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181Econometria – Semestre 2010.01 181
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
21.7. TESTES DE RAIZ UNITÁRIA
Considere o modelo:
Este processo será um processo de raiz unitária (um passeio aleatório) se ρ = +1. O modelo dado
por esta equação é um AR(1) estacionário se | ρ | < 1. Se ρ = 1, o modelo é uma random walk. A
equação pode ser reescrita como: (1‐ ρ.B)Yt = ut onde B é o operador de atraso, BYt = Yt‐1.
O modelo descrito por (21.4.1) será uma random walk sempre que a raiz de (1‐ρ.B) = 0 for a
unidade (isto é, se ρ = 1). Por isso a denominação “teste de raiz unitária”.
Os testes para raiz unitária mais comuns são apropriados para séries com, no máximo, uma raiz
unitária, ou seja, supõe‐se que a série torna‐se estacionária após a primeira diferença.
A idéia por trás do teste de raiz unitária é bem simples: faça a regressão de Yt em Yt‐1 e verifique
se o coeficiente estimado ρ é estatisticamente igual a +1. Se for, o processo é não estacionário. Do
contrário, o processo é estacionário.
Então, um ponto importante a lembrar nos testes de raiz unitária é que a hipótese nula indica
que o processo é NÃO ESTACIONÁRIO. Deseja‐se testar as hipóteses:
H0: ρ = 1 (o modelo é um passeio aleatório) versus
H1: ρ < 1 (o modelo é um AR(1) estacionário)
A idéia mais direta para testar estas hipóteses seria a estimação de ρ por mínimos quadrados,
seguida de um teste t. No entanto, se H0 for verdadeira, o estimador de ρ tem um viés negativo, e
a estatística t não tem distribuição t de Student.
Para contornar este problema, Dickey e Fuller (1979) realizaram diversas simulações e
encontraram a distribuição do estimador de ρ quando ρ = 1, permitindo estabelecer os níveis de
significância apropriados, o que deu origem à aplicação prática dos testes de raiz unitária.
182Econometria – Semestre 2010.01 182
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Por razões teóricas, os t estes Dickey‐Fuller (DF) trabalham com a equação (21.4.1) na forma de
diferenças, ou seja:
Esta expressão pode ser escrita de maneira alternativa como:
Onde δ = ρ ‐1.
Então, ao invés de estimar a equação (21.4.1) (a equação em nível), estimamos (21.9.2), a
equação em 1a. diferença e testamos a hipótese nula δ = 0, que é equivalente à hipótese nula ρ =
1 (o modelo é um passeio aleatório, a série é não‐estacionária).
Os testes de hipótese podem ser escritos em termos de δ como:
H0: δ = 0 (o modelo é um passeio aleatório) versus
H1: δ < 0 (o modelo é um AR(1) estacionário)
Note que, se δ = 0 em (21.9.2), a expressão se torna: tttt uYYY =−=Δ −1 , ou seja, a série de 1a.
diferença é estacionária e a série original é um passeio aleatório.
Como estimar a equação (21.9.2)?
Crie a série de primeiras diferenças tYΔ e faça sua regressão (sem constante) em relação à série
original defasada de 1 instante, isto é, Yt‐1. Verifique se o coeficiente angular estimado desta
regressão é zero. Se for estatisticamente igual a zero, concluímos que ρ = 1 e Yt é um processo não
estacionário. Se δ < 0, então ρ −1 < 0 e então ρ < 1 e a série Yt é estacionária.
Como testar as hipóteses? Infelizmente os testes t usuais não funcionam (nem para grandes
amostras) para verificar a significância de δ. Dickey e Fuller encontraram, através de simulação de
Monte Carlo, a distribuição do estimador de δ.
Sob a hipótese nula H0: δ = 0, o valor t estimado para o coeficiente de Yt‐1 na equação (21.9.2)
segue a estatística Tau (τ), cujos valores críticos estão na tabela D.7 de Gujarati, reproduzida a
183Econometria – Semestre 2010.01 183
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seguir. O teste baseado nesta estatística é chamado de teste Dickey‐Fuller, ou simplesmente teste
DF.
Note também que, se rejeitamos a hipótese nula no teste DF, então a série é estacionária, e o
teste t usual volta a ser válido.
Já vimos que existem diversos “tipos” de processos de raiz unitária. O teste DF deve ser aplicado
levando em conta cada uma destas possibilidades, ou seja, deve considerar as seguintes
(DIFERENTES) hipóteses nulas:
ttt
ttt
ttt
uYtYuYY
uYY
+++=Δ++=Δ
+=Δ
−
−
−
121t
11t
1t
..:ticadeterminís tendênciade tornoem todeslocamen com aleatório passeio um é Y.:todeslocamen com aleatório passeio um é Y
.:aleatório passeio um é Y
δββδβ
δ
Equações (21.9.2, 21.9.4 e 21.9.5)
A metodologia empregada no teste é a mesma em qualquer uma das especificações anteriores,
mas os valores críticos do teste serão diferentes.
Em todos os casos a hipótese nula é δ = 0 (série não estacionária) e a hipótese alternativa é δ < 0
(série estacionária). Rejeitar a hipótese nula significa que a série em nível Yt é:
É estacionária com média zero em (21.9.2)
É estacionária com média β1/(1‐ρ) em (21.9.4)
É estacionária em torno de uma tendência determinística em (21.9.5)
184Econometria – Semestre 2010.01 184
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Note que, em qualquer dos casos, o teste é unilateral. A rejeição da hipótese nula ocorrerá,
intuitivamente, se a estatística Tau for muito pequena (abaixo do valor crítico), pois o teste é
para δ = 0 contra a hipótese de δ negativo.
Os valores críticos da estatística Tau do teste DF são diferentes dependendo da hipótese nula que
está sendo testada.
Como fazer o teste Dickey‐Fuller?
Estime (21.9.2), (21.9.4) ou (21.9.5) por MQO.
Encontre o coeficiente estimado de Yt‐1 na equação e divida‐o por seu desvio padrão,
obtendo a estatística Tau.
Consulte as tabelas de Dickey e Fuller. Se τ MENOR que o valor crítico tabelado, rejeitar a
hipótese nula H0: δ = 0, o que indica que a série NÃO POSSUI RAIZ UNITÁRIA (é
ESTACIONÁRIA).
Se τ MAIOR que o valor crítico tabelado, NÃO REJEITAMOS A HIPÓTESE NULA H0: δ = 0,
o que significa que a série é NÃO ESTACIONÁRIA.
Exemplo – série de exportações brasileiras
Suponha que desejamos analisar a série trimestral de exportações em milhões de dólares
mostrada no início deste capítulo.
O correlograma é mostrado a seguir:
185Econometria – Semestre 2010.01 185
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Já observamos no início do capítulo que o lento decaimento da autocorrelação sugere que a série
é não estacionária. Vamos testar esta conjetura através do teste DF em suas três especificações
(21.9.2), (21.9.4) e (21.9.5). O teste foi realizado no software Eviews versão 4.1.
1) Teste DF – hipótese de passeio aleatório – Equação (21.9.2)
Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.180364 0.7352 Test critical values: 1% level -2.603423
5% level -1.946253 10% level -1.613346
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 16:53 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) 0.003849 0.021341 0.180364 0.8575
R-squared -0.011226 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared -0.011226 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4284.248 Akaike info criterion 19.57954Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz criterion 19.61414Log likelihood -596.1758 Durbin-Watson stat 1.907662
A equação estimada é:
ΔYt = +0,003849.Yt‐1
Analogamente ao exposto em Gujarati (p.655), este modelo deve ser descartado, pois o
coeficiente de Yt‐1 é positivo, ou seja, δ = 1‐ ρ > 0, o que indicaria que ρ > 1, e a série de
exportações seria explosiva.
O valor da estatística τ é, neste caso, +0.1803. O valor crítico ao nível 5% é –1,946. Como τ > valor
crítico, não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária, indicando que a série é não estacionária
(na verdade, das considerações anteriores, o modelo indica um comportamento explosivo).
186Econometria – Semestre 2010.01 186
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2) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento – Equação (21.9.4)
Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.134474 0.6967 Test critical values: 1% level -3.542097
5% level -2.910019 10% level -2.592645
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 17:38 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) -0.049221 0.043387 -1.134474 0.2612
C 1562.810 1115.212 1.401357 0.1663R-squared 0.021348 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared 0.004761 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4250.248 Akaike info criterion 19.57958Sum squared resid 1.07E+09 Schwarz criterion 19.64879Log likelihood -595.1772 F-statistic 1.287031Durbin-Watson stat 1.869506 Prob(F-statistic) 0.261184
A equação estimada é:
ΔYt = 1568,81 ‐0,0492.Yt‐1
O valor da estatística Tau é –1,13, e o valor crítico da estatística Dickey‐Fuller ao nível 5% é –2,91.
Assim, não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária, ou seja, a série é não estacionária. Isso
ocorre também ao nível 1%, pois a estatística Dickey‐Fuller ao nível 1% é –3,54.
Neste modelo, o valor estimado de ρ é 1 – 0,043387 = 0,9566.
187Econometria – Semestre 2010.01 187
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3) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento e tendência – Equação (21.9.4)
Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.025398 0.1340 Test critical values: 1% level -4.115684
5% level -3.485218 10% level -3.170793
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 17:57 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) -0.259732 0.085851 -3.025398 0.0037
C 991.3335 1075.672 0.921595 0.3606@TREND(1994:4) 170.7898 61.15799 2.792599 0.0071
R-squared 0.137341 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared 0.107594 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4024.685 Akaike info criterion 19.48621Sum squared resid 9.39E+08 Schwarz criterion 19.59002Log likelihood -591.3294 F-statistic 4.616973Durbin-Watson stat 1.727489 Prob(F-statistic) 0.013783
A equação estimada é:
ΔYt = 991,33+170,79.t ‐ 0,2597.Yt‐1
O valor da estatística Tau é –3,025, e os valores críticos da estatística Dickey‐Fuller aos níveis 1% e
5% são, respectivamente, ‐4,12 e –3,48. Logo, a estatística Tau é maior que os valores críticos e
não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária, ou seja, a série não é estacionária. Neste modelo,
o valor estimado de ρ é 1 – 0,2597 = 0,7403, bem diferente do encontrado no modelo anterior.
Note também que os coeficientes da tendência e de Yt‐1 são significantes, mas a constante não é.
Assim, talvez a especificação mais correta do modelo neste caso seja: ΔYt = β.t +δ.Yt‐1
É importante também verificar se a série diferenciada é estacionária ou não, pois isso indicaria que
o processo é I(2), e não I(1), ou seja, que a ordem de integração da série é mais alta.
Repetimos a análise com a série de 1a. diferença das exportações.
188Econometria – Semestre 2010.01 188
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4) Teste DF – hipótese de passeio aleatório para a série de 1a. diferença das exportações
Veja abaixo como fazer o teste no Eviews.
Na especificação mostrada acima testamos a hipótese da 1a. diferença da série ser um processo
I(2), ou seja, ttt uYY +=Δ −1t .:aleatório passeio um é Y δ onde agora Yt é a série da 1a. diferença.
Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.318054 0.0000 Test critical values: 1% level -2.604073
5% level -1.946348 10% level -1.613293
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS,2) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 19:42 Sample(adjusted): 1995:2 2010:1 Included observations: 60 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(EXPORTS(-1)) -0.952307 0.130131 -7.318054 0.0000
R-squared 0.475806 Mean dependent var -7.262133Adjusted R-squared 0.475806 S.D. dependent var 5955.789S.E. of regression 4312.065 Akaike info criterion 19.59275Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz criterion 19.62765Log likelihood -586.7824 Durbin-Watson stat 1.925618
O valor da estatística Tau é –7,31, e os valores críticos da estatística Dickey‐Fuller aos níveis 1% e
5% são, respectivamente, ‐2,60 e –1,95. Logo, a estatística Tau é MENOR que os valores críticos e
REJEITAMOS a hipótese nula de raiz unitária, ou seja, a série da 1a. diferença é estacionária.
Indica que o teste está sendo feito na 1a. diferença da série
Indica que estamos fazendo o teste DF (e não o ADF) , ou seja, número de lags = 0 nas diferenças do lado direito da equação
189Econometria – Semestre 2010.01 189
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
5) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento para a série de 1a. diferença das
exportações
Veja o quadro a seguir para verificar como se implementa o teste no Eviews:
Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.348840 0.0000 Test critical values: 1% level -3.544063
5% level -2.910860 10% level -2.593090
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Novamente, a estatística Tau (‐7,35) é inferior aos valores críticos a 1 e 5%, e rejeitamos a
hipótese nula. Assim a série da 1a. diferença é estacionária.
6) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento e tendência para a série de 1a.
diferença das exportações
Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.284629 0.0000 Test critical values: 1% level -4.118444
5% level -3.486509 10% level -3.171541
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Novamente, a estatística Tau (‐7,28) é inferior aos valores críticos a 1 e 5%, e rejeitamos a
hipótese nula. Assim a série da 1a. diferença é estacionária.
190Econometria – Semestre 2010.01 190
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Teste Dickey‐Fuller aumentado (teste ADF)
O teste original de Dickey e Fuller supõe que o processo yt é um AR(1) e pode ser estendido para
incorporar ao modelo a presença de novos “lags” da variável Yt. Isso leva aos chamados testes ADF
(Augmented Dickey‐Fuller Tests), cuja aplicação segue, em linhas gerais, o mesmo mecanismo que
o teste Dickey‐Fuller original.
O grande problema na aplicação dos testes ADF talvez seja, exatamente, a especificação de
quantas defasagens incluir na equação a ser testada, ou seja, a ordem do modelo AR(p) a ser
estimado para Yt.
O teste ADF consiste em estimar a regressão:
Onde εt é um ruído branco e ΔYt‐1 = Yt‐1 ‐ Yt‐2 (analogamente para outras defasagens).
O número de defasagens a incluir na equação (21.9.9) é, em geral, determinado empiricamente. A
idéia é incluir um número suficiente de termos para que o erro não apresente correlação serial.
Uma estratégia é escolher um número suficientemente grande de defasagens, e usar os termos
até a defasagem mais alta significante. Por exemplo, no caso de dados mensais, ajuste o modelo
com um número de defasagens m > 12. Uma outra idéia é minimizar algum um critério de
informação, como AIC ou BIC, para a escolha do número de defasagens. O Eviews usa esta
estratégia.
Uma regra empírica sugerida por Schwert (1989) é escolher m igual à parte inteira de
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4/1
10012 N
onde N é o tamanho da série. Por exemplo, se N = 100 observações, isso nos daria m
= 12 lags, se N=200, teríamos m = int(14,27) = 14 lags.
No teste ADF, a hipótese nula é ainda H0: δ = 0 e os valores críticos são os mesmos do teste
Dickey‐Fuller original.
191Econometria – Semestre 2010.01 191
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Exemplo – série de exportações brasileiras – continuação
Já vimos que a série de exportações é I(1) e o modelo que parece mais adequado é o com
tendência e deslocamento, dado pela equação (21.9.5). A partir deste modelo adicionamos novos
lags e executamos o teste ADF. A especificação do número de “lags” será feita automaticamente
pelo Eviews (veja a figura a seguir).
Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.820128 0.6824 Test critical values: 1% level -4.121303
5% level -3.487845 10% level -3.172314
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 20:01 Sample(adjusted): 1995:3 2010:1 Included observations: 59 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) -0.147365 0.080964 -1.820128 0.0743
D(EXPORTS(-1)) 0.125435 0.105485 1.189124 0.2396D(EXPORTS(-2)) -0.597411 0.106063 -5.632601 0.0000
C 493.5868 909.3323 0.542801 0.5895@TREND(1994:4) 111.9188 57.17440 1.957499 0.0555
R-squared 0.479804 Mean dependent var 466.2914Adjusted R-squared 0.441271 S.D. dependent var 4320.675S.E. of regression 3229.626 Akaike info criterion 19.07906Sum squared resid 5.63E+08 Schwarz criterion 19.25512Log likelihood -557.8322 F-statistic 12.45176Durbin-Watson stat 1.986022 Prob(F-statistic) 0.000000
192Econometria – Semestre 2010.01 192
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
A equação estimada é:
ΔYt = 493,59 +111,92.t ‐ 0,1474.Yt‐1 + 0,1254. ΔYt‐1 ‐ 0,5974. ΔYt‐2
O valor da estatística Tau é –1,82, e os valores críticos da estatística Dickey‐Fuller aos níveis 1% e
5% são, respectivamente, ‐4,12 e –3,48. Logo, a estatística Tau é maior que os valores críticos e
não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária, ou seja, a série não é estacionária.
Neste modelo, o valor estimado de ρ é 1 – 0,1474 = 0,8526, bem diferente dos modelos
anteriores.
Críticas aos testes de raiz unitária
Antes de discutir os problemas relativos a estes testes, lembre‐se das definições de tamanho e
potência de um teste.
Tamanho de um teste (α)
O tamanho de um teste (ou nível de significância do teste) é a sua probabilidade de erro do
tipo I, ou seja, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No caso
dos testes ADF, é a probabilidade de dizer que a série é estacionária quando, na verdade,
ela não é estacionária.
Potência de um teste
Para um teste de hipóteses genérico a respeito de um parâmetro θ, a função potência é a
probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando o valor do parâmetro é θ, escrita K(θ). Um
erro do tipo II é cometido quando rejeitamos a hipótese nula e ela é falsa, ou seja, é o
máximo valor da função potência quando H0 é falsa. A potência do teste, por sua vez, é
definida como um menos o erro do tipo II. Assim, idealmente, gostaríamos que a
potência do teste fosse a maior possível, pois ela significa rejeitar H0 quando H0 é falsa.
No caso dos testes ADF, alta potência significa alta probabilidade de dizer que a série é
estacionária (i.e, rejeitar H0) quando H0 é falsa, isto é, quando a série é realmente
estacionária.
193Econometria – Semestre 2010.01 193
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
A maioria dos testes Dickey‐Fuller tem baixa potência, isto é, tende a aceitar a hipótese de
raiz unitária quando ela é falsa. Ou seja, os testes encontram uma raiz unitária mesmo
quando a série não a tem.
21.8. COINTEGRAÇÃO
Em geral, a regressão de uma série não estacionária em outra produz uma regressão espúria.
Engle e Granger (1987) mostraram que existem situações em que duas (ou mais) variáveis não
estacionárias do tipo random walk podem ser empregadas diretamente num modelo de
regressão. Eles notaram que uma combinação linear de duas ou mais séries não estacionárias
pode ser estacionária. Se tal combinação linear estacionária existe, as séries não estacionárias
são ditas cointegradas, e esta combinação linear é chamada de equação de cointegração,
podendo ser interpretada como uma relação de equilíbrio de longo prazo entre as variáveis.
Por exemplo, sejam Yt e Xt dois passeios aleatórios, e suponha que exista ut = Yt – λ.Xt estacionária.
Neste caso, Yt e Xt são chamadas de cointegradas e λ é o parâmetro de cointegração, que pode
ser estimado por uma regressão por mínimos quadrados ordinários de Yt em Xt. Um ponto
importante é: duas séries cointegradas requerem, obrigatoriamente, a mesma ordem de
diferenciação para alcançar a estacionariedade. Por exemplo, se Yt é I(2) e Xt é um candidato a
cointegrar com Yt, então obrigatoriamente Xt deve ser I(2).
O propósito dos testes de cointegração é determinar se um conjunto de séries não estacionárias é
ou não cointegrado. Em linhas gerais, cointegração significa que existe um “co‐movimento” entre
variáveis que exibem tendência. Duas variáveis cointegradas apresentam uma relação de
equilíbrio de longo prazo.
Considere uma série temporal Yt não estacionária, que se torna estacionária após a aplicação
sucessiva de d diferenças. Neste caso dizemos que Yt é integrada de ordem d, e denotamos Yt ~
I(d). Séries integradas possuem uma componente de tendência estocástica, e a aplicação de
choques a estas séries resulta em alterações permanentes nas mesmas.
194Econometria – Semestre 2010.01 194
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
A identificação do grau apropriado de diferenciação (d) é normalmente feita através da FAC
(função de autocorrelação) de Yt. Aplicam‐se diferenças sucessivas até que a FAC decaia com
suficiente rapidez. Este procedimento tem, no entanto, certo grau de subjetividade, pois o analista
deve determinar se o decaimento da FAC, após um dado número de diferenças, já é
suficientemente “rápido” para que a série diferenciada seja considerada estacionária. Um
procedimento alternativo é testar a ordem de integração de Yt, o que constitui os chamados testes
de raiz unitária, como o Dickey‐Fuller e o ADF. O nome dos testes deriva do fato do número de
raízes sobre o círculo unitário (raízes unitárias) corresponder ao número de diferenças necessário
para tornar uma série I(d) estacionária.
Segundo Tsay (2002), um procedimento adequado na modelagem de séries temporais não
estacionárias é reconhecer a ordem de integração das séries de interesse e identificar um modelo
ARMA para os resíduos. Estes, naturalmente, devem ser estacionários, portanto sua
autocorrelação deve decair rapidamente. A modelagem ARMA dos resíduos é necessária pois ao
ajustarmos um modelo de regressão a duas séries temporais, freqüentemente os resíduos do
modelo original ainda apresentam correlação serial. Esta correção posterior assegura que os
resíduos corrigidos serão descorrelatados.
Cointegração na prática
Suponha que você observou que duas séries Yt e Xt são I(1). Faça a regressão por MQO de Yt em Xt
e obtenha os resíduos. Isto é:
ttt uXY ++= .λα
Teste a estacionariedade dos resíduos. Se eles forem I(0), ou seja, estacionários, Yt e Xt
cointegram, a equação obtida por MQO é a relação de cointegração e os testes t e F usuais podem
ser aplicados sem problemas. A equação acima é chamada de regressão co‐integrante e o
parâmetro λ é o parâmetro de cointegração.
Exemplo – importações e exportações brasileiras
Já vimos que a série de exportações é I(1), e possivelmente a melhore especificação para ela tem
“drift” e tendência determinística. Vamos verificar se a série de importações é também I(1), pois
isso abre a possibilidade das duas séries cointegrarem (lembre‐se que se elas tiverem ordens de
integração diferentes, não irão cointegrar).
195Econometria – Semestre 2010.01 195
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Os testes Dickey‐Fuller para a série de importações são mostrados a seguir:
1) Teste DF – hipótese de passeio aleatório – Equação (21.9.2)
Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.648838 0.8537 Test critical values: 1% level -2.603423
5% level -1.946253 10% level -1.613346
*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:05 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) 0.012995 0.020028 0.648838 0.5189
R-squared -0.011190 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared -0.011190 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3259.039 Akaike info criterion 19.03251Sum squared resid 6.37E+08 Schwarz criterion 19.06711Log likelihood -579.4916 Durbin-Watson stat 1.535624
Não rejeitamos a hipótese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA. Note também o coeficiente positivo
de Yt‐1, que indicaria que a série tem comportamento explosivo.
2) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento – Equação (21.9.4)
Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.637525 0.8539 Test critical values: 1% level -3.542097
5% level -2.910019 10% level -2.592645
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:14 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) -0.028652 0.044942 -0.637525 0.5262
C 969.1208 936.3589 1.034989 0.3049
196Econometria – Semestre 2010.01 196
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
R-squared 0.006842 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared -0.009992 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3257.107 Akaike info criterion 19.04730Sum squared resid 6.26E+08 Schwarz criterion 19.11651Log likelihood -578.9428 F-statistic 0.406438Durbin-Watson stat 1.499999 Prob(F-statistic) 0.526250
Não rejeitamos a hipótese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA.
3) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento e tendência – Equação (21.9.5)
Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.954147 0.6140 Test critical values: 1% level -4.115684
5% level -3.485218 10% level -3.170793
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:16 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) -0.128472 0.065743 -1.954147 0.0555
C 644.7266 926.1794 0.696114 0.4891@TREND(1994:4) 70.53214 34.64881 2.035630 0.0464
R-squared 0.073066 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared 0.041103 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3173.651 Akaike info criterion 19.01108Sum squared resid 5.84E+08 Schwarz criterion 19.11490Log likelihood -576.8380 F-statistic 2.285942Durbin-Watson stat 1.459026 Prob(F-statistic) 0.110768
Novamente, não rejeitamos a hipótese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA.
Assim, como as séries são ambas I(1), podemos tentar fazer a regressão de uma variável noutra.
Neste caso tentaremos explicar “exportações” através de “importações”.
197Econometria – Semestre 2010.01 197
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
O modelo ajustado é:
Dependent Variable: EXPORTS Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:03 Sample: 1994:4 2010:1 Included observations: 62
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -773.9056 1288.245 -0.600744 0.5503
IMPORTS 1.237658 0.060675 20.39826 0.0000R-squared 0.873973 Mean dependent var 22706.81Adjusted R-squared 0.871873 S.D. dependent var 12722.75S.E. of regression 4554.092 Akaike info criterion 19.71717Sum squared resid 1.24E+09 Schwarz criterion 19.78578Log likelihood -609.2322 F-statistic 416.0889Durbin-Watson stat 0.286903 Prob(F-statistic) 0.000000
Nota: vide Gujarati (pp.660‐661) – nas regressões co‐integrantes o valor da Durbin‐Watson
tende a ser pequeno e ele propõe um teste baseado na hipótese d = 0 para verificar se as
variáveis são cointegradas.
Note o altíssimo valor do R2 e o baixíssimo valor da Durbin‐Watson. Isso poderia indicar uma
regressão espúria. Mas, já sabemos que as duas séries são I(1), e assim existe a possibilidade de
que esta regressão seja “verdadeira”. Precisamos examinar os resíduos desta regressão e verificar
se são estacionários.
Null Hypothesis: RESID_REGR_EXPORT_IMPOR has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.886520 0.0570 Test critical values: 1% level -2.603423
5% level -1.946253 10% level -1.613346
*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_REGR_EXPORT_IMPOR) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:28 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. RESID_REGR_EXPO
RT_IMPOR(-1) -0.129668 0.068734 -1.886520 0.0641
R-squared 0.054975 Mean dependent var -79.45504Adjusted R-squared 0.054975 S.D. dependent var 2438.006S.E. of regression 2370.043 Akaike info criterion 18.39546Sum squared resid 3.37E+08 Schwarz criterion 18.43007Log likelihood -560.0616 Durbin-Watson stat 2.056164
198Econometria – Semestre 2010.01 198
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Rejeita‐se a hipótese nula de que δ = 0 ao nível 5,7% , e portanto podemos supor que, para este
nível a série é estacionária. Note que não rejeitamos a hipótese nula nos níveis 1% e 5% (mas
rejeitamos no nível 10% ‐ o nível de significância do teste é 5,7% como mostrado no início da
tabela).
Assim, podemos concluir que a regressão entre “exportações” e “importações” não é espúria, e
podemos escrever:
EXPORTt = ‐773,9056 + 1,2377*IMPORTt
Exemplo 2 – IPCA e SELIC
Neste exemplo analisamos a existência de raízes unitárias nas séries mensais do IPCA (inflação) e
SELIC (taxa básica de juros) no período entre janeiro de 1995 e maio de 2010. O gráfico das duas
séries é mostrado a seguir.
-1
0
1
2
3
4
5
96 98 00 02 04 06 08
SELIC IPCA
SELIC E IPCA (VARIAÇÃO % MENSAL)
Os correlogramas das duas séries estão nas próximas figuras.
199Econometria – Semestre 2010.01 199
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
1) Correlograma de IPCA (variação percentual mensal)
2) Correlograma de SELIC (variação percentual mensal)
Os correlogramas sugerem que ambas as séries não são estacionárias.
200Econometria – Semestre 2010.01 200
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
3) Teste de raiz unitária para SELIC
3.1) Teste DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleatório
Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.895728 0.0555 Test critical values: 1% level -2.577590
5% level -1.942564 10% level -1.615553
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:32 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. SELIC(-1) -0.018833 0.009934 -1.895728 0.0596
R-squared 0.015702 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.015702 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.235577 Akaike info criterion -0.048142Sum squared resid 10.15582 Schwarz criterion -0.030669Log likelihood 5.429048 Durbin-Watson stat 2.185729
Estatística Tau = ‐1,896, que está entre os valores críticos 5% e 10%. Na verdade (vide tabela),
rejeita‐se a hipótese nula δ = 0 com nível 5,7%. Ou seja, com nível 5,7% (e maior) pode‐se dizer
que a série é estacionária (mas não com níveis menores que 5,7%).
3.2) Teste DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento
Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.770365 0.0646 Test critical values: 1% level -3.465977
5% level -2.877099 10% level -2.575143
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:38 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
201Econometria – Semestre 2010.01 201
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
SELIC(-1) -0.064982 0.023456 -2.770365 0.0062C 0.088866 0.041005 2.167193 0.0315
R-squared 0.040464 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.035191 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.233233 Akaike info criterion -0.062751Sum squared resid 9.900334 Schwarz criterion -0.027806Log likelihood 7.773099 F-statistic 7.674924Durbin-Watson stat 2.140704 Prob(F-statistic) 0.006180
Estatística Tau = ‐2,77, que está entre os valores críticos 5% e 10%. Na verdade (vide tabela),
rejeita‐se a hipótese nula δ = 0 com nível 6,5%. Ou seja, com nível 6,5% (e maior) pode‐se dizer
que a série é estacionária.
3.3) Teste DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento e
tendência
Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.739908 0.0221 Test critical values: 1% level -4.008706
5% level -3.434433 10% level -3.141157
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:41 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. SELIC(-1) -0.134727 0.036024 -3.739908 0.0002
C 0.315645 0.098506 3.204309 0.0016@TREND(1995:01) -0.001255 0.000497 -2.524400 0.0124
R-squared 0.073098 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.062856 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.229864 Akaike info criterion -0.086484Sum squared resid 9.563621 Schwarz criterion -0.034066Log likelihood 10.95649 F-statistic 7.137040Durbin-Watson stat 2.066120 Prob(F-statistic) 0.001039
Rejeita‐se a hipótese nula a nível 2,2%.
202Econometria – Semestre 2010.01 202
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Em todos as especificações, a hipótese nula foi rejeitada com nível abaixo de 10%, e portanto
concluímos que a série é estacionária, ou seja, não apresenta raiz unitária.
4) Teste de raiz unitária para IPCA
4.1) Teste DF para a IPCA usando a especificação de passeio aleatório
Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.664179 0.0003 Test critical values: 1% level -2.577590
5% level -1.942564 10% level -1.615553
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:44 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.124316 0.033927 -3.664179 0.0003
R-squared 0.068051 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.068051 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.371745 Akaike info criterion 0.864205Sum squared resid 25.28962 Schwarz criterion 0.881677Log likelihood -78.50685 Durbin-Watson stat 2.077836
A hipótese nula é claramente rejeitada – a série é estacionária.
4.2) Teste DF para o IPCA usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento
Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.495379 0.0000 Test critical values: 1% level -3.465977
5% level -2.877099 10% level -2.575143
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:46 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05
203Econometria – Semestre 2010.01 203
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Included observations: 184 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.272889 0.049658 -5.495379 0.0000
C 0.159234 0.040112 3.969725 0.0001R-squared 0.142315 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.137603 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.357605 Akaike info criterion 0.792033Sum squared resid 23.27438 Schwarz criterion 0.826978Log likelihood -70.86708 F-statistic 30.19919Durbin-Watson stat 1.943289 Prob(F-statistic) 0.000000
Novamente, nesta especificação concluímos que não há raiz unitária e a série é I(0).
4.3) Teste DF para o IPCA usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento e
tendência
Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.706429 0.0000 Test critical values: 1% level -4.008706
5% level -3.434433 10% level -3.141157
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:47 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.297889 0.052202 -5.706429 0.0000
C 0.247059 0.070754 3.491780 0.0006@TREND(1995:01) -0.000785 0.000522 -1.504349 0.1342
R-squared 0.152907 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.143546 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.356370 Akaike info criterion 0.790477Sum squared resid 22.98697 Schwarz criterion 0.842895Log likelihood -69.72392 F-statistic 16.33592Durbin-Watson stat 1.919151 Prob(F-statistic) 0.000000
Novamente rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a série é I(0).
204Econometria – Semestre 2010.01 204
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
5) Modelo para SELIC como função do IPCA
O fato das duas séries serem estacionárias nos permite então fazer a regressão de SELIC em IPCA
sem que esta regressão seja espúria.
Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:50 Sample: 1995:01 2010:05 Included observations: 185
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.158634 0.071328 16.24383 0.0000
IPCA 0.697375 0.088474 7.882287 0.0000R-squared 0.253459 Mean dependent var 1.582525Adjusted R-squared 0.249379 S.D. dependent var 0.735616S.E. of regression 0.637326 Akaike info criterion 1.947681Sum squared resid 74.33173 Schwarz criterion 1.982495Log likelihood -178.1605 F-statistic 62.13045Durbin-Watson stat 0.275397 Prob(F-statistic) 0.000000
Os resíduos desta regressão são estacionários, como mostra o teste de raiz unitária abaixo (fiz o
teste apenas para a especificação de passeio aleatório).
Null Hypothesis: RESID_1 has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.800640 0.0002 Test critical values: 1% level -2.577590
5% level -1.942564 10% level -1.615553
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_1) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 18:38 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. RESID_1(-1) -0.142425 0.037474 -3.800640 0.0002
R-squared 0.072414 Mean dependent var -0.009450Adjusted R-squared 0.072414 S.D. dependent var 0.334323S.E. of regression 0.321991 Akaike info criterion 0.576834Sum squared resid 18.97311 Schwarz criterion 0.594306Log likelihood -52.06871 Durbin-Watson stat 2.102549
Assim, conclui‐se que podemos usar a variação mensal do IPCA para tentar explicar a variação
mensal da SELIC.
205Econometria – Semestre 2010.01 205
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
A regressão não é espúria, mas a estatística de Durbin‐Watson é muito baixa, indicando a
existência de correlação serial de 1a ordem nos resíduos. Vamos tentar melhorar isso incluindo
alguns “lags” de IPCA na especificação do modelo.
Este modelo foi ajustado, mas não garantirei que é ótimo, ou o “melhor”, sob qualquer critério. Os
resíduos parecem ter um comportamento bastante bom, e o O ajuste da regressão melhorou
sensivelmente (em termos de R2, log‐verossimilhança, soma de quadrados dos resíduos, critérios
AIC e Schwarz).
Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 20:12 Sample(adjusted): 1996:01 2010:05 Included observations: 173 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.176641 0.011374 103.4467 0.0000
IPCA 0.022309 0.017261 1.292420 0.1980IPCA(-1) 0.064427 0.020364 3.163795 0.0019IPCA(-2) 0.059989 0.016710 3.590057 0.0004IPCA(-9) 0.207167 0.011750 17.63117 0.0000IPCA(-12) 0.096422 0.011696 8.244047 0.0000
R-squared 0.836087 Mean dependent var 1.439994Adjusted R-squared 0.831179 S.D. dependent var 0.178938S.E. of regression 0.073522 Akaike info criterion -2.348403Sum squared resid 0.902711 Schwarz criterion -2.239040Log likelihood 209.1369 F-statistic 170.3664Durbin-Watson stat 2.087612 Prob(F-statistic) 0.000000
Note que o IPCA no mesmo instante não foi considerado significante, e então decidi exclui‐lo do
modelo, resultando no modelo a seguir:
Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 20:15 Sample(adjusted): 1996:01 2010:05 Included observations: 173 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.179554 0.011171 105.5905 0.0000
IPCA(-1) 0.079107 0.016935 4.671122 0.0000IPCA(-2) 0.058429 0.016699 3.498877 0.0006IPCA(-9) 0.208055 0.011753 17.70182 0.0000IPCA(-12) 0.098622 0.011595 8.505857 0.0000
R-squared 0.834447 Mean dependent var 1.439994Adjusted R-squared 0.830506 S.D. dependent var 0.178938S.E. of regression 0.073668 Akaike info criterion -2.350011Sum squared resid 0.911740 Schwarz criterion -2.258876Log likelihood 208.2760 F-statistic 211.6957Durbin-Watson stat 2.072298 Prob(F-statistic) 0.000000
206Econometria – Semestre 2010.01 206
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Houve uma ligeira melhora em termos do BIC e AIC (que penalizam o número de variáveis no
modelo) e uma ligeira piora em termos da log‐verossimilhança. A grande vantagem é que este
modelo pode ser usado para previsão um passo à frente – se conhecermos a variação do IPCA no
mês t podemos prever a variação da SELIC no mês t +1.
O próximo gráfico mostra a evolução temporal dos resíduos e o gráfico seguinte o seu
correlograma ‐ eles parecem estacionariedade dos resíduos!
Resíduos, SELIC real e SELIC ajustada pelo modelo
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
Residual Actual Fitted
Correlograma dos Resíduos
207Econometria – Semestre 2010.01 207
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Eis alguns comentários.
Existem diversas quebras estruturais na série da variação da SELIC, pontos em que a taxa
subiu abruptamente – a inclusão de variáveis “dummy” para levar em conta estas
mudanças radicais seria uma boa idéia;
As duas séries são estacionárias de acordo com os testes DF, mas pode haver problemas
nas suas variâncias.
Na verdade, era até esperado que estas séries (IPCA e SELIC) não apresentassem tendência
clara para cima ou para baixo, pois elas são as variações mensais, tanto ad SELIC quanto do
IPCA, ou seja, é como se pegássemos um “número índice” e fizéssemos a série das
diferenças.
Seria tentador modelar as duas séries nas escalas do log, mas o IPCA teve variação negativa
em pelo menos um mês no período, o que impede o uso do log. Sempre poderíamos tentar
um modelo do tipo log(k+SELIC) em log(k+IPCA) onde k é suficiente para que IPCA não seja
negativo em qualquer mês, mas acho que isso dificulta a compreensão do modelo.
Finalmente, se fosse fácil modelar isso, EU seria milionária (e vocês também, a esta
altura...), e o BACEN não sofreria tantas críticas por elevar a taxa de juros, supostamente
na hora errada...
Co‐integração e o mecanismo de correção de erro
Considere novamente o modelo para exportações como função das importações. Já vimos que as
duas séries são I(1) e existe uma regressão co‐integrante.
Considere agora o seguinte modelo nas primeiras diferenças:
ΔEXPORTt = α0 + α1*ΔIMPORTt + α2*ut‐1 + εt
Onde εt é um erro aleatório e ut‐1 é o erro da equação co‐integrante DEFASADO em um instante,
ou seja, é o erro da equação em nível DEFASADO em um instante, isto é:
12111 −−− −−= ttt IMPORTEXPORTu ββ
A equação em diferenças acima é chamada de equação do mecanismo de correção de erro. Ela
diz que:
208Econometria – Semestre 2010.01 208
P r o f e s s o r a M ô n i c a B a r r o s ENCE
Espera‐se que o coeficiente α2 do termo de correção de erro seja NEGATIVO para garantir
o retorno ao ponto de equilíbrio. O valor deste coeficiente indica a rapidez com que o
equilíbrio é alcançado.
ΔEXPORT depende de ΔIMPORT e do termo de erro de equilíbrio;
Se ut‐1 > 0 e ΔIMPORT = 0. Então EXPORTt‐1 estará ACIMA do seu valor de equilíbrio e
começará a cair no período seguinte para corrigir o erro de equilíbrio;
Analogamente, se ut‐1 < 0 (e então EXPORTt‐1 estará ABAIXO do seu valor de
equilíbrio), α2 .ut‐1 será positivo, o que levará EXPORTt a subir.
Ajustando a equação de correção de erro no Eviews temos:
Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 19:44 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -18.36249 308.0363 -0.059611 0.9527
D(IMPORTS) 1.127458 0.098448 11.45235 0.0000RESID01(-1) -0.108113 0.071703 -1.507792 0.1370
R-squared 0.697301 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared 0.686863 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 2384.062 Akaike info criterion 18.43893Sum squared resid 3.30E+08 Schwarz criterion 18.54274Log likelihood -559.3873 F-statistic 66.80484Durbin-Watson stat 2.149631 Prob(F-statistic) 0.000000
Nota: D(EXPORTS) e D(IMPORTS) são as 1as. Diferenças de EXPORTS e IMPORTS respectivamente, e
RESID01(‐1) é a série de resíduos da equação de EXPORTS em IMPORTS defasada de 1 instante. Da
tabela anterior vemos que o coeficiente α2 do termo de correção de erro é significante a nível 13%
e é igual a 0,0717. O termo constante não é significante nesta equação.
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