análise bayesiana de decisões aspectos práticos

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Material de apoio - desenvolvido por terceiros - ao curso de Cincias Atuariais

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  • 1. Analise Bayesiana de Decisoes Aspectos Praticos Helio S. Migon1 e Hedibert F. Lopes Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) 1 Endereco para correspondencia: Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Caixa Postal 68530, CEP 21945-970, Rio de Janeiro RJ - Brazil, Fax: 55-21-2290 1095, telefone: 55-21-2562-8290, emails: migon@im.ufrj.br e hedibert@im.ufrj.br

2. Prefacio Esta monograa tem origem em notas de aulas ministradas em cursos do bacharelado de Estatstica e do mestrado de Pesquisa Operacional da UFRJ. A motivacao para preparar este texto vem de duas fontes alterna- tivas. A primeira, e mais obvia, e a inexistencia de textos cobrindo esta sorte de conteudo num nvel adequado. Alem disso, as tentativas de se escrever sobre esse topico, ca no Brasil, foram sempre muito limitadas, nao passando, em geral, da descricao dos elementos basicos da teoria de decisao. A segunda, talvez de maior desao, decorre da inexistencia dessa disciplina nas nossas graduacoes de estatstica. Pretendemos que esta monograa colabore para reverter esta posicao paradoxal. Nossa proposta neste texto e combinar aspectos teoricos e praticos. O termo analise de decisoes e um reconhecimento de que a disciplina de tomada de decisoes vai alem da descricao dos formalismos matematicos, como por exemplo, a axiomatizacao da teoria de utilidade e os tecnicis- mos da inferencia estatstica. Alguns aspectos que merecem destaque sao a abordagem de modelos gracos: diagramas de inuencia e arvores de decisao e a introducao `a programacao dinamica estocastica. A discussao de metodos de maximizacao da utilidade esperada atraves de tecnicas de Monte Carlo e outro aspecto de extrema importancia pratica. Os meritos deste trabalho, esperamos, estao na forma como o material coletado de diversas fontes de extremo valor aplicado e teorico esta organizado. Den- tre os textos classicos que inuiram na organizacao desta monograa, i 3. ii destacamos DeGroot (1970), Lindley (1971), Bunn (1984) e, mais recen- temente, Clemen (1996) e French and Rios-Insua (2000). Como ja mencionamos, o nvel do livro e adequado para alunos de graduacao em Estatstica, Atuaria e Pesquisa Operacional, que tenham um mnimo de conhecimentos de Inferencia Estatstica. Sera util, tambem, para alunos de Administracao e Economia, em nvel de pos-graduacao. Embora pretendamos que este seja um livro texto em analise de decisoes, nessa versao nao inclumos exerccios selecionados ao nal dos captulos. O material como um todo pode ser aplicado em cursos de um perodo leti- vo, cerca de 45 horas. Os captulos 1, 2, 3 e 5 sao essenciais para principi- antes, pois introduzem nocoes elementares de teoria da decisao, bem como mecanismos de solucao e avaliacao de problemas de decisao (arvores de de- cisoes, diagramas de inuencia, analise de sensibilidade). Os captulos 4, 6 e 7 introduzem metodologia mais avancada. No captulo 4 introduzem- se, resumidamente, os fundamentos que tornam cienticamente coerente a teoria da decisao vista nos outros cap tulos. Os captulos 6 e 7 tratam, respectivamente, de problemas de decisoes sequenciais e da aplicacao de metodos Monte Carlo para a solucao do problema da maximizacao da utilidade esperada. Portanto, acreditamos que essa monograa possa ser exivelmente utilizada para cursos introdutorios (graduacao) bem como para cursos intermediarios (mestrado). Varias pessoas colaboraram, de uma forma ou de outra e em varios estagios, para tornar viavel a elaboracao desse trabalho. Alguns exem- plos mencionados neste texto tiveram origem em temas de iniciacoes cientcas e dissertacoes de mestrado que supervisionamos nos ultimos anos no IM e na COPPE/UFRJ. Destacamos a colaboracao de Alcione Miranda (doutoranda de Pesquisa Operacional) em aplicacoes do pacote DPL, alem da elaboracao de varios gracos, juntamente com Andre Luiz Silva e Lilian Migon. Agradecemos a Giovanni Parmigiani e Lurdes In- oue que, juntamente com o segundo autor (HFL), gentilmente cederam alguns captulos de seu livro Statistical Decision Theory, com publicacao 4. iii prevista para 2003. Finalmente agradecemos a Associacao Brasileira de Estatstica (ABE) - pela oportunidade de apresentar este conteudo no XV Simposio Nacional de Probabilidade e Estatstica (SINAPE). Certamente muitas omissoes e varios erros serao detectados pelos eventuais leitores, aos quais pedimos, desde ja, desculpas. Todas as crticas e comentarios serao seriamente con- sideradas e contribuirao para tornar mais completa uma proxima edicao revisada e ampliada deste material. Rio de Janeiro, 25 de marco de 2002. HSM e HFL 5. iv 6. Sumario 1 Introducao 3 1.1 Uma breve nota historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Sobrevoando o livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Notacao basica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Organizacao do Livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Conceitos Basicos 23 2.1 Elementos da analise de decisoes . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Especicando a funcao de perda . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Funcao de perda nao negativa . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Concavidade do risco de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Problema de decisao com e A nitos . . . . . . . . . . . 38 2.6 Revisitando a regra minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7 Problema de decisao usando dados . . . . . . . . . . . . . 46 2.8 Analise de risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9 Dominancia estocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Modelos Gracos 61 3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Redes Bayesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 Diagrama de inuencia e arvore de decisao . . . . . . . . . 68 v 7. vi SUM ARIO 3.4 Introducao ao DPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4 Probabilidade subjetiva e utilidade 89 4.1 Dutch book e regras escore . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2 Utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.1 Paradoxo de Saint Petersburg . . . . . . . . . . . . 98 4.2.2 Teorema de von NeumannMorgernstern . . . . . . 98 4.3 Multiplos atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.4 Medidas de aversao ao risco . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5 Analise de Sensibilidade 109 5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.2 Identicacao e estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3 Exemplo de analise preliminar de sensibilidade . . . . . . . 113 5.4 Conceitos basicos de analise de sensibilidade . . . . . . . . 118 5.5 Sensibilidade da distribuicao a priori . . . . . . . . . . . . 122 5.6 Sensibilidade conjunta: priori e utilidade . . . . . . . . . . 126 6 Programacao Dinamica 135 6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2 Uma classe de problemas de otimizacao . . . . . . . . . . . 136 6.3 Programacao dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.4 Arvore de decisao e programacao dinamica . . . . . . . . . 149 6.5 Opcoes reais: uma introducao . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7 MUE via metodos Monte Carlo 163 7.1 Aproximando U(d) via Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . 164 7.2 Ajuste da curva de utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.3 Simulando o modelo aumentado . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.3.1 Tempera simulada em problemas de decisao . . . . 168 7.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8. SUM ARIO vii 7.4.1 Tamanho amostral da Normal . . . . . . . . . . . . 171 7.4.2 Tamanho amostral da Binomial . . . . . . . . . . . 173 7.4.3 Debrilacao do coracao . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9. viii SUM ARIO 10. Lista de Figuras 1.1 Diagrama de inuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Arvore de decisao inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Solucao via arvore de decisao . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Valor monetario esperado. a1 - linha cheia; a2 - linha pon- tilhada; a3 - linha tracejada. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Decisoes sequenciais: diagrama de inuencia . . . . . . . . 11 1.6 Decisoes sequenciais: arvore de decisao . . . . . . . . . . . 20 1.7 Decisoes sequenciais: solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8 Diagrama de inuencia para informacao imperfeita . . . . 21 2.1 Funcoes de perda alternativas em problemas de estimacao: perda zero-um (linha cheia), perda quadratica (linha pon- tilhada) e perda absoluta (linha tracejada). . . . . . . . . . 31 2.2 Concavidade do risco de Bayes: n(A) < (gura da es- querda); n(A) = (gura da direita). . . . . . . . . . . . 38 2.3 Efeito da imprecisao sobre : incremento no risco de Bayes 39 2.4 Representacao graca de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Poliedro convexo; caso k = 2 e m = 6 . . . . . . . . . . . 43 2.6 Regra minimax - determinacao graca . . . . . . . . . . . 45 2.7 Regra minimax - determinacao graca . . . . . . . . . . . 46 2.8 Admissibilidade da regra de Bayes . . . . . . . . . . . . . . 47 2.9 Risco de Bayes - exemplo com dados . . . . . . . . . . . . 51 ix 11. x LISTA DE FIGURAS 2.10 F domina G estocasticamente em primeira ordem. . . . . . 57 2.11 G e um espalhamento de F com preservacao da media. . . 58 3.1 Rede Bayesiana: cada no refere-se a uma variavel aleatoria dicotomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2 Rede Bayesiana para o modelo fatorial. . . . . . . . . . . . 66 3.3 Modelo fatorial estatico no WinBugs. . . . . . . . . . . . . 67 3.4 DI para risco basico: decisao primaria (a), evento incerto () e consequencias (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.5 DI para poltica de risco basico . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.6 AD para investimento em ativo de risco: a decisao primaria seria investir ou nao, o evento incerto caracterizaria o suces- so ou fracasso do investimento e a consequencia seria o mont