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7. En C. Parra e I. saiz (comps.), Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós Educador, 1994.

La importancia de la numeración actual se debe a su gran simplificación. Pero esta relativa sencillez puede resultar muy complicada si no es entendida y sobre todo si los adultos no somos conscientes de que un sistema que ha tardado al-rededor de 5.000 años en desarrollarse tiene la suficiente complejidad para que seamos comprensivos con las dificultades que puede tener nuestro alumnado para reconstruirlo. En estas dificultades influyen las diferencias que hay entre la escri-tura de los signos numéricos y la numeración oral. La escritura de los números es posicional y el 2 no tiene el mismo valor si funciona en el lugar de la unidades, de las decenas, de las centenas o de los millares... (52, 27, 234, 2.567).

Con la numeración oral ocurre lo contrario: cuando leemos los números no di-ferenciamos la posición. También hemos de tener en cuenta que el lugar que ocupa cada cifra implica diferentes operaciones aritméticas que no quedan especificadas cuando leemos los números, en cambio sí que han de tenerse en cuenta cuando se escriben. Nuestro alumnado lo tendrá que descubrir e interpretar en la medida en que vaya conociendo nuestro sistema de numeración.

En la numeración escrita que a continuación se expone como ejemplo, hay implícitas determinadas operaciones matemáticas que combinan las cifras de los números, las cuales no están especificadas oralmente, pero que han de tenerse en cuenta en su escritura (Lerner y Sadovsky, 1994):7

1.004 1.000 + 4 sumar8.000 1.000 X 8 multiplicar5.400 1.000 X 5 +100 X 4 sumar y multiplicar

“El sistema de numeración escrito es al mismo tiempo más regular y más hermético que el oral:

Regular, porque la suma y la multiplicación se aplican siempre igual.Hermético porque no hay en las cifras escritas ningún signo de las operaciones

involucradas” (p. 118).Estas reflexiones están ampliamente desarrollas por Lerner y Sadovsky (1944) y

hay ejemplos de entrevistas realizadas a niños y niñas entre las páginas 122 y 129. En dichas entrevistas se constata cómo “las escrituras numéricas no convencionales producidas por los niños, están hechas a imagen y semejanza de la numeración hablada” (Lerner y Sadovsky 1994, p. 119).

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Los niños y las niñas tendrán que ir descubriendo las características del siste-ma numérico a partir de sus propias contradicciones y de las hipótesis que vayan construyendo. La interacción entre el alumnado será la herramienta más valiosa que podemos utilizar para hacerlos avanzar y evitar dar soluciones adultas que probablemente no serán comprendidas.

2.3. Los números en el contexto social

Cada cultura ha utilizado y utiliza los números dentro de un contexto social enraizado en su vida cotidiana. Esto, como toda creación humana, es un proceso dinámico y cambiante, lo cual debe ser tenido en cuenta si deseamos que nuestras aulas sean un lugar vivo, donde la realidad de una sociedad en evolución forme parte de las historias que pasan dentro de la clase, y los aprendizajes que se hagan entre las paredes de la escuela sirvan al alumnado fuera de ella.

Los que enseñamos hemos de tener un buen conocimiento del mundo y su po-sible evolución para enfocar la enseñanza de acuerdo con las perspectivas futuras. Como promotores de las tareas que se realizan en el aula hemos de decidir sobre los contenidos y la metodología más adecuada, suprimiendo las cosas que por la costumbre continúan haciéndose y que han quedado poco útiles o funcionales. Lo que necesita el alumnado es un marco de aprendizaje intelectualmente estimulante.

Una mínima reflexión nos puede hacer conscientes de que alguna cosa no funciona en las aulas cuando prácticamente se siguen planteando los mismos con-tenidos y actividades al alumnado que hace un montón de años, sin constatar que la realidad de nuestro mundo no es la misma hoy que hace un tiempo, cuando por ejemplo ningún niño o niña (ni tampoco ninguna persona adulta) sabía qué era un código de barras, porque en los supermercados y los hipermercados aún no se había difundido su uso.

A pesar de que las matemáticas se enseñan en todo el mundo (se trata según Bishop de “un fenómeno pancultural”, 1991, p. 79) no hay ninguna razón que justifique que en todos los sitios se enseñe igual y las mismas cosas: cada cultura tiene unas necesidades y unos valores específicos, y esto se desarrolla en cualquier aspecto de su vida.

El enfoque debe ser distinto en cada clase, pues no hay dos que sean igual, como tampoco hay dos alumnos iguales. Cada uno aporta influencias externas a la institución en función de ellos mismos, de su familia, de su historia y de su cultura local. No existe una única matemática, sino muchas, de acuerdo con el contexto en el cual se han creado. Un ejemplo de esto que acabamos de señalar son los números negativos: si trabajamos con el termómetro ambiental, en las ciudades del norte o del interior llegan a valores negativos con mucha facilidad, mientras que este fenómeno no se da casi nunca en la costa donde nosotros vivimos.

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Como ya se ha comentado con anterioridad, el número se encuentra dentro de un sistema complejo que los adultos utilizamos diariamente sin que probablemente seamos conscientes de la dificultad comprensiva que supone para los niños y las niñas de nuestras clases. Al abordar la construcción de este sistema no podemos dejar de percibir la numeración dentro de los diferentes contextos y usos que en nuestra realidad cultural, económica y social se utilizan.

A partir de las experiencias llevadas a cabo en el aula, hemos realizado un aná-lisis sobre los diferentes ámbitos en los cuales utilizamos los números en nuestra vida cotidiana: • Los números los utilizamos para establecer un orden: en las listas, en el turno

cuando vamos a comprar, en la fila para entrar o salir de clase...• Los números implican una cantidad: la edad que tenemos, el precio de las

cosas, la cantidad de dinero o de cosas que tenemos, las personas que hay en un momento determinado en la clase, los que han faltado, cuántas cucharadas de un determinado ingrediente hemos de poner para hacer una receta de cocina o un experimento cualquiera.

• Los números que nos ayudan a identificar las cosas o a hacer una localización: el número de nuestra casa, de la cadena de televisión que queremos ver, la matrícula del coche, el código postal del pueblo, los jugadores de fútbol, de baloncesto o de los participantes de cualquier deporte, en el índice y en las páginas de un libro o en cualquier otro escrito, en los números de las viviendas, el número de zapato que utilizamos o la talla de la camiseta que nos ha comprado nuestra madre, los números del código de barras de los alimentos que compramos en el supermercado...

• Utilizamos los números en las diferentes medidas de las cosas, con matizaciones diversas según aquello que queramos medir:

— El tiempo: la hora, los meses, los años, la fecha del calendario, qué tipo de aparatos utilizamos para controlar cómo pasa el tiempo, los diferentes relojes (de arena, los digitales o la clásica esfera) los calendarios...

— La temperatura: para detectar cuándo hace frío o calor (el termómetro ambiental) o como se registra la temperatura de nuestro cuerpo cuando tenemos fiebre (termómetro clásico o digital).

— El peso de las cosas: lo que pesamos nosotros y nuestros compañeros y compañeras, el peso de las cosas que estudiamos en la clase o de las cosas que compramos, de los ingredientes de una receta de cocina... Los diferentes tipos de aparatos que utilizamos para pesar: la báscula del baño, la de pesar naranjas, la de la farmacia que nos saca un papelito... Las diferentes unidades de medidas: la onza, la libra, el kilo, la arroba... — La longitud de las cosas: cuál es nuestra altura, compararla con la de las

otras personas o animales, qué medida tienen los espacios en los que nos

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movemos o los objetos cotidianos que nos rodean. Indagar qué tipo de instrumentos podemos utilizar para medir: las partes del cuerpo, un palo o un pedazo de cuerda con nudos, el pie, el pulgar, la braza, la vara, el metro..., analizar los inconvenientes y las ventajas de cada una y conocer que no siempre se han utilizado las mismas herramientas de medida.

— La cantidad que cabe en un recipiente, los litros que han llovido, recipien-tes de diferentes medidas, cubos... Experiencias con el agua, arena u otros materiales semejantes. Los diferentes tipos de instrumentos que se pueden utilizar para establecer la capacidad de: vasos, botellas, recipientes gradua-dos, pluviómetros... las diferentes clases de medidas según su uso: el armut (para medir cereales), la medida de castañas, la mediana de aceite...8

• Los números utilizados para hacer juegos: en todas las culturas se han vinculado los juegos a las matemáticas porque se rigen por normas y desarrollan estra-tegias. En nuestra cultura encontramos una gran variedad de juegos donde las matemáticas están presentes: la lotería, el bingo, las quinielas, juegos de mesa (parchís, dominó, oca, diferentes juegos de cartas...), los juegos populares de siempre en los cuales hay estrategias de contar para elegir o eliminar partici-pantes, o directamente don-de hay números (como en la rayuela).En nuestra realidad diaria utilizamos los números para todo esto y probablemente

para muchas cosas más. Entenderlas forma parte de una transmisión cultural que se ha de introducir a partir de situaciones reales vivificadas:• Dentro del aula hacemos listas de niños y de niñas de la clase, de los que van

de excursión, los que se quedan a comer... llevamos un control ordenado en la celebración de los cumpleaños, cuando hacemos determinadas fiestas siguiendo el calendario, observamos la hora, registramos la fecha, contamos los que somos en clase y los que faltan, observamos en el termómetro la temperatura ambiental... Utilizamos los números en contextos reales y a partir de estas actividades los aprendemos (y no a la inversa: los aprendemos y después los utilizamos).

• Desde fuera del aula observamos el entorno y traemos textos donde hay nú-meros y comentamos su uso. Hablamos de los números, de lo que sabe cada uno y aprendemos de las ideas y de las opiniones de los otros. Introducimos la realidad del mundo de los niños y de las niñas en la clase, intentamos ser muy conscientes de lo que hacemos y tenemos el objetivo que nuestro alumnado también lo sea.

8. Muchas de las expresiones utilizadas son traducciones literales de los sistemas de medida tradicionales en nuestro entorno.

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2.4. Los conocimientos infantiles sobre el número y la numeración

La construcción de la idea de número ha supuesto un largo proceso de abstrac-ción del pensamiento. Su desarrollo se ha originado viendo cada objeto como una unidad semejante a otras, pero diferente en su singularidad. “Debe haber requerido muchos siglos descubrir que un par de faisanes y un par de días eran ejemplos del número 2: el grado de abstracción está lejos de ser fácil” (Russell, 1920).9

La matemática es una disciplina poco entendida por muchas personas. Los matemáticos en general tampoco se han esforzado en aproximarse al resto de la sociedad, más bien “han contribuido a crear un halo de exclusivismo y de misterio” (Bishop, 1991, p. 106).

Cuando se plantea el aprendizaje de la numeración, y probablemente de muchos otros contenidos, los objetivos están basados en el razonamiento de las personas adultas y no en la forma de pensar de los más pequeños. Se hace, pues, indis-pensable que el profesorado tenga en cuenta tanto las características del sistema de numeración, como las ideas que tienen los niños y las niñas sobre los números y su utilidad.

“El número es una estructura mental que construye cada persona mediante una aptitud intrínseca para pensar” (Kamii, 1994, p. 17). No es de naturaleza empí-rica, a pesar que algunos aspectos de la numeración puedan parecer inicialmente perceptivos o que se necesite alguna transmisión cultural para su aprendizaje (las palabras que utilizamos para designar el nombre de los números o la forma de las grafías numéricas). Es evidente que el número forma parte del medio social que nos rodea pero “su aprendizaje implica una construcción individual” (Kamii, 1994, p. 22).

Desde el punto de vista de los aprendizajes empíricos (conductistas), se cree que la fuente del conocimiento es externa al sujeto y se interioriza mediante los sentidos. Los niños y las niñas son percibidos como pizarras en blanco y el apren-dizaje se produce por la interacción con el medio físico y social por una abstracción empírica o simple (reciben estímulos y los hacen suyos).

Contrariamente, Piaget cree que los conocimientos, el número en este caso, “se construye a partir de la abstracción reflexionante desde la propia acción mental de la persona en establecer relaciones entre los objetos. Se captan las diferencias, las similitudes, se realizan comparaciones con todo aquello que nos rodea” (Kamii, 1994, p. 23). La construcción del número es un proceso que se realiza desde dentro y no se puede enseñar ni transmitir socialmente. El aprendizaje no depende sólo del co-nocimiento sobre un concepto, sino de cómo lo capta cada persona individualmente.

9. Citado por T. crumP, La antropología de los números, Madrid, Alianza Editorial, 1993, p. 29.

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Por este motivo el profesorado enfoca toda su labor con la intención de enseñar, pero en realidad es el alumnado quien aprende. En un planteamiento tradicional, en el aula se explica para todos igual y todos hacen las mismas actividades, pero el resultado de lo que aprende cada uno es diferente.

En las primeras edades (según denomina Piaget, período sensoriomotor y pre-operacional) tanto “la abstracción física como la reflexionante se necesitan mutua-mente” (Kamii, 1994, p. 22). Los aprendizajes no pueden desligarse de la realidad. Posteriormente podrán aprender números que nunca han visto directamente a partir de la abstracción reflexionante que hagan (pueden escribir y leer por ejemplo el 986 sin haber tenido que contar hasta ese número, porque se ha comprendido cómo funciona el sistema numérico).

Aunque se acostumbre a asimilar las matemáticas con los números para resolver problemas o realizar operaciones, “la esencia de las matemáticas está en el razona-miento y no en los números” (Corbalan, 1995, p. 15). Desde esta óptica, muchas de las actividades matemáticas que diariamente se realizan en las aulas no pasarían un análisis crítico sobre el razonamiento que implican (por ejemplo, agrupar hojas de 2 en 2 o poner etiquetas numéricas de objetos en diagramas o hacer hojas enteras de operaciones, sin un contexto que les aporte sentido y lógica).

Pero no debemos olvidarnos de Vigotsky. Piaget nos explica cómo aprende nuestro alumnado, mientras que el autor ruso nos dice cómo tenemos que enseñar nosotros. Puede que alguien se plantee la situación de que, ya que es el alumnado quien aprende, los docentes no tienen que hacer nada. Muy al contrario, Vigotsky nos muestra la importancia de la enseñanza, la importancia del profesorado en la clase: todo aprendizaje está primero en la sociedad, en la cultura, para pasar des-pués a ser asimilado por el aprendiz. Es decir, si queremos que nuestro alumnado aprenda, hemos de proporcionarle la situación en la cual esto se pueda producir. Y esta situación es un entorno rico en el cual la interacción entre los propios alumnos, entre el alumnado y su cultura, entre este y el profesorado, sea omnipresente.

Otra aportación de Vigotsky que hemos de aprovechar en las clases es la de la Zona de Desarrollo Potencial (ZDP). Cada persona está en un nivel de desarrollo, pero con la ayuda de otros puede llegar a un nivel más alto. La diferencia entre el nivel máximo y el nivel actual es la ZDP. Nosotros, como profesionales de la enseñanza, tenemos que encontrar esta zona, que es el lugar donde nuestra inter-vención es efectiva: saber dónde está cada alumno y alumna y “tirar” de él para que alcance su máximo desarrollo.

2.4.1. Ideas que se construyen alrededor del número

La interpretación que hacen del número los más pequeños difiere de la ideas que tenemos los adultos de nuestro contexto cultural. En edades iniciales no son

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aún capaces de establecer abstracciones reflexionantes. Además, tendrán que ir construyendo la idea de cantidad al mismo tiempo que se familiarizan con las representaciones arbitrarias que hemos creado para representarlas. Para realizar estas reflexiones nos hemos basado en los estudios que Constance Kamii ha hecho alrededor de la obra de Jean Piaget.

2.4.1.a. el concePto de símbolo numérico y de signo

Para Piaget, un símbolo es un significante que tiene un cierto parecido figurativo con los objetos representados. Por ello, la idea del número, ligada a un concepto de cantidad concreto y empíricamente perceptible, no necesita enseñarse. Por ejemplo, el símbolo siguiente _ _ _ _ _ representa cinco flores. Estos mismos ejemplos intuitivos se pueden utilizar con cinco palos o nudos, como representaciones pri-mitivas de las cantidades, fácilmente traducibles a las que vemos utilizar.

Dosformasderepresentarunmismoresultadoutilizandosímbolos

Por el contrario, el signo que representa la cantidad (5) no tiene relación con ella, es abstracto y arbitrario (se podría haber adoptado culturalmente cualquier otra forma). La representación escrita de los números tendrá que ser enseñada por una transmisión cultural. La producción y la recepción de los símbolos suponen un aprendizaje dife-rente de la de los signos.

2.4.1.b. la jerarquización

“El número forma parte de un sistema operatorio que tiene por estructuras generales la clasificación y la seriación” (Kamii, 1983). Los sistemas de clasifica-

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ción son diferentes según las culturas que los desarrollan y los utilizan y también probablemente de los diferentes grupos sociales que integran una misma cultura (Sastre y Moreno, p. 86).10 La jerarquización de la clasificación occidental no se da en otras culturas, que tienen dificultad en integrarla.

Según Piaget el número es una síntesis entre dos tipos de relaciones:Relaciones de orden: todo objeto cuantificable debe ser contado sólo una vez,

pero inicialmente los más pequeños “no sienten la necesidad lógica de colocarlos en un orden espacial concreto, ni hacerlo mentalmente” (Kamii, 1982, p. 19)11 y como hemos constatado, muestran dificultades en contar término a término (no asocian oralmente un elemento a un número cuando cuentan, o cuentan varias veces el mismo elemento o se dejan algunos por contar).

Relaciones de inclusión jerárquica: inicialmente tampoco se percibe “que cada individualidad de una cantidad constituye un todo integrado en otra cantidad mayor” (Kamii, 1982, p. 21), por ello en las edades iniciales se carece de un pensamiento reversible y se tienen dificultades en integrar el todo y las partes. Cuando son capaces de captar las estructuras jerárquicas, los niños y las niñas pueden percibir que hay más animales que perros o más flores que margaritas.

2.4.1.c. cómo se llega a la conservación del número

“La conservación es la capacidad para poder deducir que la cantidad de objetos de una colección permanece estable a pesar de que la apariencia empírica de los objetos sea modificada” (Kamii, 1985, p. 18). Estos estudios, ya clásicos, de Piaget, demostraban que la disposición perceptiva de los objetos (si por ejemplo estaban juntos o separados) era para ellos más determinante que la cantidad de objeto que tenían encima de la mesa, los cuales habían contado repetidamente.

La conservación tiene una “estructura progresiva”, hay diferencias en la con-servación en función de las cantidades: que se conserven 7 u 8 elementos, no presupone que puedan conservarse 15 (Kamii, 1985, p. 33).

10. G. sastre y M. moreno, Descubrimiento y construcción de conocimientos. Barcelona, Gedisa, 1996. En esta obra se hace un estudio sobre la dificultad de hacer clasificaciones en ambientes de más baja extracción social. Según su tesis, dentro del mismo entorno se crean diferentes subculturas y no siempre el lenguaje utilizado en un extracto social se entiende en otro.

11. C. K. Kamii, El número en la educación preescolar, Madrid, Aprendizaje Visor, 1984.

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En el libro El número en la educación preescolar de Kamii (1984), se explican los diferentes estadios evolutivos de la conservación y cómo hay que pasar esta prueba.12

En otros estudios llevados a cabo por P. Greco (1962), han completado los estadios intermedios de la conservación cuando al alargar una fila piensan inicial-mente que hay la misma cantidad de elementos, pero dudan y cambian de opi-nión y pese a que dan respuestas correctas, no son capaces de justificarlas. Greco también estableció mediante sus trabajos que cantidad y número son dos nociones diferentes, porque el número, de por sí, está desprovisto de factores espaciales, mientras que la cantidad está unida a la percepción del espacio. Esta diferencia es la que les lleva al error.

De todas formas, nuestro punto de vista es que este tipo de pruebas son estudios que han ayudado a los profesionales de la enseñanza a entender que la mente de los niños y de las niñas capta las cantidades de diferente forma a como lo hace la de los adultos, y no por ello tenemos que obsesionarnos en pasar continuamente pruebas ni entender la evaluación dentro de contextos rígidos.

Pese a esto, pensamos que es interesante constatar en algún momento por no-sotros mismos este tipo de estudios con nuestro alumnado y analizar a partir de sus resultados la complejidad de sus respuestas.

Ponemos un ejemplo sobre las ideas tan elaboradas que puede tener el alum-nado de 5 y 6 años en una prueba de este tipo confeccionada y experimentada en nuestro grupo:

Material de la prueba: rotuladores con sus respectivas tapadoras.Desarrollo: les pedimos que cuenten hasta 7 rotuladores y separen sus tapadoras,

y les preguntamos si hay más rotuladores o tapadoras.Las respuestas están dentro de los parámetros citados anteriormente (ver la nota

22) por lo cual no hace falta que las expliquemos más detalladamente.

12. Para las personas interesadas en esta prueba, hemos hecho un extracto:Materiales: 20 fichas rojas y 20 fichas azules.Acciones que realizan los niños y las niñas:Igualación: la persona experimentadora coloca 7 u 8 fichas de un color (a partir de esta cantidad, los elementos no

son perceptivos a simple vista) y piden al entrevistado que ponga una cantidad igual con las fichas del otro color.Conservación: la persona experimentadora modifica delante del entrevistado la posición de las fichas, aproxi-

mando las de un color y separando las otras. Le plantea la pregunta de dónde hay más fichas y cómo lo sabe. Si le dice que la misma cantidad, le hace observar el diferente espacio que ocupan unas y otras. Le pide después que cuente las fichas de un color y que adivine las del otro y cómo lo sabe.

A partir de las respuestas dadas se establecen los diferentes estadios evolutivos:nivel I: no es capaz de hacer un conjunto con igual número de elementos.nivel II: es capaz de igualar, pero no de conservar.nivel III: se conserva la cantidad, no se deja influir por las contrasugerencias.

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Sí que deseamos destacar, no obstante, que para ayudarles, desde el punto de vista adulto, a captar la igualdad entre los dos elementos, la maestra les pidió que pusieran cada tapadora en un rotulador (de esta forma cada elemento queda conve-nientemente emparejado, no sobra ni falta ninguno, para los adultos la igualdad es totalmente perceptiva y no puede llevar a ninguna duda). Entonces les preguntamos, “ahora qué crees, ¿que hay más tapadoras o más rotuladores?”

Una de las repuestas que más nos sorprendió y que se repitió en bastantes casos fue la de que “había más rotuladores”, ¿por qué? “porque las tapaderas están en los rotuladores”. Desde su punto de vista, las tapaderas han perdido su identidad cuantitativa al ser absorbidas por los rotuladores.

2.4.2. Ideas que se construyen alrededor de la numeración

Según Guedej (1996), “la numeración es un sistema de representación de núme-ros (....). Algunos grupos humanos han ideado un grupo reducido de números para cubrir sus necesidades (uno, dos, tres, muchos), otros, por el contrario, han inven-tado muchos más, surgiendo de esta forma las numeraciones” (p. 26). Los números son representados en nuestro ámbito cultural por diez signos, son las denominadas cifras, a partir de las cuales es representado todo nuestro sistema de numeración.

Nuestro sistema de numeración parte de una serie de modelos anteriores que nos han llevado al actual que utilizamos. La experiencia nos muestra que su comprensión por parte de los niños y de las niñas no es sencilla. Como muestra de ello desarrollamos diferentes ideas según la vertiente en la cual se enfoca el aprendizaje numérico:• cómo se construye la serie numérica• cómo se escriben los números• cómo se comprende el valor posicional de las cifras.

Partiendo de la observación y del razonamiento que hacen ellos y ellas para comparar los números, se han entresacado las hipótesis que formulan sobre nuestro sistema de numeración.

2.4.2.a. cómo se construye la serie numérica

La construcción de la serie numérica no sigue el orden establecido (1, 2, 3...) pero probablemente este aprendizaje les ayuda a entender y a construir dicha serie.

Los números unidos a su realidad afectiva son los primeros que normalmente aprenden: el número de la cadena de televisión donde hacen sus dibujos preferidos, el número que tienen en la lista de la clase, el número del día de su cumpleaños, el número que tienen en el ascensor de su casa... Cada persona tiene unos inte-reses y éstos son el motor de sus aprendizajes. En estas edades (recordamos que estamos hablando de educación infantil, 3-6 años) la abstracción que son capaces

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de realizar no debe desligarse de la realidad empírica o perceptiva que les rodea (como ya se ha explicado antes, inicialmente la reflexión empírica y la reflexionante se necesitan la una a la otra).

No todos los números tienen la misma dificultad: los primeros aprendizajes pue-den ser más lentos, porque en ocasiones algunos niños pequeños llegan al ámbito educativo con muy pocos conocimientos previos sobre la numeración o su utilidad porque los números no les han interesado y no les han prestado atención. Nuestra tarea es ayudarles a ser conscientes de todos aquellos aspectos de su vida que están relacionados con la numeración, que faciliten la evocación de sentimientos y de pertenencia (por ejemplo, su cumpleaños y los años que van cumpliendo, cómo eran cuando nacieron o cuando tenían un año...), en definitiva, todo aquello que les ayude a construir su identidad.

Los primeros signos (las cifras) se aprenden a partir de las relaciones que se establecen con las cosas que les resultan significativas. Evidentemente, los primeros números, hasta el veinte, necesitan más de la memoria. A partir de este número, por abstracción reflexionante pueden empezar a captar las regularidades del sistema numérico, acelerando la comprensión y el aprendizaje.

Algunos números tienen menor dificultad: primero se aprenden las decenas, las centenas, los millares exactos, es decir, “los nudos” 30, 40, 200, 1.000...; y después se aprenden los intervalos: 23, 44, 125, 1.345 (Lerner y Sandovsky, p. 110).13 “Los nudos son puntales de referencia que ayudan a estructurar las ideas de los niños y de las niñas sobre el sistema numérico y les facilitan tanto el contar hacia delante, como contar hacia detrás”.14

El proceso que van haciendo no está aislado de otros aprendizajes numéricos, y la comprensión del valor de la posición de las cifras también contribuye a la construcción de esta serie.

2.4.2.b. HiPótesis resPecto a los números grandes

Pese a que los números grandes se restringen en las clases de los más pequeños, estos, a partir de sus contactos sociales con la numeración, construyen hipótesis sobre ellos y desarrollan estrategias en sus juegos para compararlos o agrupar cantidades, construyendo las siguientes ideas:

13. En C. Parra e I. saiz (comps.), Didáctica de matemáticas...14. H. Forrelland, a. rigol y C. gallego, “La máquina del tiempo”, en Kikirikí, 59: 73-62, Moron, MCEP,

2000.

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• Cuantas más cifras tiene, el número es mayor (3.451 < 45.987).• Dados dos números con igual número de cifras (45 < 92), la primera cifra es

la que manda: cuando las primeras cifras de dos números que comparamos son iguales, se fijan en la segunda (32 < 36).

• El orden de las cifras es determinante. Si invertimos el orden, el número ya no es el mismo (24 =/ 42).

2.4.2.c. cómo se interPretan los números grandes y el valor de la Posición

El hecho de que se aprenda el orden cíclico de los números y se sepa cuál va detrás, no comporta la comprensión del valor de la posición de las cifras (en 36 entender que el 3 = 30). Kamii establece 5 niveles evolutivos para su aprendizaje en la obra El niño reinventa la aritmética entre las páginas 64 y 65.

En los primeros estadios establecidos por Kamii no se concibe el número sin un soporte que le dé sentido. Así entienden los números como marcas unidas a objetos o a cosas del mundo real (tienen 4 años, encienden el Canal 6, el nú-mero 9 es el de su casa, les han dado 3 caramelos...). Por este motivo, nuestra propuesta metodológica se decanta por introducir en el aula objetos concretos con números. Esto nos acerca a las características psicológicas de este período.

El trabajo con números de más de una cifra no se considera conveniente en planteamientos tradicionales, de hecho en las propuestas que hacen las editoriales y algunas legislaciones (Programas Renovados y la LOCE) sólo se trabajan en los niveles de educación infantil los números comprendidos entre el 1 y el 9 (consultar el capítulo 3). Las experiencias llevadas al aula nos han demostrado que los niños y las niñas no tienen problemas con los números más grandes, ellos los ven senci-llamente como unidades: el 25 se escribe con un 2 y un 5, el 31 con un 3 y un 1.

Evidentemente, el alumnado de la etapa de infantil, y probablemente de los primeros cursos de primaria, no entiende el valor posicional de la numeración. Para él los números de dos cifras representan números por sí mismos, indistintamente del valor total de la cifra (16 representa 1 y 6 objetos, no importa que sobren 9). No son capaces de relacionar aún las partes y el todo porque no pueden aún establecer relaciones donde se haga una inclusión jerárquica. “La enseñanza de la posición no debe abordarse como una técnica que se aprende por la práctica” (Kamii, 1985, p. 66), de esta forma se evita el razonamiento y la comprensión del número.

Kamii (1985) realizó estudios sobre este aprendizaje con alumnado hasta los 14 años, constatando que “algunos niños parecen no entender nunca el valor de la posición” (p. 71). El problema con el que se encuentra este alumnado es la rapidez con la que se quieren introducir los contenidos en la clase, imposibilitan-do de este modo que puedan construir el sistema de numeración a partir de sus propias ideas.

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2.4.2.d. cómo se comParan y se escriben los números grandes

Si les dejamos escribir libremente números grandes, los niños y las niñas ya pueden elaborar criterios propios para hacer representaciones numéricas: establecen conceptualizaciones partiendo de la numeración oral, pero como no entienden el valor de la posición de las cifras, proceden como en la antigüedad y escriben las cantidades de forma aditiva (para escribir 110 ponen 10010 o 1000200 por 1.200).

La evolución numérica desde este nivel aditivo puede ser lenta y necesita tiempo para construirse. No se trata de un aprendizaje lineal y en estas edades no son capaces todavía de generalizar lo que saben de unos números a otros. Es un proceso costoso, donde se constata en un mismo sujeto la existencia de escrituras numéricas convencionales (lo que podríamos llamar “correctas”: 456) y no conven-cionales (escriben correctamente las decenas y las centenas, pero en los millares escriben los números sin tener en cuenta el valor de la posición, por ejemplo el 2000327 representa el 2.327).

En la segunda parte de este libro, concretamente en el capítulo 7 correspon-diente a los números en el contexto del medio, hay ejemplos de escritura numérica infantil de este tipo.

2.4.3. Ideas sobre cómo utilizar los números para explicar cosas: la estadística

Desde los orígenes numéricos de nuestra cultura (civilizaciones de Elam y Su-mer), se constata cómo surgieron las primeras tablas de registro numérico y cómo fueron evolucionando desde su forma primera de “calculis” cerrados dentro de bolas de barro. Las modificaciones que se observan abarcan aproximadamente desde el 3500 hasta el 2800 aC y son el fruto de cambios en su representación cultural de la contabilidad. Como se constata en tablas numéricas recogidas por Ifrah (1981, p. 166), en los primeros registros escritos antiguos aparecen signos donde no se desprende la naturaleza de las cantidades (si son caballos o esclavos). Más tarde este dato sí que se registra, “pasando a dotar a sus tablas de una estructura orga-nizada, para llegar finalmente a anticipar la categoría de las informaciones que se exponen al expresarlas en dos columnas” (Gallego, 2000).15

También el alumnado de infantil puede utilizar los números para explicar to-dos aquellos fenómenos que se producen a su alrededor. Aunque nos parezca un aprendizaje muy abstracto y dificultoso, lo importante de estas actividades reside en las vivencias que tienen para los niños y para las niñas, las emociones y los sentimientos que les hacen evocar. Hacer estadística a partir de la numeración

15. Citado en la revista Aloma, 5 (revista del grupo EPISCIS, 113, 137).

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supone un nivel más complejo y elevado en su utilización. En el último capítulo del libro se pueden encontrar diversas propuestas experimentadas en el aula en los niveles de infantil. Son muestras de cómo se puede utilizar la estadística como un lenguaje para representar diversos fenómenos que tienen relación con las experien-cias personales. También hay ejemplos de cómo evolucionan las representaciones a partir de las propias ideas y de la interacción con los otros, del mismo modo que lo hicieron las representaciones estadísticas en la antigüedad.

2.5. Conclusiones

Podemos concretar que las hipótesis que se construyen alrededor del número varían en función de aspectos muy diversos ante su gran complejidad y los usos tan variados que hacemos en nuestra cultura.

De la misma forma que el origen cognitivo de la matemática humana no es simple, tampoco lo son las ideas infantiles, pero la mayoría de las veces los adultos no somos capaces de darnos cuenta de esto, porque no nos molestamos en hacer el esfuerzo de entender la significatividad de otra matemática, captada desde una óptica distinta.

Nuestro grupo piensa que es imprescindible plantear los contenidos matemáticos desde la idea de la comprensión y la utilidad y proponemos abordar en la escuela, desde edades iniciales, aspectos que faciliten a nuestro alumnado la vinculación de la matemática con otras categorías del saber.

A los docentes nos hace falta hacer un ejercicio de reflexión sobre la interpreta-ción que hacemos de aquello que pasa a nuestro alrededor, nos hace falta escuchar lo que se dice y lo que se hace desde el punto de vista infantil. Probablemente es este el punto clave del fracaso de la matemática en la mayoría de las aulas: el enfoque pedagógico está lejos de la realidad y de la forma de entender el mundo que tienen los niños y las niñas. Nosotros proponemos en la práctica la unión de estos diversos aspectos: la pedagogía, la realidad cultural de la que partimos y cómo la interpreta nuestro alumnado.

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3.1. El currículo en el marco legislativo español

Un currículo constituye todo el conjunto de factores que nos van a permitir explicar cómo entendemos los procesos de enseñanza y aprendizaje, con qué in-tención orientamos nuestras intervenciones educativas en el aula y qué papel se asigna a los distintos agentes educativos.

En las últimas décadas hemos asistido en el Estado español a diversas reformas educativas tanto de un talante más abierto como cerrado. Entendemos que una propuesta curricular es abierta cuando limita las prescripciones a aspectos muy generales que determinan poco la organización directa de la actividad escolar.

Desde esta perspectiva, la Ley de Ordenación General del Sistema Educativo de 1992 (LOGSE), representa “una propuesta semiabierta” (Puigdellívol, p. 12) en la que se establecen las líneas a partir de las cuales el profesorado tiene que desarrollar su tarea docente, teniendo en cuenta las características del entorno y del alumnado, dejando al centro el enfoque del trabajo en el aula.

Por otra parte nos encontramos también con un currículo de talante cerrado, que establece de una forma muy concreta sus directrices. Muestras legislativas de este tipo son los Programas Renovados (1981) y la Ley Orgánica de Calidad Educativa de 2002 (LOCE) que retrocede a uno de los planteamientos más prescriptivos de la educación democrática española. En esta ley “desaparece el concepto de proyecto curricular de centro (...). El currículo, por tanto, se vuelve a cerrar: programa, programa, programa. Este aspecto es contrario a la autonomía pedagógica y parece un instrumento de control centralista por parte de la Administración”.1

Según Gimeno Sacristán2 una de las causas principales que ha justificado la Ley de Calidad se basa en culpabilizar “al modelo comprensivo3 como la clave de

3.El currículo matemático

1. En la revista Guix, 292, suplemento n.o 8 de Gestión.2. J. gimeno sacristán, Discutamos los problemas que deben preocuparnos. Debate en torno a la ley de

calidad, Valencia, Foro de Jabalquinto (www.forojabalquinto.org), 2002.3. El modelo comprensivo tiene como meta la compensación de las desigualdades.

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un declive del nivel escolar no demostrado faltándose al rigor cuando se quiere ligar la organización comprensiva del currículo y la calidad del sistema educativo en término de rendimiento escolar”. De hecho, en estudios que Gimeno (2002) ha llevado a cabo se constata cómo el nivel de logros educativos no ha disminuido y, por el contrario, el número de estudiantes en los niveles superiores es mayor que en ninguna otra época, tanto entre el alumnado procedente de clases trabajadoras como entre el colectivo femenino. Lo que aún queda por hacer, los problemas educativos que aún persisten “no mejorarán con otra ley si no se afrontan las causas que los producen, (...) que no son de ahora ni producto de la LOGSE”.

Trabajos como los de Hargreaves y Fullan4 (1991) ponen de manifiesto la distancia entre el profesorado y la Administración, que “no parece comprender qué es lo que motiva al profesorado a perfeccionar su tarea y plantean incentivos económicos o ascensos” (p. 46), mientras que, por el contrario, sus investigacio-nes entre los docentes ponen de manifiesto la idea de que éstos buscan más bien compensaciones psíquicas a partir de un trabajo bien hecho. Si el profesorado y su tarea docente no son vistos desde una perspectiva humana, no se podrá influir en la mejora de la enseñanza, porque los cambios significativos dependen de ellos y no pueden imponerse ni desligarse de la biografía del enseñante.

La supuesta bonanza de la ley conservadora parece que viene dada al “aplicar criterios de competitividad mercantil al sistema educativo” (I. Fernández de Castro y J. Rogero, 2001), así como un aumento de los aspectos burocráticos-organizativos, de los contenidos, de los controles y de la exigencia al alumnado de un mayor esfuerzo. Evidentemente “el esfuerzo para educarse es imprescindible, pero en tareas con sentido para quienes han de esforzarse” (Gimeno, 2002). Lo más grave es la pérdida de posibilidades de intervención y adecuación del currículo, el cual queda reducido a las programaciones de aula y a los exámenes que la Administración central aplicará al finalizar cada período educativo.

La Ley de Calidad viene también a cuestionar toda orientación pedagógica que implique innovación y desarrollo profesional docente. En esencia, se trata de convertir al profesorado en un mero ejecutor de los productos ya prefabricados por la Administración y sus expertos (a través de los libros de texto que, a tal efecto, publican las editoriales), promoviéndose políticas con una clara “orienta-ción de competitividad y de mercado”, enfoque mercantil que igual parece servir

4. M. Fullan y A. hargreaves, ¿Hay algo por lo que merezca la pena luchar por la escuela? Trabajar unidos para mejorar, Sevilla, Movimiento Cooperativo Escuela Popular, 1991. Esta obra recoge el resultado de investigaciones entre el colectivo docente, analizando qué condiciones deben darse para que puedan tener éxito las reformas educativas.

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para fabricar tornillos o para educar a personas. Esta orientación tecnocrática y de mercado conlleva estimular la competencia entre los centros y entre los mis-mos profesores (Rozada Martínez, 2002),5 y lo que es más grave, lleva a que el alumnado de distinta procedencia y capacidad vaya a ser medido con una misma prueba estandarizada. Así pues, ¿dónde queda una educación para la diversidad? Según Rozada, “el último giro conservador de las reformas traído por el PP es, en lo pedagógico, un camino a ninguna parte”.

Ante esto nosotros pensamos que no es ético hablar de fracaso escolar en estas edades iniciales, porque los supuestos fracasos que constatamos en la realidad del aula, no están generados en el ámbito de la escuela, sino que son una consecuencia directa de problemáticas económicas, sociales, culturales y familiares que la Admi-nistración no desea asumir y traslada a la institución educativa. Según Gimeno, “los fracasos no se distribuyen al azar; tienen un determinado rostro social que los ca-racteriza socialmente. (...) A las instituciones educativas no les puede llegar sino lo que existe” (2002).

Fullan y Hargreaves (1991) ponen de manifiesto cómo las orientaciones curricu-lares preescritas tienden a fomentar la dependencia de los docentes, mientras que lo que debería hacerse es “devolver al profesorado las responsabilidades curriculares” (p. 59).

El enfoque cerrado de la Ley de Calidad y los Programas Renovados parte del establecimiento de unos objetivos iguales para todos, objetivos, que como muestra nuestra práctica, en algunos casos se quedan cortos y en otros casos puede que demasiado largos. Este planteamiento por objetivos ha sido fuertemente criticado por Eliott (1990), quien argumenta que “fijar los objetivos de antemano supone la deformación de su valor educativo” (p. 85). Frente a esto Stenhouse (1975) sentó las bases de un currículo que denominó modelo de procesos, basado en valores y principios, en el cual cada persona evoluciona partiendo de su realidad diversa, construyendo su aprendizaje desde la comprensión.

Aunque la reforma educativa de la LOGSE se basaba en un pensamiento epis-temológico constructivista (incompatible con una enseñanza basada en los libros de texto), en la mayoría de aulas de educación infantil se han seguido los plan-teamientos de los Programas Renovados (vigentes en las propuestas editoriales) y se vuelve a ellos con la Ley de Calidad, tal y como se plasma en el cuadro que a continuación se expone.

Por ello mismo, los cambios en las propuestas editoriales siguiendo la Ley de Calidad van a ser más de lo mismo, máxime cuando sus contenidos tienen un

5. J. M. rozada, “Las reformas y lo que está pasando. De cómo en la educación la democracia encontró su pareja: el mercado”, en Conciencia Social, 6, 15-57, Sevilla, Diada, 2002.

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enfoque prácticamente igual que los Programas Renovados de EGB, que parten de la ley franquista de 1970 (Ley General de Educación, de Villar Palasí) ¡una ley que tiene más de 30 años!

3.2. Una propuesta matemática curricular tradicionalista en infantil

Programas Renovados6 LOGSE7 LOCE8

–Reconocerymemorizarlossím- –Conocimientoyutilización Enlosparéntesisseincluyenlosbolosparanúmerosdeunacifra. delosnúmerosensu criteriosevaluadoresdelanorma–Realizarcomposicionesy contextosocial. tivadescomposicionesdenúmeros –Conocimientoyutilización –Expresióndelacuantificacióndeunacifra. deestrategiasparacontar (aprenderacontarcorrectamente)Asignaradecuadamenteaun enlasdiferentessituaciones –Losprimerosnúmerosordinalesconjuntosucardinal(igualo delquehacerdiario. (conocerlosnúmerosordinales)menorque9). –Conocimientodelaserie (conocerlosprimerosnúmeros–Ordenarlascincoprimerascifras. numérica. ordinales).–Resolversituacionesproblemáticas–Conocimientodelvalor –Laserienumérica:losnuevesencillas. cardinaldeunconjunto. primerosnúmeros.Surepresen- –Plantearyresolver tacióngráfica(identificarlos problemasdesuvida nueveprimerosnúmerosysu cotidiana.Verbalygráfica- representacióngráfica. mente. Realizarlasgrafíasdelosnúmeros sencillos). –Iniciaciónalcálculoconlas operacionesdeunirysepararpor mediodelamanipulaciónde objetos(resolverproblemassenci- llosqueimpliquenoperaciones

básicas).

6. Programas Renovados de Educación Preescolar y Ciclo Inicial, Bloque temático 3 correspondiente a Experiencias Prenuméricas, p. 64-65, Escuela Española, Madrid, 1981.

7. Estos contenidos están entresacados y traducidos del Currículum de l’educació infantil de la Comunitat Valenciana, p. 44. Generalitat Valenciana, Conselleria d’Educació i Ciència. En el Diseño Curricular Base de Educación Infantil, editado por el MEC, se especifican contenidos con un talante semejante (p. 186-187):

—Comparación de colecciones de objetos (correspondencias término a término): igual que, menos que, más que.

—Aplicación del ordinal en pequeñas colecciones ordenadas. —Construcción de la serie numérica mediante la adición de la unidad. —Utilización de la serie numérica para contar elementos y objetos de la realidad. —Representación gráfica de la cuantificación de las colecciones de objetos mediante códigos convencionales

y no convencionales. —Resolución de problemas que impliquen la aplicación de sencillas operaciones (quitar, añadir, repartir).8. Anexos de los RRDD 829/2003 y 830/2003, publicados en el BOE números 156 (1 de julio de 2003) y 157

(2 de julio de 2003, respectivamente, por los que se establecen las enseñanzas comunes de la educación infantil y primaria, y que incluyen los contenidos y los criterios de evaluación para estas dos etapas.

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9. Anexos de los RRDD 829/2003 y 830/2003, publicados en el BOE números 156 y 157 (ver nota anterior).

En el cuadro compartivo de la página anterior, mostramos los contenidos numéricos que se marcan en las tres últimas legislaciones. En él se constata la similitud entre la normativa de los Programas Renovados y la Ley de Calidad y su carácter regresivo con respecto a la normativa de la LOGSE que planteaba una contextualización social, cotidiana y funcional de la numeración.

En teoría, la implantación de una reforma educativa debería suponer cambios pedagógicos y en los materiales curriculares que le dan soporte, pero según el estudio de Martínez Bonafé (2002), esto “en la práctica no se consuma” (p. 94) y aunque en la LOGSE se habla de diversidad, adaptación y autonomía, los cambios en los libros de texto han sido mínimos. De este modo hemos constatado la escasa modificación de los cuadernos de actividades para infantil desde los Programas Renovados a la LOGSE.

A nivel matemático, siguiendo el hilo de lo argumentado en los capítulos ante-riores, se evidencia que la misión del profesorado no es enseñar hasta un determi-nado número como pretende la Ley de Calidad, sino “ayudar a que los niños y las niñas comprendan el funcionamiento de nuestro sistema numérico”. Por este motivo no se debe restringir el contacto con todo tipo de números, tanto grandes como pequeños (contacto que de hecho ya se produce en el medio social, sin ninguna intervención escolar), siempre que tengan un sentido y un contexto lógico, sin por ello marcarse el objetivo de que se debe aprender una determinada cantidad de números en la educación infantil. En nuestra experiencia diaria constatamos cómo el conocimiento numérico se construye a partir de las propias intuiciones y de su uso real cotidiano.

Nuevamente con la Ley de Calidad se vuelve a un aprendizaje irreflexivo de contenidos y de técnicas que genera un divorcio entre el aprendizaje escolar aca-démico y el aprendizaje para la vida.

Seguidamente exponemos algunos ejemplos de cómo son abordados los conte-nidos matemáticos en textos editoriales publicados. Hemos recogido una serie de actividades similares a las que hay en el mercado, con la intención de hacer una reflexión sobre lo que nos proponen y compararlas con los contenidos matemáti-cos que la Ley de Calidad establece como mínimos.9 Evidentemente, los formatos editados son más atractivos visualmente, hay más fotografías, pero la esencia de las actividades continua siendo la misma. Aunque muchos contenidos matemáticos

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están relacionados entre sí, los hemos clasificado en cuatro apartados (la numera-ción, las características perceptivas, la geometría y el espacio, y las medidas y el tiempo) para poder comentarlos de una manera más sistemática: — La numeración: pese a las reforman legislativas, en la totalidad de obras edito-

riales dirigidas a infantil que hemos podido consultar la numeración se presenta de forma restrictiva y sólo se facilitan actividades para trabajar entre el 1 y el 9 a lo largo de toda la etapa infantil (seguramente será una serie numérica de rebajas). Las actividades propuestas se concretan en fichas como estas:

• Reproducción de grafías numéricas con la finalidad de adiestrar la mano con una direccionalidad concreta de ejecución (sobre todo repasar números o copiarlos). Muchas de las propues-tas encontradas van acompañadas de números para ser pintados, punzados, cubiertos de plastilina... diversas propuestas para desarrollar destrezas manuales.

• Discriminar grafías numéricas a partir de un modelo dado. No supone ningún conocimiento numérico, tan sólo diferenciar un signo de otro. Actividades similares son las de pintar espacios donde haya escrito un determinado número, y al terminar surge un dibujo escondido.

• Agrupar cantidades de dos en dos, de tres en tres... (normalmente se agrupan hojas, casitas... objetos relacionados con el tema que está trabajándose en el aula). Cuenta los calcetines que están agrupados; haz grupos con la misma

cantidad.

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Cuenta los objetos rodeados; relaciónalos con flechas.

• Se dan conjuntos dentro de diagra-mas para que se escriba la grafía nu-mérica correspondiente a la cantidad de objetos que hay dibujada (contarlos y etiquetarlos con un signo).

• Relacionar elementos cuantitativos con el número cardinal correspon-diente.

• Etiquetar con un número diagramas circulares o bien darlos vacíos para que los niños y las niñas dibujen el número de elementos solicitados.

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Podemos comprobar, con estos ejemplos, que en la mayoría de casos la nume-ración tratada está desprovista de un contexto que los niños y las niñas puedan sentir como propio. El objetivo de estos ejercicios es que aprendan en la clase los números con el fin de que después puedan utilizarlos fuera de ella.

Estas actividades que nos proponen son de naturaleza exclusivamente escolar. El alumnado ha de calcular y representar, a partir del material que el profesorado le proporciona, una única respuesta. Sólo promueven la ejecución y dejan muy pocas opciones a los niños y las niñas, los cuales únicamente han de dar una respuesta correcta. Por las características propias de la actividad no facilitan la interacción entre los sujetos ni tampoco el razonamiento lógico. Además, las interacciones que originan son también muy pobres y desarrollan muy poco las facultades verbales del alumnado.10

Con el enfoque que se está haciendo en el aprendizaje de la matemática en la mayoría de aulas de educación infantil, se continúa sin acercar la numeración a la realidad y la funcionalidad en los contextos sociales. Se trabajan los números de una forma impersonal y esto dificulta mucho el aprendizaje, ya que se proponen actividades que difícilmente pueden relacionarse con algo conocido por ellos y ellas en la vida cotidiana (las personas no vamos contando o agrupando ventanas o animales a no ser que tengamos una necesidad concreta para hacerlo).

• Hacer descomposiciones numéricas a partir de elementos dibujados. Este tipo de actividad difícilmente va a ser comprendida cuando el alumnado de esta edad tiene dificultad en integrar el todo y las partes (psicológicamente se justifica la imposibilidad de que entiendan la descomposición numérica abstracta que se les propone).

10. J. arnau, “Aproximación pedagógica, contexto y lenguaje en los programas de inmersión al catalán”, Cuadernos de Educación Ikastaria, 9, 87-110, Donostia, Eusko Ikaskuntza, 1997. Hace un estudio donde compara el desarrollo de las habilidades verbales de niños y niñas que trabajan con una metodología tradicional y otra pro-gresista, llegando a estas conclusiones sobre el bajo nivel de desarrollo verbal de un aula tradicional.

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—Las características perceptivas. En la LOCE se incluyen contenidos como “Propiedades de los objetos: forma y tamaño”. En los criterios de evaluación se incluye la clasificación de “elementos atendiendo a sus propiedades”. Como ejemplo de estos contenidos hemos elegido la siguiente actividad.

• En esta ficha se deben relacionar objetos de acuerdo con el tamaño, pero difícilmente se va a contribuir a percibir la realidad porque las mariposas grandes no van sólo a las flores de su mismo tamaño. La lógica de esta actividad y de otras semejantes es bastante ilógica, está desprovista de sentido y de coherencia.

Relaciona cada mariposa con su flor

Con propuestas como estas, los niños y las niñas sólo pueden responder desde un punto de vista que no es el propio. Actividades semejantes a estas van a difi-cultar que el alumnado piense por él mismo y establezca relaciones estructuradas. Además están desprovistos de contextos vivenciados y en la mayoría de casos se proponen dentro de un currículo cerrado donde cada quincena se programa enseñar un color o un concepto. Pero en la realidad los conceptos, las formas y los colo-res están todos juntos por todos los sitios y no tiene sentido planificarlos de esta forma. No se tiene presente que para captar las cualidades de un objeto se debe poner en oposición a otros y esta tarea se debe realizar a partir de las conexiones y relaciones que establece la propia persona, de acuerdo con experiencias anteriores. Por ejemplo, una forma sabemos que es delgada porque conocemos que existen otros grosores o un objeto es rojo porque es diferente del rosa o del naranja.

El aprendizaje matemático implica establecer relaciones, asociaciones, compara-ciones a partir de la abstracción reflexionante que hace el individuo. Pero lo que realmente se hace en la mayoría de casos es reducir la matemática a una transmisión verbal o cultural donde el alumnado no puede realizar ninguna relación lógica.—La geometría y el espacio. La propuesta de la Ley de Calidad se limita a la

identificación de “Figuras planas: círculo, cuadrado, rectángulo, triángulo”, de “Cuerpos geométricos: esfera y cubo” (aunque la identificación de estos últimos no se exige en los criterios de evaluación) y “Nociones básicas de orientación y situación en el espacio”.