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Física 1Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Lei da Gravitação de Newton

(Vetores) Física 1 1 / 33

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Outline

1 Introdução

2 Leis de Kepler

3 Lei da Gravitação Universal

4 Energia Potencial Gravitacional


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Gravitação

A observação do céu e a tentativa de entender o movimento doscorpos celestes é uma das atividades mais antigas da humanidade.

Ptolomeu - 200 AC - órbitascirculares em torno da TerraCopérnico - 1543 - modeloheliocêntricoTycho Brahe - 1546-1601 - Tomoudados extremamente precisosKepler - 1618 - Três Leis de Keplercom base nos dados de BraheGalileo - 1609 - Usou o telescópio,observou 4 satélites de JúpiterNewton - 1687 - Lei da GravitaçãoUniversal


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Leis de Kepler

Primeira Lei de KeplerAs órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses,com o Sol em um dos focos.


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Elipse

Uma elipse é o conjunto depontos cujas somas dasdistâncias desses pontos aosfocos é constante.

Sendo a o semieixo maior e c a semidistância focal, definimos aexcentricidade

e

c

a

Se e 0 ‹ círculo.Quanto maior e mais achatada é a elipse.


c< >

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Sistema Solar

Planeta Semieixo Período e Inclinaçãomaior (UA) (anos) ( )

Mercúrio 0,39 0,24 0,21 7,00Vênus 0,72 0,62 0,01 3,39Terra 1,00 1,00 0,02 0,00Marte 2,77 1,88 0,09 1,85Júpiter 5,20 11,86 0,05 1,30Saturno 9,54 29,46 0,06 2,49Urano 19,19 84,07 0,05 0,77Netuno 30,06 164,80 0,01 1,77Plutão 39,60 248,60 0,25 17,15

1UA 1 5 1011m 1 5 108km 4000 Distancia Terra Lua

Distância Terra-Lua: 384.400 km(Vetores) Física 1 6 / 33

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Leis de Kepler

Segunda Lei de KeplerO raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais emtempos iguais

Isto significa que quando está na posição mais próxima do Sol(periélio) o planeta se desloca mais rapidamente do que quandoestá na posição mais afastada (afélio)


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Leis de Kepler

Terceira Lei de KeplerOs quadrados dos períodos de revolução de dois planetasquaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias médiasao Sol

T1 T22

R1 R23 ou R

3T

2 constante


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Newton

As Leis de Kepler foram um passo importante na compreensãodo movimento dos planetas, mas eram Leis empíricas obtidas apartir das observações de Brahe.Newton - Cambridge 1665: Peste eo grande incêncio de Londres. Nesseperíodo ele desenvolveu:m série binomialm fórmula da interpolação de Newtonm cálculo diferencialm teoria das coresm cálculo integralm Lei da Gravitação Universal

Até aí, não se tinha a noção de que as leis que governavam omovimento dos planetas eram aplicáveis a objetos “terrestres”.Foi nessa época que ele pensou que a mesma força gravitacionalque fazia com que “uma maçã caísse” era a responsável tambémpelos movimentos de corpos celestes longe da Terra.


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Lei da Gravitação Universal

Como a excentricidade das órbitas eram pequenas Newton usou aaproximação de órbitas circulares.Nesse caso, pela Segunda Lei de Kepler ele sabia que omovimento era uniforme e portanto a aceleração era centrípeta.Que Força causa essa aceleração?

a

c

v

2R r 2 R

2T

2R r 4 2

R T

2r

Pela Segunda Lei de Newton tem que ter uma força nessa direção:

F ma

c

4m 2R T

2r

3a Lei de Kepler:R

3T

2C constante ‹ F 4 2

Cm R

2r

3a Lei de Newton, o planeta exerce uma força igual e contráriasobre o Sol, então deveria também ser proporcional à M

Sol

:


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Lei de Newton da Gravitação

Lei da gravitação universal – Newton 1687“Cada partícula de matéria do universo atrai qualquer outra

com uma força diretamente proporcional ao produto de suas

respectivas massas e inversamente proporcional ao quadrado

da distância que as separa”.

F G

mM

R

2 r

onde G é uma constante Universal, vale para quaisquer objetosmassivos. Foi medida experimentalmente por Sir Cavendish em1798:

G 6 673 10 11Nm

2kg

2


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Força gravitacional de distribuição de massa

Esses resultados já estavam prontos há mais de 10 anos. Oproblema que Newton queria resolver era que esta dedução haviasido feita para duas massas pontuais. Precisava demonstrar queisso valeria também para uma distribuição uniforme de massa.Ele então desenvolveu o cálculo diferencial e integral edemonstrou que

Força gravitacional de distribuição de massa“A força de uma distribuição esfericamente simétrica sobre

uma partícula fora da distribuição é exatamente a força que

essa partícula sofreria se toda a massa da distribuição

estivesse concentrada em seu centro”.

se a distribuição tem massa total M e raio R, a força F sobre apartícula de massa m é

F G

mM

r

2 r r R


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Relação da Força Gravitacional com o Peso

Qual a relação entre a Lua e a Maçã?Um objeto perto da superfície da Terra sente a força

F G

mM

R

T

h

2

como h R

T

‹ F GmM R

2T

mg

usando M

T

5 97 1024kg , R

T

6 38 106m e

G 6 67 10 11Nm

2kg

2

obtemos g 9 8 N/kg


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A Terceira Lei de Kepler e a Segunda Lei de Newton

A Terceira Lei de Kepler pode ser obtida da Lei da GravitaçãoUniversal:

F G

mM

R

2 m

v

2

R

m

2 R T

2

R

G

mM

R

2 m

4 2R

T

2

T

2

R

34 2

GM

constante 2 97 10 19s

2m

3

Pode-se demonstrar que ela também é válida para órbitaselípticas substituindo R pelo semieixo maior.Note que essa constante é independente da massa do planetavalendo, portanto, para qualquer planeta.


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A 2a Lei de Kepler e a Cons. do Momento Angular

A Força Gravitacional é uma força central, portanto:

l M

p

r v constanteLembrando que r dr é a área do paralelogramo formado peloslados r e dr e observando que a área dA varrida pelo vetor r émetade da do paralelogramo:

dA

12

r dr

12

r vdt

L

2Mp

dt

dA

dt

L

2Mp

constante(Vetores) Física 1 15 / 33

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Exercício

Você observa a Estação Espacial Internacional (ISS), que está emuma órbita aproximadamente circular em torno da Terra. Se suaaltitude é 385km acima da superfície da terra, quanto tempovoce deve esperar para vê-la novamente?

M

T

5 97 1024kg

R

T

6 38 106m

G 6 67 10 11Nm

2kg

2


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Exercício

Você observa a Estação Espacial Internacional (ISS), que está emuma órbita aproximadamente circular em torno da Terra. Se suaaltitude é 385km acima da superfície da terra, quanto tempovoce deve esperar para vê-la novamente?


F = Mae T2= 4 Is 6755×103 =

30.5×1062

-

6 Mm= we V 6.67 ×

15"

, 5.98×103 "

÷2 A T = 5528 s = 92.1 win .

2

GI-

rL

v2iY#Gm

=let÷T2= 4 it

Gm

r ÷ RT the = 6370+385 =

6755 km

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Exercício

Qual deve ser a altura da órbita de um satélite geo-estacionário?Esta órbita, que se localiza na altura do equador, é chamada de“Anel de Clarke” em homenagem à Arthur C. Clarke que foiquem propôs sua utilização nas telecomunicações.

M

T

5 97 1024kg

R

T

6 38 106m

G 6 67 10 11Nm

2kg

2

O Brasil possui 5 satélitesgeo-estacionários


Total: 402

2GMM= MV←

r

Goa=:-

2¥-

GM=Gtat

is= a M¥ 52

T = 24 k = 24×3600=864 oos

~ = 42 169 km

h = or - Rt = 42164 - 6378 ± 56×15'

km

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Cometa Halley

O cometa Halley se move em uma órbita elíptica alongada emtorno do Sol. As distâncias ao Sol no periélio e afélio sãorespectivamente 8,75 107 km/ e 5,26 109km, respectivamente.Determine o comprimento do semieixo maior e o seu período.

A última vez que passou perto da Terra foi em 1986.


~ 75,5 anos

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Energia Potencial Gravitacional

Usando o Teorema do Trabalho-Energia Cinética e a Conservaçãode Energia Mecânica, vimos que podemos definir uma EnergiaPotencial a Forças Conservativas:

U x U x0x

x0F x dx

No caso da Força gravitacional sobre objetos próximos àsuperfície da Terra (h R

T

), usamos

F y mg

Escolhemos U y0 0 onde y0 0 (ponto mais baixo, eixo y

orientado para cima)

U

g

0h

0m g dy m g h


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Se considerarmos agora distâncias grandes, de forma a não sermais razoável usar a aproximação h R

T

, a força é

F G

mM

r

2 r

Antes de calcularmos a Energia Potencial utilizando essa forçaprecisamos mostrar que esta é uma força conservativa :


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Uma Força é conservativa quando o Trabalho realizado por elapara levar uma partícula de um ponto a outro não depende datrajetória.

Vamos calcular o Trabalho deuma Força central para levaruma partícula de P para Q

W

r

f

r

i

F dr

r

f

r

i

F dr

o W não depende do caminho

Toda força central éconservativa


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U

f

U

i

r

f

r

i

F r dr G M m

r

f

r

i

1r

2 dr G M m

1r

r

f

r

i

U

f

U

i

G M m

1r

f

1r

i

Como sempre, a escolha do zero de energia potencial é arbitrária.Uma escolha adequada é U

i

0 em r

i


U

G M m

r

para r R

T


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F G

mM

r

2 r U

G M m

r

para r R

T

comentar que U 0


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Movimento de Satélites

Para estudarmos o movimento de satélites, consideramos quetemos um objeto de massa m M de forma que a Terra possaser considerado um referencial inercial, e esfericamente simétrica.A Energia Total do sistema é

E

12mv

2 G M m

r

Pela Segunda Lei de Newton:G M m

r

2mv

2

r

‹ G M m

2rmv

2

2Substituindo na equação de E

E

G M m

2rG M m

r

G M m

r

para que o satélite se mantenha em óbita E 0(Vetores) Física 1 25 / 33

2

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Velocidade de Escape

Ao lançarmos um objeto para cima ele sobe e retorna à Terra. Seaumentarmos a velocidade ele sobe a uma altura maior.Qual a menor velocidade que devemos dar a um objeto para queele escape do campo gravitacional Terrestre?


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Velocidade de Escape

A Energia é constante e em qualquer ponto vale

E

12mv

2 G M m

r

Na superfície da Terra: v v

i

e r

i

R

T

. No infinito (r

12mv

2i

G M m

R

T

12mv

a menor velocidade será tal que v 0

12mv

2esc

G M m

R

T

0

v

esc

2GM

R

T


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v

esc

T

2GM

R

T

2 6 67 10 11 5 98 1024

6 37 106 1 12 104m s

v

esc

T

40 320km h

v

esc

km h

Mercúrio 15.480Vênus 37.080Terra 40.320Lua 8.280

Marte 18.000Júpiter 216.000Saturno 129.600Urano 79.200Netuno 86.400Plutão 3.960

Sol 2.224.800(Vetores) Física 1 28 / 33

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