UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

Departman za matematiku

MASTER RAD

VaR

Mentor:

Prof. dr Miljana Jovanović

Student:

Milena Stošić

Niš, 2015.

2

Sadržaj

Uvod ............................................................................................................... 4

Glava 1 Uvodni pojmovi ................................................................................. 5

Glava 2 VaR ................................................................................................. 11

2.1 Rizik ........................................................................................................ 12

2.2 Definicija VaR–a .................................................................................... 13

2.3 Osobine VaR–a ....................................................................................... 15

2.4 Procena VaR–a ....................................................................................... 20

2.5 Primena VaR–a ...................................................................................... 21

2.5.1 Bazelski standardi ........................................................................... 21

2.5.2 Konverzija parametara .................................................................... 23

Glava 3 Metode za izračunavanje VaR–a ..................................................... 25

3.1 Parametarski metod .............................................................................. 25

3.1.1 VaR portfolija koji se sastoji od jedne aktive .................................. 26

3.1.2 VaR portfolija koji se sastoji od više aktiva .................................... 27

3.1.3 VaR alati .......................................................................................... 32

3.1.3.1 Marginalni VaR ......................................................................... 32

3.1.3.2 Inkrementalni VaR .................................................................... 33

3.1.3.3 Komponentni VaR ..................................................................... 36

3.1.4 Prednosti i slabosti parametarske metode ..................................... 39

3.2 Metod istorijske simulacije .................................................................... 40

3.2.1 Prednosti i slabosti metoda istorijske simulacije ........................... 43

3.3 Monte Karlo simulacija .......................................................................... 43

3.3.1 Simulacija sa jednom slučajnom promenljivom ............................. 44

3.3.2 Simulacija sa više slučajnih promenljivih ...................................... 47

3.3.3 Prednosti i slabosti Monte Karlo simulacije ................................... 48

3.4 Poređenje VaR metoda ........................................................................... 48

Glava 4 Metode za evaluaciju VaR–a ........................................................... 50

4.1 Testiranje stresnih situacija .................................................................. 50

3

4.2 Backtesting modeli ................................................................................. 52

4.2.1 Model koji se bazira na stopi neuspeha .......................................... 52

4.2.2 Pravila regulatora ............................................................................ 54

4.2.3 Modeli uslovljene pokrivenosti ........................................................ 56

4.3 Procena preciznosti VaR–a .................................................................... 57

Zaključak ...................................................................................................... 59

Biografija ...................................................................................................... 60

Literatura ..................................................................................................... 61

4

Uvod

Upravljanje rizikom je devedesetih godina prošlog veka doživelo

pravu revoluciju, a razlog za to je otkriće nove metodologije - vrednosti pod

rizikom (VaR). Potreba za novim metodama za upravljanje i merenje rizika

kome su izložene institucije na finansijkom tržištu se javila nakon velike

finansijske krize koja je potresla svet tih godina. Od tada se VaR

metodologija razvijala i usavršavala i danas je nezaobilazni alat za

menadžere rizika svih finansijskih institucija. Zbog velike primene, ova

tema pruža brojne mogućnosti za istraživanje.

Master rad se sastoji iz četiri glave. U prvoj glavi su definisani

pojmovi koji su neophodni za razumevanje teorije na kojoj se zasniva VaR

metodologija. Druga glava se bavi osnovama VaR metodologije: definicijom,

osobinama i oblastima primene. U trećoj glavi su opisani načini za

izračunavanje VaR–a (parametarska metoda, metod istorijske simulacije i

Monte Karlo simulacija) i alati koji su razvijeni u okviru metodologije koji

su značajno unapredili menadžment rizika. I na kraju, četvrta glava se bavi

evaluacijom VaR modela i u njoj će biti izloženo više načina za proveru

adekvatnosti modela, kao što su backtesting proces, testiranje stresnih

situacija i procena preciznosti same ocene.

Želela bih da se zahvalim svom mentoru, profesorki Miljani

Jovanović, na razumevanju, nesebičnoj pomoći tokom izrade ovog master

rada i stručnim savetima. Takođe bih želela da se zahvalim svojim

roditeljima na velikoj podršci i razumevanju.

5

Glava 1

Uvodni pojmovi

Za upravljanje rizikom i razumevanje teorije portfolio analize, a

samim tim i teorije na koju se oslanja VaR, neophodno je poznavati osnove

teorije verovatnoća i matematičke statistike. Zbog toga je potrebno, na

početku, definisati neke osnovne pojmove.

Definicija 1.1. Klasa , podskupova nepraznog skupa čini algebru ako važi

1) , 2) , 3)

( aditivnost).

Ako je algebra, onda se uređen par naziva merljiv prostor.

Definicija 1.2. Neka je merljiv proctor. Preslikavanje koje ima sledeće osobine

1) nenegativnost , 2) normiranost , 3) aditivnost

,

naziva se verovatnoća.

Uređena trojka se naziva prostor verovatnoća.

Definicija 1.3. Slučajna promenljiva X je preslikavanje koje je finitno i merljivo, tj. za koje važi

gde je Borelova algebra.

Definicija 1.4. Funkcija raspodele slučajne promenljive X je realna funkcija definisana sa

6

Definicija 1.5. Slučajna promenljiva X je diskretnog tipa ako postoji neki najviše prebrojiv skup tako da je .

Definicija 1.6. Slučajna promenljiva X je apsolutno neprekidnog tipa ako postoji nenegativna integrabilna funkcija tako da je

Definicija 1.7. Matematičko očekivanje slučajne promenljive X je Lebegov integral na merljive slučajne promenljive X po aditivnoj meri P, tj.

Definicija 1.8. Neka je X slučajna promenljiva sa matematičkim očekivanjem EX. Matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne promenljive X od EX se naziva disperzija slučajne promenljive X

a standardna devijacija je

Definicija 1.9. Kovarijansa slučajnih promenljivih X i Y je

Definicija 1.10. Neka su X i Y slučajne promenljive definisane na prostoru verovatnoća . Koeficijent korelacije slučajnih promenljivih X i Y u oznaci je

Za koeficijent korelacije važi Kada je slučajne promenljive X i Y su savršeno korelisane, a kada je X i Y su nekorelisane. Ukoliko slučajne promenljive X i Y imaju normalnu raspodelu i tada su one i nezavisne.

Definicija 1.11. Rep raspodele verovatnoća slučajne promenljive X u tački x, u oznaci , je verovatnoća događaja da slučajna promenljiva X uzima vrednosti veće od x, odnosno

Definicija 1.12. Kvantil reda p, u oznaci , slučajne promenljive

X sa funkcijom raspodele je

7

Definicija 1.13. Neka je prostor verovatnoća i parametarski skup. Realan jednodimenzionalan slučajan proces X na je familija merljivih funkcija

odnosno familija slučajnih promenljivih takvih da važi

Definicija 1.14. Jednodimenzionalni stohastički proces je Braunovo kretanje (Wienerov proces) sa parametrom ako je

1) , 2) sa nezavisnim priraštajima, tj.

su nezavisne slučajne promenljive,

3)

Potrebno je navesti i neke poznate raspodele slučajnih promenljivih

diskretnog i apsolutno neprekidnog tipa koje su značajne za ovaj rad.

Normalna raspodela Slučajna promenljiva je određena gustinom raspodele

Funkcija raspodele slučajne promenljive X je

Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i . Normalna raspodela sa parametrima i se naziva normalna normirana (standardizovana) raspodela. Funkcija raspodele slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom je

gde je

8

Slika 1.1 Funkcija raspodele slučajne promenjive sa normalnom

normiranom raspodelom

Uniformna raspodela Slučajna promenljiva je određena gustinom raspodele

Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su

i

.

Binomna raspodela Slučajna promenljiva je određena zakonom raspodele

Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i

raspodela sa stepeni slobode Neka su nezavisne slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom. Tada slučajna promenljiva

ima

raspodelu sa stepeni slobode. Slučajna promenljiva je

određena gustinom raspodele

9

Matematičko očekivanje i disperzija slučajne promenljive X su i Kako je VaR samo ocena rizika kome je izložena finansijska

institucija na finansijskom tržištu, njeno određivanje se vrši uz pomoć nekih

statističkih metoda. Provera tačnosti ocene dobijene na taj način se vrši

testiranjem statističkih hipoteza, pa je potrebno razjasniti i neke pojmove

matematičke statistike.

Definicija 1.15. Populacija je skup elemenata čija se zajednička svojstva izučavaju statističkim metodima. Definicija 1.16. Obeležje je zajedničko svojstvo elemenata jedne populacije. Definicija 1.17. Uzorak je deo populacije na kome se ispituje posmatrano obeležje. Broj elemenata u uzorku se naziva obim uzorka. Na uzorku se sprovodi statistički eksperiment. Ishod tog eksperimenta će

biti vektor X, koji je po svojim karakteristikama slučajna promenljiva.

Vektor koji predstavlja realizaciju vektora X po obavljenom

eksperimentu se naziva realizovani uzorak. Statistika (statistika uzorka) je

realna funkcija uzorka čiji analitički oblik ne zavisi od nepoznatih

parametara obeležja. Primeri statistika su

Sredina uzorka

;

Disperzija uzorka

i popravljena disperzija uzorka

;

Uzoračka standardna devijacija .

Sredina uzorka obima n, , iz populacije sa obeležjem X čija raspodela pripada familiji dopustivih raspodela kada je

nepoznato ima

raspodelu. Ako je disperzija uzorka obima n iz

populacije sa obeležjem X onda slučajna promenljiva ima

raspodelu sa stepeni slobode kada je nepoznato. Interval

poverenja je podskup realne prave unutar koga se može smatrati da će se

naći prava vrednost parametra sa određenim novoom poverenja.

Definicija 1.17. Tvrđenje o posmatranim pojavama i procesima na jednoj ili više populacija, koje može da se iskaže kao tvrđenje o raspodeli jednog ili više obeležja je statistička hipoteza. Definicija 1.18. Testiranje statističke hipoteze je postupak provere hipoteze u smislu njenog prihvatanja ili odbacivanja.

10

Postupak testiranja hipoteza podrazumeva da se jedna od hipoteza uzima za

polaznu ili nultu hipotezu i označava sa . Druga hipoteza se u tom slučaju naziva alternativna hipoteza i označava sa . Postupak verifikacije nulte

protiv alternativne hipoteze na osnovu realizovanog uzorka je statistički

test, a statistika čijim se posredstvom vrši testiranje je test statistika. Skup

svih tačaka realnog prostora za koje se nulta hipoteza odbacuje je kritična

oblast testa.

Pored definicija i termina iz teorije verovatnoća i matematičke

statistike, treba razjasniti neke osnovne pojmove finansija.

Portfolio je skup finansijskih instrumenata (aktiva) različitih vrsta i

karakteristika u posedu jednog investitora.

Kapital portfolija je ukupna vrednost portfolija.

Prinos predstavlja dobitak ili gubitak koji investitor ostvaruje na

osnovu vlasništva nad finansijskim instrumentima. Prinos portfolija

se određuje kao razlika između početne vrednosti portfolija i

vrednosti nakon nekog vremenskog perioda. Stopa prinosa portfolija

predstavlja odnos između razlike vrednosti portolija u nekom periodu

i početne vrednosti tog portfolija. Često se koristi izraz prinos kada se

govori o stopi prinosa.

Diversifikacija predstavlja ulaganje sredstava u više različitih

finansijskih instrumenata čime se smanjuje ukupan rizik kome je

investitor izložen.

Volatilnost je mera nepredvidivosti kretanja cena finansijskih

instrumenata.

11

Glava 2

VaR

Vrednost pod rizikom (Value at risk – skraćeno VaR) predstavlja

najveći očekivani gubitak portfolija u posmatranom vremenskom periodu sa

datim nivoom poverenja. Ova vrednost predstavlja rizik kome je institucija

izložena na finansijskom tržištu. Na primer, neka je dnevni VaR portfolija

neke banke 35 miliona dolara sa nivoom poverenja 99%. To znači da je

verovatnoća, da pri normalnim uslovima na tržištu, gubitak portfolija bude

veći od 35 miliona dolara, najviše 1%. Ovaj broj sumira izloženost banke

tržišnom riziku.

VaR metodologiju koriste mnoge banke, brokerske firme i investicioni

fondovi. Bankarsku regulativu o kapitalu banaka i upravljanju rizicima

određuje Bazelska komisija za superviziju banaka. Bazelska komisija je

sastavila sporazum kojim je prihvaćena VaR metodologija, a ovim

sporazumom su određeni uslovi koje moraju da zadovolje interni modeli

banaka za procenu rizika.

VaR je najsavremeniji alat za menadžment rizika. Klasični pristup

menadžmentu rizika je podrazumevao procenu promene vrednosti portfolija

imajući u vidu samo trenutni prinos. Za razliku od ovog pristupa, VaR

kombinuje vezu između vrednosti i prinosa portfolija sa verovatnoćom

nepovoljnih kretanja na tržištu. Tako VaR opisuje verovatnosnu granicu

potencijalnih gubitaka. Takođe, sam koncept obuhvata i ostale rizike:

devizni, robni i rizik promene cena. VaR se oslanja i na korelacije između

finansijskih instrumenata, što je posebno važno u radu sa velikim

portfolijima koji sadrže finansijske derivate. Drugim rečima, VaR

predstavlja nadogradnju postojećih metoda za ocenu rizika portfolija u čiji

sastav ulaze i finansijski derivati. Njegova uloga je da meri promene

vrednosti aktive do određenog datuma, a ponašanje u repovima raspodele

prinosa aktive se analizira kroz testiranje stresnih situacija.

VaR metodologija danas predstavlja najpoznatiji i najraspros-

tranjeniji koncept za upravljanje tržišnim rizicima. U okviru ovog koncepta

razvijeno je više metoda od kojih su najznačajniji: istorijski metod,

parametarki metod (ili varijansno-kovarijansni metod) i Monte Karlo

simulacija. Ovi metodi će biti detaljnije predstavljeni i analizirani u ovom

radu.

12

2.1 Rizik

Vrednost pod rizikom je metodologija za ocenu i upravljanje rizikom.

Precizna definicija rizika ne postoji, ali ono što je zajedničko svim

definicijama su neizvesnost i gubitak.

Rizik predstavlja svaku neizvesnu situaciju u poslovanju, odnosno

verovatnoću gubitka (smanjenje dobitka) nastalu kao rezultat neizvesnih

događaja u poslovanju.

Finansijske institucije su izložene različitim vrstama rizika. Osnovna

podela rizika je na poslovne i neposlovne rizike. Poslovni rizici su

posledica faktora poslovnog okruženja, dok su neposlovni rizici vezani za

ekonomsko i političko okruženje, zbog čega finansijske institucije ne mogu

da ih kontrolišu. Ovi rizici mogu biti izazvani raznim faktorima kao što su

ljudski faktor, inflacija, političke promene, ratovi, a mogu se desiti i usled

nekih prirodnih katastrofa, zemljotresa, poplava i drugih uzroka.

Finansijski rizik se povezuje sa novčanim gubitkom na finansijskom

tržištu nastalim usled nepredvidivosti ili nestabilnosti prinosa. Finansijski

rizik se može klasifikovati u više kategorija, a najvažnije su: tržišni rizik,

kreditni rizik, rizik likvidnosti, operativni rizik i pravni ili regulatorni rizik.

Tržišni rizik predstavlja rizik promene tržišnih cena koji dovodi do

smanjenja vrednosti portfolija. Glavni oblici u kojima se ovaj rizik

javlja su: rizik promene kamatne stope, rizik promene cena i rizik

promene deviznog kursa.

Kreditni rizik je rizik da partner u finansijskoj transakciji neće

ispuniti svoju ugovorom preuzetu finansijsku obavezu.

Rizik likvidnosti je rizik da finansijska institucija ne poseduje

dovoljno likvidnih sredstava, tj. raspoloživih sredstava za plaćanje

dospelih obaveza.

Operativni rizik je specifična vrsta finansijskog rizika. Odnosi se na

potencijalne gubitke zbog neodgovarajuće organizacije, lošeg

upravljanja, prevara, krađa i ljudskih i tehničkih grešaka.

Pravni ili regulatorni rizik obuhvata različite rizike koji su u vezi sa

nepoštovanjem ili primenom zakonskih normi.

Prve ideje za procenjivanje rizika portfolija potiču od Markowitza, koji

je merio rizik disperzijom prinosa. Iz ove metodologije je kasnije nastao

VaR. VaR je najpre razvijen u cilju upravljanja jednim aspektom

finansijskog rizika i to tržišnim rizikom. Međutim, kasnije je korišćen i za

upravljanje drugim aspektima finansijskog rizika kao što su kreditni rizik,

rizik likvidnosti i operativni rizik.

13

2.2 Definicija VaR–a

Termin vrednost pod rizikom (VaR) se prvi put pojavio 1993. godine

kada je Grupa 30 (Group of thirty – konsultantska grupa bankara,

akademika i finansijskih stručnjaka iz najrazvijenijih zemalja sveta) sa

predstavnicima banke J.P. Morgan diskutovala o najboljim modelima za

merenje rizika. Jula 1993. godine je objavljen njihov izveštaj u kome je za

“najbolju praksu” odobren VaR. Iako sam pojam vrednosti pod rizikom nije

bio u upotrebi do sredine devedesetih godina, njegovo poreklo se može naći u

teorijama iz sredine dvadesetog veka. Jedna od takvih teorija je portfolio

teorija Markowitza. Metodologija na kojoj počiva VaR je rezultat savremene

portfolio teorije. Na prihvatanje ovog koncepta je najviše uticala kriza koja

je zadesila finansijske institucije krajem osamdesetih i tokom devesetih

godina prošlog veka, kao i gubici koji su ostvareni u tom periodu usled

nemogućnosti predviđanja i upravljanja rizikom.

Za vrednost pod rizikom se može dati intuitivna definicija.

VaR sumira najveći mogući gubitak portfolija u posmatranom periodu sa datim nivoom poverenja.

Formalno, VaR opisuje kvantil raspodele potencijalnih gubitaka i

dobitaka portfolija u posmatranom periodu.

Neka se u nekom vremenskom periodu razmatra određeni portfolio.

Neka je X dobitak portfolija nakon tog vremenskog perioda. U tom slučaju je

–X gubitak portfolija koji će biti označen sa Y. Dobitak portfolija nije poznat

u početnom trenutku razmatranog vremenskog perioda, što znači da je X, a

samim tim i Y, slučajna promenljiva. VaR se može definisati kako preko

gubitka portfolija, tako i preko dobitka.

Neka je α nivo poverenja, . Definicija 2.1. VaR je maksimalni gubitak portfolija koji je dostignut u najmanje slučajeva

Koristi se i sledeća definicija VaR–a.

Definicija 2.2. VaR je minimalni dobitak portfolija koji je dostignut u najviše slučajeva

Nivo poverenja je unapred zadat i najčešće iznosi 0.9, 0.95 ili 0.99.

U narednoj teoremi pokazana je veza između prethodne dve definicije.

Teorema 2.1. Neka su X i Y dobitak i gubitak portfolija, respektivno. Tada je

14

Dokaz.

U sledećem primeru je data ilustracija primene VaR–a.

Primer 2.1. Neka investitor poseduje portfolio petogodišnjih Treasury Notes

obveznica ukupne vrednosti $100 000 000. Koliki je njegov mogući gubitak

za mesec dana?

Potrebno je simulirati mesečne prinose datog portfolija na osnovu

istorijskih podataka.

Slika 2.1 Grafik apsolutne promene prinosa petogodišnjih U.S. Treasury

obveznica od aprila 1953. godine do jula 2015. godine. Izvor [13].

Grafik na Slici 2.1 pokazuje promene prinosa portfolija od –1.8% do

2.2%. Na osnovu njega se može konstruisati raspodela verovatnoća dobijenih

prinosa na sledeći način: interval u kome se nalaze svi prinosi se deli na

podintervale jednake dužine i uočava se broj opservacija u svakom od njih.

Dobija se histogram date raspodele (Slika 2.2).

Na kraju treba izabrati nivo poverenja, na primer 99%, i pronaći

gubitak koji neće biti premašen u 99% slučajeva, tj. onaj broj od koga je

15

manje 1% opservacija (što je 8 od ukupno 748). Taj broj je oko –0.8%, tj.

$800000.

Slika 2.2 Histogram raspodele prinosa portfolija

Može se zaključiti da pod normalnim uslovima na tržištu, najveći

mogući gubitak portfolija za 1 mesec iznosi oko $800 000 sa nivoom

poverenja od 99%. □

Nivo poverenja je izabran proizvoljno u ovom slučaju, ali ga inače

treba birati veoma pažljivo. Izbor vremenskog perioda za koji se računa VaR

je takođe podložan subjektivnoj proceni. Međutim, za portfolio banaka je

najprihvatljiviji period 1 dan.

2.3 Osobine VaR–a

Kao što je ranije rečeno, vrednost pod rizikom sumira rizik kome je

finansijska institucija izložena na tržištu u jednom broju i zbog toga je od

značaja poznavati njegove osobine. Da bi se definisala osobina monotonosti

koju ima VaR potrebno je uvesti pojam stohastičke dominantnosti prvog

reda (stochastic dominance of order 1).

Definicija 2.3. Slučajna promenljiva Y stohastički dominira nad slučajnom promenljivom X, u oznaci ako i samo ako je , za svako

Osobine koje zadovoljava VaR su date sledećom teoremom.

16

Teorema 2.2. Za VaR važe sledeće osobine:

1. Invarijantnost u odnosu na translaciju

gde je c proizvoljna konstanta.

2. Pozitivna homogenost

gde je c pozitivna konstanta.

3. Monotonost

gde su X i Y gubici dva portfolija.

Dokaz.

1. Neka je c proizvoljna konstanta. Tada je

.

2. Neka je c pozitivna konstanta. Kako je

sledi osobina pozitivne homogenosti.

3. Kako je , važi da je za svako . Neka je

. Neka se pretpostavi suprotno, da je .

Pošto je najmanja vrednost za koju je , za važi Koristeći da je , dobija se

Odavde je , čime je dobijena kontradikcija. Prema tome, važi da je .

Primer 2.2. Neka se VaR mera rizika primenjuje na dobitak ili gubitak

portfolija koji je opisan slučajnom promenljivom sa normalnom raspodelom,

ili slučajnom promenljivom diskretnog tipa.

17

Neka je data slučajna promenljiva sa N(0,1) raspodelom. Na levom

grafiku Slike 2.3 je korišćena Definicija 2.1, a dati nivo poverenja je 90%. Na

desnom grafiku je ilustrovana primena Definicije 2.2 sa pragom značajnosti

10%.

Slika 2.3 VaR definisan preko gubitka i preko dobitka portfolija opisan

slučajnom promenljivom sa normalnom normiranom raspodelom

VaR slučajne promenljive Y, koja ima normalnu raspodelu sa

očekivanjem i disperzijom , jednak je

gde je Z slučajna promenljiva sa raspodelom Zaista,

Primenom osobina invarijantnosti i pozitivne homogenosti dobija se da je

Neka je data diskretna slučajna promenljiva Y koja predstavlja

gubitak portfolija, sa raspodelom

odnosno slučajna promenljiva dobitka portfolija

18

Na Slici 2.4 je prikazan VaR primenjen na prvu, odnosno drugu slučajnu

promenljivu.

Slika 2.4 VaR definisan preko gubitka i preko dobitka portfolija koji je

predstavljen diskretnom slučajnom promenljivom

Na obe slike obojena površina odgovara nivou na kome se određuje VaR.

Kada se VaR definiše preko gubitka portfolija pozitivne vrednosti

predstavljaju gubitke, a negativne prihod. U slučaju kada se definiše preko

dobitka je obrnuto, pozitivne vrednosti predstavljaju prihod, a negativne

gubitak portfolija. □

Definicija 2.4. Mera rizika je subaditivna ako je zbir rizika dva portfolija veći ili jednak od rizika portfolija dobijenog spajanjem ta dva portfolija.

Drugim rečima, ako su X i Y dva razmatrana portfolija i R(X) i R(Y)

njihovi rizici, mera R je subaditivna ako je Sledeći primer pokazuje da VaR nije subaditivna mera rizika,

odnosno da se spajanjem dva portfolija u jedan može dobiti portfolio čiji je

VaR veći od zbira VaR–ova pojedinačnih portfolija.

Primer 2.3. Neka je portfolio koji predstavlja ulaganje u akciju portfolio koji predstavlja ulaganje u akciju . Neka su raspodele gubitaka

portfolija date sa

respektivno.

VaR portfolija , sa nivoom poverenja 95% je

a portfolija

19

Neka je x portfolio koji se sastoji od 50% akcija i 50% akcija , odnosno

. Raspodela gubitka portfolija x je

Vrednosti portfolija se računaju na sledeći način

a analogno se izračunavaju i sve ostale vrednosti. Nakon izračunavanja svih

vrednosti dobija se raspodela gubitka portfolija

Dakle, Y ima raspodelu

i Dakle,

Dobija se

Dakle, VaR nije subaditivna mera rizika. Ovaj primer pokazuje da se, sa

nivoom poverenja 0.95, spajanjem portfolija u jedan dobija portfolio

koji je rizičniji od pojedinačnih portfolija. □

VaR u opštem slučaju ne zadovoljava osobinu subaditivnosti.

Sledećom teoremom će biti dati uslovi pod kojima će VaR biti subaditivna

mera rizika.

Kao što je ranije rečeno, VaR portfolija opisan slučajnom

promenljivom Y, koja ima normalnu raspodelu sa očekivanjem i

disperzijom , je

gde je Z slučajna promenljiva sa raspodelom.

Teorema 2.3. Neka su slučajne promenljive sa raspodelama

, respektivno. Tada je za

Dokaz. Pod pretpostavkom da i

sledi da slučajna promenljiva ima normalnu raspodelu

20

gde je ρ koeficijent korelacije slučajnih promenljivih . Za koeficijent

korelacije važi da je tako da je

. Kako je

, za svako (Primer 2.2), dobija se da je

što je i trebalo dokazati.

Napomena 2.1. Uslov ne predstavlja restrikciju jer se u realnim

situacijama za nivo poverenja uzimaju vrednosti koje su blizu jedinice.

2.4 Procena VaR–a

Određivanje VaR–a se odvija u više faza i da bi se on izračunao potrebno je

odrediti tržišnu vrednost portfolija,

izmeriti promenljivost faktora rizika,

odrediti vremenski period,

odrediti nivo poverenja,

izračunati najveći gubitak na osnovu datih informacija.

Slika 2.5 Koraci u konstrukciji VaR–a

21

2.5 Primena VaR–a

Na osnovu definicije VaR–a se može zaključiti da on zavisi od dva

kvantitativna faktora: dužine vremenskog perioda i nivoa poverenja. VaR je

direktno proporcionalan ovim faktorima, tj. povećava se, kako sa

povećanjem dužine posmatranog vremenskog perioda, tako i sa povećanjem

nivoa poverenja. Postavlja se pitanje kako izabrati vrednosti ova dva

faktora. Odgovor se menja u zavisnosti od toga u koje svrhe se određuje

VaR.

VaR se najčešće upotrebljava kao kriterijum koji kompanije koriste za

upoređivanje rizika na različitim tržištima. U ovim situacijama izbor

kvantitativnih faktora je proizvoljan, tj. kompanije same odlučuju o nivou

poverenja i dužini vremenskog perioda.

Kada se VaR primenjuje kao mera najvećeg potencijalnog gubitka

nekog portfolija vremenski period se određuje prema prirodi tog portfolija.

Na primer, banke određuju dnevni VaR jer je u skladu sa njihovim merama

dnevnog profita i gubitka (daily profit and loss –P&L measures), dok

penzioni fondovi najčešće primenjuju jednomesečni VaR za svoje investicije.

Izbor nivoa poverenja je i u ovim slučajevima proizvoljan.

Ako se VaR primenjuje za određivanje gubitka portfolija akcija izbor

navedenih faktora je od suštinskog značaja. Ukoliko gubitak premaši VaR to

bi moglo da znači bankrot kompanije. Pretpostavlja se da mera rizika tada

obuhvata sve rizike kojima je izložena finansijska institucija. Izbor nivoa

poverenja u ovom slučaju reflektuje stepen averzije kompanije prema riziku.

Izbor dužine vremenskog perioda treba da bude u skladu sa vremenom koje

je potrebno kompaniji da reaguje ukoliko dodje do gubitaka.

Izbor kvantitativnih faktora je takođe veoma važan prilikom primene

u backtesting modelima. Ovi modeli su izuzetno važni jer se pomoću njih

sistemski upoređuju vrednosti VaR sa stvarnim vrednostima prihoda i

gubitaka portfolija u prošlosti. Backtesting modeli omogućavaju da se

detektuje odstupanje u VaR prognozama. U ovom slučaju se bira kraći

vremenski period jer se time povećava broj nezavisnih opservacija u toku

jedne godine. Na primer, ako se određuje jednodnevni VaR, dobijaju se 252

nezavisne opservacije u toku godine. Nivo poverenja se određuje tako da

obezbedi moćan test. Preveliki nivo poverenja smanjuje broj očekivanih

opservacija u repovima raspodele i umanjuje moć testa. Zato se, u praksi, u

backtesting modelima koristi nivo poverenja od 95%.

2.5.1 Bazelski standardi

Jedna ilustracija primene VaR–a za određivanje gubitka portfolija

investitora je interni (IM) pristup (internal models approach) Bazelskog

komiteta za superviziju banaka ( Basel committee on banking supervision).

Bazelski komitet za superviziju banaka je osnovan 1974. godine od

strane najrazvijenijih zemalja sveta, sa ciljem da unapredi poslovanje i

kontrolu banaka. Prvi standardi, poznati pod nazivom Basel 1, su doneti

22

1988. godine i odnosili su se na načine merenja rizika i adekvatnosti

kapitala banaka. Bazel 1 standardi su zahtevali korišćenje standardizova-

nog pristupa za ocenu rizika, koji je u praksi često bio kritikovan. Jedan od

najvećih nedostataka standardizovanog pristupa je bio taj što je tretiran

prvenstveno kreditini rizik, dok su ostali rizici izostavljani iz analize.

Glavni nedostatak sporazuma Bazel 1 je uklonjen 1993. i 1996. godine

uvođenjem nove metodologije za ocenu tržišnog rizika – VaR. VaR

metodologija je prvo ugrađena u standardizovani pristup, a kasnije, sa

njenim razvojem, komitet je dozvolio bankama da koriste interne modele za

ocenu rizika, ako zadovoljavaju određene uslove. Tako je nastao sporazum

pod nazivom Bazel 2, koji je objavljen 2004. godine. Ovim sporazumom se

zahteva da banke obračunavaju VaR za vremenski period od 10 poslovnih

dana (ili dve kalendarske nedelje) uz nivo poverenja 99% i da se istorijski

podaci za jednu godinu ažuriraju najmanje jednom u kvartalu.

Kao što je naglašeno, izbor kvantitativnih parametara je od

suštinskog značaja prilikom izračunavanja VaR–a. Vremenski period od 10

dana je izabran kao kompromis između troškova čestog kontrolisanja i

dobrobiti rane detekcije potencijalnih problema. Nivo poverenja od 99%

obezbeđuje siguran i jak finansijski sistem, sa minimalnim negativnim

efektima na prihode banaka. Čak i sa ovim vrednostima faktora, gubitak će

premašiti procenjen VaR u 1% slučajeva u proseku, odnosno, jednom u 4

godine (zbog vremenskog perioda od 10 dana). Kako je nezamislivo da se

dozvoli da banke pretrpe neuspeh tako često, procenjeni VaR se množi

faktorom , što omogućava skoro izvesno osiguranje od bankrota. Uloga

faktora je zaštita banaka od rizika i on se naziva koeficijent dodatne

zaštite. Tako je minimalni zahtevani kapital za zaštitu banaka od

rizika. Faktor je koeficijent dodatne zaštite za banke koje koriste

najbolje metode za ocenu VaR–a. Za ostale banke ovaj koeficijent mora biti

veći, kako bi se i one zaštitile usled lošijih uslova na finansijskom tržištu.

Postavlja se pitanje zašto koeficijent dodatne zaštite treba da bude

veći ili jednak od 3. Odgovor daje nejednakost Čebiševa (Chebyshev’s

inequality). Neka je X proizvoljna slučajna promenljiva sa konačnom

disperzijom. Verovatnoća da X uzme vrednosti van određenog intervala je

pod pretpostavkom da je poznata standardna devijacija . Ukoliko je

raspodela slučajne promenljive X simetrična, tada je

Kako je

to je

23

Za dobija se . Dakle maksimalni VaR je Neka je sada X slučajna promenljiva sa normalnom normiranom

raspodelom. Tada je

Sa druge strane je tako da je , odnosno, za

Dakle, VaR normalne raspodele je .

Ako je raspodela nepoznata, korekcioni faktor je

2.5.2 Konverzija parametara

Korišćenje parametarske raspodele, kao što je normalna raspodela, je

pogodno za konverziju VaR–a sa jednog vremenskog perioda na drugi, kao i

na različite nivoe poverenja. Pri tome, potrebno je da budu ispunjeni sledeći

uslovi:

1. prinosi portfolija su nezavisni,

2. prinosi imaju normalnu raspodelu,

3. parametri su konstantni.

Analitičari najčešće izračunavaju jednodnevni VaR koji zatim

konvertuju u VaR za duži vremenski period u slučajevima kada ne postoji

dovoljno podataka da se proceni ponašanje tržišnih promenljivih za period

duži od jednog dana. Tržišne promenljive su sve slučajne promenljive koje

utiču na vrednost portfolija, na primer spot cena, kamatna stopa, devizni

kurs, itd., i obično je teško proceniti njihovo ponašanje za duži vremenski

period. Tada se koristi aproksimacija

Ova formula je tačna kada su prinosi portfolija u uzastopnim danima

nezavisne, normalno raspodeljene slučajne promenljive sa srednjom

vrednošću 0. U ostalim slučajevima je samo aproksimacija.

Volatilnost cene aktive je najčešće izražena u procentima na

godišnjem nivou. Međutim, za izračunavanje VaR–a se koristi dnevna

volatilnost, pa je potrebno uspostaviti vezu između godišnje i dnevne

volatilnosti. Pod pretpostavkom da jedna godina ima 252 poslovna dana,

odnos godišnje i dnevne volatilnosti je

24

odakle se dobija

odnosno dnevna volatilnost iznosi oko 6% godišnje volatilnosti.

25

Glava 3

Metode za izračunavanje VaR–a

Vrednost pod rizikom je postala jedan od najvažnijih alata za

menadžment rizika. Zbog njene velike primene u praksi, cilj je obezbediti

dovoljno preciznu ocenu rizika sa umerenim troškovima. To znači da treba

izabrati adekvatan model za izračunavanje VaR–a za kreirani portfolio.

Pristupi određivanju VaR–a se mogu klasifikovati u dve grupe. Prva

grupa koristi lokalnu evaluaciju primenom parametarskog ili delta-

normalnog metoda, koji pretpostavlja normalnu raspodelu prinosa portfolija.

Druga grupa koristi potpunu evaluaciju primenom metoda istorijske

simulacije i Monte Karlo simulacije.

Ova klasifikacija odražava kompromis između brzine izračunavanja

VaR–a i preciznosti. Brzina je od presudnog značaja kada se radi sa velikim

portfolijima u kojima se javlja i veliki broj korelacija između tržišnih

promenljivih. U takvoj situaciji najpogodniji je parametarski metod.

Preciznost može da bude važna u portfolijima koji ne sadrže linearne

komponente.

3.1 Parametarski metod

Parametarski metod (varijansno – kovarijansni ili delta normalan

metod) ima veliku primenu u potfolio analizi jer daje korisnicima najveću

kontrolu nad menadžmentom rizika. Pomoću njega će biti izloženi načini za

merenje VaR–a portfolija i upravljanje njime. Metod je analitički i

omogućava jednostavnu analizu podataka, zbog čega je jedan od najčešće

korišćenih metoda u praksi.

Koncept portfolio analize je osnovao Harry Markowitz 1952. godine i

investitorima je preneo važnu poruku za upravljanje rizikom. Njegova

teorija se zasnivala na ideji da se izloženost portfolija riziku može umanjiti

ulaganjem finansijskih sredstava u više različitih finansijskih

instrumenata, odnosno diversifikacijom. Markowitz je, za svoja istraživanja,

dobio Nobelovu nagradu 1990. godine. Savremena portfolio analiza koristi

VaR za rešavanje problema diversifikacije i obezbeđuje kratak pregled

izloženosti riziku.

26

Menadžeri rizika su otkrili i način kako da upotrebe VaR

metodologiju za aktivni menadžment rizika. Tako je pronađen odgovor na

pitanje kako promeniti pozicije u portfoliju da bi se vrednost VaR

najefikasnije modifikovala. Ova informacija je veoma korisna jer se promene

u sastavu portfolija vrše postepeno zbog troškova transakcije. U ove svrhe se

koriste VaR alati koji uključuju marginalni, inkrementalni i komponentni

VaR.

Parametarski metod pretpostavlja da sve tržišne promenljive imaju

normalnu raspodelu, da su korelacije između tih tržišnih promenljivih

konstantne i da je delta svakog portfolija konstantna (delta predstavlja

osetljivost portfolija na promene cene aktiva).

3.1.1 VaR portfolija koji se sastoji od jedne aktive

Neka se portfolio sastoji od jedne aktive. Pretpostavlja se da prinos te

aktive (promena vrednosti aktive) R ima normalnu raspodelu sa

očekivanjem i disperzijom . VaR takve slučajne promenljive, sa nivoom

poverenja α, je

gde je Z slučajna promenljiva sa N(0,1) raspodelom. Neka je, radi

jednostavnijeg zapisa, uvedena oznaka . Kod ovih modela se

pretpostavlja da je očekivana promena tržišnih promenljivih tokom vremena

jednaka nuli ( , a opravdanje leži u tome što je za kratak vremenski period ona mnogo manja od standardne devijacije promene i može se

zanemariti. Na osnovu nivoa poverenja α jednostavno se izračunava

vrednost , jer je . Zaista, na osnovu Definicije 2.1 važi

odnosno .

Ako je iznos uložen u datu aktivu (cena aktive) onda je prinos

portfolija izražen u osnovnoj valuti jednak , a disperzija prinosa

portfolija

Tada je jednodnevni α% VaR razmatranog portfolija

gde je dnevna volatilnost aktive.

Desetodnevni α% VaR se dobija kada se vrednost pomnoži

sa .

27

Primer 3.1. Neka se portfolio sastoji od $10 000 000 u akcijama Microsofta i

neka je dnevna volatilnost akcija 2%. Potrebno je izračunati desetodnevni

VaR razmatranog portfolija sa nivoom poverenja 99%.

Kako je dnevna volatilnost 2% (što odgovara godišnjoj volatilnosti od

32%) i vrednost portfolija je $10 000 000, to standardna devijacija dnevne

promene vrednosti portfolija iznosi 2% od $10 000 000, odnosno $200 000.

Zbog pretpostavke da prinos portfolija ima normalnu raspodelu vrednost

se izračunava na sledeći način

odakle se dobija

Tada je jednodnevni 99% VaR

a desetodnevni 99% VaR je . □

3.1.2 VaR portfolija koji se sastoji od više aktiva

Portfolio se karakteriše pozicijama u određenom broju aktiva

(finansijskih instrumenata), čija je vrednost data u baznoj valuti, na primer

dolarima. Ako su pozicije fiksirane u izabranom vremenskom periodu, stopa

prinosa portfolija je težinska suma prinosa aktiva u njegovom sastavu.

Težinski koeficijenti predstavljaju odnos količine novca uloženog u datu

hartiju od vrednosti i vrednosti čitavog portfolija. Dakle, VaR portfolija se

može konstruisati kao kombinacija rizika svih hartija od vrednosti u

njegovom sastavu.

Neka je stopa prinosa portfolija od trenutka t do trenutka t+1

definisana na sledeći način

gde je N broj aktiva, je stopa prinosa aktive i, a je težinski

koeficijent aktive i. Koeficijenti su konstruisani tako da prikazuju odnos

ulaganja u svaku aktivu portfolija čija je ukupna vrednost W, tako da je

suma koja je uložena u aktivu i data sa .

Za potrebe određivanja VaR–a svaka komponenta se definiše kao

faktor rizika i tada težinski koeficijent predstavlja linearnu izloženost portfolija ovom faktoru rizika.

Prinos portfolija se može dati u matričnom zapisu

28

gde je transponovani vektor težina, a R vektor prinosa aktiva u

portfoliju. Ako je i

, očekivani prinos portfolija je

a njegova disperzija

Pretpostavlja se da je očekivani prinos portfolija jednak nuli za mali

vremenski period. Disperzija prinosa portfolija zavisi ne samo od disperzija

prinosa pojedinačnih aktiva već i od svih njihovih kovarijansi, što je ukupno

različitih odnosa. Disperzija prinosa portfolija se može

predstaviti u obliku

Ako se kovarijansna matrica označi sa ∑, disperzija stope prinosa portfolija

je

Ako se disperzija prinosa portfolija izražava u valuti, tada je

gde je x vektor cena svih aktiva u portfoliju.

Na osnovu disperzije prinosa portfolija potrebno je izračunati VaR

portfolija. To će biti moguće ako je poznata raspodela prinosa portfolija. U

varijansno – kovarijansnom modelu sve pojedinačne aktive imaju normalno

raspodeljene prinose. Korišćenje normalne raspodele pojedinačnih prinosa je

pogodno jer i prinos portfolija, kao linearna kombinacija prinosa aktiva, ima

normalnu raspodelu. Tada se nivo poverenja α može jednostavno prevesti u

29

vrednost pomoću jednakosti , gde je Z slučajna

promenljiva sa normalnom normiranom raspodelom.

Diversifikovani VaR je VaR portfolija koji uzima u obzir prednosti diversifikacije. Ako je W vrednost portfolija tada je VaR portfolija jednak

Individualni VaR je VaR jedne aktive portfolija posmatrane nezavisno od ostalih.

Rizik svake od aktiva u portfoliju je

VaR portfolija zavisi od disperzija i kovarijansi prinosa aktiva u

portfoliju, kao i od broja aktiva. Opseg kovarijanse prinosa aktiva zavisi od

disperzija prinosa pojedinačnih aktiva i ne može se jednostavno

interpretirati. Zbog toga se koristi koeficijent korelacije ρ kao mera linearne

zavisnosti dve promenljive

Rizik portfolija se smanjuje kroz niske korelacije između aktiva ili sa

povećanjem broja aktiva. Da bi bio ocenjen uticaj broja aktiva na rizik

portfolija pretpostavlja se da sve aktive imaju isti rizik , da su sve

korelacije između aktiva jednake kao i da su svi težinski koeficijenti

jednaki. Pod pretpostavkom da je i za svako

, na osnovu (3.1) disperzija prinosa portfolija je

Tada rizik portfolija zavisi od

Kako se rizik smanjuje sa povećanjem broja aktiva za različite vrednosti

koeficijenta korelacije prikazano je na Slici 3.1.

30

Slika 3.1 Zavisnost od broja aktiva za različite vrednosti

Dakle, niska korelacija pomaže u smanjenju rizika portfolija. U

slučaju portfolija koji se sastoji iz dve aktive, „diversifikovana“ disperzija

portfolija je

VaR portfolija je tada

Kada je korelacija prinosa dve aktive jednaka nuli, odnosno kada su

prinosi aktiva nezavisni VaR, portfolija se redukuje na

odakle se može zaključiti da je rizik portfolija manji od zbira rizika

pojedinačnih aktiva, tj.

Dakle portfolio je manje rizičan ako se sastoji od aktiva koje su nezavisne

među sobom.

Kada su prinosi aktiva u savršenoj pozitivnoj korelaciji i vrednosti

pozitivne, jednakost (3.2) se svodi na

31

Drugim rečima, VaR portfolija je jednak zbiru individualnih VaR mera ako

su dve aktive u sastavu portfolija savršeno pozitivno korelisane. Međutim, u

praksi je najčešći slučaj da aktive nisu savršeno korelisane. Dobitak

diversifikacije se može definisati kao razlika između diversifikovanog VaR–

a i nediversifikovanog VaR–a.

Nediversifikovani VaR je zbir individualnih VaR mera ili VaR portfolija kada su sve aktive u njemu savršeno korelisane i nema mogućnosti kratke prodaje.

Ova interpretacija ne važi kada su dozvoljene kratke pozicije u aktivi.

Primer 3.2. Neka se razmatra portfolio koji se sastoji od dve strane valute

kanadskog dolara (CAD) i evra (EUR). Neka su ove dve valute međusobno

nekorelisane, i neka je njihova volatilnost prema dolaru 5% i 12% dnevno,

respektivno. Neka je investitor uložio $2 000 000 u CAD i $1 000 000 u

EUR. Treba izračunati jednodnevni VaR portfolija sa nivoom poverenja

95%.

Najpre treba izračunati disperziju prinosa portfolija u dolarima. Neka

je x vektor količine novca izloženog svaku od dve valute, u milionima. Tada

je

Disperzija portfolija je (u milionima dolara)

Volatilnost portfolija je miliona. Kako je ,

dobija se da je VaR portfolija

Individualni VaR se dobija na jednostavan način jer je .

Nediversifikovani VaR je tada i veći je od VaR–a

portfolija zbog efekata diversifikacije. Dobitak diversifikacije iznosi

□

32

3.1.3 VaR alati

VaR je prvobitno osmišljen da meri rizik portfolija, međutim

menadžeri su otkrili nove načine za upravljanje rizikom koji se baziraju na

ovoj metodologiji. Alati koji su razvijeni u ove svrhe su marginalni,

inkrementalni i komponentni VaR.

3.1.3.1 Marginalni VaR

Marginalni VaR je alat razvijen u cilju ispitivanja efekata promene

pozicija u aktivama koje čine portfolio na ukupan rizik portfolija.

Marginalni VaR predstavlja promenu VaR–a portfolija koja nastaje promenom pozicija u jednoj aktivi.

Neka se postojeći portfolio sastoji od N aktiva označenih sa j, j=1,2,...,N . Novi portfolio se dobija promenom broja pozicija u aktivi i. Potrebno je izmeriti „marginalni“ doprinos ove promene ukupnom riziku

portfolija. Diferenciranjem jednakosti (3.1) po dobija se

Na osnovu izvoda disperzije portfolija se može izračunati izvod volatilnosti.

Kako je , osetljivost volatilnosti portfolija na

promenu jednaka je

Marginalni VaR je jednak

tako da je marginalni VaR portfolija vektor sa koordinatama

Marginalni VaR je u tesnoj vezi sa parametrom beta (β) koji je

definisan na sledeći način

33

Beta meri doprinos jedne aktive ukupnom riziku portfolija. Naziva se još i

sistematski rizik aktive i u odnosu na portfolio. Beta predstavlja nagib

prave linearne regresije po u proizvoljnom trenutku t

Za sve aktive u portfoliju beta koeficijent se može predstaviti kao vektor

oblika

Vektor i konstanta se dobijaju prilikom izračunavanja VaR–a, pa

se β i marginalni VaR lako mogu odrediti nakon određivanja VaR–a.

Veza između marginalnog VaR–a (ΔVaR) i β se dobija na osnovu (3.3)

i (3.4)

Marginalni VaR se koristi često u menadžmentu rizika. Ako

investitor želi da smanji VaR portfolija smanjenjem broja pozicija u nekoj

aktivi za neki fiksni iznos, trebalo bi da rangira sve vrednosti za marginalni

VaR i da izabere aktivu koja ima najveći marginalni VaR. Smanjenje broja

pozicija u izabranoj aktivi će, pod datim uslovima, investitoru pružiti najveći

efekat zaštite portfolija od rizika.

3.1.3.2 Inkrementalni VaR

Inkrementalni VaR predstavlja promenu u vrednosti VaR koja nastaje usled promene pozicija u aktivama koje čine portfolio. Od marginalnog VaR–a se razlikuje po tome što količina novca koja se dodaje ili uzima iz portfolija može biti velika, pa promena VaR–a nije linearna.

U idealnom sličaju, najpre se određuje VaR portfolija na osnovu

početnih pozicija u aktivama, a zatim se, promenom u sastavu portfolija čija

je dolarska vrednost predstavljena vektorom a, ponovo računa VaR na

osnovu novih pozicija u aktivama. Inkrementalni VaR portfolija se određuje

kao razlika ove dve vrednosti

34

Slika 3.2 Puni inkrementalni VaR

Poređenje “pre i posle” može obezbediti puno informacija. Ako se

inkrementalni VaR smanjuje onda je promenom u sastavu portfolija

izvršena zaštita portfolija, u suprotnom je promena donela veći rizik. Treba

napomenuti da a može da predstavlja promenu pozicija jedne aktive, a može

biti i složena promena većeg broja aktiva odjednom. Zbog toga se a naziva

vektor novih pozicija.

Glavna mana ovog pristupa je to što zahteva punu evaluaciju VaR–a

sa svakom novom promenom. Ovaj postupak može da bude dugotrajan ako

se primenjuje na veliki portfolio. U nekim slučajevima, kada banka ili neka

druga institucija ne može da čeka sa preduzimanjem odgovarajućih mera,

ovaj pristup nije poželjan. Međutim, postoji aproksimacija koja u tim

slučajevima predstavlja “prečicu”. Neka je dat razvoj za u red oko

vrednosti ,

u kome se mogu zanemariti drugi izvodi ako je promena a mala. Zato se

inkrementalni VaR može dati i kao aproksimacija

Ovaj način izračunavanja se mnogo brže sprovodi u praksi jer se vektor

ΔVaR dobija prilikom određivanja VaR–a portfolija.

35

Slika 3.3 Aproksimacija inkrementalnog VaR–a

Naizgled, ova aproksimacija pruža brzo izračunavanje na račun

preciznosti. Međutim, može se pokazati da ova aproksimacija daje dovoljno

dobre rezultate, naročito kada se radi sa velikim portfolijima, gde bi nova

potpuna evaluacija zahtevala veliki broj računskih operacija. Kada se

razmatra veliki portfolio obično je data promena mala u odnosu na njegovu

vrednost i tada je (3.6) dobra aproksimacija.

Pokazano je kako se primenjuje inkrementalni VaR u opštem slučaju,

kada se promena u sastavu portfolija vrši promenom pozicija u više aktiva

odjednom. Neka se posmatra promena portfolija predstavljena promenom

broja pozicija u jednoj aktivi. Vrednost portfolija se menja od W na , gde je a iznos uložen u aktivu i. Disperzija prinosa novog portfolija

izražena u dolarima je

Menadžeri rizika na osnovu prethodne jednakosti mogu da odrede iznos

promene a koji će da minimizira rizik portfolija. Diferenciranjem prethodne

jednakosti po a dobija se

Izjednačavanjem prvog izvoda (3.7) sa nulom i primenom (3.4) dobija se

optimalna vrednost za a

36

Ova pozicija je poznata kao najbolja zaštita portfolija od rizika.

Najbolja zaštita portfolija od rizika predstavlja dodatni iznos koji treba uložiti u određenu aktivu da bi se smanjio ukupan rizik portfolija.

Primer 3.2. (nastavak) Neka se razmatra uvećanje ulaganja u CAD u

vrednosti od $10 000.

Najpre se određuje marginalni VaR portfolija. Koeficijent β se

izračunava na osnovu (3.5) i jednak je

Marginalni VaR portfolija je

Ako se pozicija u CAD poveća za $10 000, tada je aproksimativni

inkrementalni VaR jednak

Inkrementalni VaR dobijen novom potpunom evaluacijom rizika

portfolija se određuje na osnovu

odakle je . Početni VaR portfolija je bio ,

pa je prava vrednost inkrementalnog VaR–a $529. Može se uočiti da je

aproksimacija pomoću marginalnog VaR–a jednaka pravoj vrednosti.

Linearna aproksimacija daje odlične rezultate jer je promena u pozicijama

relativno mala. □

3.1.3.3 Komponentni VaR

Za menadžment rizika bi bilo veoma korisno da se za dati portfolio

izvši dekompozicija rizika. To nije jednostavno uraditi jer volatilnost

portfolija nije linearna funkcija volatilnosti aktiva. Ne može se primeniti

pristup u kome se računa zbir individualnih vrednosti VaR za svaku aktivu

jer ne uzima u obzir efekte difersifikacije. Potreban je metod dekompozicije

koji prepoznaje ove efekte.

37

Komponentni VaR portfolija predstavlja deo VaR–a portfolija koji ukazuje na to koliko bi se VaR portfolija promenio ako bi se data aktiva (komponenta) uklonila iz portfolija.

Kao pomoć pri merenju doprinosa svake aktive ukupnom riziku

portfolija koristiće se marginalni VaR. Množenjem iznosom uloženim u aktivu (faktor rizika) dobija se komponentni VaR

Treba napomenuti da se preciznost linearne aproksimacije povećava

kada su pozicije u aktivama koje čine portfolio male. Zato je dekompozicija

posebno korisna u radu sa velikim portfolijima koji najčešće imaju više

manjih pozicija u aktivama.

Zbir svih komponentnih VaR–a je jednak upravo VaR-u portfolija

Izraz u zagradi je jednak jedinici jer je

Aktive čiji komponentni VaR ima negativni predznak predstavljaju

zaštitu ostatka portfolija. Nasuprot tome, komponente sa pozitivnim

predznakom povećavaju ukupan rizik portfolija.

Komponentni VaR se može još više pojednostaviti. Uzevši u obzir da

važi

, komponentni VaR je jednak

Dakle, komponentni VaR je mera koja reflektuje korelacije između

aktiva u portfoliju.

Konačno se može izvesti procentualni doprinos komponente i VaR–u

portfolija

38

Svi VaR alati su neprocenjivi u menadžmentu rizika jer je njihova

upotreba omogućila korisnicima da kontrolišu VaR svog portfolija.

Primer 3.2. (nastavak) Neka se traži komponentni VaR datog portfolija.

Izračunavanje se vrši iz , tako da je

Zbir je zaista jednak $257 738, odnosno vrednosti .

Najveća komponenta je pozicija u EUR, koja ima i najveću volatilnost. Oba

broja su pozitivna, što znači da nijedna pozicija ne pruža zaštitu datom

portfoliju.

Neka je broj pozicija u EUR jednak nuli. Kako se portfolio sastoji od

dve aktive onda je novi VaR bez pozicije u EUR jednak VaR-u CAD

komponente, Inkrementalni VaR pozicije u EUR je

. Komponentni VaR iznosi $152 108 i

značajno je veći od $92 738. Aproksimacija nije tako dobra kao ranije jer se

portfolio sastoji od samo dve aktive, a svaka od njih ima veliki udeo u

ukupnom VaR-u. Može se očekivati bolja aproksimacija u slučajevima kada

su VaR komponente male u odnosu na ukupan VaR.

Slika 3.4 Dekompozicija VaR–a

Slika 3.4 prikazuje kratak rezime VaR alata primenjenih na portfolio

koji se sastoji od dve valute. Na grafiku je VaR portfolija funkcija iznosa

novca uloženog u pozicije u EUR. Marginalni VaR je promena VaR–a koja

nastaje dodavanjem $1 u poziciju EUR. Na grafiku je predstavljen nagibom

39

tangente na VaR krivu (0.1521). Inkrementalni VaR je promena VaR–a koja

nastaje uklanjanjem pozicije u EUR i iznosi $92 738 ako se meri duž VaR

krive. Komponentni VaR predstavlja aproksimaciju ove vrednosti merene

duž tangente na VaR krivu i iznosi $152 108. Komponentni VaR se

dopunjuje do ukupnog VaR–a portfolija i predstavlja dekompoziciju ukupnog

rizika.

Grafik takođe pokazuje da je najbolja zaštita portfolija od rizika

pozicija $0 u EUR (VaR funkcija dostiže minimum u tački 0).

Podaci se mogu prikazati i tabelarno, kao u Tabeli 3.1. Ovaj način

prikaza daje vrednosti za VaR portfolija, ali i veliki broj drugih informacija

za menadžere rizika.

Valuta

Trenutna pozicija ili

Individualni VaR,

Marginalni VaR,

Komponentni VaR,

Procentualni doprinos

CAD $2 000 000 $165 000 0.0528 $105 630 41.0%

EUR $1 000 000 $198 000 0.1521 $152 108 59.0%

Ukupno $3 000 000

Nediversifikovani VaR

$363 000

Diversifikovani VaR

$257 738 100%

Tabela 3.1

Na primer, kolona u kojoj su prikazane vrednosti za marginalni VaR može

da se iskoristi kao pomoć u odlučivanju kako umanjiti rizik. Kako je

marginalni VaR pozicije u EUR tri puta veći od iste mere pozicije u CAD,

uklanjanje pozicije u EUR će biti mnogo korisnije nego uklanjanje pozicije u

CAD. □

3.1.4 Prednosti i slabosti parametarske metode

Glavna slabost parametarske metode je pretpostavka o normalnoj

raspodeli tržišnih promenljivih. Iako je u nekim slučajevima ova

pretpostavka tačna, istraživanja pokazuju da uglavnom nije. Važan

nedostatak je i pretpostavka o linearnom uticaju prinosa aktiva na promenu

vrednosti portfolija. Ukoliko portfolio sadrži finansijske derivate,

parametarski metod neće dati dobre rezulatate.

Međutim, parametarska metoda je veoma laka za sprovođenje jer

obuhvata jednostavno množenje matrica. Rizik svake aktive ima linearan

uticaj na ukupan rizik portfolija tako da je parametarska metoda veoma

brza metoda za izračunavanje VaR–a, čak i kada se portfolio sastoji od

velikog broja aktiva. Parametarski pristup je takođe pogodan za anlizu

rizika portfolija jer se kao nusprodukti njegove primene dobijaju i mere

40

marginalnog i inkrementalnog rizika. Zbog svega navedenog, ova metoda je

veoma korisna i jedna je od najčešće korišćenih metoda u menadžmentu

rizika.

3.2 Metod istorijske simulacije

Metod istorijske simulacije je veoma popularan metod za

izračunavanje VaR–a. Uključuje korišćenje istorijskih podataka kao

uputstvo za ono što se može desiti u budućnosti. Prvi korak prilikom

primene metoda jeste identifikovanje svih tržišnih promenljivih, na primer

N, koje utiču na vrednost portfolija (spot cena, kamatna stopa, kurs, itd.)

kao i njihovih vrednosti u prethodnih T dana , i

Tako se može dobiti T različitih scenarija šta se može desiti sa vrednošću portfolija između današnjeg i sutrašnjeg dana. Drugi korak pri

primeni metoda jeste određivanje hipotetičke vrednosti svake od tržišnih

promenljivih sutra. Neka je prinos koji obezbeđuje i–ta tržišna

promenljiva, u trenutku , . Vrednost i-te

tržišne promenljive sutra po –tom scenariju se dobija tako što se današnja vrednost te promenljive uveća za promenu vrednosti po –tom scenariju iz istorijskih podataka

odnosno

Ako je prinos i–te tržišne promenljive u trenutku

onda se vrednost sutra po scenariju može izračunati kao

Nova vrednost portfolija po scenariju –k je funkcija novih vrednosti

tržišnih promenljivih po scenariju –k, odnosno

. Za svaki

scenario se određuje promena vrednosti portfolija kao razlika , gde

je vrednost portfolija u sadašnjem trenutku. Dobijeni niz promena vrednosti portfolija se sortira od najmanje do najveće vrednosti, tako da se

VaR može odrediti na osnovu zadatog nivoa poverenja i Definicije 2.2 (preko

dobitka portfolija). Ako se VaR određuje preko gubitka portfolija, potrebno je

41

promenama vrednosti portfolija promeniti znake, a zatim ih sortirati u

rastući niz. Ako je nivo poverenja 99%, a VaR se određuje na osnovu 100

trgovačkih dana, onda je tražena vrednost 99. iznos u nizu.

Primer 3.3. Neka se portfolio sastoji od po 1000 akcija kompanija Yahoo,

Google i Microsoft. Potrebno je na osnovu istorijskih podataka izračunati

jednodnevni 99% VaR razmatranog portfolija.

U Tabeli 3.2 su date cene akcije u periodu od 10.11.2014. godine do

6.11.2015. godine. Dan 10.11.2014. je prvi dan kada su beleženi podaci i

označen je kao Dan -250, naredni dan je Dan -249, a današnji dan

(6.11.2015.) označen je kao Dan 0. Vrednosti akcija su beležene u isto vreme

svakog dana. Vrednost portfolija danas je

Datum Dan YHOO($) GOOG($) MSFT($) 10.11.2014. -250 49.41 547.49 48.89 11.11.2014. -249 49.05 550.29 48.87 12.11.2014. -248 50.6 547.31 48.78 13.11.2014. -247 50.5 545-38 49.61

27.1.2015. -199 47.99 518.63 42.66

2.11.2015. -4 35.27 721.11 53.24 3.11.2015. -3 34.72 722.16 54.15 4.11.2015. -2 35.07 728.11 54.4 5.11.2015. -1 35.12 731.25 54.38 6.11.2015. 0 34.2 733.76 54.92

Tabela 3.2 Cene akcija kompanija Yahoo, Google i Microsoft u prethodnih

godinu dana. Izvor [14],[15],[16].

Potrebno je simulirati nove cene akcija razmatranih kompanija sutra, na

osnovu prinosa izračunatih iz istorijskih podataka. Primenom (3.8) može se

dobiti tabela sa 250 novih cena akcija, kao i novih vrednosti portfolija

(Tabela 3.3). Na primer, vrednost akcije kompanije Yahoo sutra, po

scenariju 249 je

i slično, cene akcija kompanija Google i Microsoft su i

. U poslednjoj koloni u Tabeli 3.3 se nalaze promene

42

vrednosti portfolija, odnosno razlike Vrednost portfolija sutra po

scenariju 249 je

a promena vrednosti portfolija

Scenario YHOO ($)

GOOG ($)

MSFT ($)

Vrednost portfolija ($)

Promena vrednosti ($)

250 49.41 547.49 48.89 826 361 3481 249 33.951 737.513 54.898 819 886 -2994 248 35.281 729.786 54.819 821 159 -1721 247 34.132 731.173 55.854 822 375 -505

199 33.197 711.029 49.838 794 064 -28 816

4 33.667 734.828 55.859 824 354 1474 3 34.545 739.806 55.174 829 524 6644 2 34.249 736.924 54.900 826 073 3193 1 33.304 736.279 55.465 825 048 2168

Tabela 3.3 Simulirane cene akcija i promene vrednosti portfolija

Promenama vrednosti portfolija iz poslednje tabele treba promeniti

znake i sortirati ih u rastući niz. Jednodnevni 99% VaR razmatranog

portfolija je 248. po redu vrednost u nizu, odnosno $28 816. Dakle,

maksimalni gubitak portfolija sa nivoom poverenja 99% iznosi $28 816.

Slika 3.5 Histogram raspodele gubitaka portfolija

3 0 0

3 4 6

16 20

47

62

36

27

14

5 3 3 0 0

0

10

20

30

40

50

60

70

Gubici portfolija ($)

43

Jednodnevni 95% VaR istog portfolija iznosi $16 735, a 90% VaR je

$12 620. Desetodnevni VaR se može izračunati množenjem jednodnevnog

VaR–a sa , jer najčešće nema dovoljno podataka za simulaciju cena za duži vremenski period. □

3.2.1 Prednosti i slabosti metoda istorijske simulacije

Metod istorijske simulacije se veoma jednostavno sprovodi ukoliko

ima istorijskih podataka. Podaci koji su jednom prikupljeni se čuvaju i mogu

se iskoristiti pri ponovnom izračunavanju VaR–a. Izračunavanje nije

složeno i kada se radi sa portfolijima koji se sastoje od velikog broja aktiva

jer nema potrebe za određivanjem kovarijansne matrice. Ovaj metod

zahteva samo niz procenjenih prinosa portfolija.

Metod se oslanja na stvarne vrednosti tržišnih promenljivih iz

istorijskih podataka i zbog toga se može primeniti i u slučajevima kada

prinosi finansijskih instrumenata nemaju linearan uticaj na promenu

vrednosti portfolija. Takođe, metod je pogodan i u slučajevima kada prinosi

finansijskih instrumenata nemaju normalnu raspodelu. Ovaj metod je

snažan i intuitivan i kao takav ima veliku primenu.

Međutim, nisu zanemarljive ni mane istorijskog metoda.

Najznačajnija slabost je pretpostavka da postoji dovoljan broj istorijskih

podataka o vrednostima tržišnih promenljivih. Za simulaciju 1000 dnevnih

promena vrednosti potrebno je prikupljati podatke četiri godine. Često se

dešava da finansijski instrumenti ne traju dovoljno dugo ili da nema

zabeleženih podataka o njima za duži vremenski period.

Slabost metoda predstavlja i pretpostavka o tome da prošlost verno

predstavlja blisku budućnost. Ako prikupljeni podaci preskaču neke važne

događaje, repovi raspodele neće biti dobro predstavljeni. I obrnuto, uzorak

može obuhvatati događaje koji se neće skoro ponoviti u budućnosti. Slabost

metoda je i to što je VaR, kao statistička ocena, podložan velikim greškama

ako je veličina uzorka mala.

3.3 Monte Karlo simulacija

Metod Monte Karlo daje aproksimaciju ponašanja cena aktiva

pomoću kompjuterskih simulacija za generisanje slučajnih kretanja cena.

Metod se koristi za generisanje velikog broja različitih scenarija za vrednost

portfolija na određeni datum. Onda se VaR određuje direktno iz simulirane

raspodele promena vrednosti portfolija.

Monte Karlo simulacija je zbog svoje fleksibilnosti jedan od

najmoćnijih pristupa za određivanje VaR–a. Metod prepoznaje rizike koji

dolaze iz raznih izvora i može da obezbedi simulaciju cena i za duži

vremenski period. Koristi za procenu tržišnog, kreditnog i operativnog

rizika.

44

Ukratko, metod se sprovodi u dva koraka. Prvi korak je određivanje

stohastičkog procesa koji opisuje kretanje cene razmatrane aktive, kao i

parametara tog procesa. Drugi korak je simulacija trajektorija cena aktiva,

kao i evaluacija vrednosti portfolija na određeni datum. Metod je donekle

sličan metodu istorijske simulacije, osim u tome što je promena cene jedne

aktive određena slučajnim kretanjem na osnovu stohastičkog procesa

umesto istorijskim podacima.

3.3.1 Simulacija sa jednom slučajnom promenljivom

Izračunavanje VaR–a metodom Monte Karlo simulacije se može

izvršiti primenom sledećih koraka:

1. Izbor stohastičkog procesa i njegovih parametara;

2. Generisanje niza slučajnih promenljivih na osnovu kojih se

određuju cene ;

3. Izračunavanje vrednosti portfolija na kraju vremenskog perioda

, na osnovu simuliranog kretanja cena;

4. Ponavljanje koraka 2 i 3 onoliko puta koliko je potrebno, na primer

puta.

Ovim postupkom se dobija K simuliranih vrednosti portfolija

, na osnovu kojih se mogu odrediti promene vrednosti portfolija

u odnosu na sadašnju vrednost , . Zatim se VaR

određuje iz sortiranog niza promena vrednosti portfolija ili gubitaka na

osnovu zadatog nivoa poverenja.

Prvi korak Monte Karlo simulacije se sastoji od odabira stohastičkog

procesa za opisivanje kretanja cena razmatrane aktive. Model koji se

najčešće koristi je geometrijsko Braunovo kretanje. Model pretpostavlja da

se promena cene aktive u kratkom vremenskom periodu može predstaviti na

sledeći način

Parametar je mera srednjeg rasta zarade investitora za mali vremenski

period, parameter je volatilnost cene aktive i pretpostavlja se da su oba

parametra konstantna u toku vremena. U članu je sadržana sva

slučajnost, tj. nepredvidivost kretanja cene aktive. Stohastički proces predstavlja jednodimenzionalno standardno Braunovo kretanje

definisano na prostoru verovatnoća ( . Dakle, za fiksirano

slučajna promenljiva ima raspodelu.

U praksi se proces sa beskonačmo malim intervalom može aproksimirati diskretnim koracima veličine . Neka je t sadašnji trenutak, a T željeni datum u budućnosti. Tada je vremenski period za koji se

određuje VaR . Da bi bio generisan niz slučajnih promenljivih duž vremenskog perioda dužine , potrebno je podeliti na n jednakih

45

podintervala dužine . Broj koraka n zavisi od vremenskog horizonta

za VaR, kao i od zahtevane preciznosti za model. Diskretizacijom jednačine

(3.9) na konačnom intervalu dobija se aproksimacija

je

Simulacija kretanja cene S počinje od vrednosti , a zatim se generiše niz od n određuje kao

, vrednost kao , itd.

Svaka naredna vrednost se izračunava na sličan način dok se ne dostigne

trenutak T, u kome je cena .

Za generisanje niza se koristi neki generator slučajnih

brojeva. Generator daje slučajne brojeve koji su uniformno raspodeljeni na

intervalu . Posredstvom slučajne promenljive koja ima se mogu

modelirati vrednosti svake druge slučajne promenljive apsolutno

neprekidnog tipa.

Teorema 3.1. Neka je slučajna promenljiva X apsolutno neprekidnog tipa sa funkcijom raspodele F. Rešenje slučajne jednačine

po nepoznatoj X je slučajna promenljiva čija je funkcija raspodele baš F.

Dakle, slučajan broj x iz uniformne raspodele se može lako prevesti u

bilo koju željenu raspodelu uz pomoć inverzne funkcije raspodele. Tako je za

generisanje slučajne promenljive sa normalnom normiranom raspodelom

potrebno odrediti y takvo da je , odnosno . U praksi generisanje slučajnih brojeva nije tako jednostavno, jer

većina algoritama posle određenog broja izvlačenja ponavlja neki niz

slučajnih brojeva, što može uticati na netačnu procenu VaR–a. Zato je važno

proveriti korektnost algortama za generisanje slučajnih brojeva.

Primer 3.4. Neka se razmatra portfolio koji se sastoji od pozicije u akciji čija

je trenutna cena $100, sa merom srednjeg rasta 10% i volatilnošću 40%.

Odrediti desetodnevni 99% VaR portfolija koji se sastoji od date akcije

metodom Monte Karlo simulacije.

Najpre treba simulirati kretanje cene akcije na opisan način. Traženi

vremenski interval je 10 dana i biće podeljen na deset delova. Dakle iznosi jedan dan, odnosno godine. U programu Microsoft Excel se

46

mogu generisati slučajni brojevi iz intervala uz pomoć funkcije RAND, a zatim se transformisati u promenljive sa normalnom normiranom

raspodelom uz pomoć funkcije NORMSINV. U Tabeli 3.4 su date simulirane

vrednosti kao i vrednosti . Vrednosti koje se nalaze u drugoj

koloni dobijene su korišćenjem formule (3.10), a vrednosti iz treće kolone na

osnovu

vrednosti

0.25703 0.651623 100.6516 0.763405 1.940128 102.5918 -0.9322 -2.40573 100.186

-1.09994 -2.77278 97.41324 -1.57943 -3.87297 93.54027

0.026575 0.066348 93.60662 -0.41813 -0.9825 92.62412 -1.34768 -3.14168 89.48244

-1.01661 -2.28865 87.19379 0.715949 1.576455 88.77024

Tabela 3.4 Simulacija kretanja cene akcije

Cena akcije na kraju zadatog vremenskog intervala dobijena prvom

simulacijom iznosi $88.77024. Na Slici 3.6 je prikazano kretanje cene akcije

na osnovu simuliranih vrednosti.

Slika 3.6 Kretanje cene akcije na osnovu simuliranih vrednosti

Ponavljanjem opisanog postupka se može dobiti veliki broj različitih

scenarija za kretanje cene akcije u narednih deset dana. U ovom primeru

postupak je ponovljen 10 000 puta. Zatim su izračunate promene vrednosti i

gubici portfolija koji se sastoji od pozicije u razmatranoj akciji za svih 10 000

scenarija. Na Slici 3.7 je prikazan histogram dobijene raspodele gubitaka

portfolija.

75

80

85

90

95

100

105

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

St

47

Slika 3.7 Raspodela gubitaka portfolija

Desetodnevni 99% VaR se može odrediti kao 9900. vrednost sortiranog niza

gubitaka portfolija, i on iznosi 20.3661. □

3.3.2 Simulacija sa više slučajnih promenljivih

Portfolio koji se sastoji od većeg broja aktiva je izložen riziku iz više

različitih izvora. Prethodno opisanu simulaciju je lako prilagoditi opštijem

slučaju, sa ukupno N promenljivih (izvora rizika). Simulacija se, u tom

slučaju, ne komplikuje previše jer se vreme izračunavanja povećava linearno

sa brojem promenljivih.

Ukoliko bi slučajne promenljive bile nekorelisane, slučajno kretanje

cena bi se moglo odrediti posebno za svaku promenljivu

gde su vrednosti nezavisne, za i svaki vremenski trenutak t.

Međutim, u opštem slučaju su promenljive međusobno korelisane. Da

bi korelacija između promenljivih bila obuhvaćena, simulacija se započinje

generisanjem niza nezavisnih promenljivih η sa normalnom normiranom

raspodelom, koje

slučaju sa dve promenljive transformacija se vrši na sledeći način:

gde je ρ koeficijent korelacije između promenljivih i . Tada je disperzija

promenljive jednaka jedinici, odnosno

0 1 24 208

761

1687

2488

2166

1557

709

286 82 24 5 2 0

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40

Raspodela gubitaka portfolija

48

Tada je, kao što je zahtevano, kovarijansa između promenljivih i jednaka . Zaista,

3.3.3 Prednosti i slabosti Monte Karlo simulacije

Monte Karlo analiza je jedan od najmoćnijih metoda za izračunavanje

VaR–a. Obuhvata razne izvore rizika uključujući rizik nelinearnih

instrumenata i rizik volatilnosti. Metod se može primeniti i na određivanje

VaR–a za duži vremenski period, na osnovu čega se može dobiti analiza

promene vrednosti portfolija kroz vreme.

Najveća mana Monte Karlo simulacije je vreme izračunavanja.

Potrebno je izvršiti veliki broj simulacija za svaki od finansijskih

instumenata u portfoliju, a ponekad se i svaka simulacija sastoji od nekoliko

dodatnih, u zavisnosti od vremenskog horizonta. Zbog toga metod nije

pogodan za čestu primenu, a može da predstavlja i veliki trošak. Slabost

modela je i to što se oslanja na stohastički proces koji opisuje kretanje cene,

tako da je izložen riziku da je izabrani proces pogrešan.

Glavna slabost metoda, vreme potrebno za izračunavanje, se može

otkloniti smanjenjem broja ponavljanja simulacije. Međutim, u tom slučaju

se umanjuje preciznost modela. Empirijska raspodela promene vrednosti

portfolija sa povećanjem K konverira ka stvarnoj raspodeli. Ako osnovni

proces ima normalnu raspodelu onda empirijska raspodela mora

konvergirati ka njoj. U toj situaciji vrednost VaR–a koja se dobija Monte

Karlo simulacijom treba da bude ista kao vrednost dobijena parametarskom

metodom, odnosno VaR procenjen na osnovu uzoračkog kvantila mora

konvergirati ka vrednosti .

3.4 Poređenje VaR metoda

Izbor metoda za izračunavanje VaR–a najviše zavisi od sastava

portfolija. Za portfolije koji ne sadže opcije i čije su raspodele prinosa bliske

normalnoj raspodeli najbolji izbor je parametarski metod. VaR se relativno

brzo i lako izračunava i daje preciznu ocenu. Metod je analitički, tako da

dozvoljava jednostavnu analizu VaR rezultata uz pomoć marginalnog,

inkrementalnog i komponentnog VaR–a. Međutim, ako portfolio sadrži i

opcije, parametarski metod ne daje dobre rezultate.

49

Metod istorijske simulacije se jednostavno sprovodi i oslanja se na

stvarne, istorijske podatke. Nije pogodan za primenu u slučajevima kada

nema dovoljno podataka za simulaciju. Ne uzima u obzir ni promenljivost

rizika u vremenu, što za posledicu može da ima netačnu ocenu rizika.

U teoriji, Monte Karlo simulacija prevazilazi sve navedene slabosti

ostalih metoda. Obuhvata nelinearne modele, raspodele različite od

normalne kao i promenljivost rizika. Međutim, zbog takve fleksibilnosti

njegova primena je duga i skupa.

Svi navedeni metodi se koriste u praksi. Rezultati jedne ankete

pokazuju da u Velikoj Britaniji 42% banaka koristi parametarski metod,

31% koristi metod istorijske simulacije, a 23% Monte Karlo simulaciju.

Dakle, parametarski metod je najrasprostranjeniji, najviše zbog svoje

jednostavnosti.

50

Glava 4

Metode za evaluaciju VaR–a

VaR modeli su korisni ako predviđaju rizik sa dovoljnom tačnošću.

Zbog toga je potrebno da upotreba ovih modela bude praćena evaluacijom –

proverom adekvatnosti modela. Ova provera se najčešće vrši pomoću

backtesting modela, testiranjem stresnih situacija i nezavisnim revizijama.

Sve navedene metode zahteva i Bazelski komitet za superviziju banaka.

VaR mera koja se dobija na osnovu skorašnjih istorijskih podataka ne

može uvek da obuhvati ekstremno retke situacije koje mogu da prouzrokuju

ogromne gubitke. Testiranje stresnih situacija (stress testing) podrazumeva

upravo identifikaciju i upravljanje takvim situacijama.

Backtesting modeli služe za proveru adekvatnosti VaR modela.

Zasnivaju se na upređivanju promena vrednosti portfolija dobijenih na

osnovu VaR prognoze i ostvarenih gubitaka i dobitaka portfolija, kao i

registrovanju broja situacija u kojima je VaR premašen. Da bi VaR model

bio korektan potrebno je da frekvencija tog odstupanja konvergira ka ,

gde je α nivo poverenja, i da se odstupanja pojavljuju nezavisno jedna od

drugih. Za proveru adekvatnosti VaR modela potrebno je ispitati da li su oba

navedena uslova ispunjena.

4.1 Testiranje stresnih situacija

Testiranje stresnih situacija je proces identifikacije i upravljanja

situacijama koje mogu da prouzrokuju ogromne gubitke. Na primer, jedna

primena stres-testa je scenario analiza koja zahteva da se vrednost neke

tržišne promenljive, koja utiče na vrednost portfolija, uveća ili umanji za

veliki iznos. Međutim, ovakva primena ignoriše korelacije između aktiva

koje čine razmatrani portfolio, tako da je potrebno kreirati i scenario sa

promenama u korelaciji između aktiva.

Kada testiranje stresnih situacija otkrije slabost menadžment mora

da preduzme određene korake i da upravlja otkrivenim rizikom. Moguće

rešenje u tom slučaju može da bude odvajanje dodatne količine kapitala koji

bi mogao da apsorbuje velike gubitke. Alternativa može da bude i promena

pozicija u finansijskim instrumentima u cilju umanjenja izloženosti riziku.

Tada testiranje stresnih situacija može da omogući opstanak institucije.

51

Potreba za scenario analizom se može pronaći u nekim primerima iz

prošlosti. Jedan primer je krah berze koji se dogodio 19. oktobra 1987.

godine. Na Slici 4.1 je prikazan histogram raspodele prinosa S&P 500

indeksa na osnovu istorijskih podataka. U ponedeljak 19.10.1987. godine

S&P 500 indeks je izgubio 20% svoje vrednosti. Ovaj događaj je toliko daleko

u repu raspodele da se pod uslovom da prinos S&P 500 indeksa ima

normalnu raspodelu, nikada ne bi ni dogodio. Sa slike se vidi i da bi 99%

VaR potpuno promašio veličinu stvarnog gubitka. Ipak, pod pretpostavkom

da prinos ima neku drugu raspodelu, i variranjem nivoa poverenja mogao bi

levi rep raspodele biti značajnije pokriven.

Slika 4.1 Dnevni prinosi (%) S&P 500 indeksa od 1984. do 2004. godine

Cilj testiranja stresnih situacija je identifikovanje onih scenarija koje

standardni VaR modeli ne bi prepoznali. Takvi događaji se mogu

klasifikovati u dve kategorije:

1. Simulacija šokova koji se nisu dogodili ili se događaju češće nego što

na to ukazuju istorijski podaci;

2. Simulacija šokova koji reflektuju privremene ili stalne strukturalne

promene unutar statističkih obrazaca.

Na ovaj način scenario analiza omogućava menadžerima da razmotre

i one događaje koje bi inače ignorisali.

52

4.2 Backtesting modeli

Backtesting modeli predstavljaju statistički okvir za proveru da li su

stvarni gubici u skladu sa gubicima koje je predvideo VaR model. Provera se

vrši sistematskim upoređivanjem istorije VaR prognoza sa njihovim

ostvarenim vrednostima. Ova procedura je posebno važna za menadžment

rizika, i ukoliko se pokaže da je korišćeni model neadekvatan mogu se

preduzeti koraci za njegovo poboljšanje. Backtesting je odigrao veliku ulogu

i u odluci Bazelskog komiteta za superviziju banaka da dozvoli bankama da

koriste interne modele za procenu rizika. Međutim, zbog te odluke banke

imaju veoma rigorozne mehanizme za backtesting.

Kada je VaR model adekvatan broj opservacija koje će premašiti

predviđeni VaR treba da bude u skladu sa nivoom poverenja. Broj

prekoračenja se naziva broj odsupanja. Ukoliko je broj odstupanja veliki,

onda je model potcenio rizik. Tada se nedovoljno kapitala odvaja za zaštitu

finansijske institucije, a mogu uslediti i kazne od strane regulatora. Ako je

broj odstupanja mali, tada dolazi do nagomilavanja i neadekvatne raspodele

i upotrebe kapitala.

Problem koji se javlja prilikom primene backtesting modela leži u

pretpostavci da je dati portfolio “zamrznut” tokom posmatranog vremenskog

perioda. Međutim, u praksi se portfolio razvija veoma dinamično u toku

svakog dana. Tako je portfolio “kontaminiran” promenama u svom sastavu.

Stvarni prinos portfolija je onaj koji je u skladu sa ostvarenim prihodima i

gubicima u toku dana. Problem se minimizira ako je vremenski period u

kome se beleže promene relativno kratak, što objašnjava zašto se

backtesting najčešće vrši na dnevnom nivou. Menadžeri rizika bi trebalo da,

pored stvarnog prinosa portfolija , prate i hipotetički prinos koji je

najbliži VaR prognozi. Hipotetički prinos predstavlja prinos “zamrznutog”

portfolija. Kako se VaR prognoza odnosi na , backtesting bi trebalo da se

radi sa hipotetičkim prinosom. Stvarni prinos je takođe važan jer pokazuje

svarne prihode i gubitke i reflektuje volatilnost prinosa portfolija. Iako bi

bilo idealno koristiti i stvarne i hipotetičke prinose portfolija, u regulatorne

svrhe se koriste samo stvarni prinosi.

Drugi problem koji se javlja je kako odrediti kada je određeni broj

odstupanja jednostavno posledica “loše sreće”, a kada je zapravo VaR model

neadekvatan. Drugim rečima, treba doneti odluku da li prihvatiti ili odbaciti

dati model na osnovu rezultata dobijenih iz backtesting modela. Ovaj

problem se lako rešava primenom statističkih metoda.

4.2.1 Model koji se bazira na stopi neuspeha

Najjednostavniji metod za verifikaciju modela je registrovanje stope

neuspeha, koja daje odnos koliko puta je premašen VaR u datom uzorku.

Neka banka prijavljuje vrednosti VaR sa nivoom poverenja za ukupno

dana, i neka je . Neka je broj odstupanja, kada je stvarni gubitak

premašio predviđeni VaR, i stopa neuspeha. U idealnom slučaju stopa

53

neuspeha bi trebalo da bude nepristrasna ocena za , koja konvergira ka

sa povećanjem veličine uzorka. Potrebno je otkriti, uz dati nivo poverenja,

da li je previše veliko ili previše malo, pri čemu je nulta hipoteza da je

, u uzorku veličine . Kako ne postoji pretpostavka o raspodeli

profita ovaj pristup je neparametarski. Dakle, testira se nulta hipoteza

protiv alternativne

Potrebno je primeniti Bernulijev test. Broj odstupanja ima binomnu

raspodelu sa vrednostima

Očekivanje slučajne promenljive je , a disperzija .

Kada je dovoljno veliko, na osnovu centralne granične teoreme sledi da se

binomna raspodela može aproksimirati normalnom normiranom raspodelom

Binomna raspodela se može koristiti za testiranje da li je broj

odstupanja prihvatljivo mali. Na Slici 4.1 (levo) je opisana raspodela

odstupanja kada je model podešen korektno, tj. kada je Neka se, na primer, model odbacuje ako je broj odstupanja veći od 4.

Slika 4.1 Raspodela odsupanja kada je model podešen korektno (levo) i kada

je model podešen nekorektno (desno)

54

Grafik pokazuje da, ako je tačna nulta hipoteza, treba očekivati više

od 4 odstupanja u 10.8% vremena. Procenat 10.8 je verovatnoća greške prve

vrste, odnosno verovatnoća da se odbaci korektan model.

Na Slici 4.1 (desno) je prikazana raspodela odstupanja kada je model

podešen nekorektno, tj. kada je . Grafik pokazuje da se 4 ili manje

odstupanja očekuje u 12.8% vremena, tj. da se nekorektan model neće

odbaciti u više od 12.8% slučajeva. Ovaj procenat predstavlja verovatnoću

greške druge vrste, tj. verovatnoću prihvatanja nekorektnog modela. U

ovom primeru su verovatnoće grešaka prve i druge vrste prilično velike, što

znači da treba promeniti granicu kritične oblasti.

Korisnici VaR modela treba da balansiraju verovatnoće grešaka prve

i druge vrste. U idealnom slučaju treba napraviti test koji će imati malu

grešku prve vrste, a zatim test koji će imati malu grešku druge vrste. Ako su

ovi uslovi ispunjeni za test se kaže da je moćan.

Kupiec (1995) je razvio približan 95% interval poverenja za ovaj test.

Nivo poverenja 95% nije povezan sa vrednošću već se odnosi na pravilo

donošenja odluke o prihvatanju modela. Test statistika je

i asimptotski ima raspodelu sa jednim stepenom slobode, ako je nulta

hipoteza tačna. Nulta hipoteza se odbacuje ako je .

Neka je, na primer, broj opservacija (2 godine podataka). Broj

očekivanih odstupanja je

Međutim, nulta hipoteza neće biti odbačena, dokle god se nalazi unutar

intervala poverenja . Interval poverenja se smanjuje sa

povećanjem veličine uzorka, tj. broja podataka, i tada se lakše donosi odluka

o prihvatanju VaR modela. Mana ovog testa je što se za mali broj podataka

ne može lako potvrditi adekvatnost modela.

4.2.2 Pravila regulatora

Da bi banke koristile IM pristup Bazel 2 sporazuma moraju da

zadovolje različite uslove. Najpre, banke moraju da dokažu da imaju

stabilan sistem za menadžment rizika. Važno je i da se redovno vrši

testiranje stresnih situacija, kao i da postoje nezavisne jedinice za kontrolu

rizika i spoljne revizije. Ako su ovi uslovi ispunjeni, banke preduzimaju

sledeće korake:

VaR se obračunava za vremenski period od 10 poslovnih dana (ili dve

kalendarske nedelje) uz nivo poverenja od 99%. Pritom se istorijski

podaci za jednu godinu ažuriraju najmanje jednom u kvartalu.

Prepoznaju se korelacije između tržišnih promenljivih.

55

Kapitalni troškovi tržišnog rizika se određuju na osnovu VaR–a za

prethodni dan ili na osnovu prosečnog VaR–a za prethodnih 60

poslovnih dana pomnoženog multiplikativnim faktorom k –

koeficijntom dodatne zaštite. Dakle, kapitalni troškovi tržišnog rizika

(MRC) IM pristupa, za proizvoljan dan se određuju na sledeći način

gde su troškovi specifičnog rizika, a k koeficijent dodatne zaštite. Kaznena komponenta ili plus faktor se dodaje koeficijentu dodatne

zaštite ako backtesting pokaže da interni model banke ne obezbeđuje

adekvatnu prognozu rizika.

Bazelskim standardom Bazel 2 su određena pravila za backtesting

internih modela banaka i bazirana su na stopi neuspeha. Trenutna

procedura se sastoji u tome da se beleži broj odstupanja za 99% VaR svakog

dana u toku prethodne godine. Očekuje se 1% odstupanja od oko 250 dana,

odnosno 2.5 slučaja godišnje. Bazelski komitet, prema broju odstupanja koji

se pojavljuje, određuje kategorije kojima pripada banka: zelena zona ( ),

žuta zona ( ) i crvena kaznena zona ( ).

Na osnovu broja odstupanja se koeficijentu dodatne zaštite dodaje

kaznena komponenta ili plus faktor na način koji je opisan u sledećoj tabeli:

Zona Broj izuzetaka N Plus faktor

Zelena 0-4 0.00 Žuta 5 0.40 6 0.50 7 0.65 8 0.75 9 0.85 Crvena 10+ 1.00

Tabela 4.1 Kriterijumi za određivanje kategorije banaka

Bazelski komitet svrstava u kategorije i razloge zbog kojih se javljaju

izuzeci. Kategorije su sledeće:

Opšti integritet modela (postoji greška u kodu programa ili su pozicije

pogrešno prijavljene).

Preciznost modela može biti poboljšana (model ne meri rizik sa

dovoljnom preciznošću).

Trgovanje u toku dana (dolazi do promena pozicija u toku dana).

“Loša sreća” (volatilnost je znatno povećana i korelacije između

tržišnih promenljivih na tržištu se menjaju).

56

Srž problema sa backtesting modelom koji se bazira na stopi neuspeha je

upravo određivanje kada je VaR model pogrešan, a kada je samo u pitanju

“loša sreća”. Zbog toga je potrebno koristiti i neke druge, naprednije testove

za proveru VaR modela.

4.2.3 Modeli uslovljene pokrivenosti

Modeli koji su do sada obrađeni su predstavljali modele bezuslovne

pokrivenosti jer ne uzimaju u obzir zavisnost pojavljivanja odstupanja od

uslova na tržištu. Odstupanja od VaR prognoze mogu da se pojave u malom

vremenskom razmaku, što može da poništi VaR model.

Neka je određen 95% VaR. Svake godine se očekuje oko 13

odstupanja. U teoriji, odstupanja bi trebalo da budu podjednako

raspoređena u toku cele godine. Međutim, ako se 10 odstupanja desi u toku

2 nedelje onda postoji razlog za zabrinutost. Postoji mogućnost da je

volatilnost cena aktiva na tržištu povećana, ili da su trgovci promenili svoje

pozicije. Sistem za proveru bi tada trebalo da bude napravljen da meri

pogodnu uslovljenu pokrivenost koja zavisi od trenutnog stanja na tržištu.

Cristofferson (1998) je napravio test koji proširuje statistiku tako da odstupanja moraju da budu serijski nezavisna. Koraci prilikom

testiranja su sledeći:

Svakog dana se definiše indikator odstupanja koji uzima vrednost 0

ako VaR nije premašen i vrednost 1 ako jeste, tj.

Definiše se slučajna promenljiva kao broj dana u kome je stanje

zabeleženo tog dana, a stanje prethodnog dana. Mogući ishodi su dati tabelom:

Definiše se verovatnoća pojave odstupanja u zavisnosti od stanja prethodnog dana.

Ako je model tačan, pojava odstupanja danas ne bi trebalo da zavisi od toga

da li se odstupanje desilo prethodnog dana, odnosno verovatnoće , bi

trebalo da budu jednake ako je tačna nulta hipoteza. Test statistika za

nezavisnost odstupanja je

57

Kombinovanjem statistike za nezavisnost sa Kupiecovim testom

dobija se zajednički test za ispitivanje dva svojstva dobrog VaR modela:

korektnost stope neuspeha i nezavisnost odstupanja, odnosno uslovljenu

pokrivenost. Tada je

pri čemu ima raspodelu sa 2 stepena slobode, jer postoje dve LR

statistike u testu. Ako je vrednost statistike niža od vrednosti za

raspodelu, VaR model prolazi test. Ako je nivo poverenja 95% model se

odbacuje kada je .

Postoji mogućnost da model prođe zajednički test, a da stopa

neuspeha nije korektna ili da postoji zavisnost među odstupanjima. Zato se

preporučuje da se oba spomenuta testa sprovedu posebno, čak i kada

zajednički test pokaže dobre rezultate.

4.3 Procena preciznosti VaR–a

Za izračunavanje VaR–a se koriste parametri raspodele tržišnih

promenljivih kao što su očekivanje, standardna devijacija i kvantili

raspodele datih podataka. Ovi parametri se ocenjuju uz pomoć nekih

statističkih metoda i zbog toga su njihove ocene podložne grešci, koja se

prirodno javlja zbog ograničene veličine uzorka kojim se raspolaže.

Neka se VaR određuje na osnovu podataka dobijenih istorijskom

simulacijom na osnovu vremenskog perioda od T dana. Problem je što je

dobijeni VaR samo ocena prave vrednosti jer na njega utiče promenljivost

uzoraka. Drugim rečima, različiti izbori vremenskog perioda T će dati

različite vrednosti za VaR.

Ocene stvarnih (nepoznatih) vrednosti parametara i raspodele

tržišnih promenljivih koje su dobijene na osnovu uzorka su . Ukoliko

broj opservacija teži beskonačnosti, tj. , ocene konvergiraju ka

stvarnim vrednostima parametara. Međutim, broj opservacija je najčešće

ograničen tako da greška može da postoji.

Kada je raspodela tržišnih promenljivih normalna, raspodela

uzoračke sredine i disperzije je poznata. Ocena je normalno raspodeljena

oko stvarne vrednosti sredine

gde je T broj nezavisnih opservacija. Standardna greška ove ocene ,

konvergira ka nuli kada se broj opservacija T povećava.

Ocena disperzije ima raspodelu sa stepeni slobode

58

Ako je broj opservacija T veći od 20, raspodela konvergira ka normalnoj

raspodeli, koja je jednostavnija za rad, odnosno

Ako je uzorak dovoljno veliki, standardna greška uzoračke standardne

devijacije je .

Standardna greška ocenjenih parametara ukazuje na nivo sigurnosti

u ocenjene vrednosti. U praksi se pokazalo da je ocena očekivanja mnogo

manje precizna od ocene standardne devijacije (volatilnosti).

Za proizvoljnu raspodelu -kvantil Q se može odrediti empirijski iz

raspodele verovatnoća kao . Sa ovom statistikom je povezana određena

greška. Kendall (1994) je pokazao da uzorački kvantil ima raspodelu

Asimptotska standardna greška za je

, gde je T veličina uzorka,

a ocenjena gustina raspodele verovatnoća za kvantil Q. Za normalnu

raspodelu se može koristiti za ocenu proizvoljnog kvantila, koristeći , na

sledeći način

Metod za procenu preciznosti VaR–a koji se bazira na standardnoj devijaciji

pruža njegovu bolju ocenu od uzoračkih kvantila. Uzorački kvantili imaju

veliku standardnu grešku, posebno za veće nivoe poverenja (levi rep

raspodele) koji su povezani sa izuzetno retkim događajima. Parametarski

modeli obezbeđuju veću preciznost jer standardna devijacija sadrži više

informacija od uzoračkih kvantila.

59

Zaključak

U ovom radu su date osnove teorije na kojoj je razvijena VaR

metodologija. Događaji iz prošlosti su ukazali na potrebu za moćnim alatom

za procenu i upravljanje rizikom. Razvoj VaR metodologije je označio

revoluciju u tom pogledu. Pokazano je da je VaR univerzalni alat koji ima

široku primenu u industriji i dati su načini njegove primene u različitim

finansijskim institucijama. VaR sumira izloženost finansijske institucije

tržišnom riziku, a dalje istraživanje može biti usmereno na njegovu primenu

u upravljanju kreditnim, operativnim i rizikom likvidnosti.

Opisane su različite metode za izračunavanje VaR–a kao i njihove

prednosti i mane. Svaka od metoda je obrađena sa teorijske strane i

pokazana je njihova primena u praksi. Iako je teorijska osnova stroga,

interpretacija rezultata dobijenih primenom VaR metoda i alata je podložna

subjektivnoj proceni menadžera. Najveća mana VaR metodologije je to što

ne daje meru mogućeg gubitka portfolija izvan datog nivoa poverenja. Čak i

uz nivo poverenja 99% postoji mogućnost pojave neobičnih događaja koji

mogu izazvati veliku štetu. Zbog toga se VaR dobijen ma kojom metodom

mora podvrgnuti testiranju stresnih situacija i backtestingu.

Veliku važnost ima i činjenica da vrednost VaR dobijena statističkim

metodama predstavlja samo procenu mogućeg rizika. Korisnici VaR–a bi

trebalo da prihvate njegova ograničenja i da ih prevaziđu svojim iskustvom i

znanjem. Pravilna upotreba VaR–a može doneti finansijskoj instituciji

brojne koristi i odgovarajuću zaštitu.

60

Biografija

Milena Stošić je rođena u Nišu 5.8.1990. godine. Osnovnu školu “Car

Konstantin” i gimanziju “Bora Stanković”, prirodno-matematički smer, je

završila kao nosilac Vukovih diploma. Prirodno-matematički fakultet u Nišu

je upisala školske 2009/10. godine na Departmanu za matematiku. Osnovne

studije je završila 2013. godine sa prosečnom ocenom 8.64. Iste godine

upisuje master akademske studije na smeru Primenjena matematika,

modul Matematika u finansijama. Prosečna ocena na master akademskim

studijama je 9.67 (bez ocene master rada).

61

Literatura

[1] P. Jorion (2001), Value at Risk: The New Benchmark for Managing

Financial Risk, McGrow-Hill

[2] J.C. Hull (2006), Options, Futures and Other Derivatives, Prentice

Hall

[3] An introduction to Value-at-Risk (2003), YieldCurve.com

[4] O. Nieppola (2009), Backtesting Value-at-Risk Models, Master’s Thesis

in Economics, Helsinki School of Economics

[5] M. Jovanović, Finansijsko modeliranje 2, autorizovana predavanja,

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet, Niš

[6] B. Popović (2009), Matematička statistika, Univerzitet u Nišu,

Prirodno-matematički fakultet, Niš

[7] M. Cvetinović (2008), Upravljanje rizicima u finansijskom poslovanju,

Univerzitet Singidunum, Beograd

[8] S. Đukanović (2009), Upravljanje finansijskim rizicima-praktikum,

Visoka poslovna škola strukovnih studija, Novi Sad

[9] L. Esch, R. Kieffer, T. Lopez (2005), Asset and Risk Management, Risk

Oriented Finance, John Wiley & Sons, Ltd

[10] Sv. Janković, Teorija verovatnoća i stohastički procesi, autorizovana

predavanja, Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet, Niš

[11] A. Rožnjik (2008), VaR kao mera rizika u optimizaciji portfolija,

magistarska teza, Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno-matematički

fakultet, Novi Sad

[12] E.A. Marina (2014), Evaluacija VaR mere rizika, master rad,

Univerzitet u Novom Sadu, Prirodno-matematički fakultet, Novi Sad

[13] http://www.federalreserve.gov/releases/h15/data.htm

[14] http://www.nasdaq.com/symbol/msft/historical

[15] http://www.nasdaq.com/symbol/goog/historical

[16] http://www.nasdaq.com/symbol/yhoo/historical

Прилог 5/1

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска

Тип записа, ТЗ: текстуални / графички

Врста рада, ВР: мастер рад

Аутор, АУ: Милена Стошић

Ментор, МН: Миљана Јовановић

Наслов рада, НР: VaR

Језик публикације, ЈП: српски

Језик извода, ЈИ: енглески

Земља публиковања, ЗП: Р. Србија

Уже географско подручје, УГП: Р. Србија

Година, ГО: 2015.

Издавач, ИЗ: ауторски репринт

Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33.

Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога)

61 стр.

Научна област, НО: математика

Научна дисциплина, НД: примењена математика

Предметна одредница/Кључне речи, ПО: вредност под ризиком,управљање ризиком, портфолио, диверсификација

УДК 519.2:65.012.32:368.021.62

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН:

Извод, ИЗ: У овом раду су дате основе теорије на којој је развијена VaR методологија. VaR сумира изложеност финансијске институције тржишном ризику и описује квантил расподеле губитака портфолија у датом временском периоду. VaR је најпознатији и најраспрострањенији алат за управљање ризиком. Представљене су различите методе за израчунавање VaR-а и њихове предности и мане, као и методе за процену адекватности и прецизности VaR модела.

Датум прихватања теме, ДП:

Q4.16.01 - Izdawe 1

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник:

Члан:

Члан, ментор:

Образац Q4.09.13 - Издање 1

Прилог 5/2

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO:

Identification number, INO:

Document type, DT: monograph

Type of record, TR: textual / graphic

Contents code, CC: Master’s thesis

Author, AU: Milena Stišić

Mentor, MN: Miljana Jovanović

Title, TI:

VaR

Language of text, LT: Serbian

Language of abstract, LA: English

Country of publication, CP: Republic of Serbia

Locality of publication, LP: Serbia

Publication year, PY: 2015

Publisher, PB: author’s reprint

Publication place, PP: Niš, Višegradska 33.

Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes)

61 p.

Scientific field, SF: mathematics

Scientific discipline, SD: applied mathematics

Subject/Key words, S/KW: Value at Risk, risk management, portfolio, diversification

UC 519.2:65.012.32:368.021.62

Holding data, HD: library

Note, N:

Abstract, AB: This paper presents the basic theory upon which VaR methodology has been developed. VaR summarizes the exposure of financial institutions to market risk and describes the quantile of the distribution of portfolio losses over the target horizon. VaR is the best known and most widely used tool for risk management. A variety of methods were introduced for calculating VaR along with their advantages and disadvantages, as well as methods for assessing the adequacy and accuracy of the VaR model.

Accepted by the Scientific Board on, ASB:

Defended on, DE:

Defended Board, DB: President:

Member:

Member, Mentor:

Образац Q4.09.13 - Издање 1