teorija plasticnosti i viskoelasticnosti

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARTSVA I BRODOGRADNJE ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU

Teorija plastičnosti i viskoelastičnosti

Sažetak predavanja

Prof. dr. sc. Dragan Pustaić Ivana Cukor, demonstrator u Zavodu za tehničku mehaniku

Zagreb, 2009.

Teorija plastičnosti i viskoelastičnosti Prof. dr. sc. D. Pustaić i I. Cukor, demos

Zavod za tehničku mehaniku FSB-a II

SADRŽAJ

SADRŽAJ..................................................................................................................................... II Popis slika ................................................................................................................................... IV Popis tablica ...............................................................................................................................VII

I. TEORIJA PLASTIČNOSTI

1. Mehanička svojstva materijala pri jednoosnom rastezanju i sabijanju..........2

1.1 Konvencionalni dijagram rastezanja i sabijanja materijala ....................................... 2 1.2 Utjecaj uvjeta ispitivanja na oblik dijagrama rastezanja i sabijanja materijala .......... 5

1.2.1 Utjecaj brzine deformiranja ............................................................................... 5 1.2.2 Utjecaj temperature ispitivanja na dijagram deformiranja ................................. 6

1.3 Shematizirani dijagrami rastezanja i sabijanja.......................................................... 8 1.4 Reološki modeli ...................................................................................................... 11

2. Aksijalno opterećenje štapova i štapnih konstrukcija...................................13

2.1 Analiza štapnih konstrukcija u elastičnom i u plastičnom stanju............................. 13 2.2 Primjer programskog zadatka – analiza naprezanja u štapovima .......................... 26

3. Savijanje prizmatičnih štapova u plastičnom području ................................32

3.1 Savijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala..................................... 32 3.1.1 Čisto savijanje štapa čiji presjek ima dvije osi simetrije .................................. 33 3.1.2 Čisto savijanje štapa čiji poprečni presjek ima jednu os simetrije................... 37

3.2 Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa................................................. 41 3.3 Savijanje silama u plastičnom području.................................................................. 42 3.4 Primjer programskog zadatka – savijanje grede od elastično-idealno plastičnog materijala ............................................................................................................................ 47

4. Savijanje statički neodređenih kontinuiranih nosača i okvirnih nosača u plastičnom području................................................................................................53

4.1 Analiza graničnog stanja......................................................................................... 53 4.2 Metoda virtualnih radova ........................................................................................ 55 4.3 Analiza graničnih stanja okvirnih nosača Mehanizmi plastičnog sloma okvirnih nosača 56

5. Uvijanje štapova kružnog poprečnog presjeka..............................................60

5.1 Uvijanje štapa od nelinearno elastičnog materijala................................................. 60 5.2 Uvijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala ...................................... 64 5.3 Uvijanje štapa od elastično-linearno očvršćujućeg materijala ................................ 66


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a III

II. TEORIJA VISKOELASTIČNOSTI

6. Teorija puzanja materijala ................................................................................71

6.1 Viskoelastični modeli deformabilnog tijela .............................................................. 71 6.2 Osnovni rezultati eksperimentalnog ispitivanja puzanja pri jednosonom napregnutom stanju (rastezanju)........................................................................................ 73 6.3 Krivulja relaksacije .................................................................................................. 74 6.4 Krivulja puzanja ...................................................................................................... 77 6.5 Voight-Kelvinov model ............................................................................................ 78 6.6 Maxwellov model .................................................................................................... 82 6.7 Troparametarski viskoelastični modeli.................................................................... 87 6.8 Model viskoelastičnog deformabilnog tijela s tri elementa...................................... 88 6.9 Višeparametarski viskoelastični modeli .................................................................. 93 6.10 Model standardnog deformabilnog tijela................................................................. 94 6.11 Poopćeni Voight-Kelvinov model .......................................................................... 100 6.12 Poopćeni Maxwellov model .................................................................................. 101 6.13 Boltzmanov princip superpozicije ......................................................................... 102


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a IV

Popis slika

Slika 1.1. Konvencionalni dijagram rastezanja............................................................................. 2

Slika 1.2. Dijagram povijesti deformiranja .................................................................................... 4

Slika 1.3. Bauschingerov efekat ................................................................................................... 5

Slika 1.4.Utjecaj brzine deformiranja............................................................................................ 6

Slika 1.5. Ovisnost vlačne čvrstoće bakra o brzini deformiranja i o temperaturi ispitivanja......... 6

Slika 1.6. Dijagram naprezanje-deformacija u ovisnosti o povećavanju temperature .................. 7

Slika 1.7. Ovisnost ψ, ν, E, σD, δ o temperaturi............................................................................ 7

Slika 1.8. Dijagram naprezanje-deformacija pri sobnoj i pri sniženim temperaturama................. 8

Slika 1.9. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) –

linerano očvršćivanje.................................................................................................................... 8

Slika 1.10. Linearna aproksimacija krivulje očvršćivanja.............................................................. 9

Slika 1.11. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) –

nelinerano očvršćivanje.............................................................................................................. 10

Slika 1.12. Shematizirani dijagram rastezanja legiranog čelika: a) elastično - linearno

očvršćujući materijal – bilinearni dijagram; b) elastično nelinearno - očvršćujući materijal ........ 10

Slika 1.13. Shematizirani dijagrami: a) elastično-idealno plastičan materijal, b) kruto-idealno

plastičan materijal, c) kruto-linearno očvrščujući materijal ......................................................... 11

Slika 1.14. Osnovni reološki elementi : a) linearni viskozni prigušivač, b) linearna opruga, c)

plastični klizač ............................................................................................................................ 11

Slika 2.1. Štapna konstrukcija – aksijalno opterećena. Materijal štapova elastično-idealno

plastičan ..................................................................................................................................... 13

Slika 2.2. Štap od elastično-idealno plastičnog materijala opterećen koncentriranom silom F .. 16

Slika 2.3. Ovisnost pomaka presjeka C o opterećenju štapa F .................................................. 18

Slika 2.4. Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa .................................................... 19

Slika 2.5. Štapna konstrukcija aksijalno opterećena. Materijal štapova elastično-linearno

očvršćujući.................................................................................................................................. 20

Slika 2.6. Grafički prikaz ovisnosti uzdužnih sila u štapovima o vanjskom opterećenju

konstrukcije ................................................................................................................................ 22

Slika 2.7. Programski zadatak – analiza naprezanja u štapnoj konstrukciji i izrađenoj od

elastično-linearno očvršćujućeg materijala................................................................................. 26

Slika 2.8. Dijagram ovisnosti uzdužnih sila u štapovima u ovisnosti o iznosu sile F .................. 31

Slika 3.1. Savijanje ravnoga prizmatičnog štapa: a) početni oblik štapa s koordinatnim

sustavom, b) deformirani oblik štapa.......................................................................................... 32


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a V

Slika 3.2. Elastoplastično stanje štapa: a) elastična jezgra i dva plastificirana područja, b)

elastično stanje, c) maksimalna naprezanja u elastičnom stanju, d) raspodjela naprezanja u

elastoplastičnom stanju, e) raspodjela naprezanja u graničnom stanju ..................................... 33

Slika 3.3. Poprečni presjeci štapa: a) pravokutnik, b) krug, c) romb .......................................... 35

Slika 3.4. Postupni razvoj plastificiranih područja i pomicanje neutralne osi: a) potpuno

plastificiran poprečni presjek, b) naprezanja u elastičnom stanju, c) maksimalna naprezanja u

elastičnom stanju, d) i e) naprezanja u elastoplastičnom stanju, f) raspodjela naprezanja u

graničnom plastičnom stanju...................................................................................................... 37

Slika 3.5. Ovisnost momenta savijanja y .

y

MM

pl

.T

o omjeru deformacija xεε.max

T

.............................. 40

Slika 3.6. Raspodjela normalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa od elastično-idealno

plastičnog materijala: a) poprečni presjek štapa, b) kod opterećenja, c) kod rasterećenja, d)

zaostala naprezanja, e) kod graničnog opterećenja štapa......................................................... 41

Slika 3.7. Raspodjela normalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa od elastično-linearno

očvršćujućeg materijala: a) poprečni presjek štapa, b) kod opterećenja, c) kod rasterećenja,

d) zaostala naprezanja, e) kod graničnog opterećenja štapa..................................................... 41

Slika 3.8. Nastajanje plastičnog zgloba na gredi opterećenoj koncentriranom silom................. 42

Slika 3.9. Nastajanje plastičnog zgloba na gredi opterećenoj jednoliko raspodijeljenim

kontinuiranim opterećenjem ....................................................................................................... 45

Slika 3.10. Nastajanje plastičnog zgloba na konzoli opterećenoj koncentriranom silom na kraju

................................................................................................................................................... 46

Slika 3.11. Nastajanje plastičnog zgloba na konzoli opterećenoj linearno raspodijeljenim

kontinuiranim opterećenjem ....................................................................................................... 46

Slika 3.12. Programski zadatak – savijanje grede od elastično-idealno plastičnog materijala... 47

Slika 3.13. Dijagram momenata savijanja .................................................................................. 48

Slika 3.14. Širenje plastificiranog područja................................................................................. 52

Slika 4.1. Analiza graničnog stanja kontinuirane grede.............................................................. 54

Slika 4.2. Primjer - Analiza graničnog stanja okvirnog nosača................................................... 57

Slika 5.1. Uvijanje štapa – geometrijska analiza ........................................................................ 60

Slika 5.2. Raspodjela kutnih deformacija i tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku

štapa izrađenog od linearno elastičnog materijala ..................................................................... 62


štapa izrađenog od elastično-idealno plastičnog materijala ....................................................... 62


štapa izrađenog od nelinearno elastičnog materijala ................................................................. 63


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a VI

Slika 5.5. Uvijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala .......................................... 65

Slika 5.6. Uvijanje osovine od elastično-linearno očvršćujućeg materijala................................. 67

Slika 6.1. Osnovni reološki elementi: a) linearno elastična opruga, b) viskozni element ........... 71

Slika 6.2. Krivulje puzanja .......................................................................................................... 73

Slika 6.3. Krivulja relaksacije...................................................................................................... 74

Slika 6.4. Krivulja puzanja .......................................................................................................... 77

Slika 6.5. Voight-Kelvinov model................................................................................................ 78

Slika 6.6. Krivulja puzanja i krivulja relaksacije Voight-Kelvinova modela ................................. 81

Slika 6.7. Maxwellov model ........................................................................................................ 82

Slika 6.8. Krivulja puzanja i krivulja relaksacije Maxwellova modela.......................................... 86

Slika 6.9. a) Voight-Kelvinov model serijski spojen s linearno elastičnom oprugom, b) krivulja

puzanja....................................................................................................................................... 87

Slika 6.10. a) Voight-Kelvinov model serijski spojen s viskoznim elementom, b) krivulja puzanja

................................................................................................................................................... 87

Slika 6.11. Krivulja puzanja modela s tri elementa..................................................................... 89

Slika 6.12. Krivulja relaksacije viskoelastičnog modela s tri elementa ....................................... 92

Slika 6.13. Viskoelastični model deformabilnog tijela s četiri elementa...................................... 94

Slika 6.14. Krivulja puzanja (a) i krivulja relaksacije (b) viskoelastičnog modela deformabilnog

tijela s četiri elementa................................................................................................................. 99

Slika 6.15. Poopćeni Voight-Kelvinov model............................................................................ 100

Slika 6.16. Poopćeni Maxwellov model .................................................................................... 101

Slika 6.17. a) Skokovita promjena naprezanja s vremenom, b) ovisnost deformacije o vremenu

(krivulja puzanja) ...................................................................................................................... 102


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a VII

Popis tablica

Tablica 1.1. Reološki modeli ...................................................................................................... 12 Tablica 2.1. Faktori povećanja nosivosti u plastičnom području ................................................ 37


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a 1

I. TEORIJA PLASTIČNOSTI



1. Mehanička svojstva materijala pri jednoosnom rastezanju i sabijanju

1.1 Konvencionalni dijagram rastezanja i sabijanja materijala

Slika 1.1. Konvencionalni dijagram rastezanja

Dijagram počinje iz ishodišta pravcem koji se naziva Hookeovim pravcem i za koji vrijedi Hookeov zakon : ⋅σ = E ε . Što je modul elastičnosti E veći, za isto istezanje ε bit će potrebno veće naprezanje σ, odnosno nagib Hookeovog pravca bit će strmiji. Svako naprezanje u području u kojem vrijedi Hookeov zakon izaziva samo elastičnu deformaciju (istezanje) pa nakon rasterećenja deformacija isčezava. Hookeov pravac je s gornje strane ograničen granicom proporcionalnosti σP do koje vrijedi linearni odnos naprezanja i deformacija. Ako je ≤ Pσ σ , vrijedi Hookeov zakon. Malo iznad nje nalazi se granica elastičnosti σE i predstavlja najviše naprezanje do kojeg se materijal ponaša elastično. Ako je ≤ Eσ σ , nakon rasterećenja mjerni dio epruvete potpuno se vraća u prvobitni oblik i veličinu.



Granica tečenja σT je ono naprezanje kod kojeg se epruveta počinje produljivati bez povećanja naprezanja. Granicu tečenja karakteriziraju dvije vrijednosti, gornja i donja granica tečenja, pa se često taj dio prikazuje kao ploha tečenja (B-C), rasterećenjem iz toga područja zaostaju u materijalu i trajne plastične deformacije εpl.

el pl= + aditivna dekompozicijaε ε ε

Kod materijala koji imaju kontinuirani prijelaz iz područja elastičnih u područje plastičnih deformacija utvrđuje se konvencionalna granica razvlačenja. To je ono naprezanje koje će nakon rasterećenja ostaviti u materijalu određenu platičnu deformaciju. Kod konvencionalne granice razvlačenja RP0,01 ostaje u materijalu nakon rasterećenja plastična deformacija od 0,01%, dok je kod konvencionalne granice razvlačenja RP0,2 plastična deformacija 0,2%. Područje C – M je područje očvršćenja materijala, povećanjem sile opterećenja, raste i naprezanje σ i deformacija ε.

Rasterećenje iz neke točke K događa se po pravcu, jer u procesu rasterećenja vrijedi uvijek Hookeov zakon, budući da je veza između smanjenja naprezanja i smanjenja deformacija linearna. Deformacija εrast pokazuje smanjenje deformacija, ali samo elastičnih

rast rast= ⋅σ E ε

Naprezanje kod maksimalne sile naziva se vlačna ili rastezna čvrstoća Rm; Rm nije maksimalno naprezanje već naprezanje pri maksimalnoj sili, jer ploština presjeka epruvete od trenutka postizanja maksimalne sile počinje se naglo smanjivati pa stvarno naprezanje, unatoč smanjenju sile raste. Vlačna čvrstoća je osnovno mehaničko svojstvo na temelju kojeg se materijali vrednuju prema svojoj mehaničkoj otpornosti. Naprezanje kod kojeg dolazi do loma epruvete zove se konačno naprezanje ili lomno naprezanje (točka L).

,

L

l ll l ll

l

L.el L.pl

L.pl

L.pl

L 0L L 0 L.pl

0

L.pl

L.el

- deformacija kod loma = +- zaostala plastična deformacija kod loma=

-Δ = - = =

seodredi mjerenjem duljineepruvete nakon loma epruvetese povrati

L

L

εε ε εεε δ

δ ε

εε

δ – parametar delta karakterizira plastičnost, odnosno duktilnost (rastezljivost) materijala; što je veći, to je materijal duktilniji.

δ5 – kratka epruveta 5=0

0dl δ10 – duga epruveta 10=0

0

ld

ψ – poprečna kontrakcija, također mjera duktilnosti = 0

0

A - AψA

Dijagram naprezanje-deformacija kakav smo do sada razmatrali naziva se inženjerski ili konvencionalni dijagram, no to nije stvarni dijagram naprezanje – deformacija. Nije zbog toga što se iznosi naprezanja utvrđuju dijeljenjem sila s početnom ploštinom poprečnih



presjeka A0, što je ispravno samo u području elastičnih deformacija pri čemu se zbog promjenljivosti volumena, unatoč produljenju, epruveta ne sužuje. Stvarno naprezanje dobiva se dijeljenjem trenutne sile s trenutnom površinom.

l −0

0

02

00

0

00

-početni promjer ispitivane epruvetepočetnaduljinaispitivaneepruvete

-početnapovršinapoprečnogpresjekaπ=

4-konvencionalnonaprezanje

=

d

A

dA

σFσA

2

- trenutni promjer- trenutna površina poprečnog presjekaπ=

4-pravo naprezanje

=

dA

dA

σFσA

0

0

<>

A Aσ σ

0

ll

l l ll l>

<

0

0

0

Δ=

Δ = -

ε

ε ε

U teoriji plastičnosti ne postoji jednoznačna veza između deformacija i naprezanja,

treba poznavati povijest deformiranja.

Slika 1.2. Dijagram povijesti deformiranja

Bauschingerov efekat - snižavanje granice tečenja u drugom ciklusu opterećivanja ako se opterećenju promijeni predznak.



Ako se takav materijal rasteže od izvornog stanja, dijagram ima tok OAB. Nakon rasterećenja naprezanje se linearno smanjuje do točke C. Ako se tada materijal tlači, dijagram se mijenja po liniji CDEF, pa je σT

D<σT . Kad bi se materijal u stanju C ponovno rastezao, deformirao bi se prema dijelu dijagrama CBI. Prema tome, deformiranjem se povećava granica tečenja, ako ponovno opterećenje ima isti predznak.

Granica se tečenja, međutim, smanjuje ako se nakon deformiranja pri ponovnom opterećenju naprezanju mijenja predznak. Ako se naprezanju u točki F promijeni predznak, deformiranje se odvija po pravcu FGH, a zatim po krivulji HABI: Kad bi se materijal u izvornom stanju opteretio tlačno, deformiranje bi se odvijalo po krivulji OEF.

Slika 1.3. Bauschingerov efekat

1.2 Utjecaj uvjeta ispitivanja na oblik dijagrama rastezanja i sabijanja materijala - utjecaj brzine deformiranja – kojom brzinom povećavamo silu - utjecaj temperature ispitivanja

1.2.1 Utjecaj brzine deformiranja

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

&d 1= =d sεξ εt

kod statičkog pokusa 5 210 10− −−&&⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦1s



Slika 1.4.Utjecaj brzine deformiranja

Kod dinamičkog opterećivanja:

• u dijagramu rastezanja nema izražene plohe tečenja,

• pri dinamičkom opterećenju viša je vlačna čvrstoća,

• dolazi do loma pri puno manjoj ukupnoj deformaciji.

1.2.2 Utjecaj temperature ispitivanja na dijagram deformiranja

Slika 1.5. Ovisnost vlačne čvrstoće bakra o brzini deformiranja i o temperaturi ispitivanja



Porastom temperature ispitivanja smanjuju se : • modul elastičnosti materijala E,

• granica proporcionalnosti σP ,

• granica tečenja σT ,

• granica čvrstoće σM ,

dok Poissonov broj ν, zaostalo relativno produljenje kod loma δ i zaostalo relativno suženje površine poprečnog presjeka (poprečna kontrakcija ψ) rastu s porastom temperature.

Slika 1.6. Dijagram naprezanje-deformacija u ovisnosti o povećavanju temperature

Slika 1.7. Ovisnost ψ, ν, E, σD, δ o temperaturi



Snižavanjem temperature rastu: E, σT, σM, a smanjuju se δ5, ψ

Slika 1.8. Dijagram naprezanje-deformacija pri sobnoj i pri sniženim temperaturama

1.3 Shematizirani dijagrami rastezanja i sabijanja

Slika 1.9. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) – linerano očvršćivanje



∗

⋅ ≤ ≤

→ → = ⋅

=

≤ ≤

≤ ≤ < = −

T

1 1 1

, 0gornji granični slučaj točka A .

(1)

, (2)za materijal s izraženom plohom tečenja

materijal s izraženom plohom tečenja i linearnim očvršćenjemtg

T

T T

TT

T T

T T T

0 - A : σ = E ε ε εσ E εσεE

A - B : σ = σ ε ε ε

B - C :ε ε ε β β β E E

∗

= − −

< >

= ⋅

1

modul očvršćenja materijalaizabiremo sami ovisno o veličini deformacije koju želimo modelirati

1 parametar očvršćenja materijala

, 1, 0.

jednadžba pravca, ne vrijedi više Hookeov zakon( )

T

TT

T T T

εEλE

EE < E λE

σ = σ(ε)σ - σ E ε - ε

∗

∗ ∗∗

∗

= ⋅ ⋅ = − ⋅

⎡ ⎤− − ⋅ +⎢ ⎥

⎣ ⎦

jednadžba pravca (3)linearna veza i

(1 )

1 (1 ) (4)

T T T T

T T TT T T T

T T

TT T

T

σ εσ = σ + E ε - E ε

E ε εE ε σ σ λE ε ε

εσ = σ λ E εε

Slika 1.10. Linearna aproksimacija krivulje očvršćivanja



• materijal s nelinearnim očvršćenjem i izraženom plohom tečenja

Slika 1.11. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) – nelinerano očvršćivanje

∗

− ⋅−

⎛ ⎞− = < <⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 A :A B:

B C : 0 1

Tm

TT

σ = E εσ = σ

εσ σ mε

Shematizirani dijagram za materijal s neizraženom plohom tečenja – legirani čelici prikazani su na slici 1.12., bilinearni dijagram prikazan je na slici a), a nelinearno očvršćujući materijal s parametrima materijala A i m na slici b)

• elastično-linearno očvršćujući materijal

Slika 1.12. Shematizirani dijagram rastezanja legiranog čelika: a) elastično - linearno očvršćujući materijal – bilinearni dijagram; b) elastično

nelinearno - očvršćujući materijal



Slika 1.13. Shematizirani dijagrami: a) elastično-idealno plastičan materijal, b) kruto-idealno plastičan materijal, c) kruto-linearno očvrščujući

materijal

1.4 Reološki modeli Reološki modeli su modeli kojima opisujemo idealizirane dijagrame deformiranja

realnih materijala. Sastavljeni su od reoloških elemenata. Osnovni reološki elementi su: linearna opruga, plastični klizač i linearni viskozni prigušivač te su prikazani na slici 1.14.

Slika 1.14. Osnovni reološki elementi : a) linearni viskozni prigušivač, b) linearna opruga, c) plastični klizač



Tablica 1.1. Reološki modeli



2. Aksijalno opterećenje štapova i štapnih konstrukcija

2.1 Analiza štapnih konstrukcija u elastičnom i u plastičnom stanju Osnove analize graničnih stanja konstrukcije

Opterećenje na konstrukciju polagano i monotono raste (statička, mirna opterećenja) od nule do svoje granične vrijednosti. 0 F F≤ ≤ gr

Konstrukcija prolazi kroz tri karakteristična stadija dok opterećenje raste: 1. Konstrukcija se nalazi u elastičnom stanju. 2. Konstrukcija se nalazi u elasto-plastičnom stanju. 3. Konstrukcija se nalazi u plastičnom stanju, konačna točka je granično

plastično stanje u kojem je opterećenje dostiglo graničnu vrijednost i dolazi do sloma ili kolapsa konstrukcije.

Kod proračuna konstrukcije u plastičnom području uvijek moraju biti zadovoljene tri grupe jednadžbi:

• Uvjeti ravnoteže.

• Uvjeti kompatibilnosti pomaka (uvjeti deformacije).

• Kriteriji tečenja materijala.

Kriterij tečenja za jednoosno napregnuto stanje – do plastičnog tečenja materijala štapa doći će onda kada naprezanje u štapu postane jednako granici tečenja materijala.

Primjer: Svi štapovi su od istog materijala (E) i istog poprečnog presjeka A, sila F se

mijenja od 0 do granične vrijednosti,materijal je elastično-idealno plastičan.

Slika 2.1. Štapna konstrukcija – aksijalno



opterećena. Materijal štapova elastično-idealno plastičan

1. ANALIZA KONSTRUKCIJE U ELASTIČNOM STANJU

UVJETI RAVNOTEŽE

F N α N αN N

F N α N N α F

N α N F

x 1 3

1 3

y 1 2 3

1 2

0 sin sin 0 (1)

0 cos cos 0 (2)

2 cos (2a)

∑ = − + =

=

∑ = + + − =

+ =

zadatak je jedanput statički neodređen UVJETI DEFORMACIJE

l ll l ll

lll l

l l l

Δ = Δ

Δ= Δ = Δ ⋅Δ

⋅Δ = Δ =

⋅ ⋅= ⋅

3 1

11 2

2

12

1 2

1 2

cos cos (3)

cos

coscos

α α

N NαAE AE

N N αAE α AE

⋅ cosAE α l

= 21 2

:

cos (4)N N α

T

N α N F

N α FFNα

αN N Fα

α AE σN N F N F

32 2

32

2 3

2

3 1 3

o 2

3 1 2

(4) (2a) 2 cos

(2cos 1)

(5)2cos 1

cos2cos 1

30 2 cm 4m200 GPa 250MPa

0,32625 0,435

⇒ + =

⋅ + =

=+

= =+

= = == =

= = =

l



−

= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

= ⋅ =

Δ= = =

Δ = ⋅ = ⋅ =

22

6 4

T

22 2

2 2

0,435

250 10 2 10 115000 N 115 kN0,435 0,435

5 mm

TT

TT

TT T

TT

T

N Fσ σA Aσ AF

σσ E ε εE

σε ε εEσε Malo produljenje pri ulazu u plastično područjeE

ll

l l l

2. ANALIZA KONSTRUKCIJE U ELASTO-PLASTIČNOM STANJU >

=

= =

=

=

=

T

T

2

1

2

3

Naprezanje u 2. štapu je konst, raste u 1. i 3.dokonst

,tj.

T

T

T

T

T

T

F Fσ σ

N σ AU slučaju da su naprezanja u sva tri štapa jednaka granici tečenja materijala σσ σσ σσ σtakvo stanje konstrukcije naziva se granič

= = =

=1 2 3

gr

T

no stanje konstrukcijeSile u sva tri štapa tada iznose N N N σ ASila F poprimila je graničnu vrijednost, tj. F F

3. ANALIZA KONSTRUKCIJE U GRANIČNOM PLASTIČNOM STANJU

−

∑ = + + =

= +

= + ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

=

y gr

gr

6 4gr

0 cos cos (6)

(1 2c os ) (7)

3(1 2 ) 2,7322

2,732 250 10 2 10 136,6 kN

2,3

T T T

T

gr T T

T T

F σ A α σ A α σ A F

F σ A α

F σ A σ A

F

F σ A



=

= = = < −

gr

grdop

gr

Uz npr. 2, faktor sigurnosti za granično stanje

136,6 68,3 kN a to znači da se plastične deformacije neće2

niti pojaviti u konstrukciji, a kamoli da ćedoći do loma

T

S

FF F

S

ll

l ll l

l

ΔΔ =

Δ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Δ = =

→

12

1 1 1 T

2 o

Produljenje štapa BD kod granične sile :

cos

AD, CD : 5,7735 mmcos cos

5,7735 6,667 mmcos30

5 6,667 mm,dakle radi se o malim elasto - plastičnim deformacijama.

T

ασε ε

α E α

Zato neke konstrukcijske čelike možemo shematizirati kao elastično - idealno plastični materijal.

Primjer a) analiza u elastičnom području

materijal: elastično-idealno platičan

Slika 2.2. Štap od elastično-idealno plastičnog materijala opterećen koncentriranom silom F

uvjet ravnoteže: ∑ = − =x 0 0 (1)A BF R - R + F

1 jednadžba – 2 nepoznanice – jedanput statički neodređen



l l

=

⋅ ⋅− =

= =

B

B

B A

uvjet deformacije : 025 0 (2)

2 3 (3)5 5

u

F RAE AE

R F R F

= =

= − = −

1 A

2 B

35

25

N R F

N R F prvo će se plastificirati dio 1

= = =

=

T1

1

35uvjet tečenja : (4)

5 (5)3

T

T T

FNσ σA A

F σ A

b) elasto-plastično stanje štapa – vrijede jednadžbe ravnoteže, dok uvjet deformacije više nije potreban, jer je zadatak postao statički određen, =1 TN σ A .

=

= = =

=

gr

gr22

gr

Sila pri kojoj se plastificira dio 2?

(7)

2 . (8)

TT

T

F

F - σ ANσ σ

A AF σ A

c) analiza pomaka presjeka C

l l l

≤ ≤

⋅ ⋅= = = ⋅

1

C C

02 3 2

65 5 5 (9) veza između u i25

TF F

N F Fu linearna FAE AE AE

ll

=

⋅= ⋅ = ⋅C

Veličina pomaka u slučaju kada se plastificirao prvi dio štapa:535

6 23 (10)25 5

T T

TT

F = F σ A

σ A σuAE E



Slika 2.3. Ovisnost pomaka presjeka C o opterećenju štapa F

ll

l

≤ ≤

⋅= Δ =

⋅=

gr

2

C 2

2

C

35

prema (6)3( )5 (11)

T

T

F F F

Nu

AEN

F - σ Au

AE

najveći pomak točke C – za gr i iznosi

l ll

− ⋅ ⋅= = = ⋅

gr

C.gr

3 3( ) (2 ) 35 5 (12)5

T T TT

F σ A σ A - σ A σuAE AE E

d) rasterećenje štapa iz elasto-plastičnog stanja

- rezultat mora biti zaostali pomak i zaostala naprezanja u štapu

∗

∗

= =

= < < =T gr

11 (13)6

5 123 6

T

T T

F F σ A

F σ A F F σ A



ll

∗

∗− ⋅ − ⋅

= = = ⋅C

3 11 3( ) l ( 1) 15 6 5 (14)2

T TT

F σ A σ A σuAE AE E

Rasterećenje – zamišlja se kao da se doda sila suprotnog smjera koja raste do F* i kod rasterećenja vrijedi Hookeov zakon!

l l

+ − =

=

⋅ ⋅− + =

= =

= − = −

= =

A B

A

'A

B A

1 A

2 B

' ' 0 (a )03'5 0 (b )

2 3' ' ' ' (c)5 5

3' ' '5

2' ' ' (d)5

R R F'u

F RAE AE

R F R F

N R F

N R F

Slika 2.4. Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa

∗

∗

∗

=

= − =− ⋅ =−

= = ⋅ =

1rasterećenja

2rasterećenja

potpuno rasterećenje '3 3 11 11'5 5 6 10

2 2 11 11'5 5 6 15

T T

T T

F F

N F σ A σ A,

N F σ A σ A.

Zaostale sile u štapu poslije potpunog rasterećenja štapa

∗

= + = − = −

= + = − + = −

= − − = − − = −

1zaostalo 1 1rasterećenja

2zaostalo 2 2rasterećenja

2

11 1'10 10

5 11 1'6 15 10

11 5( ) ( 1)6 6

T T T

T T T

T T T

N N N σ A σ A σ A,

N N N σ A σ A σ A,

N F σ A σ A σ A.

Zaostala su trajna tlačna naprezanja i jednaka su u oba dijela štapa.



Pomak presjeka C pri rasterećenju određuje se iz formule (9)

l

l l

∗

∗

= ⋅

= =

⋅ σ ⋅= ⋅ = ⋅

C.rasterećenja

TC.raster.

625

116

116 116 . (17)

25 25

T

T

FuAE

F F σ A

σ Au

AE E

Zaostali pomak presjeka C jednak je razlici pomaka pri opterećenju i pri rasterećenju

l l l∗ ⋅ ⋅ ⋅= − = ⋅ − ⋅ = ⋅C.zaostalo C C.rasterećenja

1 11 3 . (18)2 25 50

F T T Tσ σ σu u uE E E

Primjer Materijal: elastično-linearno očvršćujući

Slika 2.5. Štapna konstrukcija aksijalno opterećena. Materijal štapova

elastično-linearno očvršćujući

= = =

= − ≤ ≤ gr

1Zadano : , 2,2

1 0

LT T T

T

T

σA, E, E σ ,β E E.σ

Eλ F FE



a) Analiza konstrukcije u elastičnom području

∑ = − + =

=

∑ = + + − =

x 1 3

1 3

y 1 2 3

0 sin sin 0 (1)

0 cos cos 0 (2)

F N α N αN N

F N α N N α F

zadatak je jedanput statički neodređen

Uvjet deformacije:

najveće naprezanje je u 2. štapu – prvi ulazi u plastično područje

Δ = Δ

Δ=Δ

Δ = Δ ⋅

⋅ ⋅= ⋅

=

+ ⋅ = + =

+ = = =

3 1

1

2

1 2

1 2

1 2

2 1 1 1

2 1 1 2

cos

cos (3)12

2 (4)

12 22

1 2(5) (6)3 3

α

αN NAE AEN N

N N F N N F

N N F N F N F

l lll

l ll l



=

= = =

=

2

T2

2

23 (7)

3 (8) sila pri kojoj 2. štap ulazi u plastično područje2

T

T

T T

σ σ

FNσ σA A

F σ A

Slika 2.6. Grafički prikaz ovisnosti uzdužnih sila u štapovima o vanjskom opterećenju konstrukcije

b)Analiza konstrukcije u elasto-plastičnom području

=

Δ Δ= Δ =Δ

Δ = Δ + Δ

⋅ − ⋅Δ = Δ =

1 3

1 21

2

2 2 2

22 2

vrijede jednadžbe ravnoteže

cos vrijedi uvjet deformacije2

' '' (9)( )' '' (10)T T

T

N N

α

σ A N σ AAE AE

l lll

l l ll ll l

= −

= −

⋅ ⋅ − ⋅Δ = +

⋅ −2

2

1

(1 )( )

(1 )

T

T

T T

EλE

E λ Eσ A N σ A

AE A λ El ll



ΔΔ =

⋅ ⋅ − ⋅⎛ ⎞ −= + ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ −⎝ ⎠

− = − + −

− −

+ =

21

1 2

1 2

2 1

2 1

2( ) 1 2(1 )/

(1 ) 22(1 ) (1 )

2(1 ) (11)jednadžba ravnoteže (12)

T T

T T

T

N σ A N σ A λ EAAE AE A λ E

λ N σ A λ N σ AN λ N = λσ A

N N F

ll

l l ll

−− = −

−= =

−

1

1 3

(12) (11)(3 2 )

(13)3 2

T

T

N λ F λσ AF λσ AN N

λ

−= − = −

−− +

=−

2 1

2

iz (12)3 2

2(1 ) (14)3 2

T

T

F λσ AN F N Fλ

λ F λσ ANλ

< <

−T T

T

'' sila pri kojoj će se plastificirati štapovi 1 i 3

F F FF

Razmotrimo dva slučaja koja mogu nastupiti daljnjim povećavanjem sile F iznad FT:

a) najprije će se plastificirati štapovi 1 i 3, a zatim će doći do loma štapa 2, b) prije će doći do loma štapa 2, a potom će se plastificirati štapovi 1 i 3.

Pretpostavka a): da bi se plastificirali štapovi 1 i 3 mora biti zadovoljen kriterij tečenja

−−= = =

= − +

= −

=

11 T

'3 2uvjet tečenja: (15)

' (3 2 )' (3 )

5' (17)2

T T

T T T

T T

T T

F λσ AN λσ σA A

F λ σ A λσ AF λ σ A

F σ A

Pretpostavka b) – mora biti zadovoljen kriterij loma za štap 2

= = =

− −= = = =

−

=

2 L

2 L2

22(1 ) '

(3 2 )7'2

T

TL T

L T

σ σ βσ βN λ F λσ Aσ σ βσA λ A

F σ A

FT' < FL' – pretpostavka a) je točna, pri monotonom povećavanju sile F, prvo će se plastificirati štapovi 1 i 3, a štap 2 se još neće prelomiti.



c) Analiza konstrukcije u plastičnom području - kada sila u štapu 2 dostigne veličinu FL, postavlja se pitanje da li ostala dva štapa mogu nastaviti preuzimati silu ili će odmah doći do loma

ll

+ =

ΔΔ =

1 2

21

jednadžba ravnoteže :

uvjet deformacije:2

N N F

T T

T

T T T T

T

σ A N σ AAE AE

σ A N σ A σ A N σ AAE AE AE A λ E

1 1 1

11 1

1 2

' '' (21)( )' '' (22)

( ) ( ) 1 (23)(1 ) 2

Δ = Δ + Δ

⋅ − ⋅Δ = Δ =

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎛ ⎞+ = + ⋅⎜ ⎟⋅ −⎝ ⎠

l l ll ll l

l l l l

( )

− = −

+ =

= +

+=

= −

2 1

1 2

1

1

2

2 (24) sređena jednadžba (23)(25)

(25) i (24)3

(26)3

1 2 (27)3

T

T

T

T

N N λσ AN N F

N F λσ AF λσ AN

N F λσ A

( )

≤ ≤

= =

−= = = =

− =

+=

= =

T L

2 L

L2

2 L T

L

L

L

'kriterij loma štapa 2 (28)

1 23

2 33 (29)

213 3,254

T

T

T T

T

T T

F F Fσ σ βσ

F λσ ANσ σ βσA A

F λσ A βσ Aβ λF σ A

F σ A σ A

- da li je FL granična sila? Treba provjeriti da li štapovi 1 i 3 mogu dalje nositi opterećenje

- sile u štapovi

∑ = + =

=

= = =

= = > =

=

o ox 1 3 L

1 3

1 3 L

11 L

L gr

0 cos60 N cos60

3,25

3,25 2

T

T T

F N FN NN N F σ A

Nσ σ A σ σA

F F



ma 1 i 3 neposredno prije loma štapa 2 – još uvijek su tri štapa – vrijede izrazi (26) i (27) ⎛ ⎞+⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = =1

13 14 2 1,25

3 3

TT

T

σ AF λσ AN σ A

Neposredno nakon loma štapa 2, dolazi do loma štapova 1 i 3.



2.2 Primjer programskog zadatka – analiza naprezanja u štapovima

Slika 2.7. Programski zadatak – analiza naprezanja u štapnoj konstrukciji

i izrađenoj od elastično-linearno očvršćujućeg materijala



Oznake štapova i čvorova

Analiza konstrukcije u elastičnom području

Uvjeti ravnoteže

0

2 0

2

X

Ax

Ax

FF F

F F

=

− =

=

∑

0

0

2

y

Ay B

Ay

F

F F F

F F

=

− + =

=

∑

02

3

A

B

B

MF a F a F a

F F

=

⋅ + ⋅ = ⋅

=

∑

Uvjeti ravnoteže čvorova :

3 2

0

2 2 02

XF

N N F

=

+ − =

∑

1 2

0

2 02

YF

N N

=

+ =

∑

3 4

0

2 02

XF

N N

=

+ =

∑

5 4

0

2 02

YF

F N N

=

− − =

∑

F

N

3

54

3N

N

y

x

2F

y

x

F

AxFAyF BF

2F

N

2

12

3N

N

y

x



Jednadžbe ravnoteže:

( )

( )

4

1 4

2 1

3 4

5 2

2 2 2

2 22 2 2 02 2

2 0

2 2 2 2 22 2

2 32

Ax

Ay

B

N F F

N F N F F

N N

N N F F

N F N F

= − = −

= − − = − − ⋅ − =

= − =

= − = − ⋅ − =

= − =

Koji štap se prvi plastificira? 5. štap jer u njemu vlada najveće naprezanje pošto su geometrijske karakteristike svih štapova jednake, a u njemu je najveća sila.

Kriterij tečenja za štap 5. 5

55

3 3N F FA A A

σ = = = 5 3

13

TT

T T

FA

F A

σ σ

σ

= =

=

FT – sila pri kojoj se plastificira štap 5

y

x

N5

42N

BF

4

0

2 02

X

Ax

F

F N

=

+ =

∑

5 2

5 2

0

2 02

22

y

B

B

F

N N F

N F N

=

+ − =

= −

∑

y

x

N11 4N

AxFAyF

4

4

2 2/2 2

2

Ax

Ax

N F

N F

= − ⋅

= −

1 4

0

22

Y

Ay

F

F N N

=

= − −

∑



Analiza konstrukcije u elasto-plastičnom stanju FT < F < FT'

FT' – sila pri kojoj će se plastificirati štap 4

Vrijede jednadžbe ravnoteže 5 4

4

2 02

2 2

F N N

N F

− − =

= −

Kriterij tečenja za štap 4.

Dali štap 5 puca prije nego što se štap 4 plastificira?

Štap 5 je u elastično plastičnom stanju

5

2

T T P

T

PP

EEE

ll

σ σ ε

ε

= + ⋅

=

Δ=

Kriterij loma štapa 5

5

5

32

2 0,663

LL T

TL T

FA

AF A

σ σ σ

σ σ

= = =

= = &

5 '

0,66 0,35L T

T T

F F

A Aσ σ

>

> ⋅&

44

2 2 '

2 2 '

2'2 2 22'

4' 0,35

TT

T T

TT

T T

T T

FNA A

F A

AF

F A

F A

σ σ

σ

σ

σ

σ

−= = =

= ⋅

⋅= ⋅

= ⋅

= ⋅

( ) ( )

( ) ( )

5 5

5 5

2

22 2

pl T TP

T

T TP

N l N A a N A al EAE AEA

N A a N AAE a AE

σ σ

σ σε

⋅ − ⋅ − ⋅Δ = = =

⋅

− ⋅ −= =

⋅

( )55

5 55

22

TT

T T

N AEAE

N NA A

σσ σ

σ σ σ

−= + ⋅

= + − =



Sila loma štapa 5 je veća od sile pri kojoj se plastificira štap 4, znači da će se štap 4 ući u plastično područje prije nego štap 5 pukne i konstrukcija postane mehanizam.

Dali će se štap 3 plastificirati prije nego što štap 5 pukne? FT' < F < FT''

FT'' – sila pri kojoj će se plastificirati štap 3

Vrijede jednadžbe ravnoteže N3=2F

Kriterij tečenja štapa 3

- sila pri kojoj se plastificita štap 3.

Znači pri sili 13T TF F Aσ= = prvo se plastificira štap 5, zatim pri sili

' 0,35T TF F Aσ= = ⋅ štap 4, zadnji ulazi u plastično stanje štap 3 pri sili " 1

2T TF F Aσ= = . Na kraju pri sili 5 0,66L TF F Aσ= = & štap 5 puca što dovodi do sloma

konstrukcije i ona postaje mehanizam. Dijagram ovisnosti aksijalnih sila u štapovima o iznosu sile F prikazan je na slici 2.4.

"3

3

"

2

12

TT

T T

N FA A

F A

σ σ

σ

= = =

=



Slika 2.8. Dijagram ovisnosti uzdužnih sila u štapovima u ovisnosti o

iznosu sile F



3. Savijanje prizmatičnih štapova u plastičnom području

3.1 Savijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala Analiza savijanja prizmatičnih štapova u elastoplastičnom stanju provodi se uz iste

pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja kao i u elastičnom stanju. Te su pretpostavke:

1. poprečni presjeci štapa ostaju tijekom deformiranja ravni i okomiti na deformiranu uzdužnu os, elastičnu liniju,

2. u štapu vlada približno jednoosno stanje naprezanja.

Slika 3.1. Savijanje ravnoga prizmatičnog štapa: a) početni oblik štapa s koordinatnim sustavom, b) deformirani oblik štapa

Na temelju istovjetne geometrijske analize dobiva se

xzερ

= ,

gdje je z koordinata koja određuje položaj vlakna, a ρ polumjer zakrivljenosti elastične linije, što znači da je deformacija po presjeku raspodijeljena linearno kako u elastičnom tako i u plastičnom području. No, međutim to ne vrijedi i za raspodjelu naprezanja. Dok je štap u elastičnom stanju, raspodjela naprezanja je određena izrazima



= ⋅ = .max.max

y yx x

y y

M Mσ z , σ

I W ,

no s povećanjem momenta savijanja raste i maksimalno naprezanje u rubnim vlaknima štapa, koje u jednom trenutku postaje jednako Tσ . S daljnjim povećavanjem momenta savijanja dio presjeka prelazi u plastično stanje, a jedan dio i dalje ostaje u elastičnom stanju. Tada se za cijeli štap kaže da se nalazi u elastično-plastičnom stanju.

Najveći moment savijanja u graničnom elastičnom stanju kod kojega se u najnapregnutijim vlaknima na donjem i gornjem rubu štapa javljaju prve plastične deformacije i pri kojem štap prelazi iz elastičnog u elasto-plastično stanje označava se sa yM .T i iznosi:

y T yM σ W=.T .

Pri ovoj veličini momenta savijanja štap prelazi iz elasičnog u elastično-plastično stanje.

3.1.1 Čisto savijanje štapa čiji presjek ima dvije osi simetrije

Slika 3.2. Elastoplastično stanje štapa: a) elastična jezgra i dva plastificirana područja, b) elastično stanje, c) maksimalna naprezanja u

elastičnom stanju, d) raspodjela naprezanja u elastoplastičnom stanju, e) raspodjela naprezanja u graničnom stanju

Elastično stanje Dok je štap potpuno u elastičnom stanju, vrijede sljedeći izrazi:

= ⋅yx

y

Mσ z

I, = y

xy

Mσ

W.max

.max , = =y y yM M σ W.max .T T .



Elastoplastično stanje

Ako poprečni presjek štapa ima dvije osi simetrije i ako se savija oko jedne osi simetrije, ta će os ujedno biti i neutralna os (os y na slici). Čim moment savijanja prijeđe vrijednost yM .T , počinju se stvarati plastificirana područja na gornjemu i donjemu dijelu presjeka.

Naprezanje je u elastičnoj jezgri linearno raspodijeljeno. U plastificiranim područjima jednako je granici tečenja σT .

Prema definiciji moment savijanja u poprečnom presjeku iznosi

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫y . x x x xA A A A

M σ z A σ z A σ z A σ z A ,el 1 2

pl e el 1 2d d d d

=xzερ

→ ⇒e Tza z = xz ε =ε → =zερe

T ,

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

=

x xzσ E ε = E E z ,ρ ρ

ερ z

T

e

1

1

≤ ≤ = ⋅ ⋅xεz z σ E zz

Te

e

0 ≤ ≤ = +

≤ ≤ = −

e T

e T

2

2

x

x

hz z σ σ

hz z σ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

⎡ ⎤= + ⋅ − ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

y .A A A

y .A A A

yy . y

zM E ε z A σ z A σ z A ,z

M σ z A z A z A ,z

IM σ S .

z

el 1 2

el 1 2

pl T el T 1 T 2e

2pl T el 1 2

e

.elpl T

e

d d ( ) d

1 d d d

2

=

= ⋅ +

= ⋅ −

∫

∫

∫

el

1

2

2.el el

1 1

2 2

aksijalni moment inercije elastične jezgre

d

statički momenti plastificiranihpodručja

d jer je pozitivan

d jer je negativan

yA

yA

yA

I z A ,

S z A z

S z A z



Kako y .M pl raste, plastificirana se područja povećavaju i šire prema sredini presjeka, dok se elastična jezgra smanjuje. Kada ze teži 0, y .M pl teži svojoj graničnoj vrijednosti Mgr pa je

( )⋅

= → →y

b zI

, zz z

3e

.ele

e e

212 0 jer 0

= ⋅

= ⋅

=

gr T

gr T pl

pl

2

2

y

y .

y . y

M σ S ,M σ W ,W S ,

gdje je yS statički moment jedne polovice poprečnog presjeka oko neutralne osi y, a

y .W pl jest plastični moment otpora poprečnog presjeka koji je jednak 2 yS .

Faktor povećanja nosivosti u plastičnom području Povećanje nosivosti u plastičnom području prema nosivosti u elastičnom području iznosi:

= = = =

= ⋅

= ⋅

⋅= = =

⋅

y yx

y y y

y y

y .

y y . y .

y y y

M M Mk σ σ ,

M W WM σ W ,

M σ WM σ W W

k .M σ W W

gr .max .Ts .max T

.T

.T T

gr T pl

.gr T pl pls

.T T

Slika 3.3. Poprečni presjeci štapa: a) pravokutnik, b) krug, c) romb



Faktor povećanja nosivosti za nosač pravokutnog poprečnog presjeka prema slici 3.3. a):

Nosivost takve grede je u plastičnom području 50% veća nego u elastičnom.

Faktor povećanja nosivosti za nosač kružnog poprečnog presjeka prema slici 3.3. b):

4 3

2 3

pl

3

pls 3

64 322

22 28 3 6

326 1 698 1 76

32

yy y

y . y

y .

y

Id dI W d

d d dW S

dW

k , ,dW

π π= = =

π= = ⋅ ⋅ ⋅ =

π

= = = = ≈π π

Faktor povećanja nosivosti za nosač čiji poprečni presjek ima oblik romba prema slici 3.3. c):

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ ⋅ = = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= = =

3

2 3 2

2

pl

2

pls 2

12236 2 2 6 48 24

2

12 22 2 6 12

12 2

24

yy y

y . y

y .

y

hb Ih h bh bhI b W h

h h bhW S b

bhW

kbhW

3

3 2

2

pl

2

pls 2

212

12 62

2 22 4 4

34 1 5 2

6

yy y

y . y

y .

y

bhIbh bhI W h h

h h bhW S b

bhW

k ,bhW

⋅= = = =

= = ⋅ ⋅ ⋅ =

= = = =



Tablica 2.1. Faktori povećanja nosivosti u plastičnom području

3.1.2 Čisto savijanje štapa čiji poprečni presjek ima jednu os simetrije

Moment savijanja djeluje oko osi koja je okomita na os simetrije poprečnog presjeka. Analiza savijanja takvog štapa složenija je nego analiza štapa koji ima dvije osi simetrije, jer ne možemo unaprijed pretpostaviti da neutralna os prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Slika 3.4. Postupni razvoj plastificiranih područja i pomicanje neutralne

osi: a) potpuno plastificiran poprečni presjek, b) naprezanja u elastičnom stanju, c) maksimalna naprezanja u elastičnom stanju, d) i e) naprezanja

u elastoplastičnom stanju, f) raspodjela naprezanja u graničnom plastičnom stanju



Položaj neutralne linije, pri čistom savijanju prizmatičnog štapa, određuje se iz uvjeta da je uzdužna sila u štapu N jednaka nuli, tj.

= = + =∫ ∫ ∫x x xA A A

N A A A ,1 2

1 2σ d σ d σ d 0

gdje je A1 površina vlačnog dijela poprečnog presjeka, a A2 površina tlačnog dijela. Pri potpunoj plastifikaciji poprečnog presjeka na površini A1 djeluje vlačno naprezanje

x Tσ =σ , a na površini A2 tlačno naprezanje Tσ = σx − , pa je

= + − =

− ==

∫ ∫A A

N A A ,

A A ,A A .

1 2

T 1 T 2

T 1 T 2

1 2

σ d ( σ )d 0

σ σ 0

Dakle, u trenutku potpune plastifikacije poprečnog presjeka štapa i stvaranja plastičnog zgloba, neutralna linija dijeli poprečni presjek u dva dijela koji imaju jednake površine.

Dok je ≤y y .M M T , neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka. Kada je ≤ ≤y . y .M M MT pl gr , neutralna os ne prolazi kroz težište, već se pomiče prema graničnom

položaju. Kada je =y .M Mpl gr , neutralna os dijeli presjek u dva jednaka dijela.

Kada se poprečni presjek štapa u cijelosti plastificira nastaje tzv. plastični zglob. Ako je štap statički određen, nastaje plastični slom štapa. Vrijednost graničnog momenta bit će:

( )

( ) ( )

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ = ⋅ +

= + = ⋅ −

= ⋅

= +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

xA A A

yA A A

y y yA

y .

y . y y

M z A z A ) z A ,

M z A z A , S z A z

M S S , S z A z

M W ,W S S ,

1 2

1 2 1

2

gr T 1 T 2

gr T 1 T 2 1 1

gr T 1 2 2 2

gr T pl

pl 1 2

σ d σ d ( σ d

σ d σ d d

σ d

σ

gdje su yS 1 i yS 2 apsolutne vrijednosti statičkih momenata površina A1 i A2 oko neutralne osi y.



Primjer Za presjek prikazan na slici izračunati plastični moment otpora i faktor povećanja nosivosti kf.

⋅ + ⋅= =

+=

⋅ ==

z ,

A AA hh

T

1 22

1 1

1

20 10 16 21 14 9 cm20 16

=1 18 cm18 cm

( )

= → = =

= + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= = =

yy y

y . y y

y .

y

II , W ,

z

W S SW

k , .W ,

4 3

max3

pl 1 2

pls

1747 556 cm 117 36cm

1 18 9 2 1 1 8 2 3 212 cm

212 1 806117 36

Primjer Štap pravokutnog poprečnog presjeka opterećen je momentom savijanja tako da se

nalazi u elasto-plastičnom stanju. Naći ovisnost momenta savijanja y .

y

MM

pl

.T

o omjeru

deformacija xεε.max

T

. Skicirati dijagram y .

y

MM

pl

.T

=f( xεε.max

T

) .

( )

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ ⎠= − ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

yy . y

y

y

IM S ,

z

b zI bz ,

h zh b hS b z z ,

.elpl T 1

e

3e 3

.el e

2e2

1 e e

σ 2

2 212 3

22 2 2 4

⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤

= − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

22 2

pl T e e

22 22 e

pl T e T 2

22e

.T T T pl .T 2

2σ 23 2 4

1 6σ σ 24 3 6 4

3σ σ 26 2

y .

y .

y y y . y

b hM bz z ,

zbh bhM bz ,h

zbhM W M M ,h



−

=

=

⋅ = ⋅

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

x

x

x

x

x

y . x

y

zε ,ρ

hε ε : z ,

hε z ε ,

z ε ,h εε h ,ε z

M ε .M ε

.max T e

.max e T

e T

.max

.max

T e

2pl .max

.T T

:2

2

2

2

1 32

Slika 3.5. Ovisnost momenta savijanja y .

y

MM

pl

.T

o omjeru deformacija

xεε.max

T



3.2 Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa

Slika 3.6. Raspodjela normalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa od elastično-idealno plastičnog materijala: a) poprečni presjek

štapa, b) kod opterećenja, c) kod rasterećenja, d) zaostala naprezanja, e) kod graničnog opterećenja štapa

Slika 3.7. Raspodjela normalnih naprezanja po poprečnom presjeku

štapa od elastično-linearno očvršćujućeg materijala: a) poprečni presjek štapa, b) kod opterećenja, c) kod rasterećenja, d) zaostala naprezanja,

e) kod graničnog opterećenja štapa

Kada se poprečni presjek štapa djelomično plastificira pa zatim rastereti, onda se

dio štapa koji je ostao u elastičnom stanju nastoji izravnati, tj. vratiti se u prvobitan oblik. Dio koji je u plastičnom stanju nastoji zadržati deformirani oblik. Zbog toga nastaju samouravnotežena naprezanja koja nisu posljedica vanjskog opterećenja. To su tzv. zaostala naprezanja nakon plastičnog deformiranja.



Ovisnost naprezanja o deformaciji pri rasterećenju uvijek je linearna, pa se zaostala naprezanja mogu odrediti superpozicijom dijagrama naprezanja koji bi nastao kad bi se elastični štap opteretio momentom suprotnog smjera, a iznosa jednaka iznosu momenta koji je prouzrokovao plastifikaciju presjeka štapa i dijagrama raspodjele naprezanja pod opterećenjem s y .M pl , tj. = −zaost rastx. x x.σ σ σ .

3.3 Savijanje silama u plastičnom području Pretpostavke: 1. Poprečni presjek nosača ima dvije osi simetrije 2. Opterećenje nosača je u ravnini simetrije. Vektor momenta savijanja leži u osi y koja je ujedno i neutralna os 3. Materijal je elastično-idealno plastičan

Slika 3.8. Nastajanje plastičnog zgloba na gredi opterećenoj koncentriranom silom

= ⋅ =y . yM σ W F FT T T →opterećenje pri kojem nastaju prve plastične deformacije

Funkcija promjene momenta duž grede je linearna =yFM x x( )2

Maksimalni moment savijanja pojavljuje se u sredini grede

= =y . yM M x Fmax1( = )

2 4l l ..

Moment savijanja u sredini grede kod kojeg se pojavljuju prve plastične

deformacije iznosi: =y . y .M Mmax T



=

=

y .

y .

F M F F

MF .

T T

TT

14

4

l =

l

Granica između elastičnog i elasto-plastičnog područja na donjem i gornjem rubu grede može se odrediti ako se moment savijanja u tekućem presjeku izjednači s y .M T .

l

l

= =

= >

T T

TT T

T

1 12 4

12

pokazuje do koje se granice na donjem i gornjem rubugredeproširilo plastično područje.

y . TFx M F

Fx F FF

x

Analiza širenja plastičnih zona za >F FT hT -visina elastične jezgre, ovisi o opterećenju (sili F) i koordinati x Određivanje granice između elastičnog i plastičnog područja na elasto-plastičnom dijelu grede:

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

⋅ = ⋅

=

=

y y .

y y . y .x

x

x

x

x

M x M

εM x M M ,ε

hhε ε :

ε h ε hε h ,

ε hzε ,ρ

T

2

Tpl T

.max

T.max T

.max T T

T T

.max

( ) >

3 1( )2 2

:2 2

=

=

.max

.max

za2 x x

x

h z= , ε ε

hε ,2ρ



x

x

x

ρ=ρ

ρ=ρ ε ε ,zε ,ρhε ,ρ

hε ρ ρ , ρ ρhε ρ

ρ

T

T T

T

TT

T TT

.max T

onaj polumjer zakrivljenosti pri kojem se u opasnompresjeku javljaju prve plastične deformacije

2

2

2

−

=

=

=

= = <

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= = −

−

− ⋅

y .

y

y .

y

y .

y

M h /M h

Mh / hh M

Mh x h h

M

F xh F x h

F

F xh hF

2pl T

.T

2pl 2T

.T

plT T

.T

T

T

TT

3 1 22 2

3 2

( ) 3 2

2( , ) = 3 2 14

= 3 4

l

l

Kada je nosač opterećen koncentriranom silom, krivulja koja dijeli plastično od elastičnog područja bit će kvadratna parabola.

FF F , x ,

F

h

F F , x , h h .T T

T

T

T

5

4 2

? do koje dubine se proširilo plastično područje?

za2

> = =

=

= = =

l

l

− ⋅ ⋅ = ⋅ = =h h

h h , hT

5 2 22= 3 4 0 7074 22 2

l

l



T

T

2

5 2 5 5= 3 4T4 5 4

F, x , h h h

F.= = − ⋅ ⋅ =

l

ll

U graničnom slučaju dolazi do spoja plastičnih područja i formiranja plastičnog zgloba.

= = =

− ⋅

=

=

F h , x , F F ,

Fh

F

F

F

F.

F

gr T gr

gr

T

gr

T

gr

T

? = 02

20 = 3 4

3 2

32

l

l

l

Da bi statički određena greda postala mehanizam dovoljno je da se formira jedan plastični zglob. Taj će se zglob formirati u opasnom presjeku grede.

Slika 3.9. Nastajanje plastičnog zgloba na gredi opterećenoj jednoliko

raspodijeljenim kontinuiranim opterećenjem



Slika 3.10. Nastajanje plastičnog zgloba na konzoli opterećenoj

koncentriranom silom na kraju

Slika 3.11. Nastajanje plastičnog zgloba na konzoli opterećenoj linearno raspodijeljenim kontinuiranim opterećenjem



3.4 Primjer programskog zadatka – savijanje grede od elastično-idealno plastičnog materijala

Slika 3.12. Programski zadatak – savijanje grede od elastično-idealno plastičnog materijala



Slika 3.13. Dijagram momenata savijanja

Jednadžbe ravnoteže :

02

z

A B

FR R F

=

+ =∑ 0

3 23 5

5313

A

B

B

B

A

MR l F l F ll R F l

R F

R F

=

⋅ = ⋅ + ⋅⋅ = ⋅

=

=

∑



A – C 0 < x < l C – D l < x < 2l

0

( )

( )3

S

y A

y

MM x R x

FxM x

=

= ⋅

=

∑

D – B 2l < x < 3l

Elastično područje F<FT

.max max .max

yx

y

y yx x

y y

Mz

I

M Mz

I W

σ

σ σ

= ⋅

= ⋅ → =

Uvjet plastifikacije : .maxx Tσ σ= .max.max

yx T

y

MW

σ σ= =

.

.max

.max .

2

53

53

6

y y T

y

y y T T

y

M M

M Fl

M M F l

bhW

=

=

= =

=

sila pri kojoj dolazi do pojave prvih plastičnih deformacija

RA

Myx

RA

Myλ M

RA

Myλ M

2λ

2F

.max

2

2

53 6

10

y T y

T T

TT

M W

bhF l

bhFl

σ

σ

σ

= ⋅

= ⋅

⋅=

0( )

( )3

( )3

S

y A

y

y

MM x M R x

FxM x Fl

xM x F l

=

= + ⋅

= +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

( )0

( ) 2 2

( ) 2 435( ) 53

( ) 53

S

y A

y

y

y

M

M x M R x F x l

FxM x Fl Fx Fl

M x Fl Fx

xM x F l

=

= + ⋅ − −

= + − +

= −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑



Elasto – plastično područje FT<F Širenje plastificiranog područja C – D l < x < 2l x < xT - elastično područje xT < x < 2l - elasto – plastično područje

.

.

( )3

( )3

53

53 3

y

Ty T y T

y T T

TT

xM x F l

xM x F l M

M F l

xF l F l

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

53 3

53 3

5 3

T T

T T

TT

x F llF

x F l lF

Fx l lF

+ = ⋅

= ⋅ −

= −

2

2

2

10

105 3

32

TT

T

T

TT

bhFlbhlx l l

Fbhx lF

σ

σ

σ

⋅=

⋅

= −

⋅= −

B – D 2l < x < 3l xT < x <3l - elastično područje 2l < x < xT - elasto – plastično područje

.

.

( ) 53

( ) 53

53

y

Ty T y T

y T T

xM x F l

xM x F l M

M F l

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

5 53 3

3 3

3 3

3

TT

T T

T T

TT

xF l F l

x Fl lF

x Fl lFFx l lF

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

− = ⋅

= − ⋅

= − ⋅

2

2

2

10

103

310

TT

T

T

TT

bhFl

bhlx l l

Fbhx lF

σ

σ

σ

⋅=

⋅

= −

⋅= −

A

BM=Fλ

2F

λ λ3λ

RA RB

C D

xT



Visina elastične jezgre

.

.

3 2 y ple

y T

Mz h

M= − .

53y T TM F l=

2

10T

TbhFl

σ ⋅=

C – D l < x < 2l B – D 2l < x < 3l

. ( ) 53y plxM x F l⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ . 3y pl

xM F l⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

33 253 10

33 12

eT

eT

xF lz h

bh ll

xF lz h

bh

σ

σ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= −⋅

⋅ ⋅

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= −⋅

2

2

533 2

53 10

33 60

eT

eT

xF lz h

bh ll

xF lz h

bh

σ

σ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= −⋅

⋅ ⋅

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= −⋅

Granično opterećenje C – D B – D

2

2

2

2( )33 12 0

34 5

320

gr

T

Tgr

Tgr

F l l

bh

bhF l

bhFl

σ

σ

σ

⋅ +− =

⋅

⋅= ⋅

⋅=

2

1 0,125 T bhFl

σ ⋅=

2

2 0,14 T bhFl

σ ⋅=

?

2( ) ( 2 ) 0

gr

e gr e

F F

x lz F z x l

= =

== = =

2

2 2

2( )33 60 0

3 0,1520

gr

T

T Tgr

F l l

bh

bh bhFl l

σ

σ σ

⋅ −− =

⋅

⋅ ⋅= =



Slika 3.14. Širenje plastificiranog područja

x

0,57l l 1,5l 1,8l 2l2,1l

2,2l2,28l

2,33l

grF

FF1 2

ze

ze

0



4. Savijanje statički neodređenih kontinuiranih nosača i okvirnih nosača u plastičnom području

4.1 Analiza graničnog stanja Odrediti granično opterećenje te skicirati mehanizme plastičnog sloma za

kontinuiranu gredu zadanu i opterećenu prema slici. Materijal je elastično-idealno plastičan. Ako je konstrukcija n puta statički neodređena u pravilu se mora pojaviti plastično popuštanje (plastični zglob) na n+1 mjestu. Ponekad do sloma može doći i pri manjem broju plastičnih zglobova.

1 2

L 2 1

1 12 2 4 16

116

* *

C * *

F F ,

D F F .

= = ⋅ ⋅ =

= = =

2

2

l Fl Fl

Fl

Tamo gdje su momenti najveći, formirat će se dva plastična zgloba; u B i u C.

Clapeyronova jednadžba za oslonac C - jednadžba triju momenata – povezuje momente savijanja u tri uzastopna oslonca

L D2 ( ) = 6 6

0 0 0

C CA C DM M M D D⋅ + + + ⋅ − −

↓ ↓ ↓

l l l l

212 2 = 616

332

C

C

M F

M F

⋅ − ⋅ ⋅

−= ⋅

l l

l .



Slika 4.1. Analiza graničnog stanja kontinuirane grede



T2

T T T T

TT

?13 =64 6

6413

y. y

y.

F

bhF M = W

MF

=

⋅ ⋅ =

=

l

l

σ σ

gr

gr T .pl T

?

2y y

F

M = W S

=

⋅ = ⋅σ σ

ll

ll

l l l

l l ll l

l

Σ = ⋅ − = =

Σ = − ⋅ = =

Σ = ⋅ − ⋅ − ⋅

⋅ = ⋅ + ⋅

=

= + − − =

grLB gr

grDC gr

C gr

gr grgr gr

grgr

gr

20 0 , ,

2

0 + 0 , ,

0 = 0 ,2

2 = 3 ,

26

.

Σ 0 0 .

A A

D D

A D

z A C D

MM R M R

MM R M R

M F R R

M MF M

MF

F R R R F

4.2 Metoda virtualnih radova Metoda se sastoji u tome da se na konstrukciji ili nosaču pretpostavi dovoljan broj

plastičnih zglobova tako da se konstrukcija pretvori u mehanizam. Smatrajući konstrukciju krutom, osim u plastičnim zglobovima, dade joj se virtualni pomak tako da se jedan element konstrukcije zakrene za virtualni kutni pomak δα. Princip virtualnih radova glasi:

W Wi e 0δ δ+ = ,

gdje je Weδ virtualni rad vanjskih (eksternih) sila, a Wiδ virtualni rad unutarnjih (internih) sila. Virtualni radovi iznose

e e

i i. gr.

,

,

.j j j j jj j j

k k kk k

W W F r Q q

W W M

= Σ =Σ ⋅ =Σ ⋅

= −Σ =− Σ ⋅

δ δ δ δ

δ δ δα

r r

gdje je jrδr

virtualni pomak hvatišta sile jFr

, a jqδ poopćeni virtualni pomak hvatišta poopćene sile jQ . Također je gr.kM granični moment u presjeku k, tj. u plastičnom zglobu k. Virtualni kutni pomak kδα jest međusobni zakret presjeka s obiju strana



plastičnog zgloba k. Virtualni rad momenata savijanja u plastičnim zglobovima bit će uvijek negativan.

Pri računanju iWδ uzet je u obzir samo rad unutarnjih sila pri plastičnoj deformaciji. Rad unutarnjih sila pri elastičnoj deformaciji ispušten je jer je zanemarivo malen u usporedbi s radom pri plastičnom deformiranju.

Često puta se u praktičnim proračunima virtualni rad unutarnjih sila izračuna po apsolutnoj vrijednosti, tj. sa suprotnim predznakom te se tada označava

δ δ δα= Σ =Σ ⋅i i gr..k k kk kW W M

te se tada princip virtualnih pomaka može zapisati : k j

W Wi eδ δΣ = Σ

Pri analizi metodom virtualnih radova nije unaprijed poznato u kojim će se presjecima pojaviti plastični zglobovi. Oni se pojavljuju na mjestima ekstremnih vrijednosti momenata savijanja. Neka je broj mjesta u kojima se mogu pojaviti plastični zglobovi p. U pravilu je p>n+1 gdje je n stupanj statičke neodređenosti konstrukcije. Prema tome je moguće naći više mehanizama ili oblika plastičnog sloma. Sve oblike treba ispitati. Pravi oblik plastičnog sloma je onaj koji daje najmanje granično opterećenje Fgr .

4.3 Analiza graničnih stanja okvirnih nosača Mehanizmi plastičnog sloma okvirnih nosača Analiza se odnosi samo na nosače i konstrukcije izrađene od elastično-idealno

plastičnog materijala kakav je npr. konstrukcijski čelik koji ima izraženu granicu tečenja. Ako je konstrukcija n puta statički neodređena, pri pojavi n plastičnih zglobova ona postaje statički određena i dalje sposobna prenositi opterećenje. Može se dogoditi da se u jednom dijelu konstrukcija pretvori u mehanizam, a u drugom dijelu ostane statički neodređena. Prema tome, pri pojavi n+1 plastičnog zgloba konstrukcija prelazi u mehanizam te nije sposobna preuzimati daljnje povećanje opterećenja pa se kaže da je njezina nosivot iscrpljena. Pri najmanjem povećanju opterećenja u plastičnim zglobovima nastupa neograničeno tečenje te nastupa plastični slom konstrukcije. Očito ako je konstrukcija statički određena, plastični slom nastaje već pri pojavi prvoga plastičnog zgloba.

Pri analizi konstrukcija pretpostavlja se da je opterećenje jednostavno, tj. da sve sile počnu djelovati istovremeno te polagano i jednoliko rastu do konačne vrijednosti. Omjer između pojedinih sila stalno ostaje isti.



Primjer Odrediti granično opterećenje okvirnog nosača prema slici.

Zadano: l, gr T .pl .yM = W⋅σ

Slika 4.2. Primjer - Analiza graničnog stanja okvirnog nosača

Konstrukcija je tri puta statički neodređena. Da bi konstrukcija prešla u mehanizam, moraju se po pravilu pojaviti 3+1=4 plastična zgloba. Plastični zglobovi mogu se pojaviti u opasnim presjecima u kojima momenti savijanja imaju ekstremnu vrijednost. To su prema dijagramu momenata savijanja presjeci A, B, C, D i E i po tom slom može nastati na pet načina. Ispitat će se svih pet načina i prihvatiti ono rješenje koje daje najmanju vrijednost graničnog opterećenja.

1. varijanta – plastični zglobovi u A, B, C i D

e gr gr

i gr gr

gr gr

grgr

3 3 ,

( 0 0 ) 4 ,

3 4 ,

43

j

k

W F F

W M M

F M

MF

Σ = ⋅ ⋅ = ⋅

Σ = ⋅ + + + + + =

⋅ =

=

l l

l

l

δ δα δα

δ δα δα δα δα δα

δα δα



2. varijanta – plastični zglobovi u A, B, D i E

e gr gr gr

i gr

grgr

3 2 2 7 ,

6 ,

67

j

k

W F F F

W M

MF

Σ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

Σ =

=

l l l

l

δ δα δα δα

δ δα

3. varijanta – plastični zglobovi u A, B, C i E

e gr gr gr3 2 2j

W F F FΣ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅l l lδ δα δα δα

Komentar: Takav mehanizam sloma nije moguć, jer virtualni rad vanjskih (eksternih) sila ne može biti negativan.

U analizi graničnih stanja kontinuiranih i okvirnih nosača ponekad može doći do sloma i pri manjem broju plastičnih zglobova od n+1.



4. varijanta – plastični zglobovi u C, D i E, tzv. gredni mehanizam

e gr gr

i gr

grgr

2 2 4 ,

4 ,j

k

W F F

W M

MF

Σ = ⋅ ⋅ = ⋅

Σ =

=

l l

l

δ δα δα

δ δα

5. varijanta – plastični zglobovi u A, B, C i E

l l l

l

δ δα δα δα

δ δα

Σ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

Σ =

=

e gr gr gr

i gr

grgr

3 2 2 ,

6 ,

6

j

k

W F F F

W M

MF

Do sloma okvirnog nosača doći će po 2. varijanti (plastični zglobovi u presjecima

ekstremnih vrijednosti momenata savijanja), jer ona daje najnižu vrijednost graničnog opterećenja.



5. Uvijanje štapova kružnog poprečnog presjeka

5.1 Uvijanje štapa od nelinearno elastičnog materijala Pretpostavke o deformiranju: 1. Ravni presjeci koji su bili okomiti na uzdužnu os štapa prije opterećenja, ostaju

ravni i okomiti na uzdužnu os i nakon opterećenja i deformiranja štapa 2. Točke koje leže na jednom polumjeru prije deformiranja, ležat će na tom istom

polumjeru i nakon deformiranja, tj. polumjeri se zakreću kao cjeline

Slika 5.1. Uvijanje štapa – geometrijska analiza



Geometrijska analiza:

α

ρ α

γ

ρ α γαγ ρ

γ ρϑαϑ

= ⋅

= ⋅

= ⋅

⋅ = ⋅

=

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1

1

1

d

d

d

d ddd

d radd m

BB r

DD

DD x

x

x

x

ρ

r

GG

max

linearna raspodjela kutnih deformacija, ovisno o0, 0

,

( ) dijagram smicanjaHookeov zakon smicanja

γ ρϑρ γρ γ γ

τ τ γτ γτ ρϑ

= −= == =

===

τ ρ

ϑ

= ⋅

=

t

t

p

p

MI

MGI

- formule izvedene u Nauci o čvrstoći I za linearno elastičan materijal

gdje je α kut zakreta poprečnog presjeka, ϑ relatvini kut uvijanja (kut uvijanja po jedinici duljine štapa), γ kutna deformacija, ρ tekući polumjer, a r vanjski polumjer štapa.

Kutne deformacije su i u elastičnom i u plastičnom području linearno raspodijeljene po poprečnom presjeku štapa.

Prve se plastične deformacije pojavljuju na rubu presjeka u trenutku kad moment uvijanja poprimi vrijednost Mt.T =τT pW , gdje je τT granica tečenja pri čistom smicanju, a

pW je polarni moment otpora poprečnog presjeka.

Kad se moment uvijanja poveća iznad Mt.T, štap prelazi u elasto-plastično stanje. Po rubu poprečnog presjeka pojavljuju se plastične deformacije, a plastificirano područje, u obliku kružnog vijenca širi se prema središtu presjeka.



Slika 5.2. Raspodjela kutnih deformacija i tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa izrađenog od linearno elastičnog materijala

Slika 5.3. Raspodjela kutnih deformacija i tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa izrađenog od elastično-idealno plastičnog

materijala



Slika 5.4. Raspodjela kutnih deformacija i tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa izrađenog od nelinearno elastičnog materijala

tM =? - moment kojim moramo djelovati na štap da bi se na površini štapa pojavile deformacije maxγ

τ ρ ρ ρρ ρ

τ ρ ρ

τ τ ρ τ τ γ γ γ ρ ρ ρ γ

= ⋅ π ⋅ ⋅

= π ⋅

= = ⋅ π ⋅

= → = = =

∫ ∫

t

2t t

d 2 dd 2 d

d 2 d

( ) ( ) ( ) naći ( )A A

MA

M M



γ ρϑγ ϑ

γϑ

γγρ

γρ ρ ργ

ρ γγ

==

=

=

= ⋅ =

= ⋅

max

max

max

max

max

d

( )

d

r

r

r

r r

r

I

I

γ

γ

γ

τ

τ

γτ γ γγ γ

τ γ γ γγ

τ γ γ γ

γ

⎛ ⎞= ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

= π ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= π ⋅ ⋅

∫

∫

∫

max

max

max

2

tmax max0

32

t 3max 0

2

03

t 3max

( ) 2 d

2 ( ) d

( ) d

2

rM r

rM

rM

5.2 Uvijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala

ττ γ τ γ γ

τ

τ

= = =

< <

−

−−

TT T T

t t.pl t.gr

e t.pl T

t.pl

T

tražimo ovisnost o , ,

parametar opterećenja, moment uvijanja koji izazivadjelomičnu plastifikaciju poprečnog presjeka štapa

geometrijski parametarparametar materija

G GG

M M M

r M r

M

rla



Slika 5.5. Uvijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala

Polumjer elastične jezgre – ovisi o polumjeru osovine (geometriji), opterećenju

( t.plM ) i materijalu (τT ).

ρ ρ τ ρ ρ ρ τ ρ= π ⋅ ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅ ⋅t.pld 2 d 2 dM

τ ρ ρ τ ρ ρ

τ τ ρ τ τ τ ρτ τ ρτ ρ τ

ρτ τ

= π ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅ ⋅

↓ ↓= = ≠

=

⋅ = ⋅

=

∫

∫ ∫2 2t.pl

T

T e

T e

Te

2 d 2 d

( ) ( ): :

e

e

r r

o r

M

rr

r

ρτ ρ ρ τ ρ ρ

τ τ

= π ⋅ + π ⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞= π ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫e

e

2 2t.pl T T

e

4 33e eT

Te

2 d 2 d

2 24 3 3

r r

o r

Mr

r rrr

τ τ τπ= ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅ − π ⋅ ⋅3 3 3

t.pl T e T T e2 2

2 3 3M r r r



τ τ

τ

τ

π ⋅ ⋅ = π ⋅ ⋅ −

= −π

= −π

3 3T e T t.pl

t.pl3 3e

T

t.pl33eT

1 26 3

64

64

r r M

Mr r

Mr r

Granični moment uvijanja t.grM

τ

τ

= =

= π

= π

t.pl t.gr e

3t.gr T

3t.gr T

za 0

232 ( )3 2

M M r

M r

dM

τ τπ

= = ⋅

π π π= = =

3

t.gr T .pl T

3 3 4

.pl

12

12 16 32

p

p p p

dM W

d d dW W I

Faktor povećanja nosivosti štapa u plastičnom području

= =

π

= = =π

&

t.gr .plt

t.T

3

t 3412 1,3333

16

p

p

M Wk

M W

d

kd

povećanje nosivosti u plastičnom području je 33%

5.3 Uvijanje štapa od elastično-linearno očvršćujućeg materijala Odrediti raspodjelu naprezanja u štapu kružnog poprečnog presjeka polumjera R

koji je opterećen momentom torzije tM koji uzrokuje djelomičnu plastifikaciju presjeka. Materijal se kod plastičnog deformiranja linearno očvršćuje u skladu sa zakonom τ τ γ γ= + −T T( )H pri čemu je τT granica tečenja kod čistog smicanja. Kolika je veličina momenta torzije t.plM potrebna da bi se presjek plastificirao do polumjera ρ = r ?



T

τ γγ γ γ

ττ γ γ

β

= ⋅= +

= ⋅ =

= −

el pl

TT T

Hookeov zakon smicanja

,

tg modul očvršćavanja materijala pri smicanju

G

GG

H

Jednadžba pravca A-B τ τ γ γ

ττ τ γ

τ τ γ

− = −

= + −

−= + ⋅

T T

TT

T

( )

( )

H

HG

G H HG

Slika 5.6. Uvijanje osovine od elastično-linearno očvršćujućeg materijala



Elastično područje τ γγ ρ γγ γ ρ

ργ γ

= ⋅=

⋅ = ⋅

=

T

T

T

: :G

rr

r

Plastificirano područje

τ γγ ρ γγ γ ρ

τρ ργ γ

= ⋅=

⋅ = ⋅

= = ⋅

T

T

TT

: :G

rr

r G r

G HHGG H

H H GG H

G r H H G

T

T

T T

γ τ τ

ττγ

τ τρ τ

−⋅ = −

−= − ⋅

−⋅ = − ⋅

H G HG r G

R RH R G HG r G

T

max max

max T

( )

? ( )

τ τ ρρτ τ

τ ρ τ ρ τ

τ τ

=

−⎡ ⎤= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦= = = =

−⎡ ⎤= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦



ρ ρ τ ρ ρ ρ τ ρ

τ τ ρ τ τ ρ

ρ ρτ ρ ρ τ ρ ρ

ρ ρτ τ

τ

= π ⋅ ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅ ⋅

↓ ↓= =

−⎡ ⎤= π ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−= π ⋅ ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤−= π ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

t.pl

2 2t.pl T T

4 4 3

t.pl T T

34 4 3 3

t.pl T

2 d 2 d

( ) ( )

2 d 2 d

1 12 24 4 3

1 12 ( ) ( )4 4 3

r R

o r

r R

o r

M

H G HMr G r G

r H G HMr G r G

r H G HM R r R rG r G

M τ

τ

⎡ ⎤= π ⋅ + ⋅ − + − − ⋅ + ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦⎧ ⎫⎡ ⎤π ⋅ ⎛ ⎞= − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

=

3 43 3 3 3 3

t.pl T

3 3Tt.pl

t.pl

1 1 1 1 1 124 4 4 3 3 3 3

3 4 4 ( )6( )

r H R H H Hr R r R rG r G G G

RM H H G R H G rG r

M f r

Granični slučaj

1. u krajnjim vlaknima pojava prvih plastičnih deformacija pri opterećenju =t t.TM M

τ ττ

τ τ

= =

π ⎡ ⎤= ⋅ − + + −⎣ ⎦

π π= ⋅ ⋅ = ⋅

T

3 3Tt.T

3 3Tt.T T

,

( 4 ) ( )6

3 .6 2

r R

M H G R H G RG

M GR RG

2. plastifikacija cijelog poprečnog presjeka, isčezla elastična jezgra

τ

=

⎧ ⎫⎡ ⎤π ⎛ ⎞= ⋅ − +⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

= ∞

t.gr

3Tt.gr

, 0

3 4 46 0

0

M r

RM H H G RG

R

- ne može se definirati t.grM već se za takav materijal definira x.max maxiliε τ ; na

rubovima počinje lom prije nego što se plastificira cijeli poprečni presjek.



II. TEORIJA VISKOELASTIČNOSTI



6. Teorija puzanja materijala

6.1 Viskoelastični modeli deformabilnog tijela

Slika 6.1. Osnovni reološki elementi: a) linearno elastična opruga, b)

viskozni element



6.2 Osnovni rezultati eksperimentalnog ispitivanja puzanja pri jednosonom napregnutom stanju (rastezanju)

Slika 6.2. Krivulje puzanja



6.3 Krivulja relaksacije

Slika 6.3. Krivulja relaksacije



6.4 Krivulja puzanja

Slika 6.4. Krivulja puzanja



6.5 Voight-Kelvinov model

Slika 6.5. Voight-Kelvinov model



Slika 6.6. Krivulja puzanja i krivulja relaksacije Voight-Kelvinova modela



6.6 Maxwellov model

Slika 6.7. Maxwellov model



Slika 6.8. Krivulja puzanja i krivulja relaksacije Maxwellova modela



6.7 Troparametarski viskoelastični modeli

Slika 6.9. a) Voight-Kelvinov model serijski spojen s linearno elastičnom

oprugom, b) krivulja puzanja

Slika 6.10. a) Voight-Kelvinov model serijski spojen s viskoznim

elementom, b) krivulja puzanja



6.8 Model viskoelastičnog deformabilnog tijela s tri elementa



Slika 6.11. Krivulja puzanja modela s tri elementa



Slika 6.12. Krivulja relaksacije viskoelastičnog modela s tri elementa



6.9 Višeparametarski viskoelastični modeli



6.10 Model standardnog deformabilnog tijela

Slika 6.13. Viskoelastični model deformabilnog tijela s četiri elementa



Slika 6.14. Krivulja puzanja (a) i krivulja relaksacije (b) viskoelastičnog

modela deformabilnog tijela s četiri elementa



6.11 Poopćeni Voight-Kelvinov model

Slika 6.15. Poopćeni Voight-Kelvinov model



6.12 Poopćeni Maxwellov model Slika 6.16. Poopćeni Maxwellov model



6.13 Boltzmanov princip superpozicije

Slika 6.17. a) Skokovita promjena naprezanja s vremenom, b) ovisnost

deformacije o vremenu (krivulja puzanja)

teorija plasticnosti i viskoelasticnosti

Documents