carica e scarica del condensatore 5.1. q0 t c t soluzione. 5 risolti.pdf · , la carica del...

Fisica generale II, a.a. 2013/2014 TUTORATO 5: CARICA/SCARICA CONDENSATORE

1

CARICA E SCARICA DEL CONDENSATORE

5.1. Studiare la scarica del condensatore della figura che è connesso

alla resistenza al tempo t = 0 quando porta una carica Q(0) = Q0.

SOLUZIONE. A interruttore chiuso il voltaggio ai capi del

condensatore CtQtV /)( deve essere pari a quello ai capi della resistenza RtItV )( .

La corrente I(t) che esce dal condensatore è pari alla diminuzione della carica sul condensatore

C

tQ

t

tQR

tIt

tQ

RtIC

tQ

d

d

d

d

Passando alla forma integrale

∫

∫

(

)

Le grandezze variabili Q(t), I(t) e V(t) sono tra loro proporzionali e hanno lo stesso tipo di

smorzamento esponenziale

Il prodotto RC ha le dimensioni di un tempo:

[ ] [ ] [

] [

⁄] [ ]

Il prodotto RC è spesso indicato come e chiamato “costante di tempo” di carica/scarica del

condensatore.

5.2. Consideriamo il circuito della figura con Vg 6 V,

R 1 k , R1 5 k , C 1 F nel quale all’istante iniziale il

condensatore è scarico (Q(0) = 0) e viene chiuso il contatto

con la batteria. Determinare la corrente iniziale I(0) e quella

asintotica I() che circola nel circuito dopo un tempo

sufficientemente lungo dal collegamento con il generatore. Determinare inoltre la costante di tempo

di carica del condensatore.

I(t)

V(t) R C

V(t)/V(0)

Q(t)/Q(0)

I(t)/I(0)

t/RC 0 2

1

0

V(t) R1

+ +

C Vg

R


2

SOLUZIONE. Poiché Q(0) 0 la differenza di potenziale iniziale ai capi di C e di R1 sarà V(0) 0

e dalla batteria uscirà inizialmente la corrente I(0) Vg/R. Sostituendo i valori numerici si ha

Quando, dopo un tempo idealmente infinito, la carica del condensatore è completata, C non assorbe

più corrente; tutta la corrente uscente dalla batteria passa attraverso la serie di R e R1 e vale perciò

1

g)(

RR

VI

Sostituendo i valori numerici si ha

La differenza di potenziale V(t) ai capi del condensatore passa da zero, al tempo iniziale, al valore

asintotico

Dal punto di vista del condensatore, le due resistenze R e R1 sono connesse in parallelo ai suoi

“morsetti”; perciò la costante di tempo di carica sarà

μs833s6

005.0

106

1051010

3

336

1

1eq

RR

RRCRC

La legge di variazione temporale di V(t) è simile a quella della

scarica, ossia si passa dal valore iniziale V(0) = 0 a quello

asintotico V( ) = 5 V con un processo esponenziale avente

costante di tempo

t

CRR

RRt

eRR

RVeVtV 1

1

11)()(1

1g

Inserendo i valori assegnati ai parametri si ottiene il grafico della figura.

5.3. Una batteria con V 6 Ve una resistenza interna di Rin 0.2

viene collegata al tempo t 0 a un circuito formato dal parallelo tra

un condensatore di capacità C 2 mF e una resistenza R 10 . Tra

le seguenti affermazioni segnare con NO quelle sbagliate e con SÌ

quelle giuste:

(A) L’energia immagazzinata in C è sempre minore di (1/2)CV2

(B) La corrente che passa in R è nulla al tempo t 0 (C) L’energia complessivamente dissipata in Rin nel primo secondo è maggiore dell’energia immagazzinata nello stesso tempo in C (D) La corrente che passa in Rin è massima a t 0 (E) La potenza dissipata in R è sempre maggiore o uguale di quella dissipata in Rin

SOLUZIONE. Chiamiamo VC(t) la differenza di potenziale ai capi del condensatore in un generico

istante t. All’istante iniziale, il condensatore è scarico e la sua energia è nulla; l’energia

immagazzinata in C all’istante t è pari a

ed è massima quando C è completamente carico (idealmente dopo un tempo ∞) e non assorbe più

corrente. In questa situazione, VC(t = ∞) è pari alla caduta di potenziale ai capi di R e vale

V(t)

t (103s)

0 4 2

4

2

0

R C

V

Rin


3

La ddp ai capi di R è uguale a quella ai capi del condensatore ed è quindi nulla al tempo t = 0

quando il condensatore è scarico: inizialmente quindi in R non passa corrente: (B) vera. Per la

stessa ragione, al tempo t = 0 la corrente Iin(t = 0) che attraversa Rin è Iin(t = 0) = V/Rin; a un

generico istante t invece deve valere

Poiché la corrente che attraversa Rin decresce dal suo valor massimo al suo valore asintotico mentre

la corrente che attraversa R cresce dal valore 0 al suo valore asintotico, l’affermazione E) è falsa.

Per analizzare l’affermazione (C) consideriamo prima il circuito privo della resistenza R (ovvero,

poniamo R ) e indichiamo con Qa CV la carica asintoticamente raggiunta dal condensatore, tra

le cui armature vi sarebbe in questo caso una differenza di potenziale esattamente pari a V. Quando

il condensatore ha raggiunto una qualunque carica Q Qa, la sua energia è EC Q2/2C mentre il

lavoro complessivamente compiuto dal generatore per erogare tale carica è Eg QV. L’energia

complessivamente dissipata dalla resistenza Rin è la differenza tra il lavoro compiuto dal generatore

e l’energia immagazzinata dal condensatore:

C

Q

C

QQ

C

QQQ

C

QVQEE aa

Cg222

2

2

2

che è pertanto maggiore di EC fino a quando il condensatore non raggiunge un voltaggio asintotico

pari a quello del generatore. Si noti che questo ragionamento è indipendente dal valore di Rin:

caricare un condensatore con un generatore a voltaggio costante comporta sempre la dissipazione di

metà dell’energia totale fornita dal generatore. In presenza della resistenza R in parallelo a C, il

generatore deve compiere lavoro sia per caricare il condensatore, sia per far circolare la corrente su

R: la dissipazione su Rin aumenta quindi ulteriormente, e l’affermazione (C) è sempre vera.

5.4. A un condensatore carico si collega una resistenza R = 1 ; si osserva che dopo un tempo

t1/2 = 1 s il voltaggio ai capi del condensatore si è dimezzato rispetto al valore iniziale e che, nello

stesso tempo, sulla resistenza è stata dissipata un’energia E = 1 J. La capacità C del condensatore

vale circa

(A) 0.18 F (B) 0.36 F (C) 0.72 F (D) 1.44 F (E) _____ F

SOLUZIONE. Il condensatore si scarica secondo la legge

. Usando i dati del

problema con R e C in unità MKSA otteniamo:

5.5. Nel circuito della figura la forza elettromotrice del generatore è

V = 10 V mentre R1 = 20 , R2 = 5 e il condensatore di capacità

C = 0.001 F della figura è scarico al tempo t = 0. Tra le seguenti

affermazioni, indicare con SI quelle giuste e con NO quelle sbagliate.

(A) La potenza dissipata in R1 all’istante t = 0 non dipende da R2

(B) La potenza dissipata in R1 all’istante t = 0 non dipende da C se C0 (C) Quando il condensatore è completamente carico la potenza erogata dal generatore è W =20 W

(D) Quando il condensatore è completamente carico la corrente assorbita da C è nulla.

(E) Quando il condensatore è carico la sua energia vale 0.002 J

R2

+

C

R1

V


4

SOLUZIONE. All’istante iniziale t = 0 il condensatore è scarico e pertanto la ddp ai capi di C e di

R2 è nulla; ai capi di R1 c’è una ddp esattamente pari alla fem del generatore e la potenza dissipata

in R1 vale WR1(t = 0) = V2/R1 (A) vera. Anche l’affermazione (B) è vera per lo stesso motivo;

nel caso in cui la capacità del condensatore fosse nulla il circuito si ridurrebbe al generatore

collegato a due resistenze in serie, la corrente circolante sarebbe I = V/(R1+R2), la ddp ai capi di R1

sarebbe V = IR1 = R1V/(R1+R2) e WR1(t = 0, C = 0) = V2/R1 = R1V

2/(R1+R2)

2. Quando, dopo un

tempo idealmente infinito, la carica del condensatore è completata, C non assorbe più corrente,

quindi l’affermazione (D) è vera; tutta la corrente uscente dal generatore passa attraverso la serie di

R1 e R2 e vale perciò

21

)(RR

VI

(come nel caso in cui il condensatore avesse capacità nulla) e la potenza erogata dal generatore vale

mentre la differenza di potenziale ai capi del condensatore (pari a quella ai capi di R2) e l’energia da

esso immagazzinata valgono

(

)

5.6. Se nel circuito del problema precedente il generatore viene scollegato lasciando il circuito

aperto tra la terra e l’estremo sinistro di R1, la carica del condensatore si riduce alla metà in un

tempo di circa

(A) 20 ms (B) 18 ms (C) 7 ms (D) 5 ms (E) 3.5 ms

SOLUZIONE. Se il generatore viene scollegato come descritto, il condensatore è collegato alla

sola resistenza R2 e la sua costante di tempo vale

Usando la legge di scarica del condensatore:

(

)

5.7. Durante il processo di carica di un condensatore C, inizialmente scarico e collegato al tempo

t = 0 a un generatore continuo V mediante una resistenza R, la potenza utilizzata dal condensatore

per caricarsi è massima al tempo (in unità RC)

(A) 0 (B) 0.368 (C) 0.500 (D) 0.693 (E) 1

SOLUZIONE. Il condensatore si carica secondo la legge

(

)

(

)

e in esso fluisce una corrente pari a

La potenza W(t) utilizzata dal condensatore per caricarsi è il prodotto . Per

trovare il massimo di questa funzione deriviamola rispetto al tempo e cerchiamo gli zeri della

funzione derivata:

[

(

)]


5

(

)

5.8. In un condensatore C1 = 1 F isolato è immagazzinata

un’energia di 0.5 J; i suoi estremi sono collegati all’istante

iniziale, mediante una resistenza R = 2 , a un condensatore

C2 = 3F fra le cui armature vi è una differenza di potenziale

di 700 V, polarizzato come in figura . Tra le seguenti

affermazioni segnare quali sono vere e quali false:

(A) l’energia complessiva finale dei due condensatori è minore di quella iniziale

(B) la costante di tempo relativa al raggiungimento dell’equilibrio vale RC2

(C) la corrente fluisce da C1 verso C2

(D) la tensione ai capi di C1 diminuisce

(E) la tensione ai capi di C2 rimane costante

SOLUZIONE. La differenza di potenziale iniziale V1 ai capi del primo condensatore è

V100010

5.02

2J5.0)0(

61

2

111

V

VCE

Alla chiusura del circuito, poiché V1(0) > V2(0), la corrente fluisce da C1 verso C2 sino a che si

raggiunge il potenziale di equilibrio intermedio tra 700 V e 1000 V (risposte (C) e (D) corrette, E

errata). L’energia finale del sistema è necessariamente minore di quella iniziale ((A) corretta)

perché vi è passaggio di corrente attraverso la resistenza R con conseguente dissipazione di energia:

il calcolo si potrebbe fare calcolando il voltaggio finale Vfin, dall’equazione di conservazione della

carica complessiva: fin212211 )0()0( VCCVCVC ed esprimendo le energie in funzione di C

e V, ma non è necessario. La soluzione (B) è errata in quanto, durante il raggiungimento del

potenziale di equilibrio, la corrente percorre la serie di C1 e C2; la costante di tempo sarà 21

21

CC

CRC

.

5.9. Quale è falsa tra le seguenti affermazioni?

(A) Un condensatore che si sta caricando assorbe potenza.

(B) Un condensatore che si sta caricando immagazzina energia.

(C) Una resistenza elettrica percorsa da corrente produce sempre calore.

(D) All'incirca, solo la metà dell’energia immagazzinata da un condensatore può essere

riutilizzata in forma elettrica. (E) Caricando un condensatore con un generatore a voltaggio costante, il condensatore assorbe solo

la metà dell’energia erogata dal generatore.

SOLUZIONE. Le affermazioni (A), (B) e (C) sono certamente vere: il condensatore si carica

assorbendo una potenza W(t) = I(t)V(t), immagazzina un’energia E(t) = 0.5V2(t)C, mentre una

resistenza elettrica R percorsa da una corrente I(t) dissipa in calore in ogni istante (effetto Joule) una

potenza pari a W(t) = I2(t)R. Per valutare l’affermazione E, per caricare completamente un

condensatore con una carica Qtot un generatore a voltaggio costante V deve compiere un lavoro

Lgen = QtotV mentre l’energia finale del condensatore, tra le cui armature vi sarà alla fine una

differenza di potenziale pari a V, è Econd = 0.5QtotV. Dunque l’affermazione (E) è vera e metà del

lavoro compiuto dal generatore viene dissipato a causa della resistenza interna dello stesso.

L’affermazione (D) è invece falsa: tutta l’energia immagazzinata nel condensatore può essere

riutilizzata in forma elettrica (per esempio per caricare un altro condensatore): trascurando le

inevitabili perdite resistive di ogni circuito, a differenza del generatore un condensatore non ha una

resistenza interna e nell’erogare energia non subisce perdite per effetto Joule.

C1 C2

R +

+


6

5.10. Il condensatore C1 = 0.4 F ha inizialmente carica Q1 = 10 C e viene chiuso all’istante iniziale

sulla resistenza R = 10 in serie con un condensatore di capacità C2 = 0.2 F inizialmente scarico.

L’energia dissipata in R nel primo minuto dopo la connessione vale circa

(A) 83 J (B) 125 J (C) 63 J (D) 42 J (E)_______

SOLUZIONE. Il circuito chiuso è rappresentato in figura. C1 inizierà a scaricarsi caricando C2. La

differenza di potenziale ai capi di R, VR = I(t)R, è data in ogni

istante da

Inoltre, la diminuzione di carica su C1 in ogni intervallo dt deve

essere pari alla carica che attraversa R in dt:

D’altra parte, la somma delle cariche a ogni istante sui due condensatori deve essere pari a Q1:

Sostituendo nella prima equazione le due relazioni precedenti si ottiene:

Moltiplicando entrambi i membri per il prodotto C1C2 e procedendo con i calcoli otteniamo

( )

Passando alla forma integrale otteniamo la legge di scarica del condensatore C1:

∫

∫

[ (

)]

[

] (

)

Definendo

possiamo scrivere la legge di scarica di C1 come

Verifichiamo che “i conti tornino” per t = 0:

La corrente che attraversa R vale quindi

C1 C2

R +

+

I(t)


7

e l’energia dissipata in R nel primo minuto vale

∫

(

)

∫

(

)

[

]

(

)

(

) (

)

(

)

5.11. La costante di tempo secondo cui si spegne la corrente che passa nella resistenza R del

problema precedente è

(A) RC1 (B) RC2 (C) R(C1+C2) (D) 21

21

CC

CCR

(E) ______

SOLUZIONE. Vedi risoluzione problema precedente e risoluzione del problema 8.

5.12. Con riferimento al problema 10, la potenza dissipata in R al tempo t = 0 s vale circa

(A) 62.5 W (B) 125 W (C) 510 W (D)775 W (E)________

SOLUZIONE. Al tempo t = 0 s il condensatore C2 è scarico; su R passa una corrente pari a

e la potenza dissipata in R al tempo t = 0 s vale

5.13. Un alimentatore con V = 12 V e resistenza interna R1 = 4 viene chiuso

all’istante iniziale su di un condensatore C scarico in parallelo con una

resistenza R2. Dopo un secondo, la differenza di potenziale ai capi del

condensatore vale VAB = 1 V; dopo un minuto si ha VAB = 8 V. La resistenza R2

vale

(A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 20 (E) 40

SOLUZIONE. Come già visto (vedi soluzione esercizio 2) il condensatore si carica secondo la

legge

( )

Utilizzando i dati del problema possiamo ricavare il valore di :

( )

Poiché il voltaggio di 8 V viene raggiunto dal condensatore dopo un tempo (un minuto) molto

maggiore di , esso corrisponde in pratica al voltaggio asintotico raggiunto dal condensatore.

Quindi deve essere

5.14. Con riferimento al problema precedente, la capacità C del condensatore vale

(A) 0.19 F (B) 0.43 F (C) 0.82 F (D) 1.23 F (E) 2.81 F

A

C R2

+

R1

V

B


8

SOLUZIONE. Sostituendo i valori numerici nell’espressione di troviamo

5.15. Nel circuito della figura, il generatore di tensione

continua V viene collegato quando C1 e C2 sono scarichi. Se

C1 = 2C2, dire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e

quali false

(A) Il voltaggio su C2 tende asintoticamente al valore V/3

(B) Il voltaggio su C1 tende asintoticamente al valore V/3

(C) La potenza dissipata in R1 è sempre uguale a quella dissipata in R2 se le due resistenze sono

uguali.

(D) La potenza dissipata inizialmente in R1 è maggiore di quella dissipata inizialmente in R2

(E) La potenza dissipata su R2 tende a un valore limite diverso da zero per tempi sufficientemente

lunghi

SOLUZIONE. Le affermazioni (A) e (B) ed (E) sono false: dopo un tempo sufficientemente lungo,

il condensatore C1 avrà un voltaggio V pari a quello del generatore; nel circuito non circolerà più

corrente e il voltaggio su C2 sarà quindi nullo. Consideriamo le affermazioni (C) e (D):

inizialmente, il generatore carica C1; su R1 fluisce una corrente pari a dQC1(t)/dt mentre, poiché C2 è

ancora scarico, la differenza di potenziale ai capi di C2 e quindi di R2 è nulla e quindi su R2 non

fluisce alcuna corrente. Quindi l’affermazione (C) è falsa mentre l’affermazione (D) è l’unica vera.

5.16. È dato il circuito in figura in cui le resistenze hanno il valore

R1 = R2 = 12 , R3 = R4 = 20 , mentre le forze elettromotrici valgono

V1 = 60 V, V2 = 12 V e V3 = 24 V. La potenza dissipata nella resistenza R3

vale

(A) 1.49 W (B) 192 W (C) 3.57 W (D) 5.45 W (E) ____

SOLUZIONE. Scelti i versi di percorrenza delle maglie rappresentati in

figura, deve essere:

Pertanto

5.17. Con riferimento al problema precedente, la potenza erogata (+) o assorbita () dal generatore

V2 vale

(A) 13.1 W (B) 13.1 W (C) 54.5 W (D) 240 W (E) 54.5 W

SOLUZIONE. Scelti i versi di percorrenza delle maglie rappresentati in figura, deve essere:

V R2

C1

C2

R1

+

V1

V2 V3

R1 R2

R3

R4

V1

V2 V3

R1 R2

R3

R4

I1 I2


9

+

R3

I V3

I4 R4

+

+ V1

R1 R5

V2

R2

I1

I2

I3

A

B

B

Nel generatore V2 entra la corrente totale Itot = I1+I2, pertanto la potenza da esso assorbita vale

(

)

5.18. E' dato il circuito in figura in cui le resistenze hanno il valore

R1 = R2 = 20 , R3 = 30 e R4 = 8 , mentre la forza elettromotrice vale

V1 = 12 V. La corrente I3 che circola nella resistenza R3 vale

(A) 0.18 A (B) 0.12 A (C) 96 Ma (D) 4.8 mA (E) _______

SOLUZIONE. La resistenza equivalente del circuito è

quindi la corrente erogata dal generatore vale

R2 e R3 costituiscono un partitore di corrente:

5.19. Dato il circuito in figura (ponte di Wheatstone) con VAVc = 7 V,

R1 = 2 , R2 = 1 , R3 = 0 , R4 = 4 , R5 = 4 , la differenza VAVB vale

(A) 1 V (B) 3 V (C) 4 V (D) 5 V (E) _______

SOLUZIONE.

Poiché R3 = 0, i punti C e D sono allo stesso potenziale: pertanto, R2 e R5

sono collegate in parallelo e

Il voltaggio del generatore è V = VAVc e nel ramo del circuito costituito da R1 in serie con il

parallelo di R2 e R5 passa una corrente I1 pari a

La differenza VAVB vale quindi

5.20. È dato il circuito in figura in cui le resistenze hanno i valori

R1 = R2= R3 = R4 = 20 , R5 = 40 , mentre le forze elettromotrici valgono

V1 = 30 V, V2 = V3 = 60 V. L’intensità della corrente I è

(A) 0.25 A (B) 0.25 A (C) 0.5 A (D) 0.5 A (E) 0.75 A

SOLUZIONE. Scriviamo le equazioni delle due maglie del circuito tenendo conto del fatto che

tutte le resistenze tranne R5 hanno lo stesso valore R1 e che V2 = V3 :

Sommandole membro a membro otteniamo:

Per la conservazione della corrente ai due nodi A e B devono valere le relazioni:

R3

+

R2

R1

V1

R4

+

B D

R4

R3

R1

R2

V

C

A

R5


10

Sostituendo l’ultima relazione nella precedente eliminiamo i valori incogniti delle correnti e

otteniamo I:

5.21. Nel circuito della figura VG = 120 V, VAB = 112 V e Ri = 1.6 .

Il rendimento del generatore (definito come rapporto fra potenza sul carico

e potenza del generatore) vale

(A) 0.5 (B) 0.8 (C) 0.93 (D) 1 (E) ____

SOLUZIONE. La potenza erogata dal generatore e quella sul carico R sono

rispettivamente

Il loro rapporto vale quindi

5.22. Nel circuito della figura la resistenza R è variabile, VG = 200 V,

Ri = 0.04 . Nel caso in cui sul carico R si abbia la massima potenza, il

generatore eroga una potenza di

(A) 250 W (B) 500 W (C) 16 kW (D) 17 kW (E) 500 kW

SOLUZIONE. Individuiamo dapprima per quale valore di R si ha sul carico la

massima potenza. La corrente che circola nel circuito è

e la differenza di potenziale ai capi del carico è

La potenza sul carico è quindi

Deriviamo WAB rispetto a R e poniamo la derivata uguale a zero per cercare il massimo della

funzione potenza:

(

)

La corrente che circola nel circuito è dunque, in queste condizioni:

e la potenza erogata dal generatore vale

NOTA: la risposta B segnata come corretta nei testi degli esercizi è ERRATA di 3 ordini di

grandezza e corrisponde a Rin = 4 .

+

VG

Ri

R

A

B

+

VG

Ri

R

A

B


11

5.23. Nel circuito della figura il generatore V = 84 V eroga complessivamente

140 W sulle quattro resistenze scelte in base alle seguenti esigenze:

1. la potenza dissipata su R1 è 4 volte quella dissipata su R2

2. la potenza dissipata su R4 è 1.5 volte quella dissipata su R3

3. la potenza dissipata su R3 è tre volte quella dissipata su R1

La potenza dissipata su R1 vale

(A) 4 W (B) 16 W (C) 48 W (D) 72 W (E) ______

SOLUZIONE. La potenza erogata dal generatore deve essere uguale alla somma delle potenze

dissipate sulle 4 resistenze. Scrivendo le relazioni tra queste ultime

ed esprimendo tutte le potenze in funzione di W1 si ha

∑

Quindi

5.24. Con riferimento al problema precedente, la resistenza R1 vale

(A) 9 (B) 36 (C) 72 (D) 108 (E) _________

SOLUZIONE. Chiamiamo V12 la differenza di potenziale ai capi di R1 e R2. Dalla relazione tra W1

e W2 ricaviamo quella tra R1 e R2:

Dal problema precedente conosciamo la somma W1+W2; la corrente erogata dal generatore vale

e attraversa il parallelo tra R1 e R2 cioè una resistenza equivalente pari a

Deve pertanto essere

(

)

(

)

5.25. Nel circuito della figura si ha un generatore rappresentabile come una sorgente di corrente

costante I = 1 A con una resistenza in parallelo RP = 20 . Tra le seguenti affermazioni, indicare

quali sono vere e quali false:

(A). Chiudendo l’interruttore tra R1 e R2 la potenza erogata dal generatore raddoppia

(B). Chiudendo l’interruttore tra R1 e R2 la potenza erogata

dal generatore si dimezza

(C). La potenza dissipata in Rp è massima prima della

chiusura dell’interruttore

(D). Dopo la chiusura dell’interruttore la potenza dissipata in Rp

diventa minore di quella dissipata in R1

(E). La potenza erogata dal generatore è uguale alla somma

delle potenze dissipate in Rp, R1 e R2 sia prima che dopo la

V R3 R2 R4

R1

I=1A R1=10

Rp=20 R2=10


12

chiusura dell’interruttore

SOLUZIONE. Consideriamo le affermazioni (A) e (B). Alla chiusura dell’interruttore, la serie

R1+R2 è collegata in parallelo a RP; la resistenza del circuito a interruttore chiuso vale quindi

Poiché la corrente erogata dal generatore è costante, la potenza erogata dal generatore

è direttamente proporzionale alla resistenza del circuito. Quindi (B) vera, (A) falsa. L’affermazione

(C) è vera: prima della chiusura dell’interruttore, tutta la corrente erogata dal generatore passa su

RP, mentre a interruttore chiuso parte della corrente attraversa il ramo costituito da R1+R2. Il

prodotto I2RP, cioè la potenza dissipata in RP, è quindi massimo a interruttore aperto.

L’affermazione (D) è falsa: a interruttore chiuso, RP = 20 è collegata in parallelo al ramo

R1+R2 = 20 . Ciascun ramo del circuito sarà attraversato dalla metà della corrente erogata dal

generatore, quindi la potenza dissipata in RP sarà uguale alla somma delle potenze dissipate in R1 e

R2 (in particolare, poiché R1 = R2, a interruttore chiuso si avrà WP = 2W1). L’affermazione (E) è

certamente vera: si tratta della legge di conservazione dell’energia! In particolare, a interruttore

aperto tutta la potenza erogata dal generatore viene dissipata su RP mentre a interruttore chiuso ogni

ramo del circuito dissipa metà della potenza erogata.

5.26. Nel circuito della figura la potenza dissipata in R1 è la metà di quella

dissipata in R2. La potenza erogata dal generatore è WG = 2.44 W, pari a

nove volte la potenza dissipata in R4 e a cinque volte quella dissipata in

R3. Se la corrente in R1 è I1 = 15 mA il valore di R1 è

(A) 134 (B) 241 (C) 1245

(D) 2490 (E) ______

SOLUZIONE. Chiamiamo V12 la differenza di potenziale ai capi di R1 e

R2. Dalla relazione tra W1 e W2 ricaviamo quella tra R1 e R2:

La corrente I erogata dal generatore si ripartisce nel parallelo tra R1 e R2 in modo che

La potenza W12 dissipata sul parallelo tra R1 e R2 è la differenza tra quella erogata dal generatore e

quella dissipata su R3 e R4:

e deve essere pari al prodotto I2Req con

Dunque

R1

R2 R3

R4 V

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