تﻻﺎﻤﺘﺣﻻا ﻲﻓ ﺔﻟﻮﻠﺤﻣ ﻦﻳرﺎﻤﺗو...

وزارة التعليم العالي والبحث العلمي

جيجل جامعة

التجارية وعلوم التسييرالعلوم كلية العلوم االقتصادية و

قسم العلوم االقتصادية

:مطبوعة بعنوان

تجارية وعلوم التسييرو األولى جدع مشترك علوم اقتصادية لطلبة السنة

:إعدادمن

بوبلوطة بالل. د

كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيير جامعة جيجل

2017-2016: السنة الجامعية

نظريات وتمارين محلولة في االحتماالت

فهرس المحتويات

I

فهرساحتويات

الصفحة العنوان

I-II فهرس المحتويات

أ مقدمة

التحليل التوافقي: الفصل األول

2 املبدأ األساسي للعد _ 1

3 التباديل_ 2

3 التباديل دون تكرار_ 1_2

5 التباديل مع تكرار_ 2_2

5 الرتاتيب_ 3

5 الرتاتيب مع إعادة_ 1_3

6 الرتاتيب دون إعادة _2_3

7 التوافيق_ 4

8 متارين حملولة _ 5

بديهيات االحتمال : الفصل الثاني

21 فضاء العينة واحلوادث _ 1

22 حساب االحتماالت_ 2

23 قواعد حساب االحتماالت_ 3

23 قاعدة مجع احلوادث املتنافية_ 1_3

23 قاعدة مجع احلوادث غري املتنافية_ 2_3

24 قاعدة ضرب احلوادث املستقلة_ 3_3

24 قاعدة ضرب احلوادث غري املستقلة_ 4_3

Bayes 25قاعدة بايز _ 4

26 االحتمال الكلي _ 5

27 متارين حملولة _ 6

المتغيرات العشوائية: الفصل الثالث

40 املتغري العشوائي_ 1

40 املتغريات العشوائية املنفصلة_ 2

فهرس المحتويات

II

41 تابع التوزيع _1_2

42 التوقع الرياضي_ 2_2

42 التباين _ 3_2

43 االحنراف املعياري_ 4_2

43 املتغريات العشوائية املستمرة_ 3

45 تابع التوزيع _1_3

46 التوقع الرياضي_ 2_3

46 التباين واالحنراف املعياري _ 3_3

47 حملولةمتارين _ 4

التوزيعات االحتمالية : الفصل الرابع

61 املنفصلةالتوزيعات االحتمالية _ 1

61 توزيع ذي احلدين_ 1_1

63 التوزيع البواسوين_ 2_1

65 املتصلةالتوزيعات االحتمالية _ 2

67 متارين حملولة _3

80 قائمة المراجع

المقدمة

المقدمة

أ

: المقدمة

اإلحصاء على وهي كمكملة ملناهج . الغرض من هذه املطبوعة هو تقدمي املبادئ األولية يف نظرية االحتماالت

اعتبار أن نظرية االحتماالت هي أساس اإلحصاء الرياضي والذي بدوره يعترب أيضا كتمهيد أو كمدخل لالقتصاد

ومن . حيث أن هدفها األساسي هو متهيد طلبة السنة األوىل لدراسة اإلحصاء الرياضي يف السنة الثانية. القياسي

ستوعبوا على األقل ما يطلب منهم فهمه، حىت أوالئك الذين ال حماسن هذا املقرر أنه ميكن جلميع الطلبة أن ي

. ميلكون خلفية جيدة يف الرياضيات حيث يتطلب فقط بعض مبادئ التفاضل والتكامل

طلبة تطوير قدرات وذلك دف .وفقا ألي مرجع يف االحتماالت بشكل منهجي هذه املطبوعة وقد صممت

الذي يعترب فهمه أمر للعد أو التحليل التوافقي املبدأ األساسييف اكتساب املهارة واخلربة الالزمني يف السنة األوىل

بدورها تعترب أمر اليتو واملتغريات العشوائية تحساب االحتماالاستوعاب من لكي يتمكن الطالبأساسي

يم النظرية بشكل خمتصر وربطهاعرض املفاه على حرصت من أجل ذلك. فهم التوزيعات االحتماليةل ضروري

. ل املفاهيم املدرجة يف مقياس االحتماالتاء أمثلة حملولة عن كإعط من خاللباستخداماا التطبيقية؛

متبوعة بسلسلة من التمارين االحتماالتنظرية على شرح وتوضيح املفاهيم األساسية يف املطبوعةتركز هذه

: كاآليتمرتبة فصولأربعة على يتضمن مقياس االحتماالت حيث ،يف اية كل فصل بنوع من التفصيل احمللولة

. املبدأ األساسي للعد، التبديلة، الرتتيبة والتوفيقةمفاهيم عامة مبا يف ذلك -

الت احلوادث املتنافية وغري املتنافية، املستقلة امع وضرب االحتماجلمبا يف ذلك االحتماالت بديهيات -

.الكلي االحتمالوغري املستقلة وكذلك نظرية بايز وقاعدة

. املتغريات العشوائية املتقطعة واملستمرة -

.التوزيعات االحتمالية اليت تشمل التوزيع الثنائي والبواسوين وكذلك التوزيع الطبيعي -

وزارة التعليم طرف الربنامج املقرتح من لفصول املتطرق إليها وفق مجيع امتارين حملولة حال مفصال يف -

. العايل والبحث العلمي

هذه احملاضرات موجهة لطلبة السنة أوىل علوم اقتصادية وجتارية وعلوم التسيري وجلميع العلوم االجتماعية

.واالقتصاد القياسي ضياإلحصاء الرياكما تعد الطالب لسهولة وفهم واستيعاب مقاييس . واإلنسانية

بالل بوبلوطة. د

كلية العلوم االقتصادية والتجارية وعلوم التسيري

.جامعة جيجل

:اول فصلال

التحليل التوافقي المبدأ األساسي للعد _1 التباديل_ 2 التراتيب _3 التوافيق _4

التحليل التوافقي .................................................................................. الفصل األول

- 2 -

المبدأ األساسي للعد .1

يف هذه اليت سوف نتطرق إليهانظرية االحتماالت عناصر بالغ األمهية يف املبدأ األساسي للعد أمرا يعترب

لتجربة أخرى هي املمكنةوالنتائج لتجربة ما هي املمكنةإذا كانت النتائج أنه ، والذي ينص علىالفصول

هي معا للتجربتني املمكنةفإن النتائج × .)Sheldon, 2010(

أسئلة 3حيث أن التمرين األول متكون من ،إذا كان لدينا امتحان اإلحصاء متكون من مترينني: 1.1 مثال

ما هي . فإذا طلب من الطالب اإلجابة على سؤال واحد على األكثر من كل مترين. أسئلة 4والتمرين الثاين من

؟ حلل هذا االمتحان املمكنة احلاالتعدد

حاالت حلل 4و نرمز هلا ب حاالت حلل التمرين األول 3للطالب حسب قاعدة املبدأ األساسي للعد يكون

: وحلل التمرينني معا يكون للطالب نرمز هلا ب التمرين الثاين

n = × = 3 × 4 = 12 : 2.1 مثال

: ما هي عدد احلاالت املمكنة. حجرة ندر يف آن واحدو قطعة نقود إذا كانت لدينا جتربة متمثلة يف رمي

,H)قطعة النقود ميكن أن تقع أحد الوجهني لدينا T) . حجرة النرد ميكن أن تقع على أحد الوجوه الستة بينما

(1, 2, 3, 4, 5, : ومنه فإن عدد احلاالت املمكنة هلذه التجربة هي. (6

n = ×

2 × 6 = 12

اليت تعترب كطريقة تستخدم حلساب عدد احلاالت املمكنة من خالل الشجرة البيانية 2.1وميكن حل املثال

: الشجرة البيانية يف موميكن توضيح كيفية استخدا. )قليل( للتجارب عندما يكون عدد النتائج منته

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

2

4

3

1

2

(1-1)

(1-2)

(1-3)

(1-4)

(2-1)

(2-2)

(2-3)

(2-4)

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4)


- 3 -

التباديل . 2

: يز هنا بني نوعني من التباديلسوف من

. التباديل دون تكرار -

. التباديل مع تكرار -

التباديل دون تكرار. 1. 2

يف كل مرة، بشرط أن تؤخذ هذه العناصر مأخوذة بأنه تبديلة العناصر املختلفةمن ميكن أن نسمي ترتيب

مجيع العناصر أي = اليت ميكن تشكيلها من هذه العناصر اليت ختتلف باختالف اموعاتأي هي عدد .

: ويعرب عنها بالعالقة التالية )1995رجال، ( .ترتيب أحد هذه العناصر على األقل

= !

:حيث أن. عاملي أو مضروب يقرأ : !

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

7! = 5040

8! = 40320

9! = 362880

10! = 3628800 جمموعة احلروفما هي عدد الطرق املمكنة لرتتيب : 3.1مثال = , , ؟

)طرق 6من خالل العد املباشر حنصل على , , ) ،(, , ) ،(, , ) ،(, , ) ،

(, , ) ،(, , ممكنةتبديالت 6حيث أنه هناك . كل واحدة من هذه الرتتيبات يعرف بالتبديلة. (

حيث . ن قاعدة املبدأ األساسي للعدوميكن احلصول على هذه النتيجة أيضا م. عناصر خمتلفة 3جمموعة من من

. طرق ويبقى لنا حرفني الختيار احلرف الثاين وحرف واحد الختيار احلرف الثالث 3يتم اختيار احلرف األول ب

,!)كم كلمة ميكن تشكيلها من احلروف التالية :4.1 مثال , ", #, ℎ) قد ال يكون للكلمة معىن .


- 4 -

ألن الختيار احلرف الثاين خمتلفة طرق 4وتبقى لنا خمتلفة طرق 5 بــيف هذه احلالة ميكن اختيار احلرف األول

الختيار احلرف الثالث وهكذا حىت يتم أخذ 3و احلرف الذي اخرتناه يف األول ال يكون ضمن احلروف املتبقية

: مجيع احلروف، وميكن التعبري عن ذلك يف

= 120 × × × ×

% أي = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

بنفس الطريقة ميكن التعبري عن الصيغة العامة للتبديلة عنصر، يف هذه احلالة نفرتض اآلن أنه لدينا

طريقة خمتلفة، ومث يتم اختيار العنصر الثاين بطرق ـحيث يتم اختيار العنصر األول بـ .قاملتبعة يف املثال الساب

)عددها − )، وبعد ذلك ميكن اختيار العنصر الثالث بطرق عددها (1 − ، ونستمر على هذا (2

) ــواحدة الختياره بطريقة املنوال حىت نصل إىل العنصر األخري الذي تبقى لنا − + ، والصيغة العامة (1

: للتبديلة تعطى يف املعادلة التالية

= ! = ( − 1)( − 2)( − 3) … … … . − + 1

أما إذا كان > : فإن الصيغة العامة تصبح

= ! = ( − 1)( − 2)( − 3) … … … … … . − + 1 =

(+)(+)(+,)……………….(+-.)(+-)!

(+-)!=

!

(+-)!

,4)إذا كانت لدينا األرقام التالية :4.1 مثال 6, 9, 3, 1, أرقام ميكن تشكيله 3كم عددا مكونا من . (7

من هذه األرقام؟

)، حيث من اموعة الكلية اختيار جمموعة جزئية من األرقام يف هذه احلالة حنن نريد > ميكن . (

. طرق 4 ــطرق ورقم اآلحاد ب 5 ــطرق ورقم العشرات ب 6 ــاختيار رقم امليئات ب

120 = × ×

5 4 3 1 2

6 5 4


- 5 -

: وبتطبيق القانون األخري حنصل على نفس النتيجة

/(, ) =!

(+-)!=

0!

(0+,)!=

0×%×1×,!

,!= 120

التباديل مع تكرار . 2.2

يف هذه احلالة . عناصر متماثلةالتكون عندما أي يف بعض احلاالت ال ميكن أن نفرق بني عناصر اموعة

: ميكن معرفة عدد التباديل من خالل الصيغة العامة التالية

/234……5 =

!

2!×3!×4!…….6!

.متثل العناصر املتماثلة 7حىت من : حيث أن + + , + ⋯ - =

. :;>;!:/:9 ما هو عدد التباديل املختلفة اليت ميكن تكوينها من كلمة: 4.1مثال

أي مرتنيتكرر لدينا حرف = أي ثالث مرات تكرر :وحرف . 2 = وبتطبيق . وهكذا 3

: القانون أعاله حنصل على

/.,..... =

!

,!×!×!×!×!×!×!= 1663200

التراتيب . 3

اختيار جمموعة جتارب تتمثل يف يف الكثري من احلاالت يف نظرية االحتماالت خاصة يف التحليل التوافقي نصادف

=، حيث عنصر متكونة من من جمموعة كليةعنصر = متكونة من جزئية ≤ كرات من 3مثل اختيار .

)1995رجال، (: تسمى عملية االختيار هذه بالرتتيبة، ويوجد نوعني من الرتاتيب. من الكرات وعاء فيه

.الرتاتيب مع إعادة -

. الرتاتيب بدون إعادة -

التراتيب مع إعادة. 1.3

من الكرات مثال، يف هذه احلالة عند إجراء التجربة تعاد إذا كانت التجربة متمثلة يف سحب كرات من إناء فيه

طريقة خمتلفة الختيار كل كرة فبتطبيق املبدأ األساسي ، ومبا أنه توجد الكرة املسحوبة إىل اإلناء بعد كل سحبة

: للعد حنصل على

× × … … … . = -

: وميكن التعبري عنها بالصيغة التالية

?@- = -


- 6 -

أرقام اليت ميكن تكوينها من األرقام الزوجية يف القاعدة العشرية؟ 3ما هي عدد األعداد املشكلة من : 5.1مثال

وهي يف هذه احلالة األرقام الزوجية يف القاعدة العشرية متثل اموعة = 2, 4, 6, واموعة اجلزئية . 8

= : وتطبيق قانون الرتتيبة مع إعادة حنصل على. 3

1@? داعد , = 4, = 64

ما هي عدد اموعات اجلزئية املشكلة من : 6.1مثال = اليت ميكن تكوا من احلروف التالية 2

= , , ، يسمح بإعادة احلرف أكثر من مرة؟

:ثنائيات املتمثلة يف 9من خالل العد املباشر حنصل على

(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )

: وبتطبيق قانون الرتتيبة مع اإلعادة حنصل على

,@?ثنائيات = 3 = 9

إعادة دونالتراتيب . 1.3

حيث . وبذلك ال تكون هناك إعادة للعناصر يف هذه احلالة جيب عدم إعادة العنصر املسحوب إىل اموعة

، والسحبة الثانية تكون من اموعة أن السحبة األوىل تكون من اموعة − ، وهكذا حىت السحبة 1

األخرية اليت تكون من اموعة − + : التالية بالعالقةوميكن التعبري عنها . 1

?- =

!

(+-)!

. وهو نفس القانون الذي تطرقنا إليه يف التبديلة بدون تكرار

اب يف نظرية االحتماالت ال يفرقون بني التبيدلة والرتتيبة حيث يعترباما نفس هناك العديد من الكت :مالحظة

. الشيء

حروف اليت ميكن تشكيلها 3، 5املتكونة من )قد ال يكون للكلمة معىن( هي عدد الكلماتما : 7.1مثال

#من الكلمة <ℎé#<;BCD بدون إعادة احلروف؟

لدينا األوىل يف احلالة = و 12 = : ، وبتطبيق قانون الرتتيبة دون إعادة حنصل على5

? كلمة % =

!

(+%)!=

!

E!=

××F×G×H×E!

E!= 95040

يف احلالة الثانية لدينا = و 12 = : ، وبتطبيق قانون الرتتيبة دون إعادة حنصل على3

?, =

!

(+,)!=

!

G!=

××F×G!

G!= 1320


- 7 -

التوفيقة. 4

ما هو عدد اللجان اليت ميكن . شخص من األشخاص ونود تشكيل جلنة متكونة من فرضا أنه لدينا

عنصر من اموعة نها؟ نالحظ أن حساب عدد اللجان هو نفس مشكلة تكوين جمموعة جزئية من يتكو

ل التوفيقة خيتلف عن تشكيل التبديلة من حيث أنه يف التوفيقة ال نأخذ بعني االعتبار يتشكلكن . الكلية

املكونة من على سبيل املثال، ما هي عدد التباديل . ترتيب العناصر = اليت ميكن تشكيلها من احلروف 2

= , , , I 2003، ليبشتز(: تبديلة كاأليت 12 ؟ من خالل العد املباشر حنصل على(

, , I, , , I, , , I, I, I, I

أما عندما نريد حساب عدد التوافيق املكونة من = : توفيقات فقط وهي 6فنحصل على 2

, , I, , I, I

: اجلدول التايل ميكن توضيح العالقة بني التبديلة والتوفيقة يف

التوافيق التباديل

,

,

I, I I

,

I, I I

I, I I

!2نالحظ أن كل توفيقة مكونة من حرفني حتدد = تبديلتني للحروف املوجودة يف التوفيقة، وهذا يعين أن 2

أي . يساوي عدد التباديل !2عدد التوافيق مضروب يف

J- × 2! = /

-

: من التباديل نستنتج أن !يف كل مرة حتدد مأخوذة من العناصر ومبا أن كل توفيقة موعة

/- = ! × J

-

J ومنه - =

KL5

-!=

L!

(LM5)!

-N=

!

-!(+-)!

J :قانون التوفيقة لتايل حنصل علىوبا - =

!

-!(+-)!


- 8 -

10نها من جمموعة متكونة من يأفراد اليت ميكن تكو 4ما هي عدد اللجان املختلفة املشكلة من : 8.1مثال

أشخاص؟ لدينا = و 4 = : ، بتطبيق قانون التوفيقة حنصل على10

JF1 =

F!

1!(F+1)!= جلنة خمتلفة 210

ثالث رجال أشخاص 5 ما هي عدد اللجان املختلفة املشكلة من. نساء 5رجال و 6إذا كان لدينا : 9.1مثال

: وامرأتني اليت ميكن تكوينها؟ بتطبيق قانون التوفيقة جند

J0, × J%

= 20 × 10 = جلنة خمتلفة 200

تمارين محلولة

,0: أرقام ميكن تشكيله من األرقام التالية 3كم عددا مكون من : 1 التمرين 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ال يسمح بتكرار الرقم؟ -1

؟ 500العدد جيب أن يكون أقل من -2

العدد فردي؟ -3

العدد زوجي؟ -4

: الحل

ألن طرق 9 ــطرق ألن الصفر ال حيسب، مث خنتار رقم العشرات ب 9 ــيف هذه احلالة يتم اختيار رقم امليئات ب -1

يتم اختياره ورقم اآلحادأرقام فقط ألننا اخرتنا رقم يف خانة امليئات 9الصفر حيسب يف هذه لكن تصبح لدينا

: طرق 8 ب

9 × 9 × 8 = عدد 648

: طرق 8 ــطرق ورقم اآلحاد ب 9 ــطرق ورقم العشرات ب 4 ــخنتار رقم امليئات ب -2

4 × 9 × 8 = عدد 288

طرق ورقم 8 ــطرق وذلك حسب عدد األرقام الفردية املوجودة، مت خنتار رقم املئيات ب 5 ــخنتار رقم اآلحاد ب -3

: طرق 8 ــالعشرات ب

8 × 8 × 5 = عدد 320

طرق ورقم 8طرق وذلك حسب عدد األرقام الزوجية املوجودة، ورقم املئيات 4 ــخنتار رقم اآلحاد ب - 4

:طرق 8العشرات

8 × 8 × 4 = عدد 256


- 9 -

: طالبات يف صف إذا كان 3طلبة و 4بكم طريقة ميكن أن جيلس :2تمرين ال

اجللوس كما يشاءون؟ -1

الطلبة جنب بعضهم والطالبات جنب بعضهن؟ -2

إذا جلس الطلبة فقط جنب بعضهم؟ -3

طالبان ال ميكنهما اجللوس جنب بعضهما؟ -4

: الحل

: عدد الطرق املمكن إذا جلس هؤالء الطلبة كما يشاءون هو -1

/E = 7! = طريقة 5040

: الطلبة مع بعضهم والطالبات مع بعضهن -2

4! × 3! × 2! = طريقة 288

مث نعتربهم شخص واحد !4جلوس الطلبة فقط مع بعضهم، ميكن أن جيلس هؤالء الطلبة فيما بينهم ب -3

: !4حيث ميكنهم اجللوس مع الطالبات ب

4! × 4! = طريقة 576

لدينا عدد الطرق املمكنة جللوس هؤالء الطلبة كما يشاءون هو : طالبان ال ميكنها اجللوس جنب بعضهما -4

. طريقة 5040

: طالبات حيث ميكنهم اجللوس بطرق عددها 3طلبة و 3نعترب هذان الطالبان شخص واحد وبالتايل يصبح لنا

6! = طريقة 720

: لكن هذان الطالبان ميكنهما اجللوس جنب بعضهما بطرق عدد

2! = طريقة 2

وبالتايل عدد الطرق املمكنة جللوس هؤالء الطلبة والطالبات مع جلوس طالبني جنب بعضهما هو

6! × 2! = طريقة 1440

ومنه عدد الطرق املمكنة جللوس هؤالء الطلبة والطالبات حبيث طالبني ال ميكنهما اجللوس جنب بعضهما هو

5040 − 1440 = طريقة 3600


- 10 -

قد ال يكون ( O?OOPPكم عدد الكلمات اليت ميكن تكوينها من إعادة ترتيب حروف الكلمة : 3التمرين

): للكلمة معىن

: لدينا يف هذه الكلمة بعض احلروف تكررت أكثر من مرة وبالتايل حنن أمام التبديلة مع تكرار

/0,×× =

0!

,!×!×!= كلمة 60

أربعة مرات، 2مرتني، الرقم 1مرات، بكم طريقة ميكن أن حنصل على الرقم 10نلقي حجرة نرد : 4التمرين

ثالثة مرات؟ 4مرة واحدة والرقم 3الرقم

: الحل

. جمموعات حتتوي كل جمموعة على عدد من األرقام املتشاة 4مقسمة إىل 10لدينا جمموعة من األرقام عددها

: هذه األرقام من خالل التبديلة مع تكراريف هذه احلالة ميكن ترتيب

/F×1××, =

F!

!×1!×!,!= طريقة ممكنة 12600

:بكم طريقة ميكن إجراء هذه املقابلة إذا كان. إناث ملقابلة من أجل وظيفة معينة 3ذكور و 4تقدم : 5التمرين

يف كل مرة مقابلة شخص فقط؟ -1

يف كل مرة ال يتتابع شخصني من نفس اجلنس؟ -2

: الحل

: ميكن إجراء هذه املقابلة حيث يتم مقابلة شخص واحد دون األخذ بعني االعتبار جنسه بطرق عددها -1

/E = 7! = طريقة 5040

: ميكن إجراء هذه املقابلة حبيث ال يتتابع شخصني من نفس اجلنس بطرق عددها -2

(4)(3)(3)(2)(2)(1)(1) = 4! × 3! = طريقة 144

حروف اللغة اإلجنليزيةما هو عدد كلمات السر اليت ميكن احلصول عليها من استخدام حرفني من : 6التمرين

: وثالثة أرقام يسار األحرف يف احلاالت التالية ) 26عددها (

عدم تكرار احلرف والرقم؟ -1

تكرار احلرف وعدم تكرار الرقم؟ – 2

تكرار احلرف والرقم؟ – 3


- 11 -

: الحل

عدد الكلمات مع عدم تكرار احلرف والرقم هو – 1

26 × 25 × 10 × 9 × 8 = كلمة 468000

عدد الكلمات مع تكرار احلرف وعدم تكرار الرقم هو -2

26 × 26 × 10 × 9 × 8 = كلمة 486720

عدد الكلمات مع تكرار احلرف والرقم هو -3

26 × 26 × 10 × 10 × 10 = كلمة 676000

أسئلة، بكم طريقة ميكن للطالب أن خيتار 8من 5يف مسابقة معينة فرض على الطلبة اإلجابة على : 7التمرين

: عدد األسئلة يف احلاالت التالية

اختيار األسئلة بدون شرط؟ -1

إذا كانت األسئلة الثالثة األوىل إجبارية؟ -2

سة األوىل؟ أسئلة من األسئلة اخلم ثالثةإذا كان من الضروري اإلجابة على -3

: الحل

: ميكن اختيار األسئلة اخلمسة بطرق عددها -1

JH% =

H!

%!(H+%)!= طريقة 56

إذا أجاب الطالب على األسئلة الثالثة األوىل، يبقى له اختيار السؤالني املتبقيني من بني األسئلة اخلمسة -2

: األخرية بطرق عددها

J% =

%!

!(%+)!= طريقة 10

: ميكنه اختيار األسئلة الثالثة الضرورية من اخلمسة أسئلة األوىل بطرق عددها -3

J%, =

%!

,!(%+,)!= طريقة 10

: الثالثة األخرية بطرق عددهاويبقى له سؤالني يتم اختيارمها من األسئلة

J, =

,!

!(,+)!= طريقة 3

: وبالتايل يكون إمجايل عدد طرق اختيار األسئلة اخلمسة هو

10 × 3 = طريقة 30


- 12 -

إذا أردنا تكوين جلنة من هؤالء . طالبات 7طلبة و 5لدينا جمموعة من الطلبة متكونة من إذا كان : 8التمرين

: علمت أشخاص، ما هي عدد اللجان اليت ميكن تكوينها إذا 5الطلبة حيث تتكون من

بدون شرط؟ -1

ثالثة طلبة يرفضون ترشيحهم؟ -2

جيب أن يكون ضمن اللجنة طالبني على األقل؟ -3

أن يكونا يف اللجنة معا؟ يرفضان R والطالبة Qالطالب -3

: الحل

عدد اللجان اليت ميكن تكوينها هي -1

J% =

!

%!(+%)!= جلنة 792

عدد اللجان اليت ميكن تكوينها حبيث ثالثة من الطلبة يرفضون الرتشح هو -2

JG% =

G!

%!(G+%)!= جلنة 126

عدد اللجان اليت يكون فيها طالبني على األقل هي -3

J% × JE

, + J%, × JE

+ J%1 × JE

+ J%% × JE

F =

10 × 35 + 10 × 21 + 5 × 7 + 1 × 1 = جلنة 596

ال ميكنهما أن يكونا يف اللجنة معا هو R والطالبة Qعدد اللجان اليت ميكن تكوينها حبيث الطالب -4

: أما ضمن اللجنة وبالتايل عدد اللجان اليت جيتمعان فيها هيR والطالبة Qنعترب الطالب

JF, =

F!

,!(F+,)!= جلنة 240

: من خاللR والطالبة Qمن مت ميكن حساب اللجان اليت ال جيتمع فيها الطالب

J% − JF

, = 792 − 240 = جلنة 552

: ما هي عدد أرقام اهلاتف ذات العشرة أرقام اليت ميكن تكوينها من األرقام التالية: 9التمرين

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, : إذا علمت 9

يسمح بتكرار الرقم أكثر من مرة؟ -1

ال يسمح بتكرار الرقم؟ – 2

وال يسمح بتكرار الرقم؟ 056 ــجيب أن يبدأ الرقم ب -3


- 13 -

: الحل

: عدد األرقام اليت ميكن تشكيلها ويسمح بتكرار الرقم هي -1

?@FF = 10F = 1 × 10 Fرقم

:عدد األرقام اليت ميكن تشكيلها حبيث ال يسمح بتكرار الرقم هي -2

/F = 10! = رقم 3628800

: وال يسمح بتكرار الرقم هي 056 ــعدد األرقام اليت ميكن تشكيلها حبيث يبدأ الرقم ب -3

ألننا نضعها يف بداية كل 056األرقام السابقة باستثناء األرقاميف هذه احلالة حنن بصدد تكوين أرقام اهلاتف من

: كيلها هيرقم يتم تشكيله وبالتايل عدد األرقم اليت ميكن تش

/E = 7! = رقم 5040

. نساء 6رجال و 5أعضاء يتم اختيارهم من 5تضم عميد كلية يريد تشكيل جلنة : 10التمرين

ما هو عدد اللجان اليت ميكن تشكيلها؟ -1

: ما هو عدد اللجان اليت ميكن تشكيلها إذا علمت أن -2

من بني األعضاء جيب أن يكون رجل فقط؟ -أ

من بني األعضاء جيب أن تكون امرأتني على األكثر؟ -ب

جيب أن تتكون اللجنة من رجلني وامرأتني على األقل؟ -ج

ت اللجنة تضم الرئيس، النائب والكاتب؟ ما هو عدد اللجان إذا كان -3

: الحل

هوعدد اللجان اليت ميكن تشكيلها – 1

J% =

!

%!(+%)!= جلنة 462

: عدد اللجان اليت ميكن تشكيلها إذا كان -2

: هومن بني األعضاء جيب أن يكون رجل فقط -أ

J% × J0

1 = 5 × 15 = جلنة 75

: من بني األعضاء جيب أن تكون امرأتني على األكثر هو -ب

J%, × J0

+ J%1 × J0

+ J%% × J0

F =


- 14 -

10 × 15 + 5 × 6 + 1 × 1 = جلنة 181

: جيب أن تكون اللجنة متكونة من رجلني وامرأتني على األقل هو -ج

J% × J0

, + J%, × J0

=

10 × 20 + 10 × 15 = جلنة 350

عدد اللجان إذا كانت اللجنة تضم الرئيس، النائب والكاتب هو -3

?, =

!

(+,)!=

!

H!= جلنة 990

: أثبت أن: 11التمرين

J- = J+

-+ + J+-

: الحل

J+-+ + J+

- =(+)!

S(+)-(-+)T!(-+)+

(+)!

S++-T!-!

= (+)!

(+-)!(-+)!+

(+)!

(+-)!-!

=(+)!

(+-)(+-+)!(-+)+

(+)!

(+-+)!-(-+)

=(+)!-.(+)!(+-)

(+-)(+-+)!-(-+)=

(+)!S-.+-T

(+-)!-!

=!

(+-)!-!= J

-

: D"DUDإذا كانت لديك الكلمة : 12التمرين

اليت ميكن تشكيلها من هذه الكلمة؟ ) قد ال يكون للكلمة معىن(ما هي عدد الكلمات املختلفة -1

؟ متجاورة D الثالثة حروفكون ا هي عدد الكلمات املختلفة حبيث تم -2

؟ Dما هي عدد الكلمات املختلفة اليت تبدأ وتنتهي باحلرف -3

؟"وتنتهي باحلرف Dما هي عدد الكلمات املختلفة اليت تبدأ باحلرف -4

: الحل

: عدد الكلمات املختلفة اليت ميكن تشكيلها هو -1

/0,××× =

0!

,!×!×!×!= كلمة 120


- 15 -

: هومتجاورة Dحبيث تكون الثالثة حروف عدد الكلمات املختلفة – 2

/1 = 4! = كلمة 24

: هو Dعدد الكلمات املختلفة اليت تبدأ وتنتهي باحلرف -3

/1 = 4! = كلمة 24

: هو "وتنتهي باحلرف Dعدد الكلمات املختلفة اليت تبدأ باحلرف -4

/1×× =

1!

!×!×!= كلمة 12

أصدقاء بكم 9إذا كان له . بعض أصدقائه املقربني حلفلة عيد ميالدهشخص ما أراد أن يدعوا : 13التمرين

: طريقة ميكن أن يدعوا

مخسة أصدقاء إىل احلفلة؟ -1

رمها معا؟ و مخسة أصدقاء اثنان منهم متزوجان وال بد من حض -2

مخسة أصدقاء اثنان منهم متخاصمني وال ميكنهما احلضور معا؟ -3

: الحل

: ميكن أن يدعوا هذا الشخص مخسة من أصدقائه بطرق عددها -1

JG% =

G!

%!(G+%)!= طريقة 126

: ورمها معا بــميكن أن يدعوا هذا الشخص مخسة من أصدقائه اثنان منهم متزوجان وال بد من حض -2

: ان وعدد الطرق اليت ال يكون فيها كاأليتيف هذه احلالة نقوم حبساب عدد الطرق اليت يكون فيها الزوج

JE, + JE

% = 35 + 21 = طريقة 56

ميكن أن يدعوا هذا الشخص مخسة من أصدقائه اثنان منهم متخاصمني وال ميكنهما احلضور معا بطرق -3

: عددها

: نقوم حبساب عدد الطرق اليت جيتمع فيها الشخصني املتخاصمني كاآليت

JE, =

E!

,!(E+,)!= طريقة 35

: وبالتايل يبقى لنا حساب عدد الطرق اليت ال جيتمع فيها هذين الشخصني من خالل

JG% − JE

, = 126 + 35 = طريقة 91


- 16 -

: أشخاص حول طاولة مستديرة، إذا كان 5بكم طريقة ميكن أن جيلس : 14التمرين

اجللوس كما يشاءون؟ -1

شخصان منهم ال ميكنهما اجللوس جنب بعضهما؟ -2

شخص منهم جيلس دائما يف الطاولة األخرية؟ -3

: الحل

. حنن هنا بصدد التبديلة الدائرية وهي حالة خاصة من التباديل اليت تطرقنا إليها

: حول طاولة مستديرة هو أشخاصعدد الطرق املمكنة جللوس مخسة -1

/ = ( − 1)! = (5 − 1)! = طريقة 24

هو اجللوس جنب بعضهماشخصان منهم ال ميكنهما عدد الطرق املمكنة حبيث -2

أشخاص حول طاولة 4نعترب الشخصني املتخاصمني شخص واحد وبالتايل عدد الطرق املمكنة اليت جيلس ا

: مستديرة هو

/1 = (4 − 1)! = طريقة 6

: لكن هذين الشخصني ميكنهما اجللوس جنب بعضهما بطرق عددها

/ = 2! = طريقة 2

منهم جنب اثنانأشخاص حول طاولة مستديرة حبيث جيلس 4وبالتايل عدد الطرق املمكنة اليت جيلس ا

بعضهما هو

3! × 2! = طريقة 12

أشخاص حول طاولة مستديرة حبيث اثنان منهم ال ميكنهما 5ومنه نستنتج عدد الطرق املمكنة اليت جيلس ا

: اجللوس جنب بعضهما من خالل

24 − 12 = طريقة 12

: هو شخص منهم جيلس دائما يف الطاولة األخريةعدد الطرق املمكنة حبيث -3

/1 = (4 − 1)! = طريقة 6

: إذا كان لديك أحسب قيمة : 15التمرين

? = 72


- 17 -

: الحل

? = ( − 1) = 72

= − = 72 → − − 72 = 0 : ومنه

( − 9)( − 8) = 0 : يكون موجبا فإن جيب أن ومبا أن = 9

نساء، ما هي عدد 3رجال و 3نساء وأردنا تشكيل جلنة تتكون من 8رجال و 6إذا كان لدينا : 16التمرين

: اللجان اليت ميكن تشكيلها إذا كان

رجلني يرفضان أن يكونا معا؟ -1

امرأتني يرفضان أن يكونا معا؟ -2

رجل وامرأة يرفضان أن يكونا معا؟ -3

:الحل

: عدد اللجان اليت ميكن تشكيلها حبيث رجلني يرفضان أن يكونا معا هو -1

نساء هو 3رجال و 3عدد اللجان اليت ميكن تشكيلها من

J0, × JH

, = 20 × 56 = جلنة 1120

: نعترب هذين الرجلني يف اللجنة وبالتايل عدد اللجان يصبح

J1 × JH

, = 4 × 56 = جلنة 224

: ومنه ميكن حساب عدد اللجان اليت ال جيتمع فيها هذين الرجلني من خالل

1120 − 224 = جلنة 896

: امرأتني يرفضان أن يكونا معا هو عدد اللجان اليت ميكن تشكيلها حبيث -2

: نقوم حبساب عدد اللجان اليت جتتمع فيها هاتني املرأتني من خالل

J0, × J0

= 20 × 6 = جلنة 120

: ومنه ميكن حساب عدد اللجان اليت ال جتتمع فيها هاتني املرأتني من خالل

1120 − 120 = جلنة 1000


- 18 -

: عدد اللجان اليت ميكن تشكيلها حبيث رجل وامرأة يرفضان أن يكونا معا هو -3

: ع فيها هذا الرجل واملرأةنقوم حبساب عدد اللجان اليت جيتم

J% × JE

= 10 × 21 = جلنة 210

:ومنه ميكن حساب عدد اللجان اليت ال جيتمع فيها هذا الرجل وهذه املرأة يف

1120 − 420 = جلنة 910

ما هي الرتتيبات اخلطية املختلفة اليت ميكن تشكيلها من احلروف التالية : 17التمرين , , , I, D, W إذا

: علمت أن

1- يقعان جنب بعضهما؟ و

2- ؟ قبل

3- ؟ قبل و قبل

4- ؟I قبل و قبل

5- يقعان جنب بعضهما؟ وIيقعان جنب بعضهما و و

6- D ؟ يكون هو األخريال

: الحل

: يقعان جنب بعضهما هو وعدد الرتتيبات اليت ميكن تشكيلها حبيث احلرفني -1

,ترتيبات خمتلفة ميكن تشكيلها من احلروف !4هناك I, D, W . ترتيبات خمتلفة ميكن تشكيلها من !2ولدينا

احلرفني , وبالتايل حنصل على ترتيبتني ميكن أن يكون على يسار أو على ميني احلرف ألن احلرف

, و , لكن احلرفني . , ,ميكن أن يقعان يف مخسة أماكن بني احلروف I, D, W إما قبل احلرف ،

عدد الرتتيبات املختلفة ميكن تشكيلها التايل وب. األول، وإما بني احلرف األول والثاين أو الثاين والثالث وهلم جرا

: من خالل

4! × 2! × 5 = ترتيبة 240

وميكن احلصول على نفس النتيجة إذا اعتربت احلرفني , حرف واحد وبالتايل تصبح عدد الرتتيبات اليت ميكن

, تشيلها من I, D, W باإلضافة إىل احلرفني, لكن احلرفني . !5اللذان اعتربنامها حرف واحد , ميكن

: ومنه ميكن احلصول على عدد الرتتيبات الكلية يف. !2أن يكونان جنب بعضهما بطريقتني أي

5! × 2! = ترتيبة 240

: هو قبل عدد الرتتيبات اليت ميكن تشكيلها حبيث -2


- 19 -

!6ميكن احلصول على = جيب وأن جيب أن يكون قبل ومبا أن . ترتيبة خمتلفة بدون شرط 720

: عدد الرتتيبات يكون فإن، قبل و أ أن يكون قبل

EF

= ترتيبة 360

: هو قبل و قبل يكون عدد الرتتيبات اليت ميكن تشكيلها حبيث -3

وأنه ميكن ، قبل و قبل يكون فيها اليت ، هناك العديد من الرتتيبات 720من الرتتيبات املمكنة

ترتيب احلروف !3 على احلصول, , : هو قبل و قبل يكون عدد الرتتيبات حيثوبالتايل

EF

0= ترتيبة 120

هو I قبل و قبل عدد الرتتيبات اليت ميكن تشكيلها حبيث -4

والنصف I قبل وبالتايل النصف يكون . ترتيبة 360هو قبل عدد الرتتيبات املمكنة عندما يكون

. I قبل و قبل عندما يكون خمتلفةترتيبة 180وبالتايل هناك . قبل Iاآلخر يكون

: يقعان جنب بعضهما هو وIيقعان جنب بعضهما و وعدد الرتتيبات اليت ميكن تشكيلها حبيث -5

!4حرف واحد وبالتايل عدد الرتتيبات يصبح وIوحرف واحد ونعترب = ومبا أن احلرفني . ترتيبة 24

, ,Iو !2ا فنحصل على مميكن عكسه × جنب ووبالتايل عدد الرتتيبات حبيث يكون !2

: جنب بعضهما هو وIبعضهما و

4! × 2! × 2! = ترتيبة 96

: ال يكون األخري هو Dعدد الرتتيبات اليت ميكن تشكيلها حبيث -6

!5هو األخري يصبح عدد الرتتيبات Dعندما يكون = ميكن حساب عدد الرتتيبات وبالتايل . ترتيبة 120

: هو األخري من خالل Dحبيث ال يكون

6! − 5! = 720 − 120 = ترتيبة 600

كم . أشخاص وأردنا تعيني رئيس وأمني صندوق وسكرتري من هؤالء األشخاص 10إذا كان لدينا : 18التمرين

: عدد اخليارات املمكنة للتعيني إذا كان

التعني بدون قيود؟ -1

ال يكون إال إذا كان رئيسا؟ ?الشخص -2

: الحل

: عدد اخليارات املختلفة املمكنة هو -1

10 × 9 × 8 = خيار 720

: ال يكون إال رئيسا هو ?عدد اخليارات املمكنة حيث أن الشخص -2

9 × 8 × 7 + 9 × 8 = خيار 576

:الثاني فصلال

بديھيات ا حتمال فضاء العينة والحوادث _1 حساب االحتماالت_ 2 قواعد حساب االحتماالت _3 Bayesقاعدة بايز _ 4

االحتمال الكلي_ 5

بديهيات االحتماالت ...............................................................................الفصل الثاني

- 21 -

فضاء العينة والحوادث .1

. يف الكثري من األحيان نصادف أو نقوم بالعديد من التجارب يف حياتنا اليومية وحنصل على مالحظات أو نتائج

جتربة ميكن أن نعرف نتائجها مسبقا من خالل القوانني أو املسلمات خاصة يف العلوم التقنية مثل الفيزياء فكل

أم التجارب اليت ال ميكن أن نعرف نتائجها مسبقا حىت لو كررنا هذه التجربة . والكيمياء تسمى بالتجربة النظامية

التجربة نتائج أن من الرغم على ذلك، ومع .فتسمى بالتجربة العشوائيةعدة مرات ويف ظل نفس الشروط

النتائج هذه. معروف هو احملتملة النتائج من جمموعة كل أن نفرتض دعونا سلفا، معروفة تكون لن العشوائية

)Ω. )Bertsekas and Tsitsiklis, 2000 ــهلا ب ويرمز العينة فضاءب عرفت للتجربة احملتملة

:أو فضاء العينة عدد النتائج املمكنة تكونرمية حجرة نرد على األرض عند :1.2مثال

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

احلدث هو جمموعة جزئية من فضاء العينة يتكون فقط من إحدى النتائج املمكنة للتجربة ونرمز له باحلروف

,A ةالالتيني B, C … )1995رجال، ( :إىل عدة أنواع وهي وينقسم …

هو حدث بسيط عند رمي حجرة 6هو احلدث غري القابل للتجزئة، مثال نقول أن احلدث : الحدث البسيط -

. ال ميكن تقسيمه إىل حوادث أخرى 6ألن الرقم . النرد

مثال نقول أن حدث ظهور رقم فردي . هو احلدث الذي ميكن جتزئته إىل حوادث بسيطة: الحدث المركب -

Aعند رمي حجرة نرد هو حدث مركب ألنه يتكون من عدة حوادث بسيطة مثل = 1, 3, 5 .

مثال . نقول عن احلدث أنه أكيد إذا كان يتكون من مجيع احلوادث البسيطة املرتبطة بالتجربة: الحدث األكيد -

عند رمي حجرة نرد هو حدث أكيد ألننا مهما رمينا حجرة النرد 7دث احلصول على رقم أصغر من نقول أن ح

Aونرمز له ب . 6إىل 1فسوف حنصل على رقم من = Ω .

نقول حدث فمثال. احلدث املستحيل هو احلدث املستحيل وقوعه مهما أعدنا التجربة :المستحيلالحدث -

ل احلصول على عند رمي حجرة نرد هو حدث مستحيل ألننا مهما رمينا حجرة النرد فمن املستحي 8ظهور الرقم

A ونرمز له بــ. 8الرقم = ∅ .

هي احلوادث اليت يستحيل حدوثها يف آن واحد حيث أن وقوع أحدها ينفي وقوع : الحوادث المتنافية -

Aاآلخر أو إذا كان غري متقاطعني أي ∩ = ∅ .

احلوادث اليت ميكن حدوثها يف آن واحد حيث أن حدوث أحدها ال ينفي وقوع : الحوادث غير المتنافية -

Aاآلخر أو إذا كان متقاطعني أي ∩ ≠ ∅.

: عند رمي حجرة نرد على األرض فإن عدد احلاالت املمكنة أو فضاء العينة هلذه التجربة هي: 2.2مثال

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6


- 22 -

وعند ظهور رقم أويل . وأنه عند ظهور رقم فردي هو احلدث Aنفرتض أنه عند ظهور رقم زوجي هو احلدث

: هو احلدث

C = 2, 3, 5 B = 1, 3, 5 A = 2, 4, 6 ه ميكن أن يكون العدد زوجي وأويل يف نفس مها حدثني غري متنافيني ألن Cو Aومنه ميكن القول أن احلدثني

A: الوقت وبالتايل يكون ∩ = 2 .

مها حدثني متنافيني ألنه ال ميكن أن يكون العدد فردي وزوجي يف نفس الوقت Bو Aونقول أن احلدثني

A: وبالتايل يكون ∩ = ∅ .

فمثال . هي احلوادث اليت عندما يقع أحدها ال يؤثر وال يتأثر بوقوع احلوادث األخرى :الحوادث المستقلة -

نتائج عدة رميات لقطعة نقود هي حوادث مستقلة، ألن نتائج الرمية األوىل مثال ال تؤثر وال تتأثر بنتائج الرمية

. وهلم جرا......الثانية أو الثالثة

عند وقوع أحدها يؤثر على احتمال وقوع احلوادث األخرى أو هي احلوادث اليت :الحوادث غير المستقلة -

فمثال عند سحب كرة من صندوق بدون إعادة . وقوع أحدها يكون مشروط أو مرتبط بوقوع احلوادث األخرى

. كرة هي حوادث غري مستقلة ألن السحبة األوىل أو الثانية تؤثر على احتمال السحبات املوالية به

ت االحساب االحتم -2

نسميها عدد احلاالت املالئمة من النتائج الكلية Kميكن أن يقع بطرق عددها Aإذا كان حدوث احلدث

: من خالل A، فإنه ميكن حساب احتمال وقوع احلدث Ωللتجربة أي عدد احلاالت املمكنة

PA = عدد احلاالت املالئمة

عدد احلاالت املمكنة=

تعرب عن احتمال احلدث PAتوجد قيمة Ωيف فضاء العينة Aفإذا افرتضنا أنه لكل حدث وكقاعدة عامة A إذا حتققت البديهيات التالية :)Soong, 2004(

0 :1البديهية ≤ PA ≤ 1

! P Ω :2البديهية = 1

PA :3البديهية ∪ = PA + PB

,$Aالبديهية الثالثة تكون صحيحة يف حالة كون عدد غري منتهي من احلوادث املتتابعة A% … واملتنافية .…

$PA: مثىن مثىن ∪ '% … … … ∪ (') = PA$ + PA% … … … . +(')


- 23 -

Ωعند رمي حجر نرد غري متحيز فإن عدد احلاالت املمكنة هي : 3.2مثال = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ومبا

: أن كل حدث من احلوادث الناجتة هلا نفس فرصة الظهور يكون لدينا

P1 = P2 = P3 = P4 = P5 = P6 = $*

مثال هو 6وبالتايل يكون عدم احتمال ظهور الرقم

P6+ = 1 − (6 = 1 − $* = -*

P6 + P6+ = $* + -* = 1

قواعد حساب االحتماالت -3

تنقسم العمليات على االحتماالت إىل عمليات أو قواعد اجلمع اليت تكون يف احلوادث املتنافية وغري املتنافية

)2003، ليبشتز(: وعمليات الضرب اليت تستخدم يف احلوادث املستقلة وغري املستقلة واملتمثلة يف

"أي " أو" يقرأ احتاد ويكون يف حمل ∪الرمز : في نظرية االحتماالت كقاعدة عامة + يقرأ ∩والرمز . "

"أي " و" تقاطع ويكون يف حمل × " .

مينع وقوع Aمتنافيان إذا كان وقوع احلادث Bو Aنقول أن احلدثان :قاعدة جمع الحوادث المتنافية. 1.3

: وبالتايل يكون. والعكس صحيح Bاحلادث

PA ∪ = PA + PB

عند رمي حجرة نرد؟، لدينا احتمال احلصول على أي 6أو 4ما هو احتمال احلصول على الرقم :4.2مثال

: حادث من النتائج املمكنة هو

P1 = P2 = P3 = P4 = P5 = P6 = $*

P4 : وبالتايل ∪ 6 = P4 + P6 = $* + $* = %*

A إذا كان وقوع احلادث متنافينيغري Bو Aنقول أن احلدثان :المتنافية غير قاعدة جمع الحوادث. 2.3

:وبالتايل يكون. والعكس صحيح Bمينع وقوع احلادث ال

PA ∪ = PA + PB − PA ∩

PAنقوم بطرح االحتمال ∩ PAلكي نتجنب حسابه مرتني، ألنه يف األصل ضمن االحتمال

. PB و


- 24 -

عدد احلاالت املمكنة فضاء ما هو احتمال احلصول على عدد فردي أو أويل عند رمي حجرة نرد؟ : 5.2مثال

: هوهلذه التجربة

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

: أويل هو احلدث عددوعند ظهور . 'فردي هو احلدث عددأنه عند ظهور : نفرتض

B = 2, 3, 5 A = 1, 3, 5 وأويل يف نفس فرديمها حدثني غري متنافيني ألنه ميكن أن يكون العدد Cو Aومنه ميكن القول أن احلدثني

A: الوقت وبالتايل يكون ∩ = 3, 5 .

: وعليه

PA ∪ = 0* + 0* − %* = 1*

ال يؤثر Aمستقلني إذا كان وقوع احلادث Bو Aنقول أن احلدثان :المستقلةالحوادث ضربقاعدة . 3.3

)2003، ليبشتز(: وبالتايل يكون. B غري مرتبط بوقوع احلادث Aأو وقوع احلادث Bعلى وقوع احلادث

PA ∩ = PA × PB

ألن نتائج قطعة نقود األوىل ال يؤثر على . رمي قطعيت نقود متتاليتني هي حوادث مستقلة نتائج: 6.2مثال

فإن احتمال Bوصورة قطعة النقود الثانية ب Aفإذا رمزنا لصورة قطعة النقود األوىل ب . نتائج الرمية الثانية

:ظهور الصورة هو

PA ∩ = PA × PB = $% × $% = $1

. من قطع النقود حساب احتمال رمي عدد ميكنوبنفس الطريق

Aغري مستقلني إذا كان وقوع احلادث Bو Aنقول أن احلدثان :المستقلة غير الحوادث ضربقاعدة . 4.3

PA :وبالتايل يكون. أو إذا كان وقوع أحدمها مرتبط بوقوع اآلخر Bيؤثر على وقوع احلادث ∩ = PA × PB/'

B مضروب يف احتمال وقوع احلادث A يساوي احتمال وقوع احلادث Bو Aاحتمال وقوع احلدثني : ونقرأ

. قد حتقق A علما أن احلادث

: وحيسب كما يلي '/PBوميكن استنتاج االحتمال الشرطي الذي يرمز له

PB/' = 34∩534


- 25 -

مستقلني فإن االحتمال Bو Aوإذا كان احلدثني . قد حتقق A علما أن احلادثB احتمال وقوع احلادث: ويقرأ

'/PB: الشرطي يصبح يساوي = PB .

أحسب احتمال أن زوجيالظاهر العددإذا كان .إذا كانت لدينا جتربة تتمثل يف رمي حجرة نرد: 7.2مثال

: عدد احلاالت املمكنة هو لدينا. أويليكون

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

: وعند ظهور عدد أويل هو احلدث . 'أنه عند ظهور عدد زوجي هو احلدث : نفرتض

B = 2, 3, 5 A = 2, 4, 6

A: وبالتايل يكون ∩ = 2 .

'/PB : وعليه = 34∩534 = 6787 = $0

Bayesبايز قاعدة -5

بكيفية حساب االحتمال الشرطي للحوادث تم االحتماالت حيثتعترب من أهم مربهنات نظرية هذه النظرية

,$A املتنافيةفرضا أنه لدينا احلوادث .املتنافية اليت تشكل جمموعة كلية ومرافقة للحدث املراد حسابه A% … … . A9 واليت جمموعها يشكل فضاء العينةΩ وأن ،PA: > 0, فمن أجل أي . = ∀

PBحيث أن حدث > )2004شبيجل وآخرون، (: ، يكون لدينا0

PA:/ = 34>×?5/4>∑ 3A>×?B/5CD>E6

,F آالت 3لدينا مصنع يتكون من :8.2مثال G, H على %10، %30، %60 كل آلةحيث تنتج

اخرتنا قطعة بطريقة عشوائية، فرضا أننا .على الرتتيب %7، %5، %3الفاسد لكل آلة هو اإلنتاجأن و . التوايل

؟Fاآللة إنتاجما هو احتمال أن تكون من - أ. فوجدناها فاسدة

؟ Tما هو احتمال أن تكون من إنتاج اآللة -ب

: الحل

. القطعة الفاسدة هو حدث اختيار 'نفرتض أن

:علما أا فاسدة هو Fاآللة أن تكون من إنتاج احتمال -أ

PF/' = 3K×?B/K3K×34/LM?N×?B/NM?O×?B/O


- 26 -

= P.*×P.P0P.*×P.P0MP.0×P.P-MP.$×P.PQ = 0.45

:علما أا فاسدة هو Tاآللة احتمال أن تكون من إنتاج -ب

PF/' = 3O×?B/R3R×34/OM?N×?B/NM?L×?B/L

= P.$×P.PQP.$×P.PQMP.0×P.P-MP.*×P.P0 = 0.175

االحتمال الكلي -6

,$Bإال بتحقق أحد احلوادث املتنافية ' ال يتحقق احلادثيعرف االحتمال الكلي بأنه B% … … . B9 اليت

)1995رجال، (: وحتقق الشروط الثالثة Ωتشكل جتزئة للمجموعة الكلية

T (U ≥ 0U ∩ W = ∅$ ∪ % … … . ) = Ω

: ويعرب عنه بالقانون التايل

PA = ∑ PB: × PA/B:9:X$

ية من اإلنتاج الكلي سحبنا قطعة بطريقة عشوائ فرضا أننا. 8.2إذا كان لديك نفس معطيات املثال : 9.2مثال

.هلذا املصنع

ما هو احتمال أن تكون فاسدة؟ -1

ما هو احتمال أن تكون غري فاسدة؟ -2

: الحل

احتمال أن تكون فاسدة هو -1

: ومنه ميكن حساب احتمال أن تكون فاسدة من خالل ' ز الحتمال أن تكون القطعة فاسدة بــنرم

(' = (H × ('/H + (G × ('/G + (F × ('/F

= 0.6 × 0.03 + 0.3 × 0.05 + 0.1 × 0.07 = 0.04

احتمال أن تكون غري فاسدة هو -2

: ومنه ميكن حساب احتمال أن تكون فاسدة من خالل Yنرمز الحتمال أن تكون القطعة فاسدة بــ

(' = (H × ('/H + (G × ('/G + (F × ('/F = 0.6 × 0.97 + 0.3 × 0.95 + 0.1 × 0.93 = 0.96


- 27 -


على األرض، حيث أن 6إىل 1إذا كانت لدينا جتربة تتمثل يف رمي حجرة نرد مزيفة مرقمة من : 1التمرين

. احتمال ظهور رقم زوجي هو ضعف احتمال ظهور رقم فردي

أحسب احتمال ظهور رقم زوجي مث احتمال ظهور رقم فردي؟ -1

؟ 2احسب احتمال ظهور الرقم -2

: الحل

: احتمال ظهور رقم فردي هواحتمال ظهور رقم زوجي مث -1

لدينا عدد احلاالت املمكنة هلذه التجربة هو

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

: ومبا أن احتمال ظهور رقم زوجي هو ضعف ظهور رقم فردي فإنه

P2, 4, 6 = 2P1, 3, 5

,P1حيث A ـنرمز الحتمال ظهور رقم فردي ب 3, 5 = A

P2, 4, 6 = 2A

,P 2 ومبا أن 4, 6 ∪ P1, 3, 5! = : فإن 1

A + 2A = 1 → 3A = 1 → ' = $0

: وبالتايل

P1, 3, 5 = ,P2 و $0 4, 6 = %0

أي أن احتمال ظهور رقم فردي هو واحتمال ظهور رقم زوجي هو $0

%0 .

: هو 2احتمال ظهور الرقم -2

,P2 لدينا 4, 6 = 2) ومنه %0 ∪ (4 ∪ (6 = %0

2) وبالتايل + (4 + (6 = %0

2) :لكن = (4 = (6 = H 3ومنهH = H: إذن %0 = %

هو 2وبالتايل احتمال ظهور الرقم %

.


- 28 -

إذا قمنا بإجراء سحبات يف . سوداء ال نفرق بينهم باللمس 4كرات بيضاء و 3صندوق حيتوي على : 2التمرين

إذا كانت سوداء نتوقف عن السحب وإذا كانت بيضاء ال نعيدها ونواصل . كل سحبة نأخذ كرة بطريقة عشوائية

: سحب الكرة املوالية وهكذا

وداء؟ ما هو احتمال أن تكون الكرة يف السحبة األوىل س -1

ما هو احتمال أن تكون الكرة يف السحبة الثانية سوداء؟ -2

استنتج االحتمال لكي ال جنري السحبة الثالثة؟ -3

: الحل

: احتمال أن تكون الكرة سوداء يف السحبة األوىل هو -1

(' = _6_a6 = 1Q

احتمال الكرة املسحوبة يف املرة الثانية سوداء هو -2

ولكي يتحقق احلدث جيب أن تكون الكرة بيضاء يف السحبة األوىل وال B ــكون الكرة سوداء ب حلدثنرمز

. نعيدها إىل الصندوق مث نسحب يف املرة الثانية كرة سوداء

( = _86_a6 × _6_76 = %Q

: االحتمال لكي ال جنري السحبة الثالثة هو -3

كرة سوداء يف الما يف السحبة األوىل أو الثانية أي جيب أن تكون ري السحبة الثالثة جيب أن نتوقف إلكي ال جن

: احتمال لكي ال جنري السحبة الثالثة هو إذن. السحبة األوىل أو الثانية

(' + ( = 1Q + %Q = *Q

واحتمال الكساد 0.4أو الكساد، إذا كان احتمال التضخم هو تضخم الما هو احتمال حدوث : 3التمرين

؟ 0.24واحتمال التضخم والكساد معا 0.6هو

:الحل

ومبا أن احتمال حدوث التضخم . c) ـــــواحتمال حدوث كساد ب b) ــنرمز الحتمال حدوث تضخم ب

: فإن احلدثني ليس متنافيني ومنه نطبق قاعدة اجلمع فتحصل 0والكساد يف نفس الوقت ليس (b ∪ c = (b + (c − (b ∩ c

= 0.4 + 0.6 − 0.24 = 0.76


- 29 -

: احلصول على ما هو احتمال. إذا كانت لدينا جتربة تتمثل يف رمي حجرة نرد :4التمرين

؟ 3أقل من -1

؟ 3أكثر من -2

: الحل

: هو 3قل من احتمال احلصول على أ -1

ومبا أن هذه األحداث متنافية، فإننا . 2أو 1عند رمي حجرة نرد يعين احلصول على 3على أقل من احلصول

: نطبق قاعدة اجلمع هلذه األحداث فنحصل

(1 ∪ 2 = (1 + (2 = $* + $* = %*

: هو 3احتمال احلصول على أكثر من -2

ومبا أن هذه األحداث متنافية، . 6أو 5أو 4جرة نرد يعين احلصول على عند رمي ح 3احلصول على أكثر من

: فإننا نطبق قاعدة اجلمع هلذه األحداث فنحصل

(4 ∪ 5 ∪ 6 = (4 + (5 + (6 = $* + $* + $* = 0*

صنعت قطعة نقود حبيث يكون احتمال ظهور الصورة ضعف احتمال ظهور الكتابة يف الرمية : 5التمرين

. الواحدة

؟ d احسب احتمال ظهور الصورة -1

؟ F احسب احتمال ظهور الكتابة -2

: الحل

: احتمال ظهور الصورة هو - 1

F)نفرتض أن = d)ومنه ) = :فإن 1ومبا أن جمموع االحتماالت جيب أن يساوي )2

( + 2( = 1

) :ومنه = $0

F) :إذن = ( = $0

(d = 2( = 2 $0 = %0


- 30 -

. واحدة و نسجل رقمها كرةشوائيا نسحب ع. 15إىل 1مرقمة من كرة 15 على حيوي كيس :6التمرين

. Ωعني اموعة الشاملة -1

." 5احلصول على رقم مضاعف للعدد :" A عني احلادث -2

." 3احلصول على رقم مضاعف للعدد :" B عني احلادث -3

Aعني احلوادث -4 B∩ وA وB مث استنتج احلادثتنيA B∩ وA B∩

Aو Bو Aحيث B∩ هي احلوادث العكسية للحوادثA وB وA B∩ على الرتتيب

A ،B ،AY ،،BY AY، احسب االحتماالت -5 ∩ BY ؟

: الحل

هو Ωفضاء العينة - 1

Ω = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

: هو Aدث احل - 2

' أي Aهي اليت تشكل 15و 1احملصورة بني 5مضاعفات العدد = 5,10,15

: هو Bاحلدث - 3

أي Bهي اليت تشكل 15و 1احملصورة بني 3مضاعفات العدد = 3, 6, 9, 12, 15

: تعيني احلوادث التالية - 4

A ∩ B = 15 AY = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14

BY = 1, 2, 5, 4, 7, 8, 10, 11, 13, 14 AY ∩ BY = 1,2,4,7,8,11,13,14

A ∩ +++++++ = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 : A ،B ،AY ،BY، االحتماالتحساب -5

PA = 0$- = 0.6

PB = -$- = 0.33

PAY = $%$- = 0.8

PBY = $P$- = 0.66

PAY ∩ BY = f$- = 0.53


- 31 -

الحتمال ظهور الوجه ذي الرقم ipنرمز بالرمز .4 إىل 1زهرة نرد مزيفة ذات أربعة أوجه مرقمة من :7التمرين

i 1,2,3,4 مع ∈ i . نعلم أنP% = ,$Pدو أن احلدو -$ P%, P0, P1 تشكل حدود متتالية حسابية

. ذا الرتتيب

,$Pاحسب -1 P0, P1 ؟

احسب احتمال ظهور رقم فردي؟ -2

: الحل

,$Pحساب -1 P0, P1 :

أساس املتتالية احلسابية rإذا كان لدينا

P% = ($ + h, P0 = (% + h, P1 = (% + 2h

$P : لكن + P% + P0 + P1 = 1

%P : ومنه − h + P% + P% + r + P% + 2r = 1

%4P :أي أن + 2r = 1

r : وبالتايل = $i1?j% = $$P

P$ = $- − $$P = $$P , (0 = (% + h = 0$P , (1 = (% + 2h = 1$P

: احتمال ظهور عدد فردي هو -2

PA :لدينا = P$ + P0

PA :إذن = %-

فإذا . طالب راسب 20طالب يوجد 100السنة اجلامعية وجد أنه يف كل عند اإلعالن عن نتائج: 8التمرين

. اخرتنا طالبني بطريقة عشوائية من جمموعة ما

ما هو احتمال أن يكون الطالب األول راسب؟ -1

ما هو احتمال أن يكون الطالب الثاين راسب علما أن الطالب األول راسب؟ -2

ما هو احتمال أن يكون كالمها راسبني؟ -3

: الحل


- 32 -

: احتمال أن يكون الطالب األول راسب هو -1

وبالتايل االحتمال يساوي Aنرمز للطالب الراسب بـ

(A = %P$PP = 0.2

: هو احتمال أن يكون الطالب الثاين راسب علما أن الطالب األول راسب -2

طالب من بينهم 99علمنا أن الطالب األول راسب يبقى يف اموعة فإذا. Bنرمز للطالب الراسب الثاين بـ

وبالتايل فإن احتمال أن يكون الطالب الثاين راسب علما أن األول راسب هو . طالب من الراسبني 19

(B/' = $^^^ = 0.192

: احتمال أن يكون كالمها راسبني هو -3

(B ∩ ' = (B/'(A = $^^^ × %P$PP = 0.0384

Aإذا رمزنا بـ ف. مت فحص جمموعة من األفراد للكشف عن مرض معني خمابر التحاليل الطبيةيف أحد : 9التمرين : لدينا فإذا كان. اجيابية نتيجة الفحصإىل أن Bبـ إىل الشخص الذي مت فحصه مصاب ذا املرض و

(B/' = 0.99 , (B/' = 0.005

ما هو احتمال أن يكون . اخرتنا شخص بطريقة عشوائية. يف املائة من األشخاص يعانون من هذا املرض 1وأن

علما أن نتيجة الفحص كانت اجيابية؟ هذا الشخص مصابا باملرض

: احلل

') : لدينا = ')و 0.001 = 0.999

وبالتايل االحتمال هو

(A/ = ?A/B?4?A/B?4M?A/4Y?4Y = P.^^×P.PP$P.^^×P.PP$MP.PP-×P.^^^ = 0.165

: إذا كان لديك احلوادث التالية: 10التمرين

(B = $0 (A ∩ B = $- (A = $1

: أحسب كل من -أ

(A ∪ B, (B/',

مستقلني أم ال؟ Bو Aهل احلدثني -ب


- 33 -

: الحل

: حساب كل من -أ

(A ∪ B = (A + (B − (A ∩ B = $1 + $0 − $- = 0.38

(B/' = ?4∩A?A = 6k68 = 0.6

A) : تكون احلوادث مستقلة إذا حتقق ما يلي -ب ∩ B = (A × (B

A): لدينا × (B = $1 × $0 = 0.08

A)و ∩ B = 0.2

A)ومبا أن × (B ≠ (A ∩ B احلدثان غري مستقالن فأن .

تبني إحصاءات . تقوم شركة تأمني بتقسيم املؤمن عليهم إىل فئتني، املعرضني للمخاطر وغريهم: 11التمرين

، هذا 0.6الشركة أن الشخص املعرض للحوادث سيتعرض حلادث يف وقت ما خالل سنة معينة يكون احتماله

من السكان معرضون %40إذا افرتضنا أن . للشخص الذي ال يتعرض حلادث بالنسبة 0.3االحتمال يكون

:للحوادث

تعرض مؤمن عليه جديد حلادث خالل سنة من شراء وثيقة تأمينه؟ احتمال فما هو -أ

فرضا أن املؤمن عليه اجلديد تعرض حلادث، ما هو احتمال أن يكون من فئة املعرضني للحوادث؟ -ب

: الحل

تعرض مؤمن عليه جديد حلادث خالل سنة من شراء وثيقة تأمينه هو احتمال -أ

بالنسبة للشخص يف فئة املعرضني للمخاطر BY ، Bو. الحتمال حصول حادث هلذا الشخص اجلديد Aنرمز بـــــ

. واآلخرين على التوايل

(A = (B × PA/B + PBY × PA/BY = 0.6 × 0.4 + 0.3 × 0.6 = 0.42

احتمال أن يكون من فئة املعرضني للحوادث هو -ب

(B/A = 3A×34/A?A×34/A M3AY×34/AY = P.*×P.1P.1% = 0.57


- 34 -

يف اإلجابة عن سؤال يف اختبار متعدد اخليارات، يكون الطالب يف وضعيتني متأكد من اإلجابة أو : 12التمرين

1 الحتمال أن يكون الطالب متأكد من اإلجابة، و )نفرتض . غري متأكد − الحتمال أن يكون الطالب )

حتمال قدره نفرتض أيضا أن الطالب الذي يفكر يف اإلجابة سيكون صحيحا با. غري متأكد من اإلجابة$l

يكون الطالب متأكد من اإلجابة عن سؤال معني أنما هو احتمال .هو عدد االختيارات املتاحة m حيث أن

ل صحيح؟علما أنه أجاب عليه بشك

: الحل

احتمال أن يكون الطالب متأكد من اإلجابة عن سؤال معني علما أنه أجاب عليه بشكل صحيح هو -

يعربان عن احتمال إجابة الطالب على السؤال بشكل صحيح وأنه متأكد من اإلجابة على Bو Aنفرتض أن

PB/A . التوايل = 3A×34/A3A×34/AM3AY×34/AY = 33M 6n$i? = l?$Mli$3

mعلى سبيل املثال، إذا كان = 5 ،P = احتمال أن يكون الطالب متأكد من اإلجابة عن سؤال فإن %$

. 0.83أجاب عليه بشكل صحيح هو

لزرع القمح كمية من بذور القمح منتقاة من أربعة أنواع مستوردة من أربعة بلدان، فالح يستخدم: 13التمرين

إذا افرتضنا أن احتمال أن تنمو . %10 ، وليبيا%20 ، املغرب%20 ، تونس%50بكمية مستوردة مصر

.على التوايل 0.4، 0.5، 0.3، 0.6البذرة املزروعة لكل نوع يساوي

سحبنا بذرة بطريقة عشوائية ما هو احتمال أن ال تنمو؟ -أ

؟ مصرإذا منت البذرة املسحوبة ما هو احتمال أن تكون من كمية القمح املستورد من -ب

: الحل

البذرة املسحوبة هو احتمال أن ال تنمو -أ

,oـ لقمح املستورد بـونوع ل Fـ املسحوبة بـلبذرة نرمز لعدم مناء ا G, F, p لكل بلد على التوايل .

PF = PE × PF/p + (F × (H/F + (G × (H/G + (o ×(H/o = 0.5 × 0.6 + 0.2 × 0.3 + 0.2 × 0.5 + 0.1 × 0.4 = 0.5

منت هذه البذرة، احتمال أن تكون من كمية القمح املستورد من املغرب هو إذا -ب

G نرمز لنماء البذرة املسحوبة بـ

PM/t = 3u×?v/u3u×3w/NM?x×?v/xM?O×?v/OM?y×?L/y

= P.%×P.-P.%×P.-MP.-×P.1MP.%×P.QMP.$×P.* = P.$P.- = 0.2


- 35 -

وبعد الرجوع إىل املنزل رتب . يف العلوم 4يف الرياضيات و 2كتب يف اإلحصاء و 3اشرتى طالب : 14التمرين

. هذه الكتب يف رف

ما هي عدد الطرق املمكنة لرتتيب هذه الكتب؟ -أ

ترتيب هذه الكتب حبيث جيب ترتيب الكتب من نفس النوع مع بعضها؟ ما هو احتمال -ب

ما هو احتمال ترتيب هذه الكتب حبيث جيب ترتيب كتب العلوم فقط مع بعضها؟ -ج

: الحل

عدد الطرق املمكنة لرتتيب هذه الكتب هو -أ

Pn! = P9! = 9 × 8 × 7 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362880

هو ترتيب هذه الكتب حبيث تكون الكتب من نفس النوع مع بعضها احتمال -ب

362880لدينا عدد احلاالت املمكنة يساوي

!3وعدد احلاالت املالئمة يساوي × 2! × 4! × 3! = 1738

PA = $Q0f0*%ffP = 4.789462081 × 10i0

فقط مع بعضها هو احتمال ترتيب هذه الكتب حبيث تكون كتب العلوم -ج

!4نقوم حبساب عدد احلاالت املالئمة × 5! × 2! = 1738

PS = -Q*P0*%ffP = 0.01

3باختيار قمنا. غري صاحلة 4قطعة صاحلة و 12قطعة، من اإلنتاج الكلي يوجد 16تنتج آلة : 15التمرين

أن تكون هذه القطع صاحلة؟ قطع من اإلنتاج الكلي، ما هو احتمال

: الحل

احتمال أن تكون القطعة األوىل صاحلة هو .1الطريقة إذا . قطعة 16قطعة صاحلة من بني 12ألنه توجد *$%$

كانت القطعة األوىل صاحلة فإن احتمال أن تكون القطعة الثانية صاحلة هو قطع صاحلة 10وبالتايل يبقى لنا -$$$

قطعة، حيث يكون احتمال أن تكون القطعة الثالثة صاحلة هو 14من بني $P$1 . وعليه يكون احتمال أن تكون

: القطع الثالثة صاحلة هو

PA = $%$* × $$$- × $P$1 = 0.39


- 36 -

). عدد احلاالت املمكنة(قطعة 16قطع صاحلة من بني 3طريقة الختيار C$*0يوجد حيث أنه .2لطريقة ا

). عدد احلاالت املالئمة(قطعة صاحلة 12قطع صاحلة من بني 3الختيار C$%0ويوجد

PA = 6j8678 = %%P-*P = 0.39

من اموع الكلي %80وأن . طالبات أجانب %3طالب و %7األقسام وجد أن يف إحدى :16التمرين

. للطلبة طالبات

اختري طالب بطريقة عشوائية ما هو احتمال أن يكون أجنيب؟ -أ

إذا كان أجنيب ما هو احتمال أن تكون طالبة؟ -ب

: الحل

احتمال أن يكون الطالب املختار أجنيب هو -أ

A PA مز الحتمال كون الطالب أجنيب بـنر = PB × PA/ + (t × ('/t = = 0.2 × 0.07 + 0.8 × 0.03 = 0.038 PG/A = ?v×?B/v?v×?B/vM3A×34/5 =

= P.f×P.P0P.f×P.P0MP.%×P.PQ = P.P%1P.P0f = 0.63

نقوم بسحب كرتني بطريقة عشوائية يف آن . 10إىل 1كرة مرقمة من 10صندوق حيتوي على :17التمرين

. واحد

؟10ما هو احتمال سحب كرتني جمموع رقميهما يساوي -أ

؟4سحب كرتني الفرق بني رقميهما يساوي ما هو احتمال -ب

؟ 4علما أن الفرق بني رقميهما يساوي 10ما هو احتمال سحب كرتني جمموع رقميهما يساوي -ج

: الحل

هو 10احتمال سحب كرتني جمموع رقميهما يساوي -أ

كرة هو 20عدد احلاالت املمكنة حلسب كرتني من بني

C%P% = $P!%!$Pi%! = $P×^×f!%!×f! = 45


- 37 -

عدد احلاالت املالئمة هو

A : وبالتايل A بــ 10لتني جمموع رقميهما يساوي نرمز للكرتني ال = 1,9, 2,8, 3,7, 4,6

ومنه

PA = 11- = 0.08

هو 4احتمال سحب كرتني الفرق بني رقميهما يساوي -ب

B : وبالتايل B بــ 4 الفرق بني رقميهما يساوي نرمز للكرتني اللتني = 1,5, 2,6, 3,7, 4,8, 2,6, 5,9, 6,10

ومنه

PB = Q1- = 0.08

هو 4علما أن الفرق بني رقميهما يساوي 10احتمال سحب كرتني جمموع رقميهما يساوي -ج

PA/B = 34∩A3A

A ∩ B = PAومنه 3,7 ∩ B = $1-

PA/B = P.P%P.Pf = 0.25

ذهب رجل وزوجته إىل نوادي ألعاب احلظ، إذا كان احتمال أن يفوز الرجل هو :18التمرين ، واحتمال أن $1

تفوز زوجته هو : ما هو احتمال. $0

أن يفوزا الزوج وزوجته؟ -1

أن يفوز أحدمها على األقل؟ -2

أن ال يفوز االثنان؟ -3

أن تفوز الزوجة؟ -4

: الحل

أن يفوزا الزوج وزوجته هو احتمال -1

مستقلني فإنه Bو Aومبا أن .على التوايل Bو A ـ ـنرمز لفوز الرجل وزوجته ب

PA ∩ B = (' × ( = $1 × $0 = 0.08


- 38 -

ل أن يفوز أحدمها على األقل هو احتما -2

: يف هذه احلالة ميكن أن يفوز الزوج أو الزوجة أو االثنني معا وبالتايل

PA ∪ B = (' + ( − PA ∩ B = $1 + $0 − $$% = 0.5

احتمال أن ال يفوز االثنان هو -3

PAYيف هذه احلالة نبحث عن ∩ BY حيث أن PAY = 1 − PA = 01

PBY = 1 − PB = %0

مستقالن أيضا فإن BY وAYومبا أن

PAY ∩ BY = PAY × PBY = 01 × %0 = 0.5

: ميكن احلصول على نفس النتيجة بطريقة ثانية

A ∪ B+++++++ = AY ∩ BY, PAY ∩ BY = PA ∪ B+++++++ = 1 − PA ∪ B = 1 − $% = 0.5

احتمال أن تفوز الزوجة فقط هو -4

PAY يف هذه احلالة نبحث عن ∩ B حيث أن PAY = إنه ومبا أن احلدثني مستقلني ف 01

PAY ∩ B = PAY × PB = 01 × $0 = 0.25

يطلقها هذا الرامي ما هو عدد الرميات اليت جيب . 0.6يصيب أحد الرماة اهلدف باحتمال قدره :19التمرين

. %80حىت يكون احتمال إصابة اهلدف على األقل

: الحل

(0.4 مرة هو وبالتايل احتمال أن خيطأ الرامي اهلدف . 0.4احتمال أن خيطأ الرامي اهلدف هو

: الذي حيقق وعليه نبحث عن أصغر عدد صحيح

1 − 0.4) > (0.4 أو 0.8 < 0.2

0.4$ = 0.4, 0.4% = 0.16

. وبالتايل جيب على الرامي إطالق طلقتني على األقل

:الفصل الثالث

المتغيرات العشوائية المتغيرات العشوائية المنفصلة _1 المتصلةالمتغيرات العشوائية _2

المتغيرات العشوائية ................................................................................الفصل الثالث

- 40 -

المتغير العشوائي -1

أسعار القيام بتجربة ما أو القيام بدراسة ما نتعامل مع قيم فعلية مثل ديف الكثري من األحيان عن

لكن يف أحيان أخرى نكون أمام قيم غري . وما إىل ذلك ، أسعار الفائدةتكاليف االستثمار، املستهلكني

مثال، إذا كانت التجربة هي اختيار . عددية ولكن تكون هذه القيم مرتبطة بقيم عددية ذات األمهية

. اخل..... أو طوهلم جمموعة من الطلبة من قسم معني، فيمكن اختيار هؤالء الطلبة على أساس عالمام

وهذه العالقة تسمى باملتغري . يم العددية فمن املفيد ختصيص احتماالت هلاوعند التعامل مع هذه الق

العشوائي الذي يعرف على أنه جمموعة من القيم العددية لتجربة عشوائية، يكون حتقق هذه القيم مرتبط

. املتغري العشوائي املنفصل واملتغري العشوائي املتصل: وينقسم إىل نوعني. باحتماالت معينة

المنفصلغير العشوائي المت. 2

يأخذ فمثال نقول أن املتغري العشوائي . عددا من القيم املمكنة يف جمال مغلق يأخذهو املتغري العشوائي الذي

)2011، سالفاتور( .[3 ,1]قيم ممكنة داخل اال املغلق 3

متغري عشوائي ميثل عدد الصور إذا كان . قطع نقدية على األرض 3تتمثل جتربة يف رمي :1.3مثال

,3الظاهرة فإنه يأخذ القيم التالية 2, 1, لدينا عدد . حيث أن كل قيمة ترتبط باحتمال معني 0

:احلاالت املمكنة =

= 0 = =

= 1 = =

= 2 = =

= 3 = =

0 1 2 3 : وميكن توضيح ذلك من خالل اجلدول التايل1 0.125 0.375 0.375 0.125

ƒ : حيث أنه جيب أن يكون ≥ 0 ∑ = 1


- 41 -

تمايل للمتغري العشوائي الذي يعرف بالعالقة اليت تربط القيم املمكنة للمتغري ويسمى هذا أيضا بقانون التوزيع االح

ƒو حيث جيب أن يكون جمموع االحتماالت يساوي الواحد الصحيح. العشوائي مع احتماالا ≥ 0 .

: يف الشكل التايل للمثال أعاله وميكن التعبري عن قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي املنفصل

تابع التوزيع . 1.2

:!بأنه الدالة للمتغري العشوائي !يعرف تابع التوزيع # → %! )Dekking et al. 2005(حيث # = ≤ %

فإذا . %قيمة أصغر أو تساوي قيمة أي أنه ذلك التابع الذي يشري إىل احتمال أن يأخذ املتغري العشوائي

! : هو تابع التوزيع املعرف كما يلي !فإن ƒمتغري عشوائي متقطع وكان توزيعه االحتمايل كان = ∑ ƒ '()'

عند أي قيمة ويعرف أيضا على أنه ذلك التابع الذي ميكننا من خالله حساب احتمال املتغري العشوائي

. أصغر أو تساوي قيمة

0 1 2 3 : من خالل 1.3يف املثال ميكن حساب تابع التوزيع للمتغري العشوائي :2.3مثال 1 0.125 0.375 0.375 0.125 / 1 0.875 0.5 0.125 !

: وميكن التعبري عنه أيضا يف

! =+,-,. 0 < 00.125 0 ≤ < 10.5 1 ≤ < 20.875 2 ≤ < 31 ≥ 3

0

3

0.125

0 1 2

0.375

1


- 42 -

: ويكون التمثيل البياين لتابع التوزيع كما يلي

فمثال إذا أردنا حساب احتمال ≤ أو احتمال 2 < فإنه ميكن استنتاجه مباشرة من اجلدول 1.5

: أعاله يف السطر األخري ≤ 2 = = 0 + = 1 + = 2 = = 0.125 + 0.375 + 0.375 = 0.875

< 1 = = 0 + = 1 =

= 0.125 + 0.375 = 0.5

التوقع الرياضي: 2.2

متغري عشوائي منفصل له دالة فإذا كان . أحد أهم املفاهيم يف نظرية االحتماالت هو توقع املتغري العشوائي

ــ ' توزيع احتمايل ـ : ميكن أن نعرفها من خالل 2بــ ملشار إليهاا فإن القيمة املتوقعة لـ

2 = ∑

2 : يساوي 1.3يف املثال وبالتايل التوقع الرياضي أو القيمة املتوقعة للمتغري العشوائي = 0.125 × 0 + 0.375 × 1 + 0.375 × 2 + 0.125 × 3 = = 0 + 0.375 + 0.75 + 0.375 = 1.5

التباين: 3.2

، إىل ميكن أن يعطينا املتوسط املرجح لقيم للمتغري العشوائي 2 على الرغم من أن التوقع الرياضي

4 : يف أنه ال خيربنا عن اختالف أو انتشار هذه القيم اليت ميكن حساا بواسطة التباين وميكن التعبري عنه = 25 − 2 5

!

3

0.125

0 1 2

0.5

0.875

1


- 43 -

: يف 1.3يف املثال وميكن حساب التباين للمتغري العشوائي

4 = 05 × 0.125 + 15 × 0.375 + 25 × 0.375 + 35 ×0.125 − 1.5 5 = 0 + 0.375 + 1.5 + 1.125 − 2.25 = 0.75

االنحراف المعياري: 4.2

7 : االحنراف املعياري هو عبارة عن جدر التباين ويعرف رياضيا بواسطة = 8 4 7 : يف 1.3وبالتايل ميكن حساب االحنراف املعياري يف املثال = √ 0.75 = 0.86

المتصلالمتغير العشوائي . 3

وتوجد الكثري من .عدد ال ائي من القيم داخل جمالههو املتغري الذي يأخذ املتصلاملتغري العشوائي

، الوقت معينة، مثال وزن جمموعة من الطلبة، دخل األسر يف والية املتصلةاألمثلة عن املتغريات العشوائية

هو ميكننا القول أن متغري عشوائي؛ فإذا كان . اخل.....الذي تصل فيه طائرة معينة إىل املطار

معرفة لكل عدد حقيقي ƒمتغري عشوائي مستمر إذا كانت هناك دالة غري سالبة ∈ −∞, ∞+

< : املعادلة التالية بواسطةويعرف رياضيا )Sheldon, 2010(عداد احلقيقية، من األ =ألي جمموعة = ∈ = = ʃ@ƒ A

< : باخلاصيتني التاليتني <حيث تتميز الدالة ≥ 0

B ƒ ACDED = 1

: وتأخذ التمثيل البياين التايل دالة الكثافة االحتمالية للمتغري العشوائي ƒتسمى الدالة

>

F %


- 44 -

وحساب هذه املساحة . حيث تعرب املساحة املظللة عن جمموع االحتماالت الكلية وتساوي الواحد الصحيح

: كما يلي عدد كبري جدا يكون من خالل تابع رياضي للمتغري العشوائي Gحيث يكون

> = H> % ≤ ≤ F0 0 بخف ذلك

ألي جمال جزئي حمصور بني النقطتني من خالل هذا القانون ميكننا حساب احتماالت املتغري العشوائي Fو %.

% ≤ ≤ F = B ƒ AIJ

Fفإذا كانت = ميكن حساب االحتمال % = % : من خالل

= % = B ƒ AJJ = 0

وميكن حساب االحتمال < % : أيضا من خالل

< % = ≤ % = B ƒ AJED

مثل دالة الكثافة االحتمالية دالة كثافة احتمالية؟ ƒإذا كانت الدالة Kأحسب الثابت : 3.3مثال

1احسب االحتمال بيانيا؟ < < 2 ؟

> = LK5 0 < < 0 بخف ذلك 30

: الحل

: Mحساب قيمة الثابت -1

Kمبا أن ≥ اخلاصية الثانية حىت < وبالتايل جيب أن حتقق . فإن اخلاصية األوىل دوما حمققة 0

: تكون دالة كثافة احتمالية، وبالتايل

B ƒ ACDED = 1 = B K5A = 1 = NO'P Q = 1 = 9K = 1

K = S

: وبالتايل ميكن كتابة دالة الكثافة االحتمالية كما يلي

> = TS 5 0 < < 0 بخف ذلك 30


- 45 -

التمثيل البياني -2

1حساب االحتمال -3 < < 2

1 < < 2 = B S 5A5 = N'P5UQ5 = 5U − 5U = U5U = 0.25

تابع التوزيع : 1.3

فيمكننا حساب تابع التوزيع هلذا املتغري <متغري عشوائي مستمر له دالة كثافة احتمالية إذا كان

! : من خالل ! العشوائي = B ƒ A'ED

: من خالليف املثال أعاله للمتغري العشوائي !ميكننا حساب تابع التوزيع :4.3مثال

> = TS 5 0 < < 0 بخف ذلك 30

! = B ƒ A'ED = B S 5A = 'P5U'

: حيث أن ≤ : وبالتايل يكون تابع التوزيع كما يلي 3

! = V0 < 0'P5U 0 ≤ ≤ 31 > 30

: الشكل التايل البياين لتابع التوزيع يف مثالنا هذا يفوميكن حتديد التمثيل

!

3 0 1 2

1

!

3 0 1 2

1


- 46 -

الرياضي التوقع: 2.3

فإننا ميكن حساب توقعه الرياضي من . <له دالة كثافة احتمالية متصلمتغري عشوائي إذا كان

: خالل القانون التايل

2 = B ƒ ACDED

:كما يلي للمتغري العشوائي <إذا كانت دالة الكثافة االحتمالية :5.3مثال

> = T5 0 < < 0 بخف ذلك 20

احسب التوقع الرياضي للمتغري العشوائي؟

: الحل

2 : لدينا = B ƒ ACDED

2 = B X5 Y A = 'Z5 = N'P[ Q 5 = \5

2 = 1.33

التباين واالنحراف المعياري: 3.3

فإننا ميكن حساب تباينه من خالل القانون . <له دالة كثافة احتمالية متصلمتغري عشوائي إذا كان

: التايل

4 = B 5ƒ A − ]2 ^5CDED

7: أما االحنراف املعياري فهو جدر التباين = 8 4

4 ؟ 5.3احسب التباين واالحنراف املعياري يف املثال :6.3مثال = B 5ƒ A − ]2 ^5CDED 4 = B 5 X5 Y A − N\Q5 = B '5 A − N\Q55 5

= N'_ Q 5 − N\Q5 = 2 − 1.77 = 0.23

7 : اب االحنراف املعياري من خاللوميكن حس = 8 4 = √ 0.23 = 0.47


- 47 -


. هو ضعف الرقم الذي يظهر على الوجه أن املتغري العشوائي فإذا افرتضنا. نرمي حجرة نرد: 1التمرين

ومتثيله البياين؟ حدد قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي - أ

ومتثيله البياين؟ حدد تابع توزيع املتغري العشوائي - ب

احسب التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري؟ - ج

: الحل

: حتديد قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي -أ

'لدينا عدد احلاالت املمكنة هو = 1,2,3,4,5,6

ومبا أن احتمال ظهور أي وجه هو a 12 18 8 6 4 2 1 16 : يف املتغري العشوائي احتماالت فإنه ميكن إجياد ]

16 16

16 16

16

ƒ :من خالل اجلدول نالحظ أن اخلاصيتني حمققتني ≥ 0 ∑ = 1

: التمثيل البياين

a 12 18 8 6 4 2 1 16 : حتديد تابع توزيع املتغري العشوائي - ب16

16 16

16 16

1 56

46 36

26 16

!

>

6 2 4

16

8 10 12


- 48 -

! =

+,,,-,,,.0 < 2[ 2 ≤ < 45[ 4 ≤ < 6[ 6 ≤ < 8\[ 8 ≤ < 10 b[ 10 ≤ < 12 1 ≥ 12

0


حساب التوقع الرياضي والتباين -ج

2 التوقع الرياضي - = ∑

= 2 × [ + 4 × [ + 6 × [ + 8 × [ + 10 × [ + 12 × [ = 7

4 التباين - = 25 − 2 5

= 4 × [ + 16 × [ + 36 × [ + 64 × [ + 100 × [ + 144 × [ = 60.7 − 75 4 = 11.7

االحنراف املعياري -

7 = 8 4 = √ 11.7 = 3.4

!

6 2 4

0.16

8 10 12

0.33

0.50

0.66

1


- 49 -

صنعت قطعة نقود حيث :2التمرين = و \ = مرات 3، قمنا برمي هذه القطعة \

. عدد الصور املتتالية يف أطول متتابعةميثل أن املتغري العشوائي فإذا افرتضنا. على األرض

؟ حسابيا وبيانيا حدد قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي - أ

؟ حسابيا وبيانيا حدد تابع التوزيع للمتغري العشوائي - ب

احسب التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري؟ - ج

: الحل

: حتديد قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي - أ

لدينا عدد احلاالت املمكنة هو

= = \ × \ × \ = 5U[\ = \ × \ × \ = S[\

= \ × \ × \ = S[\ = \ × \ × \ = [\

= \ × \ × \ = S[\ = \ × \ × \ = [\

= \ × \ × \ = [\ = \ × \ × \ = [\

,3القيم التالية ميثل عدد الصور يف أطول متتابعة فإنه ميكن أن يأخذاملتغري العشوائي حيث أن 2, 1, 0

= 0 = = [\

= 1 = = [\

= 2 = = [\

= 3 = = 5U[\

: وبالتايل قانون التوزيع االحتمايل يكون كما يلي

3 2 1 0 1 2764

1864 1864

164 :االحتمايل حمققنيمن خالل اجلدول نالحظ أن شرطي قانون التوزيع

ƒ ≥ ∑و 0 = 1


- 50 -

: يف الشكل التايل قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي متثيل بيانياوميكن

تابع التوزيع للمتغري العشوائي هو - ب

3 2 1 0 1 2764

1864 1864

164 1 3764

1964 164 !

! =+,,-,,.

0 < 0[\ 0 ≤ < 1S[\ 1 ≤ < 2U[\ 2 ≤ < 31 ≥ 30

:ويكون التمثيل البياين لتابع التوزيع كما يلي

حساب التوقع الرياضي والتباين -ج

3

164

0 1 2

1864

2764

!

3

164

0 1 2

1

1964

3764


- 51 -

2 التوقع الرياضي - = ∑ = 0 × [\ + 1 × [\ + 2 × [\ + 3 × 5U[\ = 2.1

4 التباين - = 25 − 2 5 = 0 × [\ + 1 × [\ + 4 × [\ + 9 × 5U[\ = 5.2 − 2.15 4 = 0.8


7 = 8 4 = √ 0.8 = 0.9

إذا كان . كرات بطريقة عشوائية 3محراء قمنا بسحب 4كرات سوداء و 6صندوق على حيتوي: 3التمرين . متغري عشوائي ميثل عدد الكرات احلمراء املسحوبة

حدد قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي؟ -1

أوجد تابع التوزيع للمتغري العشوائي؟ -2

التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري؟ أحسب -3

: الحل

: قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي -1

عدد احلاالت املمكنة هو

c = !! E ! = ×S××U!!×U! = U5 [ = 120

e : مبا أن املتغري العشوائي ميثل عدد الكرات احلمراء فإنه ميكن أن يأخذ القيم التالية = 0,1,2,3

: وميكن حساب االحتماالت املقابلة لكل قيمة يف

= 0 = f_g×fhPfigP = 5 5

= 1 = f_i×fhZfigP = [ 5


- 52 -

= 2 = f_Z×fhifigP = [5

= 3 = f_P×fhgfigP = \5

: وبالتايل قانون التوزيع االحتمايل يكون كما يلي

3 2 1 0 1 4120

36120 60120

20120 :من خالل اجلدول نالحظ أن شرطي قانون التوزيع االحتمايل حمققني

ƒ ≥ 0

∑ = 1

تابع التوزيع للمتغري العشوائي هو -2

! =+,-,. 0 < 020

120 0 ≤ < 180

120 1 ≤ < 2116120 2 ≤ < 31 ≥ 3

0

حساب التوقع الرياضي والتباين -3

2 التوقع الرياضي - = ∑ = 0 × 5 5 + 1 × [ 5 + 2 × [5 + 3 × \5 = 1.2

4 التباين - = 25 − 2 5 = 0 × 5 + 1 × [ 5 + 4 × [5 + 9 × \5 = 2 − 1.25 4 = 0.56


7 = 8 4 = √ 0.56 = 0.74


- 53 -

: متغري عشوائي مستمر معرف بالتابع التايل إذا كان . 4التمرين

> = H2 0 ≤ ≤ 0 خبالف ذلك 10

تأكد أن التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية؟ ومثله بيانيا؟ - 1

0احسب االحتمال - 2 < < 12

حدد تابع التوزيع للمتغري العشوائي؟ ومثله بيانيا؟ - 3

احسب التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري؟ -4

: الحل

: التأكد أن التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية - 1

< : تابع كثافة احتمالية جيب توفر شرطني أساسيني <حىت يكون ≥ 0

B ƒ ACDED = 1

. ضمن جمال تعريفه اخلاصية األوىل دوما حمققة مهما كانت قيمة

: اخلاصية الثانية

B ƒ ACDED = 1

= B 2A = N5'Z5 Q = 0 − 1 = 1

. اخلاصية الثانية أيضا حمققة ومنه نستنج أن التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية


0االحتمال حساب - 2 < < 12

X0 < < 12Y = B 2A = N5'Z5 Q .b = 0.25 .b

>

0 0.5 1

2

1


- 54 -

د تابع التوزيع للمتغري العشوائييدحت - 3

! = B ƒ A'ED = B 2A = 5'Z5'

: حيث أن ≤ 1

: وبالتايل يكون تابع التوزيع كما يلي

! = V 0 < 05'Z5 0 ≤ ≤ 11 > 1 0

: وميكن حتديد التمثيل البياين لتابع التوزيع يف مثالنا هذا يف الشكل التايل


2 التوقع الرياضي - = B ƒ ACDED

2 = B 2 A = 25 = N5'P Q = 5

2 = 0.66

التباين -

4 = B 5ƒ A − ]2 ^5CDED 4 = B 52 A − N5Q5 = B 2A − N5Q5

= N5'_\ Q − N5Q5 = 0.5 − 0.44 = 0.06


7 = 8 4 = √ 0.06 = 0.24

!

1 0 0.5

1


- 55 -

: متغري عشوائي مستمر معرف بالتابع التايل نفرتض أن : 5التمرين

> = HK4 − 25 0 < < 0 خبالف ذلك 20

حىت يكون التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية؟ Kالثابت قيمة أحسب - 1

احسب االحتمال - 2 > 1

حدد تابع التوزيع للمتغري العشوائي؟ - 3

: الحل

: Kحساب قيمة الثابت - 1

: مبا أن التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية فيجب أن يكون

B ƒ ACDED = 1

= B K4 − 22 A = 15

= K B 4 − 22 A = 15

= K N25 − 5'P Q 5 = K = 1

K =

حساب االحتمال - 2 > 1

> 1 = B 38 4 − 22 A5

= N25 − 5'P Q5 = 5

تابع التوزيع للمتغري العشوائي حساب - 3

! = B ƒ A'ED = B 38 4 − 22 A = 25 − 5'P '


! = V0 < 0 25 − 5'P 0 ≤ ≤ 21 > 20


- 56 -

: متغري عشوائي مستمر له تابع كثافة احتمالية معطى نفرتض أن : 6التمرين

> = Hj\ 0 < < 0 خبالف ذلك 20

؟ cأحسب قيمة الثابت - 1

احسب االحتمال - 2 < 1.5

حدد تابع التوزيع للمتغري العشوائي؟ - 3

أحسب التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري؟ - 4

: الحل

:jحساب قيمة الثابت - 1

: مبا أن التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية فإنه

B ƒ ACDED = 1 = B j4A = 15 = j B 4A = 15

= j N'kb Q 5 = j 5b = 1 j = b5

حساب االحتمال - < 1.5

< 1.5 = B 532 4A.b

= b5 N'kb Q .b = 0.23

تابع التوزيع للمتغري العشوائي حساب - 3

! = B ƒ A'ED = B 535 4 A = b5 'kb '


! = V0 < 0b5 b 0 ≤ ≤ 21 > 20


- 57 -


2 :التوقع الرياضي - = B ƒ ACDED

2 = B X 532 4Y A = B X 532 5Y A5 = b5 N'h[ Q 5 = b5

2 = 1.66 :التباين

4 = B 5ƒ A − ]2 ^5CDED 4 =B 5 X 532 4Y A − NbQ5 = B 532 6A − NbQ55 5

= b5 N'lU Q 5 − N5Q5 = 2.85 − 2.77 = 0.07

4 = 0.07

:االحنراف املعياري -

7 = 8 4 = √ 0.07 = 0.28

: معرف بالتابع التايلمتغري عشوائي مستمر إذا كان: 7التمرين

> = H3051 − 5 0 ≤ ≤ 0 خبالف ذلك 10

؟ أثبت أن التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية - 1

احسب االحتمال - 2 ≤ 13 ؟

: الحل

: إثبات أن التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية - 1

< : تابع كثافة احتمالية جيب توفر شرطني <حىت يكون ≥ 0

B ƒ ACDED = 1

. ضمن جمال تعريفه اخلاصية األوىل دوما حمققة مهما كانت قيمة

: اخلاصية الثانية


- 58 -

B ƒ ACDED = 1

= B 3021 − 2A = 3021 − 2 + 2 A

= B 302 − 603 + 304A

= N 'P − [ '_\ + 'kb Q = ]10 − 15\ + 6b^

= 10 × 1 − 15 × 1 + 6 × 1 − 10 × 0 − 15 × 0 + 6 × 0 = 10 + 6 − 15 = 1

. اخلاصية الثانية أيضا حمققة ومنه التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية

حساب االحتمال - 2 ≤ 13 :

X ≤ 13Y = B 3021 − 2AiP

= B 3021 − 2A = 3021 − 2 + 2 AiP

= B 302 − 603 + 304AiP

= N 'P − [ '_\ + 'kb Q iP = ]10 − 15\ + 6b^

iP

= ]10 − 15\ + 6b^ iP = 10 − 15 \ + 6 b − 10 × 0 − 15 × 0 + 6 × 0

= 10 5U − 15 + 6 5\

X ≤ 13Y = 0.2098

: التايل االحتماليةكثافة بتابع ال معرفمتغري عشوائي مستمر له إذا كان : 6التمرين

> = HK 0 < ≤ 0 خبالف ذلك 10

؟ cأحسب قيمة الثابت - 1

احسب االحتمال - 2 ≤ 23 / > 13

أحسب التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري؟ - 3


- 59 -

: الحل

:Kحساب قيمة الثابت - 1

B : مبا أن التابع املعطى هو تابع كثافة احتمالية فإنه ƒ ACDED = 1 = B K3A = 1 = j B 3A = 1

= j N'_\ Q = j \ = 1 j = 4

حساب االحتمال - ≤ 23 / > 13

≤ 23 / > 13 = n≤23/>13 >13

= B 43o'ZPiPB 43o'iiP= p_q__ riP

ZPp_q__ riP

i = 0.1875


2 : التوقع الرياضي - = B ƒ ACDED

2 = B 43 A = B 44A = N\'kb Q = \b

2 = 0.8 :التباين

4 = B 5ƒ A − ]2 ^5CDED

4 = B 543 A − N\bQ5 = B 45A − N\bQ5

= N\'h[ Q − N\bQ5 = 0.66 − 0.64 = 0.02

4 = 0.02

: االحنراف املعياري -

7 = 8 4 = √ 0.02 = 0.14

:الفصل الرابع

التوزيعات احتمالية التوزيعات االحتمالية المتقطعة _ 1

التوزيعات االحتمالية المستمرة_ 2

التوزيعات االحتمالية ............................................................................... الفصل الرابع

- 61 -

التوزيعات االحتمالية المتقطعة -1

مرتبطـة باحتمـاالت معينـة، ، تكـون هـذه النتـائجفنا املتغري العشوائي على أنه جمموعـة مـن النتـائج املمكنـةعر

احلــدين، ذيتوزيــع هــي هلــاالتطــرق مــن أهــم التوزيعــات الــيت ســيتم . هــذه العالقــة تســمى بــالتوزيع االحتمــايل

.ا من أهم التوزيعات االحتمالية املتقطعة األكثر استخداما على اعتبارمهوالتوزيع البواسوين

ــــع ذي الحــــدين. 1.1 للتجربــــة يف احلــــاالت الــــيت يكــــون تإلجيــــاد االحتمــــااليســــتخدم هــــذا التوزيــــع : توزي

:نذكر األمثلة عن توزيع ذي احلدينومن )2011، سالفاتور.(الفشلأو النجاح نتيجتان فقط العشوائية

)ظهور الوجه الذي حيمل الصورة، أو الوجه الذي حيمل الكتابة(عند إلقاء قطعة عملة، هلا نتيجتان

)جناح، رسوب( نتيجة الطالب يف االختبار

) الفوز، اخلسارة(نتيجة سباق اجلري

: وميكن تطبيق توزيع ذي احلدين إذا حتققت الشروط التالية

.نتيجتان متنافيتان لكل حماولةال جيب أن تكون - أ

. احملاوالت تكون مستقلة عن بعضها البعض - ب

. احتمال وقوع حادث معني يف كل حماولة ثابت وال يتغري من حماولة ألخرى - ج

و النجــاح والفشــل باحتمــالني ثــابتني مهــا نتيجــيت التجربــةفــإذا افرتضــنا أن = 1 − .علــى التــوايل

حســــــــاب االحتمــــــــالميكننــــــــا فإنــــــــه . حماولــــــــة متغــــــــري عشــــــــوائي يعــــــــرب عــــــــن حــــــــاالت النجــــــــاح يف وأن

= = :بواسطة القانون التايل

= 1 −

: كما يلي لتوزيع ذي احلدين والتباين ويكون التوقع الرياضي

=

= 1 −

كـــان فـــإذا = 1 − = فـــإن توزيـــع ذي احلـــدين يكـــون متمـــاثال، وإذا كـــان 0.5 < يكـــون 0.5

التوزيع ملتويا حنو اليمني، أما إذا كان > .يكون التوزيع ملتويا حنو اليسار 0.5

إذا و ، 0.6 يهـــجنـــاح الطلبـــة الـــذين حيضـــرون احملاضـــرة يف مقيـــاس اإلحصـــاء نســـبة تإذا كانـــ. 1.4مثــــــال

ميثـــل املتغـــري العشـــوائي افرتضـــنا فـــإذا. طلبـــة 10احملاضـــرة بانتظـــام هـــو رون كـــان عـــدد الطلبـــة الـــذين حيضـــ

.الطلبة الناجحني الذين حيضرون احملاضرةعدد


- 62 -

.هلذا املتغري شكل دالة االحتمال حدد - 1

:احسب االحتماالت التالية - 2

؟ احملاضرة طلبة الذين حيضرون 3 جناحاحتمال ما هو - أ

واحد على األقل؟ جناح طالبما هو احتمال - ب

؟ من الذين حيضرون احملاضرة على األكثر طالبني جناحما هو احتمال - ج

.الطلبة الناجحنياحسب الوسط احلسايب، واالحنراف املعياري لعدد - 3

.حدد شكل التوزيع - 4

:الحــل

: هلذا املتغري شكل دالة االحتمال - 1

= 10 = 0.6 = − 1 = : وبالتايل 0.4

= 1 −

= 0.60.4

= 0,1,2 … … … … … .10

:حساب االحتماالت - 2

: احملاضرة طلبة الذين حيضرون 3 جناححساب احتمال - أ

= 3 = 3

3 = " 0.6"0.4"

= 120 × 0.216 × 1.6384 × 10" = 0.04

:حساب احتمال استجابة مريض واحد على األقل - ب

≥ 1 = 1 − 0

= 1 − 0.60.4

= 1 − 1 × 1 × 1.048576 × 10' = 0.99

:من الذين حيضرون احملاضرة على األكثر طالبني جناححساب احتمال - ج

≤ 2 = 2 + 1 + 0

= + 0.6+0.4+ +

0.60.4 + 0.60.4

0.01 =


- 63 -

:الطلبة الناجحني، واالحنراف املعياري لعدد التوقع الرياضيحساب - 3

التوقع الرياضي -

= = 10 × 0.6 = 6

التباين -

= 1 − = 10 × 0.6 × 0.4 = 2.4


, = -1 − = √2.4 = 1.54

:حتديد شكل التوزيع - 4

مبا أن = 0.6 > . فإن توزيع عدد جناح الطلبة سالب االلتواء 0.5

يف ) النجاحـــات(األحـــداث يســـتخدم هـــذا التوزيـــع لتحديـــد احتمـــال عـــدد معـــني مـــن : التوزيـــع البواســـوني. 2.1

وحـــدة مـــن الـــزمن، وذلـــك عنـــدما تكـــون األحـــداث مســـتقلة عـــن بعضـــها الـــبعض ويبقـــى متوســـطها ثابتـــا لوحـــدة مـــن

)2001، ليبشتز(. اخل.......مثل عدد حوادث السيارات خالل السنة، عدد املكاملات خالل شهر. الزمن

= /0123

!, = 0,1,2 … … .

:حيث أن

. العدد املعني من النجاحات:

.من النجاحات احتمال عدد :

.متوسط عدد النجاحات يف وحدة الزمن: 5

.2.71828أساس نظام اللوغاريتم الطبيعي أو : 6

ـــال حــوادث 5عــدد حــوادث الســيارات يف مدينــة معينــة يتبــع التوزيــع البواســوين مبتوســط إذا كــان .2.4مثـ

. متغري عشوائي ميثل عدد حوادث السيارات خالل أسبوع إذا افرتضنا أن. األسبوعخالل

.هلذا املتغري شكل دالة االحتمال حدد - 1

:حسب االحتماالت التاليةأ - 2

؟ما هو احتمال حدوث حادثني خالل أسبوع - أ

ما هو احتمال حدوث حادث واحد على األقل خالل أسبوع؟ - ب

ما هو احتمال حدوث ثالثة حوادث على األكثر خالل أسبوع؟ - ج


- 64 -

.احلوادثواالحنراف املعياري لعدد التباين ،التوقع الرياضياحسب - 3

.حدد شكل التوزيع - 4

:الحـل

:االحتمالشكل دالة - 1

هو أسبوعخالل حوادث السياراتمبا أن متوسط عدد = : وبالتايل تكون دالة االحتمال 5

= /1203

!, = 0,1,2 … … .

= 71208

!, = 0,1,2 … … .5

:حساب االحتماالت - 2

احتمال حدوث حادثني خالل أسبوع هو - أ

2 = 79208

+!= .:

+×= 0.08

هو احتمال حدوث حادث واحد على األقل خالل أسبوع - ب

≥ 1 = 1 −

= 1 − 7;208

!= 0.99

هو احتمال حدوث ثالثة حوادث على األكثر خالل أسبوع - ج ≤ 3 = 3 + 2 + 1 + 0

= 7<208

"!+ 79208

+!+ 7=208

!+ 7;208

!= 0.25

:احلوادث، واالحنراف املعياري لعدد التوقع الرياضيحساب - 3


= 5 = 5 التباين -

= 5 = 5 االحنراف املعياري -

, = √5 = √5 = 2.23 :حتديد شكل التوزيع - 4

. التوزيع البواسوين دائما موجب االلتواء


- 65 -

التوزيعات االحتمالية المتصلة -2

مــن أهــم التوزيعــات االحتماليــة املتصــلة الــيت تســتخدم علــى نطــاق واســع يف التحليــل يعتــرب التوزيــع الطبيعــي

اجلــانبني، ولكــن علــىوهــو جرســي الشــكل متماثــل حــول الوســط احلسـايب، وميتــد إىل مــا الايــة . اإلحصـائي

كمـــا أن معظــم التوزيعــات االحتماليــة األخـــرى . ترتكـــز حــول الوســط احلســايب) االحتمــال(أغلــب املســاحة

:ويعرف بالقانون التايل )2011، سالفاتور( .ميكن تقريبها إىل التوزيع الطبيعي

= >√+?

6=9@0A9

B9

∞−: حيث أن < < ∞ ،D = ++E

F :ميثل الوسط احلسايب .

: والتمثيل البياين للتوزيع الطبيعي يكون على شكل جرس كما يلي

ونظرا لصـعوبة حسـاب التكامـل إلجيـاد االحتمـال عنـدما يكـون املتغـري العشـوائي خيضـع للتوزيـع الطبيعـي،

حتويــل التوزيــع الطبيعــي إىل التوزيــع الطبيعــي القياســي وهــو توزيــع طبيعــي وســطه إىل جلــأ علمــاء اإلحصــاء

إىل توزيـــع وميكـــن حتويـــل أي توزيــع طبيعـــي بوحـــدات . 1واحنرافـــه املعيــاري يســـاوي 0احلســايب يســـاوى

حتتـــوي علـــى التوزيـــع الطبيعـــي، نقـــوم بتحويـــل حـــاالتفمـــثال حلســـاب االحتمـــاالت يف . Gطبيعـــي قياســـي

: املناظرة هلا، كاآليت Gقيم إىل قيم أوال

G = HI

حتـت ) االحتمـال(قيمـة اجلـزء مـن املسـاحة اليت تعطي . اإلحصائيةباستخدام اجلداول إجيادهاميكن G قيمة

:احتماله تأخذ الشكل التايلوكثافة . Gاملنحىن بني قيمة الوسط احلسايب وقيمة

=

√+?6=

9J9


- 66 -

: ميكن استخدام التوزيع الطبيعي كتقريب للتوزيع ذي احلدين عندما يكون: مالحظة ≥ 30, > 5, 1 − > 5

: كما ميكن استخدام أيضا التوزيع الطبيعي كتقريب للتوزيع البواسوين عندما يكون5 ≥ 10

10إذا كانت عالمات الطلبة يف قسم معني تتبع التوزيع الطبيعي مبتوسط حسايب يساوي .3.4مثــال

. 4يساوي وتباين

حدد معامل التوزيع االحتمايل لعالمات الطلبة؟ - 1

حدد شكل دالة كثافة االحتمال؟ - 2

؟ 12و 8بني احسب احتمال أن تكون عالمات الطلبة - 3

؟6 أو يساويما هو احتمال أن تكون عالمات الطلبة أقل - 4

: الحل

: حتديد معامل التوزيع االحتمايل لعالمات الطلبة - 1

: مبا أن عالمات الطلبة هي متغري عشوائي يتبع التوزيع الطبيعي فإن معامله تكون كاأليت

K: وبالتايل. 4 =+, ، التباينF= 10 الوسط احلسايبF, , = 10,2

: حتديد شكل دالة كثافة االحتمال - 2

= +√+?

6=9@0=;9

L

هو 12و 8احتمال أن تكون عالمات الطلبة بني - 3

يف اجلداول Gمث جند القيم اليت تناظر قيم 12و 0وهي املناظرة لقيم G نقوم حبساب أوال قيمة

: اإلحصائية كما يلي

G = =HI

= M+

= −1 G+ = 9HI

= ++

= 1

Gعند = هذا يعين أن احتمال أن . من اجلداول اإلحصائية 0.3413ميكننا احلصول على القيمة 1

0.3413هو 12و 8تكون العالمات بني + 0.3413

8 < < 12 = 0.6826

هو 6 أو يساوياحتمال أن تكون عالمات الطلبة أقل - 4

G = HI

= :+

= −2

Gعند = هذا يعين أن احتمال أن . من اجلداول اإلحصائية 0.4772ميكننا احلصول على القيمة 2

هو 6أقل من تكون العالمات

≤ 6 = 0.5 − 0.4772 = 0.0228


- 67 -


فإذا كانت مجيع األوجه هلا . مرات متتالية، ونسجل يف كل مرة الرقم الذي يظهر 4نرمي حجرة نرد : 1التمرين

. مستقلة عن بعضها البعض رميات نفس احتمال الظهور وأن األربعة

ثالث مرات؟ 5ما هو احتمال ظهور الرقم -1

على األقل؟ مرة واحدة 5ما هو احتمال ظهور الرقم -2

.يف األربع رميات 5حيث ميثل عدد مرات ظهور الرقم إذا كان لدينا املتغري العشوائي

؟ حدد قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي - 3

حسب التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري؟ أ - 4

: الحل

ثالث مرات هو 5احتمال ظهور الرقم -أ

عند رمي حجرة نرد مرة واحدة هو 5احتمال ظهور الرقم :

هـو حـادث ظهـور وعـدم ظهـور O و N إذا اعتربنا .

: يصبح لدينا. على التوايل 5الرقم

O = :

, N = 7:

: حيث أن ميكن تطبيق توزيع ذي احلدينومبا أن عدد الرميات مستقلة عن بعضها البعض فإنه

= 1 −

= 3 = '"

:"7

:'" = 0.01

مرة واحدة على األقل هو 5احتمال ظهور الرقم -2

O = 1 − O

O = = 0 = '

:

7

:' = 0.48

O = 1 − 0.48 = 0.52

: حتديد قانون التوزيع االحتمايل للمتغري العشوائي - 3

يكون لدينا عدد احلاالت املمكنة عند رمي حجرة نرد مرة واحدة 5إذا كان املتغري العشوائي ظهور الرقم

= = = = QA, BT U

'2مرات تكون عدد احلاالت املمكنة 4نرمي حجرة نرد أما عندما = 16

: حساب االحتماالت املقابلة من خالل نااحلدين فإنه ميكنومبا أن املتغري العشوائي يتبع توزيع ذي


- 68 -

,Q0: حيث أن القيم اليت ميكن أن يأخذها املتغري العشوائي هي 1,2,3,4T

= 0 = '

:7

:' = :+7

+V:

= 1 = '

:7

:' = +7

"+'

= 2 = '+

:+7

:'+ = +7

+:

= 3 = '"

:"7

:'" = 7

"+'

= 4 = ''

:'7

:'' =

+V:

W 4 3 2 1 0 X

1 11296

5

324

25216

125324

625

1296

X

: حساب التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري - 4

التوقع الرياضي - =

= 4 × :

= 0.66

التباين - = 1 −

= 4 × :

× 7:

= 0.55


Y = -

Y = √ 0.55

Y = 0.74 طالب جـدد عـن الدراسـة يف كـل قسـم 6تشري اإلحصائيات للسنوات السابقة أنه يف املتوسط يتوقف : 2التمرين

. كل سنة يف كلية معينة

طالب عن الدراسة يف سنة معينة؟ 3ما هو احتمال توقف -1

طالب أو أقل عن الدراسة يف سنة معينة؟ 3ما هو احتمال توقف -2

أحسب التوقع الرياضي، التباين واالحنراف املعياري؟ -3


- 69 -

: الحل

طالب عن الدراسة يف سنة معينة هو 3احتمال توقف -1

= /1203

!, = 0,1,2 … … .

3 = :<20Z

"!= +:×.+'M

"×+×= 0.08928

طالب أو أقل عن الدراسة يف سنة معينة هو 3احتمال توقف -2

≤ 3 = 3 + 2 + 1 + 0 3 = 0.08928

2 = :920Z

+!= ":×.+'M

+×= 0.04464

1 = :=20Z

!= :×.+'M

= 0.01488

0 = :;20Z

!= ×.+'M

= 0.00248

≤ 3 = 0.08928 + 0.04464 + 0.01488 + 0.00248

= 0.15128

:احلوادث، واالحنراف املعياري لعدد التوقع الرياضيحساب - 3


= 5 = 6 التباين -

= 5 = 6 االحنراف املعياري -

, = √5 = √6 = 2.45

طالـب عـن كـل ال هـذا فإذا كان احتمال أن جييـب. متارين 4وجد الطالب اإلحصاءيف امتحان مقياس : 3التمرين

مترين صحيحا هو +" .

ما هو احتمال أن جييب صحيحا عن مترينني فقط؟ -1

ما هو احتمال أن جييب صحيحا عن مترين واحد أو أكثر؟ -2

ما هو احتمال أن جييب صحيحا عن أكثر من نصف التمارين؟ -3

: الحل


- 70 -

احتمال أن جييب صحيحا عن مترينني فقط هو -1

: لدينا = 4, = +"

, = 1 − = "

2 = '++

"+

"'+ = 0.2962

احتمال أن جييب صحيحا عن مترين واحد أو أكثر هو -2 ≥ 1 = 1 + 2 + 3 + 4

1 = '+

"

"' = 0.0987

2 = '++

"+

"'+ = 0.2962

3 = '"+

""

"'" = 0.3950

4 = ''+

"'

"'' = 0.1975

≥ 1 = 0.0987 + 0.2962 + 0.3950 + 0.1975

= 0.9876

: ةأو بطريقة ثاني

' احتمـــال أن ال جييـــب عـــن أي متـــرين هـــو = "' =

Mوبالتـــايل احتمـــال أن جييـــب صـــحيحا علــــى

1 األقل على مترين هو − ' = MM

= 0.9876

هو احتمال أن جييب صحيحا عن أكثر من نصف التمارين -3

. متارين 4أو 3جييب هذا الطالب على أكثر من نصف التمارين يعين إذا أجاب صحيحا على

≥ 3 = 3 + 4 = 0.3950 + 0.1975 = 0.5925

فرضـا. فيها بعض املشاكل التقنيـة يف املائة من السيارات املنتجة يف مصنع ما 1أن اإلحصائياتتشري : 4التمرين

:أحسب احتمال وجود أكثر من سيارة فيها مشاكل تقنية. سيارة 30أننا اخرتنا عينة متكونة من

باستخدام توزيع ذي احلدين؟ -1

باستخدام التوزيع البواسوين كتقريب لتوزيع ذي احلدين؟ -2

: الحل

: باستخدام توزيع ذي احلدين -1


- 71 -

:لدينا = 30, = 0.01, = 1 − = 0.99

: جند اإلحصائيةباستخدام اجلداول

> 1 = 2 + 3 + 4 … … . = 0.0328 + 0.0031

= 0.0328 + 0.0031 + 0.0002 = 0.0361

: باستخدام التوزيع البواسوين كتقريب لتوزيع ذي احلدين -2

مبــــا أن = و 30 = 30 × 0.01 = اســــتخدام تقريــــب التوزيــــع البواســــوين فإنــــه ميكننــــا 0.3

:حيث أن. لتوزيع ذي احلدين = 0.3 5 =

ميكننا حساب > 1 = 1 − ≤ . هو عدد السيارات غري اجليدة حيث أن 1

: باستخدام قانون التوزيع البواسوين حنصل على

1 = ."=20;.<

!= ."×.E'M+

= 0.222246

0 = .";20;.<

!= ×.E'M+

= 0.74082

≤ 1 = 1 + 0 = 0.222246 + 0.74082

= 0.963066

> 1 = 1 − ≤ 1

= 1 − 0.963066 = 0.036934

من االحتمال باستخدام توزيع ذي احلدين أكثريقرتب التقريب زادت فكلما

.10واحنراف معياري 170إذا كان طول الطلبة يف كلية ما يتبع التوزيع الطبيعي، مبتوسط حسايب : 5التمرين

؟ 160و 150عمر طالب اختري عشوائيا بني أن يكون ما هو احتمال -1

؟175 أو يساوي عمر طالب اختري عشوائيا أقل أن يكون ما هو احتمال -2

؟185 أو يساويعمر طالب اختري عشوائيا أكثر أن يكون ما هو احتمال -3

: الحل

هو 160و 150عمر طالب اختري عشوائيا بني أن يكون احتمال -1

يف اجلداول اإلحصائية كما Gمث جند القيم اليت تناظر قيم املناظرة لقيم Gنقوم حبساب أوال قيمة


- 72 -

: يلي

G = =HI

= 7E

= −2 G+ = 9HI

= :E

= −1

G البحث عن مقابل عند = G و2− = تنييف اجلداول اإلحصائية حنصل على القيم 1

هو 160و 150بني العمرهذا يعين أن احتمال أن . 0.3413و 0.4772

150 < < 160 = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185

هو 175 أو يساوي احتمال أن يكون عمر طالب اختري عشوائيا أقل -2

G = HI

= E7E

= 0.5

Gعند البحث عن مقابل القيمة = . 0.1915يف اجلداول اإلحصائية حنصل على القيمة 0.5

هو 175 أو يساويهذا يعين أن احتمال أن يكون عمر الطالب أقل

≤ 175 = 0.5 − 0.1915 = 0.3085

هو 185 أو يساوياحتمال أن يكون عمر طالب اختري عشوائيا أكثر -3

G = HI

= M7E

= 1.5

Gعند البحث عن مقابل القيمة = هذا . 0.4332يف اجلداول اإلحصائية حنصل على القيمة 1.5

هو 185 أو يساوي أكثريعين أن احتمال أن يكون عمر الطالب

≥ 185 = 0.5 − 0.4332 = 0.0668

.على التوايل 12و 74يف أحد املسابقات هو للعالمات إذا كان الوسط احلسايب واالحنراف املعياري: 6التمرين

؟ 93، 85، 60،75 :للمتسابقني احلاصلني على واحتماالا أحسب العالمات بالوحدات القياسية -1

؟ 2، 1.5، 0.5، 1-: أحسب العالمات املناظرة للوحدات القياسية -2

: الحل

: حساب العالمات بالوحدات القياسية للمتسابقني احلاصلني على -1

G = =HI

= :E'+

= −1.16, G = 1.16 = 0.3770


- 73 -

G+ = 9HI

= E7E'+

= 0.08, G+ = 0.08 = 0.0319

G" = <HI

= M7E'+

= 0.91, G" = 0.91 = 0.3186

G' = LHI

= V"E'+

= 1.58, G' = 1.58 = 0.4429

هي 2، 1.5، 0.5، 1-: العالمات املناظرة للوحدات القياسية -2

= G × Y + F = 12 × −1 + 74 = 62

+ = G+ × Y + F = 12 × 0.5 + 74 = 80

" = G" × Y + F = 12 × 1.5 + 74 = 92

' = G' × Y + F = 12 × 2 + 74 = 98

أحســب احتمــال أن حنصــل علــى الصــورة عــددا مــن املــرات يــرتاوح . قطعــة نقديــة متماثلــة 12إذا ألقينــا :7التمــرين

: ، وذلك باستخدام7و 4مبا يف ذلك 7و 4بني

توزيع ذي احلدين؟ -1

التقريب الطبيعي لتوزيع ذي احلدين؟ -2

: الحل

: باستخدام توزيع ذي احلدين -1

: لدينا = 12, = 0.5, = 1 − = 0.5 4 ≤ ≤ 7 = 4 + 5 + 6 + 7

4 = +'

+'

++' = 0.1208

5 = +7

+7

++7 = 0.1933

6 = +:

+:

++: = 0.2255

7 = +E

+E

++E = 0.1933

4 ≤ ≤ 7 = 0.1208 + 0.1933 + 0.2255 + 0.1933

≈ 0.7332

: باستخدام التقريب الطبيعي لتوزيع ذي احلدين -2


- 74 -

F: لدينا = = 12 × 0.5 = 6

Y = - = √12 × 0.5 × 0.5 = 1.78

4وبالتايل نقوم حبساب االحتمال . ميثل عدد ظهور الصورة ذا كان إ ≤ ≤ 7

الـــة جيـــب أن يف هـــذه احل. ولكـــن إذا افرتضـــنا عـــدد النتـــائج متصـــل مـــن أجـــل تطبيـــق تقريـــب التوزيـــع الطبيعـــي

3.5: حنسب االحتمال ≤ ≤ 7.5

: بالوحدات املعيارية 7.5و 3.5نقوم حبساب

G = =HI

= ".7:.EM

= −1.45, G = 1.45 = 0.4265

G+ = 9HI

= E.7:.EM

= 0.87, G+ = 0.87 = 0.3078

≈ 4 ≤ ≤ 7 = −1.45 ≤ ≤ 0.87

= 0.4265 + 0.3078 = 0.7343

أحسـب . صـفحة 500خطأ مطبعيا موزعة على صفحات كتاب متكـون مـن 300نفرتض أنه هناك :8التمرين

: احتمال أن حتتوي صفحة معينة على

خطأين بالضبط؟ -1

؟خطأين أو أكثر -2

أخطاء بالضبط؟ 5 -3

: الحل

: احتمال وجود خطأين بالضبط هو -1

: لدينا. نفرتض أن عدد األخطاء يف الصفحة هو عبارة عن عدد مرات النجاح حسب توزيع ذي احلدين

= خطـأ مطبعـي و 300حيث أنـه يوجـد 300 = 7

هـو احتمـال أن يظهـر خطـأ يف الصـفحة

:بواسون لتوزيع ذي احلدين حيث أنكبرية من األفضل استخدام تقريب صغرية و ومبا أن . املعينة

= 0.6 5 =


= 2 = .:920;.Z

+!= .":×.7'V

+= 0.0988

احتمال خطأين أو أكثر هو -2


- 75 -

≥ 2 = 1 − = 0 + = 1

= 0 = .:;20;.Z

!= ×20;.Z

= 0.549

= 1 = .:=20;.Z

!= .:×.7'V

= 0.329

≥ 2 = 1 − 0.549 + 0.329

= 0.122

أخطاء بالضبط هو 5احتمال وجود -3

= 5 = .:820;.Z

7!= .EEE×.7'V

+= 3.554775 × 10'

يف 0.1يف مركـــز تلقـــي املكاملـــات اهلاتفيـــة، يـــتم اســـتقبال املكاملـــات مـــن خـــارج الـــوطن باحتمـــال قـــدره :9التمـــرين

مكاملــات دوليــة يف 3مــا هــو احتمــال أن جنــد أكثــر مــن . مكاملــة خــالل ســاعة معينــة 100قمنــا بســحب . الســاعة

: العينة املسحوبة وذلك باستخدام

؟ ذي احلدينتوزيع -1

التوزيع البواسوين؟ -2

التوزيع الطبيعي؟ -3

: الحل

: هو ذي احلدينتوزيع مكاملات دولية باستخدام 3ر من احتمال أن جند أكث - 1

: وبالتايل جيب أن حنسب االحتمال. هو عدد املكاملات الدولية اليت يستقبلها املركز نفرتض أن

> 3

. وبالتايل ميكن تطبيق توزيع ذي احلديناملكاملة ميكن أن تكون حملية أو دولية : لدينا

> 3 = 1 − ≤ 3

= 1 − = 0 + = 1 + = 2 + = 3

= 0 = 0.10.9 = 0.0000265

= 1 = 0.10.9 = 0.0005951

= 2 = + 0.1+0.9+ = 0.0016231


- 76 -

= 3 = " 0.1"0.9" = 0.0078363

≤ 3 = 0.000026 + 0.000595 + 0.001623 + 0.007836

= 0.0078363

:وبالتايل > 3 = 1 − 0.0078363

= 0.9921

: مكاملات دولية باستخدام التوزيع البواسوين هو 3احتمال أن جند أكثر من - 1

: لــدينا = و 100 = كبــرية فإنــه صــغرية و ومبــا أن . هــو احتمــال تلقــي مكاملــة دوليــة 0.1

:احلدين حيث أنبإمكاننا استخدام التوزيع البواسوين كتقريب لتوزيع ذي

= 10 5 =

:نقوم حبساب االحتمال > 3 = 1 − ≤ 3


= 0 = ;20=;

!= ×.7

= 0.00005

= 1 = =20=;

!= ×.7

= 0.0005

= 2 = 920=;

+!= ×.7

+= 0.0023

= 3 = <20=;

"!= ×.7

:= 0.008

≤ 3 = 0.00005 + 0.0005 + 0.0023 + 0.008 = 0.0104

> 3 = 1 − 0.0104 = 0.9896

: مكاملات دولية باستخدام التوزيع الطبيعي هو 3احتمال أن جند أكثر من - 3

: نقوم حبساب االحتمال > 3 = 1 − ≤ 3

F: لدينا = = 100 × 0.1 = 10

Y = - = √100 × 0.1 × 0.9 = 3

وبالتايل نقوم حبساب االحتمال . ميثل عدد املكاملات الدولية بافرتاض أن

> 3 = 1 − 0 ≤ ≤ 3


- 77 -

يف هـــذه احلالــة جيـــب أن . مــن أجـــل تطبيــق تقريــب التوزيـــع الطبيعــي ةولكــن إذا افرتضــنا عـــدد النتــائج متصـــل

: حنسب االحتمال−0.5 ≤ ≤ 3.5

: بالوحدات املعيارية 7.5و 3.5نقوم حبساب

G = =HI

= .7"

= −3.5, G = 3.5 = 0.4998

G+ = 9HI

= ".7"

= −2.16, G+ = 2.16 = 0.4846

≈ 0 ≤ ≤ 3 = −3.5 ≤ ≤ −2.16

= 0.4998 + 0.4846 = 0.9844

: أطفال، ما هو احتمال أن يكون يف هذه العائلة 7تتكون عائلة من :10التمرين

أوالد ؟ 4 -1

عدد األوالد أقل من عدد البنات؟ -2

: الحل

أوالد هو 4احتمال أن يكون يف هذه العائلة -1

نفرتض احتمال أن يكون الطفل ولد هو +

:لدينا = 7, = +

, = 1 − = +

= 4 = E'

+'

+" = 0.2734

احتمال أن يكون يف هذه العائلة عدد األوالد أقل من عدد البنات هو -2

= = 0 + = 1 + = 2 + = 3

= 0 = E

+

+E = 0.0081

= 1 = E

+

+: = 0.0546

= 2 = E+

++

+7 = 0.1640

= 3 = E"

+"

+' = 0.2734

= 0.0081 + 0.0546 + 0.1640 + 0.2734

= 0.5001


- 78 -

طلبـــة 3مـــا هـــو احتمـــال وجـــود . 0.02نفـــرتض أن نســـبة رســـوب الطلبـــة يف إحـــدى األقســـام هـــو :11التمـــرين

:باستخدام وذلك طالب اختريت عشوائيا 100راسبني يف عينة متكونة من

توزيع ذي احلدين؟ -1

توزيع بواسون؟ -2

: الحل

100كبـرية تسـاوي و 0.02صـغرية تسـاوي يف هذا املثال نسـتطيع تطبيـق توزيـع ذي احلـدين، وحيـث أن

. فمن األفضل تطبيق التوزيع البواسوين

: توزيع ذي احلدين - 1

: لدينا = 100, = 0.02, = 1 − = 0.98

= 3 = " 0.02"0.98VE = 0.1822

= 3 = 0.1822

: توزيع بواسون -2

= 2 5 =

= 3 = +<209

"!= M×."7"

:= 0.1804

= 3 = 0.1804

قائمة المراجع

ة المراجعقائم

80

:قائمة المراجع

: باللغة العربية

. جنيدي نكو و خينتشني، املبادئ األولية لنظرية االحتماالت، دار مري للطباعة والنشر .1

شوم، الطبعة دومينيك سالفاتور، ترمجة سعدية حافظ منتصر، اإلحصاء واالقتصاد القياسي، ملخصات .2

.2011الثالثة، الدار الدولية لالستثمارات الثقافية، مصر،

.1995السعدي رجال، نظرية االحتماالت، ديوان املطبوعات اجلامعية، اجلزائر، .3

سيمور ليبشتز، ترمجة مساح داود، نظريات ومسائل يف االحتماالت، ملخصات شوم، الدار الدولية .4

.2003لالستثمارات الثقافية، مصر،

موراي سبيجل، جون شيلر وألو سرينيفاسان، ترمجة حممود على أبو النصر ومصطفى جالل مصطفى، .5

.2004، ر الدولية لالستثمارات الثقافيةالدااالحتماالت واالحصاء، ملخصات شوم، الطبعة األوىل،

: باللغة األجنبية6. Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell, Introduction to Probability, Swarthmore

College, 2005. 7. Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis, Introduction to Probability: Problem

Solutions, 2nd Edition, Massachusetts Institute of Technology, 2015. 8. Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis, Introduction to Probability, Massachusetts

Institute of Technology, 2000. 9. Dirk P. Kroese, A Short Introduction to Probability, The University of Queensland,

2009. 10. F.M. Dekking, Kraaikamp, H.P. Lopuhaa,¨ L.E. Meester, A Modern Introduction to

Probability and Statistics, Understanding Why and How, Springer-Verlag London Limited, 2005.

11. Heather Haney and Ernest Johnson, Probability and Statistics, 4ed Edition CK-12 Foundation, 2011.

12. Hwei P. Hsu, Theory and Problems of Probability, Random Variables, and Random Processes, Schaum's Outline, The McGraw-Hill Companies, 1997.

13. Kai Lai Chung, A Course in Probability Theory, Third Edition, Academic Press, 2001. 14. Miroslav Lovri, Students’ Solutions Manual Probability and Statistics, McMaster

University, 2011. 15. Rick Durrett, Probability: Theory and Examples, Edition 4, Cambridge University

Press, 2013. 16. Sheldon Ross, A first course in probability, 8th ed. Pearson Prentice Hal, 2010. 17. Sheldon Ross, Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists,

Third Edition, Elsevier Academic Press, 2004. 18. Sheldon Ross, Introduction to Probability Models, Tenth Edition, Academic Press is

an Imprint of Elsevier, 2010.

تﻻﺎﻤﺘﺣﻻا ﻲﻓ ﺔﻟﻮﻠﺤﻣ ﻦﻳرﺎﻤﺗو...

Documents