UIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANNFACULTAD DE INGENIERIA/ESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIACURSO: METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA GEOLOGICAPROF. MSc EDWIN M. PINO VARGASII SEMESTRE 2010

PRACTICA ENCARGADA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES, CURSO; METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA GEOLOGICA

Indicaciones; Se debe realizar el siguiente procedimiento de solución para cada uno de los casos propuesto:

a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto.b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia,

identificando el tipo de EDP.c) Plantear el esquema numérico de solución.d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.e) Efectuar la codificación MATLAB para la solución.f) Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).

1) Una placa cuadrada apoyada simplemente en sus extremos está sujeta a una carga por unidad de área como se muestra en la figura: la deflexión en la dimensión z se determina resolviendo la EDP elíptica:

Sujeta condiciones de frontera en los extremos, donde la deflexión y la pendiente normal a la frontera son 0. El parámetro D es la rigidez de flexión,

(*)

Donde E=el modulo de elasticidad, ∆z = el espesor de la placa y δ=razón de poisson. Si definimos una nueva variable como sigue

La ecuación (*) se re expresa como: ………(**) de manera sucesiva dos

ecuaciones de poisson. Primero, de la ecuación (**) se obtiene u sujeta a la condición de

frontera u=0 en los extremos. Después los resultados se emplean junto con

, para obtener z sujeta la condición que z=0 en los extremos.

Desarrolle un programa computacional para determinar las deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de aire. Pruebe el programa con una placa

de 2m de longitud en sus extremos, q=33.6 KN/m2, δ=0.3, ∆z= m y E=2x Pa. Emplee

∆x=∆y=0.5 m para su corrida de prueba.

2) La siguiente memoria, propone una forma para determinar la distribución de tensiones bajo una zapata rectangular rígida, a una cierta profundidad "z", a partir de la Matríz de Flexibilidad. Las flexibilidades quedan definidas teniendo en cuenta la fórmula de Boussinesq para la determinación de los esfuerzos normales y aplicando la Ley de Hooke.

Dada una zapata aislada, de lados B1, B2, B1 = 2,5m B2 = 2,5m que en principio la consideramos flexible y discretizada en n1 x n2 partes, donde: n1 = 24 n2 = n1. El asentamiento elástico en "j", debido a una carga en "i" (no considerando la consolidación) está dado por:

Con σz(x,y,z), determinado por Boussinesq, para una carga concentrada unitaria "p0", a una profundada z0. z0 = 25cm

si variamos luego la posición de la carga y para cada posición determinamos las tensiones que por ella se ponen de manifiesto y luego, aplicamos superposición de efectos. Lo determinado es la sobrepresión en la cota z0, producto de haber cargado la zapata con carga unitarias concentradas en las aéreas discretizadas. (dependiendo del grado de discretización, se asemeja a tener una carga distribuida unitaria en toda la zapata.

Estudiar el comportamiento de las presiones que se observarían a la profundidad z0.

3) En la figura se indica la sección transversal de un tablestacado para el cual se pide el gasto que escurre debajo del mismo en [l/h.m].

4) Para el azud que se indica en la figura, se pide el caudal que escurre debajo del mismo en [l/h.m] suponiendo que el suelo es isótropo y tiene un coeficiente de permeabilidad igual a k.

5) Para la sección transversal de una presa de suelo homogénea como la indicada en la figura, se pide trazar la línea de saturación y la red de filtración.

50ºC

100ºC

Aislado

Aislado10 x10 m

6) Encontrar la distribución de temperatura en una placa de aluminio de 10x10 cm para los 10 primeros segundos. Inicialmente la placa se encuentra a 0°C. Instantáneamente las temperaturas en la frontera izquierda y en la superior se llevan a los valores mostrados en la siguiente figura. Las restantes dos fronteras están aisladas. El coeficiente de difusividad térmica para el aluminio es: K = 0,835 cm2/s. Las ecuaciones que rigen el fenómeno y el coeficiente de difusividad térmica son:

7) En la figura se muestra una presa expuesta a dos niveles de agua, el de la izquierda es de 50 m de altura y el de la derecha de 5 m., la profundidad de cimentación de 20 m, teniendo en cuenta la posición de la roca impermeable a una profundidad de 350 m, modelar y establecer las líneas de flujo y las líneas equipotenciales.

8) Para la figura mostrada, se requiere conocer las siguientes variables: Distribución de presiones del líquido en el suelo. Distribución de velocidades de circulación del fluido (flujo) Caudales de filtración en la sección media debajo de la estructura La distribución de presión en la base de la estructura

9) Calcular la distribución de temperatura de una barra larga y delgada que tiene una longitud de 10 cm. El coeficiente de difusividad térmica es: k = 0,835 cm2 / s. Como condición de frontera tenemos que en los extremos de la barra la temperatura es constante todo el tiempo: T (0,t) = 100 °C y T (10,t) = 50 °C. Como condición inicial tenemos que en el interior de la barra la temperatura para el tiempo t = 0 es: T (x,0) = 0 °C para 0 < x < 10.

10) Dentro de los innumerables problemas de ingeniería en los que se recurre a un tablestacado se encuentra: el caso de una pared para mantener la excavación de un edificio en construcción, el muro de recinto de una terminal marítima, la pantalla anclada de un muelle de atraque, etc. Para el modelo, se utiliza un tablestacado hincado en un suelo limoso con una permeabilidad de 5,0E07cm/s, como el que se ilustra en la Figura. El tablestacado es de longitud considerable en dirección perpendicular a la Figura por lo cual el flujo de agua bajo el mismo es bidimensional.

11) La Figura considera una presa de concreto cimentada sobre un terreno permeable isótropo con una permeabilidad de 5,0E07cm/s. La sección representada, constituye realmente un vertedero ya que el agua pasa sobre la presa en ciertas épocas del año. El agua del embalse en la cara aguas arriba tiene una altura de 6.0m y la presa está enterrada dentro del suelo 2,0m. Estas son: En la línea equipotencial aguas arriba, h=6 m En la línea equipotencial de aguas abajo, h=0 m Los demás contornos son líneas de flujo normal nulo.

12) La Figura ilustra el caso de dos paredes que mantienen una excavación en un terreno permeable de permeabilidad 5,0E07cm/s. Las paredes están enterradas dentro del suelo 6.0 m. y la excavación está en 1.5 m. de profundidad. Las cotas aguas arriba y abajo de la excavación son h1 = 12 m y h3 = 13.5 m, respectivamente. La cota de la excavación es h2 = 7.5 m. Las condiciones de contorno aplicadas al modelo de la excavación son: En la línea equipotencial aguas arriba, h=4.5 m En la línea equipotencial de aguas abajo, h=6.0 m Los demás contornos son líneas de flujo normal nulo

13) Otra forma habitual de flujo es el caso de un muro que sostiene un relleno con un dren vertical entre la cara interior del muro y el relleno. Si por ejemplo, la red de flujo se genera debido a una lluvia intensa la carga total sobre el relleno (en condición de flujo permanente) será igual a la altura geométrica del relleno. Para el caso del ejemplo la cabeza tiene un valor de 6.0 m. En la Figura se representa este caso.

En condiciones de saturación y considerando flujo permanente, el borde superior del relleno será una condición de borde equipotencial (f=6.0 m). La fundación del relleno es impermeable y representa una condición de borde de flujo y una pequeña línea equipotencial de cabeza cero es representada en la parte baja del dren. Las condiciones de contorno aplicadas al modelo del relleno se son:

En la línea equipotencial superior, h = 6.0 m En la línea equipotencial inferior, h = 0.0 m Los demás contornos son líneas de flujo normal nulo.

14) Un tanque cilíndrico con un agujero pequeño en su fondo está lleno de agua. Por el agujero fluye el agua bajo la influencia de la gravedad. La ecuación diferencial que expresa la profundidad como función del tiempo es:

Encontrar la relación por los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler. Datos: D=5ft, d = 2in, h= 10ft. Comparar sus resultados con la solución analítica:

15) Una barra sobresale de un satélite en un campo de radiación solar. La ecuación diferencial basada en un modelo unidimensional de conducción de calor es

Donde;

La condición inicial es que en x=3,0ft, T=637,6285 °R, y dT/dx=0. Usando los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler, encontrar la relación T(x).

16) Se usa un separador estándar de aceite para separar una mezcla de agua y aceite.

El nivel de derrame de aceite está 5ft arriba del extremo inferior de la pared de retención. Obtener la relación v(t) usando la ecuación

17) Una tira horizontal larga de madera arde en un extremo como muestra la figura.

18) El movimiento del agua sobre el terreno viene caracterizado por la ley de flujo de Darcy, que muestra cómo ésta fluye de mayor a menor nivel piezométrico:q(x,t)=-K.∇h(x,t)…………(1)El problema general de flujo difusivo (sin considerar términos de reacción ni convección) en una geometría de acuífero libre está gobernado por la siguiente ecuación en derivadas parciales:SS ∂h(x,t)/∂t=-∇.q(x,t)+r…………(2)donde los parámetros del terreno que intervienen son la recarga y el coeficiente de almacenamiento. Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene:

Dado que el dominio espacial de la variable de estado h(x,t) es unidimensional, el desarrollo del término de la divergencia ∇⋅ (∇h(x,t)) en la expresión (3) se simplifica resultando la siguiente ecuación en derivadas parciales (EDP) parabólica 1D, que gobierna el problema planteado en esta sesión:

La solución requiere dos condiciones de contorno que, para este caso, se han propuesto de tipo Dirichlet (valor de la variable pre-escrito): h(x = 0,t) = ho y h(x = L,t) = hL. Dichas condiciones de contorno y el dominio de resolución, x∈[0, L], están representados en la figura mostrada. Además, debido al carácter transitorio del problema, se necesita una condición inicial que haga referencia al estado del nivel piezométrico antes de ejecutar la excavación. En este caso, el nivel original es ho y, por tanto, la condición inicial es h(x,t = 0) = ho .

Resolver el caso mediante un esquema de diferencias finitas, este caso de EDP parabólica unidimensional.

19) Utilizando el método de los elementos finitos, para problemas unidimensionales como es el ejemplo de la Barra sometida a su propio peso y carga puntual, establecer una solución, según:

20) Establecer un esquema de solución en elementos finitos para la siguiente estructura:

21) Establecer un esquema de solución en elementos finitos para la siguiente viga, Determine la distribución de momento flector y fuerzas de corte para la solución final.

22) El equilibrio estático de un sólido puede representarse por el principio de trabajos virtuales (PTV), Malvern 1969, como:

Para el caso bidimensional, esfuerzo plano y deformación plana, el campo de deformaciones y el campo de esfuerzos

vienen dados por: σ=Dε

Donde D es la matriz constitutiva del material, dependiente del tipo de problema a resolver, y de la ecuación constitutiva del material, la cual gobierna las relaciones entre los esfuerzos y deformaciones unitarias en un material. Proponer un procedimiento en elementos finitos, utilizando PDETOOL, para la solución del problema.

23) Se tiene una zapata corrida sin carga excéntrica. La geometría del problema, las condiciones de

contorno y los materiales se muestran en las siguientes figuras. Se trata de una zapata corrida de concreto de 0,80 m de ancho por 0,15 m de peralte, con una contratrabe de 0,20 m de ancho por 0,30 m de alto. El suelo en que se apoya esta representado por una porción de terreno de 10 m de largo y 3,5 m de profundidad. En la base del suelo están impedidos los desplazamientos horizontales y verticales (se asume que a esa profundidad del suelo ya no son significativos los efectos de la zapata). En los lados solo se han impedido los desplazamientos horizontales pues se supone que en el medio tiene una gran extensión. La carga aplicada al cimiento corrido es de 12 000 Kg/m. El problema considerado es de deformación plana; tomando un espesor de 10 cm y repartiendo la carga entre el ancho de la contratrabe, se tiene que la presión aplicada (carga lineal variable) es de 60 Kg/cm. Las propiedades utilizadas para el suelo son c=0,31 Kg/cm2, y φ=12,66°. El modulo elástico considerado es de 200 Kg/cm2, y el modulo de Poisson es de 0,35. Datos que se obtuvieron de un estudio de mecánica de suelos, el cual incluyo pruebas de compresión triaxial sin consolidación ni drenaje. Establecer los

campos de esfuerzos y desplazamientos verticales. Efectuar el mismo análisis aplicando excentricidad en la carga de la zapata.

24) Resuelva por el Método de los Elementos Finitos la presa de la figura (cotas en metros), cuyo módulo elástico es E = 3.10 1010 Pa, el coeficiente de Poisson ν = 0.5 y la densidad ρ = 2656 kg/m3. La estructura está empotrada en su base, estando el lado izquierdo sometido a una presión hidrostática, tal y como indica la figura. Utilícese para su resolución elementos cuadrados de cuatro nodos con funciones de forma lineales y tenga en cuenta que se considera en tensión plana. Se pide: Calcular los desplazamientos de los nodos

considerando que la presa está únicamente sometida a presión hidrostática.

Explique y estructure cada paso seguido en la resolución.

Resolver el problema considerando también el peso propio de la presa

Analizar los resultados obtenidos.

25) Se define un muro de contención de hormigón (E=20 GPa, ν=0.3) de 20 metros de altura, 8 de base y 4 de coronación, cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. El muro se carga con una presión hidrostática procedente del peso del agua que baña la cara izquierda, de modo que en la coronación tiene valor 0 y en la base valor 2p=0.196 MPa.Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario, y una discretización de dos elementos cuadrados lineales, tal y como se describe en el dibujo, y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda, se pide: Indicar gráficamente los grados de libertad de la estructura, distinguiendo cuáles son de

desplazamientos y cuáles de fuerzas. Obtener las derivadas de las funciones de forma. Obtener la matriz de rigidez de un elemento. Obtener el vector de cargas. Obtener los desplazamientos de los nodos, y esbozar gráficamente la deformada.

26) Para el siguiente sistema hidrológico subterráneo, proponga un esquema de modelamiento, ecuaciones que describan la hidrodinámica del agua subterránea y el esquema de solución numérica que resuelva el caso.

27) Un puente es soportado por varias pilas (columnas) de concreto, cuya geometría y estado de carga se muestra en la Figura. La carga de 20 kN/m2 representa el peso del puente, junto a una sobrecarga estimada debido a transito. El peso aproximado del concreto es de 25 kN/m3 y su modulo es E = 28106 kN/m2. Deseamos analizar el estado de tensiones y deformaciones de la columna utilizando el método de diferencias finitas. La ecuación diferencia que rige el comportamiento del sistema es

Sujeta a las siguientes restricciones o condiciones de borde;

28) Resolver el sistema Masa-Resorte-Amortiguador Forzado Acoplado mostrado en la siguiente figura, usando los siguientes datos: k=8 . 10 6 N/m, m= 1 Kg., C= 10 N.s/m, f(t) = 10 u (t-1).