matemaatiline analüüs i loengu konspekt

Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a

1

I FUNKTSIOONID Tõkestatud hulgad

Ülalt ja alt tõkestatud hulgad Olgu X mingi reaalarvude hulk. Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv M , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus

Mx ≤ , siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Ülalt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poollõigus ( ]M,∞− .

Definitsioon: Kui leidub niisugune reaalarv m , et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus mx ≥ , siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X

alumiseks tõkkeks. Alt tõkestatud hulga X elemendid paiknevad seega lõpmatus poolllõigus [ )∞,m .

Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Tõkestatud hulga X elemendid paiknevad lõigus [ ]Mm, , kus M on hulga X mingi ülemine ja m mingi alumine tõke. Kui M on hulga X ülemine tõke, siis on selle hulga ülemiseks tõkkeks ammugi iga arv MM >′ , ja kui m on hulga X alumine tõke, siis on selle hulga alumiseks tõkkeks ka iga arv mm <′ .

Ülemine ja alumine raja Definitsioon: Reaalarvude hulga X väikseimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks. Definitsioon: Reaalarvude hulga X suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks. Kui hulk X on ülalt tõkestamata, siis ütleme, et hulga X ülemine raja on ∞ , ja kui hulk X on alt tõkestamata, siis ütleme, et hulga X alumine raja on ∞− . Hulga X ülemist raja märgitakse sümboliga Xsup ja alumist raja sümboliga Xinf . Juhul { }xX = kasutatakse ka lihtsustatud sümboleid xsup ja xinf .

Pidevuse aksioom Teoreem: Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja. (fakt) Järeldus: Igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.

Kuhjumispunktid, rajapunktid ja sisepunktid Definitsioon: Punkti (koha, arvu) a ümbruseks ehk ε -ümbruseks nimetatakse iga vahemikku ( )εε +− aa , , kus 0>ε on mingi arv.

Mida väiksem on ε , seda lühem on vahemik ( )εε +− aa , , s.t. seda väiksem on punkti a ümbrus.

Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X kuhjumispunkt kui igas tema ümbruses leidub vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt.


2

Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui x tähendab mis tahes arvu hulgast X , siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja hulgas X . Iga arvu Xx∈ nimetatakse muutuja x väärtuseks. Definitsioon: Kui igale arvule Xx∈ on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon ( )xfy = ja kirjutatakse: ( )xfy = , Xx∈ .

Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja muutujat y tema sõltuvaks muutujaks. Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka

( ){ }XxxfyyY ∈== ,| tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks. Arvu Yy∈ , mille määrab võrdus ( )xfy = , Xx∈ , nimetatakse funktsiooni väärtuseks punktis (kohal) x .

Kui muutujate x ja y märkimine ei ole oluline, siis ( )xfy = , Xx∈ asemel kõneldakse lihtsalt funktsioonist f määramispiirkonnaga X . Funktsiooni märkimiseks kasutatakse ka tähistust ( )xyy = ,

Xx∈ . Millal x , y ja ( )xf tähendavad muutujaid ja millal nende väärtusi, selgub alati tekstist. Funktsioon on antud, kui on teada tema määramispiirkond X ja vastavust määrav eeskiri f . Mõnikord kui määramispiirkonda X ei anta, mõeldakse selle all argumendi x väärtuste hulka, kus eeskiri f kehtib.

Definitsioon: Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktide ( )yx, hulka ( ) ( ){ }Xxxfyyx ∈= ,|, xy-tasandil. Võrdus ( )xfy = , Xx∈ on funktsiooni f graafiku võrrand.

Funktsioonide esitusviisid 1. Esitus ilmutatud kujul. Esitatakse valemiga ( )xfy = , mis näitab, millised tehted tuleb teostada argumendiga, et saada funktsiooni väärtus. Sisuliselt kujutab valem funktsiooni graafiku võrrandit.

2. Esitus tabeli abil. Esitatakse tabel, kus on näidatud arguendi väärtused x1, x2, ..., xn ja neile vastavad funktsiooni väärtused y1, y2, ..., yn. Sellist esitusviisi kasutatakse sageli eksperimentaalsete tulemuste märkimiseks. 3. Geomeetriline esitus graafiku abil. Esitatakse funktsiooni graafik, kust saab määrata argumendi väärtustele vastavad funktsiooni väärtused. Esitusviis on tüüpiline isekirjutavate mõõteseadmete korral. 4. Parameetriline esitus. Muutujate x ja y väärtused määratakse teatavate abimuutuja t funktsioonide

( )txx = , ( )tyy = , Tt ∈ ehk ( )( ) Tttyytxx

∈⎩⎨⎧

==

(*)

väärtustena. Abimuutujat t nimetatakse parameetriks ja avaldisi (*) vaadeldava funktsiooni parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon on antud parameetrilisel kujul (*). Parameetrilisest esitusest ei selgu, kumb muutujatest x ja y on argument ja kumb on funtksioon. Vajaduse korral märgitakse seda eraldi.

Funktsiooni ( )xfy = , Xx∈ võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: ( ) XTttfy

tx=∈

⎩⎨⎧

==

Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi ( ) 0, =yxF abil.

Definitsioon: Kui võrrand ( ) 0, =yxF määrab iga Xx∈ korral arvu y, siis öeldakse, et ta määrab funktsiooni ( )xfy = , Xx∈ ilmutamata kujul.

6. Esitus polaarkoordinaatides valemiga ( )ϕrr = , T∈ϕ , mis annab funktsiooni graafiku punktid ( )yx, polaarkoordinaatides ( )ϕ,r . Üleminek esituselt polaarkoordinaatides parameetrilisele esitusele on teostatav valemitega:

( )( )⎩

⎨⎧

∈==

Tryrx

ϕϕϕϕϕ

,sincos

x x1 x2 ... xn y y1 y2 ... yn


3

Funktsioonide liigid Olgu antud funktsioon ( )xfy = , Xx∈ .

Definitsioon: Kui iga Xx∈ korral on ( ) ( )xfxf =− , siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paarisfunktsioon on näiteks xy = , xy cos= .

Definitsioon: Kui iga Xx∈ korral on ( ) ( )xfxf −=− , siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Paaritu funktsioon on näiteks: xy = , xy sin= , xy tan= , xy cot= , xy arcsin= , xy arctan= . Nii paaris- kui paaritu funktsiooni määramispiirkond on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0≠ϖ tema perioodiks, kui ( ) ( )xfxf =+ϖ iga Xx∈ korral.

See definitsioon eeldab, et koos punktiga x kuulub piirkonda X ka punkt ϖ+x . Kui Xkx ∈+ ϖ iga Zk ∈ korral, siis koos arvuga ϖ on funktsioon f perioodiks ka arvud 0≠ϖk . Kui funktsioon f on perioodiliste funktsioonide summa, siis tema perioodideks on liidetavate funktsioonide perioodide ühiskordsed.

Trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised ja neil on järgmised perioodid: ( Zk ∈ , 0≠k ).

( )xfy = ϖ vähim positiivne ϖ

xy sin= , xy cos= πk2 π2 xy tan= , xy cot= πk π

Funktsiooni f perioodi ϖ leidmiseks tuleb tingimusest määrata arv ϖ , vaadeldes tingimust kui võrrandit ϖ suhtes. Funktsioon f on perioodiline parajasti siis, kui sel võrrandil on olemas konstantne lahend 0≠ϖ , s.o. muutujast x sõltumatu lahend 0≠ϖ , kusjuures ϖ on sel juhul funktsiooni periood.

Liitfunktsioon Definitsioon: Kui ( )ufy = , kus ( )xgu = , siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon, ja kirjutatakse: ( )[ ]xgfy = .

Muutujat u nimetatakse vahepealseks muutujaks. Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni koostisosadeks. Liitfunktsiooni nimetatakse ka funktsioonide f ja g kompositsiooniks ehk superpositsiooniks. Kui liitfunktsiooni määramispiirkond pole antud, siis selle all mõeldakse argumendi x väärtuste niisugust hulka, mille korral liitfunktsiooni väärtused y eksisteerivad. Kui liitfunktsioon on antud kujul ( )[ ]xgfy = , siis võime, võttes kasutusele vahepealse muutuja u, esitada ta nn. ahela kujul: ( )ufy = , ( )xgu = .

Algebralised tehted funktsioonidega 1. Funktsiooni ( )xfy −= graafik on peegelpildiks ( )xfy = graafikule x-telje suhtes.

2. Funktsiooni ( )xfy −= graafik on peegelpildiks ( )xfy = graafikule y-telje suhtes.

3. Funktsiooni ( )axfy −= graafik on ( )xfy = graafiku paralleellükke x-telje sihis kaugusele a.

4. Funktsiooni ( ) bxfy += graafik on ( )xfy = graafiku paralleellükke y-telje sihis kaugusele b.

5. Funktsiooni ( )xAfy = graafik on ( )xfy = graafik, mille mõõtkava on y-telje sihis muudetud A korda.


4

Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud 1. Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon

Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond

Eksponentfunktsioon xay ax exp== 1,0 ≠> aa ( )∞∞−= ,X ( )∞= ,0Y

Logaritmfunktsioon xy alog= 1,0 ≠> aa ( )∞= ,0X ( )∞∞−= ,Y

xay = 1>a xay = 1<a xy alog= 1>a xy alog= 1<a

2. Astmefunktsioon xay = 0≠a

Alamjuht Määramispiirkond Muutumispiirkond

a) [ )∞= ,0Y a lugeja on paarisarv

b) 0>a ( )∞∞−= ,X

( )∞∞−= ,Y a lugeja on paaritu arv

c) ( )∞= ,0Y a lugeja on paarisarv

d)

a nimetaja on paaritu arv

0<a ( ) ( )∞∪∞−= ,00,X ( ) ( )∞∪∞−= ,00,Y a lugeja on paaritu arv

e) 0>a [ )∞== ,0YX

f)

a nimetaja on paarisarv või

a on irratsionaalarv 0<a ( )∞== ,0YX

a) c) e)

b) d) f)


5

3. Trigonomeetrilised funktsioonid


Siinusfunktsioon xy sin= ( )∞∞−= ,X [ ]1,1−=Y

Koosinusfunktsioon xy cos= ( )∞∞−= ,X [ ]1,1−=Y

Tangensfunktsioon xxxy cossintan == ( ){ }ZkkxxX ∈+≠= ,212| π ( )∞∞−= ,Y

Kootangensfunktsioon xxxy sincoscot == { }ZkkxxX ∈≠= ,| π ( )∞∞−= ,Y

xy sin= xy cos= xy tan= xy cot=

4. Arkusfunktsioonid


Arkussiinusfunktsioon xy arcsin= [ ]1,1−=X [ ]22 , ππ−=Y

Arkuskoosinusfunktsioon xy arccos= [ ]1,1−=X [ ]π,0=Y

Arkustangensfunktsioon xy arctan= ( )∞∞−= ,X ( )22 , ππ−=Y

Arkuskootangensfunktsioon y = arccot x ( )∞∞−= ,X ( )π,0=Y

xy arcsin= xy arccos= xy arctan= y = arccot x


6

5. Hüperboolsed funktsioonid


Hüperboolne siinus y = sh x =2

xx ee −− ( )∞∞−== ,YX

Hüperboolne koosinus y = ch x = 2

xx ee −+ ( )∞∞−= ,X [ )∞= ,1Y

Hüperboolne tangens y = th x = sh x / ch x ( )∞∞−= ,X ( )1,1−=Y

Hüperboolne kootangens y = cth x = ch x / sh x ( ) ( )∞∪∞−= ,00,X ( ) ( )∞∪∞−= ,11,Y

y = sh x y = ch x y = th x y = cth x

6. Areafunktsioonid


Areasiinus y = arsh x ( )∞∞−== ,YX

Areakoosinus y = arch x [ )∞= ,1X [ )∞= ,0Y

Areatangens y = arth x ( )1,1−=X ( )∞∞−= ,Y

Areakootangens y = arcth x ( ) ( )∞∪∞−= ,11,X ( ) ( )∞∪∞−= ,00,Y

y = arsh x y = arch x y = arth x y = arcth x


7

II PIIRVÄÄRTUS Piirväärtuse mõiste

Jada piirväärtus Jada ( )nx võib vaadelda kui funktsioni f , mis on antud valemiga ( ) nxnf = , kus Nn∈ , s.o. kui funktsiooni f , mille määramispiirkond =X N.

1. Jada (lõplik) piirväärtus Definitsioon: Arvu a nimetatakse jada ( )nx piirväärtuseks, kui iga arvu 0>ε korral leidub selline arv ( )εNN = , et kehtib võrratus

ε<− axn , alati kui Nn > , ja kirjutatakse

axnn=

∞→lim

ehk axn =lim või axn → .

Definitsioon: Öeldakse, et jada ( )nx koondub arvuks a , kui tal on olemas lõplik piirväärtus axn =lim . Kui aga jadal ( )nx lõplikku piirväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada ( )nx hajub.

2. Jada lõpmatu piirväärtus Definitsioon: Öeldakse, et jada ( )nx piirväärtus on ( )∞−∞+ , kui iga arvu 0>M korral leidub arv N , et kehtib võrratus

( )MxMx nn −<> , alati kui Nn > ,

ja kirjutatakse ( )−∞=∞=

∞→∞→ nxnxxx limlim

ehk ( )−∞→∞→ nn xx .

Funktsiooni piirväärtus

1. Funktsiooni (lõplik) piirväärtus kuhjumispunktis Olgu antud funktsioon ( )xfy = , Xx∈ . Olgu punkt a piirkonna X kuhjumispunkt, s.o. punkt, mille igas ümbruses leidub vähemalt üks temast erinev hulga X punkt. Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu 0>ε korral leidub niisugune arv 0>δ , et kehtib võrratus

( ) ε<− Axf , alati kui δ<−< ax0 , ja kirjutatakse

( ) Axfax

=→

lim

ehk ( ) Axf → , kui ax → või ( ) Axf =lim , kui ax → .


8

2. Funktsiooni lõpmatu piirväärtus kuhjumispunktis Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus punktis a , kui iga arvu 0>N korral leidub selline arv 0>δ , et kehtib võrratus

( ) ( )NNxf −<> , alati kui δ<−< ax0 , ja kirjutatakse

( ) ( )∞−∞=→

xfax

lim

ehk ( ) ( )∞−∞→xf , kui ax → .

Ühepoolsed piirväärtused

3. Funktsiooni (lõplik) ühepoolne piirväärtus kuhjumispunktis Punkti a vasakpoolseks δ -ümbruseks nimetatakse vahemikku ( )aa ,δ− ja parempoolseks δ -ümbruseks vahemikku ( )δ+aa, , kus 0>δ on mingi arv. Kui ax → ja ax < , siis öeldakse, et muutuja x läheneb vasakult puntkile a , ja kirjutatakse: −→ ax . Kui ax → ja ax > , siis öeldakse, et muutuja x läheneb paremalt puntkile a , ja kirjutatakse: +→ ax .

−→ ax märgib, et x läheneb vasakult punktile a , sisenedes tema igasse vasakpoolsesse ümbrusse, ja +→ ax märgib, et x läheneb paremalt punktile a , sisenedes tema igasse parempoolsesse ümbrusse.

Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f vasakpoolseks piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu 0>ε korral leidub niisugune arv 0>δ , et kehtib võrratus

( ) ε<− Axf , alati kui δ<−< xa0 , ja kirjutatakse

( ) Axfax

=−→

lim ehk ( ) Aaf =− .

Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a , kui iga arvu 0>ε korral leidub niisugune arv 0>δ , et kehtib võrratus

( ) ε<− Axf , alati kui δ<−< ax0 , ja kirjutatakse

( ) Axfax

=+→

lim ehk ( ) Aaf =+ .

4. Funktsiooni (lõplik) (ühepoolne) piirväärtus lõpmatuspunktis Ühepoolseteks piirvärtusteks loetakse ka piirväärtused nn. lõpmata kaugetes punktides ∞ ja ∞− , s.o. piirprotsessid ∞→x ja −∞→x . Punkti ∞ ümbruseks nimetatakse iga vahemikku ( )∞,N ja punkti ∞− ümbruseks iga vahemikku ( )N−∞− , , kus 0>N on mis tahes arv. Need on nende punktide ühepoolsed ümbrused. Tähistus ∞→x tähendab lähenemist punktile ∞ vasakult nii, et x saab suuremaks igast arvust N , s.t. siseneb punkti ∞ igasse ümbrusse. Analoogiliselt tähendab −∞→x lähenemist punktile ∞− paremalt nii, et x saab väiksemaks igast arvust N− , s.t. siseneb punkti ∞− igasse ümbrusse. Samal viisil defineeritakse ka piirprotsess ∞→x , mis tähendab, et ∞→x , või −∞→x või mõlemad korraga.

Definitsioon: Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks piirprotsessis ( )−∞→∞→ xx , kui iga arvu 0>ε korral leidub arv 0>N , et

( ) ε<− Axf , alati kui ( )NxNx −<> , ja kirjutatakse

( ) ( )( )AxfAxfxx

==−∞→∞→

limlim .


9

5. Funktsiooni lõpmatu (ühepoolne) piirväärtus lõpmatuspunktis Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus piirprotsessis ( )−∞→∞→ xx , kui iga arvu 0>M korral leidub arv 0>N , et ( ) Mxf > , alati kui Nx > ; ( ) Mxf > , alati kui Nx −< ; ( ) Mxf −< , alati kui Nx > või ( ) Mxf −< , alati kui Nx −< , ja kirjutatakse vastavalt

( ) ∞=∞→

xfxlim , ( ) ∞=

−∞→xf

xlim , ( ) −∞=

∞→xf

xlim või ( ) −∞=

−∞→xf

xlim

ehk vastavalt ( ) ∞→xf , kui ∞→x ; ( ) ∞→xf , kui −∞→x ; ( ) −∞→xf , kui ∞→x ; ( ) −∞→xf , kui −∞→x .

Piirväärtust ( ) Axfax

=→

lim nimetatakse ka kahepoolseks piirväärtuseks, sest siin muutuja x lähenemine

punktile a võib toimuda mõlemalt poolt. Teoreem: ( ) ( ) ( ) AafafAxf

ax=+=−⇔=

→lim .

Tõestada lähtudes piirväärtuse definitsioonidest, et 1sinlim0

=→ x

xx

.

Definitsiooni põhjal: Kas iga 0>ε korral leidub arv

( ) 0>εδ nii, et ε<−1sinx

x

alati kui, δ<< x0 ?

BBBB

OBBB

x ′=′

=′

=1

sin

AUAU

OAAU

x ===1

tan

OAUOABOAB SSS ΔΔ <<

2sin

21 xBB

S OAB =′⋅

=Δ

2212 xxSOAB =⋅=

ππ

2tan

21 xAU

S OAU =⋅

=Δ

2tan22

sin⋅<<

xxxx

xxxx sin:|tansin <<

xxx

cos1

sin1 <<

( )1cossin1 −⋅>> xx

x

1cossin1 +−<−<− xx

x

xx

x cos1sin10 −<−<

xx 2cos1sin2 2 −=

2sin2cos1 2 xx =−

xxxx=⋅<<

22

2sin2

2sin2 2

xx <−⇒ cos1

xx

x<−<

sin10

xx

x<−<

sin10

xx

x<−< 1sin0

δ<x δ<−<⇒ 1sin0x

x

( ) :δδε =∃⇒

ε<−< 1sin0x

x ■

x O

B’

B

A

U

v

u

1

1

1


10

Funktsiooni piirväärtuse omadused

OMADUS 1: Piirväärtuse ühesus Antud protsessis saab funktsioonil olla ainult üks piirväärtus. Tõestus: Tõestame vastuväiteliselt juhtumi ax → . Oletame, et on olemas kahese väärtusega piirprotsess, s.t. ( )xf∃ , ( ) Axf

ax=

→lim , ( ) Bxf

ax=

→lim , BA ≠ .

S.t. iga 0>ε korral leidub ( ) 01 >εδ nii, et ( ) ε<− Axf alati kui 10 δ<−< ax

ja iga 0>ε korral leidub ( ) 02 >εδ nii, et ( ) ε<− Bxf alati kui 20 δ<−< ax .

Valime ( )21 ,min δδδ = . Siis ( ) ε<− Axf ja ( ) ε<− Bxf alati kui δ<−< ax0 .

( ) ε<− Axf ( ) ε<− xfA ( ) εε <−<− xfA

( ) ε<− Bxf ( ) εε <−<− Bxf

( ) εε <−<− xfA

+ ( ) εε <−<− Bxf

εε 22 <−<− BA ⇒ ε2<− BA

BA ≠ ⇒ ε20 <−< BA

Valime 2

BA −=ε , siis BABA −<−<0 . Tekib vastuolu. ■

Kõikvõimalikud juhtumid: ax → , +→ ax , −→ ax , ∞→x , −∞→x , ∞→x .

Piirväärtuse järjestusega seotud omadused

OMADUS 2: Monotoonsuse omadus Kui leidub punkti a ümbrus ( )aU ε nii, et ( ) ( )xgxf ≤ iga ( ) { }a\aUx ε∈ korral ja leiduvad piirväärtused ( ) Axf

ax=

→lim ja ( ) Bxg

ax=

→lim , siis BA ≤ .

Tõestus: Tõestame omaduse vastuväiteliselt. Oletame, et ( ) ( )xgxf ≤ , aga BA > .

Valime 2

BA −<ε , siis ( ) ( ) ∅=∩ BUAU εε .

( ) Axfax

=→

lim s.t. ( ) ( ) 111 0:0 δδεδε <−<⇐<−∃>∀ axAxf

( ) Bxgax

=→

lim s.t. ( ) ( ) 222 0:0 δδεδε <−<⇐<−∃>∀ axBxg

Valime ( )213 ,min δδδ = .

Kui ( ) { }a\3

aUx δ∈ , siis ( ) ( )AUxf ε∈ ja ( ) ( )BUxg ε∈ .

( ) ( )xgxf ≤ ⇒ BA ≤ ■

Definitsioon: Me ütleme, et funktsioon f on antud protsessis tõkestatud, kui selles protsessis leidub selline ümbrus, kus antud funktsiooni on tõkestatud.

Funktsioon f on protsessis ax → tõkestatud, kui leidub ümbrus ( )aU ε ja arv m nii, et ( ) mxf ≤ iga ( )aUx ε∈ korral.

Definitsioon: Me ütleme, et funktsioonil f on antud protsessis omadus P , kui selles protsesis leidub niisugune ümbrus, millest alates on funktsioonil see omadus P .


11

Funktsioonil f on omadus P protsessis ax → , kui leidub ümbrus ( )aU0ε

nii, et funktsioonil on see omadus igas ümbruses ( )aU ε , kui 0εε ≤ .

Monotoonsuse omadus üldjuhul: Kui antud protsessis ( ) ( )xgxf ≤ ja selles protsessis leiduvad ( ) Axf

ax=

→lim ja ( ) Bxg

ax=

→lim , siis BA ≤ .

OMADUS 3 Kui antud funktsioonil on lõplik piirväärtus, siis on ta antud protsessis tõkestatud. Tõestus: Tõestame juhtumi ax → .

( ) Axfax

=∃→

lim ∞≠A

( ) ( ) δεεδε <−<⇐<−>∃>∀ axAxf 0:00

( ) εε +<<− AxfA

kui ∞≠ε , siis ( )xf on tõkestatud ■

OMADUS 4 Kui funktsioonil f on antud protsessis lõplik nullist erinev piirväärtus A , siis leidub selles

protsessis koht, millest alates ( )2A

xf > iga 0>ε korral, kui 0εε < ja ( )aUx ε∈ .

Tõestus: Tõestame juhtumi ax → .

Kui ( ) Axfax

=→

lim , kas siis leidub ümbrus ( )aU δ nii, et ( )2A

xf > iga ( )aUx δ∈ korral ?

( ) ( ) ( )aUxAxf δεεδε ∈⇐<−>∃>∀ :00

( ) ( )aUxAxfA δεε ∈∀+<<−

Kui 0>A , siis 2A

=ε ⇒ ( )22AAxfAA +<<− ( )

23

2AxfA

<< ( )2Axf >

Kui 0<A , siis 2A

−=ε ⇒ ( )22AAxfAA −<<+ ( )

223 AxfA

<< ( )2Axf < ( )

2Axf −>−

⇒ ( )2A

xf > ■

OMADUS 5: Keskmise muutuja omadus ehk „soolaputka reegel“ Kui antud protsessis ( ) ( ) ( )xgxhxf ≤≤ ja selles protsessis ( ) ( ) Axgxf == limlim , siis on funktsioonil h selles protsessis piirväärtus ja kehtib võrdus ( ) Axh =lim .

Tõestus: Tõestame juhtumi ax → . ( ) ( ) 11 0:00 δεεδε <−<⇐<−>∃>∀ axAxf

( ) ( ) 22 0:00 δεεδε <−<⇐<−>∃>∀ axAxg

Valime ( )21 ,min δδδ = .

( ) ( ) ( ) εε +<≤≤<− AxgxhxfA

( ) εε +<<− AxhA ( ) ε<− Axh ( )aUx δ∈∀ ■


12

Piirväärtuse tehtega seotud omadused Definitsioon: Me ütleme, et funktsioon on antud protsessis lõpmata väike ehk hääbuv, kui selles protsessis on tema piirväärtus null. Me ütleme, et funktsioon on antud protsessis lõpmata suur, kui tal on selles protsessis lõpmatu piirväärtus.

OMADUS 6 Antud protsessis tõkestatud funktsiooni g ja selles protsessis hääbuva funktsiooni f korrutis fg ⋅ on hääbuv selles protsessis. Tõestus: Tõestame juhtumi ax → . g on antud protsessis tõkestatud: ( ) ( ) ( )211 ,:0

2δδδ δ +−=∈∀<>∃ aaaUxMxg

f on antud protsessis hääbuv: ( ) 0lim =→

xfax

s.t. ( ) ( ) ( ) { }a\:0022 aUx

Mxf δ

εεδε ∈⇐<>∃>∀

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }a\2

aUxM

Mxfxgxfxgxfg δεε∈∀=⋅≤==⋅

Piirväärtuse definitsiooni põhjal ( ) 0lim =⋅∃→

xfgax

. Järelikult fg ⋅ on hääbuv selles protsessis. ■

OMADUS 7 Kui antud protsessis leiduvad lõplikud piirväärtused ( ) Axf =lim ja ( ) Bxg =lim , siis selles protsessis leiduvad järgmised piirväärtused: a) ( ) ( )( ) BAxgxf +=+lim ,

b) ( ) ( )( ) BAxgxf ⋅=⋅lim

c) ( )( ) B

Axgxf=lim , kui 0≠B .

Tõestus: Tõestame piirprotsessi ax → varinadi a).

( ) 11 02

:02

02

δεεδε<−<⇐<>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∃>∀ axxf

( ) 22 02

:02

02

δεεδε<−<⇐<>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∃>∀ axxg

Valime ( )21 ,min δδδ = ( ) { }a\aUx δ∈

( )

( )

( ) ( ) εε

εε

εε

++<+<−+

+<<−+

+<<−

BAxgxfBA

BxgB

AxfA

22

22( ) { }a\aUx δ∈∀

( ) ( )( ) ( ) εε <+−+<− BAxgxf ( ) ( )( ) ( ) ε<+−+ BAxgxf ( ) ( ) { }a\:00 aUx δεδε ∈>∃>∀

( ) ( )( ) BAxgxfax

+=+∃⇒→

lim ■

JÄRELDUS: ( ) ( )xfcxfcax→

⋅=⋅ limlim c = const

JÄRELDUS: ( ) ( )( ) BAxgxfax

−=−→

lim


13

Monotoonne funktsioon Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Kui aga suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus, siis funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks. Olgu Xxx ∈21 , suvalised punktid. Funktsiooni range kasvamine on iseloomustatav tingimusega

( ) ( )2121 xfxfxx <⇒<∀ ja range kahanemine tingimusega

( ) ( )2121 xfxfxx >⇒<∀ .

Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse monotoonselt kasvavaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab mitteväiksem funktsiooni väärtus. Kui aga suuremale argumendi väärtusele vastab mittesuurem funktsiooni väärtus, siis funktsiooni f nimetatakse monotoonselt kahanevaks. Olgu Xxx ∈21 , suvalised punktid. Funktsiooni monotoonne kasvamine on iseloomustatav tingimusega

( ) ( )2121 xfxfxx ≤⇒<∀ ja monotoonne kahanemine tingimusega

( ) ( )2121 xfxfxx ≥⇒<∀ . Monotoonselt kasvavaid ja monotoonselt kahanevaid funktsiooni kokku nimetatakse monotoonseteks. Funktsiooni nimetatakse monotoonseks antud piirkonnas parajasti siis, kui ta on kas monotoonselt kasvav või monotoonselt kahanev selles piirkonnas. Funktsiooni nimetatakse rangelt monotoonseks antud piirkonnas parajasti siis, kui ta on kas rangelt kasvav või rangelt kahanev selles piirkonnas.

Monotoonse funktsiooni pöördfunktsioon OMADUS: Piirkonnas X rangel monotoonsel funktsioonil on olemas pöördfunktsioon, mis on sama tüüpi rangelt monotoonne. Tõestus: Kas funktsioonil f, mis on rangelt kasvav piirkonnas X, leidub pöördfunktsioon g, mis on rangelt kasvav piirkonnas ( )Xf ?

Funktsioon f on rangelt kasvav, s.t. ( ) ( )2121 xfxfxx <⇒<∀

Defineerimne funktsiooni ( ) XXfg →: ( ) xyg = , kus ( ) yxf =

Oletame, et g ei ole pöördfunktsioon, s.t. ( )Xfy∈∃ nii, et ( ) ( ) 21 xygxyg =∧= , kus 21 xx ≠

Kuna f on rangelt monotoonne, siis ⇒≠ 21 xx ( ) ( )21 xfxf ≠

( ) ( ) yxfyxf =∧= 21 ( ) ( ) yyxfxf ≠⇒≠ 21 tekib vastuolu ⇒ g on pöördfunktsioon Oletame, et g ei ole rangelt kasvav funktsioon piirkonnas ( )Xf , s.t.

( ) ( ) ( )212121 :, ygygyyXfyy ≥<∈∃

( ) ( ) 212211 xxxygxyg ≥==

Kuna f on rangelt kasvav, siis ( ) ( )21 xfxf ≥ s.t. 21 yy ≥

tekib vastulou ⇒ g on rangelt kasvav piirkonnas ( )Xf ■


14

Monotoonse tõkestatud funktsiooni piirväärtus Definitsioon: Öeldakse, et funktsioon f on monotoonne antud protsessis, kui selles protsessis leidub koht, millest alates on funktsioon monotoonne. Funktsioon on monotoonne protsessis ax → ⇔ ( )aU∃ nii, et funktsioon on monotoone hulgas ( )aU .

Funktsioon on monotoonne protsessis ∞→x ⇔ ∈∃ 0x R nii, et funktsioon on monotoone hulgas [ )∞,0x .

Teoreem: Igal antud protsessis ülalt tõkestatud monotoonselt kasvaval funktsioonil on olemas piirväärtus selles protsessis. Tõestus: Tõestame teoreemi piirprotsesssi ∞→x korral. Funktsioon f on protsessis ∞→x ülalt tõkestatud, s.t. ∈∃ 0x R nii, et f on ülalt tõkestatud hulgas [ )∞,0x

Funktsioon f on protsessis ∞→x monotoonselt kasvav, s.t. ∈∃ 1x R nii, et f on kasvav hulgas [ )∞,1x

Valime ( )10 ,max xxx = . Siis ( ) [ ){ }∞∈ ,| xxxf on ülalt tõkestatud reaalarvude hulk.

Pidevuse aksioomi põhjal on igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal olemas ülemine raja. ( ) [ ){ } ∞<=∞∈ Axxxf ,|sup

Ülemine raja on kõige väiksem ülemine tõke: 1. ( ) [ )∞∈∀≤ ,xxAxf

2. [ )∞∈∃>∀ ,0 2 xxε nii, et ( ) ε−> Axf 2

[ ) :,0 2 ∞∈∃>∀ xxε 2xx >∀ ( ) ( ) ε−>≥ Axfxf 2

[ ) :,0 2 ∞∈∃>∀ xxε 2xx >∀ ( ) ε−>− Axf

[ ) :,0 2 ∞∈∃>∀ xxε 2xx >∀ ( ) ε<− xfA

[ ) :,0 2 ∞∈∃>∀ xxε 2xx >∀ ( ) ε<− Axf

( )εε 220 xxx =>∀>∀ ( ) ε<− Axf

Piirväärtuse definitsiooni põhjal ( ) Axfx

=∃∞→

lim ■


15

Funktsiooni pidevus Olgu antud funktsioon ( )xfy = , Xx∈ ja olgu Xa∈ .

Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui ( ) ( )afxfax

=→

lim . Kui funktsioon f

on pidev piirkonna X igas puntkis, siis öeldakse, et funktsioon f on pidev piirkonnas X. Funktsioon f on pidev punktis a, kui on täidetud 3 tingimust:

1) peab eksisteerima ( )af , s.t. punkt a peab olema funktsiooni määramispiirkonnast; 2) peab eksisteerima lõplik piirväärtus ( )xf

ax→lim ;

3) peab kehtima võrdus ( ) ( )afxfax

=→

lim .

Kui vähemalt üks neist tingimustest ei ole täidetud, siis öeldakse, et funktsioon f ei ole pidev punktis a. Tähistame: axx −=Δ , ( ) ( )afxfy −=Δ . Siis xax Δ+= , ( ) ( )afxafy −Δ+=Δ . Suurust xΔ nimetatakse argumendi x muuduks (ehk kasvuks). Suurust yΔ nimetatakse funktsiooni muuduks (ehk kasvuks) punktide a ja xa Δ+ vahel ehk üleminekul punktist a puntki xa Δ+ . Pidevuse tingimus: Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui

0lim0

=Δ→Δ

yx

ehk ( ) ( )afxafx

=Δ+→Δ 0

lim .

Teoreem: Funktsioon f on pidev puntkis a siis ja ainult siis, kui ( ) ( )11 oyox =Δ⇒=Δ .

Aritmeetilised tehted säilitavad pidevuse, s.t. kehtib teoreem: Teoreem: Kui ( )xuu = ja ( )xvv = on pidevad funktsioonid punktis a , siis ka nende summa ( ) ( )xvxu + , vahe ( ) ( )xvxu − , korrutis ( ) ( )xvxu ⋅ ja jagatis ( ) ( ) ( )( )0≠avxvxu on pidevad

funktsioonid punktis a . Tõestus: Tõestus ( ) uXxxuu ∈= , ja ( ) vXxxvv ∈= , summa ( ) ( ) vu XXxxvxuvu ∩∈+=+ , korral.

u on pidev punktis a , s.t. ( ) ( )auxuax

=→

lim , uXa∈ . v on pidev punktis a , s.t. ( ) ( )avxvax

=→

lim , vXa∈ .

1. vuvu XXaXaXa ∩∈⇒∈∧∈ s.t. punkt a kuulub funktsiooni gf + määramispiirkonda;

2. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )xvxuxvuxvxuaxaxaxax

+=+∃⇒∃∧∃→→→→

limlimlimlim ;

3. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )avuavauxvxuxvxuxvuaxaxaxax

+=+=+=+=+→→→→

limlimlimlim

Teoreem: Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas.

Funktsiooni ühepoolne pidevus Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse punktis a vasakult pidevaks, kui

( ) ( )afxfax

=−→

lim , s.t. ( ) ( )afaf =− .

Definitsioon: Funktsiooni f nimetatakse punktis a paremalt pidevaks, kui ( ) ( )afxf

ax=

+→lim , s.t. ( ) ( )afaf =+ .

Teoreem: Funktsioon f on pidev punktis a siis ja ainult siis, kui ( ) ( ) ( )+==− afafaf ,

s.o. kui ta on punktis a vasakult ja paremalt pidev. Lause „funktsioon f on pidev lõigus [ ]ba, “ tähendab, et ta on pidev vahemikus ( )ba, , punktis a paremalt pidev ja punktis b vasakult pidev. Analoogiliselt tuleb mõista funktsiooni f pidevust ka muudes piirkondades X, näiteks kui ( ]baX ,= , ( ] ( ]dcbaX ,, ∪= jne.


16

III TULETIS Tuletise mõiste

Olgu antud funktsioon ( )xfy = , Xx∈ . Olgu xΔ argumendi muut punktis Xx∈ . Siis selles punktis funktsiooni muut on ( ) ( )xfxxfy −Δ+=Δ .

Moodustame muutude suhte: ( ) ( )x

xfxxfxy

Δ−Δ+

=ΔΔ .

Definitsioon: Kui on olemas piirväärtus xy

x ΔΔ

→Δ 0lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f

tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega

( ) ( ) ( )

korraljnetähistusiooniliitfunktstähistustähistusNewtoniTähistusLeibniziiLagrange

xfyfydx

xdfdxdyxfy xx

.

'

⋅

==′=′===′=′ &

Kui piirväärtus xy

x ΔΔ

→Δ 0lim on lõplik, siis kõneldakse lõplikust tuletisest, kui aga lõpmatu, siis öeldakse, et

funktsioonil f on punktis x lõpmatu tuletis. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks.

Ühepoolsed tuletised Ühepoolseid piirväärtusi (lõplikke ja lõpmatuid)

( )xyxf

x ΔΔ

=−′−→Δ 0

lim , ( )xyxf

x ΔΔ

=+′+→Δ 0

lim

nimetatakse vastavalt funktsiooni f vasakpoolseks ja parempoolseks tuletiseks punktis x. Neid piirväärtusi nimetatakse ühiselt ka ühepoolseteks tuletisteks. Punkti, kus funktsioonil on märgi poolest erinevad lõpmatud ühepoolsed tuletised, nimetatakse tema tagasipöördepunktiks.

Piirväärtust xy

x ΔΔ

→Δ 0lim nimetatakse ka kahepoolseks tuletiseks.

Teoreem: Funktsioonil f on olemas punktis x tuletis ( )xf ′ siis ja ainult siis, kui selles punktis x on tal olemas võrdsed ühepoolsed tuletised, s.o. kui ( ) ( )+′=−′ xfxf . Seejuures

( ) ( ) ( )+′=−′=′ xfxfxf .

Tuleb silmas pidada, et sümbolid ( )−′ xf ja ( )+′ xf ei märgi siinjuures tuletise ( )xf ′ ühepoolseid piirväärtusi punktis x, s.t. üldjuhul ( ) ( )xfaf

ax′≠−′

−→lim ja ( ) ( )xfaf

ax′≠+′

+→lim .

Teoreem: Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis (vasakpoolne, parempoolne) mingis punktis, siis funktsioon on (vasakult, paremalt) pidev selles punktis. Vastupidine ei kehti, s.t. funktsiooni pidevusest ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Iga elementaarfunktsiooni tuletis on elementaarfunktsioon. Kuna kõik elementaarfunktsioonid on pidevad oma määramispiirkonnas, siis säilitavad nad seega oma pidevuse tuletise võtmisel.


17

Diferentseerimisreeglid

Tehetega seotud diferentseerimisreeglid Kui funktsioonidel ( )xuu = ja ( )xvv = on olemas tuletised punktis x, siis

a) ( ) vuvu ′±′=′± ;

b) ( ) vuvuuv ′+′=′ ;

c) 2vvuvu

vu ′−′

=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , ( )( )0≠xv .

Tõestus: a) Tähistame hvu =+ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

Δ−−Δ++Δ+

=Δ

−Δ+=

ΔΔ

=′→Δ→Δ→Δ x

xvxuxxvxxux

xhxxhxhxh

xxx 000limlimlim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxv

xu

xxvxxv

xxuxxu

xxxx′+′=

ΔΔ

+ΔΔ

=Δ

−Δ++

Δ−Δ+

=→Δ→Δ→Δ→Δ 0000

limlimlimlim ■

b) Tähistame huv = .

( )xhxh

x ΔΔ

=′→Δ 0

lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxxvxxuxhxxhh −Δ+Δ+=−Δ+=Δ

( ) ( )xuxxuu −Δ+=Δ ( ) ( )xuuxxu +Δ=Δ+ ( ) ( )xvxxvv −Δ+=Δ ( ) ( )xvvxxv +Δ=Δ+

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxuxvxuvxuxuvvuxvxuxvvxuuh −+Δ+Δ+ΔΔ=−+Δ+Δ=Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

ΔΔ

+Δ

Δ+

ΔΔΔ

=Δ

Δ+Δ+ΔΔ=′

→Δ→Δ→Δ→Δ xvxu

xxuv

xvu

xvxuxuvvuxh

xxxx 0000limlimlimlim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxuxvxvxuxuxuxvxv

xuv

xu

xxxx′+′=′+′+⋅′=⋅

ΔΔ

+⋅ΔΔ

+Δ⋅ΔΔ

=→Δ→Δ→Δ→Δ

0limlimlimlim0000

■

c) Tähistame hvu= .

( )xhxh

x ΔΔ

=′→Δ 0

lim ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xvxxv

xxvxuxvxxuxvxu

xxvxxuxhxxhh

Δ+Δ+−Δ+

=−Δ+Δ+

=−Δ+=Δ

( ( ) ( ) ( ) ( )⇒>Δ+≠=Δ+

→Δ 20lim

0

xvxxvxvxxv

x murd ( )

( )xxvxxu

Δ+Δ+ on korrektselt moodustatud )

( ) ( )xuxxuu −Δ+=Δ ( ) ( )xuuxxu +Δ=Δ+ ( ) ( )xvxxvv −Δ+=Δ ( ) ( )xvvxxv +Δ=Δ+ ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )xvxvvxvxuvxuxvxuxuv

xvxvvxvvxuxvxuuh 2+Δ

−Δ−+Δ=

+Δ+Δ−+Δ

=Δ

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ] =

Δ+ΔΔ

−Δ+Δ

Δ=

Δ+ΔΔ−Δ

=′→Δ→Δ→Δ xxvxvv

vxuxxvxvv

xuvxxvxvv

vxuxuvxhxxx 202020

limlimlim

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )xv

xuxvxvxuxvxv

xuxvxvxuxvxvv

xuxvxv

xu

x

xx

222

0

00

0lim

limlim ⋅′−⋅′=

+⋅⋅′−⋅′

=+Δ

⋅ΔΔ

−⋅ΔΔ

=→Δ

→Δ→Δ ■


18

Pöördfunktsiooni diferentseerimine Teoreem: Olgu funktsioonil f piirkonnas X pidev pöördfunktsioon g ja olgu f diferentseeruv kohal x, kusjuures ( ) 0≠′ xf . Siis on funktsioon g diferentseeruv kohal ( )xfy = ja kehtib seos

( ) ( )yfxg

′=′ 1 .

( ) ( ) ( ) 0lim0

≠Δ

−Δ+=′

→Δ xxfxxfxf

x ( ) ( ) 0>

Δ−Δ+

⇒x

xfxxf ( ) ( ) 0≠−Δ+=Δ⇒ xfxxfy

( ) yxxfy −Δ+=Δ ( ) yyxxf Δ+=Δ+ ( )[ ] ( )yygxxfg Δ+=Δ+ ( )yygxx Δ+=Δ+

( ) ( )ygyygg −Δ+=Δ ( ) xyygg −Δ+=Δ xxxg −Δ+=Δ xg Δ=Δ

( ) ( )xfxy

gy

gyy

gyg

xx

xy ′=

ΔΔ

=

ΔΔ

=

ΔΔ

=ΔΔ

=′

→Δ→Δ

→Δ→Δ

1

lim

1

lim

11limlim

00

00

Kui 0→Δx , siis f pidevuse tõttu ka 0→Δy . Kui 0→Δy , siis g pidevuse tõttu ka 0→Δx . Seega on protsessid 0→Δx ja 0→Δy samaväärsed. ■

Liitfunktsiooni diferentseerimine Teoreem: Kui liitfunktsioon esitub ahela kujul:

( ) ( )xuufy ϕ== ,

ning on olemas lõplikud tuletised uy′ punktis u ja xu′ punktis x , siis on olemas tuletis xy′ , mis avaldub kujul

xux uyy ′′=′ .

Tõestus: Tõestame teoreemi kitsendusel, et 0≠Δu . ( ) ( )

uufuuf

xyy

uuu Δ−Δ+

=ΔΔ

=′→Δ→Δ 00

limlim ( ) ( )x

xxxxuu

xxx Δ−Δ+

=ΔΔ

=′→Δ→Δ

ϕϕ00

limlim

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xuxuxxx uf

xu

uufuuf

xufuuf

xxfxxfy ′′=

ΔΔ

⋅Δ

−Δ+=

Δ−Δ+

=Δ

−Δ+=′

→Δ→Δ→Δ→Δ 0000limlimlimlim ϕϕ

u on diferentseeruv kohal x ning seega pidev kohal x , mistõttu on 0→Δx ja 0→Δu samaväärsed protsessid. ■


19

Kõrgemat järku tuletised Olgu funktsioon ( )xfy = , Xx∈ diferentseeruv punktis x . Seega on tal olemas selles punktis x lõplik tuletis ( )xfy ′=′ .

Definitsioon: Funktsiooni teist järku ehk teiseks tuletiseks punktis x nimetatakse tuletist tema tuletisest punktis x ja märgitakse sümboliga

( ) ( ) ( )

korraljnetähistusiooniliitfunktstähistustähistusNewtoniTähistusLeibniziiLagrange

xfyfydx

xfddx

ydxfy xxxx

.

'

2

2

2

2 ⋅⋅

==′′=′′===′′=′′ &&

Seega võime kirjutada Lagrange’i järgi ( )′′=′′ yy

ja Leibnizi järgi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dxdy

dxd

dxyd2

2

.

Analoogiliselt defineeritakse ka kõrgemat järku kui teist järku tuletised. Üldiselt, funktsiooni n-järku ehk n-ndaks tuletiseks nimetatakse tuletist funktsiooni (n-1)-järku tuletisest ja märgitakse sümboliga

( ) ( ) ( ) ( )

tähistustähistusLeibniziiLagrange

dxxfd

dxydxfy n

nnnn

'

2 ===

.

Seega võime kirjutada Lagrange’i järgi ( )

( ) ( )

( ) ( )( )′=

′′′′==

′′′=′′′

−nn

IV

yy

yyy

yy

....

4

ja Leibnizi järgi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

−

1

1

n

n

n

n

dxyd

dxd

dxyd

Kui funktsioonil on olemas lõplik n-järku tuletis mingis punktis (piirkonnas), siis öeldakse, et ta on n korda diferentseeruv selles punktis (piirkonnas).


20

Funktsiooni diferentsiaal ja selle geomeetriline tõlgendus Olgu antud funktsioon ( )xfy = , Xx∈ . Olgu xΔ argumendi muut punktis Xx∈ . Siis selles punktis funktsiooni muut on ( ) ( )xfxxfy −Δ+=Δ .

Definitsioon: Kui puntkis x funktsiooni f muut yΔ avaldub kujul ( ) axxfy +Δ′=Δ , kus ( )xoa Δ= , kui 0→Δx ,

siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv punktis x. Kui funktsioon f on diferentseeruv piirkonna X igas punktis, siis öeldakse, et funktsioon f on diferentseeruv piirkonnas X. Suurust ( ) xxfdy Δ′= nimetatakse funktsiooni f diferentsiaaliks punktis x.

Valemis ( ) xxfdy Δ′= tähistatakse dxx =Δ , sest juhul xy = , xxxdydx x Δ=Δ′== . Seega ( )dxxfdy ′=

Suurust xdx Δ= nimetatakse argumendi x diferentsiaaliks. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, s.o. lõigu AB pikkust.

Valemist ( )dxxfdy ′= järeldub, et ( )dxdyxf =′ ,

s.t., et igas punktis on funktsiooni tuletis võrdne funktsiooni ja tema argumendi diferentsiaalide suhtega. See annab sisulise tähenduse Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda vaadata kui harilikku murdu.

Teoreem: Funktsioon f on diferentseeruv punktis x siis ja ainult siis, kui tal on olemas lõplik tuletis ( )xf ′ selles punktis x.

Lause „funktsioon on diferentseeruv lõigus [ ]ba, “ tähendab, et ta on diferentseeruv vahemikus ( )ba, ja et punktis a on tal lõplik parempoolne tuletis ja punktis b lõplik vaskapoolne tuletis. Teoreem: Mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis. Teoreem: Lõigus diferentseeruv funktsioon on pidev selles lõigus.

Kõrgemat järku diferentsiaalid Olgu antud funktsioon ( )xfy = , Xx∈ ning olgu tal olemas lõplik tuletis punktis x. Seega on tal olemas punktis x diferentsiaal ( )dxxfdy ′= . Fikseerime argumendi muudu xdx Δ= , siis diferentsiaal

( )dxxfdy ′= on argumendi x funktsioon ja me võime leida tema diferentsiaali.

Definitsioon: Funktsiooni ( )xfy = , Xx∈ teist järku ehk teiseks diferentsiaaliks yd 2 punktis x nimetatakse diferentsiaali tema esimesest diferentsiaalist punktis x, s.o. ( )dydyd =2 .

Üldiselt funktsiooni ( )xfy = , Xx∈ n-järku ehk n-ndaks diferentsiaaliks yd n punktis x nimetatakse diferentsiaali tema (n-1)-järku diferentsiaalist, s.o. ( )yddyd nn 1−= .

Kui funktsioonil ( )xfy = , Xx∈ on olemas lõplik n-järku tuletis ( ) ( )xf n , siis on tal punktis x olemas n-järku difernetsiaal yd n , mis avaldub kujul ( ) ( ) nnn dxxfyd = , kus ndx on diferentsiaali dx n-is aste.

Seega ( ) 22 dxxfyd ′′= , ( ) 33 dxxfyd ′′′= ning ( ) ( ) n

nn

dxydxf = , mis annab sisulise tähendus n-järku tuleitse

Leibnizi tähistusele ja võimaldab seda sümbolit vaadelda kui harilkku murdu. Null-järku diferentsiaali all mõeldakse funktsiooni ennast, s.o. ( )xfyd =0 .

Δy

0>dy

dy>0

x x+Δx x-Δx 0

y

x

Δy

P A

B

B

A


21

Fuktsioonide omadused Pidevate funktsioonide omadused Teoreem: Pidev funktsioon teisendab lõigu lõiguks. (faktina) S.t. ( ) [ ]{ } [ ]Mmbaxxf ,,| =∈ Järeldus: Lõigus pidev funktsioon on tõkestatud selles lõigus. S.t. ( ) ( ) [ ]baxxfxf ,,inf,sup ∈−∞>∞< , sest lõigus tõkestatud funktsioonil on olemas mõlemad rajad. Järeldus: Lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus. S.t. [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]baxxfxfxfbax ,maxsup:, 11 ∈==∈∃

ja [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]baxxfxfxfbax ,mininf:, 22 ∈==∈∃ Järeldus: Lõigus pidev funktsioon omab igat väärtust, mis paikneb ekstremaalsete väärtuste vahel. S.t. ( ) [ ]{ } [ ]Mmbaxxf ,,| =∈ , kus ( ) ( )xfxfM maxsup == ja ( ) ( )xfxfm mininf == , kus [ ]bax ,∈

Fermat’ teoreem Definitsioon: Funktsiooni f määramispiirkonna punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. Teoreem: Kui funktsioonil f on ekstremaalne väärtus määramispiirkonna X sisepunktis ς , kus funktsioon on diferentseeruv, siis on ς statsionaarne punkt, s.t. ( ) 0=′ ςf .

Tõestus: Tõestame teoreemi juhul, kui ς on miinimumpunkt, s.t. ( ) ( ) Xxxff ∈= minς ( ) XU ∈ς

( ) ( ) ( ) Xxfxfxf ∈Δ+≠Δ∀>−Δ+ ςςς :00

( ) ( ) ( ) 0lim0

≥Δ

−Δ+=+′

+→Δ xfxff

x

ςςς ( ) ( ) ( ) 0lim0

≤Δ

−Δ+=−′

−→Δ xfxff

x

ςςς

Kuna fuktsioon on diferentseeruv punktis ς , siis järelikult ( ) 0=′ ςf . ■

Rolle’i teoreem Teoreem: Kui lõigus [ ]ba, pideva ja vahemikus ( )ba, diferentseeruva funktsiooni f korral ( ) ( )bfaf = , siis on funktsioonil f vahemikus ( )ba, vähemalt üks statsionaarne punkt.

Tõestus: Kui f on konstantne funktsioon, on teoreem ilmne, sest ( ) [ ] ( ) ( )baxxfbaxcxf ,0, ∈=′⇒∈= .

Tõestame teoreemi mittekonstantse funktsiooni f korral, s.t. ( ) ( ) ( ) ( )bfafxfbax =≠∈∃ 00 :, .

a) kui ( ) ( )afxf >0

Kuna lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus, siis [ ] ( ) ( ) [ ]baxxffba ,max:, ∈=∈∃ ςς

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ςςςς ⇒∈⇒=>⇒>∧≥ babfaffafxfxff ,00 on sisepunkt

Fermat’ teoreemi põhjal on ς statsionaarne punkt.

b) kui ( ) ( )afxf <0

Kuna lõigus pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused selles lõigus, siis [ ] ( ) ( ) [ ]baxxffba ,min:, ∈=∈∃ ςς

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ςςςς ⇒∈⇒=<⇒<∧≤ babfaffafxfxff ,00 on sisepunkt

Fermat’ teoreemi põhjal on ς statsionaarne punkt. ■


22

Cauchy keskväärtusteoreem Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [ ]ba, ja diferentseeruvad vahemikus ( )ba, , kusjuures funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus ( )ba, , siis leidub vähemalt üks punkt ( )ba,∈ς nii, et kehtib võrdus

( ) ( )( ) ( )

( )( )ςς

gf

agbgafbf

′′

=−− .

Tõestus: Kuna funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus ( )ba, , siis Rolle’i teoreemi põhjal ( ) ( )bgag ≠ ( ) ( ) 0≠−⇒ agbg .

Defineerime: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]agxg

agbgafbfafxfxF −⋅

−−

−−= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xg

agbgafbfxfxF ′⋅

−−

−′=′

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0=−⋅

−−

−−= agagagbgafbfafafaF ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0=−⋅−−

−−= agbgagbgafbfafbfbF

Kuna F on pidev lõigus [ ]ba, , diferentseeruv vahemikus ( )ba, ning ( ) ( )bFaF = , siis Rolle’i teoreemi põhjal leidub funktsioonil F vähemalt üks statsionaarne punkt ς vahemikus ( )ba, , s.t.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0=′⋅

−−

−′=′ ςςς gagbgafbffF ( ) ( )

( ) ( )( )( )ςς

gf

agbgafbf

′′

=−−

⇒ ■

Lagrange’i keskväärtusteoreem Teoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigus [ ]ba, ja diferentseeruvad vahemikus ( )ba, , siis leidub punkt ( )ba,∈ς nii, et kehtib võrdus

( ) ( ) ( ) ( )abfafbf −⋅′=− ς .

Tõestus: Rakendame Cauchy keskväärtusteoreemi juhtumi ( ) xxg = korral.

Funktsioon g on lineaarfunktsioon ning seega pidev lõigus [ ]ba, ning diferentseeruv vahemikus ( )ba, .

Funktsioonil g ei ole statsionaarseid punkte vahemikus ( )ba, , sest ( ) 01 ≠=′ xg . Seega ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )abfafbff

abafbf

−⋅′=−⇒′

=−− ςς

1 ■

L’Hospitali reegel Teoreem: Kui mingis protsessis ( ) ( ) 0limlim == xgxf või ( ) ( ) ∞== xgxf limlim ja eksisteerib

piirväärtus ( )( ) lxgxf=

′′

lim , siis selles protsessis ( )( ) lxgxf=lim .

Tõestus: Tõestame juhtumi 00 piirprotsessis +→ ax .

Eeldame, et ( ) ( ) 0limlim ==+→+→

xgxfaxax

ning eksisteerib piirväärtus ( )( ) lxgxf

ax=

′′

+→lim .

Kuna eksisteerib piirväärtus l, siis leidub x nii, et funktsioonid f ja g on pidevad lõigus [ ]xa, ja diferentseeruvad vahemikus ( )xa, . Pidevuse tõttu ( ) ( ) 0== agaf .

Cauchy keskväärtusteoreemi põhjal ( ) ( )( ) ( )

( )( )ςς

gf

agxgafxf

′′

=−− , kus ( ) +→∈+→ axxaa ,ςς

Kuna ( ) ( ) 0== agaf , siis ( )( ) ( )

( )( )ςς

ςgf

xgxf

aaxax ′

′=

+→+→+→

limlim . Kuna eksisteerib piirväärtus ( )( ) lxgxf

ax=

′′

+→lim ,

siis ( )

( )( )

( )( ) lxgxf

gf

axa

ax=

′′

=′′

+→+→+→

limlimςς

ς

, seega ( )( )

( )( ) lxgxf

xgxf

axax=

′′

=+→+→

limlim ■


23

Taylori valem Kui funktsioon f on n-korda diferentseeruv punktis a, siis punktis xax Δ+= kehtib Taylori valem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaxafn

xafxafafxf nnn Δ+Δ++Δ′′+Δ′+=

!1...

21 2 ,

kus suurust ( ) ( )n

n xoxa Δ=Δ , kui 0→Δx ,

nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks Peano kujul ja ülejäänud osa Taylori polünoomiks. Kui 0=a , siis xx =Δ ja Taylori valemist saame valemi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaxfn

xfxffxf nnn +++′′+′+= 0

!1...0

2100 2 ,

mida nimetatakse ka Maclaurini valemiks. Tõestus:

)()()()( 1 xxxfxfxxf Δ+Δ′=−Δ+ α , 0)(

lim 1

0=

ΔΔ

→Δ xx

x

α ( 1α om kõrgemat järku lõpmata väike Δx suhtes)

=Δ

′−−Δ+′=

ΔΔ′−−Δ+

=ΔΔ

→Δ→Δ→Δ xxfxxf

xxxfxfxxf

xx

xxx 2)(0)(lim

)()()()(lim

)()(lim

000202

1

0

α

)(21)()(lim

21

0xf

xxfxxf

x′′=

Δ′−Δ+′

=→Δ

, s.t.

( )0

)(

))((21

lim 2

21

0=

Δ

Δ′′−Δ

→Δ x

xxfx

x

α Tähistame: )(:))((

21)( 2

21 xxxfx Δ=Δ′′−Δ αα

=Δ+Δ′′+Δ′=Δ+Δ′=−Δ+ )())((21)()()()()( 2

21 xxxfxxfxxxfxfxxf αα

kus 0)(

)(lim 22

0=

ΔΔ

→Δ xx

x

α ( 2α on teist järku lõpmata väike Δx suhtes)

( ) =Δ+Δ′′′+Δ′′+Δ′= xxxfxxfxxf 332 ))((

!31))((

21)( α

kus 0)(

)(lim 3

3

0=

ΔΔ

→Δ xx

x

α ( 3α on kolmandat järku lõpmata väike Δx suhtes)

)())((!

1...))((!3

1))((21)( )(32 xxxf

nxxfxxfxxf n

nn Δ+Δ++Δ′′′+Δ′′+Δ′= α

kus 0)(

)(lim

0=

ΔΔ

→Δ nn

x xxα

( nα on n-järku lõpmata väike Δx suhtes)

)( xn Δα nimetatakse jääkliimkeks, ülejäänud osa Taylori polünoomiks.

Võime kirjutada ka Leibnizi kujul:

)()(!

1...)(!2

1)()()( 2 xxfdn

xfdxdfxfxxf nn Δ++++=−Δ+ α

kus 0)(

)(lim

0=

ΔΔ

→Δ nn

x xxα

( nα on n-järku lõpmata väike Δx suhtes)


24

Funktsiooni uurimine Monotoonsuspiirkonnad Definitsioon: Funktsiooni f määramispiirkonna punkti, kus funktsiooni tuletis on null või teda ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni kriitiliseks punktiks. Statsionaarne punkt on alati kriitiline punkt. Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X monotoonselt kasvav, kui ⇒<∀ 2121 , xxxx ( ) ( )21 xfxf ≤ .

Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X monotoonselt kahanev, kui ⇒<∀ 2121 , xxxx ( ) ( )21 xfxf ≥ .

Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X rangelt kasvav, kui ⇒<∀ 2121 , xxxx ( ) ( )21 xfxf > .

Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X rangelt kahanev, kui ⇒<∀ 2121 , xxxx ( ) ( )21 xfxf < .

Teoreem: Piirkonnas X diferentseeruv funktsioon f on montoonselt kasvav (kahanev) selles piirkonnas parajasti siis, kui ( ) 0≥′ xf iga Xx∈ korral (vastavalt ( ) 0≤′ xf iga Xx∈ korral).

Tõestus: Tõestame juhtumi, kus f on monotoonselt kasvav. Olgu diferentseeruv funktsioon f monotoonselt kasvav piirkonnas X. Näitame, et ( ) Xxxf ∈∀≥′ 0 .

Kuna f on diferentseeruv, siis ( ) ( ) ( ) ( )x

xfxxfxfxfx Δ

−Δ+=+′=′∃

+→Δ 0lim

xxxxx Δ+<⇒>Δ⇒+→Δ 00

Kuna f on monotooselt kasvav, siis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ≥′⇒≥−Δ+⇒Δ+≤ xfxfxxfxxfxf

Olgu funktsioon f diferentseeruv ning olgu ( ) Xxxf ∈∀≥′ 0 . Näitame, et ( ) ( )2121 xfxfxx ≤⇒<

Olgu 2121 , xxXxx <∈ , s.t. 012 >− xx .

Lagrange’i keskväärtusteoreemi põhjal ( ) ( ) ( ) ( )1212 xxfxfxf −⋅′=− ς X∈ς

( ) Xxxf ∈∀≥′ 0 X∈ς ⇒ ( ) 0≥′ ςf

Järelikult ( ) ( ) 012 ≥− xfxf ⇒ ( ) ( )21 xfxf ≤ ■

Lokaalsed ekstreemumid Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on kohal a lokaalne maksimum, kui ( )aU ε∃ nii, et ( ) ( ) ( )aUxxfaf ε∈= max .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εεε +−∈∀≥⇔∈= aaxxfafaUxxfaf ,max

Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on kohal a lokaalne miinimum, kui ( )aU ε∃ nii, et ( ) ( ) ( )aUxxfaf ε∈= min .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )εεε +−∈∀≤⇔∈= aaxxfafaUxxfaf ,min


25

Teoreem: Kui funktsioon f on pidev kriitilises punktis a, kusjuures ümbruses ( )aa ,ε− on ( ) 0>′ xf ( ( ) 0<′ xf ) ja ümbruses ( )ε+aa, on ( ) 0<′ xf (vastavalt ( ) 0>′ xf ), siis on funktsioonil f

kohal a lokaalne maksimum (vastavalt lokaalne miinimum). Kui tuletis säilitab hulgas ( ) ( )εε +∪− aaaa ,, märgi, siis punktis a lokaalne ekstreemum puudub.

Tõestus: Tõestame maksimumi osa. Olgu funktsioon f kasvav, kui ( )aax ,ε−∈ ja kahanev kui ( )ε+∈ aax , . Olgu yx, sellised, et ayx << .

Kuna f on kasvav, kui ( )aax ,ε−∈ , siis ( ) ( )yfxf < .

Kuna f on pidev kohal a, siis ( ) ( )yfxfayay −→−→

≤ limlim .

( ) ( )xfxfay

=−→

lim ( ) ( )afyfay

=−→

lim ⇒ ( ) ( )afxf ≤ ( )aax ,ε−∈∀

Olgu yx, sellised, et xya << .

Kuna f on kahanev, kui ( )ε+∈ aax , , siis ( ) ( )xfyf > .

Kuna f on pidev kohal a, siis ( ) ( )xfyfayay −→−→

≥ limlim .

( ) ( )afyfay

=−→

lim ( ) ( )xfxfay

=−→

lim ⇒ ( ) ( )xfaf ≥ ( )ε+∈∀ aax ,

Kuna ( ) ( )afxf ≤ ( ) ( )εε +∪−∈∀ aaaax ,, , siis ( ) ( ) ( ) ( )εε +∪−∈= aaaaxxfaf ,,max ■

Teoreem: Olgu n korda diferentseeruval funktsioonil järgmine omadus ( ) ( ) ( ) ( ) 0... 1 ===′′=′ − afafaf n ja ( ) ( ) 0≠af n .

Kui n on paaritu (s.t. 12 += pn ), siis pole funktsioonil f kohal a lokaalset ekstreemumit.

Kui n on paarisarv (s.t. pn 2= ), siis juhul kui ( ) ( ) 0<af n on funktsioonil f kohal a lokaalne maksimum. Juhul kui ( ) ( ) 0>af n on funktsioonil f kohal a lokaalne miinimum.

Tõestus: Tõestus baseerub Taylori valemil. Taylori valem funktsiooni f esimese tuletise jaoks:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x

nxaf

nxafxafxafafxaf n

nn

nn Δ+

−Δ

+−

Δ++

Δ′′′+Δ′′+′=Δ+′ −

−−−

1

121

2

!1!2...

2α

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xnxafxaf n

nn Δ+

−Δ

=Δ+′ −

−

1

1

!1α ⇒ ( ) :xU Δ∃ ( )[ ] ( ) ( )[ ]1sgnsgn −Δ=Δ+′ nn xafxaf ,

( )xn Δ−1α on (n-1)-järku lõpmatu väike suurus, mis ei mõjuta märki

Kui 12 += pn , siis ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]afxafxaf npn sgnsgnsgn 112 =Δ=Δ+′ −+ . Seega xΔ ei mõjuta märki ning funktsioonil f pole kohal a lokaalset ekstreemumit. Kui pn 2= , siis ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) xafxafxafxaf nnpn Δ⋅=Δ=Δ=Δ+′ − sgnsgnsgnsgnsgn 12 , Seega funktsiooni f märk oleneb xΔ -st. Kui ( ) ( ) 0<af n , siis funktsiooni f esimese tuletise ( )xf ′ märk on positiivne (funktsioon f on kasvav), kui 0<Δx ning negatiivne (funktsioon f on kahanev), kui 0>Δx , seega on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. Kui ( ) ( ) 0>af n , siis funktsiooni f esimese tuletise ( )xf ′ märk on negatiivne (funktsioon f on kahanev), kui 0<Δx ning positiivne (funktsioon f on kasvav), kui 0>Δx , seega on funktsioonil f punktis a lokaalne miinimum. ■


26

Joone kumerus Definitsioon: Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X kumer (ehk kumer üles) kui selle piirkonna igas punktis kulgeb puutuja ülalpool tema graafikut. Öeldakse, et funktsioon f on piirkonnas X nõgus (ehk kumer alla) kui selle piirkonna igas punktis kulgeb puutuja allpool tema graafikut.

Teoreem: Olgu funktsioon f diferentseeruv piirkonnas X. Joon ( )xfy = on kumer (nõgus) piirkonnas X parajasti siis, kui funktsiooni f tuletis on monotoonselt kahanev (vastavalt kasvav) selles piirkonnas. Tõestus: Tõestame teoreemi kumeruse korral.

Olgu funktsioon f kumer piirkonnas X. Näitame, et ( )xf ′ on monotoonselt kahanev.

( ) ( )afxfRQ −= - funktsiooni muut ehk yΔ

( ) ( )axafRS −⋅′= - puutuja ordinaadi muut (diferentsiaal)

RSRQ ≤ ( ) ( ) ( ) ( )axafafxf −⋅′≤−

+ ( ) ( ) ( ) ( )xaxfxfaf −⋅′≤−

( ) ( ) ( ) ( )axxfaxaf −⋅′−−⋅′≤0

( ) ( )xfaf ′−′≤0 ⇒ ( ) ( )afxf ′≤′ Järelikult f ′ on monotoonselt kahanev, sest ax > .

Olgu ( )xf ′ monotoonselt kahanev. Näitame, et joone puutuja on ülalpool graafikut. Olgu ax > , s.t. 0>− ax . Lagrange’i keskväärtusteoreemi põhjal ( ) ( ) ( ) ( )axfafxf −⋅′=− ς , kus xa << ς .

Kuna ( )xf ′ on monotoonselt kahanev, siis ( ) ( )aff ′≤′ ς .

Järelikult ( ) ( ) ( ) ( )axafafxf −⋅′≤− ,

kus ( ) ( )afxf − on funktsiooni muut ning ( ) ( )axaf −⋅′ on diferentsiaal ehk puutuja ordinaadi muut. Kuna puutuja ordinaadi muut on suurem kui funktsiooni muut, asub puutuja ülalpool graafikut. Järelikult on f kumer. ■

Käänupunktid Definitsioon: Kumerat joont, millel ei ole ühtegi sirgjoonelist tükki, nimetatakse rangelt kumeraks. Definitsioon: Nõgusat joont, millel ei ole ühtegi sirgjoonelist tükki, nimetatakse rangelt nõgusaks.

Definitsioon: Joone ( )xfy = punkti ( )( )afa, , kus on olemas puutuja, nimetatakse käänupunktiks, kui leiduvad niisugused ühepoolsed ümbrused ( )aa ,ε− ja ( )ε+aa, , et ühes neist on joon rangelt kumer ja teises rangelt nõgus. Järeldus: Tuletisel on käänupunktis lokaalne ekstreemum (lõplik või lõpmatu).

x a 0

y

x

S

Q

R


27

IV INTEGRAAL Määramata integraal

Algfunktsioon ja määramata integraali mõiste Definitsioon: Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas

( ) ( )xfxF =′ .

Sama tingimuse võib esitada ka kujul

( ) ( )xfxFdxd

= ehk ( ) ( )dxxfxdF = .

Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F, siis on tal lõpmata palju algfunktsioone G, mis kõik avalduvad kujul

( ) ( ) CxFxG += , kus constC = .

Definitsioon: Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka piirkonnas X nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks piirkonnas X ja tähistatakse sümboliga

( )dxxf∫ .

Seega võime kirjutada: ( ) ( ) CxFdxxf +=∫ , kui ( ) ( )xfxF =′ .

Valemis nimetatakse: ∫ – integraalimärk; ( )dxxf – integraalialune avaldis; ( )xf – integraalialune (integreeritav) funktsioon, integrand; x – integreerimismuutuja; C – integreerimiskonstant. Funktsiooni f määramata integraali leidmist nimetatakse funktsiooni f integreerimiseks. Määramata integraali leidmine ja tuletise leidmine on pöördtehted, s.t.

( )( ) ( )xfdxxf =′

∫ , ( ) ( ) CxFdxxF +=′∫ .

Määramata integraali diferentsiaal ja diferentsiaali määramata integraal avalduvad järgmiselt: ( ) ( )dxxfdxxfd =∫ , ( ) ( ) CxFxdF +=∫ .


28

Funktsiooni vu βα + määramata integraal

Teoreem: Kui leiduvad ( )dxxu∫ ja ( )dxxv∫ , siis suvaliste ∈βα , R korral on olemas ka

( ) ( )[ ]∫ + dxxvxu βα ja kehtib seos

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ dxxvdxxudxxvxu βαβα .

Tõestus: ( ) ( ) ( ) ( )xuxUCxUdxxu =′⇒+=∃∫ ( ) ( ) ( ) ( )xvxVCxVdxxv =′⇒+=∃∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]′+=′+′=+ xVxUxVxUxvxu βαβαβα ⇒

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] =+++=++=′+=+ ∫∫ vu CxVCxUCxVxUdxxVxUdxxvxu βαβαβαβα

( ) ( )∫∫ += dxxvdxxu βα ■

Järeldused: ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=± dxxvdxxudxxvxu , ( ) ( )∫∫ = dxxudxxu αα

Muutujate vahetus määramata integraalis Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas X ja ( )tx ϕ= on diferentseeruv piirkonnas T, kusjuures ( ) TtXt ∈∀∈ϕ , siis kehtib võrdus

( ) ( )[ ] ( )∫∫ ′= dtttfdxxf ϕϕ .

Tõestus:

Liitfunktsiooni diferentseerimise reegli põhjal ( ) ( )ϕϕϕ ′=′⋅ FF

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) =+=+=+⋅=′⋅=′′=′′=′ ∫∫∫∫ CxFCtFCtFdttFdtFdtttFdtttf ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

( ) ( )∫∫ =′= dxxfdxxF ⇒ ( ) ( )[ ] ( )∫∫ ′= dtttfdxxf ϕϕ ■

Diferentsiaali märgi alla viimine: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )∫∫ =′ tdtfdtttf ϕϕϕϕ .

Ositi integreerimine Teoreem: Kui piirkonnass X funktsioonid ( )xuu = ja ( )xvv = on diferentseeruvad ning on olemas integraal ∫ vdu , siis selles piirkonnas X on olemas ka integraal ∫udv ja kehtib seos

∫∫ −= vduuvudv .

Tõestus:

Korrutise diferentseerimisreegli põhjal ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xuxvxvxuxvxu ′+′=′

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=′+′=′+′=′ xduxvxdvxudxxuxvdxxvxudxxuxvxvxudxxvxu

∫∫∫∫ −=⇒+= vduuvudvvduudvuv ■


29

Riemanni integraali mõiste Olgu funktsioon f antud lõigus [ ]ba, , kus ba < . Jaotame lõigu [ ]ba, punktidega

bxxxa n =<<<= ...10

osalõikudeks [ ] { }nixxe iii ,...,1,1 ∈= − . Valime suvaliselt punktid ii e∈ξ ja moodustame summa

( )∑=

Δ=n

iii xf

1ξσ ,

kus 1−−=Δ iii xxx .

Seda summat nimetatakse funktsiooni f Riemanni integraalsummaks lõigus [ ]ba, .

Olgu λ osalõikude ie suurim pikkus, s.o.

nixi ≤≤Δ= 1maxλ .

Definitsioon: Arvu ∫ nimetatakse integraalsumma

( )∑=

Δ=n

iii xf

1

ξσ

piirväärtuseks protsessis 0→λ , kui iga arvu 0>ε korral leidub arv 0>δ nii, et kehtib võrratus εδ <−I , kui δλ < ,

sõltumata lõigu [ ]ba, jaotusviisist ja punktide iξ valikust, ja kirjutatakse σ

λ 0lim→

=I .

Definitsioon: Kui on olemas integraalsumma piirväärtus ∫ protsessis 0→λ , siis funktsiooni f nimetatakse (Riemanni mõttes) integreeruvaks lõigus [ ]ba, ja arvu ∫ nimetatakse funktsiooni f Riemanni integraaliks (ehk määratud integraaliks) lõigus [ ]ba, ja kirjutatakse

( )∫=b

a

dxxfI .

Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [ ]ba, nimetatakse integreerimislõiguks. Kõigi Riemanni mõttes integreeruvate funktsioonide hulka märgime [ ]baL , .


30

Integreeruva funktsiooni tõkestatus Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [ ]ba, tõkestatud. Näitame, et funktsioon pole integreeruv.

bxxxa n =<<<< ...10

Kuna f pole lõigus [ ]ba, tõkestatud, siis [ ]ii xx ,1−∃ , kus f pole tõkestatud.

Selles lõigus ( ) MfM i >∃∀ ξ

( ) ( ) ( )∑∑≠==

Δ+Δ=Δ=n

ikk

kkii

n

kkk xfxfxf

11ξξξσ ( ) ( )∑

≠=

Δ−Δ≥n

ikk

kkii xfxf1

ξξσ ( ) mxfn

ikk

kk =Δ∑≠=1

ξ

Valime ( )if ξ nii, et ( )i

i xmMf

Δ+

>ξ . Seega Mmxx

mMi

i

=−Δ⋅Δ+

>σ

Seega pole Riemanni integraalsumma lõigus [ ]ba, tõkestatud ning puudub ka integraalsumma piirväärtus ehk Riemanni integraal. ■ Teoreem: Lõigus pidev funktsioon on Riemanni mõttes integreeruv selles lõigus. (fakt) Lõigus Riemanni mõttes integreeruv funktsioon ei pruugi olla pidev selles lõigus S – kõigi määratud funktsioonide hulk lõigus [ ]ba, .

T – kõigi tõkestatud funktsioonide hulk lõigus [ ]ba, .

L – kõigi Riemanni mõttes integreeruvate funktsioonide hulk lõigus [ ]ba, .

P – kõigi pidevate funktsioonide hulk lõigus [ ]ba, .

D – kõigi diferentseeruvate funktsioonide hulk lõigus [ ]ba, . DPLTS ⊃⊃⊃⊃ – range sisalduvus (fakt)

Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on integreeruv ka selle lõigu suvalises osalõigus. (fakt)

s.t. ( )∫∃M

m

dxxf Mbam ≤<≤ ⇒ ( )∫∃b

a

dxxf

Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis on selles lõigus integreeuv ka fg . (fakt)

s.t. ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∃⇒∃∧∃b

a

b

a

b

a

dxxgxfdxxgdxxf


31

Funktsiooni gf βα + integreeruvus

Teoreem: Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus [ ]ba, , siis suvaliste ∈βα , R korral on integreeruv ka funktsioon gf βα + ja kehtib seos

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf βαβα .

Tõestus: Tõestus taandub piirväärtuse omadustele. Kuna funktsioonid f ja g on integreeruvad lõigus [ ]ba, , siis

( )∫=∃b

a

dxxfI1 ja ( )∫=∃b

a

dxxgI 2 , seega ( )∑=

Δ=∃n

iii xf

11 ξσ ja ( )∑

=

Δ=∃n

iii xg

12 ξσ .

bxxxa n =<<<< ...10 [ ]iii xx ,1−∈ξ ixΔ= maxλ

( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 211111

βσασξβξαξβξαξβασ +=Δ+Δ=Δ+=Δ+= ∑∑∑∑====

n

iii

n

iii

n

iiii

n

iii xgxfxgfxgf

( ) 2120102100limlimlimlim II βασβσαβσασσλλλλ

+=+=+=→→→→

Kuna 1I∃ ja 2I∃ , siis ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+=∃→

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf βαβασλ 0lim . ■

Järeldused: ( ) ( )∫∫ =b

a

b

a

dxxfdxxf αα , ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

Definitsiooni täiendused: ( ) ( )∫∫ −=<b

a

a

b

dxxfdxxfba : , ( ) 0:=∫a

a

dxxf

Riemanni integraali aditiivsuse omadus Teoreem: Olgu funktsioon f integreeruv lõigus I ja olgu cba ,, selle lõigu punktid. Kehtib seos

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf .

Tõestus: Tõestame juhtumi bca << . Kuna f on integreeruv lõigus I, siis on ta integreeruv ka I osalõikudes, mille määravad punktid a, b, c. Seega on olemas kõik seoses esinevad integraalid.

bxxxcxxxxa nnmmm =<<<<=<<<<< −+− 11110 ......

( ) σλ

′=∃→′∫ 0

limc

a

dxxf , kus ( )∑=

Δ=′m

iii xf

1

ξσ , ( ) σλ

′′=∃→′′∫ 0

limb

c

dxxf , kus ( )∑+=

Δ=′′n

miii xf

1

ξσ

{ }mixi ,...,1max ∈Δ=′λ , { }nmixi ,...,1max +∈Δ=′′λ

( ) σλ 0lim→

=∃∫b

a

dxxf , kus ( )∑=

Δ=n

iii xf

1ξσ { }nixi ,...,1max ∈Δ=λ λλλλ ≤′′≤′

( ) ( ) ( )∑∑∑+===

Δ+Δ=Δn

miii

m

iii

n

iii xfxfxf

111ξξξ ⇒ σσσ ′′+′= ⇒

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=′′+′=′′+′=′′+′==→′′→′→→→→

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf σσσσσσσλλλλλλ 000000limlimlimlimlimlim ■


32

Riemanni integraali monotoonsuse omadus Teoreem: Kui lõigus [ ]ba, integreeruvad funktsioonid f ja g rahuldavad tingimust ( ) ( ) [ ]baxxgxf ,∈∀≤ , siis

( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

a

dxxgdxxf .

Tõestus: Moodustame funktsiooni ( ) ( ) ( )xfxgxF −= , siis ( ) [ ]baxxF ,0 ∈∀≥ Kuna f ja g on integreeruvad, on integreeruv ka F.

( ) σλ 0lim→

=∫b

a

dxxF , kus ( )∑=

Δ=n

iii xF

1ξσ ( ) 0≥iF ξ 0≥Δ ix , sest bxxxa n =<<<< ...10

Seega 0≥σ ⇒ ( ) 0lim0

≥= ∫→

b

a

dxxFσλ

⇒ ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0≥−=−= ∫∫∫∫b

a

b

a

b

a

b

a

dxxfdxxgdxxfxgdxxF

⇒ ( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

a

dxxgdxxf ■

Integraalarvutuse I keskväärtusteoreem Teoreem: Kui lõigus [ ]ba, on funktsioonid f ja g integreeruvad ja g säilitab märki, siis

( ) ( )[ ] [ ]baxxfxf ,sup,inf ∈∈∃μ nii, et

( ) ( ) ( )∫∫ =b

a

b

a

dxxgdxxgxf μ

Tõestus: Tõestame juhtumi kui ( ) [ ]baxxg ,0 ∈∀> .

( ) ( ) [ ]baxxMxm ,supinf ∈==

⇒ ( ) [ ] ( )xgbaxMxfm ⋅∈∀≤≤ |,

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]baxxgMxgxfxgm ,∈∀⋅≤⋅≤⋅ Riemanni integraali monotoonsuse omaduse põhjal

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )∫∫∫∫ ∈∀≤≤b

a

b

a

b

a

b

a

dxxgbaxdxxgMdxxgxfdxxgm :|,

( ) ( )

( )[ ]baxM

dxxg

dxxgxfm b

a

b

a ,∈∀≤≤

∫

∫, siit

( ) ( )

( )μ=

∫

∫b

a

b

a

dxxg

dxxgxf

⇒ ( ) ( ) ( )∫∫ =b

a

b

a

dxxgdxxgxf μ , kus [ ]Mm,∈μ ( ) ( ) [ ]baxxMxm ,supinf ∈== ■

Järeldus: Kui funktsioon f on pidev lõigus [ ]ba, , siis [ ]ba,∈∃η nii, et

( ) ( ) ( )abfdxxfb

a

−⋅=∫ η .


33

Riemanni integraal ülemise raja funktsioonina Olgu funktsioon f integreeruv lõigus [ ]ba, ning arv [ ]bax ,∈ .

Siis võime moodustada Riemanni integraali ülemise raja funktsioonina: ( ) ( ) [ ]baxdttfxGx

a

,: ∈= ∫

Teoreem: Kui f on integreeruv lõigus [ ]ba, , siis G on pidev selles lõigus.

Tõestus: Näitame, et G on pidev, s.t. 0lim0

=Δ→Δ

Gx

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫Δ+Δ+Δ+

=+=−=−Δ+=Δxx

x

a

x

xx

a

x

a

xx

a

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxGxxGG

Integraalarvutuse I keskväärtusteoreemi põhjal kui ( ) 1=xg , siis

( ) ( )[ ] [ ]*,sup,inf xxxxxx Δ+∈∈∃μ nii, et ( ) ( ) xxxxdxxfxx

x

Δ⋅=−Δ+⋅=∫Δ+

μμ

Seega ( )[ ]

( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ]baxxxxxxxxxbax

xfxfxxfxf,*,*,,

supsupinfinf∈Δ+∈Δ+∈∈

≤≤Δ≤≤ μ , kus ( )[ ]

mxfbax

=∈ ,

inf , ( )[ ]

Mxfbax

=∈ ,

sup

Seega ( ) Mxm ≤Δ≤ μ , s.t. ( )xΔμ on tõkestatud, sest funktsioon f on integreeruvuse tõttu tõkestatud.

( ) 0limlim00

=ΔΔ=Δ→Δ→Δ

xxGxx

μ , sest 0→Δx ja ( )xΔμ on tõkestatud. Seega on funktsioon G pidev. ■

Teoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigus [ ]ba, , siis on G diferentseeruv selles lõigus, kusjuures fG =′ , s.t. funktsioon G on funktsiooni f algfunktsioon.

Tõestus: Funktsioon f on pidevuse tõttu lõigus [ ]ba, integreeruv, seega on G defineeritud korrektselt.

Näitame, et G on diferentseeruv selles lõigus ja fG =′ , s.t. ( ) [ ]baxxfxG

x,lim

0∈=

ΔΔ

→Δ

( ) ( )xx

xxxG

Δ=Δ

Δ⋅Δ=

ΔΔ μμ , kus ( ) ( ) ( )[ ] [ ]*,sup,inf xxxxxfxfx Δ+∈∈Δμ

Kuna lõigus pidev funktsioon omab igat väärtust, mis asub tema ekstremaalsete väärtuste vahel, siis [ ]*, xxx Δ+∈∃ξ : ( ) ( )xf Δ= μξ . Kui 0→Δx , siis x→ξ . ( ) ( ) ( )xfff

xx==

→→Δξξ

ξlimlim

0, sest f on pidev.

( ) ( ) ( )xffxxG

xxx==Δ=

ΔΔ

→Δ→Δ→Δξμ

000limlimlim Seega ( ) ( ) [ ]baxxfxG ,∈∀=′ ■

Märkus: [ ] [ ] [ ] [ ] 0,,:*,0,,:*, <ΔΔ+=Δ+>ΔΔ+=Δ+ xxxxxxxxxxxxxx

Newton-Leibnizi valem

Teoreem: Kui f on pidev lõigus [ ]ba, , siis kehtib Newton-Leibnizi valem ( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a

−=∫ ,

kus funktsioon F on funktsiooni f mingi algfunktsioon. Tõestus: Moodustame Riemanni integraali ülemise raja funktsioonina

( ) ( ) [ ]baxdttfxGx

a

,∈= ∫ , mis on funktsiooni f algfunktsioon, kus 0=C

Algfunktsioon ( ) ( ) [ ]baxCxGxF ,∈∀+= , kus C on mingi konstant

( ) ( )∫=b

a

dttfbG ⇒ ( ) ( ) CbGbF += , ( ) ( ) 0== ∫a

a

dttfaG ⇒ ( ) ( ) CCaGaF =+=

( ) ( ) ( ) ( )aFbFCbFbG −=−= ⇒ ( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a

−=∫ ■


34

Päratud integraalid Tõkestamata funktsiooni integraal Definitsioon: Kui funktsioon f on tõkestamata punkti b ümbruses, siis tema integraaliks lõigus [ ]ba, nimetatakse piirväärtust

( ) ( )∫∫ −→=

l

abl

b

a

dxxfdxxf lim . (1)

Definitsioon: Kui funktsioon f on tõkestamata punkti a ümbruses, siis tema integraaliks lõigus [ ]ba, nimetatakse piirväärtust

( ) ( )∫∫ +→=

b

lal

b

a

dxxfdxxf lim . (2)

Definitsioon: Kui funktsioon f on tõkestamata lõigu [ ]ba, sisepunkti c ümbruses, siis tema integraaliks lõigus [ ]ba, nimetatakse piirväärtust

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf . (3)

Niiviisi defineeritud integraale nimetatakse päratuteks integraalideks. Kui vastav piirväärtus eksisteerib ja on lõplik, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub. Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas [ )ba, , siis päratu integraali (1) korral kehtib võrdus

( ) ( ) −=∫b

a

b

a

xFdxxf .

Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas ( ]ba, , siis päratu integraali (2) korral kehtib võrdus

( ) ( ) b

a

b

a

xFdxxf+

=∫ .

Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas [ ) ( ]bcca ,, ∪ , siis päratu integraali (3) korral kehtib võrdus

( ) ( ) ( ) b

c

c

a

b

a

xFxFdxxf+

− +=∫ .


35

Lõpmatute rajadega integraalid Definitsioon: Kui funktsioon f on määratud piirkonnas [ )∞,a ja on integreeruv igas lõigus [ ] [ )∞⊂ ,, aca , siis tema integraaliks piirkonnas [ )∞,a nimetatakse piirväärtust

( ) ( )∫∫ ∞→

∞

=c

ac

a

dxxfdxxf lim .

Definitsioon: Kui funktsioon f on määratud piirkonnas ( ]b,∞− ja on integreeruv igas lõigus [ ] ( ]bbc ,, ∞−⊂ , siis tema integraaliks piirkonnas ( ]b,∞− nimetatakse piirväärtust

( ) ( )∫∫ −∞→∞−

=b

cc

b

dxxfdxxf lim .

Niiviisi defineeritud integraale nimetatakse päratuteks integraalideks. Kui vastav piirväärtus eksisteerib ja on lõplik, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub. Definitsioon: Kui funktsioon f on määratud piirkonnas ( )∞∞− , , siis tema päratuks integraaliks selles piirkonnas nimetatakse piirväärtust

( ) ( ) ( )∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=c

c

dxxfdxxfdxxf ,

kus c on suvaline arv. Seejuures öeldakse, et see päratu integraal koondub, kui võrduses paremal pool mõlemad integraalid koonduvad. Muudel juhtudel öeldakse, et ta hajub. Antud integraal ei olene arvu c valikust. Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas [ )∞,a , siis kehtib võrdus

( ) ( ) ∞∞

=∫ aa

xFdxxf , kus

( ) ( ) ( )aFxFxFxa

−=∞→

∞ lim .

Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas ( ]b,∞− , siis kehtib võrdus

( ) ( ) bb

xFdxxf∞−

∞−

=∫ , kus

( ) ( ) ( )xFbFxFx

b

−∞→∞−−= lim .

Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas ( )∞∞− , , siis kehtib võrdus

( ) ( ) ∞∞−

∞

∞−

=∫ xFdxxf , kus

( ) ( ) ( )xFxFxFxx −∞→∞→

∞

∞−−= limlim .


36

V READ Arvread

Lõpmatu arvrea ehk rea all mõeldakse avaldist

( ) ......100

++++== ∑∞

=n

nnn uuuuu , (1)

kus ...,, 10 uu on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks.

Suvalise indeksiga rea liiget nu nimetatakse rea üldliikmeks.

Definitsioon: Jada ( )nU , kus

∑=

=n

kkn uU

0

, (2)

nimetatakse rea osasummade jadaks. Igale reale (1) võib koostada tema osasumma jada (2) ja vastupidi, kui on antud rea osasummade jada (2), siis võrduste

( )...,2,1, 100 =−== − nUUuUu nnn

abil võime saada rea (1). Seega võime realt alati üle minna tema osasummade jadale ja vastupidi. Definitsioon: Kui eksisteerib (lõplik või lõpmatu) piirväärtus

nnUU

→∞= lim , (3)

siis seda piirväärtust U nimetatakse rea (1) summaks ja kirjutatakse

Uun

n =∑∞

=0

.

Definitsioon: Kui rea (1) summa on lõplik, s.o. kui tema osasummade jada (2) koondub summaks U , siis öeldakse, et rida (1) koondub summaks U . Kui piirväärtus (3) ei eksisteeri või on lõpmatu, s.o. kui osasummade jada (2) ei koondu, siis öeldakse, et rida (1) hajub.

Teoreem: Kui rida ( )nu koondub, siis 0lim =→∞ nn

u .

s.t. koonduva rea üldliige läheneb nullile, s.o. jada ( )nu on nulljada.

Järeldus: Kui 0lim ≠→∞ nn

u , siis rida ( )nu hajub. Kui 0lim =→∞ nn

u , siis rida ( )nu ei pruugi veel koonduda.

Jada ∑∞

=0n

nq nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Geomeetriline jada on koonduv, kui 1<q .

Jada ∑∞

=0

1n n

nimetatakse harmooniliseks jadaks. Harmoonilie jada on hajuv.

Omadus: Kui read ∑∞

=0kku ja ∑

∞

=0kkv on koonduvad, siis suvaliste ∈βα , R korral on koonduv ka rida

( )∑∞

=

+0k

kk vu βα

ja kehtib seos

( ) ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

+=+000 k

kk

kk

kk vuvu βαβα .

Järeldused: ( ) ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

±=±000 k

kk

kk

kk vuvu , ( ) ∑∑∞

=

∞

=

=00 k

kk

k uccu


37

Monotoonse jada koonduvus Teoreem: Monotoonne jada on koonduv parajasti siis, kui ta on tõkestatud. Tõestus: Tõestame teoreemi monotoonselt kasvava jada korral. Jada ( )nu on monotoonselt kasvav, s.t. Nnuu nn ∈∀≥+1 .

Jada ( )nu on tõkestatud, s.t. ∈∃M R nii, et NnMun ∈∀< .

Olgu monotoonne jada koonduv, s.t. 0lim =∃∞→ nn

u .

Kuna iga piirväärtust omav suurus on tõkestatud, siis 0>∃M nii, et NnMun ∈∀≤ .

Olgu monotoonselt kasvav jada tõkestatud. Näitame, et see jada on koonduv, s.t. nn

U∞→

∃ lim .

Kuna jada on monotoonselt kasvav ning tõkestatud, siis on monotoonselt kasvav ning tõkestatud ka jada osasummade jada, s.t. { }NnU n ∈| on tõkestatud reaalarvude hulk. Seega n

NnUU

∈=∃ sup .

1) NnUU n ∈∀≥ ; 2) 0

:0 0 nUUNn <−∈∃>∀ εε .

Kuna osasummade jada on monotoonselt kasvav, siis nn UUUnn ≤<−>∀>∀000 εε

0nnUUUUUU nnn >∀<−⇒<−⇒<− εεε

Seega nNn

nnUUU

∈∞→==∃ suplim . ■

Järeldus: Positiviine rida on koonduv parajasti siis, kui tema osasummade jada on tõkestatud.

Järeldus (I võrdluslause): Olgu Nkvu kk ∈∀≤≤0 .

Kui rida ∑∞

=0kkv koondub, siis koondub ka rida ∑

∞

=0kku .

Kui rida ∑∞

=0kku hajub, siis hajub ka rida ∑

∞

=0kkv .

Tõestus:

Nkvu kk ∈∀≤≤0 ⇔ ∑∑∞

=

∞

=

≤≤00

0k

kk

k vu

Kui rida ∑∞

=0kkv koondub, siis MvuM

kk

kk <≤≤>∃ ∑∑

∞

=

∞

= 000:0 .

Kui rida ∑∞

=0kku hajub, siis ∑∑

∞

=

∞

=

≤<≤>∃00

0:0k

kk

k vumm . ■

Järeldus (Integraaltunnus): Kui rida ∑∞

=1nnu ( )nfun = , kus f on positiivne funktsioon lõigus [ )∞,1 , on

monotoonselt kahanev, siis see rida koondub parajasti siis, kui koondub päratu integraal

( )∫∞

1

dxxf .

Rida ∑∞

=0

1n nα nimetatakse üldistatud harmooniliseks reaks.

Kui 1>α , siis see rida koondub. Kui 1=α , siis see rida hajub. Kui 1<α , siis see rida kindlasti hajub, sest funktsioon pole tõkestatud


38

Vahelduvate märkidega read Definitsioon: Öeldakse, et rida on vahelduvate märkidega, kui ta esitub kujul

( )∑∞

=

−0

1k

kk a , kus Nkak ∈∀> 0 .

Teoreem (Leibnizi tunnus): Vahelduvate märkidega rida ( )∑∞

=

−0

1k

kk a on koonduv kui 0→na

monotoonselt, s.t. nn aa ≤+1 , 0→na .

Tõestus: ( ) ( ) ( ) 0... 121223210 ≥=−++−+− ++ nnn Uaaaaaa , sest ( ) ( ) ...,0,0 3210 ≥−≥− aaaa

1212 −+ ≥ nn UU , s.t. ( )12 +nU on montoonne

( ) ( ) ( ) 0120121221243210 ... aaaUaaaaaaaa nnnnn ≤−≤=−−++−−−− +++− ,

sest ( ) ( ) ...,0,0 4321 ≥−≥− aaaa ning 012 ≥+na , sest ...,0,00 10 ≥≥⇒→ aaan

Seega on ( )12 +nU nii monotoonne kui tõkestatud. Sama konstruktsiooni tõttu on ka jada ( )12 −nU nii monotoonne kui tõkestatud, seega on ta koonduv, s.t. UU nn

=∃ −∞→ 12lim .

nnn aUU 2122 += − UUaUU nnnnnn=+=+=

∞→−∞→∞→0limlimlim 2122 , sest 0→na

UUUUUU nnnnnn=∃⇒=∧=

∞→∞→−∞→limlimlim 212 ■

Absoluutse koonduvuse mõiste

Definitsioon: Kui rea ∑∞

=0nnu korral koondub rida ∑

∞

=0nnu , siis öeldakse, et rida ∑

∞

=0nnu koondub

absoluutselt. Kui rida ∑∞

=0nnu koondub, aga rida ∑

∞

=0nnu ei koondu, siis öeldakse, et rida ∑

∞

=0nnu

koondub tingimisi. Teoreem: Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. (fakt)

Üldistatud Cauchy tunnus Tähistame: k

nknnnuu

≥= suplimlim - kõikvõimalike osajadade maksimaalse osajada summa piirväärtus

Teoreem: Olgu ∑∞

=0nnu positiivne rida ja olgu n

nnuC lim= . Kui

a) 1<C , siis rida ( )nu koondub;

b) 1>C , siis rida ( )nu hajub, kusjuures 0lim ≠nnu (tarvilik tingimus pole täidetud)

c) 1=C , siis tunnus ei tööta, s.t. leidub nii hajuvaid kui koonduvaid ridu, mille korral 1=C . Tõestus: Tõestame juhtumi 1<C . Kuna 1<C , siis 1: <<∃ qCq .

nnn

uC lim= ⇒ quCn nn <=∃ : ⇒ n

n qun <∃

I võrdluslause põhjal: ∑∑∞

=

∞

=

≤⇒<00 k

k

kk

nn ququ

Kuna ∑∞

=0k

kq on geomeetriline jada ja 1<q , siis ta koondub. Seega koondub ka jada ∑∞

=0kku . ■


39

Astmeread Definitsioon: Öeldakse, et rida on astmerida, kui ta esitub kujul

∑∞

=0n

nn xa , kus ∈na R, x - sõltumatu muutuja.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∃= ∑=

n

k

kknxaxX

0lim| - astmerea koonduvuse piirkond

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∃= ∑=

n

k

kkn

xaxA0

lim| - astmerea absoluutse koonduvuse piirkond

nnn

aR

lim1

= - astmerea koonduvusraadius

Teoreem (Cauchy-Hadamanrdi valem):

Astmerida ∑∞

=0n

nn xa koondub absoluutselt piirkonnas ( )RR,− ja hajub kui Rx > .

Tõestus:

Kasutame üldistatud Cauchy tunnust rea ∑=

n

k

kk xa

0 puhul.

Rx

axxaC nnn

n nnn

=== limlim

1) ( )RRxRxRx

C ,1 −∈⇔<⇔<= , siis rida ∑=

n

k

kk xa

0 koondub, s.t. rida ∑

=

n

k

kk xa

0 koondub

absoluutselt. Kuna iga absoluutselt koonduv rida on koonduv, siis rida ∑=

n

k

kk xa

0 on koonduv;

2) RxRx

C >⇔>= 1 , siis rida ∑=

n

k

kk xa

0 hajub, kusjuures ( ) ( ) 0lim0lim ≠⇒≠ k

kn

kkn

xaxa .

Seega rida ∑=

n

k

kk xa

0 hajub. ■

Funktsiooni esitus astmereana

Maclaurini valemi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xaxfn

xfxffxf nnn +++′′+′+= 0

!1...0

2100 2

võime esitada kujul ( )( ) ( ) ( )xxk

fxf nk

n

k

k

α+= ∑=0 !

0 , kus ( )

0lim0

=→ n

n

x xxα

. ( 1!0 = ja ( ) ( ) ( )xfxf =0 )

( ) 0lim =∞→

xnnα ⇒ ( )

( ) ( ) k

k

k

xk

fxf ∑∞

=

=0 !

0

Seega on iga funktsioon f esitatav astmereane järgmiselt:

( )( ) ( )∑

∞

=

⋅=0 !

0n

nn

xn

fxf

matemaatiline analüüs i loengu konspekt

Documents

informaatika teaduskonnas 04 05

kordamine matemaatilise analsi

sisepunktfermat teoreemi phjal

pidevad oma mramispiirkonnas

telje sihis kaugusele

lagrangei keskvrtusteoreemi phjal

jrku lpmata vike

pidevuse tttu ka