JOHDATUS JOUKKO-OPPIIN SISÄLTÖ 1.0 Johdanto 1.1 Joukko ja alkio 1.2 Joukkojen merkinnät 1.3 Osajoukko 1.4 Unioni ja leikkaus 1.5 Erotus ja komplementti 1.6 Todistukset 1.7 Kertaus

Copyright (C) Niklas Koppatz ja Arto Piironen

1.0 JOHDANTO Joukko-oppi vaikuttaa ensi silmäyksellä hyvin helpolta, ja sitä se onkin tietyssä mielessä. Joukko-opin opetus aloitetaan yleensä joukon, osajoukon ja alkion käsitteistä ja niihin liittyvistä merkinnöistä. Sitten edetään joukkojen laskutoimituksiin, erotukseen, yhdisteeseen ja leikkaukseen. Tätä kaavaa käytämme myös tässä yhteydessä, mutta toisinkin voisi menetellä. Alkioita, eli elementtejä, pidetään itsestään selvinä ja näiden kokoelmat, eli joukot, vaikuttavat intuitiivisesti määriteltyinä myös selviltä, mutta eivät välttämättä ole sitä, jos ollaan matemaattisesti täsmällisiä.

Materiaalissa käsitellään seuraavat asiat:

- Joukko ja alkio o Joukkojen samuus o Tyhjä joukko o Yksiö

- Joukkojen merkinnät o Merkintätavat

� Luettelo alkioista � Kuvailemalla � Funktion avulla � Rekursiivisesti

o Yleisimpiä lukujoukkoja o Kuuluu / ei kuulu joukkoon o Joukon määritys kvanttoreita käyttäen

� eksistenssikvanttori � universaalikvanttori

- Osajoukko o Aito osajoukko

- Unioni ja leikkaus - Erotus ja komplementti - Kertaus

1.1 JOUKKO JA ALKIO Oikeastaan jo joukko-termiin sisältyy joukon määritelmä. Lähdetään selventämään joukon ja alkion käsitettä käytännön elämästä läheisellä esimerkillä. Joukko voi esimerkiksi olla lukioluokka, ja kyseisen joukon jäseniä eli alkioita ovat luokan oppilaat. Muita esimerkkejä ovat omenakori (alkioina omenat), joukko sanoja (alkioina sanat) ja kunnanvaltuusto (alkioina valtuutetut). Matemaattiselta puolelta jo entuudestaan tuttuja joukkoja ovat muun muassa luonnolliset luvut N ja reaaliluvut R. On olemassa myös tyhjä joukko, eli joukko jossa ei ole yhtään alkiota. Joukko ei voi olla esimerkiksi vettä, sillä se on ainesana, jonka merkitys eliminoi erillisten kappaleiden olemassaolon. Jos kuitenkin otamme vaikka viisi tippaa vettä ja pidämme jokaisen pisaran erillään toisistaan, voi tämä pisarajoukko muodostaa joukon. Samoin jokin tietty määrä vettä voi muodostaa joukon, jos joukon alkioiksi määrätään vesimolekyylit. Joukon tulee käsittää erillisiä alkioita, joten "vettä" voi olla alkio sanana tai vaikka aineena (jolloin muut vastaavat alkiot olisivat: vetyä, kalkkia, cola-juomaa…). Aineena vesi tulee käsittää "veden ideana".

Joukko voi käsittää myös eri lajin alkioita: Alkiot "vesipisara", "veden idea" "vesi (sana)" ja "viisi (numero)" voivat hyvin muodostaa joukon, vaikka niillä ei juurikaan ole tekemistä toistensa kanssa. Joukon muodostamiseksi riittää siis, että meillä on nolla tai enemmän alkioita, jotka päätämme asettaa samaan joukkoon. Jos jokin alkio kuuluu johonkin joukkoon, se ei ole "varattu" vaan se voi kuulua myös mihin tahansa muuhun joukkoon saman aikaisesti. Jokaiseen joukkoon voi kuulua vain yksi samanlainen alkio. Joukko-opissa on aina tiedettävä, ovatko kaksi alkiota sama vai eri alkio. Joukkoon kuuluvaksi voidaan kyllä merkitä kaksi samaa alkiota, mutta silti se on joukko-opillisesti täysin sama joukko kuin sellainen, jossa kyseistä alkiota on vain yksi. Periaatteena on, että jokaisesta alkiosta voidaan sanoa kuuluuko se annettuun joukkoon vai ei – muuten joukko ei ole kunnolla määritetty. Joukko on siis määritelty alkioidensa mukaan: Joukko on määritelty, jos tiedossa on, mitkä alkiot kuuluvat joukkoon ja sen myötä, mitkä alkiot eivät sinne kuulu. Esimerkki 1. Lukion matemaattis-luonnontieteellisten aineiden joukkoon A kuuluvat alkiot

matematiikka, fysiikka ja kemia. Joukko A, johon merkitään kuuluviksi alkiot matematiikka, fysiikka, kemia, matematiikka

ja kemia on siis täysin sama kuin joukko B, johon merkitään kuuluviksi alkiot matematiikka, fysiikka ja kemia. Historia ei kuulu tähän joukkoon.

JOUKKOJEN SAMUUS Joukkojen yhtäsuuruus on hankala määrittää, elleivät joukot ole täsmälleen samoja: Ovatko joukko A, joka sisältää kaksi kilon punnusta ja joukko B, joka sisältää yhden kahden kilon punnuksen, yhtä suuria? Emme ota tässä yhteydessä tähän kysymykseen kantaa, vaan kierrämme kysymyksen toteamalla, ettei meitä kiinnosta tällainen yhtäsuuruus. "On yhtäsuuri kuin"-merkkiä olemme tottuneet matematiikassa käyttämään siten, että sen molemmilla puolilla on täsmälleen sama luku, joskin mahdollisesti sellaisessa muodossa, että se ei ensisilmäyksellä käy ilmi. Kun "="-merkki on tähän asti merkinnyt sitä, että sen molemmilla puolilla on täsmälleen sama asia, emme lähde sitä tässäkään yhteydessä muuttamaan.

Joukot A ja B ovat sama joukko, jos A:lla ja B:llä on täsmälleen samat alkiot, eli ne ovat täsmälleen samat joukot (vaikkakin niillä on eri nimet A ja B). Tämä merkitään

A = B.

Jos A:lla on yksikin alkio, jota B:llä ei ole tai toisinpäin, ei kyseessä enää ole sama joukko, mikä merkitään

A ≠ B. TYHJÄ JOUKKO

Tyhjä joukko (merkitään ∅) on erikoinen käsite. Se on joukko, jossa ei ole yhtään alkiota – kehykset ilman taulua. Vaikka se saattaakin äkkiseltään vaikuttaa vain opiskelijoiden kiusaksi lanseeratulta turhalta käsitteeltä, on sillä kuitenkin yhtä merkittävä tehtävä joukko-opissa, kuin nollalla numeerisessa matematiikassa. Tyhjän joukon kätevyys käy ilmi jäljempänä. Tyhjän joukon vastakohta on epätyhjä joukko. Epätyhjiä joukkoja ovat siis kaikki ne joukot, joissa on vähintään yksi alkio. Jos joukko A on epätyhjä, merkitään

A ≠ ∅. YKSIÖ Jos joukkoon kuuluu vain yksi alkio, sitä sanotaan yksiöksi. Esimerkki 2. Joukko A on aurinkokuntamme tähtien joukko. Joukkoon A kuuluu vain yksi alkio eli

aurinko. Näin ollen joukko A on yksiö. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Mitkä seuraavista voivat muodostaa epätyhjän joukon a) Aurinkokuntamme yhdeksän planeettaa b) Suomen pääkaupunki c) Negatiivisten kokonaislukujen reaalilukuihin kuuluvat neliöjuuret 2. Maijan suosikkitieteiselokuvien joukkoon M kuuluvat Star Wars, Ensimmäinen yhteys ja Jurassic Park. Villen valitsemaan joukkoon V kuuluu puolestaan ainoastaan Star Wars. Kaisalla (joukko K) ei puolestaan ole yhtään suosikkitieteiselokuvaa. Pentti (joukko P) taas pitää samoista elokuvista kuin Maija lukuunottamatta Jurassic Parkia ja Ensimmäistä yhteyttä. Mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa?

a) M = P e) Joukko M on yksiö i) M ≠ ∅

b) M ≠ V f) Joukko V on yksiö j) V = ∅

c) V = P g) Joukko K on yksiö k) K = ∅

d) P ≠ P h) Joukko O on yksiö Kuinka monta alkiota Maijan, Villen, Kaisan ja Pentin suosikkielokuvalistojen joukkoon kuuluu?

1.2 JOUKKOJEN MERKINNÄT Alkio x kuuluu joukkoon A merkitään:

x ∈ A Tavan mukaan alkioita on merkitty pienillä kirjaimilla ja joukkoja isoilla. Esimerkki 1. Sovitaan että kaliumia merkitään kirjaimella k ja alkuaineiden joukkoa kirjaimella A. Lause

”kalium kuuluu alkuaineiden joukkoon” kirjoitettaisiin siis joukko-opillisia merkintöjä

käyttäen k∈A. Joukko voidaan merkitä useilla eri tavoilla käyttäen joukko-opillisia merkintöjä. Tapana on valita sellainen merkintätapa, joka on yksinkertaisin ja selkein kunkin joukon tapauksessa. On kuitenkin tärkeää huomata, että joukon merkinnässä ei määritellä joukkoa täsmällisimmällä mahdollisella tavalla. Joukon merkintä lähinnä kuvailee joukkoa asiaankuuluvalla tarkkuudella. Merkinnöistä voidaan lukea myös joukon määritelmä, mutta se edellyttää tulkintaa. Merkintätapa 1 Joukko voidaan esittää täsmällisesti luettelemalla kaikki joukon alkiot. Alkioluettelo on ollut tapana merkitä kaarisulkeitten sisään, ja erotella alkiot toisistaan pilkulla. Toisinaan ei ole mielekästä tai edes mahdollista luetella kaikkia alkioita. Tällöin merkitään alkioluetteloa alusta siihen asti, että lukija ymmärtää, millä perusteella alkiot on valittu, ja ymmärtää jatkaa luetteloa oikein. Jos luettelo on määrä päättää, tulee myös viimeinen alkio esittää. Alkioiden x, y ja z muodostama joukko A on siis tapana merkitä A = {x, y, z} Puolestaan alkioiden x1, x2, x3, x4, x5 ja x6 muodostama joukko B kannattaa merkitä lyhyemmin B = {x1, x2, … x6} Huomautus: Joukon alkioiden määrän ei tarvitse olla rajoitettu, vaan joukossa voi olla äärettömän

monta alkiota. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukossa N ( = {0, 1, 2, 3, …} ) on äärettömän monta alkiota.

Esimerkki 2. a) Kokonaisluvut kolmesta viiteen = {3, 4, 5} b) Kokonaisluvut kolmesta 1245:een = {3, 4, 5, … , 1245} c) Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} d) Lukujoukkojen (ei kaikkien) joukko = {N, Z, Q, R, C } e) Yksiö a, eli pelkän a:n sisältävä joukko = {a} Merkintätapa 2a Aina ei ole mahdollista tai tarkoituksenmukaista luetella kaikkia, tai edes edustavaa osaa alkioista. Tällöin osoittautuu kuvaileva merkintätapa hyvin käyttökelpoiseksi. Siinä kuvaillaan joukon alkioiden ominaisuuksia, ja mahdollisesti asetetaan kuvailun tueksi joitain reunaehtoja, jotka erotetaan kuvailu-osasta pystyviivalla:

A = {kuvailu | reunaehto} Kuvailu-osan ja reunaehto-osan välinen "työnjako" ei ole täsmällisesti määritelty: yleensä pyritään mahdollisimman lyhyeen, mutta silti selkeään merkintään. Jos alkioita määritteleviä kriteerejä on paljon, on ne tavan mukaan merkitty siten, että kuvailu-osassa on kaikkein rajoittavin kriteeri, ja muut kriteerit on merkitty reunaehdoiksi. Halutessamme merkitä luonnollisista luvuista muodostettua joukkoa A, jonka pienin alkio on p ja suurin alkio on s, merkitsemme

A = {n ∈ N | p ≤ n ≤ s}. Huomautus: Lukusuoran suljettu väli [a,b] on myös joukko, ja sillä on äärettömän monta alkiota

(kaikki kyseisen välin [a,b] reaaliluvut). Kyseinen joukko voitaisiin kirjoittaa edellä mainittua merkintää käyttäen

A = {x ∈ B | a ≤ x ≤ b}. Vastaavasti myös avoimet ja puoliavoimet välit ovat joukkoja.

Esimerkki 3. a) Kokonaisluvut kolmesta 1245:een={x∈Z | 3 ≤ x ≤ 1245} b) N={x∈Z | 0 ≤ x}, voi myös merkitä N={x | x∈Z, 0 ≤ x}

c) Q=

Ν∈Ζ∈+

= mn

m

n

x ,1

Merkintätapa 2b Joukko on mahdollista määritellä myös funktion avulla.

Esimerkki 4. Määritellään funktion f: N → R, f(n) = 5n avulla joukko A seuraavasti:

A = {f(n) | 0 ≤ n ≤ 10 }

Näin ollen joukkoon A kuuluvat alkiot 0, 5, 10, 15, … , 45, 50, mikä johtuu siitä, että f(0) = 0, f(1) = 5, f(2) = 10 jne.

Sama määrittely voidaan tehdä myös funktiolla, joka määrittelyjoukko on R. Tästä ei kuitenkaan ole monesti hyötyä, sillä kyseisen tyyppisillä funktiolla määriteltävät joukot saa useimmiten määriteltynä suljettuna, avoimena tai puoliavoimena välinä. Merkintätapa 3 Joukon voi myös määritellä mainitsemalla yhden tai muutaman joukon alkioista ja määrittämällä miten mikä tahansa joukon jäsen on määriteltävissä muiden joukon jäsenten avulla. Tätä määrittelytapaa kutsutaan rekursiiviseksi. Esimerkki 5. Parillisten luonnollisten lukujen joukko: Joukko A on sellainen positiivisten luonnollisten

lukujen osajoukko, johon kuuluu luku 2. Lisäksi, jos x kuuluu joukkoon A, myös x+2 kuuluu siihen. Joukkoon A ei kuulu muita kuin edellä saatuja alkioita.

On selvää, että jokainen joukon A alkio on muotoa 2n, missä n ∈ N, sillä pienin jäsen on 2, siitä seuraava 2+2=2·2=4, siitä seuraava 4+2=3·2=6, siitä seuraava 6+2=4·2=8, ... , ja seuraava 2n+2=2(n+1) jne. Tämän todistamiseksi tarvittaisiin induktiotodistus, jota emme ole sisällyttäneet tähän kurssiin. Voinemme kuitenkin uskoa, että A todellakin on parillisten luonnollisten lukujen joukko.

Esimerkki 6. (Raamatun mukaan) Kaikki koskaan eläneet ihmiset, joukko B: Aatami ja Eeva kuuluvat

joukkoon B, kaikki joukon B alkioiden jälkeläiset kuuluvat joukkoon B ja joukossa B ei ole muita alkioita kuin edellä saadut. (Jeesus määritellään tässä yhteydessä Joosefin ja Marian jälkikasvuksi, vaikka Raamatun mukaan toisinkin voisi menetellä.)

Sinällään on täysin yhdentekevää, kuinka joukon ilmoittaa, kunhan jokaisesta alkiosta voidaan todeta kuuluuko se joukkoon vai ei. Siinä mielessä vakiintuneet (yllä esitetyt) joukon esitystavat ovat käteviä, että niitä osataan varmasti tulkita, mutta muuta perustetta niiden suosimiselle ei ole. Huomatus: Tyhjää joukkoa merkitään symbolin ∅ lisäksi joskus merkinnällä { }, eli

∅ = { } YLEISIMPIÄ LUKUJOUKKOJA

- N = {Luonnollisten lukujen joukko} = {0, 1, 2, 3, …} - Z = {Kokonaislukujen joukko} = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} - Z+ = {Positiivisten kokonaislukujen joukko} = {1, 2, 3, 4, …}

- Z- = {Negatiivisten kokonaislukujen joukko} = {−1, −2, −3, −4, …}

- Q = {Rationaalilukujen joukko} = xn

mn m= ∈ ∈

+Z Z,

- R = {Reaalilukujen joukko} - ∅ = {} (tyhjä joukko)

Huomautus: Yllä esitetyistä lukujoukoista käytetään joissain yhteyksissä toisenlaisiakin merkintöjä.

Lisäksi luonnollisten lukujen joukkoon lasketaan toisinaan kuuluviksi vain alkiot 1, 2, 3, …

b a c

d

g h

KUULUU / EI KUULU JOUKKOON

Jo aiemmin on esitelty merkki "∈", joka kertoo siitä, että jokin alkio kuuluu johonkin joukkoon.

a ∈ A ⇔ a on joukon A alkio

Tälle merkille on olemassa myös käänteismerkityksinen merkki: "∉". Jos alkio b ei kuulu joukkoon A, merkitään

b ∉ A.

Havainnollistamme "∈"-merkin merkitystä oheisella kuvalla, jossa näkyy alkio b ja joukko A={a, c, d, g,

h}. a∈A, c∈A, d∈A, g∈A, h∈A ja b∉A. JOUKON MÄÄRITYS KVANTTOREITA KÄYTTÄEN Matematiikassa on käytössä kaksi kvanttoria, joiden avulla määrittelemme seuraavaksi joukkoja. Aluksi kuitenkin tutustumme näihin kvanttoreihin.

Eksistenssikvanttori - ∃∃∃∃ Eksistenssikvanttori (suom. olemassaolokvanttori) tarkoittaa nimensä mukaisesti, että jotakin on olemassa. Tarkemmin määriteltynä eksistenttikvanttori kertoo, että tätä jotakin on olemassa ainakin yksi kappale. Kvanttoria ei käytetä yksinään, vaan sillä halutaan kertoa, että on olemassa sellainen alkio x, jolla on jokin ominaisuus. Yleensä tämä ominaisuus on sellainen, että alkio x johonkin ennalta määritettyyn joukkoon.

∃x tarkoittaa ”on olemassa x”

∃x P(x) tarkoittaa ”on olemassa x siten, että P(x)”, missä P(x) on jokin alkiosta x riippuva ominaisuus

Esimerkki 7. ∃x ∈ R siten, että 3x = 6.

Kyseinen lause kuuluu auki kirjoitettuna: On olemassa sellainen x, joka kuuluu reaalilukuihin, ja jolla yhtälö 3x = 6 toteutuu. Sujuvampaa kieltä olisi sanoa: On olemassa sellainen reaalilukuihin kuuluva luku x, että yhtälö 3x = 6 toteutuu. Huomaamme, että sellainen x tosiaan on olemassa, ja se on luku 2.

Tämä voidaan myös ilmaista seuraavasti:

Olkoon A = {y ∈ R : 3y = 6} eli A on yhtälön 3y = 6 ratkaisujen joukko. Tällöin väite

”∃x ∈ R siten, että 3x = 6” tarkoittaa samaa kuin ∃x : x ∈ A eli mikä on sama kuin A ≠

∅ Monesti eksistenssikvanttoria käytetään tilanteissa, joissa tiedämme että joku asia pätee, mutta emme tiedä, millä muuttujan arvolla se pätee.

Esimerkki 8. Kun ajattelemme funktion f: R → R, f(x) = x2 kuvaajaa, tiedämme että se on x-akselin yläpuolella (sivuaa x-akselia), eli kyseinen funktio voi saada arvokseen nollan ja kaikki sitä suuremmat positiiviset reaaliluvut. Jos oletetaan, että emme tunne neliöjuurifunktiota, niin emme tiedä, millä muuttujan x arvolla funktio f saa arvokseen luvun 3. Mutta silti tiedämme, että sellainen luku on olemassa.

Käytetään eksistenssikvanttoria kyseisen luvun x ilmoittamiseen:

∃x ∈ R siten, että x2 = 3 eli lause kuuluu: on olemassa reaaliluku x, jolla x2=3.

Universaalikvanttori - ∀ Universaalikvanttori (suom. kaikkikvanttori) tarkoittaa, että kaikilla alkioilla (yleensä jostakin tarkkaan määritellystä joukosta) pätee jokin asia.

∀x tarkoittaa ”kaikilla x”

∀x P(x) tarkoittaa ”kaikilla x pätee P(x)” Esimerkki 9. Määritellään f(x) = ”x on positiivinen tai ei-positiivinen”

Esitämme väitteen ∀x f(x), joka tarkoittaa auki kirjoitettuna: Kaikilla x pätee, että x on positiivinen tai ei-positiivinen, eli lyhyemmin ilmaistuna: Jokainen x on positiivinen tai ei-positiivinen. Väite on sinänsä täysin mieletön, koska esimerkiksi tuolista on mahdoton sanoa onko se positiivinen tai ei-positiivinen. Esitystä on lyhennetty ja sillä tarkoitetaan, että kaikilla

reaaliluvuilla pätee. Yleensä kirjoitetaankin ∀x ∈ R. Esimerkki 10.Universaalikvanttorin avulla voimme esimerkiksi kirjoittaa lauseen ”jokaisella luvulla x on

olemassa vastaluku –x” näin:

∀x ∃-x Kuten edellä olevasta huomaamme, universaalikvanttoria käytetään monesti yhdessä eksistenssikvanttorin kanssa. Huomautus: Eksistenssi- ja universaalikvanttorit liittyvät läheisesti logiikkaan: Kvanttoreilla

kirjoitetuilla lauseilla on olemassa totuusarvo, toisin sanoen lause on totta tai ei.

Tämä nähdään esimerkiksi seuraavasta:

∀ x > 0 : x2 = 9, eli jokaisen positiivisen luvun neliö on 9. Tämä ei tietenkään pidä paikkaansa, sillä esimerkiksi luvun 2 neliö on 4 eikä suinkaan 9. Kyseinen lause on siis epätosi.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Merkitse seuraavat joukot mahdollisimman yksinkertaisella (mutta yksikäsitteisellä) tavalla a) luonnolliset luvut kymmenestä viiteentoista b) negatiiviset kokonaisluvut c) joukko, jonka alkioina ovat kaikki aakkoset 2. Mitkä seuraavista merkinnöistä ovat joukkoa kuvaavia järkeviä merkintöjä?

a) A = (a, b, c) f) A = f(n), jossa 3 ≤ n ≤ 50 ja f: N → R

b) B = {a, b, c} g) B = {f(n) + 1 | 3 ≤ n ≤ 50 } , f: N → R

c) C = [a, b, c] h) C = [f(1) , f(2)] , f: R → R

d) D = {a, b} h) D = {f(1) , f(2)} , f: N → R e) E = [a, b] 3. Määritellään joukko A seuraavasti A = [2,3[ Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? a) luku 2 on joukon A alkio b) luku 3 on joukon A alkio

c) joukossa A on kaksi alkiota c) joukossa A on äärettömän monta alkiota 4. Määritä funktio g(x) siten, että joukko C on yksiö.

C = { g(x) | -5 ≤ x ≤ -1 } 5. Kirjoita seuraavien joukkojen määritelmä uudelleen käyttäen funktiota a) A = {4, 8, 12, 16, 20, …}

b) B = {2π, 4π, 8π, 16π, 32π, …}

c) C = {1/π2, 1/π3, 1/π4, … , 1/π1099, 1/π1100} 6. Kirjoita seuraavien joukkojen määritelmä uudelleen luetellen kaikki joukon alkiot

a) A = { f(n) | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 5} , f(n) = n2 + 1

b) B = { f(n) | n ∈ N, 23 ≤ n ≤ 500} , f(n) = 17 - (-1)n

c) C = { f(x) | x ∈ R, x ≥ 1} , f(x) = 3π2

1.3 OSAJOUKKO Jos joukkoon B kuuluu kaikki joukon A alkiot, niin A on B:n osajoukko. Tämä merkitään:

A ⊂ B Jos A ei ole B:n osajoukko, merkitään:

A ⊄ B

Jos siis A = {a, b, c, d} ja B = {a, b, c, d, e, f }, niin A ⊂ B (ks. kuva).

Ei kuitenkaan voida sanoa, että A kuuluisi joukkoon B (eli A ∈ B), sillä se tarkoittaisi, että A joukkona olisi B:n alkio (B = {A, e, f} = {{a, b, c, d}, e, f}.

Tällöin kuitenkaan esimerkiksi alkio a ei kuulu joukkoon B (a ∉ B),

joten A ei ole B:n osajoukko (A ⊄ B).

Ero ∈- ja ⊂-merkkien välillä, eli ero sen välillä, että joku joukko on jonkin toisen joukon alkio tai osajoukko on erittäin tärkeä. Alla oleva esimerkki havainnollistaa tätä eroa. Kun kerran on täysin kelvolliset käsitteet alkio ja joukko, tulee niitä käyttää oikein, niin ymmärrämme jokainen toisiamme. Ei huonekaluliikkeessäkään myydä pöytää tuolin nimikkeellä… Esimerkki 1: Limukori A koostuu cola-juoma-pullosta, omena-limu-pullosta, kivennäisvesi-pullosta ja

jaffa-pullosta. Limukori B koostuu cola-juoma-pullosta, omena-limu-pullosta, kivennäisvesi-pullosta, jaffa-pullosta ja ginger ale-pullosta.

Jos kaksi eri limupulloa, joissa on samaa limua sisällä lasketaan samaksi alkioksi (mikä on

hyvin poikkeuksellista), niin A on B:n osajoukko, eli A ⊂ B. Autoon C lastataan limukori

B (ennen lastausta auto oli tyhjä joukko). Limukori B on nyt siis C:n alkio, eli B ∈ C. Ei

kuitenkaan voida sanoa, että A olisi C:n osajoukko, vaan A ⊄ C, sillä niillä ei ole ainuttakaan yhteistä alkiota: A:n alkioina on limupulloja, mutta C:n ainoa alkio on limukori.

Huomautus: Kaikilla joukoilla A on voimassa A ⊂ A. Samoin ∅ ⊂ A on voimassa kaikilla A.

Huomautus: Vanhemmassa kirjallisuudessa käytetään osajoukon merkitsemiseksi toisenlaisia

symboleja: "⊆" merkitsee osajoukkoa ja "⊂" merkitsee aitoa osajoukkoa (siis suljetaan pois se mahdollisuus, että joukot olisivat samat). Aitoa osajoukkoa tarvitaan kuitenkin sikäli harvoin, että merkintäkulttuuria on virtaviivaistettu, joten nykyään käytetään vain yhtä merkkiä. Jos halutaan kertoa, että A on nimenomaan B:n aito osajoukko, voi sen

merkitä vaikka näin: A ⊂ B ja A ≠ B

e a

b

c

d

f

HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Mitkä seuraavista ovat joukon J = {a, b, c, g, h, k} osajoukkoja? A = {a, b} D = {a, b, c, g, h, k} B = {c, d} E = {a}

C = {a, b, c, f, g, h} F = ∅

2. Mitkä seuraavista ovat joukon K = {sin x | x ∈ R, 0 ≤ x ≤ π} osajoukkoja?

A = {0, π} D = {-1, 1}

B = {sin 0, sin π} E = {0, 1}

C = {sin ½, sin π} F = {π/x | x ∈ R, 4 ≤ x ≤ 40} 3. Luettele kaikki joukon A = {1, 2, 3} a) osajoukot b) aidot osajoukot 4. Anna esimerkki joukosta A, joka on kokonaislukujen osajoukko mutta ei ole luonnollisten lukujen osajoukko

1.4 UNIONI JA LEIKKAUS UNIONI Johdanto Jukan tietokoneella on kattavasti tietoa autoista ja moottoreista. Pertin koneella puolestaan on tietoa veneistä ja moottoreista. Kun Jukan ja Pertin koneet kytketään yhteen pieneksi tietoverkoksi, on tässä verkossa tietoa veneistä, autoista ja moottoreista. Jos molemmilla koneilla on samaa tietoa moottoreista, ei verkottaminen tältä osin lisää käsillä olevaa tietoa. Kuitenkin se tieto, joka on vain toisella koneella on verkon myötä molempien käytössä. Voidaan siis sanoa, että verkko on molempien koneiden tietojen yhdiste eli unioni: Siellä on kaikki Jukan koneen tieto ja kaikki Pertin koneen tieto. Joukko, joka sisältää jokaisen A:n ja jokaisen B:n alkion, on A:n ja B:n unioni eli yhdiste, joka merkitään

A ∪ B.

Jos määrittelemme A = {a, b, c} ja B = {b, c, d}, niin A ∪ B = {a, b, c, d}. Unionin ja muiden "joukkojen laskutoimitusten" havainnollistamisessa käteviä ovat ns. aluediagrammit. Ohessa A:n ja B:n unionista piirretty ympyrädiagrammi, jossa unionissa mukana olevat alueet on tummennettu. Joukko-oppiin

aluediagrammi liittyy siten, että joukko A käsitetään soikion A pisteiden joukoksi. Siten A ∪ B on kaikki soikion A ja soikion B pisteet.

Unionia kutsutaan toisinaan yhdisteeksi. Tässä tekstissä käsittelemme yhtenäisyyden vuoksi sitä unionina, mutta muissa materiaaleissa valinta voi olla toinen. Esimerkki 1. Helsingistä löytyvät tunnetut kadut Mannerheimintie, Kaivokatu ja Länsiväylä. Espoosta

Länsiväylä ja Bodomintie ja Vantaalta Tikkurilantie.

Meillä on siis joukot Helsinki, Espoo ja Vantaa ja kullakin näistä joukoista on alkioinaan tunnettuja katuja edellä luetellun mukaisesti. Pääkaupunkiseudun suurimpien kuntien tunnetut kadut saadaan ottamalla unioni em. joukoista. Tämän joukon alkiot ovat pääkaupunkiseudun suurimpien kuntien tunnettuja katuja. Siis pääkaupunkiseudun suurimpien kaupunkien tunnettujen katujen joukkoon kuuluvat alkiot Mannerheimintie, Bodomintie, Länsiväylä, Kaivokatu ja Tikkurilantie.

Esimerkki 2. (numeerinen esimerkki, jossa ainakin yhdessä kohtaa kahden joukon unioni on toinen

niistä joukoista. Esimerkiksi N∪R=R)

LEIKKAUS Johdanto Autoliikkeessä on myynnissä kaikenlaisia ja kaiken hintaisia autoja. Autoa ostaessa päätökseen vaikuttavat auton hinta ja ominaisuudet. Autokaupan tarjonnasta kelvolliset vaihtoehdot saa helposti selville joukko-opin keinoin, jos käytämme joukkojen leikkausta. Joukko, joka sisältää täsmälleen ne alkiot, jotka kuuluvat sekä A:han että B:hen, on A:n ja B:n leikkaus, joka merkitään

A ∩ B.

Jos määrittelemme A = {a, b, c} ja B = {b, c, d}, niin A ∩ B = {b, c}. A:n ja B:n leikkausta kuvaavassa aluediagrammissa tummennettuna alueena on se alue, joka kuuluu sekä A:han että B:hen. (ks. kuva)

Valitsemme autokaupan tarjonnasta joukoksi A ne autot, joiden hinta sopii asiakkaan suunnitelmiin, ja joukoksi B ne autot, joiden ominaisuudet sopivat asiakkaan tarpeisiin. Nyt joukkojen A ja B

leikkaukseen A ∩ B kuuluvat vain ne autot, jotka sopivat asiakkaan suunnitelmiin.

Esimerkki 3. Vaalien yhteydessä on monien julkisten medioiden toimesta internetissä niin sanottuja vaalikoneita, jotka haravoivat ehdokasjoukosta kunkin kansalaisen ajattelua vastaavan ehdokkaan. Koneiden toiminta perustuu ehdokkaiden jaotteluun osajoukkoihin näkemystensä mukaan. Sitten kysytään kansalaiselta, mikä hänen kantansa on, ja sen perusteella valitaan minkä ehdokkaitten osajoukkojen leikkauksessa olisi sopivimmat ehdokkaat.

Ottakaamme esimerkkihenkilö, joka haluasi kunnan panostavan opetukseen lisävaroja, lisää koirapuistoja ja suurempaa kotihoidon tukea. Vähemmän tärkeänä hän pitäisi pientalotonttien kaavoitusta. Häntä varten tietokone valitsisi ehdokasjoukosta seuraavat osajoukot:

• A = {ehdokkaat, jotka lupaavat antaa lisävaroja opetukseen}

• B = {ehdokkaat, jotka lupaavat lisää koirapuistoja}

• C = {ehdokkaat, jotka lupaavat lisätä kotihoidon tukea}

• D = {ehdokkaat, jotka eivät lupaa lisää pientalotontteja}

Seuraavaksi kone listaisi kansalaiselle joukon A ∩ B ∩ C ∩ D ehdokkaat. (Täsmälleen näin vaalikoneet eivät toimi, mutta toimintaperiaate on yllä esitetyn kaltainen osajoukkoineen ja niiden leikkauksineen.)

Esimerkki 4.

• Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen joukkojen leikkaus on joukko, joka käsittää

täsmälleen ne alkiot, jotka kuuluvat molempiin joukkoihin. Koska N⊂Z, on

leikkauksessa mukana koko N, eikä mitään muuta. Eli: N∩Z=N.

• Merkitkäämme A={2x | x∈N} (parilliset positiiviset luvut) ja B={3x | x∈N} (kolmella jaolliset positiiviset luvut). Halutessamme voimme näiden joukkojen

leikkauksen avulla merkitä kuudella jaollisten positiivisten lukujen joukon "C":

C=A∩B. Huomautus: Unioni ja leikkaus ovat symmetrisiä. Tämä tarkoittaa:

A ∪ B = B ∪ A ja A ∩ B = B ∩ A Nämä havainnot on helposti todistettavissa, ja todistukset löytyvät kappaleesta 1.6.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ

1. Määritä joukkojen A ja B unioni A ∪ B, kun a) A = {4, 6} ja B = {1, 2} b) A = {2, 4, 6} ja B = {1, 2, 3, 4}

b) A = {6, 7, 8} ja B = ∅

2. Määritä joukkojen A ja B leikkaus A ∩ B, kun a) A = {7, 8, 9} ja B = {6, 7, 8} b) A = {1, 2} ja B = {1, 5, 10, 15, 20, 25} c) A = {1, 2} ja B = {5, 10, 15, 20, 25}

3. Määritä joukkojen A, B ja C leikkaus A ∩ B ∩ C, kun a) A = {7, 8, 9}, B = {6, 7, 8} ja C = {4, 8, 12} b) A = {a, b, c}, B = {c, d} ja C = {a, d}

3. Määritä joukkojen C ja D unioni C ∪ D, kun

a) C = {sin x | x ∈ R, 0 ≤ x ≤ π} ja D = {sin x | x ∈ R, π ≤ x ≤ 2π}

b) C = {sin x | x ∈ R, π/3 ≤ x ≤ π} ja D = {sin x | x ∈ R, π ≤ x ≤ 2π}

c) C = {sin x | x ∈ R, 0 ≤ x ≤ π} ja D = {cos x | x ∈ R, 0 ≤ x ≤ π}

4. Määritä joukkojen C ja D leikkaus C ∩ D, kun

a) C = {sin x | x ∈ R, 0 ≤ x ≤ π} ja D = {0, 1}

b) C = {sin x | x ∈ R, 0 ≤ x ≤ π} ja D = {cos x | x ∈ R, π/2 ≤ x ≤ π}

c) C = {sin x | x ∈ R, π ≤ x ≤ 2π} ja D = {cos x | x ∈ R, π/2 ≤ x ≤ 3π/2} 5. Määritä joukkojen A ja B unioni ja leikkaus a) A = {1, 2, 3} ja B = {4, 5, 6} b) A = {g, h, m} ja B = {m, n} c) A = {a, b} ja B = [a, b]

d) A = {4n | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 4} ja B = {n2 | n ∈ N, 1 ≤ n ≤ 4} 6. Asetetaan joukot A = {a, b} ja B = {b, c}

a) määritä (A ∪ B) ∩ A

b) määritä A ∪ (B ∩ A) Mitä huomaat?

7. Määritä

a) R ∪ N

b) R ∩ N

c) Z ∩ {x | x ∈ Z, x ≥ 0} d) R ∩ {-2, π, 5}

8. Anna esimerkki funktion f: R → R avulla määritellystä joukosta A, jonka leikkaus joukon {-1, 1}

kanssa on yksiö. (Siis joukon A ∩ {-1, 1} pitää olla yksiö.) Funktio f ei saa olla vakiofunktio.

1.5 EROTUS JA KOMPLEMENTTI EROTUS Johdanto Shakkia pelatessa on tärkeää pitää oma kuningas sellaisissa ruuduissa, joissa se ei ole uhattuna. Kuningastahan saa siirtää mihin tahansa viereiseen ruutuun, kunhan niissä ruuduissa ei ole omia nappuloita, eikä vastustaja voi siirtää mitään nappulaansa niihin ruutuihin seuraavalla vuorolla. Joukko-opin avulla on helppoa määrittää ne ruudut, joihin kuninkaan voi siirtää, jos käytämme joukkojen erotusta.

Joukko, joka sisältää ne A:n alkiot, jotka eivät samalla ole B:n alkioita, on A:n ja B:n erotus, joka merkitään

A \ B. Jos määrittelemme A = {a, b, c, d} ja B = {b, c}, niin A \ B = {a, d}. A:n ja B:n erotusta kuvaava aluediagrammi on ohessa. Siinä tummennettuna on alue, jossa on vain A:n alkioita. (ks. kuva)

Kuninkaan ympärillä on kahdeksan ruutua, jotka määrittelemme joukoksi A. Määritelkäämme ne ruudut, joissa on omia nappuloita joukoksi B ja ne ruudut, joihin vastustaja voi seuraavalla vuorolla siirtää jonkun nappulansa joukoksi C. Nyt ne ruudut, joihin kuninkaan voi siirtää ovat (A \ B) \ C.

Esimerkki 1. Dieetit toimivat tavan mukaan kielloilla: "Ei rasvaa" tai "ei hiilihydraatteja" tms.

Seisovasta pöydästä ruokaa ottavan dieetillä olevan henkilön valinnat on helposti formaloitavissa joukko-opilla ja nimenomaan erotuksen avulla: Olkoon jokainen ruokalaji yksi alkio ja P joukko, joka käsittää kaikki pöydän antimet.

Olkoon esimerkkihenkilömme dieetillä, joka kieltää perunan, riisin, pastan ja leivän. Emme tiedä onko joukossa P näitä alkioita, mutta erotuksen avulla voimme silti määrittää sallittujen ruokalajien joukon: P \ {peruna, riisi, pasta, leipä} on joukko, joka käsittää kaikki pöydän antimet pois lukien pöydällä mahdollisesti esiintyvät perunan, riisin, pastan ja leivän.

Esimerkki 2. Rationaaliluvut Q ovat reaalilukujen R osajoukko. Ne reaaliluvut, jotka eivät ole rationaalilukuja, ovat irrationaalilukuja. Näin ollen voimme merkitä irrationaaliluvut käyttäen erotusta: Kun reaalilukujen joukosta erotetaan rationaalilukujen joukko, jäljelle jäävät irrationaaliluvut, eli

R \ Q = irrationaaliluvut.

B

Jos puolestaan kokonaislukujen joukosta Z erotetaan negatiivisten kokonaislukujen joukko, jäljelle jää luonnollisten lukujen joukko N, eli Z \ {-1, -2, -3, …} = N Kun taas erotamme kokonaislukujen joukosta Z reaalilukujen joukon R, jäljelle jää tyhjä joukko, sillä kaikki kokonaisluvut ovat myös reaalilukuja:

Z \ R = ∅

Huomautus: Erotus ei ole symmetrinen, eli yleensä A \ B ≠ B \ A. Todistus löytyy kappaleesta 1.6. KOMPLEMENTTI

Funktio f(x) = 1

x on määritelty kaikkialla muualla reaaliakselilla, paitsi nollassa. Funktion

määrittelyjoukko M on siis {x ∈ R | x ≠ 0}. Määrittelyjoukon voi esittää myös kertomalla, missä

funktio ei ole määritelty. Muualla reaaliakselillahan se on määritelty. Funktion f(x)=1

x määrittelyjoukon

voi siis esittää melko lyhyesti komplementin avulla. Näytämme kohta, miten.

Joukon A komplementti on se joukko, joka sisältää täsmälleen ne alkiot, jotka eivät ole A:ssa. Komplementti on mielekäs käsite vain silloin, kun sitä käytetään jonkun kiinteän joukon puitteissa. Tämä joukko on nimeltään perusjoukko. Funktion f määrittelyjoukon voi ilmoittaa nollan joukon komplementtina reaalilukujen joukossa, mutta nollan komplementti yleisesti se ei ole. Nollan

komplementti reaalilukujen joukossa on {x∈R | x≠0}, mutta nollan joukon komplementti yleisesti käsittää paljon muitakin alkioita, kuten sanan "koira", joka takuulla ei kuulu funktion f määrittelyjoukkoon. Oheisessa aluediagrammissa havainnollistamme tummennuksella joukon A (soikio) komplementtia perusjoukossa B (suorakulmio).

Tässä yhteydessä merkitsemme komplementtia erotuksen avulla siten, että perusjoukosta (B) erotetaan se joukko, jonka komplementti halutaan määritellä (A). Joukon A komplementti perusjoukossa B on siis B \ A. Vaikka emme lanseeraakaan komplementille omaa merkintää, on se silti erinomaisen tärkeä käsite joukko-opissa! Huomautus: Kirjallisuudessa esiintyy toisenlaisiakin merkintöjä, joista yleisin on vektori- ja

keskiarvomerkin tapainen yläviiva ( )A . Toinen yleinen on eksponentissa oleva C-kirjain

(AC) Näissä komplementin merkinnöissä ei ole mainintaa, missä perusjoukossa komplementti määritellään, joten sen on näitä merkintöjä käytettäessä käytävä ilmi asiayhteydestä, mikä tekee näistä merkinnöistä liian epäselviä meidän käyttöömme.

Funktion f(x)=1

x määrittelyjoukko esitettynä komplementin avulla on siis: R\{0}.

A

Esimerkki 3. Eduskunnan kansanedustajat jakautuvat hallituspuolueiden edustajiin ja oppositioon. Hallituspuolueiden edustajat on opposition komplementtijoukko eduskunnassa ja toisinpäin.

Esimerkki 4. Parillisten lukujen joukon, jota merkitsemme merkillä P, komplementti kokonaisluvuissa

on joukko, joka käsittää kaikki parittomat luvut ja 0:n. Tämän joukon voi merkitä esimerkiksi näin: Z \ P. Parittomien lukujen joukko on (Z \ P) \ {0}.

Esimerkki 5. Tiedemiehet käyttävät paljon aikaa selvittääkseen maailman mysteereitä ja kirjoittaakseen

löydöksiään dokumenteiksi. Nykytekniikalla pääsisimme helpommallakin: Kykenemme kirjoittamaan nykyisellä tiedolla kaikki tulevatkin kirjat.

Se käy näin: Sopikaamme, että kirjassa on 200 sivua, yhdellä sivulla on 50 riviä ja yhdelle riville mahtuu 90 kirjainmerkkiä. Sopikaamme myös, että erilaisia kirjainmerkkejä on 100 kappaletta. Nyt siis, kun erilaisia rivejä voi kirjoittaa 10090 kappaletta, voi erilaisia sivuja kirjoittaa ( 10090 )50 kappaletta. Erilaisia kirjoja on siis mahdollista kirjoittaa "vain" ( ( 10090

)50 )200 = 10900 001 kappaletta, ja tietokoneen voi ohjelmoida kirjoittamaan ne kaikki itsenäisesti. Tämä kirjamäärä sisältää tietenkin tavattomat määrät silkkaa siansaksaa ja muuten vain väärää tietoa. Merkitkäämme kaikkien kirjojen joukkoa A:lla, väärää tietoa sisältävien

kirjojen joukkoa B:llä ja siansaksaksi kirjoitettujen kirjojen joukkoa C:llä. Nyt joukko B ∪ C sisältää kaikki epäkelvot painokset, joten niiden komplementti,

A \ (B ∪ C) on kaikkien pätevää tietoa sisältävien kirjojen joukko – käännöksineen kaikille kirjaimia käyttäville kielille. Näiden kirjojen painamiseen saattaa tosin kulua vähän turhan paljon aikaa ja materiaalia – puhumattakaan niiden lukemiseen ja paikkansapitävyyden tarkistamiseen menevästä ajasta, joten menetelmän helppous onkin oikeastaan aika kyseenalaista.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Määritä joukkojen A ja B erotus A \ B, kun a) A = {2, 4, 5, 7} ja B = {2, 7} b) A = {2, 4, 5, 7} ja B = {3, 6}

b) A = {6, 7, 8} ja B = ∅ b) A = {1, 2} ja B = {1, 2, 3, 4} 2. Määritä joukkojen A ja B erotus A \ B, kun a) A = {7, 8, 9} ja B = {6, 7, 8} b) A = {1, 2} ja B = {1, 5, 10, 15, 20, 25} c) A = {1, 2} ja B = {5, 10, 15, 20, 25} 3. Määritellään perusjoukko P = {a, b, c, d, e, f, g}. Mikä on joukon A = {c, d} komplementti joukossa P? 4. Määritä irrationaalilukujen komplementti reaalilukujen joukossa. 5. Joukko A = {a, b, c}, joukko B = {a, x} ja joukko C = {x, y, z}. Määritä

a) A \ (B ∪ C)

b) (A \ B) ∪ C

c) (A ∪ C) \ B

d) (A ∩ B) ∪ (C ∩ B) \ B

6. Funktio f: R → R määritellään seuraavasti:

f(x) = x2 , kun x ≥ 3 9 , kun x < 3

Määritä joukon A = {f(x) | x ∈ R } komplementti reaalilukujen joukossa.

7. a) Määritä funktio f: [0,∝[ → R siten, että joukon P = {f(x) | x ∈ R, x ≥ 0 } komplementti reaalilukujen joukossa on väli [2,4].

b) Määritä funktio g: [c,∝[ → R siten, että joukon Q = {g(x) | x ∈ R, x ≥ c } komplementti reaalilukujen joukossa on väli [a,b].

1.6 TODISTUKSIA TODISTUS 1

Väite Unioni on symmetrinen eli A ∪ B = B ∪ A. Todistus Unionin määritelmän mukaan:

A ∪ B = {x | x ∈ A tai x ∈ B} ja B ∪ A = {x | x ∈ A tai x ∈ B}.

Selvästikin {x | x ∈ A tai x ∈ B} = {x | x ∈ A tai x ∈ B}, joten A ∪ B = B ∪ A. TODISTUS 2

Väite Leikkaus on symmetrinen eli A ∩ B = B ∩ A. Todistus Leikkauksen määritelmän mukaan:

A ∩ B = {x | x ∈ A ja x ∈ B} ja B ∩ A = {x | x ∈ A ja x ∈ B}.

Selvästikin {x | x ∈ A ja x ∈ B} = {x | x ∈ A ja x ∈ B}, joten A ∩ B = B ∩ A. TODISTUS 3 Väite Erotus ei ole symmetrinen kaikilla joukoilla A ja B, eli on olemassa sellaiset joukot A ja B,

joilla A \ B = B \ A. Todistus Tämä väite on helppo todistaa. Väite on helpointa todistaa antamalla esimerkki joukoista,

joilla erotus ei ole symmetrinen: Asetetaan A = {1, 2, 3} ja B = {2, 3, 4}. Nyt A \ B =

{1} ≠ {4} = B \ A.

Hieman mutkikkaampaa on todistaa, että erotus on symmetrinen vain sellaisilla joukoilla A ja B, joilla A = B. TODISTUS 4 Väite Erotus on symmetrinen täsmälleen silloin, kun A = B.

Todistus Kun A = B, on ilmiselvästi A \ B = B \ A = ∅. Seuraavaksi osoitamme, että jos A \ B = B \ A, niin A = B.

Tehdään oletus A \ B = B \ A. Ensiksi toteamme, että tällöin A \ B = ∅ = B \ A. Syy

tähän on seuraava: {x | x ∈ A ja x ∉ B} = A \ B = B \ A = {x | x ∈ B ja x ∉ A} ja

yhtäkään tällaista alkiota x ei ole olemassa. Siten pätee A \ B = ∅ = B \ A.

Tämän jälkeen näytämme, että tästä seuraa A = B. Tätä varten on näytettävä, että A ⊂ B

ja B ⊂ A, sillä silloin A:ssa ja B:ssä on samat alkiot eli A = B.

Näytämme ensiksi, että A ⊂ B. Olkoon x ∈ A. On näytettävä, että x ∈ B. Koska A \ B =

∅, x ∉ A \ B, mutta toisaalta x ∈ A. Joukon A \ B määritelmän mukaan täytyy tällöin

päteä x ∈ B (sillä jos x ∉ B, niin x ∈ A \ B). Siten jokainen x ∈ A kuuluu myös B:hen eli

A ⊂ B.

Täsmälleen samalla tavalla näytetään B ⊂ A ja yhdistämällä yllä olevat tulokset saadaan A

= B, mikä oli väite.

1.7 KERTAUS Tämä kappale sisältää kertaustehtäviä joukko-opin asioista ja lyhyen tiivistelmän tärkeimmistä merkinnöistä. Merkintä Tarkoittaa A = B A ja B ovat sama joukko, eli niillä on täsmälleen samat alkiot.

A ≠ B A ja B eivät ole sama joukko, eli toisessa on vähintään yksi sellainen alkio, jota ei ole toisessa.

a ∈ A a on A:n alkio.

b ∉ A B ei ole A:n alkio

A ⊂ B A on B:n osajoukko, eli jokainen A:n alkio on myös B:n alkio.

A ⊄ B A ei ole B:n osajoukko, eli A:ssa on ainakin yksi alkio, jota B:ssä ei ole.

A ∪ B A:n ja B:n unioni, eli yhdiste, eli joukko joka sisältää kaikki A:n alkiot sekä kaikki B:n alkiot.

A ∩ B A:n ja B:n leikkaus, eli joukko, joka sisältää täsmälleen ne alkiot, jotka ovat sekä A:ssa että B:ssä

A \ B A:n ja B:n erotus, eli joukko, joka sisältää ne A:n alkiot, jotka eivät ole samalla B:n

alkioita. Merkitsee samalla B:n komplementtia A:ssa.

A = ∅ A on tyhjä joukko.

KERTAUSTEHTÄVIÄ 1. Mitkä seuraavista joukoista ovat samat?

• A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

• B={x∈Z\{0}| x2≤100}

• C={1, 2, 3, … , 10}

• D={x | 1≤x≤10}

• E=B∩N

• F={x∈N | 0<x<11} 2. Mitkä luvut kuuluvat/eivät kuulu seuraaviin joukkoihin?

• A={x∈Z | x≥0}

• B= x yx

y∈ ∀ ∈ ∈

+ +Z Z Z:

• C={x∈N | ∃y∈N: x>y}

• D={x∈R | ∀y∈R: xy=x}

• E={x∈R | ∀y∈R: xy∈Q}

• x yx

yy∈ ∀ ∈ ∈ ∨ =

Q Q Q: 0

3. Mitkä alla olevista joukoista kuuluvat alkioina johonkin toiseen alla olevista joukoista? Mihin?

• A=∅

• B={1, 2, 3}

• C=N

• D= xx

∈ ∈

N N2

• E={∅, 1, 2, 3, {1, 2, 3}, {4,6, 8}}

• F={8, 4, 6}

4. Mitkä yllä olevista joukoista ovat toistensa osajoukkoja?

5. Merkitse ⊂, ⊆, ⊃ tai ⊇ alla oleviin tyhjiin kenttiin sen mukaan, mikä sopii tilanteeseen. Jos käypiä vaihtoehtoja on useampia, merkitse myös ne.

a) x yx

y∈ ∀ ∈ ∈

+Z Z Z: {0}

b) {x ∈ R | 1/x ∈ R} R \ {0}

c) {x ∈ R | 1/x ∈ R} {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ π}

d) {x ∈ R | ex ∈ R} R+

6. Merkitse A∩B ilman "∩"-merkkiä (eli "∪" ja/tai "\"-merkkien avulla).