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Sistemas de numeración

Daniel García Delicado

Representación de la Información

Ordenador: Máquina pensada para trabajar con gran cantidad de información.

Debe poder representar esa información con un método factible.

Los Humanos usan sonidos y caracteres escritos.

Los ordenadores no pueden trabajar así.


Los pioneros en el diseño de computadores buscaron métodos con las siguientes condiciones.

1. Poder representar cualquier tipo de información (letras, números, palabras, etc.)

2. Ser compatibles con la tecnología existente (circuitos electrónicos)

3. Representar unívocamente la información


En 1837, F.B. Morse construyó el primer telégrafo.

Enviaba impulsos eléctricos codificando la información. Señales largas y cortas.

Ejemplo:– A = * -– B = - * * *– C = - * - *


Cuando se empezó a construir los primeros ordenadores el componente electrónico estrella era la válvula de vacío.

Funcionaba como un interruptor. Dejaba pasar la corriente o no.

Permitía dos únicos estados al igual que el Código Morse.


Cada uno de los estados se representaban con 1 y 0. ¿De dónde viene este 1 y 0? ¿Es un invento de los Ingenieros? La respuesta es NO. La representación de números

con 0 y 1 es un sistema de numeración más entre los ya existentes

Sistemas posicionales. Sistema Binario (2 símbolos), Octal (8 símbolos),

Decimal (10 símbolos) ,Hexadecimal (16 símbolos), ...

Representación de la información: Conversiones

Conversión decimal-binario: Realizar divisiones sucesivas por 2 y colocar el último cociente y los restos obtenidos en orden inverso.

Conversión binario-decimal: Desarrollar el número teniendo en cuenta que el valor de cada dígito está asociado a una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit más situado a la derecha, y se incrementa en una unidad según avanzamos posiciones hacia la izquierda


Ejemplo decimal-binario6 en binario es 110

COCIENTE RESTO 6 / 2 = 3 0

3 / 2 = 1 1 1 / 2 Ejemplo binario-decimal10011 = 1* 2*2+0*2*2*2+0*2*2+1*2+1*1=16+2+1=19


Conversión decimal-octal: Se realiza igual que en binario sólo que ahora se divide por 8 (cambia la base)

Conversión octal-decimal: Se realiza igual que en binario sólo que ahora se multiplica por 8 (cambia la base)

Conversión decimal-hexadecimal y hex-decimal: Igual pero cambiando la base a 16


El sistema hexadecimal consta de 16 símbolos, diez dígitos numéricos y seis caracteres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).

Conversión binario-octal: Cada dígito de un número octal equivale a 3 dígitos binarios, por tanto el modo de convertir un número entre ambos sistemas equivale a expandir cada dígito octal a 3 binarios, o en contraer grupos de 3 dígitos binarios a su correspondiente octa

Conversión binario-hexadecimal: Igual que la anterior sólo que tomando a la hora de expandir o contraer 4 dígitos binarios.

Para ambos, en caso de que no formen grupos completos los dígitos binarios (de 3 o 4 dígitos según corresponda), se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo

Representación de la información. Conversiones

Ejercicio: Convertir 101001011 a Octal y 750 (octal) a binario.

Ejercicio: Convertir 101001011 a Hexadecimal y 2E (hexadecimal) a binario.

Representación de la información: Conversiones de números reales

los valores como 25,47 que no son enteros pero al igual que los anteriores forman parte del conjunto de los números reales. En binario también tienen representación los números con decimales: Cada cifra que haya después de la coma tiene igualmente un peso que depende de su posición, comienza por la izquierda con valor igual a 1/2 y decrece hacia la derecha, siempre multiplicando por 1/2 para obtener el siguiente. Veamos un ejemplo:

11001,0112 = 1·16 + 1·8 + 0·4 + 0·2 + 1·1 + 0·(1/2) +

1·(1/4) + 1·(1/8) = 25,37510

Representación de la información: Conversiones de números reales

Para pasar de decimal a binario se pasa normalmente la parte entera y la parte decimal se va multiplicando por 2 hasta que se anulan los decimales y los decimales binarios se obtienen con la parte entera que se obtiene en cada paso. Por ejemplo:

25,37510 = 25 + 0,375 = 110012 + decimales 0,375·2 = 0,750

(primer decimal el 0); 0,75·2 = 1,50 (segundo decimal el 1); 0,50·2 = 1,0 (tercer decimal el 1).

Queda finalmente: 25,37510 = 11001,0112

Representación de la Información: Teorema Fundamental de la Numeración

Sistema Decimal : Hindú-Árabigo . S.VIII– 245 = 2*100 + 4*10 + 4 * 1 = 245

Sistema Binario. Leibniz . S. XVII– 101 = 1*4 + 0 * 2 + 1*1 = 5 en Decimal

Sistema Octal.– 245 = 2*64 + 4*8 + 5*1 = 165 en Decimal

Sistema Hexadecimal.– 245 = 2*(16*16) + 4*16 + 5*1 = 581 en Decimal

Representación de la Información:Ejercicios

Conversión de binario a decimal – 10110 ; 1110 ; 111; 111110

Conversión de decimal a binario– 432 ; 80 ; 1024 ; 323

Conversión de binario a Hexadecimal– 10011110 ; 10010111010001; 10010111001.1001

Conversión de Hexadecimal a Binario– 1A36D ; 5F6 ; 2B.CD

Representación de la información:Código Ascii

American Standard Code for Information Interchange: a cada carácter se le asigna un número decimal comprendido entre 0 y 255 (se trata de un código de 8 bits, 2 elevado a 8 = 255) que, una vez convertido a binario, nos da el código del carácter. Los 32 primeros caracteres son los de control: Intro, Delete etc… Los siguientes hasta el 128 son internacionales y, por tanto, comunes a todos los países. De los restantes, algunos son especiales (flechas, símbolos mátemáticos, etc..), y otros, particulares de cada país, como por ejemplo, nuestra ñ

Código Ascii: Tabla

Representación de la información: Unidades de medida

La unidad más pequeña de información en un ordenador corresponde a un dígito binario, 0 ó 1. A este dígito se le denomina bit (binary digit)

Al conjunto de 8 bits se le llama byte. Cada carácter equivale a un byte.

Estas unidades son muy pequeñas, por lo que necesitan algunos múltiplos del byte, así hablamos de Kilobyte, Megabyte, Gigabyte, Terabyte, Petabyte, Exabyte….


1 kilobyte (kb) = 1024 bytes 1 Megabyte (Mb) = 1024 kilobytes 1 Gigabyte (Gb) = 1024 Megabytes 1 Terabyte (Tb) = 1024 Gigabytes 1 Petabyte (Pb) = 1024 Terabytes 1 Exabyte (Eb) = 1024 Petabytes


El motivo de que la proporción entres las distintas magnitudes sea de 1024 se debe a que esta cantidad es la potencia de base 2 más próxima al múltiplo 1000. 2 elevado a 10 = 1024, equivalente al prefijo kilo.

Ejercicio: Expresar en potencias de 2 las cantidades anteriores

Ejercicio: Calcula el código binario de cada uno de los caracteres que constituyen tu nombre. Ten en cuenta que tendrás que consultar en una tabla ASCII, el valor decimal de cada uno de ellos

Ejercicios

1). ¿Cuántos bytes ocuparía tu nombre completo? 2). ¿Cuántos caracteres (bytes) podrías almacenar en un disco de

210 Mb? 3). ¿Cuántos disquetes de 3 ½, de 1,44 Mb podrías copiar en un

disco de 2 Gb? 4). ¿A qué número binario corresponde el número octal 123? 5). En el código ASCII, el símbolo ?, escrito en binario, es

00111111. ¿Cómo se representa en los sistemas octal y hexadecimal?

6). De los números 11100111 y E7, ¿cuál es mayor? 7). Las direcciones altas de la memoria RAM suelen

representarse en hexadecimal. ¿A qué posición decimal corresponde la dirección 0CF250?

Ejercicios

8). Cuando se arranca un ordenador, este indica la cantidad de memoria disponible. Observa e indica la cantidad de RAM y caché que tiene tu equipo.

9).Una de las utilidades de Internet consiste en bajarse software desde los distintos servidores. ¿Cuánto tardaría un módem de 55,6 Kbps en descargar un archivo de 1 Mb?

10). Tengo que representar 110 informaciones– ¿Cuántos dígitos binarios necesito?– ¿Cuántos dígitos decimales necesito?– ¿Cuántos dígitos octales y hexadecimales necesito?

11). Ordena de mayor a menor estas cantidades:– 2000 Mb –1 byte –1 Tb – 2 Gb –2048 Kb –1023 bits

Ejercicios

12). Convierte cada uno de estos números según se indica:– Decimal-binario: 23.3, 20, 33.1, 28– Octal-decimal: 14.4, 23– Decimal-hexadecimal: 33.1, 28– Binario-decimal: 1001.1, 100010– Hexadecimal-octal: A2, 13

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