ნანა ჯაფარიძე ნანი წულაია

მაია წილოსანი

moswavlis wigni

maTematika

9

Sinaarsi

wina klasebSi Seswavlili masalis gameoreba 8

Tavi 1 kvadratuli gantolebebi 31

1. kvadratuli gantolebis amoxsna 342. zogierTi meore xarisxis utolobis amoxsna 503. vietas Teorema 524. kvadratuli samwevris daSla mamravlebad 57

Tavi 2 wrewiri 73

1. qordis marTobuli diametris Tviseba 782. wrewiris mxebi 813. ori wrewiris urTierTmdebareoba 844. wrewirSi Caxazuli da wrewirze

Semoxazuli samkuTxedebi 875. wrewiris rkali 916. Caxazuli kuTxe 937. mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe 978. marTkuTxa samkuTxedi 1009. ori wrewiris saerTo Siga da

saerTo gare mxebi 10310. wrewirSi Caxazuli oTxkuTxedi 10611. wrewirze Semoxazuli oTxkuTxedi 10912. proporciuli monakveTebi wreSi 11513. wesieri mravalkuTxedebi 11914. wrewiris sigrZe, wris farTobi 12115. ramdenime saintereso amocana 125

II Tavis damatebiTi savarjiSoebi 128

Tavi 3 geometriuli gardaqmnebi. funqcia. funqciis Tvisebebi 139

1. RerZuli simetria 1422. centruli simetria 1483. paraleluri gadatana 1524. funqcia. funqciaTa Tvisebebi 1595. wrfivi funqcia 1836. amovicnoT wrfivi funqcia 191

III Tavis damatebiTi savarjiSoebi 196III TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva 203

Tavi 4 kvadratuli funqcia 205

1. kvadratuli funqcia 2082. f(x)=x2+c funqcia 2163. f(x)=(x–d)2+m funqcia 2204. f(x)=ax2 funqciis grafiki 2295. f(x)=ax2+bx+c funqciis grafiki 2366. amovicnoT kvadratuli funqcia 2487. parabolis mdebareoba sakoordinato RerZebis mimarT 2508. kvadratuli funqciis umciresi 2559. da udidesi mniSvneloba 25510. kvadratuli utolobis amoxsna 26211. amovxsnaT erTucnobian utolobaTa sistema 26812. orucnobiani utolobis amoxsna 27413. meore xarisxis orucnobian gantolebaTa sistemis amoxsna 276

IV Tavis damatebiTi savarjiSoebi 283IV TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva 294

Tavi 5 samkuTxedebis msgavseba 295

1. samkuTxedebis msgavseba 2982. samkuTxedebis msgavsebis I niSani 3023. samkuTxedebis msgavsebis II niSani 3054. samkuTxedebis msgavsebis III niSani 3085. proporciuli monakveTebi msgavs samkuTxedebSi 3116. msgavsi samkuTxedebis farTobebis Sefardeba 3127. namdvil ricxvebze moqmedebebis geometriuli gamosaxva 3158. msgavsebis meTodi geometriul agebebSi 317

V Tavis damatebiTi savarjiSoebi 319V TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva 324

Tavi 6 ricxviTi mimdevrobebi 325

1. ricxviTi mimdevroba 3282. ariTmetikuli progresia 3343. ariTmetikuli progresiis pirveli n wevris jamis

gamosaTvleli formula 3404. geometriuli progresia 3475. rTuli procentis formula 3536. geometriuli progresiis pirveli n wevris jamis

gamosaTvleli formula 354VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi 361VI TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva 366

Tavi 7 kombinatorikis elementebi 367

1. kombinatorikis amocanebi 3702. gadanacvleba, wyoba 3743. jufTeba 3794. albaTobis klasikuri ganmarteba 3835. amovxsnaT amocanebi albaTobaTa Teoriidan 3896. foTlebiani Reroebis msgavsi diagrama 392

VII Tavis damatebiTi savarjiSoebi 397VII TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva 402

Tavi 8 veqtori 403

1. veqtoris cneba. toli veqtorebi 4062. veqtorebis Sekreba 4093. veqtorebis sxvaoba 4124. veqtoris gamravleba ricxvze 4145. veqtoris koordinatebi 4166. veqtorebis jami da sxvaoba 4187. homoTetia 4228. marTobi, daxrili, gegmili.

manZili wertilidan sibrtyemde 4269. sivrculi sxeulebi 429

VIII Tavis damatebiTi savarjiSoebi 437VIII TavSi Seswavlili masalis mokle mimoxilva 443

pasuxebi 446

rogor visargebloT wigniTrogor visargebloT wigniT

wignze muSaoba rom gagiadvildes, mizanSewonilad miviCnieT, gagacnoT wignis age-

buleba.

wigni Sedgeba Tavebisgan, TiToeuli Tavi ki – paragrafebisgan. yovel TavSi moce-

mulia erTi an ori ̀ testi TviTSemowmebisTvis“. testze muSaoba dagexmareba, Seamowmo,

ramdenad kargad aiTvise ganvlili masala, ra giWirs, ra sakiTxebze unda gaamaxvilo

yuradReba. wignSi zogierTi paragrafis bolos Sexvdebi rubrikebs:

`proeqti damoukidebeli kvlevisTvis“ – mis Sesasruleblad dagWirdeba informaciis

moZieba (cnobarebSi, sxvadasxva saxis literaturaSi, internetSi) da saprezentacio

Temis warmodgena.

`es sainteresoa“ gagacnobs saintereso faqtebsa da Teoriebs maTematikis Sesaxeb.

wignSi ganmartebebi, Tvisebebi, formulebi, zogierTi saWiro daskvna ferad fonze

an CarCoSia mocemuli.

yovel paragrafSi Sexvdebi am niSnebs:

– SedarebiT rTuli amocana;

? – umartivesi kiTxvebi, romlebsac axali masalis axsnis procesSi Tavad unda

upasuxo.

– wyvilebSi samuSao – jgufuri mecadineoba

? – sakontrolo kiTxvebi – savarjiSoebi

– testi TviTSemowmebisTvis – testi

– rubrika `es sainteresoa“ – movemzadoT Semdegi gakveTilisTvis

– kompleqsuri davaleba

wignis bolos mocemulia sagnobrivi saZiebeli, maTematikuri niSnebis cxrili, zomis

erTeulebis CamonaTvali da savarjiSoebis pasuxebi.

gaufrTxildi wigns!gaufrTxildi wigns!

nu Cawer wignSi!nu Cawer wignSi!

gisurvebT warmatebebs!gisurvebT warmatebebs!

8

wina klasebSi Seswavlili masalis gameoreba

simravle

sagnebs, romelTa erTobliobasac simravle warmoadgens, simravlis elementebi ewodeba. magaliTad A simravle, romlis elementebia a; b; c, aRiniSneba A={a;b;c}-iT.

M={2; 4; 8; 15} – sasruli simravle

N={1; 2; 3; 4; ….} – usasrulo simravle

2∈M – ikiTxeba: 2 aris M simravlis elementi

7∉M – 7 ar aris M simravlis elementi

or, A da B simravles uwodeben tols, Tu isini Sedgebian erTi da imave elementebisgan.

A={a; b; c}, B={c; a; b}, maSin A=B.

simravle, romelic ar Seicavs arcerT elements, carieli simravlea da aRiniSneba ∅ simboloTi.

M simravles A simravlis qvesimravles uwodeben, Tu M simravlis yoveli elementi A simravlis elementicaa. aRiniSneba M⊂A.

A da B simravleTa TanakveTa iseTi simravlea, romelic Sedgeba A da B simravleebis yvela saerTo elementisgan da aRiniSneba A∩B.

A da B simravleTa gaerTianeba ewodeba simravles, romelic Sedgenilia im elementebisgan, romlebic ekuTvnian A da B simravleebidan erTs mainc (A an B simravles). aRiniSneba A∪B.

MA

M⊂A

A B

C=A∩B

A B

C

C=A∪B

C

ricxviT simravleTa aRniSvnebi:

N – naturalur ricxvTa simravle

Z – mTel ricxvTa simravle

Z+ – dadebiT mTel ricxvTa simravle

Z0+ – arauaryofiT mTel ricxvTa simravle

Z– – uaryofiT mTel ricxvTa simravle

Z0– – aradadebiT mTel ricxvTa simravle

Q – racionalur ricxvTa simravle

I – iracionalur ricxvTa simravle

R – namdvil ricxvTa simravle

N⊂Z⊂Q⊂R

Q RN Z

9

gamonaTqvami

gamonaTqvami aris TxrobiTi winadadeba, romlis mimarTac azri aqvs imis Tqmas – WeSmaritia igi Tu mcdari.

mag. 5>2 WeSmariti gamonaTqvamia.

x2–7>3 gamonaTqvami ar aris, radgan igi x-is zogierTi mniSvnelobisTvis WeSmaritia, zogisTvis ki – mcdari.

ori α da β gamonaTqvamisagan „da“, „an“ kavSirebis saSualebiT SeiZleba SevadginoT rTuli gamonaTqvami, „α da β“, „α an β“.

α β α da βW W W

W m m

m W m

m m m

α β α an βW W W

W m W

m W W

m m m

A gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvami aRiniSneba A-iT. A gamonaTqvami da misi sawinaaRmdego gamonaTqvami ar SeiZleba iyos erTdroulad mcdari an erTdroulad WeSmariti.

A: 5>7, maSin A: 5≤7

A AW m

m W

mocemuli gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvami rom miviRoT, saWiroa Semasmenlis win davweroT nawilaki „ara“ an, Tuki aseTi nawilaki ukve aris – movaSoroT igi.

„W“- WeSmariti, „m“- mcdari

gamosaxuleba, gamosaxulebis gamartiveba

cvladis Semcvel gamosaxulebas, romelSic cvladis mimarT sruldeba mxolod Sekrebis, gamoklebis, gamravlebis an naturalur xarisxSi axarisxebis operaciebi, mTeli gamosaxuleba ewodeba.

gamosaxuleba, romelic Seicavs gayofas cvladian gamosaxulebaze, wiladuri gamosaxulebaa.

mTeli da wiladuri gamosaxuleba racionaluri gamosaxulebaa.

racionaluri gamosaxuleba

mTeli gamosaxuleba wiladuri gamosaxuleba

2a2+7x2; m– x3 3+5x–7

x2–5 ; 2m3n

10

xarisxi mTeli maCvenebliT

Tu n>1,n∈N,a∈R, maSin an=a.a….a; Tu n=1,a∈R, maSin a1=a; Tu n=0,a≠0 maSin a0=1; Tu n∈Z–,a≠o, maSin an= 1

a–n Tu n≤0, maSin 0n gamosaxulebas ar aqvs azri

Tvisebebi: m,n∈Z, ab≠0;

maSin am.an=am+n; am.bm=(ab)m

am

an =am–n; am

bm =(ab )m.

(am)n=amn;

ricxvis standartuli saxe ewodeba mis a.10n Canawers, sadac 1≤a<10,n∈Z. n-s standartuli saxiT Cawerili ricxvis rigs uwodeben.

Semoklebuli gamravlebis formulebi:

(a±b)2=a2±2ab+b2 (a+b)(a–b)=a2–b2 a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)

(a+b)3=a3+3a2 b+3ab2+b3 (a–b)3=a3–3a2 b+3ab2–b3

n-jer

ori ricxvis jamis

ori ricxvis sxvaobis

kvad

rat

i

kvadr

ati

kvad

rat

ikv

adr

ati

sru

li

sru

li

aras

ru

li

arasr

ul

i

a2–ab+b2

a2+ab+b2

a2–2ab+b2

a2+2ab+b2

kvadratuli fesvebi

kvadratuli fesvi a ricxvidan aris is x ricxvi, romlis kvadratic a-s tolia.

ariTmetikuli kvadratuli fesvi a ricxvidan ewodeba im arauaryofiT x ricxvs, romlis kvadrati a-s tolia. ariTmetikuli kvadratuli fesvi a ricxvidan aRniSneba √a-Ti.

a≥0x≥0x2=a

√a=x niSnavs

Tvisebebi:

(√a)2=a √a2=|a| nebismieri a;b≥0-Tvis, √a√b=√ab;

√a√b

= , b>0; a≥0ab

Tu a1>a2≥0, maSin √a > √a

11

gantolebebi

ucnobis (erTi an ramdenime) Semcvel tolobas gantoleba ewodeba.

ucnobis (ucnobebis) im mniSvnelobas, romelic gantolebas gadaaqcevs swor ricxviT tolobad, gantolebis fesvi an amonaxsni ewodeba.

amovxsnaT gantoleba niSnavs, vipovoT misi yvela amonaxsni, an davamtkicoT, rom gantolebas fesvebi ar aqvs.

Tu f(x)=0 gantolebaSi: a) f(x) mTeli gamosaxulebaa, gantolebas mTeli gantoleba hqvia; b) f(x) racionaluri gamosaxulebaa, mas racionaluri gantoleba ewodeba.

gantoleba

mTeliracionaluri

3x2+5=x–7;x–53x =x2+1;

xx–7 =

2x+1x–1 .

gantolebebs ewodebaT tolfasi, Tu maTi amonaxsenTa simravleebi tolia.

gantolebis Tvisebebi:

1. Tu gantolebis erTi mxridan meoreSi gadavitanT wevrs mopirdapire niSniT, miviRebT mocemulis tolfas gantolebas;

2. Tu gantolebis orive mxares gavamravlebT nulis aratol ricxvze, miviRebT mocemulis tolfas gantolebas;

3. ax=b saxis gantolebas, sadac a;b∈R da x ucnobia, wrfivi erTucnobiani gantoleba ewodeba.

ax=b

a≠0 a=0,b≠0

x=ba

x∈R x∈∅

a=b=0

racionaluri gantoleba:

gantoleba tolfasi gardaqmnebiT SesaZlebelia miviyvanoT AB=0 saxemde.

A=0B≠0

.AB=0 ⇔

12

utoloba

a ricxvi metia b ricxvze, Tu a–b>0 da a<b, Tu a–b<0.

> an < niSnebiT Sedgenil utolobas mkacri utoloba ewodeba, xolo ≥ an ≤ niSnebiT Sedgenil utolobas aramkacr utolobas uwodeben.

utolobis Tvisebebi:

a) Tu a>b, maSin b<a; Tu a<b, maSin b>a; b) Tu a>b, b>c, maSin a>c; g) Tu a>b da c∈R, maSin a+c>b+c a>b |+c

a+c>b+c

d) Tu a>b | . c, c>0; a>b | .c, c<0 ac>bc; ac<bc;

e) a>bc>d

a+c>b+d

+a>bc<d

a–c>b–d

–a≥bc>d

a+c>b+d

+a≥bc≤d

a–c≥b–d

–

v)

a>bc>d

X

ac>bd, Tu b,d>0

z) a>b>0, maSin an>bn da √a>√b;

T) a>b da ab>0, maSin 1a <1

b;

i)

a>bc<d:

ac

bd>

, Tu b; c>0

procenti

procenti ricxvis Caweris erT-erTi formaa.

1%= 1100 =0,01; 5%= 5

100 =0,05; 0,7%= 0,7100 = 7

1000 =0,007.

a%= a100

2

100 = 2100

.100%=2%; 37 =37

.100%=3007 %; 5=5.100%=500%.

ricxvis procentis povna:

a-s p%=a. p100 ; 10-is 2%=10. 2

100 =15 .

13

ricxvis povna misi procentis mixedviT:

x-is p%=b ⇒ x=b:p

100

x=b∙100

p

ori ricxvis procentuli Sefardeba:

a ricxvis ra procentia b ricxvi?

a-s x%=b.

x=ba ∙100%.

e. i.

Tu a-s p%=b maSin:

1. b=ap100 2. a=b∙100

p 3. p%=ba ∙100%.

funqcia

X da Y simravleebs Soris Sesabamisobas, roca X simravlis yovel elements Seesabameba Y simravlis erTaderTi elementi, funqcia ewodeba.

funqcias, romelic or simravles Soris Sesabamisobas f wesiT amyarebs, Semdegi formuliT gamosaxaven: y=f(x), sadac x damoukidebeli cvladia, y damokidebuli cvladi, xolo f aris Sesabamisobis wesi, romliTac x elements Seesabameba y elementi.

marTkuTxa sakoordinato sibrtyis yvela (x; f(x)) wertilis simravles y=f(x) funqciis grafiki ewodeba.

Tu (a;b) wertili mdebareobs y=f(x) funqciis grafikze, maSin Sesruldeba b=f(a).

marTkuTxa sakoordinato sistemaSi mocemuli wiri rom raime funqciis grafiki iyos, y RerZis paraleluri, nebismieri wrfe mas araumetes erT wertilSi unda kveTdes.

y=kx+b saxis funqcias, sadac k,b∈R, x – damoukidebeli cvladia, wrfivi funqcia ewodeba. wrfivi funqciis grafiki wrfea.

y=kx, k≠0 formuliT mocemuli wrfiv funqcias (b=0), pirdapirproporciulobas uwodeben.

14

statistika da albaTobaTa Teoria

ricxvTa x1, x2, … xn erTobliobas, romelic raime movlenis n-jer dakvirvebis Sedegadaa miRebuli, n moculobis amonarCevi ewodeba. Tu am ricxvebs zrdis mixedviT davalagebT, maSin ricxvTa miRebul mwkrivs variaciuli mwkrivi ewodeba.

ricxvs, ramdenjerac meordeba varianti, am variantis sixSire ewodeba, xolo monacemis sixSiris Sefardebas monacemTa raodenobasTan monacemis fardobiT sixSires uwodeben.

(1) 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9 – variaciuli mwkrivia.

(1)-is sixSireTa da fardobiT sixSireTa ganawilebis cxrilia:

monacemi 4 5 6 7 9 jami

sixSire 1 1 3 4 1 10fardobiTi sixSire

110

110

310

410

110 1

SerCeviTi ricxviTi maxasiaTeblebi:

monacemTa saSualo tolia am monacemTa jamis maTsave raodenobasTan Sefardebis.

moda is monacemia, romelic yvelaze xSirad meordeba. SesaZlebelia variaciul mwkrivs gaaCndes ori moda an sulac ar hqondes moda.

mediana aris variaciuli mwkrivis Sua (wevrebis raodenoba kentia) wevri, an Sua ori wevris (wevrebis raodenoba luwia) saSualo ariTmetikuli.

mediana6+7

2 =6,5

(1) 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 9; (2) 2, 5, 7, 7, 8, 8, 9.

(1) mwkrivisTvis:

saSualoa 4+5+6.3+7.4+910 =6,4

moda: „7“ – sixSirea 4

monacemTa udides da umcires wevrebs Soris sxvaobas diapazoni ewodeba

diapazonia 9–4=5

monacemTa TvalsaCinod warmosadgenad iyeneben sxvadasxva diagramebs: svetovans, wriuls, histogramas, wertilovans...

15

albaTobaTa Teoriis elementebi:

cdis an dakvirvebis SesaZlo Sedegs elementaruli xdomiloba ewodeba, xolo maT erTobliobas elementaruli xdomilobaTa sivrce.

cda: vagorebT kamaTels

kamaTlis gagorebisas erTianis mosvla – {1} elementaruli xdomilobaa. luwi ricxvis mosvla – {2; 4; 6} – rTuli xdomiloba (xdomiloba). {1; 2; 3; 4; 5; 6} – elementaruli xdomilobaTa sivrcea.

im Sedegs, romlis drosac xorcieldeba CvenTvis sasurveli xdomiloba, xelSemwyobi Sedegi ewodeba.

cdis an dakvirvebis Sedegs, romelic mocemul pirobebSi SesaZloa ganxorcieldes an ar ganxorcieldes, SemTxveviTi xdomiloba ewodeba.

magaliTad, monetis agdebisas igi daecema safasuriT Tu borjRaliT, winaswar ver ganvsazRvravT.

SemTxveviTi xdomilobis ganxorcielebis Sansi, albaToba, SesaZlebelia SevafasoT, Tu CavatarebT Zalian bevr cdas. aseT SemTxvevaSi raime A xdomilobis fardobiTi sixSire, fn(A), sadac n-cdaTa raodenobas aRniSnavs, zomavs A xdomilobis albaTobas

fn (A)≈P(A)

P(A) – xdomilobis albaTobaa.

xdomiloba, romelic mocemul pirobebSi aucileblad ganxorcieldeba, aucilebeli xdomilobaa, xolo xdomiloba, romelic mocemul pirobebSi ver ganxorcieldeba, SeuZlebeli xdomilobaa. amitom aucilebeli xdomilobis mosvlis Sansi, albaToba, iqneba 1, xolo SeuZlebelis – 0.

A xdomilobis sawinaRmdego xdomiloba niSnavs mocemuli xdomilobis ar moxdenas, aRiniSneba A-iT.

A – „borjRalos mosvla“; A – „gerbis mosvla“.

16

umartivesi geometriuli figurebi

● nebismier or wertilze SesaZlebelia gavataroT wrfe da masTan, mxolod erTi.

● nebismier or gadamkveT wrfes mxolod erTi saerTo wertili aqvs.

● Tu C wertili AB monakveTis Siga wertilia, maSin sruldeba:

AB=AC+BC

● sibrtyis nebismieri sami A, B, C wertilisTvis sruldeba: AC–BC≤AB≤AC+BC

● sxivs, romlis saTave kuTxis wveroa da romelic kuTxes or tol kuTxed yofs, am kuTxis biseqtrisa ewodeba.

● Tu OC sxivi AOB kuTxes yofs or, AOC da COB kuTxeebad, maSin

∠AOB=∠AOC+∠COB

●

kuTxis biseqtrisis Tviseba

● kuTxis biseqtrisa am kuTxis gverdebidan Tanabrad daSorebul wertilTa geometriuli adgilia.

monakveTis SuamarTOobi

● monakveTis boloebidan Tanabrad daSorebul wertilTa geometriuli adgilia am monakveTis SuamarTobi.

O B

A

C

β αmosazRvre kuTxeebi

α+β=1800

vertikaluri kuTxeebi tolia

β βα

α

marTi blagvi maxvili

α α α

α=900 α>900 α<900

kuTxe

17

farTobis Tvisebebi

● figuris farTobi arauaryofiTi ricxvia.

● toli figurebis farTobebi tolia.

● figuris farTobi misi araTanamkveTi nawilebis farTobTa jamis tolia.

● farTobis erTeulad miRebulia erTeulovani kvadratis (kvadrati, romlis gverdis sigrZe erTi erTeulia) farTobi.

samkuTxedi

samkuTxedis utoloba

● samkuTxedis nebismieri gverdis sigrZe naklebia danarCeni ori gverdis sigrZeTa jamze da metia am gverdebis sxvaobaze AC–BC<AB<AC+BC.

● samkuTxedis gare kuTxe misi aramosazRvre Siga kuTxeebis jamis tolia.

a

a

S=a2

b

a

A D

B C

SABCD=ab

a

b

S∆ABC=12ab

tolferda samkuTxedis Tvisebebi, samkuTxedis tolferdobis niSNnebi

● tolferda samkuTxedSi wverodan daSvebuli simaRle, mediana da biseqtrisa erTmaneTs emTxveva.

● tolferda samkuTxedSi fuZesTan mdebare kuTxeebi tolia.

● samkuTxedi tolferdaa, Tu sruldeba erT-erTi Semdegi piroba:

a) ori kuTxe tolia;b) erTi wverodan gavlebuli mediana da simaRle emTxveva erTmaneTs;g) erTi wverodan gavlebuli simaRle da biseqtrisa emTxveva erTmaneTs;d) erTi wverodan gavlebuli biseqtrisa da mediana emTxveva erTmaneTs.

● samkuTxedis ori gverdis Suawerti lebis Semaer Tebel monakveTs samkuTxedis Suaxazi ewodeba.

samkuTxedis Suaxazi mopirdapire gverdis para leluria da misi naxevaria.

B

M K

A C

δ=α+βα+β+γ=1800 δ+λ+ε=3600

α

β

γ δλ

ε

18

● samkuTxedis medianebi gadakveTis wertiliT iyofa 2:1 Se-fardebiT wveros mxridan.

piTagoras Teorema

● marTkuTxa samkuTxedSi kaTetebis kvad-ratebis jami hipotenuzis kvadratis tolia: a2+b2 =c2.

2xx

a

b c

Talesis Teorema

● Tu kuTxis gverdebis gadamkve-Ti para leluri wrfeebi mis erT gverdze tol mo nakveTebs mokveTs, maSin es wrfeebi meo-re gverdzec tol monakveTebs mokveTs.

A

A1

A2A3

A4A5

B1

B2B3

B4

B5

Teorema proporciuli monakveTebis Sesaxeb

● Tu kuTxis gverdebi gadakveTilia paraleluri wrfe ebiT, maSin maTze miRebuli Sesabamisi monakveTebi pro porciulia.

a a1

b1b

ab =a1

b1

aa+b = a1

a1+b1

samkuTxedis biseqtrisis Tviseba

samkuTxedis kuTxis biseqtri sa mopirda-pire gverds am kuTxis mimdebare gver-debis proporciul nawilebad yofs.

● samkuTxedis farTobi fuZisa da simaRlis namravlis naxevris tolia.

B A

C

a

Ka′ b′

b

a

ha

S=12a.ha paralelogrami

paralelogramis Tvisebebi

● oTxkuTxeds, romlis mopirdapire gverdebi wyvil-wyvilad paraleluria, paralelogrami ewodeba.1) paralelogramSi mopirdapire gverdebi tolia.2) paralelogramSi mopirdapire kuTxeebi tolia.3) paralelogramSi nebismier gverdTan mdebare kuTxeebis jami

1800-ia.4) paralelogramis diagonalebi gadakveTis wertiliT Suaze iyofa.

a = a'b b'

19

paralelogramis niSnebi

● Tu oTxkuTxedSi diagonalebi gadakveTis wertiliT Suaze iyofa, maSin es oTxkuTxedi paralelogramia.

● Tu oTxkuTxedSi ori mopirdapire gverdi tolia da paraleluria, maSin es oTxkuTxedi paralelogramia.

● Tu oTxkuTxedSi mopirdapire kuTxeebi wyvil-wyvilad tolia, maSin es oTxkuTxedi paralelogramia.

● Tu oTxkuTxedSi mopirdapire gverdebi wyvil-wyvilad tolia, maSin es oTxkuTxedi paralelogramia.

paralelogramis farTobi fuZisa da masze daSvebuli simaRlis namravlis tolia.

rombi

● rombSi diagonalebi marTi kuTxiT gadaikveTeba.

● rombis diagonalebi misi kuTxeebis biseqtrisebia.

rombis niSnebi

● Tu paralelogramSi diagonalebi marTobulia, maSin es paralelogrami rombia.

● Tu paralelogramis diagonali amave dros misi kuTxis biseqtrisaa, maSin es paralelogrami rombia.

trapecia

● oTxkuTxeds, romlis ori gverdi paraleluria, xolo danarCeni ori gverdi ar aris paraleluri, trapecia ewodeba.

● trapeciis Suaxazi fuZeebis paraleluria da misi sigrZe fuZeebis sigrZeebis naxevar jams udris.

● trapecias ewodeba tolferda, Tu misi ferdebi erTmaneTis tolia.

● tolferda trapeciaSi fuZesTan mdebare kuTxeebi tolia; diagonalebi tolia.

● trapeciis farTobi gamoiTvleba

formuliT Str

= a+b2 ·h, sadac h simaRlea,

xolo a da b fuZeebis sigrZeebia.

rombis farTobi tolia

S=ah.

S=12 d1

.d2

fuZe

fuZe

fer

di f

erd

i

sima

Rl

e

M N

a

b

MN= a+b2

a

h

S=a∙h

d 2 d 1

20

testi 1

1. gamoiangariSe:

10 3 75 2 13 1 4 15

9� �� �, , :

2. erTi traqtori miwas xnavs 10 dReSi. ramden dReSi moxnavs iseTsave nakveTs ori traqtori?

3. mdinare tigrosis sigrZea 1850 km. ramdeni santimetria am mdinaris sigrZe rukaze, romlis masStabia 1 : 2500000?

4. ipove ricxvi, romlis 5% tolia 8-is:

a) 120; b) 140; g) 160; d) 170.

5. risi tolia 125-is 8%?

a) 10; b) 15; g) 20; d) 25.

6. ramdeni procentiTaa 25 naklebi 50-ze?

a) 50-iT; b) 25-iT; g) 20-iT; d) 100--iT.

7. ramdeni procentiTaa 50 meti 25-ze?

a) 50-iT; b) 25-iT; g) 20-iT; d) 100-iT.

8. 48-is ramdeni procentia 12?

a) 25; b) 20; g) 30; d) 50.

9. ra umciresi raodenobis moswavlea klasSi, Tu maTi 27 biWi, xolo 40% qeraTmiania?

a) 30; b) 27; g) 35; d) 25.

10. ra ricxvze unda gavamravloT mocemuli ricxvi, rom is Semcirdes 10%-iT?

a) 27-ze; b) 910-ze; g) 7

10-ze; d) 12-ze.

11. A={1;3;5;7} B={1;3;6;8} C={2;4;3;8} ipove (A∪B)∩C.

a) {3}; b) {3; 8}; g) {3; 4}; d) {2;8}.

12. ori sxivis TanakveTa ar SeiZleba iyos:

a) wertili; b) monakveTi; g) sxivi; d) wrfe.

21

testi 2

1. daaxasiaTe sityvierad TiToeuli gamosaxuleba da gaa-martive:

a) aman;

b) (ab)n;

g) (am)n;

d) anbn;

e) an

bn;

v) an

am.

2. Cawere gamosaxuleba a-s fuZiani xarisxis saxiT:

(a–3)–2(a8)–4

(a–4)–3 (a3)–12

a) a–2; b) a2; g) a0; d) a3.

3. Seasrule moqmedeba da Sedegi Cawere standartuli saxiT: (3,6.10–5).(4.102)

a)14,4.10–3;

b) 0,144.10–1;

g)1,44.10–2;

d)1,44.10–4.

4. ipove 2m2n–7m–3m2n–3m+m2n gamosaxulebis mniSvneloba

Tu m=5 n= 353:

a) –3 453; b) –50; g) 8 3

53; d) –5.

5. gaamartive 3x– (6x– (2x–1)):

a)1–x; b) 2x–1; g) x+1; d) –x–1.

6. Tu erTwevris mravalwevrze gamravlebis Sedegad miRe-buli mravalwevri Seicavs 8 wevrs, maSin Tavidan aRebuli mravalwevri Seicavs:

a) 4 wevrs; b) 6 wevrs; g) 8 wevrs; d) 10 wevrs.

7. a parametris romeli mniSvnelobisTvis ar aris x-ze damokidebuli mocemuli gamosaxuleba: (x+a)(x–3)– (x–5)(x+3)?

a) a=2; b) a=5; g) a=1; d) a=–3.

8. (a+b)2-is igivurad toli gamosaxulebaa:

a) (a–b)2; b) (b–a)2; g) (–a–b)2; d) arcerTi pasuxia ar aris swori.

9. a(c–d)–b(d–c)=

a) (a+b)(d–c); b) (a–b)(c–d); g) (a+b)(c–d); d) (a–b)(d–c).

10. daSale mamravlebad:

a) 5m–8mn;

b) 8x8–12x6;

g) 3x+3x2–y–yx;

d) x2+16x+64;

e) 9a2–49;

v) 25x4–30x2+9.

11. Tu n kenti ricxvia, Semdegi gamosaxulebebidan romelia aucileblad luwi?

a) 5n3+8; b) (n+2)5; g) 3n3+5n2; d) n4+4n2.