séminaire cea-saclay 15/01/04 un modèle bifluide pour les écoulements diphasiques à interface...

Séminaire CEA-Saclay 15/01/04

Un modèle bifluide pour les écoulements diphasiques

à interface libre

G. Chanteperdrix J.P. Vila P. Villedieu


2CONTEXTE DE L ’ETUDE

LIQUIDE

GAZ

Comportement des fluides dans les réservoirs de véhicules spatiaux

Mouvements provoqués par

les accélérations de la fusée

LIQUIDE

GAZRemontée du liquide

le long des parois par capillarité

•Phases accélérées : phénomènes inertiels dominants.•Phases balistiques : phénomènes capillaires et thermiques dominants.

Phase accéléréePhase balistique

Chauffage parle rayonnement

solaire


3

Plan de l’exposé

• 1. MODELISATION• 2. PROPRIETES DU MODELE• 3. DISCRETISATION• 4. EXEMPLES D ’APPLICATION• 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS


41. MODELISATION

Hypothèses de modélisation• Echelle de longueur interface = échelle macroscopique

=> écoulement à phases séparées => utilisation d’un seul champ de vitesse.(notion de «glissement entre phases » non pertinente pour

ce type d ’application)

• Modèle à deux fluides : présence supposée des deux fluides en tout point de l’espace => zone de mélange numérique => interface « diffuse » non repérée explicitement.

• Ecoulement quasi incompressible => faibles variations de température => couplage faible entre effets dynamiques et effets thermiques

=> possibilité d ’utiliser une loi de pression de la forme p() pour chaque fluide.


51. MODELISATION

Equations de la dynamique

cid FFgIpVVt

V

Vt

Vt

D

div

0)~(div~

0)~(div~

v

22

11

gravité inertie capillaire

Conservation masse fluide 1

Conservation masse fluide 2

Bilan quantitéde mouvement

viscosité

2121 222 111 1 ~~~

~

Fractions volumiques


61. MODELISATION

Loi de pression du « mélange »

2 contraintes doivent être vérifiées :

•Consistance : loi de pression du mélange = loi de pression du fluide i si la fraction massique du fluide i tend vers 1.•Stabilité : il doit exister une entropie au sens de Lax pour le système du premier ordre associé au modèle (D).

Modèle retenu : fermeture dite isobare [voir par exemple Abgrall-Saurel (JCP, 2000) ou Coquel et al (CRAS, 2002)]

)1(

~

~ :

)1(

~ 1

~ )~,~(

22

11

22

1121

***

**

**

α

ρp

α

ρpde solution αavec

α

ρp)α(

α

ρpαp


71. MODELISATIONForces capillaires

Modèle à interface diffuse => nécessité d’une formulation volumique des forces de tension de surface <=> procédé de régularisation.

•Formulation exacte: IIII σ n σ Fc

Courbure Force tangentielle => effet Marangoni

•Formulation volumique : méthode CSF de Brackbill (JCP, 1992):

Or on montre facilement que :

** α

ααdiv -

*

Fc

(effet Marangoni non pris en compte)

*

*

*

α

αα Iαdiv α ααdiv - **

**

-

Forme conservative


81. MODELISATIONForces capillaires

Soit α

αα - Iασ

interfacel' ànt plan tange lesur projection deOpérateur

2

*

***

c « Tenseur capillaire »

Force tangentielle à l’interface

Force capillaire agissant sur un volume de contrôle V : dsndvFV CV C

.

Sur une paroi, on pose : ** )cos( . nnC

Angle de contact Paroi / Interface

On pose donc :

.α

αασ - Iα

ααα - Iαdiv σ

α

αασ - Iασdiv

*

***

*

*

***

***

Fc

Force normale à I Force tangente à I

Utilisation possible d’un modèle d’angle dynamique


91. MODELISATIONForces de viscosité

Ecoulement quasi incompressible <=> 0)(div V

On peut donc poser : tVV v

Il est nécessaire de définir une « viscosité dynamique de mélange ». Un choix consistant consiste à prendre :

2*1* )1(

Un autre choix possible est :

22 11~ ~

A notre connaissance, il n ’existe pas d ’argument clair en faveur d’un choix ou d’un autre.


101. MODELISATION

Thermique(modèle de type Boussinesq)

V:)'(div )' div( '

vp

p TVTct

Tc

cd FTTggIpVVt

V )( div 00v

Ecoulement à faible vitesse => Tc )(2/1 p02

0 Vp

Equation de bilan d’enthalpie pour une particule fluide

Qté de mouvement

Dt

Dh c Wf

Terme de couplage

Enthalpie

On pose : T ’ = T - T0


111. MODELISATION

Thermique

Il est nécessaire de se donner un modèle pour la chaleur spécifique du « mélange » diphasique.

Nous avons retenu le modèle suivant :

2*1* )1( ppp ccc

Remarque : les phénomènes de changement de phase (cavitation, évaporation) ne sont pas pris en compte dans ce modèle. (voir par exemple les travaux de P. Helluy et al).


121. MODELISATIONLoi d ’état des fluides

Ecoulement quasi incompressible => inutile d’utiliser la loi d ’état exacte pour chacun des deux fluides pour obtenir des champs de vitesse et de pression corrects.

Nous avons pris des lois affines de la forme :

)()(

)()(

022220222

011210111

cpp

cpp

Avec Ci << vitesse réelle du son dans le fluide i

Critère de choix pour ci:

Ta = L/ci << T

11200

pc ii

i

Estimé par des formules approchées


131. MODELISATION« Modèle augmenté »

(Technique de relaxation)

Pour des raisons numériques (voir partie 3), il es préférable de remplacer le modèle (D) par le modèle (D) :

)α

ρ(α)p()

α

ρ(α ppavec

FFgIpVVt

V

Vt

Vt

ppV

t

D

cid

1

~1

~),~,~(

div

0)~(div~

0)~(div~

)(div

12

1121

v

22

11

21

(D) peut être vu comme une approximation du modèle (D).(Théorie des systèmes hyperboliques relaxés)


14

Plan de l’exposé



152. PROPRIETESCas du modèle augmenté

Proposition 1 : Le modèle (D) est hyperbolique. Les valeurs propres associées ont pour expression

3 2 1 , , cuucu

avec : 222

211

2 )1( ccc Proposition 2 : Le couple (S*, F*) défini par

est un couple « entropie - flux » au sens de Lax pour le modèle (D).

Energie libre du fluide i

i

drr

rpfavec

VpVVSVF

α

ρf

α

ρfVVS

iii

0 2

212121*

222

111

221*

)(

)(

)~,~,( ),~,~,( ),~,~,(

)1(

~ ~

~~

2

1 ),~,~,(

Remarque: Inégalité de Lax <=> )(div Vpdt

df <=> second principe


162. PROPRIETESCas du modèle à l ’équilibre

Proposition 3 : Le modèle (D) est hyperbolique. Les valeurs propres associées ont pour expression

*3 2 *1 , , cuucu

avec : 222

211

22

2121

2* )1(

cc

ccc

Proposition 4 : Le couple (S*, F*) défini par

est un couple « entropie - flux » au sens de Lax pour le modèle (D).

Energie libre du fluide i

i

drr

rpfavec

VpVVSVF

α

ρf

α

ρfVVS

iii

**

0 2

21*21*21*

222

111

221*

)(

)(

)~,~( ),~,~( ),~,~(

)1(

~~

~~

2

1 ),~,~(


172. PROPRIETESCommentaires

•La condition dite subcaractéristique est satisfaite : c > c*

•L’entropie du modèle (D) vérifie : S*(W) = S(W*).

•On a la relation :

1

~

~ ),~,~,( 2

21

121

ppV

S

* minimise S à fixés => justification a-posteriori du modèle (D). V ,~,~21

•Possibilité d’étendre ces résultats au cas ou la tension de surface est prise en compte dans le bilan d ’énergie libre (collaboration avec D. Jamet, cf thèse de G. Chanteperdrix) => nouvelle expression de S et nouveau modèle d ’équilibre, prenant en compte les effets capillaires dans la définition de * (défini dans ce cas par une edp elliptique non linéaire).

•Extension possible à N fluides, y compris effets capillaires (cf thèse de G. Chanteperdrix).


182. PROPRIETESProblème de Riemann (1)

Proposition 5 : Le problème de Riemann associé au système

)α

ρ(α)p()

α

ρ(α ppavec

x

p

x

u

t

u

x

u

t

x

u

t

x

u

t

H

1

~1

~),~,~(

0

0~~

0~~

0

12

1121

2

22

11

possède une solution unique pour toute donnée initiale physiquement admissible.


192. PROPRIETESProblème de Riemann (2)

V a l e u r s p r o p r e s u - c u u + c

O n d e s a s s o c i é e sD é t e n t e o u

C h o cD i s c o n t i n u i t é d e c o n t a c t D é t e n t e o u

C h o c

V e c t e u r s p r o p r e sa s s o c i é s

c

R2

11

0

0

)1(

0

22

21

2c

cR a

0

0

22

12

21

12

2

c

pp

c

pp

R b

c

R2

13

0

I n v a r i a n t s d eR i e m a n n

2

11

1

1

ρ

ρω

luω

αω

c

b

a

a v e c

)ln(2

121 cl

pω

uω

b

a

2

2

2

13

3

3

ρ

ρω

luω

αω

c

b

a

a v e c

)ln(2

121 cl


20

Plan de l’exposé



213. DISCRETISATION principe général

• Méthode basée sur le principe des « schémas de relaxation » : la discrétisation est appliquée formellement au modèle augmenté avec .

• Discrétisation spatiale: méthode de volumes finis d’ordre 2 pour la discrétisation des termes de transport, avec un schéma de Godunov pour la partie hyperbolique du système. Les termes capillaires sont traités comme des termes source.

• Discrétisation temporelle: schéma explicite de type RK2 combiné avec une méthode de pas fractionnaires pour le traitement de la relaxation.


223. DISCRETISATION Forme générale du schéma

eqKn

K

nK

nKe

Ke

nKe

nKK

relaxationWW

St

eGFK

tWW

: )(

2

)(2

*

,,*

2/1

puis

eqKn

K

nK

nKe

Ke

nKe

nKK

relaxationWW

SteGFK

tWW

: )(

)(

**

,,**

1

2/12/12/1

Flux des contraintes visqueuses

Flux associé à la partie hyperbolique

du système(schéma de Godunov + méthode MUSCL)

Termes sourcey compris effets

capillaires Opérateur de « relaxation »<=> projection


233. DISCRETISATION Schéma pour les termes capillaires

On doit choisir une formulation discrète pour:

dsne Ke

e

CKe ,

*

, . α

αασ - Iασ1

***

On impose à la discrétisation choisie de respecter la contrainte : 0., eC

Ke

Approximation de

au centre de la face e

Un choix naturel est donc :

α

αn.α -nασ

e

eKe,eKe,ee,

CKe

= - cos(siparoi


243. DISCRETISATION Schéma pour les termes de viscosité

On impose que le schéma soit exact pour certaines solutions stationnaires particulières, dans le cas d’un maillage cartésien, aligné avec la direction de l’interface entre les deux fluides :

•1) Ecoulement de Couette plan (diphasique)•2) Ecoulement de Couette - Marangoni plan (diphasique)

Remarque : on utilise un schéma analogue pour la discrétisation du flux de chaleur.

KeeeV

Ke nV ,, . Viscosité moyenne

sur la face e

Condition 1) + discrétisation naturelle pour la dérivée normale de la vitesse => choix de la moyenne harmonique des viscosités au centre des cellules adjaçantes.

Condition 2) => ajout d’un terme correctif supplémentaire (voir thèse de G. chanteperdrix).KeK

KeKe

2


25

Plan de l’exposé



264. EXEMPLES D’APPLICATIONS

Test 1: Ballottement linéaire(résultats expérimentaux du ZARM)


27

Ballottement linéaire

Maillage 40 X 80 h/L = 1/40


28Ballottement linéaire

(résultats expérimentaux du ZARM)


29Ballottement linéaire




Test 2 :Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)


31Ballottement non linéaire


Maillage 75 X 150h = L/75


32

Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)




C1=3.4 m/sC2 = 18 m/s



Test 4 : Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité


Modèle d ’angle de contact dynamique

•réservoir circulaire•effets visqueux pris en compte•pas d ’effet thermique

LIQUIDE

GAZ


36Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité

(Sous cas 1: grand angle de contact)

Maillage 20 X 60 non uniforme

Hysteresisnon reproduite



(Sous cas 1: grand angle de contact)

Modèle d’angle dynamique avec Hysteresis



(Sous cas 2: faible angle de contact)



40

Test 5 : Oscillations linéaires d’une bulle au repos


Champ de pression au repos

Relation de Laplace vérifiée


41Oscillations linéaires d’une bulle au repos


Evolution du rayon de la bulle en fonction du temps(forme initiale de la bulle = ellipsoïde)

Excellent accord sur la valeur de la

fréquence fondamentale

Maillage 40 X 80 uniforme


42

Test 6 : Remontée d ’une bulle d’air dans unecolonne d’eau initialement au repos.

•Calcul 2D axi-symétrique, avec prise en compte des forces capillaires. Maillage 60 X 180.

•Très bon accord avec les données expérimentales pour la vitesse de remontée et la forme de la bulle.



43

Test 7: Formation d’un Geyser(Résultat expérimentaux du LEGI)



44

Formation d’un Geyser(Résultats expérimentaux du LEGI)



45

Formation d’un Geyser(Résultats expérimentaux du LEGI)



46

Plan de l’exposé



47PERPECTIVES, TRAVAUX EN COURS

Travaux en cours:

• développement d ’un code 3D sur maillage non structuré. • couplage fluide / solide. • Poursuite de la validation du couplage avec les effets thermiques (voir thèse de G. Chanteperdrix pour les premières applications : convection naturelle, écoulement de Couette - Marangoni)Perspectives :• Application du modèle à la simulation directe d’interaction goutte / paroi (possibilité de comparer à des données expérimentales).

• Changement de phase (modèle de cavitation, d’évaporation) => application à la simulation directe d ’interaction goutte / paroi chaude.

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