metoda elementului finit. teoria elasticitățiiutilajutcb.ro/uploads/docs/fem/modul_1.pdf · 2019....

Metoda Elementului Finit. Teoria ElasticitățiiComplemente

Introducere în chestiune. Elemente necesare

Tronson tip consola supus la întindere centrică. Studiu comparat; tratare clasica, analiza cu AxisVM (element de discretizare - truss)

SCOP

Se exersează modalităţile generice de abordare în ceea cepriveşte tratarea problemelor tehnice inginerești din punctul devedere al metodei de calcul cu element finit, (diverse abordări).

REZUMAT• Repere în timp

•Calcul matricial elementar

•Relații. Studiu comparat

•Tensorul Tensiunilor

•Relații diferențiale între deformații specifice și deplasări

•Legea generalizată a lui Hooke

•Tronson tip consola supus la întindere centrică

Although the finite element method canmake a good engineer better, it canmake a poor engineer more dangerous...

Repere în timp

Alexander Hrennikoff (1941), ”frame work method”

Richard Courant (1942), ”piecewise polynomial interpolation”

Turner (1956), ”derived stiffness matrix for truss, beam, etc.”

R. Clough (1960), impunere a conceptului de ”element finit”

NASA (1970), ind. Aerospatiala si auto

Domenii ingineresti conexe (1980)

Standard de calcul (1990)...

Calcul matricial elementartranspusa unei matrici

T

11 12

11 21 31

21 22

12 22 32

31 32

a aa a a

a a .a a a

a a

TTA A.

Calcul matricial elementaradunarea și scăderea matricilor

11 12 11 12 11 11 12 12

21 22 21 22 21 21 22 22

31 32 31 32 31 31 32 32

11 12 11 12 11 11 12 12

21 22 21 22 21 21 22 22

31 32 31 32 31

a a b b a b a b

a a b b a b a b ;

a a b b a b a b

a a b b a b a b

a a b b a b a b

a a b b a

31 32 32

.

b a b

Calcul matricial elementaradunarea și scăderea matricilor

T T T

comutativitate A B B A;

asociativitate A B C A B C sau A B C;

A 0 0 A A, A A 0;

A B A B .

Calcul matricial elementarînmulțire cu un scalar (număr, constantă)

11 12 11 12

21 22 21 22

31 32 31 32

a a j a j a

j a a j a j a ;

a a j a j a

a b A a A b A;

ab A a b A ;

a A B a A a B;

0 A 0, 1 A A.

Calcul matricial elementarînmulțire a două matrici A*B

condiție fundamentală: numărul de coloane al matricii A trebuie să fie egal cu numărul de rânduri al matricii B

11 12 11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23

11 12 13

21 22 21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23

21 22 23

31 32 31 11 32 21 31 12 32 22 31 13 32 23

a a a b a b a b a b a b a bb b b

a a a b a b a b a b a b a b ;b b b

a a a b a b a b a b a b a b

11 12

11 12 13 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32

21 22

21 22 23 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32

31 32

d dc c c c d c d c d c d c d c d

d dc c c c d c d c d c d c d c d

d d

Calcul matricial elementarînmulțire a două matrici A*B

condiție fundamentală: numărul de coloane al matricii A trebuie să fie egal cu numărul de rânduri al matricii B

T T T

0 A 0, A 0 0;

1 0 0 0

0 1 0 0I A A, A I A I ;

0 0 1 0

0 0 0 1

A B C A B C ;

j A B j A B cu j scalar ;

A B C A B A C, A B C A C B C;

A B B A .

Calcul matricial elementarînmulțire a unei matrici cu un vector

fie matricea Q cu m linii și n coloane, x – un vector cu n componente și y – vector cu m componente, astfel:

j j1 1 j2 2 jn n

y Q x;

y Q x Q x ... Q x , j 1,...,m;

exemplu de funcție ce transformă vectori cu n componente în vectori cu m componente sau un set de m ecuații liniare între x și y.

Calcul matricial elementarînmulțire a doi vectori, produs intern

fie r un vector șir cu n componente, respectiv c, vector coloană cu n componente, în care caz produsul (r,c) reprezintă un scalar:

1 1 2 2 n nr, c r c r c ... r c ;

dacă p și q reprezintă doi vectori de același fel, vectori cu n componente, numim produs intern expresia:

T1 1 2 2 n np,q p q p q p q ... p q .

Calcul matricial elementarînmulțire a doi vectori

fie vectorul șir cu trei elemente, de forma:

A a b c ,

respectiv, vectorul coloană cu trei elemente:

x

B y ,

z

x

A *B a b c * y ax by cz; "dot product"

z

x xa xb xc

B *A y a b c ya yb yc , "tensor product".

z za zb zc

Calcul matricial elementarputerea unei matrici

în cazul unei matrici patrate Q (n linii cu n coloane), atunci:

2

b

b

0

j j ii

Q Q Q ;

Q Q Q ... Q ;

Q I;

Q Q Q .

Calcul matricial elementarinversa unei matrici

în cazul unei matrici patrate Q (n linii cu n coloane), atunci definim inversa acesteia Q^-1, astfel încât:

1

kk 1

Q Q I;

Q Q ;

se spune că matricea Q este nesingulară; dacă unei matrici nu i se poate calcula inversa, aceasta se numește matrice singulara.


11

1 1 1

1 TT 1

1

1 1

1

Q Q;

Q R R Q ;

Q Q ;

I I;

1Q Q ;

y Q x x Q y;


1

11 12 22 12

21 22 21 1111 22 12 21

a a a a1,

a a a aa a a a

11 22 12 21daca a a a a 0;

în caz contrar, matricea este singulara, altfel spus:

11 12

11 22 12 21

21 22

a adet . a a a a 0.

a a

Relații. Studiu comparat

E { } D { };

1

l { } B { };L

i i

EAF l F k u {F} K { };

L

i

F{ } D B { }.

A

Tensorul Tensiunilor


xyxx x xy xy

xzxz xz

dx dydz dydz dy dxdz dxdzx y

dz dxdy dxdy Xdxdydz 0;z

xyx xz X 0,x y z

xy yx xz zx yz zy; ; .


xyx xz

yx y yz

zyzx z

X 0;x y z

Y 0;x y z

Z 0.x y z


xv x xy xzX 0; p abc Obc Oac Oab 0; xv x xy xzp cos v,x cos v,y cos v,z ,


xv x xy xz

yv yx y yz

zv zx zy z

p cos v,x cos v,y cos v,z ,

p cos v,x cos v,y cos v,z ,

p cos v,x cos v,y cos v,z ;

xv x xy xz

yv yx y yz

zv zx zy z

p l m n,

p l m n,

p l m n.


x xy xz

yx y yz

zx zy z

T ,

x

y

z

xy

xz

yz

.

Relații diferențiale între deformații specifice și deplasări


uu u u dx

x

1 2x

udx u u dx dx

a b ab ux,

ab dx x

1 2y

vdy v v dy dy

ya c ac v,

ac dy y

z

w

z


xy xy yx

1 2yx yx

1 2

v vv dx v

b b x xtg ;u ua b dx u u dx 1x x

yx

v,

x

xy

u;

y

xy

u v,

y x


x xy

y yz

z zx

u u v; ;

x y x

v v w(a) ; (b) ;

y z y

w w u; .

z x z


x

y

z

xy

yz

zx

0 0x

0 0y

u0 0z

{ } v B x, y, z ;

0 wy x

0z y

0z x

unde u, v, w f x, y, z .

1

l { } B { };L

Legea generalizată a lui Hooke

E { } D { };


' ' ' 'x x xx y x z; ; ,

E E E

x x y z

1;

E

y y y'' '' '' ''x y y z; ; ,

E E E

''' ''' ''' '''z z zx y z z; ; ;

E E E

' '' '''x x x x ,


x x y z

1;

E

y y z x

1;

E

z z x y

1.

E


xy yz zxxy yz zx; ; ,

G G G

EG

2 1

xy xy xy

2 11;

G E

yz yz yz

2 11;

G E

zx zx zx

2 11.

G E


x y z x y z x y z

12 ,

E

not.

V x y z ,

not.

x y z ,

V

1 2.

E

E { } D { };


D ;

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 2E 0 0 0 0 0 .21 1 21 2

0 0 0 0 02

1 20 0 0 0 0

2

E { } D { };

/

/

2 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 0[D] ;

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

E, La me

1 1 2

E. La me

2 1


Legea generalizată a lui Hookestare plană de tensiune (plane stress)

D ;

z xz yz0, 0, 0;

x x y

y y x

xy xy

1;

E1

;E

2 1.

E

Legea generalizată a lui Hookestare plană de tensiune (plane stress)

D ;

z xz yz0, 0, 0;

x x

y y2

xy xy

1 0E

1 0 .1

10 0

2

Legea generalizată a lui Hookestare plană de deformație (plane strain)

D ;

z 0;

z z x y z x y

10 ,

E

2x x y z x y x y

2y y x z y x x y

1 1;

E E1 1

,E E


D ;

z 0;

2 2

x x y y y x

1 1; .

E 1 E 1

not. not.

1 12

EE ; ,

1 1

x x 1 y

1

y y 1 x

1

1;

E

1.

E


D ;

z 0;

x x

y y

xy xy

1 0E

1 0 .1 1 2

1 20 0

2

Tronson tip consolă supus la întindere centrică

5 2

ef.

d 16mm, E 2,1 10 N/mm ; se cer :

?;

l ?.


5 2

ef.

d 16mm, E 2,1 10 N/mm ; se cer :

?;

l ?.

m mmdaN N3

1

52 22

ef. ef. ef.

2ef. ef. ef.

ef.

P ll ;

300 10 1,8 10EAl , l 1,279 10 mm;

2,1 10 201,06d 16A A , A 201,06mm

4 4

P 300 10, 14,92N/mm .

A 201,06

BIBLIOGRAFIE

1. Ungureanu I., Ispas B., Constantinescu E.,”Rezistența Materialelor”, vol.II, vol.III, Institutul de Construcții București, 1981.

2. Bezuhov N.I., ”Teoria Elasticității și Plasticității”, Editura Tehnică, București, 1957.

3. Maty Blumenfeld, “Introducere in metoda elementelor finite”, Editura Tehnică, București, 1990.

4. J.Ed Akin, “Finite Element Analysis Concepts via SolidWorks”, World Scientific, Rice University, Houston, Texas, 2009.

5. G.P. Nikishkov, “Introduction to the finite element method”, Lecture notes 2004. University of Aizu, Aizu-Wakamatsu 965-8580, Japan.

6. P. Boeraeve, “Introduction To The Finite Element Method (FEM)”, Charge de cours. Institut Gramme – LIEGE, 2010.

7. Mocanu Șt., ”Suport de curs de Complemente de Teoria Elasticității” (studii master), format multimedia, ediție de uz intern, Facultatea de

Utilaj Tehnologic, 2007.

8. Mocanu Șt., “Studiu privind utilizarea mediilor de lucru open-source la rularea aplicațiilor F.E.A.-F.E.M.”, SINUC 2011, București, 2011.

9. Pascu Adr., “Metoda Elementului Finit”, Facultatea de Inginerie Mecanica, București, www.omtr.pub.ro/didactic/mef_fim.htm/

10. www.cadworks.ro/

11. www.3dcadvegra.ro/

12. www.consoft.ro/axisvm/

13. www.salome-platform.org/

14. www.code-aster.de/

15. www.caelinux.com/CMS/

http://www.cadworks.ro/

http://www.3dcadvegra.ro/

http://www.consoft.ro/

http://www.salome-platform.org/

http://www.code-aster.de/

metoda elementului finit. teoria elasticitățiiutilajutcb.ro/uploads/docs/fem/modul_1.pdf · 2019....

Documents