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Vorlesung Regelungstechnik 2

EinführungsvorlesungEinführungsvorlesung

23. April 2003

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken

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Klausur-Nachbesprechnung

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Klausur-Nachbesprechnung

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Klausur-NachbesprechungErgänzungen zu Aufgabe 1

Diskussion Systeme 2. Ordnung:• Pol-/Nullstellenverteilung für System 2. Ordnung

Die Lage der Pole ist von der Größe der Dämpfung D abhängigD>1: reelle Pole, linke Halbebene0<D<1: konjugiert komplexe Pole, linke HalbebeneD=0: konjugiert komplexe Pole, auf imaginärer AchseD<0: konjugiert komplexe Pole, rechte Halbebene

• Aus der Lage der Polstellen können charakteristische Werte der Übertragungsfunktion bestimmt werden (D und 0)

• Bestimmende Kenngrößen für Sprungantwort eines schwingfähigenSystems 2. Ordnung sind Tausr und maximales Überschwingen üü = f(D), Tausr = f(0D)

• Im Pol-/Nullstellendiagramm kann zur Reglerauslegung genutzt wer-den (Wurzelortskurvenverfahren)

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Klausur-NachbesprechungErgänzungen zu Aufgabe 2

Diskussion Systeme 2. Ordnung:• Im Pol-/Nullstellendiagramm kann zur Reglerauslegung genutzt wer-

den (Wurzelortskurvenverfahren)• Kurvenverlauf in Abhängigkeit des Regelparameters KR

KR wird variiert von 0 bis .

Allgemeines Beispiel• Bestimmung der Systemkenngrößen für Tausr < 3 sec. und maximale

Überschwingweit kleiner als 10%.Welche Einschränkungen bestehen dann für die Lage der Polstellenim Pol-Nullstellendiagramm?

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Klausur-Nachbesprechung

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Klausur-Nachbesprechung

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Klausur-NachbesprechungErgänzungen zu Aufgabe 1

Stationäre Regelabweichung mit P-Regler:• Wegen IT2-Strecke mit P-Regler folgt sofort e()=0.• PID-Regler nach Ziegler-Nicholson ermittelt die Kennwerte für

additive Form. • Symmetrisches Optimum

Ersatzzeit bestimmen TE = T1+T2Ersatzsystem zur Bestimmung von Go verwenden

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Klausur-Nachbesprechnung

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Klausur-Nachbesprechnung

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Klausur-NachbesprechungErgänzungen zu Aufgabe 3

Interpretation der Kennlinie des Zweipunktreglers:• Bestimmung der Grenzwerte

e<0 bedeutet: Regelgröße x liegt oberhalb des Sollwertese>0 bedeutet: Regelgröße x liegt unterhalb des SollwertesAbschalt-/Einschaltwerte sind 780°C und 830°C

• Startwert Starttemperatur 200°C

• Zeitverläufe für e, x und y

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Regelungstechnik 2

Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Digitale Regelung• Beschreibung kontinuierlicher / digitaler Signale• Grundfunktionen von digitalen Regelkreisen• Elemente in digitalen Regelkreisen (DA-Wandler, AD-Wandler,

Halteglieder)• Gleichungen, Differenzengleichungen für digitaler Regelelemente

P, I, D und Kombinationen hiervon• PID-Regelalgorihtmen• Einstellregeln für digitale Regelkreise• z-Transformation und Beschreibung von digitalen Regelkreisen im

Frequenzbereich• Stabilität von digitalen Regelkreisen

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Regelungstechnik 2

Inhalte Vorlesung Regelungstechnik 2Zustandsregelung• Einführung in die Zustands(-raum)-Beschreibung • Mathematische Grundlagen (Matrizen und Rechenverfahren=• Methoden zur Berechnung von Übertragungssystemen mit Zustands-

variablen• Lösungen derZustandsgleichung im Zeit- und Frequenzbereich• Normalformen von Übertragungssystemen

(Beobachternormalform, Regelungsnormalform)• Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit von Übertragungssystemen• Transformationen auf Regelungs- und Beobachtungsnormalform• Regelung durch Zustandsrückführung

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Einführung in digitale Regelungstechnik

Kontinuierliche (analoge) Systeme• Kennzeichen analoger Systeme

beliebiger Werte- und Definitionsbereich

• Hohe Datenmenge bei Speicherung von analogen Signalen

• Darstellung von analogen Signalen in ausgedruckter Kurvenform (Linienschreiber)

• Erzeugung von analogen Signalen aus digitalen Signalen über DA-Wandlung möglich

Digitale Systeme

• Kennzeichen digitaler Systemebegrenzter Werte- und Definitionsbereich

• Binäre Signale Wertebereich besteht aus 2 Werten

• Reduzierte Datenmenge bei Speicherung von digitalen Signalen

• Darstellung von digitalen Signalen in Tabellen oder Kurvenform

• Erzeugen von digitalen Signalen ausanalogen Signalen über AD-Wandlung möglich

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Wie kommt man von analogen zu digitalen Signalen?

Digitalisierung erfolgt in Zwei Schritten:• Abtastung• Quantisierung

Abtastung:Zu definierten Zeitpunkten äqui-distante Abstände) wird von s(t) ein Signalwert erfasst. Abtastzeit T

Quantisierung:Kontinuierliche Signalwerte werdendefinierten Wertebereich zugeordnet.

Reihenfolge der Schritteist tauschbar!

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Übergang von kontinuierlicher Regelung auf digitaler Regelung

Regelung bedeutet Rückführung von Informationen (Istwert der Regel-größe wird auf Vergleicher mit Sollwert geführt). Bei kontinuierlicherRegelung wird ständig – permanent – dieser Vergleich durchgeführt.

Zeitdiskrete Regelung beschränkt die Informationsinhalte der Sensor-signale und der gewünschten Einflussnahme durch das Stellsignale auf diskrete Zeitpunkte t = kT.

Heutige Systeme arbeiten nicht nur in der Regelungstechnik digital. Hardwareregler Siemens SIPART DR 22 ist ein DDC-Regler. DDC stehtfür Direct Digital Control und zeigt damit an, dass der Regler intern mitdigitalisierten Signalen arbeitet und für die Regelung analoger Größengenutzt wird.

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DDC-Regler Siemens

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Übergang vom zeitkontinuier-lichen zum zeitdiskreten Signal

Kontinuierliches Signal wird über Abtaster und A/D-Wandlerin ein zeitdiskretes digitalisiertens Signal gewandletx(t) -> x(kT)

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Übergang vom zeitdiskreten zum zeitkontinuierlichen Signal

Zeitdiskretes Signal wird über Halteglied und D/A-Wandlerin ein kontinuierliches Signal gewandelty(kt) -> y(t)

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Erzeugung digitalisierter Signale

Güte der Abtastung ist von der Quantisierung des Wertebereiches Abhängig. Je höher die Auflösung gewählt wird, umso kleiner wird dieQuantisierungsstufe (12 bis 16 bit)

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Fehlerbetrachtung

12 bit Auflösung: 2^12 = 4096Wertebereich von 0 bis 1000:Quantisierungsfehler q = 1000/4096 = 0,24414Wertebereich {0, 0.24, 0.48, 0.72, 0.96, 1.2, 1.4, ......}

16 bit Auflösung: 2^16 = 65536Wertebereich von 0 bis 1000:Quantisierungsfehler q = 1000/65536 = 0,01525Wertebereich {0, 0.015, 0.03, 0.045, 0.06, 0.075, ....}

Werte innerhalb dieser Werte sind nicht auflösbar. Informationsverlust vorhanden. Akzeptanz ist von der Aufgabenstellung abhängig.

Quantisierungsfehler ist für uns vernachlässigbar. Der Fehlereinflusskann durch die Bitanzahl für die Wahl der Auflösung beeinflusst werden.

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Digitaler Regelkreis

Im digitalen Regelkreis müssen analoge Größen digitalisiert werden.Die Regelstrecke wird meistens mit analog arbeitenden Stellgerätenbeeinflusst. Hier ist entsprechend die Umwandlung der digitalen Größenin analoge Größen vorzunehmen.Digitaler Regler ermittelt nach einer Berechnungsvorschrift die Folgeder Stellwerte y(kT) aus der Folge e(kT).

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Digitaler Regelkreis

Leistungsfähigkeit des digitalen Reglers:•Regelalgorithmus Programm / Software•Flexible Reglerauslegung mit hoher Leistungsfähigkeit•Die Stellgröße ist aufgrund der D/A-Wandlung ein treppenförmigwirkendes Signal

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Digitaler Regelkreis

Linearitätsprinzip:•Lineare Systeme bleiben auch unabhängig von der Abtastung weiterlinear. So können die Rechenregeln der LTI-Systeme auch für digitalisierte Regelkreise greifen und angewendet werden.•Behandlung digitaler Systeme wie kontinuierlich arbeitende Systeme•Bei digital arbeitenden Regelkreisen werden alle Kenngrößen nurzu den Abtastzeitpunkten kT betrachtet. Damit ergeben sich alleanalogen Größen zu reinen Zahlenfolgeny(k) = { 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 3, .....}

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Grundlagen der mathematische Behandlung digitaler RegelsystemeBild 2.2.1 Unbehauen II, S.104

t kT

2

t kT2 2

3

t kT3 3

dff (kT) f[(k 1)T]|

dt Td ff (kT) 2f[(k 1)T] f[(k 2)T]

|dt Td ff (kT) 3f[(k 1)T] 3f[(k 2)T] f[(k 3)T]

|dt T

Euler-Verfahren:Approximation der Differential-quotienten

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Grundlagen der mathematische Behandlung digitaler RegelsystemeSystem 1. Ordnung

1

1

1

1

0 1

dy(t)T y(t) u(t)

dt

Ty(kT) y[(k 1)T] y(kT) u(kT)

TT1

y(kT) y[(k 1)T] u(kT)T T1T

y(kT) u(kT) y[(k 1)T]

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Interpretation

Differenzengleichung ist rekursiv lösbar aus der Eingangsfolge und den Anfangsbedingungen lösbar.

Allgemeiner Fall der Differenzengleichung n-ter Ordnung:

n n1 2 0 1

n n

i ii 0 i 1

y(k) y(k 1) y(k 2) ... y(k n) u(k) u(k 1) ... u(k n)

y(k) u(k i) y(k i)

Beispiel:y(k+1) + 4y(k) = u(k)y(k+1) = u(k) – 4y(k)Folge u(k) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,.....} und y(0) = 10

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Interpretation

Die Folge y(k) oder y(k+1) berechnet sich rekursiv. Für die BestimmungDer aktuellen Werte für den Zeitpunkt k fließen die zurückliegendenWerte von y(k) der Ein- und Ausgangswerte mit ein. Die Größe n beschreibt die Ordnung der Differenzengleichung.Die Anfangswerte werden wie bei einer kontinuierlichen Dgl für k=0berücksichtigt.

Gewichtsfolge g(k) beschreibt die Systemantwort, wenn die Diracstoß-folge auf das System aufgegeben wird.

d(k) = 1 für k=0, sonst 0

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Folgenbeschreibung

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge.

Alternative Lösung durch Einführung und Anwendung der z-Transformation

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Beispiel Differenzengleichung 1. Ordnung

y(k+1) = ay(k) + u(k) k = 0,1,2,3,....

Für k=0: y(1) = ay(0) + u(0) y(0) muß bekannt sein.Anfangsbedingung, unabhängig von Eingangssequenz u(k)

Für k=1: y(2) = ay(1) + u(1)= a2y(0) +au(0) +u(1)

Für k=2: y(3) = a3y(0) +a2u(0) + au(1) + u(2)

Allgemein: y(k) = aky(0) + Σu(j)ak-1-j

Die Lösung besteht aus 2 Anteilen: aky(0) Anfangsbedingung / homogener TeilΣu(j)ak-1-j Erzwungener Anteil, abhängig von Eingangssequenz

j=0

j=k-1

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Beispiel

System 1. OrdnungAnregung mit u(k) = Δ(k) = 1 für k=0, sonst 0

y(k) = ak-1 für k>= 1 Gewichtsfolge für System 1. Ordnung

Σu(j)ak-1-j Die Summe entspricht der zeitdiskreten Faltung von Eingangssequenz und Stoßantwort g(k) = ak-1.

vgl.

y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

j=0

j=k-1

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Mathematische Betrachtung des Abtastvorgang

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Digitaler Regelkreis

Bild 2.2.3Bild 2.2.4, S.108

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Basisalgorithmen für digitale Regelungen

Proportionalalgorithmus

Y(t) = KRe(t)

Y(kT)= KR e(kT)

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Basisalgorithmen für digitale Regelungen

Integralalalgorithmus

i

y(t) KI edt y(kT) KI e(iT)T

Die Integration kann verschieden durch diskrete Algorithmen appro-ximiert werden (Rechteck, Trapeznäherung)

k 1

i 0

k

i 1

yk KI e(i)T

yk KI e(i)T

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Basisalgorithmen für digitale Regelungen

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Basisalgorithmen für digitale Regelungen

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Basisalgorithmen für digitale Regelungen

Rekursive Algorithmen:

k 1 k 2

k 1i 0 0

k k 1

k 1i 1 1

yk KI e(i)T KI e(i)T KI e(k 1)T y KI e(k 1)T

yk KI e(i)T KI e(i)T KI e(k)T y KI e(k)T

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Literatur Regelungstechnik

Literaturliste:• Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri

Deutsch, Frankfurt, 1998 ISBN 3-8171-1552-0 (Bibliothek HTW)• Unbehauen, H.: Regelungstechnik II, Vieweg-Verlag, Braunschweig,

2001, ISBN 3-528-01332-X • Schlüter Gerd.: Digitale Regelungstechnik interaktiv, Fachbuchverlag

Leipzig, 2000, ISBN 3-446-21477-1• Merz, Jaschek: Regelungstechnik, Vorlesung Universität Saarbrücken