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GUÍA: UNIDAD 1, ÁLGEBRA EN LOS REALES
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UNIDAD 1
Pensamiento:
“ La escala de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números “
Blavatsky
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1. ÁLGEBRA EN LOS REALES
1.1 Razones y Proporciones
Definición 1: Se denomina Razón al cuociente entre dos números o de dos
magnitudes de una misma especie. Se denota por:
0b,IRb,ab:aoba
≠∈∀
Se lee: “a es a b”
a: antecedente de la razón.
b: consecuente de la razón.
Definición 2: Toda razón tiene un cuociente, denominado Valor de la razón. Este
valor es solo un número, por lo tanto, es independiente de toda unidad
en que estén expresados los términos de la razón.
,IRkkba
∈= k = valor de la razón
Definición 3: Se llama Proporción a la igualdad de dos razones. Una proporción se
denota por:
Se lee : “a es a b como c es a d ”
Los elementos que componen la proporción se denominan términos de
la proporción. En particular: a, d términos extremos; b, c términos
medios.
Cada uno de estos cuatro términos se llama una cuarta proporcional
respecto de los tres restantes.
Los cuatro términos se dice que son proporcionales.
0d,0b,IRd,c,b,ad:cb:aodc
ba
≠≠∈∀==
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( )cbdadc
ba
⋅=⋅⇔
=
Teorema 1:En toda proporción, el producto de los (términos) extremos es igual
al producto de los (términos) medios.
Del teorema 1 se deducen de inmediato las siguientes propiedades:
Propiedades de las proporciones:
1) Si dc
ba= también se cumple:
a) ac
bd= alternar los extremos b)
db
ca= alternar los medios
c) cd
ab= invirtiendo las razones d)
ba
dc= permutando las razones
e) dc
cba
a+
=+
componiendo la proporción con respecto al antecedente.
f) d
dcb
ba +=
+ componiendo la proporción con respecto al consecuente
g) d-c
cb-a
a= descomponiendo la proporción con respecto al antecedente
h) d
d-cb
b-a= descomponiendo la proporción con respecto al consecuente
i) d-cdc
b-aba +=
+ componiendo y descomponiendo la proporción
2) Si kdc
ba
== , donde k es la constante de proporcionalidad, se cumple :
⋅=⋅=dkcbka
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Definición 4: Una proporción se denomina Proporción Continua si tiene sus
términos extremos o sus términos medios iguales:
ac
ba = o
db
ba=
En estos casos el término que se repite se denomina MediaProporcional de los dos términos que quedan. Cada término que no se
repite: Tercera Proporcional entre los dos que quedan
Definición 5: Una Serie de Proporciones es una igualdad de tres o más razones.
Se denota:
fc
eb
da
== se anota f:e:dc:b:a =
Se lee: “a es a b es a c como d es a e es a f ”
Observemos que si f:e:dc:b:a = entonces:
kfc
eb
da
=== , donde k es la constante de proporcionalidad, y se
tiene:
⋅=⋅=⋅=
fkcekbdka
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1.2 Variación de Magnitudes
Definición 1: Una magnitud variable A varía en forma (Directamente) Proporcional ala variación de la magnitud B (de igual o distinta naturaleza que A), si y
sólo si:
A = k B k : Constante de proporcionalidad
Se anota: A :: B o A α B
Gráficamente : La gráfica de y = k x, k > 0, es siempre una recta que pasa por el
origen. La pendiente de la recta depende del valor de k. Cuanto mayor
sea el valor de k, mayor será la pendiente.
Definición 2: Una magnitud variable A varía en forma Inversamente Proporcional ala variación de la magnitud B (de igual o distinta naturaleza que A), si y
sólo si:
A = k B1 k : Constante de proporcionalidad
Se anota: A :: B1 o A α
B1
y = k x, k > 0
x
y
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Gráficamente : La gráfica de y = xk , k > 0 y x > 0, tendrá la forma ilustrada en la
figura. La gráfica de una variación inversa no está definida en x = 0
Observación 1: A y B son magnitudes que varían, de acuerdo a las definiciones 6 y 7,
pero sus variaciones están ligadas ya sea por A = k B o A = k B1
Definición 3: Se denomina Variación Conjunta si una cantidad puede variar
directamente como un producto de dos o más cantidades distintas.
La forma general de una variación conjunta, donde A varía
directamente con respecto de B y de C, es :
A = k ⋅ B ⋅ C k : Constante de proporcionalidad
Observación 2: La variación de una magnitud A puede estar ligada a la variación de dos
o más magnitudes en forma proporcional o inversa.
Teorema 1:
En A = k B a A1 le corresponde B1A2 le corresponde B2
Entonces:
2
1
2
1B
B
A
A= Proporción Directa
y = k > 0, x > 0 k / x,
x
y
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Observación 3: En una Proporción Directa, o “cuando A varía proporcionalmente con
B”, cuando A aumenta entonces B aumenta, y cuando A disminuye
entonces B disminuye, pero debe existir una constante k que lasligue: A = k B.
Teorema 2:
En A = k B1 a A1 le corresponde B1
A2 le corresponde B2
Entonces:
1
2
2
1BB
AA
= o
2
1
2
1
B1
B1
A
A= Proporción Inversa
Observación 4: En una Proporción Inversa, o “cuando A varía inversamente con B”,
cuando A aumenta entonces B disminuye, y cuando A disminuye
entonces B aumenta, pero debe existir una constante k que las
ligue: A = kB1
⋅ .
Definición 4: Se denomina Proporción Compuesta a la combinación de
proporciones directas e inversas o ambas.
Un método consiste en descomponer la proporción compuesta en
proporciones simples y luego multiplicar ordenadamente las
proporciones formadas.
Al formar cada proporción simple, consideramos que las demás
magnitudes no varían.
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1.4.3 PORCENTAJE
Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que
se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número. El signo
del tanto por ciento es %
Algunas veces las fracciones o decimales se expresan como porcentajes; por ejemplo, el5% quiere decir
1005 ó 0,05 .
En general a% significa “ a partes de 100 “, y es, simplemente, otra manera de escribir
100a . Esto corresponde a la proporción directa
%a%100
x1=
Una forma simple de convertir un número decimal a porcentajes es multiplicar el decimal
por 1 escrito en forma de 100%.
Ejemplo 1 0, 26 = 0,26 x 1 = 0,26 x 100% = 26 %
Los porcentajes se utilizan con frecuencia para describir los incrementos o reducciones en
cantidades como población, sueldos y precios.
Cuando una cantidad aumenta, el porcentaje de incremento se da por:
%100x original cantidad
aumento de cantidad
Cuando una cantidad disminuye, el porcentaje de decrecimiento se da por:
%100x original cantidad
ntodecrecimie de cantidad
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EJERCICIOS RESUELTOSRAZÓN, PROPORCIÓN Y VARIACIÓN
1.- Sea R1 y R2 dos resistencias tal que su suma es 91Ω y están en la razón 4 : 3Calcular el valor de cada resistencia.
Resolución:
392R
7
3912R
92Ry521R:Solución 1teo.aplicando
521R 37
2R91
39911R 3
34
2R2R1R
91391R ocomponiend
912R1R 912R1R
:endoreemplazan 34
2R1R
=
⋅=
==
==
−=+
=+
=+
=+=+
=
3
2.- Calcular la Cuarta proporcional entre los siguientes valores a) 6,18,15 b) 2, 7,12
Resolución:
Se pueden determinar tres proporciones distintas en cada caso
45x7,2x5x61518x
15618x
18615x
1teo.aplicando1teo.aplicando1teo.aplicando6
1518xiii)
1518
6xii)
1518
x6i)a)
===
⋅=
⋅=
⋅=
===
42x1,16x3,42x2
712x12
72x7
212x
1teo.aplicando1teo.aplicando1teo.aplicando2
127xiii)
127
2xii)
127
x2i)b)
===
⋅=
⋅=
⋅=
===
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3.- Calcular los dos valores de la tercera proporcional para los siguientes números.
a)51
21 y b) 0.2 y 0.08
Resolución:
1,25x45x
2x1
52
x21
52
x21
2151
ii)
0,08x252x
5x1
25
x51
25
x51
5121
i)a)
=⇒=⇒=⇔=⇔=
=⇒=⇒=⇔=⇔=
0,5x0,08
0,20,2xx
0,20,2
0,08ii)
0,032x0,2
0,080,08xx
0,080,080,2i)b)
=⇒⋅
=⇔=
=⇒⋅
=⇔=
4.- La corriente en un circuito es de 7.50 A .Se incrementa el voltaje provocando que lacorriente del circuito aumente a 8.4375A . ¿En que porcentaje aumento la corriente?
Resolución:
%12,5x7,50
93,75x%x%100
A0,9375A7,50
A0,9375A7,50A8,4375:Incremento
=⇒=⇒=
=−
5.- Si 30 máquinas fabrican 2000 m. de cable eléctrico en 20 días ¿Cuántas máquinasiguales serán necesarias para producir 7000 m. de cable en 14 días.
Resolución:
máquinas150x7000 x 14
200014
70003020 x 2000 30 20
metros de N máquinas N días N
=↔↔⋅⋅⋅
=↔↔
°°°
Solución : 150 máquinas.
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GUÍA DE EJERCICIOSRAZON, PROPORCION Y VARIACION
1.- Un disco de 500 kilobytes de capacidad se llena por Internet a razón de 5 KB/s, en 12horas. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse un disco de 1250 kilos, por un disco arazón de 8 k/s?
Solución: 1 hora 52 minutos 30 segundos
2.- Un instalador de redes gana $160.000 al mes y paga $40.000 de arriendo por lacasa que habita. ¿Qué tanto por ciento del suelo representa lo que cancela dearriendo.
Solución : 25%
3.- El perímetro de la puerta de un gabinete es 128 cm y la razón entre las medidas desus lados es 5:3. Calcular el área.
Solución : 960 cm2
4.- Dos resistencias R1 y R2 están conectadas en paralelo, ¿Qué tanto por ciento de lacorriente pasa por R1 si R1 : R2 = 5 : 8.
Solución : 61,5%
5.- La potencia en un circuito está dada por: [ ] [ ]AIdonde,WRIPR
V2 =⋅=
¿Qué tanto por ciento varía la potencia P si la tensión V varía disminuyendo en15%?
Solución: Disminuye en 27,75%
6.- Si m : n = 5 : 4 ¿ En qué razón están las fracciones 6n5m
2y
4n3m
1
++ ?
Solución: 49: 62
7.- Encuentre dos números tales que su diferencia, suma y producto estén en la razón1:7:27.
Solución: 4
279,
8.- En un rectángulo se cumple la proporción h:b =27:21. Si la base b aumenta en 1.0 mresulta un cuadrado. ¿ Cuánto mide la diagonal del rectángulo?
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9.- Si el diámetro de un circulo disminuye en 15%, ¿En qué tanto por ciento disminuye elárea del círculo?
Solución: 0,7225 S
10.- Sabiendo que el producto de tres números es 125 y que son proporcionales a 2 , 4 y27. ¿Calcule dicho número?
Solución : 5 10 4 53 3 2
, ,
11.- Con mi dinero puedo comprar 20 led a $20 c/u. Si suben a $25. ¿Cuántas podrécomprar?
Solución : 16 led
12.- Se tienen 3 barriles A, B y C con mezclas diferentes de bencina B1, B2, B3. En elbarril A, estos están en la razón 1:2:3 ; en el barril B , en la razón 3:5:7 , y en elbarril C en la razón 3:7:9 . ¿Qué cantidad de litros de cada barril debe sacarse paraformar una mezcla que contenga 17 [ l ] de B1, 35 [ l ] de B2 y 47 [ l ] de B3.
Solución: Del barril A 12 L, B 30 L, C 57 L
13.- Si , en idénticas condiciones de remuneración, el salario percibido por x - 1trabajadores en x + 1 días es el salario percibido por x + 2 trabajadores en x - 1 díascomo 9:10, encuentre el valor de x.
Solución: 8
14.- Supongamos que las masas M1 y M2 ubicadas a r [ cm] de distancia se alejan enun 20 %. ¿ En qué tanto por ciento disminuye la fuerza gravitatoria que las atrae?
Solución: 31%
15.- Un artículo sube su precio en 10 % y luego sufre una rebaja de un 10 %. ¿ Varía suprecio finalmente? En caso afirmativo ¿ en cuánto varió su precio?
Solución: Bajo en 1%
16.- Los cuadrados de los tiempos de revolución de los planetas alrededor del Sol sondirectamente proporcionales a los cubos de sus distancias al Sol. Sabiendo esto y
tomando distancias de la Tierra y [ ] [ ]km8101,08ykm8101,50SolalVenus ⋅⋅ respectivamente, calcule el tiempo de revolución.
Solución: 224 días aproximadamente
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17.- Si el radio basal de un cono circular recto aumenta en 15%, mientras que su alturadisminuye en 20%. ¿ En qué tanto porciento varía a) el área basal del cono, b) elárea total del cono y c) el volumen del cono?
Solución: a) aumenta en 32,5 % , b) faltan datos, c) aumenta 5,8 %
18.- Si y varía proporcionalmente a la suma de dos cantidades de las cuales una varíadirectamente a x y la otra inversamente a x; y si y = 6 cuando x = 4, y y = 3 1/3cuando x = 3, hallar la ecuación que relaciona a x e y.
Solución: y = 2x – x8
19.- Se tienen dos pedazos de aleación de plata con cobre. Uno de ellos contienen p% deCu y el otro, q%. ¿ En que proporción se deben tomar las aleaciones del primero ysegundo pedazos para obtener una nueva aleación que contenga r% de Cu?. ¿Paracuáles relaciones entre p, q y r el problema es posible?.
Solución: El problema tiene solución para r - p y p - r positivos, o para r - q y p - rnegativos
20.- Determinar si la variación entre las cantidades indicadas es directa o inversamenteproporcional.
a) La luz que ilumina un objeto y la distancia de la luz al objeto.Solución: Inversa
b) La velocidad y la distancia recorrida por un auto en un periodo de tiempoespecifico.Solución: Directa.
c) El diámetro de una manguera y el volumen que sale de ella. Solución: Directad) La distancia entre dos ciudades en un mapa y la distancia real entre las dos
ciudades.Solución: Directa
e) Un peso y la fuerza necesaria para levantar ese peso.Solución: Directa
f) El desplazamiento en pulgadas cúbicas expresado en litros producido por unamáquina y los caballos de fuerza de la máquina.Solución: Directa
g) El volumen de un globo y su radio.Solución: Directa
h) La abertura del obturador de una cámara y la cantidad de luz solar que llega a lapelícula.Solución: Directa
i) El tiempo necesario para exponer adecuadamente una película y el tamaño de laabertura del lente de la cámara.Solución: Inversa.
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21.- En los ejercicios siguientes, (i) escriba la variación y (ii) determine la cantidadindicada.
a) V varía directamente con respecto de I. Determine V cuando I = 3 y k = 4.b) A varía directamente con respecto del cuadrado de B. Determine A cuando B =
8 y k= c) R varía inversamente proporcional con respecto de I. Determine R cuando I = 12
y k = 6.d) L varía inversamente con respecto del cuadrado de P. Determine L cuando p = 4
y k = 100.e) E varía directamente con respecto de F e inversamente con respecto de q.
Determine E cuando F = 12, q = 4 y k = 3.f) E varía directamente con respecto de Q e inversamente con respecto del
cuadrado de r. Determine k cuando E = 20, Q = 4 y r = 40.g) F varía conjuntamente con respecto de M1 y M2 e inversamente con respecto de
d. Si F es 20 cuando M1= 5, M2 = 10 y d = 0,2, determine F cuando M1 = 10, M2= 20 y d = 0,4.
Solución: 40h) S varía conjuntamente con respecto de I y del cuadrado de T. Si S es 8 cuando
I = 20 y T = 4, determine S cuando I = 2 y T = 2. Solución:i) A varía conjuntamente con respecto de R1 y R2 e inversamente con respecto del
cuadrado de L. Determine A cuando R1 = 120, R2 = 8, L = 5, y k = . Solución:j) La longitud de estiramiento de un resorte, S, varía directamente con respecto de
la fuerza ( o peso), F, aplicada al resorte. Si un resorte se estira 1,4 pulgadascon una carga de 20 libras, ¿cuánto se estirará con una carga de 10 libras?
k) La intensidad, I, de la luz recibida en una fuente varía inversamente conrespecto del cuadrado de la distancia, d, a la fuente. Si la intensidad de la luz esde 20 bujías – pie a 15 pies, determine la intensidad de la luz a 12 pies.
l) Las rentas semanales de videocintas, R, en Blockbuster Video varíandirectamente con respecto del costo de su propaganda, A, e inversamente conrespecto del precio de renta diario, P. Cuando el costo por publicidad es de $400 y el precio de la renta diaria es de $ 2, ellos rentan 4600 cintas porsemana.¿ Cuántas cintas rentarían por semana si se incrementa su publicidad a$500 y elevaran su precio por renta a $ 2.50?Solución:
22.- En la Tierra, el peso de un objeto varía directamente con respecto de su masa. Si unobjeto con un peso de 256 libras tiene una masa de 8 slugs, determine la masa de unobjeto que pesa 120 libras.
23.- El peso, W, de un objeto en la atmósfera de la Tierra varía inversamente conrespecto del cuadrado de la distancia, d, entre el objeto y el centro de la Tierra. Unapersona que pesa 140 libras parada en la Tierra se encuentra aproximadamente a4000 millas de distancia del centro de la Tierra. Determine el peso (o fuerza deatracción gravitacional) de esta persona a una distancia de 100 millas de la superficiede la Tierra.
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24.- Una compañía eléctrica cobra $ 0.162 por kilowatt – hora. ¿ Cuál es el gasto eléctricosi se utilizan 740 kilowatts – hora en un mes ( considere mes bancario equivalente a30 días) ? La tasa de watts de un aparato, W, varía conjuntamente con respecto delcuadrado de la corriente, I, y la resistencia, R. Si esta tasa es de 1 watt cuando lacorriente es de 0,1 ampere y la resistencia es de 100 ohms, determine la tasa dewatts cuando la corriente es de 0,4 ampere y la resistencia es de 250 ohms.
25.- La resistencia eléctrica de un cable, R, varía directamente con respecto de sulongitud, L, e inversamente con respecto del área de su sección transversal, A. Si laresistencia de un cable es de 0,2 ohm ( Ω ) cuando la longitud es de 200 pies y elárea de su sección transversal es de 0,05 pulgada cuadrada, determine la resistenciade un cable cuya longitud es de 5000 pies con un área de sección transversal de0,01 pulgada cuadrada.
26.- El número de llamadas telefónicas entre dos ciudades durante un periodo de tiempodado, N, varía directamente con respecto del número de habitantes p1 y p2 de las dosciudades e inversamente con respecto de la distancia, d, entre ellas. Si se realizan100.000 llamadas entre dos ciudades que se encuentran a una distancia de 300kilómetros y los números de habitantes de las ciudades son 60.000 y 200.000, ¿cuántas llamadas se realizan entre dos ciudades con poblaciones de 125.000 y175.000 que se encuentran a 450 kilómetros de distancia?
27.- Escriba un párrafo explicando los diferentes tipos de variaciones. Incluya en suanálisis los términos de variación directa, inversa, conjunta y combinada. Dé supropio ejemplo de cada tipo de variación.
28.- (a) Si y varía directamente con respecto de x y la constante de proporcionalidad es2, ¿ varía x directamente o inversamente con respecto de y ? Explique.(b) Dé lanueva constante de proporcionalidad para x como variación de y.
29.- (a) Si y varía inversamente con respecto de x y la constante de proporcionalidad es0,3, ¿ varía x directamente o inversamente con respecto de y ? Explique. (b) Dé lanueva constante de proporcionalidad para x como variación de y.
30.- Un articulo en la revista Outdoor and Travel Photography dice: “ Si una superficie esiluminada por una fuente puntual de luz, la intensidad de la iluminación producida esinversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. En términosprácticos, esto significa que los objetos cercanos serán sobre expuestos, si el temadel fondo tiene la exposición adecuada con un flash. Así, el flash directo no ofreceresultados gratos si existe un objeto entre el plano principal y el sujeto.”Si el sujeto que usted está fotografiando se encuentra a 4 pies del flash y lailuminación sobre este sujeto es de de la luz del flash, ¿ cuál es la intensidad deiluminación en un objeto interpuesto que esta a 3 pies de distancia del flash?
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31.- En una región especifica del país, la cantidad de gasto de agua de un cliente, W, esdirectamente proporcional al promedio diario de temperatura del mes, T, al área decésped, A, y la raíz cuadrada de F, donde F es el tamaño de la familia, einversamente proporcional al número de pulgadas de lluvia, R. En un mes, elpromedio diario de temperatura es 32° y el número de pulgadas lluvia es de 5,6. Si lafamilia promedio de 4 personas que tiene 1000 pies cuadrados de césped paga enpromedio $ 68 de agua, estime el gasto de agua promedio en el mismo mes para unafamilia de 6 personas que tienen 1500 pies cuadrados de césped.
32.- La ley de Coulomb establece que la fuerza de atracción o repulsión, F, entre doscargas puntuales, q1 y q2, es directamente proporcional al producto de dichas cargas,e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r, entre ellas. Escriba lafórmula que representa la ley de Coulomb. ¿Qué le sucede a la fuerza de atracciónsi se duplica una carga, la otra se triplica y la distancia entre las cargas se reduce ala mitad?
33.- La presión, P,en libras por pulgada cuadrada (psi) sobre un objeto a x pies bajo elmar es de 14.70 psi más el producto de una constante de proporcionalidad, k, y elnúmero de pies, x, a los que el objeto se encuentra bajo el nivel del mar . El 14,70representa el peso, en libras, de la columna de aire ( a partir del nivel del mar hastala parte superior de la atmósfera) que esta sobre un cuadrado de 1 pulgada por 1pulgada de agua mar. kx representa el peso, en libras, de una columna de agua de 1pulgada por 1 pulgada por x pies. Escriba una fórmula para la presión sobre unobjeto que se encuentra a x pies bajo el nivel del mar. Si un medidor de presión enun submarino a 60 pies de profundidad registra 40,5 psi, determine la constante k. Unsubmarino está construido para soportar una presión de 160 psi. ¿ Hasta quéprofundidad puede descender el submarino?
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1.4. Elementos del Álgebra
1.4.1. Conjuntos Numéricos
Los Números Reales
El conjunto de los Números Reales (IR) es un conjunto no vacío denotado IR, cuyos
elementos se llaman Números Reales.
Estos números reales verifican los siguientes tres tipos de axiomas:
1. Axiomas de Cuerpo.2. Axiomas de Orden3. El axioma de Completitud o del Supremo.
Debido a esto, se dice que IR es un Cuerpo Ordenado Completo.
IR = a, b, c,...... donde: a, b, c,......... son los números reales.
Los Axiomas de Cuerpo.En reales hay definidas dos operaciones binarias internas la Suma o Adición (+), y el
Producto o Multiplicación (·)Estas operaciones cumplen los siguiente 9 Axiomas:
Axiomas:
1. La suma es asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2. La suma es conmutativa: a + b = b + a
3. En reales existe un número real llamado El Elemento Neutro para la
suma: 0 , tal que: a + 0 = a, IRa ∈∀ .
4. Para cada número real a existe un número real llamado El Opuestode a : - a , tal que: a + (- a ) = a
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5. La multiplicación es asociativa: a · ( b · c ) = ( a · b ) · c
6. La multiplicación es conmutativa: a · b = b · a
7. En reales existe un número real llamado El Elemento Neutropara la multiplicación: 1 , tal que: a · 1 = a, IRa ∈∀ .
8. Para cada número real 0a≠ existe un número real llamado El Inverso
de a: a1 , tal que: a ·
a1 = 1
9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma, tal que:
a ·( b + c ) = a·b + a·c
Algunas propiedades básicas de la (+) y del (·)
Definición 1: a – b = a + (-b) Resta o diferencia, a menos ba: minuendo, b: sustraendo
2: IR * = IR – 0 es decir ( ) [ ] [ ]( )0aIRaIRa ≠∧∈⇔∈
Teoremas : En IR
1: [ ] [ ] d b c a d, b b a d c , b a =+=+⇒==
2: [ ] [ ]c b c a c, b c a b a =+=+⇒=
3: [ ] [ ] b a c b c a =⇒+=+
4: [ ] [ ] b a 0 c ,c b c a =⇒≠=
5: IR0! ∈∃
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6: - 0 = 0
7: IR1! ∈∃
8: IR a cada para único esa ∈−
9: *IR a cada para único esa1
∈
10: - (-a) = a
11: - (a + b – c ) = - a - b – c
12: a · 0 = 0
13: ( - a ) ( - b ) = a b
14: ( - a ) b = a (- b ) = - (a b) = - a·b
15: - ( a b c ) = (- a ) b c = a (- b ) c = a b (- c ) = - a b c
16: [ ] ( ) ( )[ ] o 0 b 0 a 0 b a =∨=⇒=⋅
( ) ( )[ ] [ ] o 0 b 0 a 0 b a =⇒≠∧=
( ) ( )[ ] [ ] 0 b a 0 b 0 a ≠⇒≠∧≠
........... en IR no hay divisores de cero
17: Si un producto de números reales es 0, por lo menos uno de sus factoreses el número 0.
18: ( a + b + c ) ( p + q ) = ap + bp + cp + aq + bq + cq
Definición 3:b1ab:a
ba
⋅== b a partido por b, a dividido por b
baEn a es el numerador, b es el denominador.
En a : b a es el dividendo, b es el divisor
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Teoremas : En IR
19: 111=
20: a1a=
21:b1
a1
ab1
⋅=
22: a
a11=
Observación 1: 0a1= es falsa en IR
Teoremas : En IR
23: ( )0a0ba
=⇔
=
24: ( )cbdadc
ba
=⇔
=
25: ( )ba1ba
=⇔
=
26: 111
11
−=−
=−
27:ba
ba
ba
ba
−−=
−−=
−−
=
28:ba
ba
ba
ba
−−
−=−
=−
=−
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29:dbca
dc
ba
=⋅
30:cb
caba
=
31:b
cabc
ba +
=+
32:db
cbdadc
ba +
=+
33:cba
cb
1a
cba =⋅=⋅
34:c
bcacb
1a
cba +
=+=+
35:ab
ba1
=
36:cbda
cd
ba
dc
ba
dcba
=⋅=÷=
Algunos subconjuntos de los números reales
Definición 4: Los números Naturales (IN) es el conjunto de todos los números que
pueden ser formados partiendo con 1 y luego formando:
1 + 1, (1 + 1) +1, [ (1 + 1) +1 ], etc.
IN = 1,2,3,4,5,6,7,8,.........
IN0 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,......... = IN ∪ 0
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Definición 5: Aritméticamente el conjunto de los números naturales es insuficiente,
entre otras cosas, por no ser cerrado para la diferencia al no contener
los inversos aditivos de sus elementos. Por ello, un primer paso para
remediar sus consecuencias es agregar a IN sus inversos aditivos,
obteniendo el conjunto z de los números Enteros.
Z = ....-5,-4,-3,-2,-1,0, 1,2,3,4,......
Z + = 1,2,3,4,......
Z - = ....-5,-4,-3,-2,-1
Z * = Z – 0
Definición 6: Otro problema que nos muestra la insuficiencia del conjunto IN e
incluso del conjunto z, es la resolución de la ecuación ax = b; a,b ∈ z,
a ≠ 0. Esta ecuación solo tiene solución en z, si b es múltiplo de a. Para
que las ecuaciones de este tipo tengan siempre solución, se hizo
necesario ampliar nuevamente el sistema numérico, creando los
números Racionales ( Q )
Q =
∈∈ *ZZ b,a/
ba
Q* = Q - 0
Todo número racional tiene un desarrollo decimal infinito y periódico, y
a todo número decimal infinito y periódico le corresponde un número
racional.
Definición 7: Se denominan números Irracionales ( I ), a los números que no
pueden ser anotados como cuocientes de dos números enteros.
A éstos números les corresponde un desarrollo decimal infinito y no
periódico. Entre ellos podemos mencionar: ,......e,,51,2 3 π+ la
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mayor parte de los logaritmos de los números, a la mayor parte de los
valores de sen x, .......etc.
Dentro del conjunto de los números irracionales, existen dos tipos: los
algebraicos y los trascendentes. Los primeros son aquellos generados
por las raíces inexactas, como por ejemplo: 2 . Los números
irracionales trascendentes son números generados por procesos de
mediciones, como por ejemplo el número π .
Definición 8: La unión de conjunto de los números racionales y los números
irracionales representan el conjunto de los números reales.
IQ R ∪=
Los números reales se emplean en todas las fases de las matemáticas y es importante
estar familiarizado con los símbolos que representan:
IR =
−−−−− LLLLLLLLLLLL ;8;
1249;3;533,0;0;333,0;1;2;3;853
Conclusión: Todos los números reales tienen desarrollos decimales infinitos. A cada
número decimal infinito le corresponde un número real.
Todos los números decimales infinitos se dividen únicamente en dos
grupos:
1. Los que tienen un desarrollo periódico. Los números reales
racionales.
2. Los que tienen un desarrollo no periódico. Los números reales
irracionales.
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Números Racionales (Q ) Números Irracionales ( I )
Números Enteros ( Z )
Números Naturales ( N )
Números Reales ( R )
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GUÍA DE EJERCICIOSCONJUNTOS NÚMERICOS
1-. Determine en cada caso si las afirmaciones son falsas o verdaderas y justifique su
respuesta.
a) La suma de dos números negativos debe ser negativa.
b) La diferencia entre dos números negativos debe ser negativa.
c) El producto de dos números negativos debe ser negativo.
d) El cociente de dos números negativos debe ser negativo.
2-. Realice las operaciones siguientes:
a) –12 + ( -8 ) b) 13 + ( -5 )
c) –12 - ( -1 ) d) – 4 - (-13) + (-5 + 10)
e) –5 (-17) (2) (-2) 4 f) –8 [ 4 + ( 7 - 8 ) ]
g) 6
18−− h)
936−
i) 70
−j)
67)3()410(
−−−⋅+−
3-. ¿ Cuáles de las siguientes operaciones no están definidas ?
a) 08 b)
669−
c) 5544
−− d)
10
−
4-. Indique la propiedad ilustrada en cada una de las siguientes proposiciones.
a) 3 + 2 = 2 + 3 b) 5 ⋅ 4 = 4 ⋅ 5
c) 3 + ( 5 + 4) = ( 3 + 5 ) + 4 d) (3 ⋅ 5) ⋅ 6 = 6 ⋅ (3 ⋅ 5)
e) 6 + ( -6 ) = 0 f) 13 + 0 = 13
g) 8 ⋅ 1 = 8 h) ( ) 1331
=−⋅
−
i) 6 ⋅ (2 ⋅ 4) = (6 ⋅ 2) ⋅ 4 j) 3 ⋅ ( 4 + 5 ) = 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5
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5-. a) Evalué 6 – 8 y 8 – 6
b) Por medio de los resultados de la parte a), podríamos concluir que lasustracción no es una operación __________.
c) ¿ Existen algunos números reales a y b para los que a – b = b – a? Si es así,dé un ejemplo.
6-. a) Evalúe 510y105 ÷÷ .
b) Por medio de los resultados de la parte a), podríamos concluir que la división
no es una operación __________.
c) ¿Existen algunos números reales a y b para los que abyba ÷÷ ? Si es así,
dé un ejemplo.
7-. Si el recíproco del un número ( a – 4 ) es 51 , determine el opuesto aditivo de a + 1.
8-. Muchos acontecimientos cotidianos pueden considerarse como operaciones que
tienen opuestos o inversos. Por ejemplo, la operación inversa de “dormir” es
“despertarse”. Para cada una de las actividades dadas, especifique su actividad
inversa.
a) Limpiar su cuarto.
b) Ganar dinero.
c) Subir el volumen de su radio.
9-. Muchas actividades cotidianas son conmutativas; lo que significa que el orden en
que ocurren no afecta el resultado. Por ejemplo, “ponerse la camisa” y “ponerse los
pantalones” son operaciones conmutativas. Decida si las actividades dadas son
conmutativas.
a) ponerse los zapatos; ponerse los calcetines.
b) vestirse; bañarse.
c) Peinarse el cabello; cepillarse los dientes.
10-. La propiedad distributiva se cumple para la multiplicación con respecto a la adición.
¿ Se cumple la propiedad distributiva para la adición con respecto a la
multiplicación?
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11-. La superficie, o borde, de un desfiladero está a una altitud de 0. En una caminata
hacia la parte inferior del desfiladero, un grupo de excursionistas se detiene a
descansar a 130 metros por debajo de la superficie. Luego, descienden otros 54
metros. ¿ Cuál es su nueva altitud?
12-. Cierto matemático griego nació en el año 426 a. C. Su padre nació 43 años antes.
¿ En que año nació su padre?
13-. El jueves 7 de abril de 1994, las acciones de Hewlett - Packard cerraron a
4383 dólares ( por acción). Esto significaba
421 dólares sobre el precio al inicio del
día. ¿ Cuánto costaba una acción al inicio del día?
14-. Determine en cada caso si las afirmaciones son falsas o verdaderas y justifique su
respuesta.
a) 73 es un elemento de Z
b) 85
− es un elemento de Q
c) 6 es un elemento de IR
d) 7− es un elemento de IR
e) 3,9 es un número racional
f) π es un elemento de II
g) 2,89999..... es un elemento de II
h) 0,878778777877778... es un elemento de Q
i) 3,14159 es un elemento de Q
j) ba , para cualquier a y b enteros es un número racional.
k) Todo número irracional es un número real.
l) Existen números decimales que no son reales.
m) Hay números reales que son racionales e irracionales.
n) Existe un número decimal que no puede expresarse como cociente de dos
números enteros.
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15-. Evalúe:
a)
43
81
41
85
+
− b) 3 +
211
11
11
1
++
+
c) 322 )4,2()8,0()7,3( +− d) 223
32
31
21
−−
−
−
e) 28525
22315÷+÷⋅+÷ f)
723543248
22 −⋅−
−⋅÷−
g) ( ) ( )[ ]
162438
64584824
4
22
3
2
+−
−−+
−−−
−⋅÷−−
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1.4.2. Expresiones Algebraicas.
Introducción.
El álgebra se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética. En el álgebra
introducimos símbolos o letras tales como a, b, c, d, e, x ,y,... para denotar números
arbitrarios y frecuentemente consideramos expresiones generales.
Este lenguaje del álgebra es útil por dos razones. Primero, puede ser utilizado para
abreviar y simplificar expresiones largas o complicadas, y segundo, es un modo adecuado
de generalizar muchas expresiones específicas.
Consideremos la siguiente expresión: “ si se suman dos números, el orden en que se
suman no tiene importancia; esto es, se obtiene el mismo resultado si el segundo número
se suma al primero, o si el primero se suma al segundo”. Esta larga descripción puede ser
reducida y comprendida fácilmente por medio de la expresión algebraica:
a + b = b + a
Algunas fórmulas usadas en la ciencia y en la industria pueden servir para ilustrar la
generalidad del álgebra. Por ejemplo si un avión vuela a una rapidez constante de
300 h
mi durante 2 horas, entonces la distancia recorrida será 300 h
mi x 2 h = 600 millas.
Si introducimos símbolos y denotamos con r la rapidez constante, con t el tiempo
transcurrido y con d la distancia recorrida, entonces el ejemplo anterior es un caso
especial de la fórmula algebraica general:
d = r t
Cuando se dan valores numéricos determinados a r y t, la distancia d puede ser calculada
sustituyendo adecuadamente en la fórmula. Además la fórmula se puede usar para
resolver problemas relacionados. Por ejemplo, si conocemos r y se quiere averiguar el
tiempo t necesario para recorrer una distancia d, puede obtenerse por medio de la
fórmula:
rdt =
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Del mismo modo, si conocemos d y se quiere averiguar la rapidez constante r a la cual un
avión recorrería esa distancia en un tiempo dado t, puede obtenerse por medio de la
fórmula :
tdr =
Nótese cómo la introducción de una fórmula algebraica no sólo permite resolver
convenientemente problemas especiales, sino que también amplía el alcance de nuestro
conocimiento al sugerir problemas nuevos.
Hay un número ilimitado de problemas en los que el enfoque simbólico puede
conducirnos a conocimientos profundos y soluciones que serían imposibles de obtener
con procesos numéricos.
Expresiones Algebraicas.
Definición 1: Un término, o monomio, se define como un número, una variable o un
producto de números y variables.
Definición 2: Un polinomio es un término o una suma finita de términos, con sólo
exponentes enteros no negativos permitidos en las variables. Si los
términos de un polinomio sólo tienen a la variable x, entonces el
polinomio se denomina polinomio en x.
Usaremos la notación:
Rsobrexenpolinomio)x(p/)x(p:]x[R =
N∈++++++ −−
−− n,axa.....xa..xaxaxa 01
ii
2n2n
1n1n
nn
Definición 3: Si 0an ≠ , diremos que p(x) es un polinomio de grado n y escribiremos:
n)x(pgdo =
El mayor exponente en un polinomio en una variable es el grado del
polinomio.
Cualquier número real puede ser considerado como un polinomio de
grado cero y, en tal caso, los llamaremos polinomios constantes.
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Definición 4: Para ni0 ≤≤ , las expresiones ii xa las llamaremos los términos del
polinomio y los elementos ia los coeficientes de los correspondientes
ix .
Observación 1: Un polinomio puede tener más de una variable. Un término que
consiste en más de una variable tiene grado igual a la suma de todos
los exponentes que aparecen en las variables en el término. El grado
de un polinomio con más de una variable es igual al mayor grado de los
términos del polinomio.
Definición 5: Todo polinomio que consta exactamente de tres términos se conoce
con el nombre de trinomio, y aquel que posee dos términos se
denomina binomio.
Definición 6: Términos semejantes son aquellos que tienen los factores con
variables exactamente iguales.
1.4.3 Operaciones con expresiones algebraicas.
Definición 1: Los polinomios se suman, adicionando los coeficientes de términos
semejantes.
Definición 2: Los polinomios se restan, sustrayendo los coeficientes de términos
semejantes.
Definición 3: Los polinomios se multiplican, aplicando las propiedades asociativas y
distributivas, junto con las propiedades de las potencias.
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Definición 4: Se denominan productos notables a aquellos resultados de la
multiplicación entre polinomios que tienen características especiales.
Algunos de ellos:
Caso 1: Cuadrado de un binomio
( ) ( ) ( ) 222 xyx2xyxyxyx ++=+=+⋅+
( ) ( ) ( ) 222 yyx2xyxyxyx +−=−=−⋅−
Caso 2: Suma por su diferencia
( ) ( ) 22 yxyxyx −=−⋅+
Caso 3: Cubo de un binomio
( ) ( ) ( ) ( ) 32233 yyx3yx3xyxyxyxyx +++=+=+⋅+⋅+
( ) ( ) ( ) ( ) 32233 xyx3yx3xyxyxyxyx −+−=−=−⋅−⋅−
Caso 4: Binomios con un término común
( ) ( ) bax)ba(xaxbx 2 ⋅+⋅++=+⋅+
Caso 5: Binomios con un término común y coeficientes diferentes
( ) ( ) dbx)cbda(xacdxcbxa 2 ⋅+⋅++=+⋅+
Caso 6: Cuadrado de un trinomio.
( ) ( ) ( ) yz2xy2xy2zyxzyxzyxzyx 2222 ++++=++=++⋅++ +
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Definición 5: El proceso de encontrar polinomios cuyo producto es igual a un
polinomio dado se denomina factorización.
Un polinomio que no puede escribirse como un producto de dos
polinomios con coeficientes enteros es un polinomio primo o
polinomio irreducible.Un polinomio está completamente factorizado cuando se escribe
como un producto de polinomios primos con coeficientes enteros.
Caso 1: Factorización del máximo factor común:Los polinomios se factorizan por medio de la propiedad distributiva,
buscamos un monomio que sea el máximo factor común de todos los
términos del polinomio.
Forma: ( ) b a x x b x a +=+
Caso 2: Factorización por agrupación:Cuando un polinomio tiene más de tres términos, algunas veces puede
factorizarse por medio de este método.
Forma:
( ) ( ) ( ) ( ) b a y x y x b y x ayb x bya x a ++=+++=+++
Caso 3: Factorización de trinomios:La factorización es el opuesto de la multiplicación. Como el producto
de dos binomios por lo general es un trinomio, podemos esperar
trinomios factorizables ( que tengan términos sin factor común) que
tengan como factores a dos binomios.
Formas: a) ( ) ( ) ( ) b x a x b a x b a x2 ++=+++
b) ( ) ( ) ( ) d c x b xa d b xbc ad c x a 2 ++=+++
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Caso 4: Factorización de trinomios cuadrados perfectos:
Formas: a) ( ) ( ) b a b ab b a 2 a 22 ++=+⋅+
b) ( ) ( ) b a b ab b a 2 a 22 −−=+⋅−
Caso 5: Factorización de diferencia de cuadrados:
Forma: ( ) ( ) b a b a b a 22 −+=−
Caso 6: Factorización de diferencias de n – ésimo:Forma:
( ) ( ) +∈∀+++−=− Zn b.......... ba b a a b a b a 1 - n2 3 - n2-n1 -nnn
Caso 7: Factorización de sumas de n – ésimo:Forma:
( ) ( ) +∈∀+−+−+=+ Zn b...... ba b a a b a b a 1 - n2 3 - n2-n1 -nnn
y n impar
Teorema 1:( Algoritmo de la división). Sean a(x), b(x)∈ R[x] con b(x) ≠ 0. Entonces existen
dos únicos polinomios q(x), r(x) ∈ R[x] tales que:
a(x) = q(x) · b(x) + r(x)
donde r (x) = 0 o )x(bgdo)x(rgdo <
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Ejemplo 1: Consideremos los polinomios:
3x2x)x(a 3 ++= y 1x3x2)x(b 2 +−=
49x
415
43x
49x
23
3x23x
23
x21x
23x
43x
21)1x3x2(:)3x2x(
2
2
23
23
+
+−
++
+−
+=+−++
Entonces:
+++−⋅
+=++
49x
415)1x3x2(
43x
213x2x 23
con
gdo r (x) = gdo
+
49x
415 = 1 < gdo 2)1x3x2( 2 =+−
Al polinomio q (x) lo llamaremos el cuociente y al polinomio r (x) el resto
en la división de a (x) por b (x).
Corolario 1: (Teorema del resto) El resto de la división de un polinomio p (x) por x – a es:
p (a).
Definición 6: Sean a (x), b (x) ∈ R [ x ]. Diremos que el polinomio a (x) es divisible
por el polinomio b (x) ( o bien que b (x) es un factor de a (x) ) y
escribiremos:
)x(b)x(a, si solo si existe c(x) ∈ R [ x] tal que a (x) = c(x) · b(x).
Corolario 2:( Teorema del factor ) Un polinomio p (x) es divisible por x – a si solo si p(a) = 0.
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Definición 7: Para facilitar la búsqueda del cuociente q (x) y el resto r (x) cuando un
polinomio sobre R es dividido por x – c, introduciremos el método de
división sintética que describiremos a continuación:
Sean
nn
1n1n
2210 xaxa......xaxaa)x(p +++++= −
− (1)
nn
1n1n
2210 xbxb......xbxbb)x(q +++++= −
−
Entonces:
( ) ( ) ( )( )
)r)x(rAquí(.xbxcbb.............
.........xcbbxcbbcbr
)x(r)x(q)cx()x(p
n1n
1n1n2n
221100
≡
+−+
++−+−+−=
+−=
−−
−−
(2)
igualando los coeficientes en (1) y (2) se tiene que:
00
101
1n2n1n
1nn
cbra,cbba
,.......,bcbaba
−=
−=−=
=
−−−
−
011nn aa.....aa −
c 011n bcbc.....bc −
001101n1n2nn1n cbarcbab.....bcabab +=+=+== −−−−
Así solamente listando los coeficientes y realizando simples
multiplicaciones y sumas, podemos leer el cuociente y el resto, de la
última línea.
Definición 8: Sea p (x) ∈ R [ x ] gdo p(x) > 0. Diremos que p(x) es un polinomio
irreducible en R [x] si solo si los únicos factores de p(x) son polinomios
constantes o múltiplos constantes de p(x). En caso contrario diremos
que p(x) es reductible sobre R [ x ].
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Teorema 2: Todo polinomio p (x) ∈ R [ x ] gdo p(x) > 0 puede escribirse como un producto de
un número real distinto de cero y polinomios mónicos irreductibles sobre R [ x ].
Además, salvo el orden de los factores, esta expresión es única.
Ejemplo 2: Sea p(x) = 12x8x14x4x2 245 −−−− .
Entonces ( ) ( ) ( )3x2x1xx2)x(p 22 −+++= son polinomios mónicos
irreductibles en R [ x ].
Observación 1: 1) Sea b (x) ∈ R [ x ] , gdo p(x) > 0. Si p (c) = 0 para algún c∈ R,
entonces p (x) es reducible en R [x] pues, por el teorema del factor, x -
c es un factor de p (x).
2) Los polinomios irreducibles en R [x] son los polinomios lineales (de
primer grado ) y los polinomios cuadráticos:
0ac4bcon,cxbxa)x(d 22 <−++= .
Luego, dado p (x) ∈ R [ x ] , este polinomio puede escribirse (Teor. 2)
en la forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.0ca4by0aconcxbxa)x(d
.......m,3,........ 2, 1, i para y R r ,........,r a, dondexd.......xd)x(drx......rxrxa)x(p
ii2iiii
2ii
k1
m21k21
<−≠++=
=∈
⋅−−−=
Página 40 de 94
10
Figura 2
Figura 3
Figura 1.1 Figura 1.2
GUÍA DE EJERCICIOSÁLGEBRA
1-. (a) Escriba una expresión polinomial para el área de la porción sombreada de la
figuras (1.1 y 1.2 ) . (b) determine el área de los rectángulos mayor y menor:
i) ii)
2-. Escriba polinomios para (a) el volumen y (b) el área de la superficie del objeto quese muestra en la figura 2:
3-. Escriba un polinomio en las variables r y s para el área de la región que se muestra
en la figura 3
x
x
x + 2
10
r r s
x + 4 x 2x
2x + 3
3x - 1
2x - 1 2x + 4
3x + 6
Área de la regiónsombreada es 67 cm2
Área de la regiónsombreada es 139 cm2
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a
b
a
Figura 6
Figura 5.1 Figura 5.2 Figura 5.3
Figura 4.1 Figura 4.2
4-. En las figuras (4.1 y 4.2 ). ¿ cuántas veces es más grande el área o volumen de la
figura de la derecha que el de la izquierda? Explique cómo determinó su respuesta.
i) ii)
2
1
5-. En las figuras (5.1, 5.2 y 5.3) siguientes (a) escriba una expresión para el área
sombreada y (b) escriba la expresión en forma factorizada.
i) ii) iii)
6-. Explique cómo justifica la figura 6 la factorización de a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b )2
(a y b positivos)
ab
aba2
b2
b
a
a + b
b b
a
a
a
a x y x x x
x + y
2x + 4
x + 8
12 x + 24
x + 4
3 x + 6
4x + 4
x + 2 x
x + 1
2 x
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b
a - b
a
a
a b
b
b
a - b
b
a
a
a
b
Figura 9
Figura 8
Figura 7
b
7-. Explique como justifica la figura 7 la fórmula de Factorización de:
a2 – b2= (a + b) (a - b) donde , a > b > 0
8-. (a) Escriba una expresión para el área de la superficie de los cuatro lados de la
figura 8 (omita la tapa y la base). (b) escriba la expresión en forma factorizada.
9-. La figura 9 indica que la fórmula de factorización para la diferencia de dos cubos,
a - b = (a - b) (a2 + a b + b2) para a > b > 0, se puede justificar geométricamente.
a - b
a
b2
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10-. Factorice al máximo las siguientes expresiones:
a) x 3 – ax2 i) x2 – 10x + 25b) ax 3 – bx2 + cx j) 6x2 + 15x - 9c) 9a2 – ( a + b )2 k) 4x2 - 12x + 9d) a2 + a – ab2 – b2 l) 2x2 + 2x - 12e) 27x3 – 1 m) x4 + x2 + 1f) 216 – x6 n) 9x4 + 6x2 + 1g) x2n – 1 o) x4 + 2x2 + 9h) 9n - 1 p) (a + b)3 + ( a – b)3
11-. Simplifique hasta encontrar la expresión irreductible:
a) ( ) ( )22
22
a41bxab2ax2bx
−+
−−+ b)byayb4a4bdbcadac
+−−−−+
c) ( )22n
1n
ba)1()ba()1(
−−
+− +d) 32
432
xx2xxxxx
+−
−+−
12-. Efectuar las operaciones siguientes, simplificando al máximo:
a) 4x
x6xx
x222 −
−−+
b) 3 - 1x
41x
22 −
++
c)ab
bba
ababa
22
22
−−
++
−
+ d)3x4x
x4x9x
2
2
++
⋅+
−
e)1x1x
1x6x5x
4
2
2
2
−
+÷
−
++ f)5x
x32x
33x
2−
⋅
−
−−
g)
−+
+
+
+1x2x1:
1x1x h)
yxxyx
yxxyx
+−
−+
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13-. Efectúe las siguientes divisiones. Indique cuociente y resto. Exprese cada divisiónen la forma :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
−+÷
+−+
=+÷+−+−
=−÷−+
=+÷+−+
+=
1x5x211x
29x
20399x2)d
2x2x16x3x8x)c
3x2x3x45)b
1x31xx5x2)a
BRCB:A
223
2234
3
234
14-.
−+−+−=
21p)2(p:calcule1xx6x3)x(pSi 23
15-. ( )2xpordivisiblees2x3x3x3xqueDemuestre 234 +++++
16-. Utilizando división sintética , determinar el cuociente y resto . Compruebe surespuesta.
( ) ( ) =+÷+−−+ 1x1x5x6x2x4 234
17-. Determine si (x+3) es un factor del polinomio :
18-. Sin efectuar división , determine el resto en :
( )x x x x x
4 3 24 5 20 4− + −
÷ −
19-. Encuentre los valores de K para que : )3x(pordivisibleseaK6xKx3x4 3 ++−+
20-. ,7x4es5x15x18Kxpx:adivide2x3xcuandorestoEl 2342 −−+−++−.4Ky1pqueDemuestre ==
21-. ,2xpordivisibleesabbxx3polinomioelbyadevaloresque¿Para 22 +−−+ ?1restoda1xpordividirloalpero −
22-. ,0)5(p)1(pSi.axbxx14x10x2)x(pSea 2345 =−=+−−+= productocomo)x(pescribir .gradoprimerdefactoresde1.4.4. Potencias
27x12x4x)x(P 23 +−−=
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Potencias de base real y exponente natural o entero.
entero.exponentedepotencias lasdefinirbasta,Como
nexponenteyabase depotencia :na
non,a
ZN
zNR
⊂
∈∈∈
Definición 1: :entoncesn, a ZR ∈∈
( ) ( )[ ] [ ]
( ) ( )[ ]
=⇒≠∧∈
⋅⋅⋅⋅=
⋅=
=∈
=⇒≠∧=
−−
++
nn
nn1n
1
0
a1a0an)3
avecesna..........aaaaa:bieno
aaa
aan)2
1a0a0n)1
Z
z444 3444 21
Teorema 1: ZR ∈∈ nm,;b, a:adecuadas nesrestriccio las Con
1. nmnm aaa +=⋅
2. nmn
ma
aa −=
3. ( ) nmnm aa ⋅=
4. ( ) nnn baba ⋅=⋅
5. n
nn
ba
ba
=
6. nn
ab
ba
=
−
1.4.5 Notación Científica
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Con frecuencia, los científicos e ingenieros trabajan con números muy grandes o muy
pequeños. Por ejemplo, la frecuencia de una señal de radio de FM puede ser de
14.200.000.000 hertz ( o ciclos por segundos ) y el diámetro de un átomo es
aproximadamente de 0,0000000001 metros. Como es difícil trabajar con muchos ceros,
los científicos acostumbran expresar tales números con exponentes. Por ejemplo, el
número 14.200.000.000 puede escribirse como 1,42 x 1010, y 0,0000000001 como
1 x 10-10 o ( 10-10 ) están en una forma llamada notación científica.
Definición 1: Un número está escrito en notación científica cuando se expresa en la
forma:
enterounesny,10k1donde10k n <≤⋅
Es decir es una manera de escribir cantidades muy grandes o muy
chicas en forma abreviada utilizando las potencias de 10 tanto con
exponentes negativos como positivos.
Algoritmo para escribir un número en notación científica:
1. Mueva el punto decimal en el número a la derecha del primer dígito distinto de cero.
Con esto se obtiene un número mayor o igual a 1 y menor que 10.
2. Cuente el número de lugares que movió el punto decimal en el paso 1. si el número
original fue 10 o mayor que 10, la cuenta se considera positiva. Si el número original
fue menor que 1, la cuenta se considera negativa.
3. Multiplique el número obtenido en el paso 1 por 10 elevado al número ( potencia)
determinado en el paso 2.
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Algoritmo para convertir un número en notación científica a forma decimal.
1. Observe el exponente de la base 10.
2. (a) Si el exponente es positivo, mueva el punto decimal hacia la derecha el mismo
número de lugares del exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros al
número. Con esto se obtiene un número mayor o igual que 10.
(b) Si el exponente es 0, el punto decimal en el numero no se mueve de su posición
actual. Elimine el factor 100. Con esto se obtendrá un número mayor o igual a 1
pero menor que 10.
(c) Si el exponente es negativo, mueva el punto decimal hacia la izquierda el mismo
número de lugares que el exponente. Tal vez sea necesario agregar ceros. Esto
produce un número menor que 1.
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A continuación se presenta un resumen de las potencias de 10 y los prefijos y sufijos que
se sustentan en ellas y que son de gran utilidad en las diferentes asignaturas de tu
especialidad:
NOMBRE SIMBOLO VALOR
Yotta Y 1.000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 2410Zetta Z 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 2110exa E 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 1810peta P 1. 000. 000. 000. 000. 000 = 1510tera T 1. 000. 000. 000. 000 = 1210giga G 1. 000. 000. 000 = 910mega M 1. 000. 000 = 610kilo K 1. 000 = 310hecto H 100 = 210deca D 10 = 110unidad 1 = 010deci d 0.1 = 110−
centi c 0. 01 = 210−
mili m 0. 001 = 310−
micro µ 0. 000. 001 = 610−
nano n 0. 000. 000. 001 = 910−
pico p 0. 000. 000. 000. 001 = 1210−
femto f 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 1510−
atto a 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 1810−
zepto z 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 2110−
yocto y 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 2410−
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GUÍA DE EJERCICIOSPOTENCIAS
1-. Realice las operaciones indicadas utilizando los teoremas sobre exponentes
enteros positivos:
2-. Calcular el valor numérico de
3-. Simplifique las expresiones siguientes de modo que el resultado no contenga
exponentes negativos ni cero :
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )232234
3
422
43
53522
2
334223225
yxyxyx2yx4yx2)f
yx12yx48yx12)c
y7x3x2y7x3x2)ezyx7zx4yx5)b
yx3yx21yx27yx9)dyx21yx4)a
−
+−
−
+
−⋅−
−−−⋅⋅
+−−⋅
nmnm)b
babaa2ba)a
33
35
32023
++++ −−
−−
−−
( ) ( )( ) ( )
2b2,0aparaabba
baab
babaA
36
45−==
−
+⋅
−−
−⋅
−−−
=
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4-. Ejecute las operaciones indicadas y simplifique si es posible:
5-. Expresar en potencia de diez los siguientes números:a) 0,01b) 0,00002 + 0,003 × 0,01 + 0,00007c) 300.000.000.000d) 0,00000000000000000002e) 0,0005 ÷ 0,1 - 0,03 + 5 × 0.003 + 0,0007f) 0,0000000000009 × 0,000000000012 ÷ 0,0000000006 × 0,000000007g) 100.000.000.000 × 500.000.000.000 ÷ 0,000000000000000000000025h) 1 ÷ 0,000000008 + 400.000.0000 - 1 ÷0,00000125
6-. La distancia de la Tierra al planeta Plutón es de 4.58 x 10 9 kilómetros. En abril de
1983, el Pioneer 10 transmitió señales de radio desde Plutón hacia la Tierra a la
velocidad de la luz, 3.00 x 105 kilómetros por segundo. ¿ Cuánto tardarán ( en
segundos) las señales en llegar a la Tierra?
( )( ) ( )
( )
( ) 3
2
1
11
11
22111
3321235
32023
x1x1)h
yxyx)g
yxyx)fyx)e
yy52yy2y3y)dba
baa2ba)c
−
−
−
−−
−−
−−−−−
−−−−−
−−
+
−
+
+
+
++
⋅+−−⋅+++
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
nm
n4m
n5n
n2
n3m
3b2b
3b2b
b1b
1b
12231m2m1m2m
12112
2221212
1221
xx
xx)j
8127
39)i
b32b3b2)h81279)g
x3x5x)f32)e
1x1x1x)db3b2)c
x3x2x)bx)a
2
+
+
+
+−
−+
+
−
−−++−
−−−−−
−−−−−
−−−
÷
÷
=−−−÷⋅
−+−−
−−⋅+⋅−⋅
=−÷−−
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7-. Un año luz es la distancia que la luz recorre en un año. Encuentre el número de
millas en un año luz, si la luz viaja a 1,86 x 10 5 millas por segundo.
8-. Cuando la distancia entre los centros de la Luna y la Tierra es de 4.60 x 108 metros,
un objeto sobre la línea que une los centros de la Luna y de latiera ejerce la misma
fuerza gravitacional sobre cada uno cuando este se encuentra a 4,14 x 108 metros
desde el centro de la Tierra. ¿ Cuál es la distancia del objeto al centro de la Luna en
ese punto?
9-. La distancia al sol es de 93.000.000 millas. Si una nave espacial viaja a una
velocidad de 3100 millas por hora, ¿ cuánto tiempo tardará en llegar al Sol?
10-. El Pioneer 10, una sonda del espacio profundo, se demoró 21 meses para viajar de
Marte a Júpiter. Si la distancia de Marte a Júpiter es de 998 millones de kilómetros,
determine la velocidad promedio del Pioneer 10 en kilómetros por hora (suponga
que hay 30.4 días en un mes)
11-. Los futuros computadores podrían ser fotónicos ( es decir, que operan mediante
señales de luz) más que electrónicos. La velocidad de la luz (3 x 1010 s
cm ) será un
factor limitante para el tamaño y la velocidad de tales computadores. Suponga que
una señal debe ir de un elemento de un computador fotónico a otro en un
nanosegundo, ¿ cuál es la distancia máxima posible entre estos dos computadores.
Dé su respuesta (a) en centímetros y (b) en pulgadas.
(Información relacionada con el tema en la revista IEEE SPECTRUM august 2002
o www.ieee.org)
12-. La capacidad de almacenamiento de un computador se describe en kilobytes, donde
1k representa un kilobyte ( o aproximadamente 1000 bytes) de memoria. Si se
quiere un byte para representar un solo símbolo como una letra, un número, un
signo de puntuación, ¿ aproximadamente cuántos símbolos es capaz de almacenar
un computador de 512k? Dé la respuesta(a) en forma decimal (b) en notación
científica.
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1.4.6 Las Raíces en Reales
Definición 1: r, a ∈ R; n∈ N *:
1) r es una raíz de orden n ( o es una Raíz Enésima) del número a, si
sólo si:
ar n =
2) ar/RrR nna =∈= Conjunto de las Raíces Enésimas de a
Si n = 2 : Raíces Cuadradas.
n = 3 : Raíces Cúbicas.
n = 4 : Raíces Cuartas.
....................................
Teorema 1:Todo número real positivo tiene siempre una y una raíz enésima positiva
(de orden n)
Definición 2: 1) La única raíz positiva de orden n del número positivo a se denomina
La Raíz Aritmética de Orden n de a.
Se denota:
n a donde n : índice de la raíz
: radicala : número subrradical
2) 00n =
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Teorema 2: En Reales
1.
−=⇒
+∈ nnn
a a,aRpar:n,a R
2.
=⇒
+∈ nn
a aRimpar:n,a R
3. [ ]φ==⇒
∈ n
aRpar:n,a -R
4.
−−=⇒
−∈ nn
a aRimpar:n,a R
5. 0Rn0 =
Propiedades de las raíces aritméticas:
Teoremas 3 : Con las restricciones adecuadas.
1. ( ) ( )nn baba =⇒= 2. nnn baba ⋅=⋅
3. nn
n
ba
ba=
4.
( ) n mmn aa =
5. aan n =
6. n nn baba ⋅=⋅
7. n qpn pq aa =⋅ ⋅
8. mnm n aa ⋅=
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Potencias de base real positiva y exponente racional
Definición 3: :entonces,n,m;a +∈∈+∈ ZZR
n mnm
aa =
Teoremas 4 : QR ∈+∈ q,p;b,a . Con las restricciones adecuadas:
1. qpqp aaa +=⋅ 2. qpq
pa
aa −=
3. ( ) qpqp aa ⋅= 4. ( ) ppp baba ⋅=⋅
5. p
pp
ba
ba
=
Racionalización de algunos tipos de expresiones:
1. b
babb
ba
ba
=⋅=
2. bba
b
b
b
a
b
a n mn
n mn
n mn
n mn m
−
−
−
=⋅=
3. ( )
cbcba
cbcb
cba
cba
−−⋅
=−
−⋅
+=
+
4. ( )( )
( )[ ]( ) c2cb
ccbaccbccb
dcba
dcba
−+
−+⋅=
−+
−+⋅
++=
++
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GUÍA DE EJERCICIOSRAICES
1-. a) ¿ Cuántas raíces cuadradas debe tener todo número real positivo? Indíquelos.
b) Determine todas las raíces cuadradas del número 36.
c) Cuando nos referimos a “ la raíz cuadrada”, ¿ a cuál raíz nos estamos
refiriendo?
d) Determine la raíz cuadrada de 36.
2-. Explique por qué 49− no es un número real.
3-. ¿Una expresión radical con un índice par y un número real como radicando será
siempre un número real? Explique su respuesta.
4-. ¿En qué circunstancias la expresión dada no es un número real?
a) n x b) n mx
5-. La fórmula para el periodo de un péndulo ( el tiempo requerido para que el péndulo
haga una oscilación completa) es gl2T π= donde T es el periodo en segundos, l
es su longitud en pies y g es la aceleración de gravedad. En la tierra la gravedad es
32 2seg
pies .
a) Determine el periodo de un péndulo cuya longitud es de 6 pies.
b) Si se duplica la longitud de un péndulo, ¿ qué efecto tendrá esto sobre el
período? Explique.
c) La gravedad de la Luna es 61 la de la Tierra. Si un péndulo tiene un periodo de 2
segundos en la Tierra, cuál será el periodo del mismo péndulo en la Luna?
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6-. La iluminación I, en candelas-pie, producida por una fuente de luz se relaciona con
la distancia d, en pies, desde la fuente de luz por la ecuación Ikd = , donde k es
una constante. Si k = 640 , ¿ qué tan lejos de la fuente de luz habrá una iluminación
de 2 candelas – pies? Dé el valor exacto, y luego redondee al décimo de pie más
cercano.
7-. Simplifique cada una de las expresiones siguientes ( todas se suponen definidas) :
8-. Realice las operaciones indicadas y exprese el resultado en la forma más simpleposible:
( ) ( )
31933326
)eab
ba2)d
34731628)cba
yy
xbxya)b
1a1aaaaaaa)a
21
21
1
32
234
1
22
231
221
21
21
23
225
327
−
+
−
⋅
+−−
⋅
⋅
+⋅
−+−+−+−
−
−
3232
3232
)j
432)iy
zx169)h169)g
5412
)f25)e264)d
243yx)c
zyx64)b
yx3)a
4324
26
433
67
2
22
3
+
−+
−
+
⋅⋅
⋅
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9-. Simplifique las expresiones siguientes de modo que el resultado no contengaexponentes negativos o fraccionarios:
( ) ( )
+−−++
−++⋅
−−−⋅
322322
3 222222223
bab2abab2ab21)c
babababab4)b
10-. Factorice y simplifique:
( )2
23331
31
31
31
ba2ba4ba)a
−
+−
+⋅
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1
2
21
21
2
21
2221
23
21
23
22
22
a
aa
a2)f
yxyx2yxyxyxyx)e
0a
1bab2a
1bab2a
1bab2a
1bab2a
)d
−
−
−−−
+
+−
+⋅+−+−+−⋅+
>
+−−
++
+−+
++
21
22223
22
22
21
2221
222
2
)ba(a)ba()d
xa)xa()xa(x)c
16x8x)b
726)a
+++
−
−+−
++
−
−
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11-. Simplifique las expresiones siguientes :
12-. Evalué:
13-. Racionalizar:
( )
( )21
21cx
cx121
xcxc
333 233 2
3 23 2
3 23 2
1a1
a1
1a
3
cbaecab
ebacbeae)e
ax:xxa2a
xaxa
xa
xa)d
xx)c
33)b2222)a
2
+
−+
−
+−
++
−
+
−
−−−
+
−
+
6868
)fcba
1)e
2375
)d53
2)cx
1)b23
)a7 2
+
−
−+
−
−
+
22xsi,x
x41
x421)b
1a,a1ax2si
1xx
1x)a
32222
3
22
4
2
2
=
−−
+
−−
>+=−−
−
−−
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1.4.7 Logaritmos
Definición 1: .IR,IRn;1b,IRb ∈α∈≠∈ ++ Entonces el número α se llama el
logaritmo de n en base b, si y sólo si:
nlog anota se y,nb b=α=α
Observación 1: i) Los logaritmos son exponentes, y de acuerdo a la definición
( ) ( )nb)nlog(nb nlogb
b =⇔=α⇔=α
ii) Solo los números reales positivos tienen logaritmos.
iii) Cuando la base de un logaritmo es 10, ésta base no se anota.
iv) En nb =α el número n : argumento del logaritmo.
Teoremas-. Con las condiciones requeridas
1) ( ) )qlogplog(qp bb =⇔=
2) 1blogb =
3) IRnnblog nb ∈=
4) 01logb =
5) rlogqlogplog)rqp(log bbbb ++=⋅⋅
6) plogp1log bb −=
7) qlogplogqplog bbb −=
8) IRr,plogrplog br
b ∈=
9) plogn1plog b
nb =
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Sistemas de Logaritmos
Un sistema de logaritmos es el conjunto de los logaritmos de todos los números reales
positivos respecto de una misma base.
Cualquier número real positivo distinto de 1 puede usarse como base de un sistema de
logaritmos. En matemáticas y en las restantes ciencias se usan por lo general dos
números como bases, que dan origen a dos Sistemas de Logaritmos:
1) El sistema de Logaritmos Decimales ( Vulgares o de Briggs ) cuya base es el
número 10 y que se anotan : log n.
2) El sistema de Logaritmos Naturales (Neperianos o de Neper) cuya base es un
número real irracional llamado el Número e, cuyo valor aproximado es 2,718281....
El usar éste número como base de un sistema de logaritmo puede parecer extraño,
pero su uso simplifica notablemente muchas fórmulas, teoremas y muchos aspectos
teóricos de la matemática. Los logaritmos naturales se anotan: ln x, Ln x, L x,.......
Observación 2: El valor del número e se aproxima por medio de la expresión :
n
n11
+ conforme n toma valores cada vez más grandes. Escribimos
cuando 71828182,2en11,n
n≈→
+∞→ . (→ , léase tiende a )
Véase la tabla siguiente:
n Valor aproximado de n
n11
+
1 22 2,255 2,48832
10 2,5937425 2,66584
50 2,69159100 2,70481500 2,71557
1.000 2,71692 10.000 2,71815
1.000.000 2,71828
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Cambio de Base
Conocidos los logaritmos de los números respecto de una base, se pueden obtener los
logaritmos respecto de otra base multiplicando los logaritmos del primer sistema por una
constante de proporcionalidad que se calcula de antemano: Cambiar de Base. De este
modo se tiene que :
Conocidos los logaritmos de los números n respecto de la base b se pueden obtener los
logaritmos de esos mismos números respecto de una base a de acuerdo a:
nlogalog
1nlog bb
a ⋅=
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GUÍA DE EJERCICIOSLOGARITMOS
1-. Cambiar las expresiones dadas, a la forma logarítmica.
a) 43 = 64 b) 27 = 128
c) 10-3= 0,001 d) t r = s
2-. Cambiar las expresiones dadas, a la forma exponencial.a) 31000log10 = b) 201,0log −=
c) 01log7 = d) 5243
1log3 −=
e) prlogt = f) 481log3 =
3-. Calcular las expresiones dadas.
a) 128log641log
161log 222 +− b) 100log001,0log
41log2 −+
c) 000.000.10log000.10log000,0log 1,0 −+ d) 243
1log243log313 −
e) 64log729log729log41
313 −+ f) 3
31
21 729log225,0log5 −−
4-. Escriba la expresión dada como un solo logaritmo
a) )3x2(log5)2x(log31xlog2 aaa +−−+
b)
+−
yxlog3yxlog2xylog a
3a
32a
5-. Desarrollar usando los teoremas sobre logaritmos.
a) 35
2
azy
xlog b) 3a zyxlog c)
3 2
6
az
yxlog
6-. Demostrar
a) )223(log223223log
21
aa +=−+
b) =++
xbxb
log22
a -x
bxblog
22
a−+
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1.5 ECUACIONES EN IR
1.5.1 Introducción
Las ecuaciones en IR son igualdades entre números reales que contienen una o más
incógnitas o variables. Resolver una ecuación es encontrar los números reales que
sustituidos por las incógnitas transforman la ecuación en una igualdad verificable. El o los
números reales encontrados constituyen una solución de la ecuación.
En Matemáticas, cuando hablamos de aplicaciones hablamos de resolver problemas. Las
ecuaciones permiten plantear y resolver algunos tipos de problemas. Este aspecto del
entrenamiento matemático es de tal importancia, que el National Council of Teachers ofMathematics de Estados Unidos recomendó que, durante la presente década, todo el
proceso de enseñanza – aprendizaje en Matemática se centrara en la resolución de
problemas. La resolución de problemas comprende la aplicación de la Matemática al
mundo físico, servir a la teoría y práctica de otras asignaturas o ciencias y plantear y
resolver problemas que extiendan las fronteras de las Matemática misma. Los estudiantes
deben aprender a:
- formular preguntas claves;
- analizar y conceptuar problemas;
- definir el problema y sus metas;
- descubrir patrones y similitudes en los problemas;
- buscar información apropiada;
- experimentar ( en Matemática );
- trasladar destrezas y estrategias a nuevas situaciones;
- escarbar en sus conocimientos para aplicar la Matemática.
El siguiente ejemplo nos parece adecuado:
Alrededor del año 240 A.C. Eratóstenes, estando a cargo de la biblioteca de Alejandría,
supo que en Syena, al mediodía, los rayos del sol se reflejaban en el agua de un pozo
profundo. Este hecho mostraba que el sol estaba directamente sobre ese punto de la
tierra y, en consecuencia, sus rayos apuntaban en línea recta al centro de la tierra. En el
mismo día y hora, la medición de la sombra proyectada por un pilar en Alejandría,
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A
s
C
mostraba que los rayos del sol incidían en ese punto de la tierra formando un ángulo de
o
5
17 con la vertical, como muestran las figuras 1, 2, 3.
Como los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes, entonces
o
5
17OBCAOB =∠=∠ dado que o
5
17 es 501 de los o360 que comprende el circulo y el
arco s (distancia desde Syena a Alejandría es casi exactamente 480 millas, Eratóstenes
concluyo que la circunferencia completa (longitud de un meridiano) es de: (50) (480
millas) = 24000 millas. (240 años A.C.)
B
Figura 1 Figura 2
Figura 3
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Obsérvese que este ejemplo reúne casi todos los objetivos de aprendizaje que hemos
propuesto, además de ser una excelente muestra de la verdadera importancia de la
Matemática en ingeniería: proporcionar comprensión.
Otra razón por la cual hemos incluido este ejemplo es para contrastarlo con el típico
problema que enfrenta el estudiante y cuyo enunciado sería más o menos como sigue: En
la figura 3, OA es paralela con BC y ∠ OBC = o
5
17 . Si s = 480 millas, calcule el
perímetro de la circunferencia.
Meditemos , entonces acerca de cuánto pierde aquel estudiante que piensa que su único
objetivo ante este problema consiste en obtener un resultado como sea . Las
recomendaciones que se dan a continuación un primer paso en la enseñanza –
aprendizaje.
Resolución de problemas:
A continuación se describe brevemente que se entiende por un problema en matemática y
como se debe proceder para resolverlo:
Problema es toda situación en que se trata de determinar ciertos elementos llamados
incógnitas a partir de otros llamados datos.
El enunciado es la proposición en la que se definen los datos, las incógnitas y las
relaciones que verifican los datos e incógnitas.
La resolución es el procedimiento mediante el cual se determinan los valores de las
incógnitas (raíces o soluciones del problema). Esta puede esquematizarse en los
siguientes pasos:
i) la elección de la (s) incógnita (s)
ii) el planteo de la (s) ecuación (es) correspondiente (s) al enunciado
iii) la solución de la (s) ecuación (es)
iv) la verificación y discusión de la (s) solución (es)
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Es decir , resolver un problema supone que usted debe:
1. Leer cuidadosamente el enunciado.
2. Reconocer los datos y despreciar la información superflua.
3. Identificar la o las incógnitas.
4. Introducir una o más variables.
5. Establecer las ecuaciones que relacionan los datos y lo que se quiere
averiguar, según las normas dictadas por el enunciado.
6. Resolver las ecuaciones, y
7. Comprobar y discutir las raíces o soluciones.
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1.5.2 La Ecuación de Primer Grado con una variable en reales.
Una ecuación de primer grado con una variable en reales es toda ecuación de la forma:
a x + b = 0, con a ∈ IR* b , x ∈ IR.
x : la variable o incógnita de la ecuación.
a,b : números reales dados de antemano.
Teorema 1:La ecuación a x + b = 0 , con a ∈ IR* b , x ∈ IR tiene siempre una y sólo una
solución en IR:
abx −=
Ecuaciones de Primer Grado con más de una variable en reales.
Son ecuaciones de la forma: ax + by + c = 0
o ax + by + cz + d = 0
donde: x, y, z............. son las variables; a, b, c, números reales dados de antemano.
Estas ecuaciones tienen infinitas soluciones, que se obtienen despejando una de las
variables y dándole valores arbitrarios a las otras. Cada solución es un par, un trío, un
cuarteto......ordenado. Estos resultados pueden darse tabulados donde los elementos de
cada línea de la tabla es una solución de la ecuación.
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Sistemas de ecuaciones lineales:
a) sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
Son de la forma:
=+=+
222
111
cybxacybxa
.......forma normal
b) sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables.
Son de la forma:
=++=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxadzcybxadzcybxa
..... forma normal
Para resolver estos sistemas se elimina una de las incógnitas o variables combinando las
ecuaciones, se continúa de éste modo hasta obtener una única ecuación con una única
variable.
Para eliminar incógnitas se usan por lo general dos procedimientos:
a) Por sustitución : que consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones
y sustituirla en las restantes.
b) Por reducción o igualación de los coeficientes de la variable que se desea eliminar.
En general es largo el procedimiento para resolver sistemas y su estudio condujo al
descubrimiento de los determinantes que simplifican bastante éstos problemas.
Determinantes de 2 x 2 y de 3 x 3 en reales
1) Determinantes de 2 x 2:
Están formados por cuatro números reales ordenados, formando un cuadrado de
dos filas y de dos columnas. Representan a un número real.
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a2b1 a1 b2
= (a1 b2) – (a2 b2)
AB
22
11
ba
ba
El número real que representa se calcula:
22
11
baba
2) Determinantes de 3 x 3
Están formados por nueve números reales ordenados formando un cuadrado de
tres filas y de tres columnas. Representa a un número real, que se calcula:
222
111
333
222
111
c b a c b a
)B(A c b a
c b a c b a
−=
Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
Los sistemas de n ecuaciones lineales con n variables se resuelven con determinantes
según la regla de Cramer. Cada variable es igual al cuociente del determinante
correspondiente a la variable dividido por el determinante principal ∆ del sistema.
Primera fila
Segunda fila
Segunda columna
Primera columna
213
132
321
cbacbacba
+
+
312
231
123
c b ac b ac b a
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1) En:
=+=+
222
111
cybxacybxa
el determinante principal del sistema es 22
11
baba
=∆
22
11X bc
bc=∆ ,
22
11y ca
ca=∆ Determinantes correspondientes a las variables.
La solución del sistema es :
∆
∆=
∆∆
=
y
x
y
x o
∆
∆
∆∆ yx ,
2) En:
=++=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxadzcybxadzcybxa
c b a
c b a c b a
333
222
111
=∆
c b d
c b d c b d
333
222
111
X =∆ c d a
c d a c d a
333
222
111
y =∆ d b a
d b a d b a
333
222
111
z =∆
La solución del sistema es:
∆∆
∆
∆
∆∆ zyx ,,
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1.5.3 Ecuación de Segundo grado con una variable en reales
Definición 1: Se llama Ecuación de Segundo Grado con una Variable, a todaecuación que puede ser anotada de la forma de la forma:
IRx,c,b;IR a con,0cxbxa *2 ∈∈=++
Para obtener las raíces o soluciones de la ecuación 0cxbxa 2 =++ realizaremos elsiguiente procedimiento:
a2ac4bb
xa2
ac4bbx
:ecuaciónladesolucioneslasobtenemosrealesenvisto16teorema
elaplicando0a2
ac4ba2
bxa2
ac4ba2
bx
dofactorizan0a2
ac4ba2
bx
cuadradosde
diferenciacomoresandoexpy0aigualandoa4
ac4ba2
bx
fraccioneslassumandoydofactorizanac
a2b
a2bx
abx
a2b/
acx
abx
a1/cxbxa
)c(/0cxbxa
22
22
222
2
22
222
22
2
2
−+−=∨
−−−=
=
−−+⋅
−++
=
−−
+
−=
+
−
=
++
+−=+
⋅−=+
−+=++
2: Se llama Discriminante de la ecuación 0cxbxa 2 =++ al número
real ca4b2 −=∆
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Teorema 1: La ecuación 0cxbxa 2 =++ :
1) Si 0>∆ : tiene dos y sólo dos raíces: a2
b,a2
b ∆−−∆+−
2) Si 0=∆ : tiene una y sólo una raíz : a2b−
3) Si 0<∆ : no tiene raíces (en IR )
En el teorema siguiente, cuando 0=∆ , se considera dos veces la única raíz paraaplicarlo.
Teorema 2: En 0cxbxa 2 =++ , si 0≥∆ y las raíces son βα y :
1) ab
−=β+α
2) ac
=β⋅α
3) ( ) ( )β−α−=++ xxacxbxa 2
Ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo grado
Hay ecuaciones que aparentemente no corresponden a ecuaciones de segundo grado,
pero que mediante transformaciones pueden ser resueltas con el teorema 1.
Hay que tener en cuenta:
1) Si para resolver una ecuación esta debe elevarse al cuadrado, es
obligatorio verificar las raíces encontradas en la ecuación
propuesta. Se descartan las que no sirven.
2) Para eliminar los denominadores de una ecuación, se multiplica por
el producto de los denominadores.
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Sistemas de ecuaciones de segundo grado:
Sólo consideraremos sistemas de ecuaciones con dos variables. Por lo menos en una de
las ecuaciones deben aparecer una o las dos variables con exponente 2, o como
números subrradicales, o aparecer el producto de ellas: x y
Por lo general se utiliza el método de sustitución para resolverlas. No olvidemos, que si
elevamos al cuadrado una o las dos ecuaciones debemos verificar las soluciones en el
sistema propuesto.
1.5.4 Ecuaciones Exponenciales
Son ecuaciones donde la o las variables aparecen en el exponente.
Se resuelven:
a) Usando la propiedad “Si dos potencias de igual base son iguales,
sus exponentes, tienen que ser iguales:
)nm()aa( nm =⇒= ”
b) Efectuando transformaciones o sustituciones.
c) Usando logaritmos.
1.5.5 Ecuaciones con Logaritmos
En estas ecuaciones, la variable aparece en el argumento del logaritmo. Se resuelven
aplicando la definición de logaritmo y sus propiedades (vistas en el punto 1.4.7).
Recordemos que el argumento tiene que ser un número real positivo, por lo que en
algunos casos tendremos que verificar el número correspondiente a la variable en la
ecuación propuesta.
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1.6 LOS AXIOMAS DE ORDEN
1.6.1 El orden en los reales.
En IR hay definida una relación binaria a < b, que se lee” (el número real) a es menor que
(el número real) b”
Esta relación cumple los siguientes cuatro axiomas:
Axiomas
1) De Tricotomía:
IRb,a ∈∀ , una y sólo una de las tres proposiciones siguientes es verdadera:a < b, b < a, a = b.
2) De Adición :
( ) ( )cbcaba +<+⇒<
3) De Multiplicación:
( ) ( )cbcac0,ba ⋅<⋅⇒<<
4) De Transitividad:
[ ] [ ]( ) ( )cacbba <⇒<∧<
Algunas propiedades básicas relativas al orden en IR.
Definición 1: ( ) ( )abba <⇔>a > b se lee: a es mayor que b.
2: ( ) [ ] [ ]( )bababa =∨<⇔≤a ≤ b se lee: a es menor o igual que b.
3: ( ) ( )abba ≤⇔≥a ≥ b se lee: a es mayor o igual que b.
4: 0a/IRaIR >∈=+
Conjunto de los Números Reales Positivos. 0a/IRaIR <∈=−
Conjunto de los Números Reales Negativos.
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Observación 1: Toda proposición matemática que contenga a alguna de los símbolos:
<, >, ≥≤ , , se llama una desigualdad.
2: Se llaman Números pares ( o Múltiplos de 2 ) a los números naturales
que se obtienen al multiplicar los números naturales por 2: 0,2,4,6......
Se llaman Números Impares a los números que no son pares: 1,3,5,7....
Teorema 1 : En IR
1: Tricotomía para a < b, b < a, a = b.
2: ( ) ( )baba −>−⇔<
3: ( ) ( )0a0a <−⇔> , ( ) ( )0a0a >−⇔<
4: ( ) ( ) ( )0ba0ab0a <−⇔>−⇔<
5: ( ) ( )bacbca <⇒+<+
6: ( ) ( )0a0a 2 >⇒≠
7: 0a:IRa 2 ≥∈∀
8: ( ) ( )0a0a2 ≠⇒>
9: 1 > 0
10: ( ) ( )cbca0c,ba ⋅>⋅⇒<<
11: ( ) ( )cba:0c!ba +=>∃⇔>
12: LLLL 3210123 <<<<−<−<−
13: ( ) ( )0ba,0ba0b,0a >⋅>+⇒>>
14: ( ) ( )dbcadc,ba +<+⇒<<
15: ( ) ( )cbcadc0,ba0 ⋅<⋅⇒<<<<
16: ( ) ( )0ba0b,ba <⋅⇔<>
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17: [ ] [ ]( ) ( )0ba0b,0a0b,0a >⇔<<∨>>
18: ( )
>⇔> 0
a10a , ( )
<⇔< 0
a10a
19: ( )
<⇒><
cb
ca0c,ba
( )
>⇒<<
cb
ca0c,ba
20: ( )
<⇒<<a1
b1ba0
21: ( ) ( )bca:IRcba <<∈∃⇒<“ IR es denso con la relación < ”
22: 0a/a >∈=+ ZZ , 0a/a <∈=− ZZ
23: ( ) ( )0apar:n,0a n >⇒≠
( ) ( )0aimpar:n,0a n >⇒>
( ) ( )0aparim:n,0a n <⇒<
24: Desigualdad de Bernoulli: k∈ IR , k > -1, entonces INn ∈∀ :
( ) nk1k1 n +≥+ .
Observación 1: Si en los teoremas anteriores se cambia (< ) por (≤ ), los teoremas
conservan su validez.
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1.6.2 Intervalos en reales.
EL Eje de los Números reales o la recta numérica.
IRP1012 → −−
“A cada punto del eje real le corresponde un único número real, y a cada número real le
corresponde un único punto del eje real (correspondencia biyectiva o biunívoca)”
Intervalos en reales
Definición 1: Intervalos Finitos en IR; de extremo inicial a y extremo final b.Si a< b :
1) [ ] bxa/IRxb,a ≤≤∈= : Intervalo cerrado en IR2) ( ) bxa/IRxb,a <<∈= : Intervalo abierto en IR3) [ ) bxa/IRxb,a <≤∈= : Intervalos semi abiertos o ( ] bxa/IRxb,a ≤<∈= semi cerrados en IR.
Definición 2: Intervalos infinitos en IR1) [ ) xa/IRx,a ≤∈=∞+2) ( ) xa/IRx,a <∈=∞+3) ( ] ax/IRxa, ≤∈=∞−4) ( ) ax/IRxa, <∈=∞−
Gráficamente:
Definición 1: Definición 2:
[ ] x [ x a b a + ∞
( ) x ( x a b a + ∞
[ ) x ] x a b -∞ a
( ] x ) x a b -∞ a
Abscisa de P
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1.6.3 Inecuaciones Lineales
Una inecuación en IR es una desigualdad que contiene una o más variables. Resolverla
es encontrar los valores de las variables que la satisfacen.
Para resolverlas se van aplicando los teoremas 1 al 24. La solución se expresa por lo
general usando intervalos en IR.
En los sistemas, se resuelve cada inecuación independientemente y se compatibilizan las
soluciones parciales.
1.6.4 Inecuaciones Cuadráticas
Una inecuación cuadrática o inecuación de segundo grado es cualquier función
proposicional que pueda escribirse como una desigualdad de la forma:
0cxbxa 2 <++ 0cxbxa 2 ≤++
0cxbxa 2 >++ 0cxbxa 2 ≥++
La resolución de una inecuación de segundo grado es algo más compleja que la de primer
grado. Primeramente, a cada una de las inecuaciones anteriores se le asocia la ecuación:
0cxbxa 2 =++ . Sea ac4b2 −=∆ ( discriminante de la ecuación ). Sabemos que
según sea 0>∆ , 0=∆ , 0<∆ , la ecuación tendrá dos raíces reales distintas, dos raíces
reales e iguales o dos raíces complejas, respectivamente. Denotando por βα, las raíces
de 0cxbxa 2 =++ el análisis de las inecuaciones se reduce a seis casos. Las
soluciones en cada uno de ellos se obtiene fácilmente si consideramos la gráfica de
cxbxay 2 ++= .
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Si a > 0
Si a < 0
Ejemplo 1: Resolver 2 x2 + x –15 > 0
R) Se tiene a = 2, b = 1, c = -15 , ∆ = (1)2 – 4 (2) (-15) = 121
Las raíces del trinomio son : α = - 3, β = 25
Estamos en el caso: a > 0 (parábola abierta hacia arriba)
∆ > 0 (parábola corta a OX en –3 y 25 )
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por lo tanto 2x2 + x –15 > 0 si x ∈ ( - ∞, -3 ) ∪
∞+,
2
5
lo que expresado en un cuadro:
- ∞ + ∞
x : -3 2
5
2x2 + x –15 + 0 - 0 +
Cuadro que da las variaciones de signo de 2x2 + x –15 cuando x recorre IR
Observación 1: A veces es necesario estudiar las variaciones de signo de expresiones
más complicadas. Cuando se trate de productos o de cuocientes se
construyen cuadros como los señalados en los ejemplos anteriores en
base a los valores que anulan las expresiones que intervienen : Valores
Críticos ( V.C)
Ejemplo 2: Resolver 01x8x16
15xx22
2≥
−+−
−+
R) - ∞ + ∞
Para 2x2 + x –15 x : -3 2
5
2x2 + x –15 + 0 - 0 +
- ∞ + ∞
Para -16x2 + 8x –1 x : 4
1
-16x2 + 8x –1 - 0 -
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Los valores críticos ( V C ) son : - 3, 2
5 , 4
1 combinando ambos cuadros:
- ∞ + ∞
x - 3 4
1 2
5
2x2 + x –15 + 0 - - - 0 +
-16x2 + 8x –1 - - - 0 - - -
1x82x16
15x2x2
−+−
−+ - 0 + ∃/ + 0 -
01x8x16
15xx22
2≥
−+−
−+ si x ∈
−
41,3 ∪
25,
41
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1.6.5 Módulos o valores absolutos en IR
Definición 1: Si IRa ∈ , el valor absoluto de a, denotado por a , es:
<−>=
=0asia0asia0asi0
a
a : módulo de a , o valor absoluto de a.
La más importante aplicación del valor absoluto se encuentra en la definición de límite,
pilar sobre el que se asienta el Calculo Diferencial.
Teoremas : En IR
1: IRa0a ∈∀≥
2: IRa ∈∀
aa2 =
3: ( ) ( )baba =⇒=
4: ( ) ( )0a0a =⇒=
5: aa −=
cbacba +−−=−+
6: aaa ≤≤−
7: :0b ≥
( ) ( )ba,baba −==⇔=
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8: :0b >
( ) ( )babba <<−⇔<
( ) ( )babba ≤≤−⇔≤
9: :0b ≥
( ) ( )ba,baba −<>⇔>
( ) ( )ba,baba −≤≥⇔≥
10: baba +≤+ : Desigualdad triangular
cbacba −++≤−+
11: baba ⋅=⋅
cbacba ⋅⋅=⋅⋅
12: ba
ba
=
a1
a1
=
13: Z∈nnn aa =
1.6.6 Conjuntos acotados en IR
Definición 1: IR,;A,IRA ∈βαφ≠⊆1) ( A está Acotado Superiormente en IR porα ) )Aaa( ∈∀α≤⇔
:α una cota superior de A
2) ( A está Acotado Inferiormente en IR porβ ) )Aaa( ∈∀β≥⇔:β una cota inferior de A
3) ( A está Acotado en IR ) ⇔ ( A está Acotado superiormente e inferiormente en IR)
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Observación 1: ( A está acotado en IR ) ( )Aaka:IRk ∈∀≤∈∃⇔ +
Definición 2: IRi,s;A,IRA ∈φ≠⊆
1) (s es El Supremo o la cota superior estricta de A ) ⇔ ( s es una
cota superior de A, y si ,
s es otra cota superior de A, debe
cumplirse: s ≤,
s )
2) (i es El Ínfimo o la cota inferior estricta de A ) ⇔ ( i es una cota
inferior de A, y si ,
i es otra cota inferior de A, debe cumplirse: i ≤,
i )
Observación 2: El supremo de A es la menor de las cotas superiores de A.
El ínfimo de A es la mayor de las cotas inferiores de A.
Teorema 1:1) Si A tiene supremo, tiene uno y sólo un supremo.
2) Si A tiene ínfimo, tiene uno y sólo un ínfimo.
El axioma de completitud o del supremo en IR
“ Todo subconjunto no vació de números reales que este acotado superiormente en IR,
tiene supremo en IR”
Teorema 2:Todo subconjunto no vacío de números reales que este acotado inferiormente en
IR, tiene ínfimo en IR.
Observación 1: En matemáticas existe solamente Un Cuerpo Ordenado Completo:El conjunto IR de los números reales.
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GUÍA DE EJERCICIOSECUACIONES E INECUACIONES
Resolver las siguientes ecuaciones :
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
discutir,95y
2y5
2y4
4y7)10
discutir,3x1x
31x
6)9
mnxx1
mn1
xm
n1)8
ba6x
xa4
2b
xa)7
baxbxabax)6
45,0x86,2x24,685,3
x27,018,1)5
27,0xx24,316,121,4x64,024,3)4
32x4x1x33x)3
27x04x3x2x1x)2
34x3x21x)1
2
2
22
323
=−
=+
−−
=+
=−
=−=−
==+
−=−=+
=+−=−⋅
=+−⋅−=−⋅
−=+=−−+
−==−+−++
−=+=+−
21x
3x21x2
1x21x2)12
discutir1x3
321x3
x9)11
−=++
=−+
−+=
−
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Despejar la variable que se indica , en términos de las variables restantes.
( )
( ) dparad1naS)20rpararllraS)19
vparatvtg21x)18hparahr3h
31V)17
RparaR1
R1
R1
R1)16rpara
r1aS)15
qpararqqKF)14gpara
g2mvK)13
0022
2321
1221
2
−+=−−
=
+=−π=
++=−
=
==
21) ¿Cuál debe ser el valor de c para que una solución de la ecuación
3x + 1 - 5c = 2c + x - 10 sea -3 ? R= 75
22) Encuentre valores para a y b tales que 5/3 es una solución de la
ecuación ax + b = 0 .¿Son éstos los únicos valores posibles de
a y b ? Explique.
23) a) Encuentre una ecuación en la siguiente lista , que no es
equivalente a la ecuación que la precede.
( )( ) ( )( )
212x1x
2x2x2x1x4x2xx 22
=+=+
−+=−+−=−−
b) Encuentre la solución de la primera ecuación .
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Resolver los siguientes sistemas lineales :
( )
−−−
=++
=−+
=++
−=++=−−
=−+
−−
=−
=−
=+−=−
31,
21,1)1,1,2(
4z1
y1
x1
1z1
y3
x2
4z2
y1
x4
)27y55xz8
11z29y13z51z5y2x3
)26
1,165,
23
3t5
r2
3t4
r1
)2511x4y61y3x
)24
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:
( )( )
( )
01xx)23
a2;a8a16ax6x)31
12;17)2x(x3199x111x)30
1;3242x1x3)29
332;
33201x12x9)28
12
22
222
2
=−+
−=−
−−−=++−
−=−+
−+
=+−
−−
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Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones segundo grado :
( ) ( )
( )
( ) ( )
−
−−−
=−−
=−
−
−
−−
=+
=−
−−
=−
=+
=+
=+
334,3
37,2
34,2
37,1,4,1,4
0y28xy9x4
28xyx2)42
1,21,1,
21,
32,2,
32,2
10y9x4
2xy3x2)41
37,
32,1,6
7xyy
4y2x)40
3,4,4,325yx
7yx)39
22
2
22
2
2
22
( ) ( ) ( )
47x24x21x2)38
979,746x3x4)37
4x712x7x534)36
31;
2184x3x1x2x)35
1;012x4x
1x1x)34
0x9x81)33
2
33
5 356
−=−−+
=−−−
=+−+
−−++=−−+
−=−+
−−+
=++
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43) Para que un túnel pueda ser cavado en 24 días, se necesita una cuadrilla de 150
hombres. Al iniciar las labores, se cuenta sólo con 100 trabajadores. Al finalizar el
día 16 se notifica a la empresa constructora que deberá pagar multas por atrasos en
la entrega del trabajo.
¿ Cuántos trabajadores debe contratar la Empresa, para terminar la obra en 24
días?
(120)
44) En cierto instante el reloj marca dos minutos menos de lo debido, aunque adelanta.
Si marcase 3 minutos menos de lo que debe marcar, pero adelantará al día en ½
minuto más de lo que se adelanta, entonces marcaría la hora exacta un día antes
que en la situación actual.
¿ En cuántos minutos al día se adelanta el reloj?
45) Un fabricante decide vender 6 artículos cuando el saldo de su cuenta bancaria es de
U$1500. Invierte los 3/4 de su nuevo capital en pagar los impuestos y otras deudas.
¿ A cómo vendió cada articulo, si su cuenta bancaria es de U$ 1880 después de
vender 4 artículos más? (U$273,64)
46) Un estanque queda lleno de agua por un grifo abierto durante 3 horas ; otro grifo lo
llenará en 2 horas y un tubo de desagüe lo vaciará en 1 hora y 12 minutos.
Suponiendo que el estanque esté vacío y abiertos , a la vez , los dos grifos y el tubo
de desagüe , ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el estanque?
47) Hallar tres números enteros consecutivos, sabiendo que el cuociente de su producto
por el cuadrado de su semi suma es igual a 130/21
(13,14 y15)
48) ¿Cuál es el número que es igual a la suma de su cuadrado más la fracción n/25,
siendo n un número entero positivo ? .¿ Para qué valores de n admite soluciones
este problema ?. ¿ Para que valores de n dichas soluciones son números
fraccionarios ? (3/5, 2/5, 4/5 ,1/5)
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49) Dos recipientes iguales de 30 litros de capacidad cada uno, contienen en total 30
litros de alcohol. El primer recipiente se llena hasta los bordes con agua y con la
mezcla obtenida se rellena adicionalmente el segundo recipiente. Luego, del
segundo recipiente se echan al primero 12 litros de la nueva mezcla. ¿ Cuánto
alcohol había al principio en cada recipiente, si al final en el segundo hay 2 litros de
alcohol menos que en el primero? 10[ l ] y 20 [ l ]
50) Un avión vuela de A a B en línea recta. Al cabo de cierto tiempo y a causa del
viento contrario, el avión disminuye su velocidad hasta v[ km/h], como resultado de
lo cual tarda t1 minutos. Durante su segundo vuelo, el avión, por la misma causa,
disminuye su velocidad hasta la misma magnitud, pero a d [km] más lejos de A que
el primer vuelo y tarda t2 minutos. Hallar la velocidad inicial del avión.
51) Un ángulo de un triángulo es 1/5 de la suma de los otros dos. El ángulo mayor más
10° es igual al doble de la suma de los otros dos. Encontrar los ángulos.
(30°,100/3°, 582/5°)
52) Dos conductos A y B llenan un estanque en 20 horas. Si el conducto B fuera de
desagüe, se tardaría 52 horas en llenar el estanque. ¿ En qué tiempo se llenará el
estanque, estando abierto solamente el conducto A? , ¿ en qué tiempo solamente
con B? (28,9 [h], 65 [h] )
53) Los obreros A y B trabajaron el mismo número de días. Si A hubiese trabajado un
día menos y B siete días menos, entonces A habría ganado $ 7200 y B $ 6480. Si,
al contrario, A hubiese trabajado siete días menos y B un día menos, B habría
ganado $ 3240 más que A. ¿ Cuánto ganó cada uno en realidad?
($7500, $ 9000)
54) Se diseño un envase en forma de paralelepípedo recto para contener una cantidad
dada de producto. Para este diseño el ancho fue 16 [cm] más largo que el fondo y el
largo fue 5 veces el fondo. Fue necesario rediseñar el envase. Se disminuyó el
largo y ancho en 4 [cm] aumentando el fondo en ¼. ¿ Cuáles fueron las dimensiones
finales del envase? ( 23 [cm], 28 [cm], 60 [cm])
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55) Si dos puntos se mueven sobre una circunferencia en sentidos opuestos de modo
que uno de ellos se mueve con rapidez constante v[m/s], el segundo con aceleración
lineal constante a [m/s2] y en el instante inicial ambos se encuentran en el punto A,
entonces el segundo encuentro será, de nuevo, en el punto A. ¿ Cuánto tiempo
transcurre hasta el primer encuentro? ( v/a ( - 1 ) ) [s]
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
( )( )
( ) ( )
12log)3xlog()2x(log)61
35xlog2
7xlog)60
31033)59
3,12574644)58
958,354)57
3,2813)55
x2x2
x1x
2x1x2
2x1x
−=+++
−+=+
⋅=+
−=+
=
−=
+
+−
+−
3,23)x5(log
)x35(log)65
105,4log17x2log5x7log)64
8,5395,853,11xlog1
1xlog5
1)63
2,2113)4x3(log2)9x7(log)62
3
22
=−−
+=+++
=+
+−
−−=−
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66) La corriente I de cierto circuito eléctrico en el tiempo t está dado por:
IER
eRtL
= −
−
1
en la que E , R y L representa la tensión o voltaje aplicado, la resistencia y la
inductancia, respectivamente. Use logaritmos naturales para evaluar t en términos
de los demás símbolos.
67) Un condensador eléctrico (capacitor) con carga inicial Q se deja descargar.
Después de t segundos, la carga Q es: kt0eQQ =
En la que k es una constante. Use logaritmos naturales para evaluar t e términos de
Q, Q0 y k.
68) La fórmula para el nivel de intensidad del sonido es
decibelesenIIlog100
α
=α
a) Determinar I en función de α y de I0b) Muestre que un incremento de un decibel en el nivel de intensidad alfa
corresponde a un 26% de aumento en la intensidad I.
69) La corriente I (t) en el tiempo t que hay en cierto circuito eléctrico está dada por
I (t) = I0 e –Rt/L, en la que R y L representan la resistencia y la inductancia
respectivamente, e I0 es la corriente en el tiempo t= 0 ¿ En qué momento es la
corriente 0,01 I0?
70) Las estrellas se clasifican en categorías de brillo llamadas magnitudes. A las
estrellas más débiles ( con flujo luminoso L0) se les asigna magnitud 6. A las
estrellas más brillantes se les asigna magnitud conforme a la fórmula:
0LLlog)5,2(6m −=
en la que L es el flujo luminoso de la estrella.
a) Determine m si L = 10 0,4 L0.
m) Resuelva la fórmula para evaluar L en términos de m y de L0.
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71) Resolver las siguientes inecuaciones y dar la respuesta usando intervalos en R.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ] ( ]
( )
( )∞>−
∞∪∞−<
−∪−∞−≤+−
<−
∅<++
∪−−<+−
−+≤−+
∞∪∞−−>−
∞++>++
∞−>−−+
−∞−−≥−
,7:R07x
1)k
,310,:R3
x1)j
3,13,:R01x9x)i
RI:R6x2)h
:R016x8x)g
2,33,2:R012x7x)f
23,4:R4x38x5x5)e
,51,:R5x6x)d
,1:R)3x()7x2()5x()2x(2)c
29,:R2)1x(5)2x(3)b
815,:R4x1119x3)a
2
2
2
24
22
2
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( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ )
∞∪
∞−<
−−
≤+−
∞∪
>
−−
∞∪−∞−<++
−<−
∞∪∞−>+
−<
∪
−<
++
+−
+−
∪
−−≤
+−+−
∪−∞−−
>−
,67
21,:R4
1xx23)u
3,0:R22x3x)t
,77,4
15:R2x71x2)s
,12,:R31x5x)r
4,32:R7x35)q
,26,:R84x2)p
2,2:R2x)o
2,121,1:R0
2x3x2x
2x3xx)n
5,21
34,7:R0
7x5x4x31x2)m
5,35,:R5x
53x
4)l
2
22
72) Una resistencia de 7 ohmios y una resistencia variable se instalan en paralelo. La
resistencia resultante RT esta dada por R7
R7RT += , determine los valores de la
resistencia variable R para los cuales la resistencia resultante RT será mayor de 3
ohmios
73) La intensidad I en lumen de cierta fuente de luz en un punto a r centímetros de la
fuente está dada por 2r625I= ¿ A qué distancia de la fuente de luz la intensidad será
menor de 25 lumens?