levelezo mechanika 2010 teljes -...
TRANSCRIPT
Mechanika (FBL101E-1)
Fizika tanári minor_L + Fizika BSc_L20+10 óra
Dr. Geretovszky [email protected] , 54-4659
Előadó:
Gyakorlatvezető:Dr. Horváth Zoltá[email protected] , 54-4528
http://titan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/indexh.html
Oktatás/Kurzusok menüpont
Fröhlich Pál tanterem2010. október 15. P: 12-16
Fröhlich Pál tanterem2010. november 5. P: 12-16
Fröhlich Pál tanterem2010. november 19. P: 14-18
Fröhlich Pál tanterem2010. október 1. P: 12-16
Fröhlich Pál tanterem2010. szeptember 17. P: 12-16
20 óra/félévElőadás
Fröhlich Pál tanterem
Fröhlich Pál tanterem
Fröhlich Pál tanterem2010. november 19. P: 12-14
Fröhlich Pál tanterem
Fröhlich Pál tanterem
10 óra/félévGyakorlat
ZH
InformációkA követelmények ismertetése.
- Dialóg Campus Kiadó Általános Fizika sorozatának könyvei:
Tasnádi Péter, Skrapits Lajos, Bérces György: Mechanika I.
Tasnádi Péter, Bérces György, Skrapits Lajos,
Litz József: Mechanika II. Hőtan
A kurzus segédanyagai a http://opt.physx.u-szeged.hu/indexh.html internet-címen az Oktatás/Kurzusok link alatt találhatóak meg.
Ajánlott irodalom a mechanika részhez:
A világhálón fellelhető anyagok legtöbbször NEM lektoráltak!!
- Erostyák János, Litz József: A fizika alapjai, NemzetiTankönyvkiadó, 2002
- Erostyák János, Litz József: Fizika I. Klasszikus mechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007
- Budó Ágoston: Kísérleti fizika I., Nemzeti Tankönyvkiadó (könyvtár, antikvár)
KKöövetelmvetelméények nyek
A kollokvium írásbeli beugró dolgozatból és szóbeli vizsgából áll.A beugró dolgozat megírására 50 perc áll rendelkezésükre.A beugró kérdések 4 témakörből kerülnek ki.A beugró akkor sikeres, ha MINDEN (!!!) témakörből megszerezik az
adható pontok legalább 50%-át.
A beugró kérdéssora, valamint a tételsor a tanszéki honlapról letölthetőek:http://titan.physx.u-szeged.hu/~opthome/optics/indexh.html
A gyakorlaton való részvétel kötelező. A vizsgára bocsáthatóság feltétele agyakorlat sikeres (legalább elégséges (2)) teljesítése.
A fizikai mennyisA fizikai mennyiséégg
x={x}[x] (számérték)(mértékegység)
A mértékegység az azonos fajtájú mennyiségek halmazából kiválasztottvonatkoztatási mennyiségérték.
Etalon: valamely mennyiség mértékegységét reprodukálható módonmegtestesítő mérőeszköz.
Koherens mértékegységrendszer: a mértékegységek zöme néhánydefiniált alapmennyiség egységeiből származtatható.
Egy fizikai mennyiség definíciójával szemben támasztott a legfontosabbkövetelmény az, hogy egyértelműen megállapítható legyen belőle, hogyaz illető mennyiséget hogyan kell mérni.
MilyenMilyen a ja jóó mméértrtéékegyskegyséég?g?
Elvileg a fizikai mennyiségekhez tetszőleges mértékegységet hozzárendel-hetünk.
• Azonban a mértékegységeket célszerű úgy megválasztani, hogy segít-ségükkel a mindennapi élet tapasztalatai egyszerűen kifejezhetőklegyenek.
• Továbbá az egységet időtálló módon rögzíteni � a mértékegységeketlehetőleg természeti állandókra vagy jól reprodukálható jelenségekre kellalapítani, és a lehető legnagyobb körben egyezményesen elfogadtatni.
A mA méérréés s éés hibs hibáájaja
A mérés: a mérendő mennyiségnek az adott mennyiség egységével (etalonjával) történő összehasonlítása.
Az abszolút hiba: x±∆x
A relatív hiba: ∆x/x
A mértékegységek megválasztása (kellő mérési pontosság, időtállóság, kezdetben emberi lépték)
DimenzionDimenzionáális homogenitlis homogenitááss• A mértékegységredszer transzformációjával szembeni szimmetria. Az egyenletek ezentulajdonságát a Fourier-feltétel rögzíti:
“Egy egyenletben szereplő minden tag dimenziójának azonosnak kell lennie.“
• Az egyenletek felbonthatók külön a mérőszámok és külön a mértékegységek közöttikapcsolatokra.
• pl. az x3=ax1α1x2
α2 egyenlet azt jelenti, hogy{x3}[x3]={a}[a]{x1}α1[x1]α1{x2}α2 [x2]α2,
azaz egyszerre kell teljesüljön, hogy {x3}={a}{x1}α1{x2}α2 és [x3]=[a][x1]α1[x2]α2, azaz a mértékegységek egymástól nem függetlenek.
• A természettörvények objektívek, az őket leíró egyenletekben szereplő mennyiségekszámértéke függ az etalon illetve a zéruspont megválasztásától, azaz szubjektív.
• Pl. F = ma egyenletben a fizikai mennyiségek közötti kapcsolat független a választottmértékegységtől.
• A mértékegységet csak akkor kell megadni, ha a képletben egy mértékegységgelrendelkező konstans is szerepel.
• Dimenzióanalízis
• Dimenzió nélküli kifejezések (sin (); e(); stb.)
MMéértrtéékrendszerekkrendszerek• 1799. június 22 az első tízes alapú mértékrendszer (Decimal Metric System); az első
platina méter és kilogram etalonok elhelyezése a párizsi Archives de la République-ban.
• 1832. Gauss megalkotja az első koherens mértékrendszert, melyben a kg-hoz és a m-hez hozzáveszi a csillagászatból vett másodpercet. Gauss meghatározza a Föld mágneses terének erősségét a milliméter, gramm and másodperc egységek segítségével.
• 1860-as évek Maxwell és Thomson javasolja, hogy a koherens mértékrendszer álljon alap és származtatott mértékegységekből.
• 1874 bevezetik a CGS rendszert, mely három mechanikai egységen a centiméteren, a gramon és a másodpercen alapul és a prefixumok közül bevezetik a mikrotól a megáig terjedőket.
• 1875 május 20. Méter Konvenció, feladata az új méter és kilogram etalonok kidolgozása.
• 1889 életbe lép az MKS rendszer az új méter és kilogram standardokkal és a bevezetésre kerülő csillagászati másodperccel.
• 1901 Giorgi bebizonyítja, hogy a mechanikai mértékegységekhez az ampert, vagy ohmot hozzáváve koherens 4 elemű mértékrendszer alkotható.
• 1921 a Méter Konvenció felülvizsgálata.• 1939 az MKSA rendszer bevezetése: a negyedik mértékegység az amper lesz.• 1954 bevezetésre kerül a kelvin és a candela , mint a termodinamikai hőmérséklet
és a fényerősség egységei.• 1960 A hat elemű mértékrendszer a Système International d’Unités (SI) nevet
kapja.• 1971 az anyagmennyiség mértékegységének, a molnak a bevezetésével teljessé válik
a jelenleg is érvényes 7 tagú SI mértékrendszer.
http://physics.nist.gov/cuu/Units/introduction.html
Mars Polar LanderMars Polar LanderSpacecraft Dimensions1.06 meters tall by 3.6 meters wide. Spacecraft WeightTotal: 576 kgPropellant: 64 kgMission Timeline1993: Project startedJanuary 3, 1999: Launch December 3, 1999: LOST during landingProject Cost$110 million for spacecraft development, $10 million mission operations; total $120 million (not including launch vehicle or Deep Space 2 microprobes).
Az SI alap mAz SI alap méértrtéékegyskegyséégeigei
cdkandelaFényerősség
molmolAnyagmennyiség
KkelvinTermodinamikaihőmérséklet
AamperElektromos áram
smásodpercIdő
kgkilogramTömeg
mméterHosszúság
JelNévMennyiség
Az SI alapegysAz SI alapegyséégeigeiA hosszúság mértékegysége a méter, jele m. A méter annak az útnak a hosszúsága, amelyet a fény vákuumban 1/299 792 458 másodperc alatt tesz meg.
A tömeg mértékegysége a kilogramm, jele kg. A kilogramm a Sévres-ben őrzött tömegetalon tömege.
A idő mértékegysége a másodperc, jele s. Az alapállapotú cézium 133 atom két hiperfinom szintje közti átmenethez tartozó sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama.
Az elektromos áramerősség mértékegysége az amper, jele A. Az amper olyan állandóelektromos áram erőssége, amely két egyenes, párhuzamos, végtelen hosszúságú, elha-nyagolhatóan kicsiny körkeresztmetszetű és egymástól 1 méter távolságban, vákuumban levő vezetőben fenntartva, e két vezető között méterenként 2x10-7N erőt hozna létre.
A termodinamikai hőmérséklet mértékegysége a kelvin, jele K. A kelvin a víz hármaspontja termodinamikai hőmérsékletének 1/273,16-szorosa.
Az anyagmennyiség mértékegysége a mól, jele mol. A mól annak a rendszernek az anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet tartalmaz, mint ahány atom van 0,012kg szén-12 izotópban.
A fényerősség mértékegysége a kandela, jele cd. A kandela az olyan fényforrás fényerőssége adott irányban, amely 540THz frekvenciájú monokromatikus fényt bocsát ki és sugárerőssége ebben az irányban 1/683-ad watt/szteradián.
SI prefixumok SI prefixumok
dadeka101
hhekto102
kkilo103
Mmega106
Ggiga109
Ttera1012
Ppeta1015
Eexa1018
Zzetta1021
Yyotta1024
JeleNévFaktor
yyocto10-24
zzepto10-21
aatto10-18
ffemto10-15
ppiko10-12
nnano10-9
µmikro10-6
mmilli10-3
ccenti10-2
ddeci10-1
JeleNévFaktor
SzSzáármaztatott mrmaztatott méértrtéékegyskegyséégekgek
A hosszA hosszúússáágg• 1799: a Párizson áthaladó délkör hosszának 40 milliomod része (Cu
mérőhasáb, „levéltári méter”)• 1889: nemzetközi méter etalon platina-irídium (90/10) ötvözetből,
„ősméter” (hiba 1µm, relatív hiba: 10-6)• 1960: a kripton 86 izotóp egy átmenetének hullámhosszához rögzítik a
métert 1 m = 1 650 763,73 λ0
mérési eljárást adtak meg, relatív hiba: 10-9
• 1983: A fény által vákuumban 1/299 792 458 másodperc alatt megtett út. (relatív hiba: 10-15)
http://www.bipm.org/en/si/history-si/evolution_metre.html
A dA déélklköör 10r 10oo--os szakaszos szakaszáának nak lemleméérréése, 1791se, 1791--17981798
Jean Baptiste Joseph DELAMBRE1749 - 1822
Pierre François André MÉCHAIN1744 – 1804
Paris
Az ősméter
Az ősmétert TRESCA francia fizikus tervezte, de a konstrukció kialakításában szerepe volt KRUSPÉR javaslatainak is. A jellegzetes, "X" keresztmetszetű szelvény 90% platinaés 10% irídium ötvözetéből készült, így viszonylag kis lineáris hőtágulási együttha-tóval rendelkezik. A rúd 1020 mm hosszúságú. A métert két, az ún. semleges síkra (a-a) a hossztengelyre merőlegesen felvitt, 8 mm szélességű főkarcok közötti távolságreprezentálja. E karcoktól 0,5 mm-re mindkét oldalon egy-egy segédvonás található, ezek a célzómikroszkópos optikai komparátor könnyebb beállíthatóságát segítik elő.A semleges sík középvonalában egy kettős karc húzódik (a két vonal távolsága 0,2 mm). Ezek tűzik ki az etalon tengelyvonalát (b ábra). Az ősmétert a legkisebb lehajlást ered-ményező, ún. Bessel-féle alátámasztási pontokon, azaz a végektől számítva a teljeshossz 2/9-ed részének megfelelő távolságban kell alátámasztani, legalább 10 mm átmérőjű görgőkkel (c ábra).30 db méterrudat készítettek, melyek közül a 6. rúd karctávolsága esett a legközelebb a levéltári méter hosszához, így ez lett a nemzetközi méter-etalon, az "ősméter„. Az OMH a 14. sorszámút kapta ("nemzeti ősméter„), mely 1,3 µm-rel bizonyult rövidebbnek azalapmértéknél.
#27, USA
ca. 1875-1889NIST Museum Collection
http://www.sasovits.hu/anyag/meter/meter_sztori.htm
226,6 226,6
1020
HosszHosszúússáágmgméérrőő eszkeszköözzöökk
Méterrúd, mérőszalag
Tolómérő
Csavarmikrométer
Lézeres távolságmérés
... és még sok speciális megoldás.
http://www.technologystudent.com/equip1/microm1.htm
nóniusz!
Az idAz időő
• 1820: másodperc a közepes szoláris nap 1/86400 része
• 1956: A másodperc a tropikus év 1/31 556 925.9747-ed része 1900 január 0 12 óra efemeris idő szerint.
• 1968: Az alapállapotú cézium 133 atom két hiperfinom szintje közti átmenethez tartozó sugárzás 9 192 631 770 periódusának időbeli hossza.
• 1997: rögzítik, hogy a fenti definícióban az alapállapot 0 K kinetikus hőmérsékletű nyugvó Cs atomot jelent.
ÉÉrdekessrdekesséég az idg az időőmméérréés s ttöörtrtéénetnetéébbőőll
• Decimális (!) idő mértékrendszerKína, i.e. 1000Franciaország, 1793. október 5.
IdIdőőmméérrőő eszkeszköözzöök 1.k 1.
Vízórák (i.e. 1400)
Homokórák
... és még sok egyéb leleményes megvalósítás.
IdIdőőmméérrőő eszkeszköözzöök 2.k 2.Mechanikus óraszerkezetek(kilincskerék, kronométer 0,1s/nap)
Kvarc alapú időmérés (1920-1940)10-4s/nap
IdIdőőmméérrőő eszkeszköözzöök k 33..AtomAtomóórráákk
– történeti áttekintéshttp://tf.nist.gov/cesium/atomichistory.htm
– 1949: az első NH3 alapú (Isidor Rabi)– 1952: NBS-1, az első Cs alapú– 1955: az első, mely Cs nyalábot használ
– 1967: az SI másodperce atomórával definiált.– 1989: Norman Ramsey, Hans Dehmelt és Wolfgang Paul fizikai
Nobel díjat kap
AtomAtomóórráák k folyt.folyt.
– 1999: NIST-F1 atomi szökőkút elvű atomóra, pontosság (2005-ben) 5 x 10-16 vagy 1 másodperc 60 millió évben
http://tf.nist.gov/timefreq/cesium/fountain.htm
lézeres hűtés~0K
=
mikrohullámúgerjesztés
~2x1sváltozó frekvenciával
fluoreszcencia
Steve Jefferts és Dawn Meekhofa feltalálók
2004: Elkészül az első miniatűr atomóra
http://tf.nist.gov/cesium/fountain.mpg
AtomAtomóórráák pontossk pontossáágaga
GPSGPS
Global Positioning System = globális helymeghatározó rendszer
1978-1985 „felépül” az ameriaki NAVSTAR (Navigation System for Timing and Ranging)rendszer első fázisa (11 műhold)1982 pályára áll az orosz GLONASS rendszer első műholdja1995 24-re bővül a NAVSTAR műholdak száma2007 Az EU saját rendszer kiépítése mellett dönt (Galileo: várható befejezés 2010 (2013))
Kezdetben a rendszer pontatlanságát az SA (selective availability) bekapcsolt állapotában mesterségesen megnövelték ±100 m-re.Az SA-t 2000. május 1-én minden műholdon kikapcsolták, ezáltal a poziciók pontossága kb. 10 méter. (évenkénti megújítás!)
NAVSTARtszfm: 20183km
A legmodernebb műhold ... ... és annak egyik Rb-atomórája.
http://www.kowoma.de/en/gps/
A GPS mA GPS műűkkööddéési elvesi elve
Három egymást metsző gömb felületének két pontja közös. Általában a kétmetszéspont közül csak az egyik reális. Ha tehát az autó GPS-e ismeri legalább három műhold pontos helyzetét és az azoktól mért pontos távolságát, akkor megtudja állapítani saját térbeli helyét.
A trilateráció, vagy a 3 pontú helyzetmeghatározás
A GPS mA GPS műűkkööddéése 1/2se 1/2
Angol: http://www.trimble.com/gps/index.shtmlMagyar: http://ismeret.virtus.hu/?id=detailed_article&aid=73061
Ha a vevőegységnek +0,5s hibája van:
... kell egy negyedik műhold.
Az ideális 1 metszéspont helyett (A pont), 3 met-széspontot (B pontok) kapunk.
http://www.trimble.com/gps/index.shtml
A GPS mA GPS műűkkööddéése 2/2se 2/2
http://www.kowoma.de/en/gps/errors.htm
± 0.5 mTroposzféra
± 1 mTöbbszörös visszaverődés
± 2 mMűhold órája
± 2.5 mEphemeris errors
± 5 mIonoszféra
MértékHibaforrás
A kilogramA kilogrammm
• A harmadik, a mechanika szempontjából fontos SI alapegység.
• A Súlyok és Mértékek Nemzetközi Irodájában őrzött platina-irídium henger tömegével egyenlő. (Az egyetlen SI-alapegység, amelyiknek a definíciója még mindig etalonon, és nem valamilyenalapvető fizikai állandón alapszik.)
Klasszikus mechanikaKlasszikus mechanika
Kinematikaa mozgás leírásával foglalkozik
Dinamikaa mozgás okát keresi
tömegpont → pontrendszer → merev test → deformálható test
A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozótörvényszerűségek megismerése, az azt leíró törvények felállítása. (Galilei és Newton érdemei)
Galileo GALILEI1564–1642
Sir Isaac NEWTON1643–1727
Az anyagi pont kinematikAz anyagi pont kinematikáája,ja,alalaapfogalmakpfogalmak
tömegpont: a vizsgált jelenségek szempontjából kiterjedés nélküli-nek tekintett/tekinthető test (idealizáció)
A kinematika a mozgások leírásával foglalkozik• vonatkoztatási rendszer: a tömegpont helyzetének és mozgásá-
nak leírásához használt rögzített viszonyítási pontok• helyvektor: a vonatkoztatási rendszer origójából a tömegponthoz
mutató vektor• pálya: a vonatkoztatási rendszer azon pontjai, melyeken az anyagi
pont mozgása során áthalad• út: a pálya két pontja közötti ívhossz (skalár)• elmozdulás vektor: a test korábbi helyzetéből egy későbbi hely-
zetébe mutató irányított szakasz (vektor)
a pálya relatív: http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/relativ1.html
Egyenes vonalú egyenletes mozgás
Egyenes vonalú pályán állandóan ugyanabban az irányban halad és egyenlőidőközönként egyenlő utakat tesz meg.
( )00 ttxx == ( )txx =
( )tvx
ttvxx
∆=∆
−=− 00
t
xv
∆∆
=
a sebesség SI mértékegysége a m/s
a sebesség mérése:
(Video: MIT Physics Demo_Speed of a Bullet.mp4http://www.youtube.com/watch?v=izZxTn0T2NY )
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00
5
10
15
20
25
30
35
s0 = s(t=0) = 10 m
s [m]
t [s]
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00
5
10
15
20
25
v [m/s]
t [s]
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0
1
2
3
4
5
a [m/s2]
t [s]
Egyenes VonalEgyenes Vonalúú Egyenletes MozgEgyenletes MozgáássEVEMEVEM
a=0
0=a.állv =tvss 00 +=
(„Kísérlet”: Mikola-cső)
Az út-idő görbe meredeksége a sebesség nagysága.
A sebesség-idő görbe alatti terület nagysága a megtett utat adja.
A sebesség tetszés szerinti egyenesvonalú mozgásnál
Egydimenziós probléma:
Elmozdulás:
)(txx =
)()( txttxx −∆+=∆
dt
tdx
t
xv
tx
)(lim
0=
∆∆
=→∆
Átlagsebesség: a test által megtett ∆s út és a megtételéhez szükséges ∆tidő hányadosa (nem ad felvilágosítást a mozgás részleteiről!)
Az anyagi pont t időpillanathoz tartozó sebessége (pillanatnyi sebesség):
geometriai jelentés:az út-idő grafikon t időpontbeli meredeksége (iránytangense)
t
x
t
s
t
svx ∆
∆=
∆∆
=
=
geometriai jelentés:az út-idő grafikon két pontjához tartozó szelő meredeksége
A sebesség általános definíciója
görbevonalú mozgás
Bontsuk fel a mozgást rövid ∆t időintervallumokra, melyek alatt a sebességközel állandónak tekinthető.
vdt
ds
t
s
t==
∆∆
→∆ 0lim
Mivel írhatjuk, hogy sr ∆→∆r
vdt
trd
t
r
t
rrr
==∆∆
→∆
)(lim
0
A sebességvektor a helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa.
pálya
∆s
Szabadesés – a gyorsulás fogalma
A kísérletek (pl. ejtőzsinór, Galilei lejtő) azt mutatják, hogy a megtett út időfüggése:
2tks ⋅=
Ez esetben az átlagsebesség: tkktt
ktttk
t
s∆+=
∆−∆+
=∆∆
2)( 22
míg a (pillanatnyi) sebesség: ktv 2=
A sebesség időbeli változását jellemezhetjük a ∆t idő alatt bekövetkező ∆vsebességváltozás segítségével:
kt
ktttk
t
va 2
2)(2=
∆−∆+
=∆∆
=gyorsulás
Szabadon eső test gyorsulása állandó, mégpedig a nehézségi gyorsulás.
(Film: MIT_free_fall.flvhttp://www.youtube.com/watch?v=4ovhEkSIqV0&NR=1 )
2ts ∝
.81.92áll
s
mga === tgv ⋅= 2
2
1tgs ⋅=
A gyorsulás általános definíciója
A tömegpont sebessége időben mind irány, mind nagyság szerint változhat. Ilyenkor a változást a sebességvektor idő szerinti változásával jellemezzük:
2
2
0
)()(lim
dt
trd
dt
tvd
t
va
t
rrrr
==∆∆
=→∆
Az egyenes vonalú egyenletes mozgás kivételével minden mozgás gyorsulómozgás!
A gyorsulásvektor a sebességvektor idő szerinti első, vagy a helyvektor időszerinti második differenciálhányadosa.
0 2 4 6 8 100
100
200
300
400
500
600
s0 = s(t=0) = 50 m
s [m]
t [s]
0 2 4 6 8 100
20
40
60
80
100
120
v0 = v(t=0) = 5 m/s
v [m/s]
t [s]
0 2 4 6 8 100
10
20
30
40
50
60
a [m/s2]
t [s]
0 2 4 6 8 10
-400
-300
-200
-100
0
100
s0 = s(t=0) = 50 m
s [m]
t [s]
0 2 4 6 8 10
-100
-75
-50
-25
0
25
v0 = v(t=0) = 5 m/s
v [m/s] t [s]
0 2 4 6 8 10
-10
0
10
20
30
40
a [m/s2]
t [s]
Egyenes VonalEgyenes Vonalúú Egyenletesen Egyenletesen VVááltozltozóó MozgMozgáás, EVEVs, EVEV
a>0
a<0
2
002ta
tvss ++= atvv += 0 .álla =
(„Kísérletek”: 1) Galilei lejtő 2) ejtőzsinór 3) marok-ejtőgép)
1⋅n
3⋅n
5⋅n
KKöörmozgrmozgáásoksok
• mindíg GYORSULÓ mozgások• egyenletes körmozgás (kerületi sebesség,
szögsebesség, periódusidő, centripetális gyorsulás)
22
,2
.,., ωπ
ωϕ
ω rr
va
r
v
Táll
dt
dállvv cpkerületi ========≡ v
r
(„Kísérlet”: egyenletes körmozgás légpárnás asztalonCircular_motion.mpg
Film: circular_motion_acceleration.flvhttp://www.youtube.com/watch?v=WKvhgkg2_dw )
KKöörmozgrmozgáások, folyt.sok, folyt.
rvyvxv xy
rrr×=−== ωωω ,,
(Film: angular_velocity_vector.flv)
• egyenletesen változó körmozgás (szöggyorsulás, β)
22
02
2
,,., cpérintőérintő aaaratálldt
d
dt
d+==±==== ββωω
ϕωβ
szögsebesség vektor
Harmonikus rezgHarmonikus rezgőőmozgmozgááss
pl. rugóra akasztott test
( )0sin)( ϕω += tAtx
az egyenletes körmozgás vetülete is harmonikus rezgőmozgás
(Film: simple_harmonic_motion_animation.flvhttp://web.ncf.ca/ch865/englishdescr/SHM1.html )
kitéréssebességgyorsulás
A=3cm, ω=2s-1,φ0=0 rad
( )0cos)(
)( ϕωω +== tAdt
tdxtv
( )02 sin)(
)( ϕωω +−== tAdt
tdvta
ωAv =max
2
max ωAa −=
Ax =max amplitúdó
kezdőfázis
körfrekvencia
(Film: harm-rezg-c.avi)
Az Az éégitestek mozggitestek mozgáássáának lenak leíírráásasa
Numerikusan kezelhető
Kepler törvényekI. A bolygók ellipszis pályán keringenek, melyeknek egyik
gyújtópontjában a Nap áll.II. A Naptól a bolygóhoz húzott rádiuszvektor egyenlő időközök
alatt egyenlő területeket súrol.III. A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak
egymáshoz, mint az ellipszispályák nagytengelyeinek köbei.
Valóban inverz négyzetes a függés?
Az elmozdulAz elmozduláások sok ffüüggetlensggetlensééggéének elvenek elve
1) Az elmozdulások vektoriális összegzéssel összetehetőek egyetlen (eredő) elmozdulássá, mely független a részel-mozdulások sorrendjétől.
2) Egyetlen elmozdulás, a vektori összegzés szabályainak betartása mellett, felbontható tetszőleges számú elemi elmozdulássá.
HajHajííttáásoksok
függőlegesenEVEV
vízszintesenEVEM
EVEM
EVEV
• Függőleges hajítás• Vízszintes hajítás
• Ferde hajítás
2
0
2tg
y
tvx
=
=2
2
02x
v
gy =
(Film: vízszintes hajítás komponensei, 2:25-MIT Physics Demo_Monkey and a Gun.mp4)
DinamikaDinamika
a mozgás okát keresiMIÉRT mozog a test (épp úgy, ahogy mozog)?
Newton axiNewton axióómmáákk
I. Létezik olyan viszonyítási rendszer, melyben minden test megtartja EVEM-át, vagy nyugalmi állapotát amíg más testek hatása ennek megváltoztatására nem kényszeríti.
II. Amennyiben egy testre erő hat, akkor gyorsulni fog, még pedig úgy, hogy a gyorsulás az erővel azonos irányba mutat, nagysága pedig az erő nagyságával egyenesen, a test tehetetlen tömegével pedig fordítottan arányos.
amFrr
=
A fizikai egyenletek „iránya” ok-okozati kapcsolatot fejez ki!
Az axióma olyan alapfeltevés, melyet bizonyítás nélkül igaznak fogadunk el.
Erőhatás: Egy testnek egy másik testre gyakorolt olyan hatását, ami a test sebességének megváltozásában, azaz gyorsulásában nyilvánul meg erőhatásnak, vagy röviden erőnek nevezzük.
Newton axiNewton axióómmáák, k, folyt.folyt.
III. Ha egy A testre B test FA,B erőt gyakorol, akkor az A test is hat B-re egy FA,B-vel azonos nagyságú, de azzal ellentétes irányú FB,A erővel. Kölcsönhatás, hatás-ellenhatás, akció-reakció elve.
IV. Két, ugyanabban a pontban támadó erő helyettesíthetőegyetlen, paralelogrammam módszerrel meghatározott eredő erővel. Ha az anyagi pontra egyidejűleg több erőis hat, ezek együttes hatása egyenértékű vektori eredőjük hatásával. Az erőhatások függetlenségének elve. A szuperpozíció elve. Stevin tétel.
(Film: TeleKolleg_7.flv 0:40-MIT_Physics_Demo_Fire_Extinguisher_on_a_Tricycle.flv)
MozgMozgáásegyenlet, vagy segyenlet, vagy a dinamika alapegyenletea dinamika alapegyenlete
Newton II. és IV. axiómák egyesítése:
2
2
dt
rdmamF
i
i
rrr==∑
2
2
2
2
2
2
,,dt
zdmmaF
dt
ydmmaF
dt
xdmmaF z
i
izy
i
iyx
i
ix ====== ∑∑∑
Analitikus megoldása sokszor nehéz, numerikusan viszont egyszerű kezelni.
A mozgA mozgáásegyenlet megoldsegyenlet megoldáásasa
Vizsgáljunk egy olyan tömegpont 1 dimenziós mozgását, melyre egy erő hat.
Ha egy időpillanatban (t0) ismerjük a test helyzetét (x0) és sebességét (v0), akkor elegendően kicsiny ∆t idő múlva újabbhelyzete (x1) és sebessége (v1) megbecsülhető:
tm
Fvtavv
tvxx
∆+=∆+=
∆+=
001
001
2
2
dt
xdmmaF x ==ismert: keressük: ?)( =tx
újabb ∆t idő elteltével a folyamat ismételhető:
tm
Fvtavv
tvxx
∆+=∆+=
∆+=
112
112
A pálya pontjai tetszőleges pontossággal meghatározhatóak ∆t csökkentésével.
Pl.: linePl.: lineááris erris erőőttöörvrvéényny
DxF −=a rugóerő:
xOx1<0 x2>0
01 >F 02 <F
213 FF =
A mozgást 5 részre bontva (∆t nagy) A mozgást 25 részre bontva (∆t kicsi)
Ez a konkrét probléma analitikusan is megoldható:
2
2 )()(
dt
txdmtDx =−
az x(t) függvény olyan kell legyen, hogy idő szerinti második deriváltja önmagától csak egy konstansban térjen el
)sin()sin()( ϕϕω +⋅=+⋅= tm
DAtAtx
(Ism.: simple_harmonic_motion_animation.flv)
harmonikus rezgőmozgás
PrPróóbbáálkozzanak, programozzanaklkozzanak, programozzanak!!!!!!
( )
( )y
yx
mMF
xyx
mMF
y
x
2/322
2/322
+−=
+−=
γ
γ
A tömegvonzás:
Kíséreljék meg a bolygók mozgását a lineáris erőtörvényhez hasonló módon numerikusan modellezni!
r
x
F
F
mKLMmS
x =
∆≈∆
rr
M
m
S
Fx
FyFr
x
yK
L
r
r
r
mMF r
rr
2γ−=
ErErőőttöörvrvéényeknyek
r
r
r
mmFgr r
rr
2
21γ−=
Gravitációs erőtörvény:
Lineáris erőtörvény (rugók):
DxFx −=
Nehézségi erő:
gmFrr
=
... még bővül majd a paletta (közegellenállás, felhajtóerő, elektromos és mágneses terekben ébredő erők)
A gravitA gravitáácicióós s áállandllandóó mméérréésese
Henry Cavendish, 1797
Henry CAVENDISH1731-1810
http://www.youtube.com/watch?v=EE9TMwXnx-s
(Film: Cavendish kísérletCavendish_inga.mpg)
EEöötvtvöös Lors Loráándnd
1891, Ság-hegy 1901, Balaton
horizontális variométer„Eötvös-inga”1848-1919
A tehetetlen A tehetetlen éés ss súúlyos tlyos töömegmeg
Arányuk függ-e az anyagi minőségtől?
Newton: 10-3 pontosság(inga)
Bessel: 10-5 pontosság(inga)
Eötvös Loránd: 5x10-9 pontosság(az inga két K-Ny beállítását használva)
Braginsky és Panov: 10-12 pontosság(módosított Eötvös-inga)
NEM függ