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PRUEBAS DE HIPTESISIntroduccin

En varios problemas de ingeniera, medicina y finanzas se debe decidir entre aceptar o rechazar una aseveracin hecha sobre un parmetro. A esta declaracin se le llama hiptesis y el procedimiento de decisin sobre la hiptesis se le llama prueba de hiptesis.

Definicin: Una hiptesis estadstica es una declaracin sobre uno o varios parmetros de una o ms poblaciones.

Nota: las hiptesis siempre se formulan sobre la poblacin o distribucin bajo estudio, no sobre la muestra.

*PRUEBAS DE HIPTESISPor ejemplo:

Estamos interesados en la taza de incineracin de un slido la cual es una variable aleatoria que puede describirse mediante una distribucin de probabilidad.

Se tiene inters en decidir si la media de la taza de incineracin (parmetro) es distinta de 50cm/s.

Formalmente se expresa como: H0: m = 50 cm/sH1: m 50 cm/sdonde:H0 hiptesis nula ,H1hiptesis alternativa o hiptesis de investigacin

*PRUEBAS DE HIPTESISAl procedimiento que nos permite hacer la decisin sobre una hiptesis particular se le llama prueba de una hiptesis. Los procedimientos de prueba de hiptesis dependen de la informacin contenida en una muestra aleatoria de la poblacin de inters.

Si la informacin es consistente con la hiptesis, se concluye que sta es verdadera, en caso contrario es falsa.

*PRUEBAS DE HIPTESISEjercicios: Plantee un juego de hiptesis de inters para cada uno de los siguientes escenarios.1. Los ingenieros han observado que son muchos los factores que afectan el funcionamiento de las seales reflejantes en autopistas. Uno de ellos es la alineacin correcta de los faros de los automviles. Se piensa que ms de 50% de los automviles en circulacin tiene faros mal alineados. Si esta afirmacin puede sustentarse estadsticamente, se pondr en marcha un programa de inspeccin ms estricto.

*PRUEBAS DE HIPTESIS2. Los ingenieros automotrices usan cada vez ms el aluminio en la fabricacin de automviles, con el objeto de reducir los costos y mejorar el rendimiento del combustible. En un modelo dado, el nmero de millas por galn obtenido en autopistas tiene media de 26 millas por galn (mpg), con desviacin estndar de 5 mpg. Se espera que un nuevo diseo, en el que se usa ms aluminio, mejore el rendimiento de combustible. Suponga que este cambio no tiene efecto en s.

*PRUEBAS DE HIPTESISDefinicin:Rechazar la hiptesis nula H0 cuando sta es verdadera se define como el error de tipo I.

Definicin:Aceptar la hiptesis nula H0 cuando sta es falsa se define como el error de tipo II.

Tabla de decisin en prueba de hiptesis

Hoja1

DecisinH0 es verdaderaH0 es falsa

Aceptar H0no errorerror tipo II

Rechazar H0error tipo Ino error

Hoja2

Hoja3

*PRUEBAS DE HIPTESISUna decisin esta basada en variables aleatorias por tanto podemos asignar probabilidades a los errores.

a = P (error tipo I) = P( rechazar H0 | H0 es verdadera) tambin se le conoce como nivel de significancia.

b = P( error tipo II) = P( aceptar H0 | H0 es falsa)

*PRUEBAS DE HIPTESISEl procedimiento general de prueba es el siguiente:

Del contexto del problema, identificar el parmetro de inters q.

Estructurar la hiptesis nula H0, la declaracin de igualdad siempre se incluye en H0.

Especificar una hiptesis alternativa H1, la hiptesis de investigacin es H1, de modo que se espera que los datos lleven a rechazar H0 y, en consecuencia, aceptar H1.

Escoger un nivel de significancia a.

*PRUEBAS DE HIPTESISEscoger una estadstica de prueba apropiada.

Tomar una muestra aleatoria del parmetro.

Con los datos, calcular el estadstico de prueba.

Decidir si H0 debe ser o no rechazada y reportar los resultados en el contexto del problema.

*PRUEBAS DE HIPTESISPrueba de hiptesis para la media, con varianza conocida.

Supuestos:

La poblacin o distribucin de inters tiene media m y varianza s2, con s2 conocida. La poblacin se distribuye normalmente o es aplicable el teorema de lmite central.

La hiptesis:H0: m = m0H1: m m0

m0 es una constante.

T.L.C: La media de es aproximadamente normal con media m y varianza s2/n

*PRUEBAS DE HIPTESISTenemos una muestra aleatoria x1, x2, , xn de la poblacin de inters. Y

si la hiptesis nula es verdadera, se puede construir una regin critica basada en el valor que se calcula de

La probabilidad de que el estadstico caiga en la regin de rechazo (Z0>Za/2 y Z0

*El estadstico de prueba es:La prueba se define como:

Se debe rechazar H0 si

Z0 > za/2o Z0< -za/2

y no rechazar H0 si

-za/2 Z0 za/2

Una muestra que produzca un valor del estadstico de prueba que caiga en las colas de la distribucin de Z0 ser un valor inusual si H0 es verdadera.PRUEBAS DE HIPTESIS

*PRUEBAS DE HIPTESISPruebas de un lado

H0: m = m0H1: m > m0

H0: m = m0H1: m < m0 Explicar el significado de p-valorrechazar H0 si z0 > zarechazar H0 si z0 < - za

*PRUEBAS DE HIPTESISEjemplo: 1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en EU durante el ao pasado mostr una vida promedio de 71.8 aos. Suponiendo una desviacin estndar poblacional de 8.9 aos, parecera esto indicar que la vida promedio hoy en da es mayor que 70 aos? Utilice un nivel de significancia del a= 0.05

*PRUEBAS DE HIPTESIS2. Los sistemas de escape de emergencia para tripulaciones de aeronaves son impulsados por un combustible slido. Una de las caractersticas importantes de este producto es la rapidez de combustin. Las especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustin sea 50cm/s. Se sabe que la desviacin estndar de esta rapidez es s = 2cm/s. El experimentador decide especificar una probabilidad para el error tipo I, o nivel de significancia, de a=0.05. Selecciona una muestra aleatoria de n=25 y obtiene un rapidez promedio muestral de combustin de xbarra =51.3cm/s. A qu conclusiones debe llegar?

*PRUEBAS DE HIPTESISPrueba de hiptesis para la media de una distribucin normal y varianza no conocida

Cuando el tamao de muestra es pequeo y s2 no conocida, se deben hacer supuestos sobre la distribucin de la poblacin bajo estudio para obtener un procedimiento de prueba.

Supuestos:La poblacin tiene distribucin normal.

La media m y varianza s2 son no conocidas.

Tenemos una muestra aleatoria x1, x2, , xn

De la muestra aleatoria obtenida calculamos y s2.

*el cual sigue una distribucin t Student con n-1 grados de libertad si la hiptesis nula H0 es verdadera.

Se rechaza la hiptesis nula si:t0 > ta/2,n-1o t0 < - ta/2,n-1

PRUEBAS DE HIPTESIS

Se desea probar la hiptesis:H0: m = m0H1: m m0

La estadstica de prueba es:

*PRUEBAS DE HIPTESISPruebas de un lado

H0: m = m0H1: m > m0

H0: m = m0H1: m < m0 rechazar H0 si t0 < -ta,n-1rechazar H0 si t0 > ta,n-1

*PRUEBAS DE HIPTESISEjemplos: Las piscina bajo techo se caracterizan por sus propiedades acsticas deficientes. El objetivo es disear una piscina de manera tal que el tiempo promedio para que desaparezca un sonido de baja frecuencia sea cuando mucho 1.3 s, con desviacin estndar mxima de 0.6 s. Se realizan 28 simulaciones en computadora con un diseo preliminar, para ver si se exceden esas normas. Y se obtiene lo datos siguiente Xbarra= 3.97 y s=1.89.

parecen satisfacer las especificaciones de diseo? con un nivel de a=0.01

*PRUEBAS DE HIPTESIS2. Un artculo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la ruptura de 22 especmenes de una cierta aleacin. La media muestral es xbarra= 13.71 MPa, mientras que la desviacin estndar muestral es s= 3.55. sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribucin normal, utilcese a=0.05

*PRUEBAS DE HIPTESISPrueba de hiptesis de la varianza de una poblacin normal

El inters se centra en la prueba de hiptesis relacionadas con varianzas s2 o s poblacionales.

Consideremos el problema de probar la hiptesis nula H0: s2 = s02 H1: s2 < s02, s2 > s02, s2 s02

El estadstico apropiado sobre el cual se basa la decisin es el estadstico ji cuadrado.

*PRUEBAS DE HIPTESISPara probarH0: s2 = s02H1: s2 s02

Se utiliza el estadstico de prueba

donde S2 es la varianza muestral. Si H0 es verdadera, el estadstico de prueba c02 sigue una distribucin ji cuadrada con n-1 grados de libertad.

*PRUEBAS DE HIPTESISSe rechaza la hiptesis nula si:c02 > c2a/2,n-1o c02 < c21-a/2,n-1

El mismo estadstico de prueba se utiliza para hiptesis alternativas unilaterales.

Pruebas de un lado

H0: s2 = s02H1: s2 > s02

H0: s2 = s02H1: s2 < s02rechazar H0 si c02 < c2 1-a,n-1rechazar H0 si c02 > c2a,n-1

*PRUEBAS DE HIPTESISEjemplo:1. Un fabricante de detergente lquido est interesado en la uniformidad de la mquina utilizada para llenar botellas. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas se obtiene una varianza muestral para el volumen de llenado de S2= 0.0153 (onzas de fluido)2. Si la varianza del volumen de llenado es mayor que 0.01, entonces existe una proporcin inaceptable de botellas que sern llenadas con una cantidad menor de lquido. Existe evidencia en los datos muestrales que sugiera que el fabricante tiene un problema con el llenado de botellas? Utilcese a= 0.05

*Estimacin de una proporcinEstimador puntual:

x representa el nmero de xitos en n pruebas.

Para n suficientemente grande, tenemos que:

Distribuye aproximadamente normal con media:

y desviacin estndar:

*Entonces

Y podemos asegurar que: Intervalo de 100(1-a)% de confianza

*H1Estadstico de pruebap < p 0p > p 0p p 0Z < - ZaZ > ZaZ < - Za/2 o Z > Za/2 PRUEBAS DE HIPTESIS PARA LA PROPORCIN POBLACIONAL CON MUESTRAS GRANDESDonde: n p0 y n ( 1 - p0 ) deben ser mayor que 10.Regin de Rechazo para Ho

*El gerente de una compaa de seguros piensa que mas del 70% del total de accidentes automovilsticos reclamados en un determinado mes se relaciona con manejar a exceso de velocidad. De una muestra aleatoria de 75 reclamaciones, se encontr que 40 se asocian con exceso de velocidad. Realice una prueba de hiptesis para la proporcin poblacional. Utilice un nivel de significancia del .05. EJERCICIOS

*Resp.Conclusin: Dado que z = -3.14 no cae en R.R. la cual es z > 1.645, entonces Ho: p 0.7 no se rechaza, es decir, que no existe evidencia estadstica de que la proporcin de accidentes por exceso de velocidad excede al 70% .

*2. Una muestra aleatoria de 300 componentes electrnicos fabricados mediante un proceso especfico se muestrea y se encuentra que 25 estn defectuosos. El ingeniero responsable de la produccin afirma que p 0.05. La muestra proporciona suficiente evidencia para rechazar la afirmacin?

*3. El siguiente resultado de MINITAB presenta los resultados de una prueba de hiptesis para una proporcin poblacional p. Faltan algunos nmeros. Complete stos del (a) al (c)Test for one proportion p:Test of p=0.7 vs p