statistica bayesiana

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Statistica bayesiana

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  • Appunti di analisi delle serie storiche

    Riccardo Jack Lucchetti

    23 febbraio 2015

  • ii

  • Indice

    Prefazione vii

    1 Introduzione 11.1 Cos un processo stocastico e a che serve . . . . . . . . . . . . . 11.2 Caratteristiche dei processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Qualche esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2 I processi ARMA 132.1 Loperatore ritardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Processi white noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Processi MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Processi AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Processi ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Uso dei modelli ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.6.1 Previsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6.2 Analisi delle caratteristiche dinamiche . . . . . . . . . . 36

    2.7 Stima dei modelli ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7.1 Tecniche numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7.2 Scelta degli ordini dei polinomi . . . . . . . . . . . . . . 412.7.3 Calcolo della verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.8 In pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3 Processi integrati 593.1 Caratteristiche delle serie macroeconomiche . . . . . . . . . . . 593.2 Processi a radice unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 La scomposizione di Beveridge e Nelson . . . . . . . . . . . . . 663.4 Test di radice unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.4.1 Distribuzione della statistica test . . . . . . . . . . . . . . 703.4.2 Persistenza di breve periodo . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.3 Nucleo deterministico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.4 Test alternativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.5 Usare il cervello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4.6 Un esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3.5 Regressione spuria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    iii

  • iv INDICE

    4 Processi VAR 814.1 Processi multivariati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 I processi VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3 Stima dei VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4 VAR integrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.5 Uso dei VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    4.5.1 Previsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.2 Analisi di causalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.5.3 Analisi dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5 Cointegrazione 1075.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Propriet dei vettori di cointegrazione . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3 Modelli a correzione derrore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.4 Il teorema di rappresentazione di Granger . . . . . . . . . . . . 116

    5.4.1 Un po di algebra matriciale . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.4.2 Il teorema vero e proprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.4.3 Nucleo deterministico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    5.5 Tecniche di stima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.5.1 La procedura di Johansen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5.2 Procedure alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    6 Processi a volatilit persistente 1336.1 I fatti stilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.2 Processi ARCH e GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    6.2.1 Processi ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.2.2 Processi GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.2.3 Stima dei GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    6.3 Un esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.4 Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    6.4.1 Distribuzioni non-normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.4.2 Effetti asimmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.4.3 EGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.4.4 GARCH-in-mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.4.5 IGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.4.6 Modelli multivariati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    7 Per approfondimenti 1517.1 In generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.2 Processi univariati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3 Processi VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.4 Processi I(1) e cointegrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527.5 Processi ad eteroschedasticit condizionale . . . . . . . . . . . . 153

    Bibliografia 154

  • Elenco delle figure

    1.1 Variazioni mensili della produzione industriale USA . . . . . . 71.2 Variazioni produzione industriale USA correlogramma . . . . 71.3 Inflazione USA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Inflazione USA correlogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Indice Nasdaq rendimenti giornalieri . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Indice Nasdaq Correlogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Indice Nasdaq rendimenti giornalieri in valore assoluto . . . 111.8 Indice Nasdaq Correlogramma dei valori assoluti . . . . . . . 11

    2.1 MA(1): = 0 (white noise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 MA(1): = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 MA(1): = 0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4 MA(1): Autocorrelazione di primo ordine in funzione di . . . 212.5 AR(1): = 0 (white noise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 AR(1): = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 AR(1): = 0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8 AR(2): 1 = 1.8; 2 = 0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9 Risposta di impulso per yt = yt1 0.5yt2 + et + 0.75et1 . . . 382.10 Produzione industriale negli USA (dal 1921) . . . . . . . . . . . 472.11 Logaritmo della produzione industriale negli USA (mensile) . . 482.12 Variazione percentuale della produzione industriale . . . . . . . 492.13 Correlogrammi della produzione industriale . . . . . . . . . . . 492.14 Risposte di impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.15 Previsioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.16 Rappresentazione grafica di un numero complesso . . . . . . . 55

    3.1 log(PIL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 log(PIL) e trend deterministico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3 Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4 log(PIL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5 Random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6 Funzione di densit del test DF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 Funzione di densit del test DF con intercetta . . . . . . . . . . 72

    4.1 Autovalori della companion matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 PIL e Consumi nellUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    v

  • vi ELENCO DELLE FIGURE

    4.3 Risposte di impulso non strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4 Risposte di impulso strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    5.1 VAR(1) stazionario: serie storiche simulate . . . . . . . . . . . . 1125.2 VAR(1) stazionario: serie storiche simulate diagramma XY . . 1125.3 Random walk: serie storiche simulate . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4 Random walk: serie storiche simulate diagramma XY . . . . . . 1145.5 Processo cointegrato: serie storiche simulate . . . . . . . . . . . 1145.6 Processo cointegrato: serie storiche simulate diagramma XY . 115

    6.1 Indice Nasdaq logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.2 Indice Nasdaq rendimenti giornalieri . . . . . . . . . . . . . . 1356.3 Rendimenti Nasdaq valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.4 Rendimenti Nasdaq distribuzione marginale . . . . . . . . . . 1366.5 Rendimenti Nasdaq residui e deviazione standard stimata . . 1446.6 Rendimenti Nasdaq serie standardizzata . . . . . . . . . . . . 1456.7 Distribuzioni alternative alla normale . . . . . . . . . . . . . . . 147

  • Prefazione

    Questo scritto era nato come dispensa per il mio corso di Econometria. Inquanto tale, non mi sono mai posto obiettivi particolarmente ambiziosi n perquanto riguarda il rigore, n per la completezza. Lobiettivo principale era,al contrario, quello di descrivere i concetti facendo perno principalmente sul-lintuizione del lettore, cercando di motivare nel modo pi esplicito possibilelintroduzione delle definizioni e dei risultati principali.

    Le cose, poi, si sono evolute nel tempo e la dispensa cresciuta: non laposso pi usare come tale nel corso di Econometria di base, ma la uso per cor-si pi avanzati. La filosofia di base per rimasta la stessa: un testo che si puleggere, oltrech studiare. Di conseguenza, a parte qualche eccezione, fa-r genericamente riferimento alla letteratura per spiegazioni, dimostrazionie approfondimenti, senza citare fonti specifiche. Questo perch ho ritenutopi utile, dato lo scopo che mi propongo, raggruppare le indicazioni biblio-grafiche in un ultimo capitolo, che avesse anche la funzion

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