prof. dr.-ing. ch. brücker sm i i /kap.1 1 · prof. dr.-ing. ch. brücker sm i i /kap.1 5 shock...

1Prof. Dr.-Ing. Ch. Brücker SM I I /Kap.1


Car aerodynamics, wake visualization

Morelli-Shape (Cd = 0.2)

Mercedes Bionik-Car -> boxfish.

Despite its boxy, cube-shaped body, this tropicis in fact outstandingly streamlined and therefore represents an aerodynamic ideal. With an accurately constructed model of the boxfish the engineers in Stuttgart were able to achieve a wind drag coefficient of just 0.06 in the wind tunnel.

al fish


Unsteady aerodynamics / insect flight


Delta wing / over the limit?


Shock waves

The wave pattern generated by a model of a Porsche 944 in a Mach 3 wind tunnel

shadowgraph of supersonic bullet flying


Jets in a cross-flow


Vortex rings

Vortex ring collision (90°)


Slender vortices / trailing vortices

Crow instability


Beispiele Bereich Maschinenbau

Wärmetauscher: Druckverlust, Wärmeübergang

Brennkammer: Vermischung von Brennstoff und Sauerstoffträger,Wand- und Flammentemperaturen, Schadstoff-Emissionen.

Turbinenschaufeln: Wirkungsgrad, Kühlung.

Kolbenströmungen: Vermischung, Wirkungsgrad, Rußbildung (Diesel).


• Aus integralen Erhaltungssätzen der Physik ⇒Grundgleichungen für reibungsfreie Strömungen:

Kontinuitätsgleichung:

Euler Gln.:

Näherung inkompressible Strömung

Rückblick I

( ) 0=ρ+∂ρ∂ udivt

fpgraduurotugradtu

+ρ

−=×++∂∂ 2

21


Ausblick I

Grundgleichungen für allgemeine Strömungen:

KontinuitätsgleichungNavier-Stokes Gleichungen (Impulsgleichungen)EnergiegleichungZustandsgleichungen der ThermodynamikKonzentrationengradienten in LösungenRandbedingungen

Vertiefung der Stromfadentheorie (kompressibel)

Düsenströmungen: Lavaldüse ÜberschallströmungenVerdichtungsstöße


Ausblick II

Verdichtungsstöße in 3D-Strömungen

Überschalltriebwerke (Fighter)Gasturbinen(„Schallmauer“ Überschallknall)

Reibungsfreie, inkompressible,2- und 3-dimensionale Körperumströmungen

Tragflügeltheorie konforme Abbildungen:Propeller, Windturbine, StrömungsmaschinenWarum kann ein Fußball (Tennisball) um eine Kurve fliegen?(Bananen-Flanke „Manni Kaltz“)


Ausblick III

Exakte Lösungen der Navier-StokesGleichungen für inkompressible Strömungen:

Laminare Kanal- und RohrströmungenStrömungen zwischen zwei koaxialen Zylindern

Schleichende Strömungen – Stokes GleichungenSchmierspalt

KonvektionsströmungenFreie KonvektionErzwungene Konvektion

N. St. Gleichungen Grenzschichtgleichungen:Grenzschicht - Theorie


Ausblick IV

Technisch relevante Strömungen und Strömungen in der Natur sind fast immer turbulent - Turbulenztheorie:

Warum werden Strömungen turbulent?Wie können turbulente Strömungen erforscht und beschrieben werden?

Kenntnisse sind notwendig für sinnvolle numerische Simulationen mit kommerziellen Programmen im Maschinenbau, in der Verfahrenstechnik, bei der Schadstoffausbreitung!


Grundlagen der Vektoralgebra

AV V 0→

∫∫

A∫∫

= ⎤⎥⎦

Volumenableitung eines Vektors DivergenzQuellterm

oder auch Dilatation

Volumenableitung eines Skalars oder Vektors

1) geschlossene Fläche mit V

2) bilde über die Eigenschaft

3) Grenzwert aus skalarer Fluss durch die Fläche

Skalarer Fluss des Vektorfeldes durch A, wenn

vergleiche:

Vektorieller Fluss des Vektorfeldes durch A, wenn

≠u∇ ⋅


Gauß‘scher Integral-Satz

j jV A

D f dV f n dA für j=1, 2, 3=∫ ∫1 1

j j 2 2

3 3

D nEs ist D / x mit D D und n n

D n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ∂ ∂ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Skalar:

Vektor:V V A

D f dV f dV f n dA Skalarprodukt!⋅ = ∇ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫

Tensor:

( )1 1

2 j j 2

3 3

Es ist eine Tensormatrix mit Zeilen x , dann ist Dσ ∇ ⋅ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ = σ σ = σ ⋅ σ = ∇ ⋅ σ = ∇ ⋅ σ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ ∇ ⋅ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

j j jV V A

D dV dV n dA für j=1, 2, 3⋅ σ = ∇ ⋅ σ = σ∫ ∫ ∫

Beispiel: ( ) ( ) ( )1

0

f x dx f 1 f 0

Ränder!

∂ = −∫


Reynolds Transport-Theorem

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

V

V A

V V

V

V

Substantielle Änderung einer Volumen-Eigenschaft J(t)

dJ d dV mit der Eigenschaftsdichte , z.B. , u ....dt dt

dV u n dAt

dV u dVt

u u dV

u u dt

= ε ⋅ ε ρ ρ

∂ε= + ε ⋅ ⋅

∂

∂ε= + ∇ ⋅ ε ⋅

∂

⎡ ⎤= ↓ + ε ⋅ ∇ ⋅ + ⋅∇ ⋅ε⎣ ⎦

∂ε⎛ ⎞= + ⋅∇ ⋅ ε + ε ⋅ ∇ ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

( )V

V

d u dVdtε⎛ ⎞= + ε ⋅ ∇ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Gauss-Integralsatz

Produktregel

SubstantielleAbleitung:

( )

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

∂= + ⋅∇∂

…

…

d u vdt t x y

ut


Grundgleichungen -Kontinuitätsgleichung

„Die zeitliche Änderung der Masse in einem raumfesten Kontrollvolumen V0 + Massenstrom durch Oberfläche A von V0 = Null“

( )00

0=

∂ρ+ ρ ⋅ =

∂∫ ∫A R VV and

dV u n dAt

Volumenintegral vermöge Gauß‘scher Integralsatz

( ) ( )A V

u n dA u dVρ ρ⋅ = ∇⋅∫ ∫

( ) ( ) ( )ρ

ρ ρ ρρρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

11 2 3

2

3

uu u u

, , ux y z x y z

uρ ρ ρρ ρ ρ

∂∂ ∂∂ ∂ ∂= + ⋅ + + ⋅ + + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂31 2

1 2 3uu uu u u

x x y y z z


Grundgleichungen -Kontinuitätsgleichung

„Die zeitliche Änderung der Masse in einem raumfesten Kontrollvolumen V0 + Massenstrom durch Oberfläche A von V0 = Null“

Kontinuitätsgleichung:

Inkompressible Strömungen:

( ) 0

0

0

div u ,t

u grad divu ,t

d divu .dt

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

∂+ =

∂∂

+ ⋅ + =∂

+ =

div 0,u =

Einstein‘sche Summenkonvention


Grundgleichungen – Navier-Stokes-Gleichungen

„Die zeitliche Änderung des Impulses in V0 Inertialsystem+ Impulsstrom durch Oberfläche A von V0 = Σ äußere Kräfte“

Gauß, V0 beliebig und Subtraktion „u · Kontinuitätsgleichung“

Drehimpulserhaltung Symmetrie

Offen: (Strömungsgrößen) ?

σ


Tensoranalysis / dyad. Produkt


Drehimpulserhaltung: Symmetrie von


Normal- und Schubspannung

Normalspannungen: Dehnung u. Stauchung

Schubspannungen: Scherung


Fluidbewegung allgemein

Fluidbewegung:

u u u v u wx x y x z x

u v v v w vy x y y y z

u w w v w wz x y z z z

DefD

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

0

0

0

u v u wy x z x

v uv wx yz y

w u w vx z y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟− −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂

⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟− ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ −

∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂

− −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

Ω =

( )u du u D dr D dr rot u dr+ = + +Ω ⋅ = ⋅ + ×


Rotation und Wirbel

Fluidbewegung allgemein:

Translation

Rotation

Scherung/Dehnung

Rotationsfreie Bewegung auf kreisförmiger Bahn

Potentialwirbel:

Singularität vereint gesamte Wirbelstärke

0ω =Ebene Scherschicht:

Strömung ist drehungsbehaftet, aber keine Wirbelströmung

0ω ≠


Drehung und Deformation

mittlere Winkelgeschwindigkeit mittlere Schergeschwindigkeit

xy( d d ) u v

dt y xβ αγ

⎛ ⎞+ ∂ ∂= = − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠z

( d d ) v udt x y

β αω⎛ ⎞− ∂ ∂

= = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Winkel-erhaltende Bewegung, z.B. Festkörperrotation

Richtung der Diagonalen bleibt erhalten, z.B. Staupunktströmung

⊕


Deformations-Tensor

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

⇔

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

=i

j

j

i

xu

xu

zw

zw

zv

yw

xw

zu

zv

yw

yv

yv

xv

yu

xw

zu

xv

yu

xu

xu

udef

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=+

=xw

zu

yw

zv

xv

yu

dtdd

xzyzxy γγαβγ ,,

zw

yv

xu

zyx ∂∂

=∂∂

=∂∂

= εεε ,,

Annahme: Verschiebungsgradient klein => quadr. Terme vernachlässigbar


Stokes´sche Spannungstensor (1)

x xy xz

xy y yz

xz yz z

1 2p 1 2

1 2

⎛ ⎞ε γ γ ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ = − + η γ ε γ + λ ε⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟γ γ ε ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

x y zu v w (Volumendilatation)x y z

div u∂ ∂ ∂ε = ε + ε + ε = + + =

∂ ∂ ∂

( ) 23ii xx yy zz V 0

13 =σ = σ + σ + σ ⇒ λ = η − η

Kinetische Gastheorie 1. Ordnung: Mittelwert der Normalspannungen unabhängig von kinematischen Variablen (keine Dilatationsviskosität: )

Lamé-Konstante

V 0η =

( )def u=

( )div grad p div def u grad ( div u)σ = − + η + λ


Stokes´sche Spannungstensor (2)

( )div grad p div def u grad ( div u)σ = − + η + λ

Tensoranalysis:

( )div grad p u grad (div u)σ = − + η Δ + λ + η



Allgemein:

Inkompressible Strömungen:

Tensoranalysis: Für jedes Vektorfeld gilt:

div 0=u



Materielle Darstellung der Transportgleichung:

Totales Differential stellt Änderung für mitbewegtes Fluidelement dar

Transportterm Quellterme


Navier-Stokes-Gleichungen - Näherungen

• Dimensionslose Variablen:

• Wichtige Näherungen:


Navier-Stokes-Gleichungen Euler Gleichungen

äquivalent:

Achtung!

Terme mit den höchsten Ableitungen entfallen,


Navier-Stokes-Gleichungen Stokes Gleichungen

Reibungsdominierte Strömungen, man spricht von

„schleichenden“ Strömungen!!


Grundgleichungen - Energiesatz

„Die zeitliche Änderungen der Energie (innere und kinetische) in V0 + Energiestrom durch Oberfläche A = Arbeit der Σ äußere Kräfte“

• Gauß

• Subtraktion: Energie · Kontinuitätsgleichung

• Subtraktion: Navier-Stokes-Gleichungen

n


Energiesatz

Energieerhaltung

- Impulserhaltung (Navier Stokes) * Geschwindigkeit

(mechanischer Energiesatz)

= Energiesatz (1. Hauptsatz der Thermodynamik)


Energiesatz

mit


Energiesatz – 1. H.S. der Thermodynamik

• Keine Dissipation, ideales Gas, konstanter Druck:

• Keine Dissipation, ideales Gas, konstante Dichte:

prof. dr.-ing. ch. brücker sm i i /kap.1 1 · prof. dr.-ing. ch. brücker sm i i /kap.1 5 shock...

Documents