gre# Lím¡tes y sus€ # propiedadesEl límite de una función es el conceptoprincipal que distingue al cálculo delálgebra y de la geometría analítica. Lanoción de un límite es fundamental para

el estudio del cálculo. De esta manera,es importante adquirir un buen conceptode límite antes de incursionar en otrostópicos de cálculo.

En este capítulo, se aprenderá:

s Cómo comparar el cálculo con elprecálculo. (i.'i)

Cómo evaluar de forma analítica unlímite. (;.3)

Cómo determinar la continuidaden un punto y sobre un intervaloabierto. y cómo determinar límiteslaterales. (..+)Cómo determinar límites infinitos ycómo encontrar las asíntotas verti-cales. (r.S)

Europem Space Agency,4.{ASA

De acuerdo con la NASA, el lugar más frío del universo está en la nébula de

Boomerang. La nébula se localiza a cinco mil años luz de la Tierra y tiene

una temperatura de -272"C. Esta temperatura es únicamente 1" más calienteque el cero absoluto, la temperatura más fría posible. ¿Cómo determinaron los

científicos que el cero absoluto es el "límite inferior" de la temperatura de,la

materia? (Ver la seccién 1.4, ejemplo 5.)

^/

t tr""' J*-+t-I

,,El proeesode,un,limiite,es'-un conceptó:fundamental del cálcu]o, Úna,técnica que se puede utilizár.páraeltlmai' u,n l.inite, co.nsiste en l qza¡ fa,funelón:y luego,determinar el:coniporiamiento: de-la, gráficá: a medida:q.ue,:lá variablé

,rindependiente:se aproximaraun va-lor específieo.. (Ver la sécción 1.2;), ,

Cómo encontrar límites gráfr.cay

numéricamente. (1.*)

4l

42 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

gffi€ Una mirada previa al cálculo

,::,,.jij ',,ii-,1Érlri,'

A medida que

vayamos progresando en este curso,

conviene recordar que el aprendizaje

del cálculo es sólo uno de sus fines.

Su objetivo más importante es aprender

a utilizar el cálculo para modelar yresolver problemas reales. En seguida

se presentan algunas estrategias de

resolución de problemas que pueden

ayudar.

. Cerciorarse de entender la pregunta.

¿Cuáles son los datos? ¿Qué se Ie

pide encontrar?. Concebir un plan. Existen muchos

métodos que se pueden utilizar:hacer un esquema, resolver un pro-

blema sencillo, trabajar hacia atrás,

dibuiar un diagrama, usar recursos

tecnológicos y muchos otros.. Ejecutar el plan. Asegurarse de que

responde 1a pregunta. Enunciar larespuesta en palabras. Por ejem-plo, en vez de escribir la respuesta

como.x : 4.6, seía mejor escribir"El área de Ia zona es 4.6 metros

cuadrados".. Revisar el trabajo. ¿Tiene sentido la

respuesta? ¿Existe alguna forma de

contrastarla?

@ Comprender qué es el cálculo y cómo se compara con el precálculo.m Comprendér que el problema de la recta tangente es básico para el cálculo'e Comprender que el problema del área también es básico para el cálculo.

iQué es el cálculo?

El cálculo es la matemática de los cambios (velocidades y aceleraciones). También son objeto

del cálculo rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides.

curvaturas y una gran variedad de conceptos que han permitido a científicos, ingenieros 1'

economistas elaborar modelos para situaciones de la vida real.

Aunque las matemáticas previas al cálculo también tratan con velocidades, acelera-

ciones, rectas tangentes, pendientes y demás, existe una diferencia fundamental entre ellas

y el cálculo. Mientras que las primeras son más estáticas, e1 cálculo es más dinámico. He

aquí algunos ejemplos.

. Las matemáticas previas al cálculo permiten analizr un objeto que se mueve con

velocidad constante. Sin embargo, para analizar la velocidad de un objeto sometido a

aceleración es necesario recurrir al cálculo.. Las matemáticas previas al cálculo permiten analiza¡r la pendiente de una recta, pero

para analizar la pendiente de una curva es necesario el cálculo.. Las matemáticas previas al ciílculo permiten analizar la curuatura constante de un círculo.

pero para analizar la curvatura variable de una curva general es necesario el cálculo.. Las matemáticas previas al cálculo permiten analizar e7 área de un rectángulo, pero

para analizar el área bajo una curva general es necesario el cálculo.

Cada una de estas situaciones implica la misma estrategia general: Ia reformulación de

las matemáticas previas al cálculo a través de un proceso de límite. De tal modo, una manera

de responder a la pregunta "¿qué es el cálculo?" consiste en decir que el cálculo es una

"máquina de límites" que funciona en tres etapas. La primera la constituyen las matemáticas

previas al cálculo, con nociones como la pendiente de una recta o el área de un rectángulo.

La segunda es el proceso de límite, y la tercera es la nueva formulación propia del cálculo,

en términos de derivadas e integrales.

Matemáticasprevias al cálculo t"r

Procesode límite

Cálculo

Por desgracia, algunos estudiantes tratan de aprender cálculo como si se tratara de una

simple recopilación de fórmulas nuevas. Si se reduce el estudio del cálculo a la memorización

de las fórmulas de derivación y de integración, su comprensión será deficiente, el estudiante

perderá confianza en sí mismo y no obtendrá satisfacción.

En las dos páginas siguientes se presentan algunos conceptos familiares del precálculo,

listados junto con sus contrapartes del cálculo. A lo largo del texto se debe recordar que

el objetivo es aprender a utilizar las fórmulas y técnicas del precálculo como fundamento

para producir las fórmulas y técnicas más generales del cálculo. Quizás algunas de las

"viejas fórmulas" de las páginas siguientes no resulten familiares para algunos estudiantes,

repasaremos todas el las.

A medida que se avance en el texto, se sugiere volver a leer estos comentarios repetidas

veces. Es importante saber en cuál de las tres etapas del estudio del cálculo se encuentra el

estudiante. Por ejemplo, los tres primeros capítulos se desglosan como sigue.

Capítulo P: Preparación para el c¡ílculo Matemáticas previas a1 cálculo o precálculo

Capítulo 1: Límites y sus propiedades Proceso de límite

Capítulo 2:Derivación Cálculo

SECCIÓN 1.1 Una mirada previa al cálculo 43

Sin cálculo Con cálculo diferencial

Valor de/Wcuando x = c

Límite de/(;t) cuandox tiende a c

y =/(*)

Pendiente de una recta Pendiente de una curva

Recta secantea una curva

Recta tangentea una curva

Ritmo o velocidad decambio promedio entret = a y t = b

Ritmo o velocidad decambio instantáneoen t = c

Curvaturadel círculo

Curvaturade una curva

Altura de unacurva enx = c

Altura máxima deuna curva dentrode un intervalo

Plano tangentea una esfera

Plano tangentea una superficie

Dirección delmovimiento a lolargo de una recta

Dirección delmovimiento a lolargo de una curva

4 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

Sin cálculo Con cálculo integral

Area de unrectángulo

Area bajouna curva

Trabajo realizado portnafuerza constante

Trabajo realizado poruna fuerza variable

Centro de unrectángulo

Centroide de una

región

Longitud de unsegmento de recta

Longitudde un arco

Área superficialde un cilindro

Area superficialde un sólido de revolución

Masa de un sólidocon densidad constante

Masa de un sólidocon densidad variable

Volumen de unsólido rectangular

Volumen de la regiónbajo una superficie

Suma de un númerofinitodetérminos a, I ar+ "'+ a,: S

Suma de un númeroinfinito de términos a, I a, * arr : s

v ="f(r)

; ..-ta tangente de la gráfica de f en P

Fisura 1.1

Gn,ro Cmssor¡r Younc (1868-1944)

rrace Chisholm Young obtuvo su litulo

=: malemálicas en el Girton College de-.mbridge. llglaterra. Sus primeros-:,bajos se publicaron bajo el nombre de

,i illiamYoung, su marido. Entre 1914

.. I 9 I b. CraceYoung publicó trabajos

:.htiros a los lundamentos del cálculo que la

::¡ieron merecedora del premio Gamble del

::rton College.

a) La recta secante que pasa por (c, f(c)) y(c+Ar,/(c+Ar))

Figura 1.2

ú) Cuando Q tiende a P. las rectas secantes se aproximan a la recta tangente

SECCION 1 .I Una mirada previa al cálculo 45

El problema de la recta tangenteLa noción de límite es fundamental en el estudio del cálculo. A continuación se dan brevesdescripciones de dos problemas clásicos del cálculo -el

problema de la recta tangente y elproblema del área- que muestran la forma en que intervienen los límites en el cálculo.

En el problema de la recta tangente. se tiene una función./y un punto P de su gráficay se trata de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P, como se

muestra en la figura 1.1.Exceptuando los casos en que la recta tangente es vertical, el problema de encontrar la

recta tangente en el punto P equivale al de determinar la pendiente de la recta tangente enP. Se puede calcular aproximadamente esta pendiente trazando una recta por el punto detangencia y por otro punto sobre la curva, como se muestra en la figura l.2a.TaI recta se

llama recta secante. Si P(c,flc)) es el punto de tangencia y

QG+L,x,¡(c+Ax))

es un segundo punto de la gráfica deJ la pendiente de la recta secante que pasa por estosdos puntos puede encontrarse al ultTizar precálculo y está dada por

- llc + L,xl - fkt fk - Lx\ - fk)--

'"tcc r'* Ar c Ax

Q@ + Ax, f(c + Ax))

f (c + Lx) -.f(c')c. J (.c))P(

\

A medida que el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la recta secante se

aproxima a la de la recta tangente, como se muestra en la f,gura L2b. Ctando existe tal"posición límite", se dice que la pendiente de la recta tangente es el límite de la pendiente dela recta secante (este importante problema se estudiará con más detalle en el capítulo 2).

Los siguientes puntos se encuenffan en la gráf,ca def(x) - *2.

0r(1.s./il.5)), Qr(t.t.fit.t)\. 03il.0t./(r.0r)).04(1.00r./(1.001 )). 05(t.0001,/(t.0001 ))

Cada punto sucesivo se acerca más al punto P( l. I ). Calcular la pendiente cle la rectasecante que pasa por Oi y P, Qry P.y así sucesivamente. Utilizar una heramienta degraficación para representar estas rectas secantes. Luego utilizar los resullados paraestimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de/en el punto P.

Recta tangente

46 CAPITULO I Límites y sus propiedades

Area bajo una curva

Figura 1.3

El problema del área

En el problema de la recta tangente se vio cómo el proceso de límite puede ser aplicado a

la pendiente de una recta para determinar la pendiente de una curva general. Un segundo

problema clásico del cálculo consiste en determinar el área de una región plana delimitada

por gráficas de funciones. Este problema también se puede resolver mediante un proceso

del límite. En este caso, el proceso del límite se aplica al área de un rectángulo con el fin de

encontrar el área de una región en general.

A modo de ejemplo sencillo, considerar la zona acotada por \a gráfica de la función

y : f(x), el eje x y las rectas verticales x: ay x : b, como se muestra en la flgura 1.3.

Se puede estimar su área usando varios rectángulos, como se muestra en la figura 1.4. Alaumentar el número de rectángulos, la aproximación mejora c adavez más, ya que se reduce

el áreaque se pierde mediante los rectángulos. El objetivo radica en determinar el límite de

la suma de las áreas de los rectángulos cuando su número crece sin fin.

Aproximación usando cuatro rectángulos

Figura 1.4

Aproximación usando ocho rectángulos

f¡.¡I t(xt=x. / I ¡V)=*' / I |txt=x2 I

/'l /lll.lr:ar:......,1.,..,.i..l.'...iiiiill.y

:..l....,i,.....i...,.....:..i.iiii..ll.....l,:,,....r...i.:..t.. ,::1l; :: lrtt rrr'alrl,t rlt.,rtlilt:,:lt::]:i]|]:rl:li:::]1

\i-/I \ L-_Pri:r:::t:r:\iill:ltlt:i::i:r:ri::l

...'--5]-_.-.'.-..--:':::::i]ii:iii::::|i::::w]'i:::::]::]::::i:::lwi''::,::llili;'Ill

ffi Himr*É*Éms

En los ejercicios I a 5, decidir si el problema puede resolversemediante el uso de las matemáticas previas aI cálculo o si requieredel cálculo. Resolver el problema si se puede utilizar prec¡ilculo. Encaso contrario explicar el razonamiento y aproximar la soluciónpor procedimientos gráficos o numéricos.

1. Calcular la distancia que recoffe en 15 segundos un objeto que

viaja a una velocidad constante de 20 pies por segundo.

2, Calcular 1a distancia que recorre en 15 segundos un objetoque se mueve a una velocidad v(¡) : 20 + 7 cos r pies porsegundo.

3. Un ciclista recoffe una trayectoria que admite como modelola ecuaciónl(x) : 0.0a(8x - x2) donde x y/(x) se midenen millas. Calcular el ritmo o velocidad de cambio en Ia eleva-

cióncuandox:2.

Figura para 3 Figura para 4

Un ciclista recorre una trayectoria que admite como modelo Iaecuación/(x) : 0.08:r, donde ¡ yflx) se miden en millas. En-conÍar el ritmo o velocidad de cambio de la elevación cuando

x:2.Encontrar el área de la región sombreada.

b)5

4

3

2

1 (s, 0)l*¡(o,o) 3 4 s 6

Rectas secantes Considerar la funciónl(r) : | *y el puntoP(.4, 2) enla gráf,ca de f.a) Dibujar la gráfica de/y las rectas secantes que pasan por

P(,2)y Q@,flx))paralos siguientes valores de¡: 1, 3 y 5.

b) Enconffar la pendiente de cada recta secante.

c) Utilizar los resultados del apartado b) para estimar la pen-

diente de la recta tangente a f en P(4,2). Describir cómopuede mejorarse la aproximación de la pendiente.

Rectas secantes Considerar la función /("r) : 6x - tr y elpunto P(2, 8) sobre lagráficadef:a) Dibujar la gráfica de/y las rectas secantes que pasan por

P(2, 8) y Q@, f(x)) para los valores de ¡: 3,2.5 y L5.b) Encontrar la pendiente de cada recta secante.

c) Utllizar los resultados de la parte b) para estimar la pen-

diente de la recta tangente a la gráfica de / en el puntoP(2, 8). Describir cómo puede mejorarse la aproximaciónde la pendiente.

SECCION 1.1 Una mirada previa al cálculo 47

8. a) Utllizar los rectángulos de cada una de las gráficas para

aproximar el área de la región acotada por y : sen x, y : 0,

x:0yx:r.y!

b)

9. a)

Describir cómo se podría continuar con este proceso a finde obtener una aproximación más exacta del área.

Utilizar los rectángulos de cada una de las gráficas para

aproximar el árrea de Ia rcgión acotada por y : 5 I x, y : 0,

x:1,yx:5.

5

4

3

z

1

Describir cómo se podría continuar con este proceso a

de obtener una aproximación más exacta del área.

.1.finb)

a)

6.

7.

/(,r) :0.04 (8"r - x2)

10. ¿Cómo se describe la razón cambio instantáneo de laposición de un automóvil sobre la autopista?

Considerar la longitud de

(1,5) hasta (5, 1):

)

la gráfica de .f(x) : 5/,x, desde

12345 123 4 5

Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de

la distancia entre sus extremos. como se muestra en laprimera figura.Estimar la longitud de la curva mediante el cáicuio de

las longitudes de los cuatro segmentos de recta, comose muestra en Ia segunda figura.Describir cómo se podría continuar con este proceso

a fin de obtener una aproximación más exacta de IaIongitud de la curva.

(1, s)

48 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

hl,r(x) =:

f(x) =

El límite de./(r) cuando r tiende a I es 3

Figura 1.5

3)

tímf(x) : L.x+c

:itii::iti*}l.ii*X¡$aii:til:ll::::*ti.:gr(lñ:&ü:ls:stiii6 ;iii*:

El anríli¡is anterior proporciona ,un ejemplo de cómo éstimai un límite de manera numé'rica mediante la construcción de una tabla. o de manera grdfica. al dibujar un esquema.

Calcular el siguiente límite de forr¡a numérica al conrpletar la tao-tu r : ,

',l, ía:jx,*2 ,':,irm _--

--1X-¿AL

x 1.15 1.9 t.99 1.999 2 2.00r 2.0t 2.1 2.25

f(.) ,| ,)?

,| ,| ,| I ? ?

re Gálculo de límites de manera gráticay numér¡cax Estimar un límite utilizando los métodos numérico y gráfico.F Aprender diferentes formas en las que un límite puede no existir.F Estudiar y utilizar la definición formal de límite.

lntroducción a los límites

Suponer que se pide dibujar la gráfica de la función/dada por

xr-lf(x)=-. x*1." x-IPara todos los valores distintos de ¡ : 1, es posible emplear las técnicas usuales de repre-

sentación de curvas. Sin embargo, en r : 1, no está claro qué espera"r. Para obtener una

idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de ¡ : 1, se pueden usar dos conjuntos de

valores de x, uno que se aproxime a I por la izquierda y otro que 1o haga por la derecha,

como se ilustra en la tabla.

x 0.15 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25

r@) 2.3r3 2.110 2.970 2.991 ,) 3.003 3.030 3.310 3.813

Como se muestra en la f,gura 1.5,la gráfica de/es una parábola con un hueco en el

punto (1, 3). A pesar de que x no puede ser igual a 1, se puede acercar arbitrariamente a 1

y, en consecuencia, fl4) se acerca a 3 de la misma manera. Utilizando la notación que se

emplea con los límites, se podría escribir

]+/{,) : :' Esto se lee "el límite de.(.r) cuando;r se aproxima a I es 3"

Este análisis conduce a una descripción informal de límite. Siflx) se acerca arbitrariamentea un número I cuando x se aproxima a c por cualquiera de los dos lados, entonces el límitedef(x), cuando x se aproxima a c, es L. Esto se escribe

Luego uiilizar uná herramienta de graficación para estimar el límite.

SECCIÓN 1.2 Cálculo de límites de manera gráfrcay numérica 49

-EJErylPte ¡ Estimación numér¡ca de un límite

Evaluarlafunción f(-): x/(J- + t - 1) envariospuntoscercanos ax:0yusarelresultado para estimar el límite:

xlilll--:.,-o Jx + I - I

Solucién En la siguiente tabla se registran los valores de/x) para diversos valores de x

cercanos a 0.

x -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01

f(*) t.99499 1.99950 t.99995 ,| 2.00005 2.00050 2.00499

De los datos mostrados en la tabla, se puede estimar que el límite es 2. Dicho resultado se

confirma por la gráfica de/(ver la figura 1.6).El límite de/("r) cuando r se aproxima a

0es2Figura 1.6

El límite de/(r) cuando r se aproxima a

2es IFigura 1.7

Observar que en el ejemplo 1, la función no está defini da en x : 0 y aún asíflx) parece

aproximalse a un límite a medida que -r se aproxima a 0. Esto ocune con frecuencia, y es

importante percatarse de que la existencia o inexistencia de flx) en x : c no Suarda relación

con la existencia del límite de f(x) cuando x se aproxima a c.

EJÉJIÉ{P!-O 3 Cálculo de un límite

sol¡¡cién Puesto que/("r) : 1 para todos los ¡ distintos de x : 2, se puede concluir que el

límite es 1, como se muestra en la figura 1.7. Por tanto, se puede escribir

lím f(x) : 1.x-2'

El hecho de que/(2) : 0 no influye en la existencia ni en el valor del límite cuando ¡ se

aproxima a2.Por ejemplo, si se hubiera definido la función como

Encontrar el límite de/(x) cuando x se aproximaa2, dondef se defi.ne como

[t. x*2¡tx):lo. x:2.

It. r+zf@:1^'

l¿, x:z

el límite sería el mismo.

ffi!

ffi

Construir una labla de valores.

Elaborar una gráfica a mano o con algún dispositivo tecnológico.

Utilizar álgeb¡a o cálculo.

Hasta este punto de la sección, se han calculado los límites de manera numérica y

gráfrca. Cada uno de estos métodos genera una estimación del límite. En la sección 1.3 se

estudiarán técnicas analíticas para evaluarlos. A lo largo de este curso, se trata de desarrollar

el hábito de utilizar este método de árbol para resolver problemas.

1. Método numérico

2. Método gráfico

3. Método analítico

50 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

Límites que no ex¡sten

En los tres ejemplos siguientes se examinarán algunos límites que no existen.

EIEMPLO 3 Comportamiento diferente por la derecharc y por la izquierda

Demostrar que el siguiente límite no existe.

lxllím !x+O X

Solución Considerar la gráfrca de la función f(x) : lrl¡". O" la figura 1.8 y de la defi-nición de valor absoluto.

I x- six > 0l-rl : lr'-i l-x. si x < 0

se observa que

Def,nición de valor absoluto

Ellím /(.r) no exister+0

Figura 1.8

lrl I t, six>0;: l-1. si¡ a 9'

Esto significa que, independientemente de cuánto se aproxime x a 0, existirán tanto valores

positivos como negativos de x que daúnf(x) : I y f(x) : - 1. De manera específica, si 6(leta griega delta minlúscula) es un número positivo, entonces los valores de x que satisfacen

la desigualdad 0 < lxl < 6 se pueden clasificar los valores delxl/x de la siguiente manera:

Debido a que lxl/x tiende a un número diferente por la derecha del 0, por la izquierda que

entonces el límit1fím (lxl/x¡ no existe.

EIEMPLO 4 Comportamiento no acotado

Ilím;.x-O X'

Salución Seafl*) : l/x2. En la figura 1.9 se puede observar que a medida que.r se

aproxima a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, flx) crece sin límite. Esto quiere

decir que, eligiendo un valor de ¡ cercano a 0, se puede lograr queflr) sea tan grande como

se quiÁra. Por ejemplo,flx) será mayor que 100 si elegimos valores de x que estén entre ,!y 0. Es decir:

re

Atalizar la existencia del límite

0.1"1

Del mismomanefa:

0.1"1 '1ooo

lt I > f(x):- > 100.l0 x2

modo, se puede obligar a quefl.r) sea mayor que 1000000 de la siguiente

r-> fG\:lt 1000000x¿

El lím/(r) no existe

Figura 1.9

Puesto que/(x) no se aproxima a ningún número real ^L cuando x se aproxima a 0, se puede

(-8,0)

Los valores negativosde;r dan como resultado

lxllr - - t.

(0, 6)

Los valores positivosde ¡ dan como resultado

lxllx : t.

concluir que el límite no existe. #g

SECCIÓN 1.2 Ciilculo de límites de manera gráficay numérica 51

EJEIVIPLO 5 Comportamiento osc¡lante

Analizatla existencia del límite límsenl.r)0 X

Solución Seaflx) : sen(l/-r). En la figura 1.10 se puede observar que, cuando x se aproxima

a O, f(x) oscila entre - 1 y I . Por consiguiente, el límite no existe puesto que. por pequeño

que se elija 6, siempre es posible encontrar11 y x2qne disten menos de 6 unidades de 0 tales

que sen(l/x,) : 1 y sen(l/xz) : - 1, como se muestra en la tabla.

JE 2/n 2/3n 2/5n 2/7 tr 2/9n 2/II¡r f -+0

sen (1/x) 1 -t I -l I -1 El límite no existe.

K

El lím /("r) no existe:=0

Flgura 1.10 COMPORTAMIENTOS ASOCIADOS A LA NO EXISTENCIA DE UN TIMITE

1. /(x) se aproxima a números diferentes por la derecha de c que por la izquierda.

2. /(.r) aumenta o disminuye sin límite a medida que r se aproxima a c.

3. /(x) oscila entre dos valores fljos a medida que x se aproxima a c.

Existen muchas otras funciones interesantes que presentan comportamientos inusuales.

Una de las que se cita con mayor frecuencia eslafunción de Dirichlet:

lO, si x es racional..Í\x) : I "

L l. si x es irracional.

Puesto que esta función carece de límíte en cualquier número real c, no es continua en

cualquier número real c.La continuidad se estudiará con más detalle en la sección 1.4.

CON F US I óN TEC NOLóG I CA Cuando se utilice una herramienta de grafi cación para

investigar el comportamiento de una función cerca del valor de x en el que se intenta

evaluar su límite, recordar que no siempre se puede confiar en 1as imágenes dibujadas. A1

utllizar una her:ramienta de graficación para dibujar la gráfica de la función del ejemplo

5 en un intervalo que contenga al 0, es muy probable que obtenga una gráfica incorrec-

ta, como la que se muestra en la figura 1. 1 1. El motivo por el cual una herramienta de

graficación no puede mostrar la gráfica correcta radica en que la gráfica cuenta con

oscilaciones infinitas en cualquier intervalo que contenga al 0.

-1.2

Gráfica incorrecta defl.r) : sen(l/¡)Figura 1.11

D

Uo{u

52 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

L+e

L

Definición formal de límiteExaminar nuevamente la descripción informal de límite. Si/(x) se acerca de manera arbitrariaa un número L amedida que r se aproxima a c por cualquiera de sus lados, se dice que el

1ímite de/(x) cuando x se aproxima a c es ,L, y se escribe

\r\f (x)= r.A primera vista, esta descripción parece muy técnica. No obstante, es informal porque aún

hay que conferir un significado preciso a las frases:

'f(x) se acerca arbitrariamente a L"

v

"r se aproxima a c".

La primera persona en asignar un significado matemático riguroso a estas dos frases fue

Augustin-Louis Cauchy. Su definición e-6 de límite es la que se suele úllizar en la actua-

lidad.En la figura 1.12, sea e (minúscula de la letra griega épsilon) la representación de un

número positivo (pequeño). Entonces, la frase 'l(x) se acerca arbiftariamente a l" significaque/(;r) pertenece al intervalo (L - ",

L + e). Al usar la noción de valor absoluto, esto se

puede escribir como

V@-Ll .".Del mismo modo, la frase '¡ se aproxima a c" significa que existe un número positivo 6 talque r pefienece al intervalo (c - 6, c), o bien al intervalo (c, c t 6). Esto puede expresarse

de manera concisa mediante 1a doble desigualdad

0.1"-cl <6.

La primera desigualdad

0 < lx - cl Ladistanciaentre,yycesmayorqueo.

expresa que x I c. La segunda desigualdad

lx-cl <6 restiramenosde8unidadesdec.

indica que x está auna distancia de 6 menor que c.

Sea/una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente

en c) y l, un número real.La afirmación

\ryf6): rsignifica que para todo e > 0 existe uno 6 > 0 tal que si

0 . lr - rl < 6, entonces l/(r) - Ll . ".

s[lÍD A lo largo de todo el texto, la expresión

!y¡r@ : r

lleva implícitas dos afirmaciones: el límite existe y es igual a l. I

Algunas funciones carecen de límite cuando x ) c, pero aquellas que lo poseen no

pueden tener dos límites diferentes cuando ¡ -+ c. Es decir, si el límite de una función existe,

entonces es único (ver el ejercicio 79).

L. *dLc

r-ó

Definición e-6 del límite de/(x) cuando

x tiende a c

Figura 1.12

PARA MAYOR INFORMACIÓNPara conocer más sobre 1a introduccióndel rigor al cálculo, consulte "WhoGave You The Epsilon? Cauchy an

the Origins of Rigorous Calculus" de

Judith V. Grabiner, en The AmerícanMathematical Monthlv.

DEFINICIÓN DE LÍMITD

) = 1.01

!=lY:0.99

x=2.995x=3

x= 3.005

M'll1

-\

de/(r) cuando x se aproxima a

1.13

SECCIÓN 1.2 Ciálculo de límites de manera gráfrcay numérica 53

I-os tres ejemplos siguientes ayudan a entendér mejor la definición e-E de límite.

EIEMPLO,:, Determinar 6 Para un s dado

Dado el límite

lí\'(Z* -5) = I

encontrar 6talque llzx - S¡ - 1l<0.01, siempreque0< lx - 3l< 6.

Solución En este problema se trabaja con un valor dado de s : e : 0.01. Para encontrar

un 6 apropiado, se observa que

Itzx - s¡ - tl : lzx - el:2lx - 31.

Como la desigualdad llZx - S¡ - 1l < 0.01 es equivalente a2lx - 3l < 0.01, se puede escoger

a : j fO.Or ) : 0.005. Esta opción funciona porque

0. l* - 3l < 0.005

lo que implica que

llzx - s¡ - 1l : zlx - 3l< 2(o.oo5) : o.o1

tal como se muestra en la figura. 1.13.

@D En el eiemplo 6, obsérvese que 0.005 es el mayor valor de 6 que garantiza qtre

lfX - t, - 1l< 0.01, siempre que 0 < l" - 3l < 6. Todo valorpositivo óe 6menortarnbién debe sa-

tisfacer esta condición. I

En el ejemplo 6 se encontró un valor de 6 para un e dado,lo que no necesariamente

demuesffa la existencia del límite. Para hacerlo, se debe probar que es posible encontrar un

6 paru todo I, como se muestra en el siguiente ejemplo'

EIEMPLO 7 Aplicación de la definición s-6 de límite

-

IJ:i.lizar la definición e-6 de límite para demostrar que

!1gfz,-2):4.

Solución Probarquepara todo e >0, existeun 6>0talque l(Zx - Z¡ - 4l ."siempreque 0 < l* * Zl< 6. Puesto que la elección de 6 depende de e, es necesario establecer una

relación entre los valores absolutos l(Zx - Z) - aly lx - 21.

It3x - 2¡ - 4l: lzx - el: 3lx - 2l

De tal manera, para cada e > 0 dado, se puede tomar 6 : e/3. Esta opción funciona por-

que

0.lr-21 <a:?implica que

l(zx-z)-41=3lx-21

como muestra la figwa L.74.

-

;1_:ffi

/Itrlt_

x=2+ 6x=2x=2- 6

1234

te deÍx) cuando x se aproxirna a-,(;) - "

t.'t4

-

54 CAPÍTULO I Límites y sus propiedades

4+e

(2+ ü2

4

Q_ D2

4-e

+ó

-6El límite de/(r) cuando.r se aproxima a

2es4Figura 1.L5

ffiv_-)

I I L_,lzl',

EIEMPLO 8 Aplicación de la definición e-6 de límite

I!:,r' : o'

Solución Probar que para todo e > 0, existe un 6 > 0 tal que

l* - +l<e siempreque 0<lx- 2l<6.

Para encontrar un 6 adecuado, comenzamos por escribir lf - al: lx - 2llx + 21. Para todo

xdel intervalo (1,3), x * 2< 5 se sabe que lx * 2l<5.De talmanera, se toma 6igual al

mínimo entre ef 5 y 1, resulta que, siempre que 0 < l* - 2l < 6, se tiene que

l*, - al: lx - 2llx + zt . (i)rsr : "como se muestra en la figura 1 .15

-

Usar la dehnición e-6 de límite para demostrar que

-A lo largo de este capítulo, se utilizará la definición e-D de límite principalmente para

demostrar teoremas relativos a los límites y para establecer la existencia o inexistencia de

tipos de límites específicos. Paracalcular límites, se describirán técnicas más fáciles de usar

que la definición e-6 de límite.

ffi Ejercicios

En los ejercicios I a 8, completar la tat¡la y utilizar el resultado .. lt/(* + l)l - \ll4)para estimar el límite. Representar la función utilizando una he- t. t* t-:t;ÍT=-rramienta de graficación, con el fin de confirmar su resultado.

x-41. lím-

x:4x¿-3x-4

x 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.t

f@

x-2lím -:-x+2 X2 - 4

.. -,G+6-JGllm-x+0 X

.. J+-*-tllm

-

x-- 5 r*-5

6. lím lx/(x+r)l-(4/5)x+4 x-4

., sen x1114 ,

,- cosx- Illm-¡+0 ^

2.

3.

7.

8.

x 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1

f(r)

x 3.9 3.99 3.999 4.001 4.Ot 4.1

f(*)

x 1.9 1.99 r.999 2.001 2.01 2.1

f(*)JC -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1

f(x)

)c -0.1 -0.01 - 0.001 0.001 0.01 0.1

f(*)x -0.1 -0.01 - 0.001 0.001 0.01 0.1

f(*)

x - 5.1 - 5.01 - 5.001 - 4.999 -4.99 -4.9

f(x)

4.

Fn los ejercicios 9 a 14, elaborar una tabla de valores para la fun-ciin y utilizar el resultado para estimar el valor del límite. Utilizaruna herramienta de graficación para representar la función yrnnfirmar el resultado.

-..,9.\ím+x+txzlx-6., xa - |ll. lim-¡+L -ro - I

- _ sen2x13. lrm

-¡+0 X

En los ejercicios 15 a 24, utilizar la gráficapara encontrar el límitelsi es que existe). Si el límite no existe, explicar por qué.

SECCIÓN 1.2 Cálculo de límites de manera gráfi.cay numérica 55

24. lím tan.rx -T/2

y

En los ejercicios 25 y 26,atilizar la gráfica de la funcién/paradeterminar si existe el valor de la cantidad dada. De ser así, ubi-carla; si no existe, explicar por qué.

23. lím cos 1

-r21o',{T,ffi12. ,)9, ,, * rry

A::x#*

15. Iím(a - x)¡ -3

v

17. lím./(-r)x'2

f(*) =

:t

4

J

2

I

:ty#

16. lím(x2 + 3)x-1

18.I:yr(x)

rat :$,* ''

2lím ,¡-51-5

2s. a) f(r)b) tr:if@)

c) f(4)d) I:*r(x)

26. a) f (-2)b) rim f(x)x--2c) /(0)d) Iímf (x)

rJ0e) f (2)

f) tímf (x)x-2

df@)h) lím f(x)

x+4-

[o-*.lo,

x*2x:2

x*1x:7

20.19.

En los ejercicios 27 y 28, utilizar la grráfica de/con el fin de iden-tificar los valores de c para los que existe el límite lím/(r).

x+

v

En los ejercicios 29 y 30, dibujar la gráfica de/. Después identificarIos valores de c para los que existe el límite lím/(¡).

28.27.

lím sen n'¡.t+l

lím sec.r

2e' r@

30. f(r)

x<22<x<4x> 4

.r<0x, 0<x<tr

x> 7t

lx2':ls- z*l.+.

f."n r,:lI-.n*

l.or...

2t. ",'

5tl CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

En los ejercicios 31 y 32, construir una gráfica de una función/que satisfaga los valores indicados (existen muchas respuestascorrectas).

La gráfica de

f(¡) : Ix-l

se muestra en la figura. Encontrar un 6 tal que si 0 .1, - 2l .6, entonces l¡x¡ - tl < o.ot.

l

2.0

1.5

1.0

0.5

La gráfica deI

f(x) :2 -::x

se muestra en la figura. Encontrar un 6 tal que si 0 < l" - 1l <

6, entonces l¡x; - tl< O.t.

)

La gráfica de

f(x):f-1se muestra en la figura. Encontrar un 6 tal que si 0 < l-r6, entonces lf(x) - ZI <0.2.

- 2l<

36.

31. /(0) no está definido.

Iímf(x) : 4r+0

f(2) : 6

' tímf (x) : 3t+2

32. f(-2) : 0

f(2) :0

lím /(x) : 0x+-2lím f(x) no existe.r+).

# ¡¡. Mod,elo matemático Por una llamada telefónica de larga dis-tancia, un hotel hace un cargo de $9.99 para el primer minutoy de $0.79 por cada minuto o fracción adicional. Una fórmulapara el costo está dada por

c(t) : e.ee - 0.7e[-(/ - 1)n

donde ¡ es el tiempo en minutos.

(Nota: [x\: mayor entero n tal qroe n s ¡. .Por ejemplo, {3.2]::y[-t.o] : -2¡a) Utilizar una herramienta de graficación para representar la

gráfica de la función de costo para 0 < r < 6.

b) Utilizar la gráfica para completar la siguiente tabla y obser-

var el comportamiento de la función a medida que r tiendea 3.5. Utilizar la gráfica y la tabla para encontrar

Iím C(t)t+3.5

c) Uttlízar la gráfrca para completar la siguiente tabla y ob-servar el comportamiento de la función a medida que / se

aproxima a 3.

¿Existe el límite de C(r) cuando / se aproxima a 3? Explicarla respuesta.

& ¡¿. Realizar de nuevo el ejercicio anterior, considerando ahora

c(t) :5.7e - O.ee[-(/ - l)n.

35. En la figura se muestra la gráfica deflx) : x * l.Encontrar un

6 tal que si 0 < lx - 2l < 6, entonces l¡¡x¡ - Zl<0.+. En los ejercicios 39 a 42, encontrar el límite Z. Luego la 6 > 0 talque l/(x) - ¿l < 0.01 siempre que 0 < lr - "l

. 6.

37.

38.

lím (3x + 2)x)2 / .\,.!a\^ -;)lím (x2 - 3)x)2lím(x2 + 4)¡)5

39.

40.

41.

42.

3.4

2.6

El símbolot{S señala un ejercicio en el que se pide utilizar una herramíenta de graficación o unsistema simbólíco de álgebra computarílado. La solución de los demás ejercicios también puede

simplificarse mediante el uso de la tecnología apropiada.

t 3 J.J 3.4 3.5 3.6 5.t 4

C ?

t z 2.5 2.9 -l 3.1 3.5 4

C ?

J3.

14.

-15.

16.

17.

-18.

19.

50.

51.

()

53.

5J.

En los ejercicios 43 a 54, encontrar el límite Z. Luego utilizar ladelinición e-6 de límite para demostrar que el límite es Z.

tím (x + 2)

Ím (2¡ + s)x+3Ím (1,x - l)

Iím (i.r + 7)

lím 3J+6

lím (- 1)r¿2lím tir)0lím Jilím lx - 5l

lím l¡ - 6lr-o '

lím (x2 + t)J+l

lím (x2 + 3x)r)3

¿Cuál es el límite de.f (x'¡ : 4 cuando x tiende a r¡?

¿Cuál es el límite de g(x) - x cuando ¡ tiende a rr?

Redacción En los ejercicios 57 a 60, representar la función con

una henamienta de graficación y estimar el límite (si existe)'

¿.Cuát es el dominio de la función? ¿Puede detectar un posible

error en la determinación del dominio mediante un mero análisis

de la gráfica que genera la herramienta de graficación? Escribirunas líneas acerca de la importancia de examinar una función de

manera analítica además de hacerlo gráficamente.

.E+s-z

SECCTóN 1.2 Cálculo de límites de manera gráfica y numérica 5/

Joyería Un joyero ajusta un anillo de tal manera que su clrcun-

ferencia interna es de 6 cm.

a) ¿Cuál es el radio del anillo?

b) Si la circunferencia interna del anillo puede variar entre 5.5

y 6.5 centímetros, ¿cuánto puede variar su radio?

c) Utilizar la definición e-6 de límite para describir esta

situación. Identificar e Y 6.

Deportes Un fabricante de artículos deportivos diseña una

pelota de golf que tiene un volumen de 2.48 pulgadas cúbicas.

a) ¿Cuál es e1 radio de la pelota de golf?

b) Si el volumen de la pelota puede variar entre 2.45 y 2.51

pulgadas cúbicas, ¿cuánto puede variar su radio?

c) tJttlizar la definición e-6 de límite para describir esta

situación. Identificar e Y 6'

67. Considerar la funciónl(r) : 11 + ;r)r/'. Calcular el 1ímite

1ím (1+¡)"'

mediante la evaluación de./con valores de.r cercanos a 0. Cons-

truya la gráfi,cadef.

68. Considerar 1a función

lx rl -l¡--llJlxl--

calcular

x

.. lx-tl-lx -llilm--r)0 X

mediante la evaluación de / con valores de .x cercanos a 0'

Construir Ia grrífica def'fF os. Anólisis grájlco La afirmación

12-4lím ^ :4Y-) X - ¿

significa que a cada e > 0 le coresponde un 6 > 0 tal que si

0 < lr - 2l < 6, entonces

lx24ll--41 <r.lx - 2 I

Sie:0.001,entonces

l-2 - ,4 Il^ '-41 <o.oot.lx - 2 I

Utilizar una herramienta de graficación para representar ambos

lados de esta desigualdad. Usando ia función zoom, encontrat

un intervalo (2 - 6,2 + 6) tal que la gráfica del lado izquierdo

quede por debajo de 1a de1 miembro de la derecha.

65.

66.

56.

#

:7.

59.

/(r)

lím

f(r)

-,/1a

f(r)x-9

a./']r - J

r-358. ftx\ : '" -

-r'- +"r f J

rq/G)

rm/(x)Jt9

x-3Ér). f(x\ : _

' xt-9

Ím/(¡)r+3

61.

62.

Escribir una breve descripción de 1o que significa 1a notacrÓn

Iímf(x) :2s.P8'

La definición de límite de la página 52 requiere que/sea

una función def,nida sob¡e un intervalo abiefio que contiene

a c, excepto posiblemente en c. ¿Por qué es necesaria esta

condición?

Identificar ffes tipos de compoÍamiento relacionados con

la inexistencia de un límite. Fiemplificar cada tipo con una

gráfica de una función.

64. a) Sif(Z): 4' ¿se puede concluir algo acerca del límite

de/cuando x tiende a 2? ExPlicar.

b) Si el límite de /(-;r) cuando.x tiende a 2 es 4, ¿se puede

concluir algo acerca de f(2)? Explicar.

63.

58 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

* n. Anúlisis gróftco La afirmación

x'- Jxlím - :3t-3 X- 3

significa que a cada e > 0 le corresponde un 6 > 0 tal que si

0 < l, - 3l < 6, entonces

lx2-3x Il__31 <e.lx-3 |

Sie:0.001,entonces # S¡.

lx2-3x Il--31 <0.001.lx-3 I

Utilizar una herramienta de graficación para representar ambos

lados de esta desigualdad. Usando la función zoom, enconttatun intervalo (3 * 6, 3 + 6) tal que la gráfica del lado izquierdoquede por debajo de la del miembro de tra derecha.

/ú

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71 a 74, determinar si la fP 84'

afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o darun ejemplo que lo demuestre.

71. Si /no está definida en "r : c, no existe el límite de/(x) cuando

"x se aproxima a c.

72. Si el límite deft) cuando x tiende a c es 0, debe existir un número

k tal rye f(k) < 0.001.

73. Si/(c) : L, entonces ly¡f {.) : r.

74. Si lím¡¡ : l, entonces/(c): L.

En los ejercicios 75 y 76, considerar la función f(r) = f/* .

75. ¿,Es lím f x: 0.5 una afirmación verdadera? Explicar la" ¡+0.25respuesta.

76. ¿Et ,líil ^'/i : o una afirmación verdadera? Explicar la res-

Puesta./'JfP 77. Utilizar una herramienta de graficaciónpara evaluar e1 límite

.- Senr?-{líq -i,

para diferentes valores de n. ¿Qué se observa?^t r-u f,fts Zt. Utilizar una herramienta de graficación para evaluar el límite

-. lannxlím "', para diferentes valores de n. ¿Qué se observa?¡+0 X

79. Demostrar que si existe el límite deflx) cuando.r -+ c, ese límitedebe ser único. fSugerencia: Sea

!¡gf@: r' v umf(x): L,

y demostrar que Lr: L2.)

80. Considerar la rectafl-x) : mx + b, donde m # 0. Aplicando ladefinición e-6 de límite, demostrar que lím /(-r) : mc I b.

81. Demostrar que l31f, : Z es equivalente a |!1 tfr) - ¿l : 0.

a) Dado que

líry (3x + 1)(3x - 1)x'? + 0.01 = 0.01

demostrar que existe un intervalo abierto (a, b) que contiene

al 0, tal que (3x + 1)(3x - l)x2 + 0.01 > 0 para todas las

x*Oen(a,b).b) Dado que $i S{.r) : L, donde L> 0, demostrar que existe

un intervalo abierto (a, b) q:u.e contiene a c, tal que

S(r) > 0 para todos los x * c en (a, b).

Programación En una herramienta de graficación programa-

ble, escribir un programa que estime li^f (x).

Suponer que el programa sólo se aplicará a funciones cuyo límiteexiste cuando x se aproxima a c. Sea yr : fl.r), generar dos listas

cuyas entradas formen los pares ordenados

(c + [0.1],f(c-t- [0.1]"))

paran:0, 1,2,3 y 4.

Programación Utilizar el programa elaborado en el ejercicio

83 para estimar el límite

x2-x-12lím

-.

r-4 x-4

82.

Inscribir en un círculo con radio 1 un rectiíngulo con

base b y altu;rah, y un triángulo isósceles con base b,

como se muestra en la figura. ¿Para qué valor de htienenla misma área el rectángulo y el triángulo?

86. Un cono recto ti'ene una base con radio 1 y una altura de

3. Se inscribe un cubo dentro de é1, de tal manera que

una de las caras del cubo queda contenida en la base

del cono. ¿Cuál es la longitud lateral del cubo?

Este problema fue preprado por el Comittee on the Putman Prize Competiüon.

O The Mathematical Association ofAmerica. Todos los derechos resewados.

@ Gálculo analítico de límites

f(c) = x

--!-------l------ rc-d c c*ó

x Evaluar un límite mediante el uso de las propiedades de los límites.tr Desarrollar y usar una estrategia para el cálculo de límites.p Evaluar un límite mediante el uso de técnicas de cancelación y de racionalización.F Evaluar un límite mediante el uso del teorema del encaje.

Propiedades de los límites

En 1a sección 1.2 se vio que el límite de/(x) cuando x se aproxima a c no depende del valor

def enx: c. Sin embargo, puede darse el caso de que este límite sea/(c). En esta situación,

se puede evaluar el límite por sustitución directa. Esto es:

SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 59

Sustituir,r por rtímf(x) : f(,).x+c

Las funciones con este buen comportamiento son continuas en c. En la sección 1.4 se

examinará con más detalle este concepto.

Si b y c son números reales y n un entero positivo:

1. límb : b 2. limx: c 3. límx' : cnx+c xtc f +c

(GrdqSTR,r.eÉEü Para comprobar la propiedad 2 del teorema 1.1, es necesario demostrar que

paratodoe>0existeun6>0talquelr-.1 aesiempreque0<lt-.1 .6.Paralograrlo,

elegir 6 : e. Entonces, la segunda desigualdad lleva implícita a la primera, como se mues-

tra en |a flgura 1 . 16. Con esto se realiza la comprobación. (Las comprobaciones de las demás

propiedades de los límites de esta sección se encuentran en el apéndice A o se analizan en

los ejercicios.)

-

Figura 1.16

([lD Cuando se tengan nuevas

notaciones o símbolos en matemáticas,

hay que cerciorarse de conocer cómo se

l¿en. Por ejemplo, el límite del ejemplo

ic se lee "el límite de.x2 cuando x se

eproxima a2 es 4". I

b) ^\\o*:

-o c) l:y,r' : 22 : 4 ffi

TEOR.Eh{,{ X.l ATGUNOS LíMITES BÁSICOS

gjgrldFl{} I Evaluación de límites básicos@

a) lg3:3

?N8REh,iA i.? PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Si b y c son números reales y ¿ un entero positivo,/y g son funciones con los límites

siguientes:

!ry¡fiu):r v lTlsu):K1. Múltiplo escalar: límlbf(x)l: bL

x+c

2. Suma o diferencia: lím [/(x) t s(")] : L + K

3. Producto: iilfe)si)l: LK

4. Cociente: H^f+ : +, siempre que K # or-c g(x) K

5. Porencias: lím lf?)1" : r

60 CAPÍTULO 1 Límites y suS propiedades

gg4tÍtgj Límite de un Polinomio

lím (4xz + 3) : lím 4x2 + lím 3 Propiedad 2x+2 x+2 x+2

* lím 3 Propiedad Ix¿2

: o(ls"'): 4(22) + 3

:19Ejemplo 1.

Simplificar.

En el ejemplo 2, se observa que el límite (cuando x -+ 2) de la función polinomialp(x) : 4x2 + 3 es simplemente el valor de p en x : 2.

tímp(x): p(2):4(2') + 3: Ie.x+2

Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinomiales yracionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado.

TEOREMA 1.3 LIMITES DE tAS FUNCIONES POLINOMIATES Y RACIONATES

Si p es una función polinomial y c un número real, entonces:

ly¡n{-): p(c).

Si r es una función racional dada por r(x) : p(x)/q(x) y c un número real tal que

qG\ # 0. entonces

n(c)lím r(x) : ,(r):'x+c q(c)'

E ElVtPt-O 3 Límite de una función racional

Encontrar el límite: rr^x2 + x + 2x+1 x*1

Solución Puesto que el denominador no es 0 cuando x: 1, se puede aplicar el teorema1.3 para oblener

ffi

ffi

,, x2+x+2 l2+l+2 4

lT' "+l : l+l :r:z'

El sin¡or-o ue míz cuADMDA

EI primer uso de un símbolo para denolar

]::tlll¡t:irü¿:0iiád¡ii4qtda!¡]d¡!l!¡clq:{üi:al:::::::::::::tutu

principio, los matemá1icos emplearon el

rl.:td.¡ dttyr:sr¡q&¡t:!ó1e:&{l&?!¡li:8i!i:t!:,rrl:r:i]:sl¡clÓ.pqt:s!¡l&iigdsiqQii¡lga¡{!¡4;{$!1{::::i::rl

:::rrpd4¡cp!69n¡¡!!¡:pcl¡br¡111i!y@¡iqu9,i:lllsignifica raiz.

Las funciones polinomiales y racionales son dos de los tres tipos básicos de funciones

algebraicas. El siguiente teorema se refiere al límite del tercer tipo de función algebraica: elque contiene un radical. Ver la demostración de este teorema en el apéndice A.

TEOREMA 1,4 IÍMITE DE UNA TUNCIÓN RADICAT

Si n es un entero positivo. El siguiente límite es válido para toda c si n es impar, ypara toda c > 0 si n es par'.

',y,ú: {'

SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 61

El siguiente teorema aumentará notablemente su capacidad para calcular límites, yaque muestra cómo tratar el límite de una función compuesta. Ver la demostración de esteteorema en el apéndice A.

TEOREMA 1,5 LIMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Si/y g son funciones tales que lím g(x) = L y lím f(x) = f(L), entonces:

lím/feto) = /( limito) =f(L).

EJEMPLO 4 Límite de una función compuesta

a) Puesto que

lím (x2 + 4) = O2 + 4 = 4 y lím V.

se sigue que

lím V*2 +'4 = V4 = 2.

Z>) Puesto que

lím (2*2 - 10) = 2(32) - 10 = 8 y

se sigue que

= V4 = 2

= 2.

x—>3lím 4/2*2 - 10 = 4/8 =

Se ha visto que los límites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular pormedio de la sustitución directa. Las seis funciones trigonométricas básicas también ™tíin rrin f>ctd Hí^Cí^aHlÉ» i-\rr\nif^Harí rr*mr\> mnÉ»ctra p»n (=»1 cimii^ntí^ tp»r\r£>míi fr*v£»cp»ntQ

meo e a s u s t t u c n recta. as ses uncones trgonomtrcas scas t a m n cutan con esta deseable propiedad, como se muestra en el siguiente teorema (presentadodemostración.

cuen-sin

TEOREMA 1.6 LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Sea c un número real en el dominio de una función trigonométrica dada.

1. lím sen* = sene 2.X—>C

3. lím tan * = tan c 4.

lím eos x = eos cX—>C

lím cot x = cot cx—>c

5. lím sec x = sec cx—>c

6. lím esc x = esc c

EJEMPLO 5 Límites de funciones trigonométricas

a) lím tan x = tan(O) = O

b) lím (x eos x) = lím x lím eos *X—>7T \X—>TT /\X—>7T

c) lím sen2* = lím (sen*)2 = O2 = O

,

62 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

Una estrateg¡a para el cálculo de límites

En las tres páginas previas se han estudiado diversos tipos de funciones cuyos límites pueden

calcularse mediante sustitución directa. Lo anterior, aunado al teorema siguiente, permite

desarrollar una estrategia para calcular límites. Ver la demostración de este teorema en el

apéndice A.

TEüREMA 1.7 FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO SALVO EN UN PUNTO

Sea c un número realy f(x): g(x) para to do x * c en un intervalo abierto que contiene

a c. Si existe el límite de g(x) cuando x se aproxima a c, entonces también existe el

límite deflx) y

lím/(¡) : lím g(.r).

EIEMPLCI 6

-

Cálculo del límite de una función

Encontrar el límite:x3-Ix*I

Solucién Seaflx) : (r3 - l)/ (x - l). Al factorizary cancelarfactores,/se puede escribir

como

tx-TJG2+x+l)f(x):ffi:xr+x+ l:s(r)' x* t'

De tal modo, para todos los valores de ¡ distintos de x : 1,las funcionesf y g coinciden,

como se muestra en la figura 1.17. Puesto que el lím g(.r) existe, se puede aplicar el teorema

1.7 y concluir que,f y g tienen el mismo límite en r : 1.

límr+l

x3-Illm -- _

¡+lf-l,. (x-l)(x2+x+l): llfrr-x+l x- I

,. t¿--fJA2+x+ l): llm------------;--r+1 X-t I

:lím(x2 +x+ 1)ré1

:12 -F1*1--3

Factorizar.

Cancelar factores idénticos o factores comunes

Aplicar el teorema 1.7.

Usar sustitución directa.

Simplificar. E/y g coinciden salvo en un punto

Figura 1.17

qTHtrffiffiñF Cuando se apliqueesta estrategia al cálculo de límites, re-

cordar que algunas funciones no tienenlímite (cuando x se aproxima a c). Porejemplo, el siguiente límite no existe

x3+1lím -.r+l x- |

g@)=x2+x+

UNA ESTRATEGIA PARA EL CÁTCUM IN IÍMITES

l. Aprender areconocer cuáles límites pueden evaluarse por medio de la sustitución

directa (estos límites se enumeran en los teoremas 1.1 a 1.6).

2. Si el límite deflx) cuando x se aproxima a c no se puede evaluar pot sustitución

directa, frafar de encontrar una función I que coincida conf parc todo x distinto

de x : c. [Seleccionar una g tal que el límite de s(¡) se pueda evaluar por medto

de la sustitución directa.l3. Aplicar el teorema 1.7 para concluir de manera analítica que

límf (x)=tu8Q) = s(c).

4. rJtllizar uta grófica o una tabla para respaldar la conclusión.

SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 63

Técnicas de cancelación y de racionalización

En los ejemplos 7 y 8 se muestran dos técnicas para calcular límites de manera analítica.

La primera ufilizala cancelación de factores comunes y la segunda, laracionalización del

numerador de una fracción.

Encontrar el

gJfrffiPLS F Técnica de cancelación

12+r-6límite: lím *.r+-3 f -f J

S¿¡Eueió¡¡ Aunque se trata del límite de una función racional, no se puede aplicar el teorema

1.3 debido a que el límite del denominador es 0.

u.Yrl*' +x-6):o,r^ *'+x-6 /

L¡:u'ritu.ió¡relirecr,lalla.nm -----_r'J "f-fJ \ \

,[T.,(r + 3) : o

Puesto que el límite del numerador también es 0, numerador y denominador tienen un factorcomún: (.r + 3). Por tanto, parafoda x * *3, se cancela este factor para obtener

xz+x*6x*3

(x-rT\(x - 2):- _ :x-2:s(x), x*-3.X-'-f af(*) :

Empleando el teorema 1.7, se sigue que

,, x2+x-6"[trff

: ,fur(* - z¡ Aplicarel teorema 17'

: - 5. Us¡r sustitución directa'

Este resultado se muestra de forma gráfica en la figura 1.18. Observar que la gráfica de la

función/coincide con la de la función S(r) : x - 2, sólo que la gráfica de/tiene un hueco

en el punto (-3, -5). w

En el ejemplo'7,|a sustitución directa produce la forma fraccionaria 0/0, que carece

de signif,cado. A una expresión como 0/0 se le denomina forma indeterminada porque no

es posible (a partir sólo de esa forma) determinar el límite. Si al intentar evaluar un límitese llega a esta forma, debe reescribirse la fracción de modo que el nuevo denominador no

tenga 0 como límite. Una manera de lograrlo consiste en cancelar los factores idénticos o

comunes, como se muestra en el ejemplo 7 . Otra manera consiste en racionalizar el nume-

rador, como se hace en el ejemplo 8.

coNFUslóN TEcNoLÓGlcA Puesto que las gráficas de

f(r) : x2+x-6 g(x):x-2x-1 3

dif,eren sólo en el punto (-3, -5), la configuración normal de una heramienta de grafl-

cación podría no distinguir entre ellas. No obstante, debido a la configuración de puntos

("pixeles") y a los effores de redondeo, quizá sea posible encontrar configuraciones de

pantalla que distingan las gráflcas. De manera específica, aplicando el zoom repetidas

veces cerca del punto (-3, -5) en la gráfica def,la herramienta de graficación podría

mostrar fallas o irregularidades que no existen en la gráficarea1 (verla figura 1.19). Si se

modifica la configuración de pantalla, podría obtenerse 7a gráfrca correcta de/.

'no está definida para x : -3Figura 1.18

(!l[) En la solución del ejemplo 7,

-'erciorarse de distinguir la utilidad del

:3orema de factorización del álgebra.

Este teorema establece que si c es un

:ero de una función polinomial, enton-;es (x - c) es un factor del polinomio.

Por tanto, si se aplica sustitución ditec--i a una función racional y se obtiene

p(c) orlcl:

-: =s\c) o

¡uede concluirse que (x - c) es un

¡actor común dep(:r) y de q(x). I

-5+s

Gráfica incorrecta de/Figura 1.19

-3+E

64 CAPITULO I Límites y sus propiedades

El límite de/(x) cuando.r se aproxima

a0eszlFigura 1.20

EJEMPLA 8 Técnica de racionalización

Encontrarellímite: ti^ffi - t.¡+O X

Solucidn Al utilizar la sustitución directa, se obtiene la forma indeterminada 0/0.

$(-6+1-t) :o

Jr+t-tllm

-

x+0 X

límr:0¡+0

En este caso, se puede reescribir la fracción racionalizando el denominador:

=-*lJx + I + l):-J- . x*o

Jx+l+I

Ahora, cuando se emplea el teorema 1.7, se puede evaluar el límite como se muestra acontinuación:

"G+ I - t Illlll-: ttttt---:-x+0 X x+oJx+l+l

1

l+l:1

2

Una tabla o una gráfica puede servir para fortalecer la conclusión de que el límite es j (ver

la figura 1.20).

x -o.25 -0.1 -0.01 - 0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.25

f(.) 0.5359 0.5132 0.5013 0.5001 ? 0.4999 0.4988 0.4881 0.4721

x

@D Latécnica de racionalización en el cálculo de límites se basa en multiplicar por una forma

conveniente de l. En el ejerirplo 8, la forma apropiada es

. J*+t+t' J*+t+t'

La sustitución directa falla.

I

h(x) <f(x) < s@)

)

SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 65

Teorema del encaje

El siguiente teorema se refiere al límite de una función que está "encajada" entre otras dos,

cada una de las cuales tiene el mismo límite en un valor dado de.r, como se muestra en la

frgura l.2l (ver la demostración de este teorema en el apéndice A).

En la demostración del teorema 1.9 se aprecia la utilidad del teorema del encaje (también

se le llama teorema del emparedado o del pellizco).

TEORE}IA 1.9 DOS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES

1. límsen": I 2. lím I - cosx - o

*+0 X x+0 X

igrucsr{4q¡5}¡ ) Con el fin de evitar la confusión entre dos usos distintos de x, se presenta

la demostración utilizando la variable 0, donde 0 denota un ángulo agudo positivo medido

en radianes. En la figura L.22 se muestra un sector circular encajado o emparedado entre

dos triángulos.

Tmrema del encaje

tigura 1.21

Sector circular utilizado para demostrar

el teorema 1.9

Ftga"l..22

\] -,

1

> Área del sector

e-2

> Área del triángulosen 0>_-2

0 resulta

T{SREMA 1.8 TEOREMA DEL ENCAJE

Si ft(x) = f(x) = g(x) para todos los r en un intervalo abierto que contiene a c, por la

posible excepción de la propia c, y si

\ímh(x) : L: tím s(x)x+c x--tc

entonces el límf (x) existe y es igual a I.

l

n* t*":1,

ñ 1,0)

1

e)

Á¡'^'AI

Área del triángulotan 0

2

Al multiplicar cada expresiónpor 2f sen

lecos0-sen0- ^

tomando sus recíprocos e invirtiendo las desigualdades se obtiene:

sen 0cos0< e ,1.

Puesto que cos g : cos (-0) y (sen 0)/0: [sen (-0)]/(- 0), se concluye que esta des-

igualdad es válidaparatodo 0 distinto de cero dentro del intervalo abierto (- n/2, n/2).Porúltimo, dado que lím coi 0 : 1y lím 1 : 1, se puede aplicar el teorema del encaje para con-

cluir que lím (sen 0)/ 0 : 1. La demostración del segundo límite se deja como ejercicio para0)O

el lector (ver el ejercigio 123).

:

66 CAPÍTULO I Límites y sus propiedades

tan fJtxt =

-

Un límite en el que interviene una func¡ón tr¡gonométrica

Encontrar el límite: HrySolución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada Qf O. Pararesolver este problema, se puede escribir tan r como (sen x)/(cos x) y obtener

rí' tun* : rím fry!r)l-L).x+o X ¡+0\ x /\cos¡/Ahora, puesto que

sen .)rlrm-: Ix+O X

se puede obtener

v lím 1 :t' ¡+o COS f

-2

El límite de/(x) cuando x se aproxima

a0es IFigura 1.23

L2

-2

El límite de g(x) cuando ¡ se aproxima

a0es4Figura 1.24

Ím tanx : (rr^t"n")Íi* I )x-0 x \r-o x / \x-o COS x/: (1x1)

: 1.

(Ver la figura I.23.)

-1!2

Multiplicar y dividir entre 4

Aplicar el teorema 1.9(1).

-

WJ!. Un límite en el que interviene una func¡ón tr¡gonométrica

Encontrar el límite: 1í- t"n 4t.

¡+0 X

Solucién La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada0f 0.Pararesolver este problema, se puede escribir el límite como

,'- sen 4x : +( r,oE1q)r+0 .r \x+o 4X /

A1 serahoray :4xy observarquer--) 0 siy sólo siy-+ 0, sepuedeescribir

lír ttn4" : +(li^sen4x)¡+0 X \x+O 4X /

: +/rr,n ttnY)

\y-o y I: 4(1):4.

(Ver la figura I.24.)

TEcNoLocíA IJfllizar una herramienta de graficación para confirmar los límites delos ejemplos y del conjunto de ejercicios. Por ejemplo, las figuras I.23 y 1.24 muestranIas gráficas de:

. tan x sen 4xl'k):- y s(xl

Observar que la primera gráfica parece contener el punto (0, 1) y la segunda al punto(0, 4), lo cual respalda las conclusiones obtenidas en los ejemplos 9 y 10.

SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 67

iEffi Ejercicias

| ,o ,o, ejercicios I a 4, utilizaruna herramienta de graficaciónpara representar la función y estimar los límites de manera

3s. ]s""(#)/ _.\

-36. lím secf 3lr+7 \6/

risuat.

l. h(x) : -x2+ 4x

a) tímh(x)x)1

b) tím h(x)r+l

3. ¡(x) : ".or t

a) tímf(x)r+0

b) lím /(x)x- t/3

") llg f(')

2- otv\ : n(tG - l)o\-¡z X _ 9

") l5is6)D !ry¿stu')

q. fO:4t - +l

") Iry,fk)b) lím f(¡)t+- |

para evaluar los límites.

37. fif(,): z

tím g(x) : 2

a) Ím [5s(-{)]x+c

b) Ím [/(f) + g(")]x+c

c) rm [/(-r)s(.x)]x)cflx)d) Iím'-*

*-. g(f)

39. tímf(x) : 4

a) Ím [/(rXI+C

b) tír¿-/f@

c) 1í'" t3l(")l

d) Iimlf (x)13/2Í-c

rí^f(*) :1lím s(x) : ]

") t::ilrf(,)lb) lím [/(f) + s(r)]

c) Ím [/(r)s(,r)]f(x\

d\ lím'-*x-c g(x)

rímf(x) :27

g tím tf@.. .f(r)b) i'T l8

c) rí^lf@)l'

A tímlf(x))z/3

En los ejercicios 37 a 40, utilizar la informacién que se expone

38.

En los ejercicios 5 a22, calcular el límite.40.s' I:sr

7. tíryQx - r)

9. lím (x2 + 3x)r- 3

ll. ,\\r(zt, + 4x + l)

13. lírn: -tr + I

15' *tu'r(r

+ 3¡t

1

17. lím:x+2 X

19. lím -lx-l X2 l43r

21. lím -é,-t Jx -f 2

6. tím fx+-2

8. lím (3x + 2)¡+- ]

10. Ím (-x2 + 1)t-l

12. lím (3r3 - 2x2 + 4)r+l

t4. I::ivq + 4

16. Iím (2x - 1)3r+O

,18. Iím --1r--3 X -l 2

1--2,20. lím Tx+t x-F5

/J22. Ím#

x+2 X-4

En los ejercicios 23 a 26, encontrar los límites.

23. f(*): s - x, s(x): P

En los ejercicios 41 a 44, utilizar la gráfica para determinar ellímite (si existe) de manera visual. Escribir una función más simpleque coincida con la dada, salvo en un punto.

,2_"4t. s(x) : "' "" . -)('+ tx42. hlx):

-

xxl

a) lím s(x)rt0

b) lím s(x)

x3-x.s(x) : .-Jr- I

)

rím h(x)

tím h(x)¡+0

.]r

/(x): ,x'- x

)

u. f(r):r+7, g(x):x2

") ,\\, f(r) b) ll+s@)25. [k):4 -x2. g(r) :lC+ I

") llgf(*) b) l::!s@ ') ]Ts("f(¡))26. [(x\ :2x2 - 3x * l. g(x) : lG + 6

') rtry fQ) b) H,sG) d :lgs(f?))En los ejercicios 27 a 36, encontrar el límite de la función trigo-nométrica.

b) ltg"s(".) ') iS s("r("))

c) tím s(f(r)lf,+-J

44.43.

a)

b)

a)

b)

a)

b)

27. lím senx

-, Ttxllm cos ^x-l -t

lím sec 2"rr+O

lím sen¡x+5r/6

28. lím tan xx+ñ

30.

32.

34.

29.

31.

33.

Trxlím sen

^x+2 ¿

lím cos 3x

lím cos ¡x¿5n/3

J1,¡s{")

,[T, s(')

li?/(r)

I::¿r(.)

68 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

En los ejercicios 45 a 48, encontrar el límite de la función (si

existe). Escribir una función más simple que coincida con la dadasalvo en un punto. Utilizar una herramienta de graficación paraconfirmar el resultado.

79. lím lI/(2+x)l-¡12) "s-1280. lím-r+2 l-/

82. r$99#84. tím TY

" .o Vx

En los ejercicios 85 a 88, encontrar ¡^ fk J-M)-J-&)-,Ax

8s. /(x) :3x - 2

86. f(x) : Ji87. ftr): -+",r -r -t

88. /(x) : x2 - 4x

En los ejercicios 89 y 90, utilizar el teorema del encaje para calcu-lar lím/(¡).

89. c: 0

4-x2<f(x)<4+x290. c: a

b-lr-al<f6)<b+lx-al& n" los ejercicios 9l a 96, utilizar una herramienta de grafica-

ción para representar la función dada y las ecuacionesy : lrl y

J = - lx I en una misma ventana. Usando las gráficas para visuali-zar el teorema del encaje, calcular lím/(r).

45. lím o '¡+*1 J*1

x3-847. Iím ^

49. lím;Lx-OX'- X

-_ Á

51. ÍmS,-+ x' - 16

s3. ri* {j {ré¡--3 xt - 9

.. 'E+s-z35, lim

-

r+4 X-4_ E

-.Jx+5-J5J/. lim

-

r)0 X

se. l*uer*(llq

.. 2x2 -x-3Itm

-

r+-l x -l I

.. x3 + 1ItlTl

-

¡+ l¡*1

-- 3¡lrm *x-O X' -f lX

1-vhm#^-3X¿ -9,. x2 - 5x -l 4lrm hr-4f'- ZX - ó

-. 'G+l-zllm ^r+3 X-5

.. J2+r-15llm

-

¡+0 X

.. lt/(, + 4)l - (t/4)llm

-

x+0 X

(r -l L,x\2 - x2lím -------;--

Ar+0 A-{

l-(x2-2x+l)

x+0 X

81. tim@rtO t

83. 6- !9n!t'

/("r): xcosx

/("r) : l-rl senx

"f(") : rr"n1

46.

48.

En los ejercicios 49 a 64, encontrar el límite (si existe).

50.

52.

54.

5ó.

58.

2(x+Lx)-2x

60.

62.61, límArt0

63. límA¡>0

Ax

(x + A.x)2 - 2(x + Ax) +A¡

(x*Ar)3-x:64' JL ax

En Ios ejercicios 65 a 76, determinar el límite (si existe) de lafunción trigonométrica.

91.

93.

95.

92.

94.

96.

/(x) : l"rsenx

./(x) : lxl cos.r

/r(") : xcosl

65. lím Yl¡+o 5-I

67. lím¡+0

sen x( 1 - cos .r)

'' l'$*"'l:*ry73. lí- "o"

t+r/2 CQt X

7s. yyY

66'ls

68.

70.

72.

74.

x2

cos 0 tan 0

o-0 0

tan2 .r

r)0 X

lím {sec @ó-¡I -tanxlím

-

x+r/4SA17X - COS -]f

97. Enel contexto del cálculo de límites, analizar qué se quiere

decir mediante las funciones que coinciden en todo salvo en

un punto.

98. Elaborar un ejemplo de funciones que coinciden en todosalvo en un punto.

99. ¿,Qué se quiere decir con indeterminación o forma indeter-minada?

100. Explicar el teorema del encaje.

l01. Redacción Uttlizar vna hemamienta de graficación para hacer

la representación de

fk\ - x. g(x) --senx y á(x) : SÁ

en la misma ventana. Comparar las magnitudes de/(r) y g(-x)

cuando x se acerca a 0. Utilizar la comparación para escribir unbreve párrafo en el que se explique por qué

lim h(x) : 1.".,qx=

76. rím #* Lr,r"* ncia:EncontrarlrT(@,

Xr*",--tt) ]# nAmX grdfico, numérico y analítico En los ejerci cios 77 a

84, utilizar una herramienta de graficación para representar lafunción y estimar el límite. Emplear una tabla para respaldar laconclusión. Posteriormente, calcular el Iímite empleando métodosanalíticos.

TJ- ''1^ t L 1LI t. l1m

r>0 X

&

# f OZ. Red.acción lJtllízar una heramienta de graficación para re-presentar

.f(x) - x. g(x) -- sen' x y hlrl - sen' r

en ia misma ventana. Comparar las magnitudes deflx) y g(-{)

cuando.r se acerca a 0. Utilizar Ia comparación para escribir un

breve piárrafo en el que se explique por qué 11¿

/r(x) : 0

Objeto en caída libre En los ejercicios L03 y 104' utilizar lafunción de posición s(t) = -16t2 * 500, que da la altura (en pies)

de un objeto que lleva cayendo I segundos desde una altura de

-i{X) pies. La velocidad en el instante / = ¿ segundos está dadapor

.. s(a) - s(t)l¡m

-.

:-a 4-t

103. Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de 500

pies, ¿a qué velocidad estará cayendo luego de 5 segundos?

l0-t. Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de

500 pies, ¿cuánto tiempo tardará ésta en llegar al suelo? ¿A qué

velocidad se producirá el impacto?

Objeto en caíilalibre En los ejercicios 105 y 106, utilizar la funciónde posición s(t) : -4.9t2 * 200, que da la altura (en metros) de

un objeto que cae desde una altura de 200 m. La velocidad en el

i¡stante I : a segundos está dada por

s(a) - s(l)lím-.i-a O-t

105. Determinar la velocidad del objeto cuando ¡ : 3.

106. ¿A qué velocidad golpeará el suelo?

107. Encontrar dos funciones/y g tales que líq./(,x) Y lt4 S(x) no

existan, nero sí lig¿ [f(x) + s(.{)], si existe.

108. Demostrar que si lt5¡l(, existe y lím U(x) + S(x)l no existe,

entonces lrg S(;r) tampoco existe.

109. Demostrar la propiedad 1 del teorema 1 . 1.

110. Demostrar la propiedad 3 del teorema 1.1. (Se puede utilizar lapropiedad 3 del teorema 1.2).

111. Demostrar la propiedad 1 del teorema i.2.

112. Demostrar que si lím/(.{) : 0, entonces lím lfl.r)l : 0.

113. Demostrar que si1ímflx) : 0 y lg(t)l < Mpara un número fijo

M y todas las x * c, entonces |rg/(;)S(x) : O.

lI4. a) Demostrar que si Iím l.l(r)l : 0, entonces límflx) : 0.

, (Nota'. Este ejercicio es inverso al del problema 1 12.)

b) Demostrar que si límflx) :¿ entonces ím lfrl : l¿.

fsugerencia: IltiIizar la desigualdad ll/(t)l - ]rll = l¡x¡- Ll'l

lI5. Para pensar Encontrar una función / que muestre que el

recíproco del ejercicio I 14b no es verdadero. fSugerencía'. Blus-

car una función/ta1 que lf{tt lfrl : ll,l, pero donde lím/(x) no

exista.l

SECCION 1.3 Cálculo analítico de límites

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 117 a 122, determinar si

la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa explicar por qué oproporcionar un ejemplo que lo demuestre.

ttl. tíml4: I

116. ¡* !911: 1

119. Si/(.r) : g(;r) para todos los números reales distintos a x : 0, y

lím f\x) - L, entonces lím s(x) : ¿.r..-{1" r >0 -

120. Sitím/(x) : l, entonces f (c) : L.

121. lím f(x) -- 3, dondc f-¡ r < 2

;..:r".. ./(.r) _10. .r>2

122. Sr f(x) < g(x) para todas lasx * a, entonces

1ím/{x) < lím g(x).

123. Demostrar la segunda parte del teorema 1.9 probando que

I - cosx

¡+0 X

[0. six es racional124. Sean t(x): L

I l. si x es irracional

v[0. six es racional

olvl : {ó'^ ' [x. si x es inacional.

Calcular (si es posible) límflx) y lírq g(x)

125. Razonamiento gráJico Considerar "f(r) : l"t " 1

x2a) Determinaré1 dominio delb) Utilizar una henamienta de graficación para hacer la repre-

sentación de/. ¿Resulta evidente el dominio de/a pafir cle

la gráfica? Si no es así, explicar por qué.

c) Utilizar la gráficaf para calcular líryflx).

ó Confirmar la respuesta del aparlado c) utilizando el método

analítico.126. Aproximación

. I - cos,ra) Calcular lím

bi) ;;;;; "i*'uu]i 0", unu.ado anterior para obtener ra

aproximación cos -r : 1 -Lf parar cercanas a 0.

c) Aplicar él resultado del apartado b) para estimar cos (0.1).

ü Utilizar una herramienta de graficación para estimar cos

(0.1) con cuatro decimales. Comparar el resultado con el

del apafado c).

127. Para pensar Al utilizar una herramienta de graficación para

generar una tabla con el fin de estimar 1í33 [(sen ¡)/¡], un estu-

diante concluye que el límite, y no 1, era 0.0i745. Determinar

la probable causa del error.

69

&.

116. Sea/(.r) : {;, ; !f,."n"ono*Igtf(,).

70 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

:r:r::iir.:€:xr*!¡f O:R:*.g$(¡.ls:}ill!:r]l

De módo informal, se podría decirque una función es cont¡nua en un

i¡tervalo abierto si su gráfica se

puede dibujar sin Ievantar el lápizdel papel. Utiliz¿r una hen¿unienta

de graficación para representar las

siguientes fuircioies en el intervaloindicado. De las gráficas. ¿qué fun-ciones se dice que son continuas en

dicho intervalo? ¿Se puede confiaren 1os resultados obtenidos gráfica-mente? Explicar el razonamiento.

Funcíón . .Intervalo

a) v:f +tI

b\ y: ^x- z

sen -)r

c) y--'JC

P-4

(- 3, 3)

(* 3, 3)

(- n, n)

(- 3, 3)

(- 3, 3)

ü Y: x*2l2x-4, x<o

¿) v:llx+1, x>0

PARA MAYOR INFORMACIÓNPara obtener más información sobre elconcepto de continuidad, ver el arlículo"Letbnrz and the Spell of the Conti-nuous" de Hardy Grant en The CollegeMathematícs Journal.

re Gontinuidad y límites laterales o unilaterales* Determinar la continuidad en un punto y en un intervalo abierto.# Determinar límites laterales o unilaterales y continuidad en un intervalo cerrado.s Usar propiedades de continuidad.s Comprender y aplicar el teorema del valor intermedio.

Continuidad en un punto y en un intervalo abiertoEn matemáticas, el término continuo tiene el mismo significado que en su uso cotidiano.Decir, de manera informal, que una función / es continua en r : c significa que no hayinterrupción dela gráfi.ca de/en c. Es decir, la gráfica no tiene saltos o huecos en c. En lafigura 1.25 se identifican tres valores de ¡ en los que la grífica de f no es continua. Enlosdemás puntos del intervalo (a, b),la gráfica delno sufre intemrpciones y es continua.

Existen tres condiciones para las que la gráfica de/no es continua en.r : rFigura 1.25

En la figura 1.25, parece que la continuidad en Í : c puede destruirse mediante cual-quiera de las siguientes condiciones.

1. La función no está definida en x : c.

2. No existe el límite de f(x) en x : c.

3. El límite de/(r) en -r : c existe, pero no es igual a/(c).

Si no se daninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función/es continuaen c, como lo señala la importante definición que sigue.

DEFI\ICIó\ DF CO\TfNIf IDAT)

Continuidad en un punlo: Una función/es continua en c si se satisfacen las tres

condiciones siguientes:

1. fc) está definida.

2. J$"f(x)existe.

3. Iryf6) : f(,)

Continuidad en un intervalo abierto: Una función es continua en un intervaloabierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en larecta completa de los números reales (-oo, oo) es continua en todas partes.

tímf(x) +f(c)

Cb

¡ | Discontinuidad evitable o removible

'¡l

-t----r- -l*'acb

l Discontinuidad inevitable o no removible

f _- _+__- _l_- ,\. tacb

:, Discontinuidad evitable o removible

t*qura 1.26

,'..i.:.ii:.'{iri*. Algunas veces

;c -lama a la función del ejemplo la-':continua". Pero se ha encontrado

.lrJ esta terminología es confusa. Es

:r:rerible decir que la función tiene una

¡.rontinuidad en x : 0, es decir, que./:s iiscontinua.

-.2 lb) sU): -

- x- |a) f(x):Solucién

SECCIÓN 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 7l

Considerar un intervalo abierto l que contiene un número real c. Si una función/estádefinida en 1 (excepto, posiblemente, en c) y no es continua en c, se dice que/tiene una dis-

continuidad en c. Las discontinuidades se clasifican en dos categoías: evitables o removi-bles e inevitables o no removibles. Se dice que una discontinuidad en c es evitable o remo-

vible si/se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) apropiadamente/(c). Porejemplo, las funciones en las figuras 1.26ay c presentan discontinuidades evitables o remo-

vibles en c, mientras que la de la figura 1.26b presenfa una discontinuidad inevitable o no

removible en c.

Continuidad de una función

Analizar la continuidad de cada función.

[x+1. x<0c) hk\:1[x'z* l. x > 0

d) y : senr

El dominio de/lo constituyen todos los números reales distintos de cero. A partir del

teorema 1.3, se puede concluir que/es continua en todos los valores de ¡ de su dominio.Enr : 0,/tiene una discontinuidad inevitable, como se muestra en la figura l.27a.Enotras palabras, no hay modo de definir/(O) para hacer que la nueva función sea continuaenx:0.El dominio de g lo constituyen todos los números reales excepto x : 1. Aplicando el

teorema I .3, se puede concluir que g es continua en todos los valores de ¡ de su dominio.En ¡ : 1, la función presenta una discontinuidad evitable, como se muestra en la figura

I .27 b. Si g(l) se define como 2,1a "nueva" función es continua para todos los números

reales.

El dominio de h está formado por todos los números reales. La función ft es continuaen (-m, 0) y en (0, oo), y puesto que lím h(x) : 1, h es continua en toda la recta real,

como ilustra la fi.gura 1.27 c. ¡+o

El dominio de y está conformado por todos los números reales. Del teorema 1.6, se puede

concluir que la función es continua en todo su dominio (-oo, oo), como se muestra en

la figura 7.27d.

1x

a)

b)

c)

ü

a) Discontinuidad inevitable o no removible en.r : 0

)á) Discontinuidad evitable o removible en "r

: I

l¡+1,hlxl=< ^lx'+ l,.r<0;>0

x

c) Continua en toda la recta real

Figrral.27d) Continua en toda la recta real

-

J Se aproxrma a

c por la derecha

72 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

a) Limite por 1a derecha

f se aproxlmaacporlaizquierda

c>x

á) Límite por 1a izquierda

Figura 1.28

Límites laterales y cont¡nuidad en un ¡ntervalo cerrado

Para comprender la noción de continuidad en un intervalo cerrado, es necesario estudiar

antes un tipo diferente de límite, llamado límite lateral. Por ejemplo, el límite por la de-

recha significa que x se aproxima a c por valores superiores a c (ver la figura 1.28a). Este

límite se denota como

lim .f(x) : L.x+c'n

Límite por la derecha.

Función mayor entero

Del mismo modo, el límite por la izquierda significa que r se aproxima a c por valores

inferiores a c (ver la figura I .28b). Este límite se denota como

lím f(x): L. Límite por la izcluierdax4c

Los límites laterales son útiles al calcular límites de funciones que contienen radicales. Por

ejemplo, si ¿ es un entero dado

lim 4i: 0.x+0 1

ffi Un límite lateral

Encontrar el límite de /(¡) = ^,1 4 - xt cuando x se aproxima a -2por la derecha.

Sc-FE¿acisae Como se muestra en la figura 1.29, ellímite cuando x se aproxima a -2 por la

derecha es

lím ,4 -At :0.x¿ -2+

Los límites laterales pueden usarse para investigar el comporlamiento de las funcionesescalón. Un tipo común de función escalón es la función parte entera o mayor entero

kl, qu" se define como

El límite defr) cuando "r se aproxima

a - 2 por la derecha es 0

Figura 1.29

c< -2

Función parte entera o mayor entero

Figura 1.30

["] : *uyot erúeto n tal que n = x

Porejemplo, [z.s] : zy[-z.s]: -2.

ffi La función parte entera o mayor entero

Calcular el límite de la función parte entera o mayor entero /(r) : [x] cuando,r tiende a 0

por la izquierda y por la derecha.

l4*Ée¡*ió¡¡ Como se muestra en la figura 1.30, el límite cuando x se aproxima a 0 por laizquierda está dado por

lím [xl: -1r>0mientras que el límite cuando x se aproxim a a 0 por la derecha está dado por

lím [xl] : g.¡+0+

La función parte entera o mayor entero no es continua en 0 debido a que los límites por laizquierda y por la derecha en ese punto son diferentes. Mediante un razonamiento similar,se puede concluir que la función parte entera o mayor entero tiene una discontinuidad en

cualquier enleno n.

ffi

SECCIÓN 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 73

Cuando el límite por la izquierda no es igual al límite por la derecha, el límite (bilateral)

no existe. El siguiente teorema lo explica mejor. Su demostración se obtiene directamente

de la definición de límite lateral.

?SOR&MA 1.10 EXISTENCIA DE UN LIMITE

Si.f es una función y c y L son números reales, el límite del(x) cuando x se aproxima

acesLsiysólosi

rím f(x) : L y lím, f(*) : r.

El concepto de límite lateral permite extender la deflnición de continuidad a los inter-

valos cerrados. Básicamente, se dice que una función es continua en un intervalo cerrado si

es continua en el interior del intervalo y posee continuidad lateral en los extremos. Esto se

enuncia de manera formal como sigue.

Función continua en un intervalo cerrado

Fgura 1.31

Función continua en [- 1, 1]

Iigura 1.32

Se pueden establecer definiciones análogas para incluir lacon la forma (a, bl y la, b), que no son abiertos ni cerrados o

función

f(n : Jies continua en el intervalo infinito [0, oo), y la función

s6): JZ -.es continua en el intervalo infinito (-@,21.

continuidad en intervalosinfinitos. Por ejemplo, la

Continua por la derecha

Continua por la izquierda.

intervalo cerrado l-1, 1.], como se ilustra en la

Continuidad en un intervalo cerrado

Analizar la continuidad de f(x) = 4I= .

S¡¡B¡:eié= El dominio deles el intervalo cerrado t- 1 , 11. En todos los puntos del intervalo

abierto (- 1, 1), la continuidad de/obedece a los teoremas 1.4 y 1.5. Además, dado que

lím -1 -7: o : f(-1)r+-l+

tim I=7:o:f(I)x-1

se puede concluir que/es continua en el

figiraI.32.

DEFINICION DE CONTINUIDAD EN UN INTERVATO CERRADO

Una función/es continua en un intervalo cerrado fa,bf si es continua en el inter-

valo abierto (a, b) y

r',f(*) :f(") y Hf@ :f(b)

La función/es continua por la derech a eÍ a y continua por la izquierda en ü (ver

la figura 1.31).

-

74 CAPITULO I Límites y sus propiedades

El volumen del hidrógeno gaseoso

depende de su temperatura

Figura 1.33

En 2003, investigadores del

Massachusetts Institute of Technology

utilizaron láser y evaporación

para producir un gas superfrío en

el que los átomos se superponen.

Este gas se denomina condensado

de Bose-Einstein. Midieron una

temperatura de alrededor de 450 pK(picokelvin) o -27 3.1499999995 5"C

aproximadamente. (Fuente: Scienc e

Magazine,l2 de septiembre de 2003.)

El siguiente ejemplo muestra cómo se puede aplicar un límite lateral con el fin de

determinar el cero absoluto en la escala Kelvin.

Ley de Charles y cero absoluto

En la escala Kelvin, el cero absolutoes la temperatura 0 K. A pesar de que se han obtenido

temperaturas muy cercanas a 0 K en laboratorio, nunca se ha alcanzado el cero absoluto. De

hecho, existen evidencias que sugieren la imposibilidadde alcatzar el cero absoluto. ¿Cómodeterminaron los científicos que 0 K es el "límite inferior" de la temperatura de la materia?

¿Cuál es el cero absoluto en la escala Celsius?

Solución La determinación del cero absoluto proviene del trabajo del físico francés Jacques

Charles (1'146-1823), quien descubrió que el volumen de un gas a presión constante crece

de manera lineal con respecto a la temperatura. En la tabla siguiente se ilustra la relación

entre volumen y temperatura. Para crear los valores que aparecen en la tabla, una mol de

hidrógeno se mantiene a una presión constante de una atmósfera. El volumen V es aproxi-

mado y se mide en litros y la temperatura Z se mide en grados Celsius.

T -40 -20 0 20 40 60 80

V t9.t482 20.7908 22.4334 24.0760 25.7186 27.3612 29.0038

En la figura I .33 se muestran 1os puntos representados en la tabla. Empleando dichos puntos,

se puede determinar que Ty V se relacionan a través de la ecuación lineal

V : 0.082137 + 22.4334 o T - V - -22'4334

0.08213

Mediante el razonamiento de que el volumen del gas puede tender a 0 (pero nunca ser igual

o tnenor que cero) se puede concluir que la "temperatura mínima posible" se obtiene por

medio de

v - 22.4334h r: J:l o^os2l3

0 - 22.4334

0.08213

- -213.15.De tal manera, el cero absoluto en la escala Kelvin (0 K) es de aproximadamente -273.75'en laescalaCelsius. s

La tabla que se encuentra a continuación muestra las temperaturas del ejemplo 5,

en la escala Fahrenheit. Repetir la solución del ejemplo 5 utilizando estas temperaturas

y volúmenes . rJtilizar el resultado para determinar el valor del cero absoluto en la escala

Fahrenheit.

T -40 -4 32 68 104 t40 176

v t9.1482 20.1908 22.4334 24.O160 25.1t86 21.3612 29.0038

V: RT Ley de Charles.

donde V es el volumen, R es una constante y I es la temperatura. En este enunciado de la ley, ¿qué

propiedad debe tener la escala de temperaturas? I

Usar sustitución directa

F¿

r

V=0.082137+22.4334

(-273.15,0)

15

10

5

SECCIÓN 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 75

Propiedades de la continuidad

En la sección 1.3 se estudiaron las propiedades de los límites. Cada una de esas propiedades

genera una propiedad correspondiente relativa a la continuidad de una función. Por ejemplo,

el teorema 1.11 es consecuencia directa del teoremal.2. (Se muestra una prueba del teorema

1.11 en el apéndice A.)

Aucusnr¡-Loun Cluctl (1 789-185?)

El concepto de función continua fue

:resentado por vez primera por Augustin-

Louis Cauchy en 1821. La definición

.rpuesta sn su texfo Cours d'Analyse

sublecia que las pequeñas modificaciones

rdefi¡idas en v eran resultado de las

squeñas modificaciones indefinidas en r,-....Áx) será una lunción continuasi...

-,¡ ralores iuméricos.de la diferencia;. - 6¡¡ -/(.r) - 0 disminulen de lorma

:.iefinida con los de a. . . "

1.

)

3.

4.

Las funciones de los siguientes tipos son continuas en sus dominios.

Funcionespolinomiales: p(¡) - a,./"*a, rx' 1a " Ia.tx*ctu

Funciones racionales: ,lr) : P9, qQ) + 0qlx)

f(.) :x * senx, f(r) : 3 tanx, f(.) : xz + Icos 'x

Funciones radicales: f6) : JiFunciones trigonométricas: sen r, cos r, tan r, cot x, sec r, csc r

Combinando el teorema 1 .1 1 con esta síntesis, se puede concluir que una gran variedad

de funciones elementales son continuas en sus dominios.

trrc Aplicación de las ProP¡edades de la continuidad

Por el teorema 1.1 1, cada una de las siguientes funciones es continua en todos los puntos

de su dominio.

w

El siguiente teorema, consecuencia del teorema 1.5, permite determinar la continuidad

de funciones compuestas, como

f@: sen3x, f(x): J? +1, f(r)

TS**ES,IA I"1: CONTINUIDAD DE UNA FUNCION COMPUESTA

Si g es continua en c y/es continua en g(c), entonces la función compuesta dada por

(/ " gXx) : lg("r)) es continua en ..

@Pordefinicióndecontinuidad,líms('):s(.)y"líry.f(;r):/(g(c))'Alaplicar el teorema 1.5 con r : eG) se obtiene lig /(sG)) :/(tg g(r)) :¡(s(c)). oe

esta manera, ("f . S) : "f(S(x)) es continua en c.

I: tan-x

Gixl Una consecuencia del teorema

i :s que si/y g satisfacen las condi-

- ::s señaladas, es posible determinar

; -. el límite de /(g(x)) cuando ¡ se

-:r" rima a c es

rím/(s(x)) : fG@). I

Tflil}I{fl&'{A I.iI PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD

Si b es un número real y/y g son continuas en x : c, entonces las siguientes funciones

también son continuas en c.

1. Múltiplo escalar. bf2. Suma y diferencia:/+ g

3. Producto:/gf4. Cociente: .l . si g(c) # 0I

76 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

4

3

2

1

/G) = tan *'

a) /es continua en cada intervalo abierto

de su dominio

Figura 1.34

EIEMPLCI 7 Prueba de la continuidadre

, 8(r)

,) gesconttnuaen(-uo.

f.sen-l. * + oa) f(xl: tan x b) S(x) : I ^Lo. x:0

( + -;)(;;)(:+)

Describir el intervalo o intervalos donde cada función es continua.

Solucién

u) La función tangentefx) : tan x no está definida en

7fx : t + nT, donde n es un enfero.

En todos los demás puntos es continua. De tal modo, f(x) : fanx es continua en todos

los intervalos abierlos

como muestra la figura 1.34a.

Puesto que y : 1/.r es continua excepto en r : 0 y la función seno es continua para

todos 1os valores reales de ¡, resulta que y : sen (1/x) es continua en todos los valores

reales salvo en x : 0. En x : 0, no existe el límite de g(x) (ver el ejemplo 5 de la sección

I.2).Por fanto, I es continua en los intervalos (-oo, 0) y (0, oo), como se muestra en

lafi.gura I.3i4b.Esta función es parecida a la del apartado b), con excepción de que las oscilaciones

están amortiguadas por el factor ¡. Aplicando el teorema del encaje, se obtiene

I

-lrl <xsenr<lxl. x*0

y se puede concluir que

tímh(x):0¡+0

De tal manera, /z es continua en toda larecfa real, como se muestra en la figura 1.34c.

!. x*0x'x:0

b)

c)

-3

-4-f'.n]."+olo, ¡=0

0) y (0, m¡

,t!,.ilt;$.::!i:i:.:,ñ:;-tr:'ü.i:-ij4;;r ¡r r:j ;il :ti. :l:r: :r'1l-\....-'\

c) /r es continua en toda la recta real

SECCIÓN 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 77

Teorema del valor intermedio

El teorema 1.13 es un importante teorema relativo al comportamiento de las funcionescontinuas en un intervalo cerrado.

TEOREMA 1.13 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Si/es continua en el intervalo cerrado [a, b],f(a) + f(b) y k es cualquier número entref(a) yf(b), entonces existe al menos un número c en [a, b] tal que

f(c) = k.

•Miift» El teorema del valor intermedio asegura que existe al menos un número c, pero no proporcionaun método para encontrarlo. Tales teoremas se denominan teoremas de existencia. Al consultar unlibro de cálculo avanzado, se observará que la demostración de este teorema se basa en una propiedadde los números reales denominada completitud. El teorema del valor intermedio establece que parauna función continua/, si x recorre todos los valores desde a hasta b, entonces/(*) debe asumir todoslos valores entre/(a) yf(b). •

Como ejemplo sencillo de este hecho, tomar en cuenta la estatura de las personas.Supongamos que una niña medía 1.52 m al cumplir 13 años y 1.70 m al cumplir 14 años,entonces, para cualquier altura h entre 1.52 y 1.70 m, debe existir algún momento í en el quesu estatura fue exactamente de h. Esto parece razonable debido a que el crecimiento humanoes continuo y la estatura de una persona no cambia de un valor a otro en forma abrupta.

El teorema del valor intermedio garantiza la existencia de al menos un número c enel intervalo cerrado [a, b]. Puede, claro está, haber más de uno, tal que/(c) = k, como semuestra en la figura 1.35. Una función discontinua no necesariamente manifiesta la pro-piedad del valor intermedio. Por ejemplo, la gráfica de la función discontinua de la figura1.36 salta sobre la recta horizontal dada por y = k, sin que exista valor alguno para c en[a, b], tal que/(c) = k.

f(a) ---

/es continua en [a, b][Existen 3 números c tales que/(c) = k]Figura 1.35

/no es continua en [a, b][No existen números c tales que /(e) = k]Figura 1.36

El teorema del valor intermedio suele emplearse para localizar los ceros de una funcióncontinua en un intervalo cerrado. De manera más específica, si/es continua en [a, b] yf(a)yf(b) tienen signo distinto, entonces el teorema nos garantiza la existencia de por lo menosun cero de/en el intervalo cerrado [a, b].

.f(x)=x3+2x-l

78 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

/es continua en [0,1] con/(0) < 0

vll) > 0

Figura 1.37

Una aplicación del teorema del valor intermedio

rJttlizar el teorema del valor intermedio para demostrar que la función polinomial/(x) : x3

* 2x * 1 tiene un cero en el intervalo [0, 1].

Solucién Observar que/es continua en el intervalo cerrado [0, 1]. Dado que

/(0):03+2(0)- 1 : -1 y /(r): t3 +2(t)- r:2resulta que/(0) < 0 yfl) > 0. Por tanto, se puede aplicar el teorema del valor intermedio y

concluir que debe existir algún c en [0, 1] tal que

f(c) : 0 I tiene un cero en el intervalo cerrado [0, 1 ].

como se muestra en la figura 1.37.

-El método de bisección para estimar los ceros reales de una función continua es parecido

al método empleado en el ejemplo 8. Si se sabe que existe un cero en el intervalo cerrado

[a, á], dicho cero debe pertenecer al intervalo la, (a -f b)/21 o l(a + b)/2, á1. A partir del

signo defl[a + bl/2), se puede determinar cuál intervalo contiene al cero. Mediante bisec-

ciones sucesivas del intervalo, se puede "afrapaf' al cero de la función.

TECNOLOGíA También se puede usar el zoom de una herramienta de graficaciónpara estimar los ceros reales de una función continua. Al hacer acercamientos de formarepetida alazonadonde la gráficacorta al eje x y ajustar la escala de dicho eje, se puede

estimar el cero de la función con la precisión deseada. El cero de x3 + 2x * T es alrededor

de 0.453, como se muestra en la figura 1.38.

-Q'2 *0.012

Figura 1.38 Aplicación del zoom al cero de/(.r) : I + 2x - |

o.2

[...rt:l.i

II

t:ii:::l

Itr

::a:.i|:

frllt:

-0.2

0.013

,tti:::l

rr:l::i1.

*ti.:ttt:::,

: :. : :. 4, :aa.aa:a::..::: la.a :a,aa,

:iii: :liil]lll]i::i:iilliiiir|lirll,lll,

:.:: .:..iit.t.:tt[..]:,.ttt.,,,,i

]]]: i::l]l]:]]j:]::i]:i:]i]...l:.::rir:rrrr::1,,:rrrlrlla,r:::1:a

! ¡ *!I

ffi EierciciosEn los ejercicios I a 6, utilizar una herramienta de graficación paradeterminar el límite y analizar la continuidad de la función.

a) lím/(x) b) Il:!f(*) ,) lí:y:fr*¡c=-3

(-3.4)a

r23456(2, -3)o-

l.

ejereicios 7 a 26, calcular el lÍmite (si existe). Si no existe,por que.

SECCIÓN 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales

2s. f(x) : L[xn + x

79

x<lx:Ix>l

l*'30. ¡(,¡:|r2.

lu-tv

1lím¡+8*f*8

x-5lím "^-x+5* x" - 25

xlím:'--3- Jx2 - 9

t¡- Hx+O- X

lx - l0l.In.ffi

3

¡+5- x*52-x

lím

-x¿2* X¿ - 4

r-, \/x-Jllm-x+9- X-9

8.

10.

L2-

l1- + L.-;

At

En los ejercicios 31 a 34, analizar la continuidad de la función en

el intervalo cerrado.

Función Intervalolím

Ar+0-

límAr+O+

(x + L,x)2 + x + L,x - (x2 + x)

L,X

31. sG): Jae -T l-7,7132. f(t):z-Js=V l-3,31

13-x- x<033. /k) : t; * ;,, ,, o [- r,4]

34. 8@: *r\

(x + 2I z, "r<3

ilT íx), donde /(x) -- 1r, _ uL ,'"'

Kry,^ndonde/(x) :{!; ?;:r, :::Hr'o donde /(x) : {X'.-,i, ::i

fx, x< ILín f(x), donde /(x) : {;r"" Ll-t, x>l

,trg "ot *

lím sec xr+n/2

ln+_(5kn - 7)

riry_(u - [xn)

,rg (z - n-¿i

,s('- [j])

28. f(r):#

l- r,2l

En los ejercicios 35 a 60, encontrar los valores de r (si existe al-guno) en los que/no es continua. ¿Cuáles discontinuidades sonevitables o removibles?

35.

37.

39.

41.

43.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

36.

38.

40.

42.

44.

1

f(x) = ^x-z

f{x): x2 - 2x + |I

.l\x) : *x'-r I

TtxJ\x): cost

x.l\x) : *x'- |

h los ejercicios 27 a 30, analizar Ia continuidad de cada fun-¡iiin

n- f6):7\

80 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

# En bs e;ercicios 61 y 62, utiüzar una herramienta de graficación pararepresentar la función. A partir de la gráfica, estimar

|ip/{r) v lr+"f(¡)

¿Es continua la función en toda la recta real? Explicar la res-

& n" los ejercicios 73 aTí,utilizar una herramienta de graficaciónpara representar la función. Usar la gráfica para determinar todo

. valor de ¡ en donde la función no sea continua.

73. /(x) : [xl - x 74. nAl :71, _ 2

fr'-3x, x>475. gl¡) : ll2x-5. x<4

lcosx - It -, x<o76. frr| : .l !t_L5x. x>0

En los ejerciciosTT a 80, describir el o los intervalos en los que la

función es continua.

77. f(x) : - ,! -x'-r x -r ¿

v

79. f(xt : sec 4 80.4

l

& n dorrilin En los ejercicios 81 y 82, utilizar una herramientade graficación para representar la función en el intervalo l-4141.¿Parece continua en este intervalo la gráfica de la función? ¿Escontinua la función en [-4,4]? Escribir unas líneas sobre la im-portancia de examinar una función analíticamente, además de

hacerlo de manera gráfica.

x3-8

s3' f(.*) :

s4. f(r):

55. .f\x) :

s6. f(r):

s7. f(x):se. f(x) :

x<2x>2

x<2l-1, x>2

I'l .1I'l >t

lx-31<zlx-31>2

58.

60.

x<O

"x>0

x< -7-l<x<3x>3

ftxJlx) : tan 7/("r) :5-[¡n

Iilx): .\/xsQ):x-t

/(-r) : senx

s(,x) : x2

f|r * t'[r-".[-,,.lx2 - 4x

['^7.l*,

[csc Zf,{6lz,

csc 2x

[x-8n

puesta.

lx2 - 4lx61. t{xl: , *,lx2+4xli+z)

x-l 4

En los ejercicios 63 a 68, encontrar la constante a, o las constantesa y b, tales que la función sea continua en toda la recta real.

(^ .6-1. r(rt:)3r'' x>1

lax-4. x<l(^ ,

64. f("1 :I3t'' x<Ilax-5. x> I

l*t. x < 2ó5- ftrl : Ilaxz. x > 2

[4 ."n "Ig(*):i x'la - 2x,

lz.f(x):|ax+b,

l-2,(x2 - a2'r" r*a68. s(x):{x-ala. x: a

En los ejercicios 69 a 72, analizar la continuidad de la funcióncompuesta ft (r) = "f(g(r)).

66.

67.

sl. /(x):Y 82. f(t:

70.69. f(*) : ,'e@):x-tf@):*86):x'+5

x-2

Redacción En los ejercicios 83 a 86, explicar por qué la funcióntiene un cero en el intervalo dado.

Función Intervalo

f(i:i*o-¡3+4 ll,2lf(x) : *3 -r 5x - 3 [0, 1]

f (x) : ,' - 2 - cos.r [0, z-]

-/Itxt : -; * ""(r) lr.4l

83.

84.

85.

86.

f(x) :)

71. 72.

SECCIÓN 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 81

' En '°s ejercicios 87 a 90, utilizar el teorema del valor intermedio yuna herramienta de graficación para estimar el cero de la funciónen el intervalo [0,1]. Realizar acercamientos de forma repetida en)a gráfica de la función con el fin de determinar el cero con unaprecisión de dos cifras decimales. Emplear la función cero o raízde su herramienta de graficación para estimar el cero con unaprecisión de cuatro cifras decimales.

87. f(x) = *3 + x - 1

88. f(x) = y? + 5x - 3

89. g(i) = 2 eos t - 3t

90. h(6) = 1 + 6 - 3 tan

En los ejercicios 91 a 94, verificar que el teorema del valor inter-medio es aplicable al intervalo indicado y encontrar el valor de cgarantizado por el teorema.

91. f(x) = x2 + x - I , [O, 5], /(c) = 11

92. f(x) = x2 - 6x + 8, [O, 3], f(c) = O

93. f(x) = x3 - x2 + x - 2, [O, 3], /(c) = 4X2 + x [5 1

94. /(*) = p, f, 4 , f(c) = 6x - 1 L2 J

Desarrollo de conceptos

95. En cada una de las gráficas siguientes especificar cómo sedestruye la continuidad en x = c:

a) y b)

c)

96. Esbozar la gráfica de cualquier función/tal que:

lítn/(*) = 1 y lím f(x) = 0.

¿Esta función es continua en x = 3? Explicar la respuesta.

97. Si las funciones/y g son continuas para todos los x reales,¿/ + g es siempre continua para todos los x reales? ¿f/g essiempre continua para todos los x reales? Si alguna no es con-tinua, elaborar un ejemplo para verificar la conclusión.

Para discusión

98. Describir la diferencia que existe entre una discontinuidadremovible y una no removible. En la explicación, incluirejemplos de las siguientes descripciones:

a) Una función con una discontinuidad no evitable enx = 4.

b) Una función con una discontinuidad evitable enX- -4.

c) Una función que cuenta con las dos característicasdescritas en los incisos a) y b).

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 99 a 102, determinar si laafirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué oproporcionar un ejemplo que lo demuestre.

99. Si lím f ( x ) = L y/(c) = L, entonces/es continua en c.

100. Sif(x) = g(x) para x ¥= c y/(c) i= g(c), entonces ya sea/o g noes continua en c.

101. En una función racional puede haber infinitos valores de x enlos que no es continua.

102. La función f(x) = \ - l\/(x - 1) es continua en (-00, oo).

103. Piscina Todos los días se disuelven 28 onzas de cloro en elagua de una piscina. En la gráfica se muestra la cantidad de clorofít) en esa agua luego de í días.J \ O O

1 2 3 4 5 6 7

Estimar e interpretar lím /(í) y lím /(í).f-»4~ í->4 +

104. Para pensar Describir en qué difieren las funciones

/w = 3 + H

y/ \3 íg(x) = 3 - 1-

105. Tarifas telefónicas Una llamada de larga distancia entre dosciudades cuesta $0.40 los primeros 10 minutos y $0.05 por cadaminuto o fracción adicional. Utilizar la función parte entera omayor entero para expresar el costo C de una llamada en términosdel tiempo t (en minutos). Dibujar la gráfica de esta función yanalizar su continuidad.

;

82 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

106. Gestión de inventarios El número de unidades en inventarioen una pequeña empresa está dado por

r tf, r rl \r,rr,) _ zs(zll, '2.I_ ,)

donde I representa el tiempo en meses. Dibujar la gráf,ca de

esta función y anahzar su continuidad. ¿Con qué frecuencia laempresa debe reponer existencias?

107. Déjd vu Un sábado a las 8:00 de la mañana, un hombrecomienza a subir corriendo la ladera de una montaña haciasu'campamento de fin de semana. El domingo a las 8:00 de lamañana baja cor:riendo la montaña. Tarda2l minutos en subir ysólo 10 en bajar. En cierto punto del camino de bajada, el hombre

se da cuenta de que pasó por e1 mismo lugar a la misma hora elsábado. Demostrar que el hombre está en 1o ciefto. fSugerencia'.Considerar que s(¡) y r(0 son las funciones de posición de subiday bajada y aplicar el teorema del valor intermedio a la función

f¡) : s(0 r(t).)

Sábado 8:00 de la mañana Domingo 8:00 de la mañana

108. Volumen Utilizar el teorema del valor intermedio para demos-trar que entre todas las esferas cuyos radios pertenecen al intervalo

[5, 8] hay una con un volumen de I 500 centímetros cúbicos.

109. Demostrar que si/es continua y carece de ceros en [a, ó], en-tonces

./(x) > 0 para todo x en fa, bl o f(x) < 0 para todo ¡ en [a, D].

110. Demostrar que la función de Dirichlet

" f.0, si x es racionalflrl :i-I l. si r es irracional

no es continua para ningún número real.

111. Demostrar que la función

^ |.0. si r es racional/(r) : i.' Lk*. si x es inacional

es continua sólo en ¡ : 0 (suponer que k es cualquier númeroreal distinto de cero).

ll2. La función signo se define como

f-t. *. o

sgntx) - {0. x:0lr. x> o.

Construir la gráfica de sgn(x) y calcular los siguientes límites(si es posible).

c) lím sgn(x)r+0

ll3. Modelo matemdtico La tabla recoge valores de la velocidadS (en pies/s) de un objeto tras caer / segundos.

a) Construir la curva con los datos.

b) ¿Parece existir una velocidad 1ímite para el objeto? En caso

afirmativo, identificar una posible causa.

ll4. Elaboración de modelos Un nadador cruza una piscina de una

anchura b nadando en línea recta desde (0, 0) hasta (2b, b) (ver

la figura).)

a) Sea/una función definida como la coordenada y del punto

sobre el lado más largo de la piscina que se encuentra más

cerca del nadador en cualquier momento dado durante su

Íayecto a través de la piscina. Encontrar la función/iconstruir su gráfica. ¿Se trata de una función continualr

Explicar la respuesta.b) Sea g la distancia mínima entre el nadador y el lado miás

largo de la piscina. Encontrar la función g y construirla gráfica. ¿Se trata de una función continua? Explicar larespueqta.

11.5. Encontrar todos los valores de c tales que.fsea continua en

(-oo, co).

¡wt-[t-r'' xlc

L-rr. 'r > c

L16. Demostrar que para todo número real y existe Lrn r en (- r/2.Tl2) fal que tan r : J.

117. Sea /(x) : (JVTF - ,)/*, c > 0.¿Cuáleseldominiode/.'

¿Cómo se puede definir f en x : 0 con el fin de que sea continua

en ese punto?

118. Dnemostrar que si lín1/(c+Ar) = f(c), entonces./es continua

119. Analizar la continuidad de la función h(-t) : x[x].

120. a) Sean.f,(x) y lr(x) funciones continuas en el intervalo

[a, bl. Stf,(a) <fr(a) y f ,(b) >f,(b), demostrar que entre c

. y b existe c tal cluef (c) : fr(.c¡.

& ,l Demostrar que existe c * [ó, "J tal que cos x : x. rJtilizaruna herramienta de graficación para estimar c con ffes

decimales.

121. Afirmar o desmentir: si x y y son números reales con y > 0y )Cv + 1) < (.r * 1)2, entonces y(y - 1) = x'].

122. Encontrar todas las polinomiales P(-r) tales que

P(r'7+ 1): (P(¡))'Z+ l yP(O): A.

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competi-tion. O The Mathematical Association ofAmerica. Todos los derechos resenados.

t 0 5 t0 15 20 25 30

s 0 48.2 53.5 55.2 55.9 56.2 56.3

a) 1ím sgn(x) ó) lím sgn(x)

w

,tí.mitgSi{ nfinitOli- : i,i:':,,., :',

3

x- zcuando x -+

x -+2-

crece y decrece sin cota o sin límitex tiende a21.39

6

4

2

-4

-6

2+

r Determinar límites infinitos por la izquierda y por la derechar Encontrar y dibujar las asíntotas verticales de la gráfica de una,ftrnción.

.

Límites infinitosSea/la función dada por

3

f(x) : .,.,.x-¿

A partir de la figura 1.39 y de la siguiente tabla, se puede observar quef(x) decrece sih cotao sin límite cuando x se aproxim a a 2 por la izquierda y que lx) crece sin cola o sin Iímitecuando x se aproxima a2 por la derecha. Este comporlamiento se denota

1

Iím :; : -oo f,r)decrecesincotaosin límitecuandorseaproximaa2porlaizquierda.r+2-X- Iir"¡*

1ímx+2+

-1

x-z .f(-r) crece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la derecha.

l rr.uoro*i.uu2oorluirlffi]\ 1ffi

x t.5 1.9 r.99 1.999 2 2.001 2.01 2.r 2.5

f(') -6 -30 - 300 -3 000 ,|3 000 300 30 6

Un límite en el queflx) crece o decrece sin cota o sin límite cuando x tiende a c se llamalímite infinito.

Observar que el signo de igualdad en la expresión límflx) : oo no significa que el límiteexi$ta. Por el contrario, irtdicalarazín de su no existencia al denotar el comportamiento noacotado o no limitado deflx) cuando r se aproxima a c.

DEFINICIÓN DE LÍMITES INFINITOS

Sea/una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contienea c (salvo, posiblemente, en el propio c). La expresión

JT?/k): '"significa que pam toda M > 0 existe una 6 > 0 tal queflx) > M, siempre que 0 < lx -'cl< 6 (ver la figura 1.40). Del mismo modo, la expresión

lgin.r : -oo

significa que para todo N < 0 existe un 6 > 0 tal que f(x) <N, siempre que0<lx-cl<6-Para definir el límite infinito por la izquierda, sustituir 0 < l" - cl < 6 porc - 6 < x < c. Y para definir el límite infinito por la derecha, reemplazar0<1"-cl<6porc<x<c*6.

Limites infinitos

Egura 1.40

84 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

(][l[} Si la gráf,ca de una tunción/tiene una asíntota vertical en x : c,

entonces f no es continua en c.

t

{EMPLA I Determinación de límites infinitos apartir de una gráfica

Determinar el límite de cada función que se muestra en la fr.gura l.4I cuando x tiende apor la izquierda y por la derecha.

a) b)

Figura 1.41 Las dos gráficas tienen una asíntota vertical en r : I

Solucióna) Cuando x se aproxima a I por la izquierda o por la derecha, (x - I)t es un número

sitivo pequeño. Así, el cociente I / (* - 1)2 es un número positivo grande y f (x) tiea infinito por ambos lados de ¡ : 1. De modo que se puede concluir

lím.-]-:oox+t lx - l)' El límite por cada lado es infinito

La figura 1.4Ia confrrma este análisis.

b) Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, x - I es un número negativo pequeño.

el cociente l/(x - 1) es un número positivo grande y/(x) tiende a infinito por

izquierda de x : 1. De modo que se puede concluir

lí* - I : * El límite por la izquierda es infinito.x+l X-l

-llím " : - oo El límite por la derecha es infinito¡+1+ -{ - I

La figura 1.4 lá confirma este análisis.

Asíntotas vert¡cales

Cuando r se aproxima a 1 por la derecha, r - 1 es un número positivo pequeño. Así,cociente -I/(x - 1) es un número negativo grande y/(x) tiende a menos inf,nitoIa derecha de x : 1. De modo que se puede concluir

Si fuera posible extender las gráficas de la figura l.4Ihacia el infinito, positivo o negati

se veía que ambas se acercan arbitrariamente a la recta vertical x : L Esta recta es

asíntota vertical de la gráfica del (En las secciones 3.5 y 3.6 se estudiarán otros tiposasíntotas.)

DEFINICIÓN DE ASÍNTOTA VERTICAL

Si (x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando r tiende a c por la derecha o por laizquierda, se dice que la recta r : c es una asíntota vertical de la gráfica de f.

SECCIÓN 1.5 Límites infinitos 85

En el ejemplo 1, se obsqrva que todas las funciones son cocientes y la asíntota verticalaparece en el número en el cual el denominador es 0 (y el numerador no es 0). El siguiente

teorema generaliza esta observación. (En el apéndiceA se encuentra la demostración de este

teorema.)

Cálculo de las asíntotas yerticales

Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de cada una de las siguientes funcionés .

a) r(*):#rnSolucién

x2+rb) flx): *x'-r c) f(x) : cotx

a)

b)

c)

Cuando x : -1, el denominador de

1

Í\xt:^_+l)

es igual a 0 y el numerador no lo es. Por tanto, mediante el teorema 1.14, se puede

concluir que r : - 1 es una asíntota vertical, como se observa en.lafigrna 7.42a.

Al factorizar el denominador como

. x2+ I x2+l"f(-rl

: x, _ t: (x _ lxr + D

puede verse que el denominador se alula en 1 y en x : 1. Además, dado que

el numerador no es 0 en ninguno de estos puntos, se puede aplicar el teorema 1.14 yconcluir que la gráfica de/tiene dos asíntotas verticales, como ilustra lafigura I.42b.

Escribiendo la función cotangente de la forma

cos .Íl(x) : cot" senx

se puede aplicar el teorema I.14 para concluir que las asíntotas verticales tienen lugaren todos los valores de ,r tales que sen r : 0 y cos .r # 0, como muestra la figura I .42c.

Por consiguiente, la gráfica de esta función tiene infinitas asíntotas verticales. Estas

asíntotas aparecen cuando x : nrr, donde n es un número entero.

El teorema 1.14 exige que el valor del numerador en r : c no sea 0. Si tanto el nu-

merador como el denominador son 0 en Í : c, se obtiene la forma indeterminada 0 f 0, yno es posible establecer el comportamiento límite en x : c sin realizar una investigación

complementaria, como se ilustra en el ejemplo 3.Funciones con asíntotas verticales

f-tgtra 1.42

TEOREMA 1.14 ASÍNTOTASVERTICALES

Sean/y g funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c. Si/(c) # 0,

S(c) : 0, y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que S@) * 0 para todox # c en el intervalo, entonces la gráfica de la función está dada por

,, \ .f@n\xt:- ^8\x)

tiene una asíntota vertical en x : c.

86CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

f(x) crece y decrece sin cota o sin límitecuando x tiende a —2Figura 1.43

EJEMPLO 3 Una función racional con factores comunes

Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de

... , x2 + 2x - 8f(x) = —^nr^—•

Solución Comenzar por simplificar la expresión como sigue

„, , x2 + 2x - 8

(x(JE

+ 4

En todos los valores de x distintos de x = 2, la gráfica de/coincide con la de g(x) = (x +4)/(x + 2). De manera que se puede aplicar a g el teorema 1.14 y concluir que existe una asín-tota vertical en x = — 2, como se muestra en la figura 1.43. A partir de la gráfica, se ve que

lím— = —oox2 -4

Observar que x = 2 no es una asíntota vertical.

,. x2 + 2x - 8lím - ; - = oo

- 4

/(*)=x2-3x

/tiene una asíntota vertical en x = 1Figura 1.44

EJEMPLO 4 Cálculo de límites infinitos

Determinar los siguientes límites:

lími- x - 1

límx - 1

Solución Puesto que el denominador es O cuando x =sabe que la gráfica de

(y el numerador no se anula), se

tiene una asíntota vertical en x = 1. Esto significa que cada uno de los límites dados es ceo —oo. Se puede determinar el resultado al analizar/en los valores de x cercanos a 1, o alutilizar una herramienta de graficación. En la gráfica de/que se muestra en la figura 1.44,se observa que la gráfica tiende a oo por la izquierda de x = 1 y a — oo por la derecha dex = 1. De tal modo, se puede concluir que

lími- x — i

El límite por la izquierda es infinito.

hmEl límite por la derecha es menos infinito.

CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Cuando se utiliza una herramienta de graficación,hay que tener cuidado para interpretar correctamente la gráfica de una función conuna asíntota vertical, ya que las herramientas de graficación suelen tener dificultadespara representar este tipo de gráficas.

SECCIÓN 1.5 Límites infinitos 87

TEOREMA 1.15 PROPIEDADES DE LOS LIMITES INFINITOS

Sean c y L números reales, y/y g funciones tales que

lím f(x) = 00 y lím g(x) = L.JC—>C X—>C

1. Suma o diferencia: lím [/(x) ± g(x)] = oox—>c

2. Producto: lím [f(x)g(x)] = 00, L > Ox—>c

\ím[f(x)g(x)] = -oo, L< O

3. Cociente: ,, g(x) „lím —- = O

Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límitedef(x) cuando x tiende a c es — oo.

C DEMOSTRACIÓN } Para probar que el límite de f(x) + g(x) es infinito, elegir un M > 0. Senecesita entonces encontrar un 8 > O tal que

siempre que O < \ - c\ 8. Para simplificar, suponer que L es positiva sea Ml = M + 1.Puesto que el límite de f(x) es infinito, existe un 8¡ tal que f(x) > Ml siempre queO < x - c <8{. Como además el límite de g(x) es L, existe un 82 tal que \g(x) - L < 1 siem-pre que O < x - c\ 8r Haciendo que 8 sea el menor de 8t y 82, concluir queO < \ - c < 8 implica que/(x) > M + 1 y \g(x) - Lj < 1. La segunda de estas desigualdadesimplica que g(x) > L - 1 y, sumando esto a la primera desigualdad, se obtiene

f(x) + g(x) > (M + 1) + (L - 1) = M + L > M.

Por tanto, también se concluye que

lím [f(x) + g(x)] = oo.x—>c

-Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios (ver el ejercicio78).

.

EJEMPLO 5 Cálculo de límites

1a) Puesto que lím 1 = 1 y lím — = oo, se puede escribir

x^O x->0 X

i 1\m 1 H = oo. Propiedad 1, teorema 1.15.

*^0\2/

b) Puesto que lím (x2 + 1) = 2 y lím (cot irx) = — oo, se deduce que

lím = 0. Propiedad 3, teorema 1.15.COt TTX

c) Al ser lím 3 = 3 y lím cot x = oo, se tiene

lím 3 COt X = OO. Propiedad 2, teorema 1.15.

88 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

ffijenc ic 6cs

En los ejercicios 1 a 4, determinar si/(r) tiende a @ o a * 0o

cuando ¡ tiende a 4 por la izquierda y por la derecha.

r. f(,) ::_ 4

3.f(*):6+

1

2. .flr) : --: ^x*+I

4- flxl: ----f-\r - 4)'

6. f(.)::-

8. f(*)

10. /(r) = x2-9

12. f(x) : secff

15.

t7.

19.

21.

t1

f(x) : -;1 ." lz

- L

t-1olrl:

-

ó\'/ t2 + I"2-)h(x):-7

x'-x-l

Ar(¡) : I -;t'

J.l\x) :

-

t'-tÍ-l

2a. fG): 4x2+4x-24xa-2x3-gx2+."lrr

25. g(x) :' ' ;'r-1- |

f(*) : x2-2x-15x"-5x'tx-5

f(x) : tan rx

,1r¡ :1sen /

x2-ltlxl :

-x* 1

¡2+lf\x) :

-f-1- I

37. lí.n 1

¡*-l- f * I

39. lím -];a

41. lím =-i-'-r* (x - 1)z

.r 143. Iím --:?x--3- Xt *x-Ó

-rr + 1

l$ 1',;¡p:¡r-lr+1)"-o \ x/

)lím -

¡+0 + Sell Jr" '\/^hm-

x+z CSC.T

lím x sec z¡x+1/2

18. h(s) :

20. sk):

t6. f(*) _ -4xx2+42s-3s'1_ 25

2*xjl|:.-r

x2-4x3+Lx2*x1-2

11;r'-x'-4x22. ,(\r/:*" Jx--6x-)4En los ejercicios 5 a 8, determinar si/(x) tiende a @ o a *oocuando ¡ tiende a -2 por la izquierda y por la derecha.

s. r@:rl,\l

Trx/lx) : tan ,

+

v

I9. f(rl:--'.

x2-9..2

11. f(x): -J9

)1

tq

31.

18x

26. h(x) :

28.

30.

It

34. f(r):

36. f(x):

*2 1+

h(t\:-t4-L6f(x) : sec nx

lan 0e\0) --

a

a?x'-ltx- I

Ttx= sec-

4

l

7. En los ejercicios 33 a 36, determinar si la función tiene una asín'tota vertical o una discontinuidad evitable (o removible) enx : -1.Representar la función en una herramienta de graficación paraconfirmar Ia respuesta.

33.

35.

¡*1sen(x + 1)

x-l IEn los ejercicios 37 a 54, calcular el límite.

Análisis numérico y grdfico Dn los ejercicios9 al2, completar latabla para determinar si/(r) tiende a @ o a - oo cuandor tiendea -3 por la izquierda y por la derecha, respectivamente. Utilizaruna herramienta de graficación para representar la función ycorroborar la respuesta.

.X - 3.5 - 3.1 - 3.01 - 3.001

f@

.I -2.999 -2.99 -2.9 -2.5

f@

-t38. lím ------x-t (x - l)')Iv

40. Iím ?x-I+ I-X

..2

42. lím -:j -,-¿ x' I 16

6x2+x-l44. rrm -;--l-------.-,_i"ijzt- 4x, - 4x - 3

.-146. ÍmT

x+1 Á

48. lír lr, - 1\*-o \ xl

_a50. tímr+(.n/z\+ COS X

<) .. x-l 2

r+0 COt J54' Í^ x2 tan ¡rx

x+1/2

45.

47.

49.

51.

53.En los ejercicios 13 a 32, encontrar las asíntotas verticales (si lashay) de la gráfica de la función.

t413. /(x) - - t4. l(x): :L" x- (x-2)'

En los ejercicios 55 a 58, utilizar una herramienta de graficaciónpara representar la función y determinar el límite lateral.

SECCION 1.5 Límites infinitos

a) Calcular el ritmo o velocidad r cuando 0 es n/6.b) Determinar el ritmo o velocidad r cuando 0 es nf 3.

c) Encontrar el límite de r cuando 0 -+ (n/2) .

Figura para problema 67 Figura para problema 68

68. Ritmo o velocidad de cambío Una escalera de 25 pies de largo

está apoyada en una casa (ver Ia figura). Si por alguna tazón la

base de ia escalera se aleja del muro a un ritmo de 2 pies por

segundo, la parle superior descenderá con un ritmo dado por

2xr - :DleS/S

./625 - x''donde x es la distancia que hay entre Ia base de la escalera y

el muro.

a) Calcular el ritmo o velocidad r cuando x es 7 pies.

b) Calcular el ritmo o velocidad r cuando x es 15 pies.

c) Encontrar el límite de r cuando x -+ 25

69. Velnci.dail medi.a En un viaje de d millas hacia otra ciudad, la

velocidad media de un camión fue de x millas por hora. En el

viaje de regreso, su velocidad media fue de y millas por hora.

La velocidad media del viaje de ida y vuelta fue de 50 millas

por hora.

a) Verificar que y

b) Completar la tabla.

¿Difieren los valores de y de los esperados? Explicar larespuesta.

c) Calcular el límite de y cuando x -) 25+ e interpretar eI

resultado.

AnóIisis numérico y gráfico Utilizar una herramienta de

graficación a fin de completar la tabla para cada función y re-

presentar gráficamente cada una de ellas con objeto de calcular

el límite. ¿Cuál es el valor del límite cuando la potencia de.x en

el denominador es mayor que 3?

89

lr

x2+x+1+tyt -

-

J\^t I rl--I

lím f(¡)a-l- '

1:. Í\x)-xr_ 25

riy/(r)

t3 - 1

56. flr) : ;xr*x*l

.{1 /(")

5S. ./(;r) : t"" ff.!l-lG)

'{ sen "f

fb) límr+0+x

f - senf.x'

a)

c)

60.

61.

62.

63.

61.

;

':lI

Con sus propias palabras, describir el significado de un iímiteinfinito. ¿Es oo un número real?

Con sus propias palabras, describir el significado de la asín-

tota vertical de una griifica.

Escribir una función racional con asíntotas verticales en

x : 6yenr : 2yunceroen¡ : 3.

¿Tiene toda función racional una asíntota vertical? Explicar1a respuesta.

Utilizar 1a gráfica de la función/(ver la figura) para construir

la gráfica de g(x) : 1lf@) en el inten'alo l-2,31.

fE.

Dado un polinomiop(.r), ¿será verdad que la gráfica de una

función dada por f A) : !+tiene una asíntota vertical

en x : 1? ¿,Por qué sí o por qué no?

: :+ ¿cuáles el dominio?

Relativi.ilad De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masa

¡r¡ de una partícula depende de su velocidad u; es decir:mo

Jt - (v2/t2)

donde mo es la masa cuando la partícula está en reposo y c es

la velocidad de la luz. Calcular el límite de la masa cuando v

tiende a c

Ley de Boyle En un gas a temperatura constante, la presión P

es inversamente proporcional al volumen V. Calcular el límitede P cuando V-> 0*.

Ritmo o velocid.ad de cambio Una patrulla está estacionada a

50 pies de un gran almacén (ver la figura). La luz giratoria de

la parte superior del automóvil gira a un ritmo o velocidad de

; revolución por segundo. Ei ritmo o velocidad al que se desplaza

el haz de luz a lo largo de la pared es r : 50tt'sec2 0 pies/s.

J 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001

f(x)

1ímx+0*

lím¡+0*

.]l; - senx

& zo.

JC 30 40 50 60

J

90 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

* n. Anótisis numérico y grdfico Considerar la región sombreadaque queda fuera del sector del círculo con radio de i0 m y dentrodel triángulo rectángulo de la figura.

t0ma) Expresar el área A : f(0) de la región en función de 0.

Determinar el dominio de esta función.b)' IJtilizar una herramienta de graficación para completar

la tabla y representar la función sobre el dominio apro-piado.

c) Calcular el límite de A cuando 0 -+ (¡r/2)- .

N ,r. Anátisis numérico y gráJico Una banda en ctuz conecta lapolea de 20 cm (10 cm de radio) de un motor eléctrico conotra polea de 40 cm (20 cm de radio) de una sierra circular. Elmotor eléctrico gira a 1700 revoluciones por minuto.

Determinar el número de revoluciones por minuto de lasierra.

¿Cómo afecta el cruce de la banda a la sierra en relacióncon el motor?Sea I la longitud total de la corea. Exprese I en función de

@, donde @ se mide en radianes. ¿Cuál es el dominio de lafunción? fSugerencia'. Sumar las longitudes de los tramos

rectos de la banda y las Iongitudes de la banda alrededorde cada polea.l

d) Utilizar una herramienta de graficación para completar latabla.

e) Utilizar una herramienta de graficación para representar lafunción en un dominio apropiado.

f) Calcular el lím L. Utllizrt algún argumento geomé-" d,-lt 2)

trico como base de otro procedimiento para encontrar este

límite.g) Calcular lím L.

ó)o*

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 73 a 76, determinar si laafirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué oproporcionar un ejemplo que demuestre que lo es.

73. La gráfica de una función racional tiene a1 menos una asíntotavertical.

74. Las funciones polir-romiales carecen de asíntotas verticales.

75. Las gráficas de funciones trigonométricas carecen de aísntotasverlicales.

76. Si/tiene una asíntota vertical en ¡ : 0, entonces no está definidaenx:0.

77, Encontrar a continuación las funciones -f y g tales quelím/("r) = oo y Iím s(¡) : *, pero lím t/(') - s!)l+ o.

78. Demostrar las propiedades restantes del teorema 1.15.

79. Demostrar que si lím/(x) - oo, entoncer lt* ,# : O

80. Demostrar que rt 19 # : 0. entonces ef Lm/(¡) no existe.a)

b)

c)

Límites infinitos En los ejercicios 81 y 82, usar la definición ¿-6de límite para demostrar lo afirmado

I82. lím -: oo¡+5 f -5

81. "r+"*: -

o 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

L

0 0.3 0.6 0.9 r.2 1.5

f(0)

Gráficas y límites de las funciones trigonométricasRecordando, del teorema 1.9, que el límite defl.x) : (sen x)/x cuando d)x tiende a 0 es 1:

a) Utilizar una herramienta de graf,cación para representar la función

/en el intervalo - ir = 0 < "r

y explicar cómo ayuda esta gráficaa confirmar dicho teorema.

b) Explicar cómo podría usal una tabla de valores para confirmar e)

numéricamente el valor de este límite.

c) Dibujar a mano la gráfica de la función g(x) : sen r. Trazaruna recta tangente en el punto (0, 0) y estimar visua'lmente su f)pendiente.

Sea (x, sen.r) un punto en la gráfica de g cercano a (0, 0). Escri-bir una fórmula para 1a pendiente de la recta secante que une a

(-r, sen x) con (0,0). Evaluar esta fórmula para x - 0.1 y¡ : 0.01. Después encontrar la pendiente exacta de la rectatangente a g en el punto (0, 0).

Dibujar la gráfica de Ia función coseno, /.r(r) : .o, ". ¿Cuál es la

pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1)? Utilizar límitespara calcular analíticamente dicha pendiente.

Calcular la pendiente de la recta tangente a k(x) : tan ;r en elpunto (0,0).

Ejercicios de repaso 9l

if Eiercicios de repaso

En los ejercicios I y 2, determinar si el problema se puede resolverusando conocimientos previos al cálculo, o si se requiere el cálculo.

Resolver el problema si se puede utilizar precálculo. En caso de que

sea necesario el cálculo, explicar por qué. Encontrar la soluciónusando un método gráfico o numérico.

1. Calcular la distancia entre los puntos ( l, 1) y (3, 9) a lo largo de

lacurvay:x2.2. Calcuiarla distanciaentre los puntos (1, 1) y (3, 9) alo largo de

larecta):4x-3.En los ejercicios 3 y 4, completar la tabla y usar el resultado para

estimar el límite. Utilizar una herramienta de graficación para

representar la función y corroborar el resultado.

22.

24.

19.

21.

23.

25.

26.

.. ltl\, + l)l - 1llm

-

¡)0 X

x3 + 125lím- -r- 5 ¡-l-5

I - cos¡lím

-

r)0 Sen ,{

20. ,r* (r/'n * ') - r

s+0 .l

x2-4Iim *r- 2f'-1 ó

-. +^lrm

r+T/1f1n x

_r - 0.1 -0.0r - 0.001 0.00i 0.01 0.t

f(r)

la/\r+2))-2J. llm

-

¡>0 X

J. y^4\rq t 2- rt)rr()

En los ejercicios 5 a 8, encontrar el límite 1,. Después utilizar ladefinición e-6 para demostrar que el límite es I.

En los ejercicios 27 a 30, calcular el límite, dado que lím/(x) :-i y líms(¡) -3.

27. lím [/(;)s(¡)]

26. lím l/(x) + 2s(x)l

._ .enfiz-/01 - L,rl - (t12)llT. a,fsugerencia: sen(O + @) : sen 0 cos f * cos 0 sen @l

coslrr*Ax) +1lím ^\r-0 A,lf

fsugerencia: cos(0 + @) : cos 6 cos @ - sen 0 sen @l

lín-'1(*)' .. 8(x)

iímÍ(¡)]'?

28.

29.

5. lím¡+l

7. límx+2

+4)

- 12)

Atuúlisk nwnérico, gráfrco y unalítito En los ejercicios 31 y 32, con-

siderar

llp/(r)

Complefar la tabla para estimar el límite.Utilizar una herramienta de graficación para representar lafunción y usar la gráfica para estimar el límite.Racionalizar el numerador y calcular de manera analítica el

valor exacto del límite.En los ejercicios 9 y 10, utilizar la gráfica para determinar cada c)

límite.

e. h(x) :

a') \ím h(x) b) tím h(x) a) lím g(x) ó) lím s(.r)x+0 r) 1 ¡+3 ¡>0

En los. ejercicios 11 a 26, encontrar el límite (si existe).

4x-x2

11. lrm l¡ - 2)2r>6

13. lím.,/t + zt)1

r+)15. lím #

t--2 t¿ 4

,/;-1 - 117. lím*t-4 r-4

6. lím -/ir+9

8. Iím 9r+5

- /Y10. g(x)

lrJ

)'

12. lím ( t0 - x)1

14. lím 3ly - 1ll-4

,2 _ o16. 1ím'- !

t-3t-3,tL. l

18. lím-¡+0 X

(x

(1

,a)funt

x 1.1 t.0t 1.001 1.0001

.f (x)

rEr+1 r33r. f(*) - x-7t t/

32. f(r) - #lf - I

lSugerencia: a3 - b3 : (a 6)(a2 + ab + b2)l

Objeto en caída libre En los ejercicios 33 y 34' utilizar la funciónposición s(t) : -4.9P f 250, que da la altura en metros de unobjeto que cae libremente desde una altura de 250 metros. Su

velocidad en el instante / : a segundos está dada por

s(a) - s(¡)lím-.t+d a-t

33. Calcular la velocidad cuando f : 4.

34. ¿A qué velocidad golpeará el suelo?

92 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

En los ejercicios 35 a 40, encontrar el límite (si lo hay). Si no existelímite, explicar por qué.

l" 1l35. lím l?x-3' X - I

36. ll1x[, - 1n

3i. tímfk).donde/{x} -['; _:" :::f-h - r. t < I

38. ,rr¡n s(x). donde s(x) : 1;. , , , ,

3e. tímh(tt.crondeft(r): {l;,1 ;, l: i

40. "{t,

/(,), donde /(s) : {;l ;,0: u,'' ',: _:

En los ejercicios 41 a 52, determinar los intervalos en los que la

a2. f(x): ¡' -?44. f(r):'*;:, t

l3x2-x-2..rf I4s. f(x):l x-1lo, x- |

(-46. rt"t-ll -'^ xt2

l2x-3. x>2147. /(¡) : ,- r ,* 48. f(xl :\x - z)'

,2_457. Sea /(x) :

-.

Encontrar los siguientes límites (si esta- ¿l

posrble).

a) !1yf{x)b) !y,t'f {x)

c) \tgfe)58. Sea /tx)=v&(x-D

a) Encontrar el dominio delb) Calcular ,\f; /(x).c) Calcutar l:*f@.

En los ejercicios 59 a 62, encontrar las asíntotas verticales (si lashay) de la gráfica de la función.

)AY59. g(x)-lt: 60. htxt:=j

62. f (x) : csc rx

En los ejercicios 63 a 74, encontrar el límite lateral (si existe).

función es continua.

41. f(x) : -3f +'7

43. /("r) : [x + 3]

4s. f('):h51. f(r): cscff

so. f@:#¿52. f(x) : tan2x

6r. 41lj=t- 2 X-fZ

65. hm x=*1x--l* xr * I

67. .ga|?#6s. Í- l,. - 1)

,_o* \ x, /

71. lí- ttt4",-tt1 5x

^^^ 4.,73. tím Y

x+0+ X

64. lím =a .¡-(\/2\* lx - I

,r* Ió6. lím

-v..-1X-|

x2-2x+l6ll. límx-1+ r*lI70- lím_---:-v-a 3/-2 - Aw¡

72. lí* t"" "¡+0* x

74, ,'* cos2 'rr+0 X

54.

53. Determinar el valor de c para el que Ia función es continua en

toda la recta de los números reales.

[x+3, x<2tlxl : I

lcx+6. x>2

Determinar los valores de b y c qrue hacen a la función continuasobre toda la recta de los números reales:

lx + l. I < x < 3/(.x):i, .lx2+bxrc. lx-21 >l

Utllizar el teorema de valor intermedio para demostrar que

f(x) : 2x3 -3 tiene un cero en el intervalo [1, 2].

Costo de mensajería El envío de un paquete por mensajeríade Nueva York a Atlanta cuesta $12.80 por 1a primera libra y$2.50 por cada libra o fracción adicional. Utilizar la funciónparte entera para elaborar un modelo que describa el costo C deenvío por mensajería para un paquete de x libras. Utilizar unaherramienta de graficación para representar la funcióny analizarsu continuidad.

75. Medio ambiente Una central térmica quema carbón paragenerar energía eléctrica. El costo C, en dólares, de eliminarp%o de las sustancias contaminantes del aire en sus emisionesde humo es

80 000nC:.#. 0<pcl00.100 - p'

Calcular cuánto cuesta eliminr a') 15Va, b) 50Vo y c) 90Vo deloscontaminantes. @ Encontrar el límite de C cuandop --r 100 .

76. La función/está definida como

tan2x, xl0

x

al Encontrar lí* tu!? (si existe).r+0 X

b) ¿Puede definirse la función/en x : 0 de manera que sea

continua en ese punto?

55.

# so.

$alue iort de prohBermas

1. Sea P("r, y) un punto de la parábola y : x2 en el primer cuadran-

te. Considerar el triángu1o LPAO formado por P, A(0, 1) y el

origen O(0, 0), y el triángulo MBO formado por P, B(1, 0) yel origen.

a) Dar el perímetro de cada triángulo en términos de ¡.b) Sea r(x) la relación entre los perímetros de ambos trián-

gulos,

r(x): Perímetro L,PAO

Peímetto LPBO

Completar la tabla.

x 4 2 0.1 0.01

Perímetro APAO

Perímetro APBO

r(r)

c) Calcular "!$_r(r¡.

Sea P(-r, y) un punto de la parábola y : .x2 en el primer cuadran-

te. Considerar el triángulo MAO formado por P, A(0, 1) y el

origen O(0, 0), y el triángulo LPBO formado por P, B( I, 0) y el

origen:

y

Figura para 3 Figura para 4

Sea P(3, 4) un punto de la circunferencia f i yt : 25.

a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que une a P con

o(0,0)?b) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circun-

c)

ferencia en P.

Sea Q@,l,) otro punto que se encuentra en el primer cua-

drante y forma parte de la misma circunferencia. Calcular

la pendiente m,dela recta que une a P con Q en términos

de,r.Calcular lím rr... l.Cómo se relaciona este número con la

a-f

respuesta al apartado bt?

5. Sea P(5, - 12) un punto de la circunferencia xz + y2 : 769.

v

Solución de problemas 93

Calcular ei iárea de un hexágono regular inscrito en un círcu-

Io de radio 1. ¿Cuánto se acerca su área a la del círculo?

Encontrar el íaea A, de un po1ígono regular con n lados

inscrito en un círculo de radio 1. Elaborar su tespuesta

como una función de n.

Completar 1a tabla.

d) ¿Qué número es cada vez mayor cuando A, tiende a n?

lr,

6

a, x 4)

6,2L

2 6

-6

15

l5 _irV. P\5,-12)

a)

b)

c)

3.

)

ü

a) Determinar el área de cada triángulo en términos de x.

b) Sea a(x) la relación entre las áreas de ambos triángulos,

Área LPBOakl : 6"u **'

c)

Completar la tabla.

x 4 2 I 0.1 0.01

Lrea LPAO

irea IsPBO

a(x)

Calcular )X_"fr¡ .

a') ¿Cuál es la pendiente de la recta que une a P con O(0, 0)?

b) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circun-

ferencia en P.

c) Sea Q(x, y) oÍo punto que se encuentra en el cuarlo cua-

drante y forma parte de la misma circunferencia. Calcular

la pendiente m dela recta que une a P con Q en términos

de n.

d) Calcular lím m,. ¿Cómo se relaciona este número con la

respuesta al apartado b)?

n 6 l2 24 48 96

4,,

94 CAPITULO 1 Límites y sus propiedades

6. Encontrar valores de las constantes ay b tales que

J;+ b, - Ja

Para que un cohete escape del campo gravitacional de la Tierra-se debe lanzar con una velocidad inicial denominada velocidadde escape. Un cohete lanzado descle la superficie de la Tierratiene una velocidad v (en millas por segundo) dada por:

donde vo es la velocidad inicial, r es la distancia entre el cohetey eI centro de la Tierra, G es 1a constante gravitacional, M es

la masa de la Tierra y R es ei radio de la Tierra (4 000 millas.aproximadamente).

a) Encontrar el valor de vo para el que se obtiene un límiteinfinito para r cuando v tiende a cero- Este valor de vo es Ia

velocidad de escape para la Tierra.b) Un cohete lanzado desde la superficie de la Luna se traslada

con una veiocidad v (en millas por segundo) dada por

Encontrar la velocidad de escape para la Luna.c) Un cohete lanzado desde la superficie de un planeta se

traslada con una velocidad v (en millas por segundo) dada

pot

Encontrar la velocidad de escape de este planeta. ¿Es lamasa de este planeta mayor o menor que la de 1a Tierra?(Suponer que Ia densidad media de este planeta es igual a

la de Ia Tierra.)

Para números positivos a < b,Ia función pulso se define

lo. x<aP",u(r): H(x- a)- H(x- b):1r, a < r < b

I

10. x> b

12.

tím¡+0

la- vJ

ax , r > {ltan -'r

a2-2, x<0

7. Considerar la función /(x) :a6+xm-2

xl

, a) Encontrar el dominio delN O ; Utili zar una herramienta de graficación para representar la

función.

c) , Calcular }jry, f t.r¡.d) Catatarlg1/{x).

8. Determinar todos los valores de la constante a tales que lasiguiente función sea continua en todos los números reales.

f \x) :

9. Considerar las gráficas de las funciones gt, gz, gz! g+'.

Para cada una de las condiciones dadas de la funciónl ¿cuálgráfica podría ser una gráfica de.fl

a) {\f(x)=3b) fes continua en 2.

c) l\ f{x)=zConstruir la gtáfrcade la función ik) : [:]a) Evaluar/(|),/(3) vf 1).

b) Evaluar los límites lím .f (x),!!g f {x),1+ l(x) V

llP /rxl'

c) Analizar la continuidad de la función.

Construir Ia gráfi.ca de la función/(-r; : [x] + [-r].a) Evaluarf l).It\t.I(Lt y ft-Z.lt.b) Evaluar los límites ::+ f A),lgp /(r) v t"r1+ /(x).c) Analizar la continuidad de la función.

a) Trazarla gráfica de Ia función pulso.b) Encontrar los siguientes límites:

x>0, < 0 "t

la función de Heaviside

ii) lím_P,,Q)

iv) lím P".oQ)

13.

O*0" ttfrl : jj'

10.

i) !¡'P.oQ)íii) líry,P^uG)

c) Analtzar la continuidad de'la función pulso.,D ¿Por qué

I

U(x) : ;L P- ^(x)D-A -'"

se llama función pulso unitario?

Sea a una constante diferente de cero. Comprobar que si

f$ /{") = L, entonces l\ f (ax) = l. Demostrar por medio

de un ejemplo que a debe ser distinta de cero.

--_l---"-+-----l+ Ir23

11.

t4.