VARIABLE ALEATORIA

UNIFORME

Se dice que una variable X tiene una distribución

uniforme en el intervalo [a;b] si la fdp de X es:

DEFINICIÓN

Demostrar que la FDA está dada por

0 si x < a

F(x)= si a x b

1 si x > b

x a

b a

1si a b

f(x)= b-a

0 en otro caso

x

FDP Y FDA DE LA VARIABLE

ALEATORIA UNIFORME

f(x)

1

b a

a b

fdp

a b x x

FDA

F(x)

1

Los trenes de cierta línea de subterráneos corren cada

media hora entre la medianoche y las seis de la

mañana. ¿ Cuál es la probabilidad de que un hombre

que entra a la estación a una hora al azar, durante ese

período tenga que esperar por lo menos 20 minutos?

EJEMPLO

La variable aleatoria T: tiempo, en minutos, hasta el

siguiente tren, está distribuida uniformemente en el

intervalo [0;30]

30 30

20 20

1 1 1( 20) ( ) 30 20

30 30 3P T f t dt dt

La probabilidad sólo depende de la longitud del intervalo y no

de la ubicación del mismo.

Demostrar que si X tiene distribución

uniforme en [a;b], entonces:

ESPERANZA Y VARIANZA

2

b-aa+bE(x)= V(x)=

2 12

DISTRIBUCIÓN

EXPONENCIAL

• Esta distribución: suele ser el modelo de fenómenos

aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre la

ocurrencia de dos sucesos. Ejemplos:

• La variable aleatoria X representa el tiempo que

transcurre hasta la primera ocurrencia en el proceso de

Poisson (λ)

• El tiempo que tarda una partícula radiactiva en o el tiempo

que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la

llegada de un paciente.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene

una distribución exponencial, con parámetro 0

Si su fdp está dada por: - si x 0

f(x)0 si x < 0

xe

La FDA está dada por:

VERIFICAR QUE ES UNA

LEGÍTIMA FDP:

0 0 0

( )u

bx

b

ef x dx e dx lím du

1 1b

b

lím e

1 si x 0F(x)

0 si x<0

xe

F(x)

1

x

Demostrar las características numéricas de la función

exponencial: 2

1 1( ) V(x)=E x

La distribución de vida durante la cual cierta marca de

computadora funciona eficazmente, es decir, el

tiempo en horas, de duración hasta la primera falla,

es exponencial con una vida media de 360 hs.

¿ Cuál es la probabilidad de que una computadora

funcione eficazmente:

a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs?

APLICACIONES

1 si t 0( )

0 si t < 0

teF t

1 1( ) 360 360

360E T

SOLUCIÓN

1.180

360a) P(T<180)= F(180)=1-e 0.3935

1 720.720

360 360b) P(T>720)=1-P(T 720)=1-F(720)=1- 1 0,1353e e

RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIONES

DE POISSON Y EXPONENCIAL

Sea X el número de partículas emitidas por una fuente

radioactiva. Si se sabe que el número esperado de

demisiones en una hora es de 30 partículas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean emitidas al

menos 2 partículas en un lapso de 1 minuto?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre

emisiones sucesivas sea al menos de 3 minutos?

RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIONES DE POISSON Y

EXPONENCIAL

0 1.5

) : (min) ,

30.3: 3min, 1.5

60

(1.5) .( 3) ( 0) 0.22

0!

o

b T tiempo hasta que ocurre la prox emision

Y n partìculas emitidas en

eP T P Y

RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIONES DE POISSON Y

EXPONENCIAL

. 30.1) : º 1min ( ) , 0.5

! 60

( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1

1 0,91 0,09

k ea X n de partìculas en P X k

k

P X P X P X P X

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA

FUNCIÓN EXPONENCIAL

El número de llegadas de micros a una terminal es una variable

de Poisson con parámetro 5 por hora.

Una persona está esperando el micro hace más de 60 minutos.

¿Cuál es la probabilidad de que el micro llegue antes de los

70 minutos de espera?

5 5 5 5

60 10 60 10 105 5 560 60 60 60

5 5 5

. ( 1)e e e e e e e

e e e

510

601 e

P( t < 70 / t > 60) =

(10) ( 10)F P t

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en

un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve

funcionando .

)(1

)()(

)(

)()/(

sF

sFtsF

sxP

tsxsPsxtsxP

s

ts

s

stas

s

sts

e

ee

e

eee

e

ee

)1(

)1(1

11 )(

)()(1 txPtFe t

La distribución exponencial no tiene memoria :

P( x< s + t / x> s ) = P( x< t )

Sin duda la distribución continua de

probabilidad más importante, por la

frecuencia con que se encuentra y por

sus aplicaciones teóricas, es la

distribución normal, gaussiana o de

Laplace- Gauss. Fue descubierta y

publicada por primera vez en 1733 por

De Moivre. Llegaron, de forma

independiente, Laplace (1812) y Gauss

(1809), en relación con la teoría de los

errores de observación astronómica y

física .

Pierre Simon de Laplace

(1749-1827)

Karl F. Gauss

(1777-1855)

Distribución normal

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un

fármaco.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de

una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, ...

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de

muchos factores

Como la binomial o la de Poisson se aproximan a la normal. Distribuciones

binomiales con n >10 y (np > 5) y (n(1-p) > 5).

Razones principales para su estudio

1) Numerosos fenómenos pueden aproximarse mediante

esta distribución:

2) Se usa para aproximar distribuciones de variables discretas:

3) Proporciona la base de la inferencia estadística por su

relación con el tlc

Se dice que x que toma todos los valores reales, tiene

una distribución normal, si su fdp está dada por:

DISTRIBUCIÓN NORMAL

21

21f(x) con - < x <

2

0

x

e

y

NOTACIÓN

2, su fdp está dada por x N 2

1

21f(x) con - < x <

2

0

x

e

y

Ejercicio: verificar que es una fdp legítima.

2

21 1

2 21 1

2 2

xt

e dx e dt

21

2

nosepuedeobtenerde forma finita Integral de Poisson

1 12 1

2 2

t

e dt

Principales características de la

distribución Normal

• Es una curva uniforme con ordenadas siempre positivas,

definida para todo real x. Tiene forma de campana, es decir,

es monótona creciente hacia ambos lados del máximo, y es

asintótica al eje de las abscisas

•Es simétrica con respecto de la recta x= donde coinciden

la mediana (Me) y la moda (Mo ).

Para x tendiendo a , el límite f(x) =0.

•La función tiene un máximo en x = . Los puntos de inflexión

tienen como abscisas los valores . Verificar esta

propiedad.

Características de la distribución

Normal

+ - +

Puntos

de

inflexión

, Mo, Me

Distribución normal con para distintos valores de σ

0

0.4

0.8

1.2

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50 x

p(x)

La desviación

típica es un

factor de escala.

INTERPRETACIÓN

GEOMÉTRICA

La media se puede

interpretar como un

factor de traslación.

CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS

Demostrar que:

2( ) ( )E x y V x

OTRAS PROPIEDADES

En toda distribución Normal se

comprueba que:

P( μ-2 σ ≤X ≤μ+ 2 σ ) = 0,955

P( μ-3 σ ≤X ≤μ+ 3 σ ) = 0,9973

que son intervalos más precisos

que la acotación deTchebychev

(0,75 y 0, 88, respectivamente).

Si Y = a X + b, siendo

X ~ N (μ, σ²), entonces

Y ~ N (a μ+ b, a²σ²)

UN POCO DE HUMOR