Mechanika kontinua

Mechanika elastických tělesMechanika kapalin

Mechanika kontinuaMechanika kontinua

• Mechanika elastických těles

• Mechanika kapalin a plynů– Kinematika tekutin– Hydrostatika– Hydrodynamika

KontinuumKontinuum

• Pro vyšetřování pohybu kapalin, plynů a pro vyšetřovánímechanických dějů, při nichž se mění vzájemnévzdálenosti jednotlivých bodů pevné látky, se zavádípředstava spojitého prostředí – kontinua

• Makroskopický popis pohybu kapalin i plynů a popis deformačního chování pevných látek dobře provést na základě představy o spojitém prostředí – kontinuu

• V mechanice kontinua připisujeme charakteristickéveličiny prostředí k jednotlivým geometrickým bodům

KontinuumKontinuum

• V předchozím výkladu jsme pracovali s modelem tělesa, u kterého jsme mohli zanedbat deforma ční účinekpůsobících sil

• Neexistuje absolutně tuhé těleso a tak dalším přiblížením k reálnému t ělesu se dostaneme pokud uvážíme deformaci

• Omezení na malé deformace t ěles – pokud síla přestane působit, deformace zmizí a těleso se vrátí do původního stavu

Kontinuum

• Tím zavádíme pojem pružného (elastického) t ělesa , který ovšem zcela nevystihuje reálné těleso

• Existují i tělesa plastická , která zůstávají po deformaci ve změněném stavu

• Vedle pevných látek známe i jiná spojitá prostředítvořená kapaliny nebo plyny , které souhrnně nazýváme tekutiny

• Na rozdíl od pevných těles kapaliny mění snadno svůj tvar, zaujímají tvar nádoby, ale málo mění svůj objem –jsou málo stlačitelné

Kontinuum

• Plyny se vyznačují velkou stla čitelností a snaží se vždy zaplnit celý objem nádoby , který mají k dispozici

• Přes uvedené rozdíly mezi pevnými tělesy, kapalinami a plyny, je můžeme shrnout pod pojmem kontinuum

• Jednotlivé části kontinua se mohou lišit např. v hustotě, teplotě, tlaku, atd. Z povahy kontinua vyplývá, že tyto veličiny jsou spojitými funkcemi polohy, případně času

• V daném časovém okamžiku je tedy fyzikální stav kontinua popsán hodnotami fyzikálních veličin, které jsou spojitými funkcemi souřadnic zvoleného souřadnicového systému, vůči kterému popisujeme polohu kontinua

Kinematika kontinuaKinematika kontinua

• Lagrangeova metoda popisu pohybu kontinua

• Eulerova metoda popisu pohybu kontinua

• Případ, kdy platí, že předchozí rovnice je na čase nezávislá nazýváme stacionárním nebo ustálenýmpohybem kontinua

Proudnice, proudovProudnice, proudováá trubicetrubice• Ve stacionárním případě se

elementy tekutiny pohybují po tzv. proudnicích

• Elementární konfigurací ve stacionárním proudění je tzv. proudová trubice , což je plocha vytvořená proudnicemi probíhajícími malou uzavřenou křivkou

Pohyb kontinuaPohyb kontinua• Dá se ukázat, že pro pohyb kontinua platí:

• První dva členy souvisí s rychlostí translace a rotace, poslední člen je členem novým – popisuje změny rychlost s jakou se mění vzdálenosti častic a popisuje tedy deformaci kontinua

• I. Helmholtzova v ěta – pohyb kontinua v okolíurčitého bodu lze rozložit na pohyb transla ční(posuvný), na pohyb rotační (otáčivý) a na pohyb deforma ční.

SSííly v kontinuuly v kontinuu• Síly, které působí na kontinuum jsou dvojího druhu

– objemové– plošné

• Objemové síly působí na všechny elementy objemu kontinua (např. síla tíhová):

• Vztah pro vyjadřuje tzv. intenzitu objemovésíly

SSííly v kontinuuly v kontinuu• Plošné síly působí na povrch uvažované části tělesa

• Tyto síly můžeme popsat pomocí vektoru nap ětí, kterémá význam vektoru plošné síly působící na jednotku plochy:

SSííly v kontinuuly v kontinuu

• Tečné napětí je určeno tečnou složkou plošné síly vztaženou na jednotku plochy tělesa

• Norm álové nap ětí je dáno normálovou složkou plošnésíly vztaženou na jednotku plochy tělesa

Deformace pevných tDeformace pevných těělesles• Působí-li plošná síla ve směru tečny, vyvolává

namáhání smykem nebo ohybem . Normálová složka plošné síly může vyvolat namáhání tahem nebo tlakem

• Deformace tahem a tlakem– Vyvolává normálová složka plošné síly

PodmPodmíínky rovnovnky rovnovááhy, pohybovhy, pohybováárovnice kontinuarovnice kontinua

• Rovnováha nastane je-li výslednice všech vn ějších sil (objemové a plošné), působící na kontinuum nulová

• Je-li výslednice nenulová, můžeme pohybovou rovnici pro kontinuum napsat následujícím způsobem

Deformace pevnDeformace pevnýchých ttěěleslesHookHook(e)(e)ůůvv zzáákonkon

• Deformace a napětí těles působením vnější síly

• Pro malé deformace platíHookův zákon :

KKřřivka deformaceivka deformace

Deformace tlakemDeformace tlakem• V řadě praktických příkladů (např. namáhání těles

vnořených do kapaliny) je třeba znát chování tělesa vystaveného všestrannému kolm ému tlaku

• Relativní příčné prodloužení:

Deformace tlakemDeformace tlakem• Z předchozího vidíme, že výsledné působení

všestranného tlaku vyvolá u každé hrany jedno podélnézkrácení a dvě příčná prodloužení

• Hookův zákon pro zm ěnu objemu (relativní změna objemu je přímo úměrná normálovému napětí):

• Modul objemové pružnosti tělesa K a objemovástlačitelnost γ:

Deformace smykemDeformace smykem

• O deformaci smykem mluvíme tehdy, jestliže se jednotlivé vrstvy namáhaného materiálu navzájem posouvají, aniž by se měnila jejich kolmá vzdálenost

• Zavádíme pojem poměrného posunutí:

Deformace torzDeformace torzíí ((kroucenkrouceníímm))• Modul pružnosti ve smyku G se nazývá také modul

torze , protože smyk se vyskytuje také při kroucení tyče, zatížené kroutícím momentem sil

• Deformace při torzi je podle Hookeova zákona úměrnátečnému napětí, což můžeme matematicky zapsat předchozí rovnicí

• Mezi všemi uvedenými moduly platívzájemný vztah:

Další typy deformací - ohyb

Hodnoty modulHodnoty modulůů pro rpro růůznznéématerimateriáályly

Mechanika tekutinMechanika tekutin

• Název tekutina užíváme jako společné označení pro kapalinu a plyn

• Mechanika tekutin značí mechaniku kapalin (hydromechaniku) a mechaniku plynů (aeromechaniku)

• Mechanické chování kapalin a plynů je do té míry podobné, že je výhodné jeho obecný popis dělat společně a pouze při diskusi dílčích výsledků rozlišit zvláštnosti obou druhů látek

• Tekutiny se liší od pevných látek tím, že jejich částicenejsou vázány na určité rovnovážné polohy – jsou v ůči sobě voln ě pohyblivé

Mechanika tekutinMechanika tekutin

• V důsledku toho mění tekutiny snadno svůj tvar, případně objem

• Z makroskopického hlediska lze tekutiny považovat za kontinuum – při popisu vycházíme tedy z podmínek rovnováhy a pohybové rovnice pro kontinuum

• Rovnovážný stav tekutiny – v tekutině neexistují tečnánapětí

• Tekutiny nemají vlastní tvar – přizpůsobují se tvaru nádoby

Mechanika tekutinMechanika tekutin

• Kapaliny se snaží vytvořit volnou hladinu, která je kolmák výslednici působících sil

• Při proudění reálné tekutiny se uplatňují síly vnitřního tření mezi jednotlivými vrstvami tekutiny – způsobujídisipaci mechanické energie

• Jednodušší případ je studium ideální tekutiny , která se pohybuje bez vnitřního tření

Kinematika kapalinKinematika kapalin

• Mechanický stav kapaliny je v každém okamžiku určen hustotou a rychlostí pohybu objemového elementu kapaliny

• Sudujeme-li pohyb kapaliny vzhledem k vztažnésoustavě (např. potrubí) můžeme zakreslit vektorovépole rychlosti proudění

Kinematika kapalinKinematika kapalin

• Vektory rychlostí mají směr proudění kapaliny a současně směr tečny ke křivkám, po kterých se jednotlivé elementy pohybují

• Tyto spojité a neprotínající se křivky nazýváme proudnice (nebo proudové čáry)

• Mění-li se s časem tvar proudnic , mění se i rozloženívektorů rychlosti – nestacionární proud ění

• Nemění-li se s časem proudnice , je rozložení vektorůrychlostí stálé – jedná se o stacionární proud ěníkapaliny

Tok vektoru rychlosti plochouTok vektoru rychlosti plochou• Tok vektoru rychlosti plochou

• Objemový a hmotnostní tok:

Rovnice kontinuityRovnice kontinuity• Vložíme-li do proudící kapaliny uzavřenou křivku, vytváří

proudnice procházející body této křivky trubicovitý útvar –proudovou trubici (proudotrubici)

• Hmotnost kapaliny procházející každým průřezem proudotrubice je konstantní

Rovnice kontinuity Rovnice kontinuity (spojitosti toku)(spojitosti toku)• Jedná se v podstatě o zákon zachování hmotnosti a z

toho vyplývá tzv. rovnice kontinuity

• Podrobněji rozebereme odvození rovnice kontinuity na semináři

Rovnice kontinuity (spojitosti toku)Rovnice kontinuity (spojitosti toku)

• Zákon zachování hmoty – co do „trubice“ vteče musítaké vytéct, a tedy platí: