalos que están en lenguaje de

conjunto:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3) Resolver las siguientes inecuaciones indicadas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Resuelve los siguientes problemas:

1. Juan gana mensualmente $13000 y tiene un gasto fijo de $4000. ¿Entre que valores puede variar su

gasto diario si no quiere excederse cada día de lo

que puede gastar?

2. Para obtener una calificación B en álgebra, un estudiante debe pasar un examen con promedio

mínimo de 86%, pero menos que 90%. Si las

calificaciones en sus tres primeros exámenes



52

fueron 85, 86 y 93%, ¿qué calificaciones en su

cuarta prueba le garantizarán un B?

3. Si x satisface 7/4



53

OBJETIVOS:

1. Reconocer los casos de factorización: factor común, diferencia de cuadrados, trinomio

cuadrado perfecto, trinomio de segundo grado, factorización por regla de Ruffini.

2. Aplicar los casos de factorización de acuerdo con las características del polinomio.

En toda factorización, buscamos transformar el polinomio en producto de factores primos.

Podemos reconocer algunos casos típicos:

Factor Común

Este caso se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algún

factor en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de ambos).

Sacar factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva, definida algebraicamente de

la siguiente manera: . Por lo tanto, si se pide factorizar la expresión ,

basta aplicar la recíproca de la propiedad distributiva.

Por ejemplo:

Los factores se repiten en todos los términos; una forma práctica de identificarlos es

considerar cada uno de ellos con su mínimo exponente. Luego, aplicamos la recíproca a la propiedad

distributiva.

Cuando soliciten sacar factor común y la expresión contenga coeficientes con divisores comunes,

se halla el máximo común divisor de dichos coeficientes.

Por ejemplo:

Al factorizar la expresión , se tiene:

donde es el máximo común divisor de , y .

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta aplicar la propiedad

distributiva, obteniendo como resultado la expresión inicial.

Otro ejemplo: al factorizar se obtiene

Nota: la expresión que se encuentra dentro del

paréntesis, resulta de dividir cada término por

el factor común.



54

El factor común es . Se debe prestar atención cuando se extrae un término completo de factor

común, porque como sucede en el ejemplo dentro del paréntesis hay que escribir un 1.

Al verificar, queda:

Otro ejemplo:

x2.(x+1) + x.(x+1)2

Observamos que ambos términos tienen factor común x y (x+1), por lo tanto, la factorización

queda:

x2.(x+1) + x.(x+1)2= x.(x+1).(x+x+1) = x(x+1)(2x+1)

Ejercicios resueltos:

1)

Observamos que el factor común es 3, por lo tanto se puede sacar ese factor y se tiene:

)

2) En el polinomio el factor común es y se tiene :

3) En el polinomio , sacando factor común se tiene:

Ejercicios para resolver:

Factorizar las siguientes expresiones:

1 )

2 )

3 )

4)

5 )

6 )

7)

8) 4(a-1)3 + x(a-1)=

Diferencia de cuadrados

Un binomio (expresión algebraica que contiene dos términos) puede factorizarse como una

diferencia de cuadrados, si los términos que lo componen tienen diferentes signos y ambos son



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cuadrados exactos. La expresión resultante recibe el nombre de producto de binomios conjugados.

Se factoriza:

producto de binomios conjugados.

Procedimiento para factorizar:

1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.

2) Se forma un producto entre la suma de las raíces y su diferencia.

Ejercicios resueltos:factorizar las siguientes expresiones.

1)

La raíz cuadrada de: es


Luego

2) ,

Para expresarlo como una diferencia de cuadrados se debe invertir el orden de los sumandos:



Luego

3)





Página 56

Luego:

4)



Luego

5)

La raíz cuadrada de: es y la raíz cuadrada de es

Luego

6)

La raíz cuadrada de es

La raíz cuadrada de es

Luego


Factorizar las siguientes diferencias de cuadrado:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)



Página 57

¿Por qué ( es igual a ?

, por propiedad distributiva, es igual a .

Pero los términos y son iguales, debido a que en la multiplicación se puede alterar el orden

de los factores (Propiedad Conmutativa). Si esos términos poseen igual valor absoluto, y sus signos

son opuestos, se pueden cancelar por Ley de los opuestos, donde se expresa que la suma de dos

términos opuestos resulta cero; por consiguiente, sumar "cero" no modifica el resultado ya que el

cero es el elemento neutro de la suma.

Luego de cancelar, queda .

Con un ejemplo donde haya números, quizás se pueda apreciar mejor el tema de los dos términos

opuestos que se cancelan:

Trinomio cuadrado perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto (TCP) al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados

perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un cuadrado de binomio tal que:

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

1) Un trinomio ordenado con relación a una letra.

2) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos.

3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Procedimiento para factorizar

1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.

2) Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a +

b)(a + b).

3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.

Por ejemplo:



Página 58

xx 2 39

xx .3.26

Otro ejemplo:

Se eligen convenientemente los signos de las raíces para formar el binomio:

xx 2 ; 24 ; xxx 42)..(2)2.(.2

Como se observa, en el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos,

en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de

los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado.

Ejercicios resueltos:

1) Factorizar



El doble producto de las raíces: es

Luego

2) Factorizar






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Luego

3) Factorizar




Luego

Un trinomio cuadrático general de la forma es un TCP si se cumple que el

discriminante es cero, es decir, que la cantidad es siempre igual a .


Factorizar las siguientes expresiones:

1)

2 )

3 )

4 )

5 )

6 )

7 )

8 )

9 )

1 0 )

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado , se iguala a

cero y se resuelve la ecuación de segundo grado. Si las soluciones de la ecuación son y , el

polinomio factorizado será:



Página 60

Por ejemplo:

Entonces:

Ejercicios para resolver

Factoriza los siguientes polinomios

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Factorizar un polinomio de grado mayor a dos

Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando

un polinomio no se puede escribir como producto de otros más simples se dice que es irreducible.

Para factorizar un polinomio se hallan sus raíces, si es una raíz de , entonces

, así se ha descompuesto como producto de dos polinomios, reiterando el

proceso, ahora con y se sigue hasta encontrar un polinomio irreducible.

Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que

un polinomio tiene raíces enteras es encontrar valores enteros de x que al sustituirlos en el

polinomio su valor numérico es cero.

Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro raíces

enteras, y se factoriza así:

Pero ¿cómo se obtiene

instituto superior de profesorado nº 4 “Ángel...

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