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Senales y SistemasCapıtulo 2: Senales

Sebastian E. Godoy ([email protected])

Departamento de Ingenierıa ElectricaUniversidad de Concepcion, Concepcion, Chile

Marzo 2015

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Tabla de Contenidos

SenalesSenales de pruebaMuestreoOperaciones basicas sobre senales

Escalamiento en amplitudEscalamiento en el tiempoInversion en el tiempoDesplazamiento en el tiempoCombinaciones

ConvolucionIntegral de convolucionSumatoria de convolucionConvolucion cıclica

Resumen capıtulo

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Senales Senales de prueba

Senales de prueba

I Las senales de prueba son aquellas que utilizamos para caracterizar unsistema de forma “empirica”

→“Aplicamos” una senal de prueba conocida a un sistema paraevaluar su respuesta

I Las senales que ya estudiamos son las senales de prueba tıpicas:I ImpusoI Escalon unitarioI Rampa unitariaI Exponenciales y sinusoidales

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Senales Muestreo

MuestreoYa discutimos que las senales continuas y las discretas (muestreadas ydigitales) estan relacionadas por un proceso que se conoce como muestreo

1. Concepto de muestreo mediante interruptor

x(t)→ Interruptor en nT → x(nT ) ≡ x [n]

2. Matematicamente hablando el interruptor en el instante nT serepresenta por un impulso: δ(t − nT ). Esto pues x(nT ) = x(t)δ

3. Si uno quiere tomar muestras cada T segundos entonces debe definirun “tren de impulsos”

p(t) = · · ·+ δ(t + 2) + δ(t + 1) + δ(t) + δ(t − 1) + δ(t − 2) + · · ·

=∞∑

n=−∞δ(t − nT )

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Senales Muestreo

Muestreo

4. Ası, la senal x(·) muestreada cada T segundos se representamatematicamente mediante

x [n] ≡ x(nT ) ,∞∑

n=−∞x(t)δ(t − nT )

5. El resultado es el siguiente:

(1) Senal x(t) (2) Tren de impulsos, p(t) (3) Senal muestreada, xs(t)

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Senales Muestreo

Muestreo: Efecto de T sobre el muestreo

(4) x(t) (5) p(t) (6) xs(t)

(7) x(t) (8) p(t) (9) xs(t)

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Senales Muestreo

Muestreo: Efecto de T sobre el muestreo

(10) x(t) (11) p(t) (12) xs(t)

Si uno disminuye el tiempo de muestro se llega a un punto en donde lasenal original ya no se puede recuperar a partir de las muestras

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Senales Operaciones basicas sobre senales

Escalamiento en amplitud

I La senal escalada ax(·) es simplemente x multiplicada por unaconstante a

I La senal escalada ax [·] es simplemente x multiplicada por unaconstante a

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Escalamiento en el tiempo: Senales continuas

Una senal x(·) se escala en el tiempo al multiplicar la variable de tiempopor una constante positiva b para producir x(bt)

Si b > 0 la senal se puede expandir (0 < b < 1) o comprimir (b > 1) enel tiempo

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Escalamiento en el tiempo: Senales discretas

Una senal x [·] se comprime en el tiempo al multiplicar el ındice n por unentero k para producir la version escalada x [nk]

I Esto saca la k-esima muestra de x [n]

I Muestras intermedias se pierden

I La secuencia se acorta

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Escalamiento en el tiempo: Senales discretas

Una senal x [·] se expande en el tiempo al divifir el ındice n por un enterom para producir la version escalada x [n/m]

I Esto “introduce” la m-esima muestra de x [n]

I Estas muestras intermedias deben ser sintetizadas (creadas). Porejemplo se pueden hacer cero o usar interpolacion

I La secuencia se alarga

Esto se llama “upsampling” o simplemente interpolacion

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Inversion en el tiempo

I En tiempo continuo, reemplazar t con −t para generar x(−t)

I En tiempo discreto, reemplazar n por −n para generar x [−n]

I Es lo mismo que escalamiento con b = −1

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Desplazamiento en el tiempo: Senales continuas

Para una senal continua x y un tiempo t0 > 0:

I Reemplazar t por t − t0 genera una senal retardada x(t − t0)

I Reemplazar t por t + t0 genera una senal adelantada x(t + t0)

I Parece ser contraintuitivo: Pensar cuando t − t0 se hace cero.

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Desplazamiento en el tiempo: Senales discretas

Para una senal discreta x y un entero n0 > 0:

I x [n − n0] es una senal retardada

I x [n + n0] es una senal adelantada

I Parece ser contraintuitivo: Nuevamente pensar cuando n − n0 se hacecero.

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Combinaciones de operaciones

I Escalamiento, desplazamiento e inversion en el tiempo pueden sercombinadas

I Las operaciones pueden ser realizadas en cualquier orden, pero hayque ser cuidadosos

I Esto de seguro le causara confusion

Ejemplo: Bosquejar la senal x(2(t − 1)) sabiendo que x(t) = 2 parat ∈ [−1, 1] y x(t) = 0 para t 6∈ [−1, 1].Solucion: Recomiendo siempre escalar en el origen (antes de desplazar)por lo tanto se obtiene x(2t) = 2 para t ∈ [−1/2, 1/2] y cero para t fuerade dicho intervalo. Ası, x(2(t − 1)) = 2 para t ∈ [1/2, 3/2] y cero fuera dedicho intervalo

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Senales Convolucion

Convolucion: Relacion entrada-salida SLIT

Recordemos que para un sistema L.I.T. la respuesta a entrada impulso hnos permite obtener la salida del sistema para cualquier entrada:

Sabiendo h = T (δ), con T un S.L.I.T

δ → SLIT → h

Entonces, para una entrada cualquiera x , la salida asociada, y estadeterminada por

y = x ∗ h

en donde ∗ representa la convolucion entre las senales x (entrada) y h (larespuesta a entrada escalon)

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion

Vimos que para sistemas en tiempo continuo, la convolucion entre dossenales genericas f y g se define mediante la integral

(f ∗ g)(t) =

∫ ∞−∞

f (τ)g(t − τ) dτ

Esto se traduce en y(t) = (x ∗ h)(t) en terminologıa de nuestros sistemas.

y(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t − τ) dτ

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion

I Si el sistema LIT es causal, entonces h(t) = 0, para t < 0

⇒ h(t − τ) = 0, para t − τ < 0⇒ h(t − τ) = 0, para t < τ

entonces

y(t) =

∫ t

−∞x(τ)g(t − τ) dτ

vale decir, solo valores presentes y pasados de x contribuyen paragenerar y

I Si ademas x es causal, entonces x(t) = 0 para t < 0, por lo que laintegral se simplifica aun mas:

y(t) =

∫ t

0x(τ)g(t − τ) dτ

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: Propiedades

Conmutatividad: La convolucion es conmutativa (f ∗ g) = (g ∗ f )

Demostracion: Reemplazar λ = t − τ en la definicion:

(f ∗ g)(t) ,∫ ∞−∞

f (τ)g(t − τ) dτ

= −∫ −∞∞

f (t − λ)g(λ) dλ

=

∫ ∞−∞

g(λ)f (t − λ) dλ

, (g ∗ f )(t)

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Senales Convolucion


Distributividad con respecto a la suma:

f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h

Demostracion:

(f ∗ (g + h))(t) ,∫ ∞−∞

f (τ)(g(t − τ) + h(t − τ)) dτ

=

∫ ∞−∞

f (τ)g(t − τ) + f (τ)h(t − τ) dτ

=

∫ ∞−∞

f (τ)g(t − τ)dτ +

∫ ∞−∞

f (τ)h(t − τ) dτ

, (f ∗ g)(t) + (f ∗ h)(t)

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Senales Convolucion


Asociatividad:f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h

Las propiedaedes de conmutatividad, asociatividad y distribucion significaque existe una “algebra de senales” en donde

I La suma de senales es igual a la suma aritmetica o en algebraelemental, y

I La multiplicacion es reemplazada por la convolucion

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: PropiedadesConvolucion con un impulso: Permıtame la notacion

f (t) ∗ δ(t − t0) = f (t − t0)

Demostracion:

f (t) ∗ δ(t − t0) ,∫ ∞−∞

f (τ)δ(t − t0 − τ) dτ

=

∫ ∞−∞

f (t − τ)δ(τ − t0) dτ

= f (t − t0)

Convolucion con un escalon: Dado que el escalon es causal, entonces

(f ∗ u)(t) =

∫ t

−∞f (τ) dτ

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: PropiedadesDado que los sistemas que son descritos por una convolucion son SLIT,entonces los sistemas se pueden componer en base a sistemas en cascadaEl sistema en cascada y = (x ∗ f ) ∗ g

es equivalente al sistema individual con respuesta a entrada impulsoh = f ∗ g

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Senales Convolucion


Ademas, dado que la convolucion es conmutativa, entonces cualquiercombinacion de sistemas en cascada es tambien conmutativa

Asi, estas dos combinaciones dan exactamente la misma respuesta, y parala misma entrada x

Esto es importante pues muchos sistemas pueden ser descritos porconvolucion y todos conmutan.Por ejemplo: integrador, diferenciadores, retardos, etc.

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Senales Convolucion


Ejemplo: Medir la respuesta impulso de un sistema

δ(t)→ SLIT → h(t)

Hemos dicho que la respuesta impulso es muy importante para caracterizarlos sistemas, sin embargo esto presenta dificultades de implementacion

Una alternativa comun es medir la respuesta escalon, s(·), vale decir larespuesta cuando la entrada es un escalon unitario, u(·)

u(t)→ SLIT → s(t)

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Senales Convolucion


La respuesta impulso se obtiene mediante la derivada de la salida escalon

u(t)→ SLIT → s(t)→ d

dt→ h(t)

Para comprobar esto, recordemos que el sistema diferenciador es tambienun sistema SLIT, por lo que se puede expresar en funcion de unaconvolucion. Por lo tanto, conmuta:

u(t)→ d

dt→ δ(t)→ SLIT → h(t)

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: PropiedadesSLIT para entrada exponencial compleja: Si tenemos un SLIT su salidaesta determinada por y = x ∗ h, en donde h es la salida a entrada impulso.Que pasa si la entrada es una exponencial compleja: x(t) = est en dondes es un numero complejo, es decir s = σ + jω?

y(t) =

∫ ∞−∞

x(t − τ)h(τ) dτ

=

∫ ∞−∞

es(t−τ)h(τ) dτ

=

∫ ∞−∞

este−sτh(τ) dτ = est∫ ∞−∞

e−sτh(τ) dτ

es decir, recuperamos la misma exponencial compleja, pero multiplicadapor una constante compleja

H(s) =

∫ ∞−∞

e−sτh(τ) dτ

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Senales Convolucion


Si esta integral converge (veremos que significa esto luego) entonces lasalida de mi sistema sera

y(t) = estH(s)

La funcion compleja H(s) se conoce como la funcion de transferenciadel sistema.

En el capitulo 3 desarrollaremos con mas detalle este concepto.(El punto importante es que Ud. sepa desde ya la conexion.)

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: Calculo

Para calcular la integral de convolucion

y(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t − τ) dτ

en general se siguen los siguientes pasos

1. Recuerde: h(t − τ) es la respuesta impulse retardada al tiempo τ

2. Si consideramos h(t − τ) como una funcion de τ , entonces h(t − τ)esta retardada al tiempo t e invertida

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Senales Convolucion


3. Esto se multiplica punto a punto con la entrada

4. Posteriormente se integra sobre τ para obtener y para dicho valor de t

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Senales Convolucion


Graficamente:

1. Invertir en el tiempo la respuesta a entrada impulso h(τ). Esto generah(−τ)

2. Arrastrar hacia la derecha sobre t para obtener h(−(τ − t)) = h(t− τ)

3. Multiplicar punto a punto para obtener x(τ)h(t − τ)

4. Integrar sobre τ para obtener y(t)

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: Ejemplo de Calculo

Ejemplo 1: Considere un sistema LIT con respuesta impulso h dadaabajo. Encuentre la respuesta del sistema para la entrada x .

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: Ejemplo de Calculo

Ejemplo 1: Considere un sistema LIT con respuesta impulso h dadaabajo. Encuentre la respuesta del sistema para la entrada x .

Solucion a ejemplo 1:

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: Ejemplo 2

Ejemplo 2: Repetir el problema anterior para respuesta impulso h yentrada x dadas a continuacion

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Senales Convolucion

Integral de Convolucion: Ejemplo 2

Ejemplo 2: Repetir el problema anterior para respuesta impulso h yentrada x dadas a continuacion

Solucion a ejemplo 1:

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Senales Convolucion

Sumatoria de convolucion

Recordemos que para un sistema LIT discreto, la respuesta a entradaimpulso discreto unitario, δ[·], la denotamos por h[·]

δ → SLIT → h

En el capıtulo anterior obtuvimos que para estos sistemas, la salida parauna entrada x era

y [n] =∞∑

k=−∞x [k]h[n − k]

la que denotamos como sumatoria de convolucion

Esta operacion esta en el corazon de cualquier sistema de procesamientodigital (de senales o imagenes)

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Senales Convolucion

Sumatoria de convolucion

En general, la convolucion entre dos secuencias f y g se define de lamisma forma

(f ∗ g)[n] =∞∑

k=−∞f [k]g [n − k]

Y satisface las propiedades de conmutatividad, asociatividad, distribuciony homogeneidad

Esta convolucion es normalmente conocida como convolucion lineal.

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Senales Convolucion

Sumatoria de convolucion: Calculo

Resolvemos la convolucion de la misma forma que en tiempo continuo:

y [n] = (f ∗ g)[n] =∞∑

k=−∞f [k]g [n − k]

Graficamente:

1. Invertir en el tiempo una senal g [n] para generar g [−n]

2. Arrastrar hacia la derecha sobre k para obtenerg [−(k − n)] = g [n − k]

3. Multiplicar punto a punto para obtener f [k]g [n − k]

4. Sumar todas las componentes sobre k para obtener y [n]

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Senales Convolucion

Sumatoria de convolucion: Calculo

Para calcular convolucion de secuencias es bueno recordar las siguientespropiedades:

n∑k=0

k =n∑

k=1

k =n(n + 1)

2(1)

n∑k=0

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6(2)

n∑k=0

k3 =

(n(n + 1)

2

)2

(3)

−1∑k=−n

k = −n∑

k=1

kn∑

k=0

k =`−1∑k=0

k +n∑

k=`

k (4)

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Senales Convolucion

Convolucion cıclica

La convolucion lineal normalmente diverge cuando se calcula sobre senalesdiscretas periodicas.

Por lo tanto se define el concepto de convolucion cıclica (o circular)entre dos secuencias f y g mediante

(f ∗c g)[n] =L−1∑k=0

f [k]g [n − k] ,

en donde se emplea el sımbolo “∗c” para especificar claramente que es laconvolucion cıclica y no la linear revisada anteriormente.

El parametro L se conoce como el largo de las secuencias. Para senalesperiodicas uno fija L tal que sea igual a periodo

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Resumen capıtulo

Resumen capıtulo:

En este capıtulo hemos revisado los siguientes conceptos importantes:

I Muestreo desde el punto de vista del tiempo

I Operaciones basicas sobre las senales que nos permitieron aprendercomo calcular la convolucion

I La convolucion como una propiedad de sistemas LIT

I Aprendimos a calcular convolucion en tiempo continuo y discreto

En el siguiente capıtulo revisaremos en detalle como modelar sistemasmediante ecuaciones diferenciales, de diferencias finitas y estado.

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