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Maio2003 FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL1

Estatística Básica Utilizando o Excel

Delamaro e Marins

5a. Aula – Distribuições de Probabilidade -

Contínuas


Tópicos

Distribuição Normal

Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida

Avaliando a Normalidade dos Dados

Distribuição Exponential


Variável Aleatória Contínua

Uma Variável Aleatória Contínua é uma variável que pode assumir valores num intervalo definido.


Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas

Tempo para realizar uma tarefa

Taxas Financeiras

Pesos (volumes) de produtos

Distância entre dois pontos


Distribuição de Probabilidades Contínuas

A Distribuição de Probabilidades de uma Variável Aleatória Contínua é representada por uma função densidade de probabilidade f(X) que define uma curva.


Função Densidade de ProbabilidadePropriedades

f(X) 0, para todo X

1)(

dxXf

b

a

dxXfbXaP )()(

0 P(X=x) 1

x

xXP 1)(

b

ai

iXPbXaP )()(

Discretas

Contínuas

© 2002 Prentice-Hall, Inc. Chap 5-7

Distribuição de Probabilidades Discretas

versus Contínuas

x

f(X)P(X)

Valores possíveis de X

x

Valores possíveis de X

(a) Distribuição de Probabilidades

Discreta

(b) Função Densidade de Probabilidade

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“Em forma de Sino” Unimodal Simétrica Média, mediana e

moda são iguais Assintótica em relação ao Eixo X Amplitude Interquartil

é 1,33

Média,

Mediana Moda

X

f(X)

Q1 Q3


Modelo Matemático

X: valores da variável aleatória ( )

F(X):função densidade probabilidade da variável aleatória X

média da população desvio padrão da população

222

1-

2

2

1

XeXf

X



Variando os parâmetros e , obtém-se diferentes formas de distribuições

normal


Cálculo de Probabilidades

Probabilidade é a área sob a curva!

c dX

f(X)

?P c X d


Cálculo de Probabilidades

Qual a área total abaixo da curva?

f(X)

X

Área = 1

P(- < X < + )


Qual Tabela usar?

Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de Tabelas, uma para cada par e !


Solução: Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

0,5478.02

0.1 .5478

Distribuição Normal Padronizada Tabela (Parte)

Probabilidades

Uma única Tabela basta!

0 1Z Z

Z = 0,12

0


Distribuição Normal Padronizada

Valor da V. A. Normal Z Padronizada:Valor da V. A. Normal Z Padronizada:

onde:

x = valor da V. A. Normal X = Desvio padrão da V. A. Normal X = Média da V. A. Normal Xz = valor padronizado de x (número de desvios padrão com relação à Média)

x

z

Maio/2003 FEG/UNESP 7 CONFAB INDUSTRIAL 13


Exemplo

6.2 50.12

10

XZ

X: Distribuição Normal

Z: Distribuição Normal

Padronizada 10 1Z

5 6.2 X Z0Z

0.12


Exemplo:

X: Distribuição Normal

Z: Distribuição Normal

Padronizada10 1Z

5 7.1 X Z0Z

0.21

2.9 5 7.1 5.21 .21

10 10

X XZ Z

2.9 0.21

.0832

2.9 7.1 .1664P X

.0832


Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

0,5832.02

0.1 .5478


Tabela (Parte)

0 1Z Z

Z = 0,21

Exemplo: 2.9 7.1 .1664P X

(continuação)

0


Z .00 .01

-03 .3821 .3783 .3745

.4207 .4168

-0.1.4602 .4562 .4522

0.0 .5000 .4960 .4920

0,4168.02

-02 .4129


Tabela (Parte)

0 1Z Z

Z = -0,21

Exemplo: 2.9 7.1 .1664P X

(continuação)

0


Exemplo: 8 .3821P X



Padronizada10 1Z

5 8 X Z0Z

0.30

8 5.30

10

XZ

.3821


Exemplo: 8 .3821P X

(continuação)

Z .00 .01

0.0 .5000 .5040 .5080

.5398 .5438

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

0,6179.02

0.1 .5478


Tabela (Parte)

0 1Z Z

Z = 0,30

0


0,6217

Encontrando Valores de Z para Probabilidades

conhecidas

Z .00 0.2

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

.6179 .6255

.01

0.3


Tabela (Parte)Qual é Z associado à Probabilidade= 0,6217 ?

.6217

0 1Z Z

.31Z 0


Recuperando Valores de X para Probabilidades

Conhecidas

5 .30 10 8X Z



Padronizada10 1Z

5 ? X Z0Z 0.30

.3821.1179


Avaliando Normalidade

Na prática é importante saber avaliar quanto (quão bem) um conjunto de dados pode ser adequadamente aproximado por uma distribuição normal


Avaliando Normalidade Construir gráficos

Para conjuntos pequenos ou moderados de dados, o stem-and-leaf display e o box-and-whisker plot apresentam simetria?

Para conjuntos com muitos dados, o histograma ou o polígono apresentam a forma de sino?

Calcular medidas descritivas dos dados A média, mediana e moda têm valores similares?

A amplitude interquartil é aproximadamente 1,33 ?

(continuação)


Uniform Probability Distribution

Distribuição de Probabilidades Uniforme

A Distribuição Uniforme é uma distribuição de probabilidades na qual a probabilidade de ocorrer um valor entre dois pontos, a e b, é a mesma de ocorrer um valor entre dois outros pontos, c e d,

se a distância entre a and b é igual a distância entre c e d.




Distribuição de Probabilidades UniformeDistribuição de Probabilidades Uniforme

onde:f(x) = Função Densidade de Probabilidade de Xa = Limite Inferior de intervalo de definição de Xb = Limite Superior de intervalo de definição de XParâmetros: = (a+b)/2 e 2 = (b – a)2/12

..0)(

1)(

ccxf

bxaifab

xf




f(x)

2 5a b

f(x)

a b

3 8

33,03

1

25

1)(

xf

para 2 x 5

20,05

1

38

1)(

xf

para 3 x 8


Cálculo de Probabilidades na Uniforme

f(x)

1 6a b

0,25

0,50

33,03

1

25

1)(

xf

para 2 x 5

P(3 X 5) = ?

P(3 X 5) =

(5 – 3)/(6 – 1) =

2/5 = 0,4


Distribuição de Probabilidades Exponencial

T: valores da variável aleatória contínua = intervalo entre chegadas, com e = 2,71828

P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e-t

: taxa média de chegadas

1/ : intervalo médio entre chegadasExemplos: Carros chegando num pedágio; Clientes chegando num caixa eletrônico



Usada para estudos de Sistemas de Filas Função densidade de probabilidade

Parâmetros

(continuação)

1 x

f x e

1 1



Valores of X

f(x) Lambda = 3,0 (Média = 0,333)

Lambda = 2,0 (Média = 0,5)




Exemplo

Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de Operários ser maior que 5’ ?

e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas

P(intervalo entre chegadas > t) =

1 – P(intervalo entre chegadas t) =

1 – (1 – e-30.0,0833) = 0,0821

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