seminarska matematika

Универзитет „Гоце Делчев ” – Штип

Факултет за природни технички науки

Семинарска работа по предмет Математика

„Низи од реални броеви. Гранична вредност

на низи”

Проф.д-р Студент

Јордан Живановиќ Никола Михајлов

131078

Изработено: Декември 2010

Низа од реални броеви и гранична вредност на низи

Во математиката под поимот низа се подразбира секое пресликување кое за

аргумент има природен број. Формалната дефиниција е зададена на следниов начин:

Низа од елементи на множеството претставува пресликувањето:

при кое , а тоа е множеството:

Обично, наместо како на последниот начин, низата се запишува како: .

Изразот: an се вика општ член на низата.

2


1.Низа од реални броеви

Ако на секој природен број му е придружен неговиот квадрат, т.е

1→12 , 2→22 ,3→32 , .. .. n→n2 ,(n+1 )→(n+1 )2

тогаш броевите 12 , ,22 , 32 , .. . , n2 ,(n+1 )2 , .. . ја сочинуваат низата од квадратите

на природните броеви.

Дефиниција: Ако на секој природен број n=1, 2, 3, . . . по некое правило (закон)

му одговара по еден определен реален број an , тогаш за броевите

a1 , a2 , a3 ,. . .. , an . . .. . велиме дека определуваат низа од реални броеви.

Броевите a1 , a2 , a3 ,. . .. , an ,. .. . .се викаат членови на низата,а an е n -тиот член на низата

или општиот член на низата.

Пример : Дадени се низите :

а) 0, 2, 0, 2, 0, 2.... б) 0,

13

,24

,35

,46 .....

Да се одреди еден од можните изрази за општиот член на низите.

Решение : а) an=1+(−1)n б)

an=n−1n+1

Многу често членовите на една низа се задаваат со рекурентни релации од облик:

a1=c1 , an+1= f (an ), n=1,2,3 ,. .. .

3


Пример: Определи ги низите определени со рекурентните релации:

а) an+1

=an+n , a1=1б) an+2=an+an+1 ,a1=1 , a2=1

Решение: a) 1, 2, 4, 7, 11, . . . б) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .

Дефиниција:

За низата(an)велиме дека е растечка акоan<an+1 за секој n∈N .

За низата(an)велиме дека е опаднувачка ако an>an+1 за секојn∈N .

За низата (an )велиме дека е неопаднувачка ако an≤an+1 за секојn∈N .

За низата (an)велиме дека е нерастечка ако an≥an+1 за секој n∈N .

Растечките и опаднувачките низи се викаат монотони низи во строга смисла

на зборот, додека неопаднувачките и нерастечките низи – монотони во

широка смисла на зборот.

За да се утврди дали низата расте или опаѓа, наместо знакот на an−an+1 може да

се испита вредноста на количникот

an

an+1 , при што:

ако

an

an+1

<1(an>0 , an+1>0 ),тогаш низата расте

ако

an

an+1

>1(an>0 , an+1>0 ),тогаш низата опаѓа

4


Постојат низи кои не се монотони, т.е. ниту растат ниту опаѓаат.

1.1 Аритметичка прогресија

Дефиниција: Низа од броеви, такви што почнувајќи од вториот член разликата

меѓу секој член и неговиот претходник е константа, т.е. an+1−an=d за секој n∈N

се вика аритметичка низа или аритметичка прогресија.

Важи следново:

Ако d>0, тогаш од an+1−an=d следуваan+1>an , што значи дека прогресијата расте.

Ако d<0, тогашan+1<an , т.е. прогресијата опаѓа.

Ако d=0, сите членови на прогресијата се еднакви, т.е. (an) е константна низа.

Нека е дадена аритметичката прогресија : a1 , a2 , a3 ,. . .. , an , an+1 ,. . ..

Од дефиницијата за аритметичка прогресија следува :

a2−a1=a3−a2=a4−a3 , .. . , an+1−an=d ,

од каде што

a2=a1+d , a3=a2+d=a1+2d , a4=a3+d=a1+3 d

an=an−1+d=a1+(n−1 )d

Заклучуваме дека секој член на аритметичката прогресија (освен првиот) може

да се одреди според формулата:

an=a1+(n−1 )d за n=2,3,4,….

5


Пример: Кој член на аритметичка прогресија 3, 9, 15, . . . е еднаков на 117

Решение : n=1+

an−a1

d

Пример: Одреди го a17 на аритметичка прогресија чиј осми член е 8, а

разликата е −2.

Решение: Oд a8=8 , d= −2 имаме:

a8=a1+7 d=a1+7(−2)=a1−14=8 .Следува дека a1=22

a17=a1+16 d=a1+16(−2 )=a1−32=22−32=−10

Збир на првите n членови на аритметичка прогресија

Теорема: Ако аритметичката прогресија има конечен број членови, тогаш

збирот на кои било два члена што се еднакво оддалечени од крајните членови

(а1 и аn) еднаков на нивниот збир (а1+аn), т.е.

2≤k≤n−1

Доказ: ak=a1+(k−1)d , an−(k−1)=a1+(n−k )d

Добиваме: ak+an−(k−1)=a1+a1+(n−1)d=a1+an

Теорема: Секој член на аритметичка прогресија (од n членови), освен крајните,

е аритметичка средина од својот претходник и својот следбеник.

6

a1+an−(k−1)=a1+an ,


Доказ: ak−ak−1=ak+1−ak ,2≤k≤n−1 .Следува: 2 ak=ak−1+ak+1 т.е.

ak=ak−1+ak+1

2

Сега збирот на членовите на една конечна аритметичката прогресија е:

Sn=a1+a2+a3+, .. . ,+an или Sn=an+an−1+an−2+. ..+a2+a1 ,

2 Sn=(a1+an )+(a2+an−1 )+ ,. . .+(an−1+a1 )+(an+a1)

Следува Sn=

n2(a1+an )

или Sn=

n2[2 a1+(n−1)d ]

Пример: Во една аритметичка прогресија со непарен број членови средниот

член е 11, а збирот на сите членови е 77. Одреди го бројот на членови.

Решение: asr=

a1+an

2=11, Sn=

n2( a1+an )=77⇒11n⇒77⇒n=7

1.2 Геометриска Прогресија

Дефиниција: За низата броеви (an) велиме дека е геометриска низа или

геометриска прогресија ако количникот од секој нејзин член и неговиот

претходник, почнувајќи од вториот член, е константен, т.е.

an+1: an=q , за секој n∈N , при што a1≠0 , q≠0 (q е количник)

7


Следува : a2=a1q , a3=a2q=a1q2, an=an−1 q=a1 qn−1

(општ член на геом.прогресија)

Да се докаже дека ако броевите a, b и c образуваат геометриска прогресија, тогаш важи

идентитетот: (a+b+c )( a−b+c )=a2+b2+c2

Пример: Одреди четири броеви a, b, c и d,од кои првите три − a, b, c

образуваат геометиска прогресија, d=a+b+c, збирот на крајните членови е 80, а

збирот на средните членови е 60.

Решение: a ,aq , aq2и d , при што d=a+aq+aq2 , a+d=80 ,aq+aq2=60

a=10 , b=20 , c=40 , d=70 .

Пример: Дадена е геометиска прогресија од четири члена, со почетен член

a1=1 . Ако членовите на таа прогресија соодветно се зголемат за 2, 4, 5, 4 се

добива аритметичка прогресија. Одреди ги овие прогресии.

Решение: геометриска низа: aq ,aq2 , aq3

аритметичка низа:a+2, aq+4 , aq2+5 , aq3+4

Збир на првите n членови на геометриска прогресија

Теорема: Во геометриска прогресија со конечен број членови, производот на

секои два члена што се еднакво оддалечени од крајните членови (а1 и аn) е

8


еднаков на нивниот производ (а1 и аn), т.е.

ak an−(k−1)=a1an , 2≤k≤n−1

Доказ : ak=a1 qk−1 , an−(k−1)=a1 qn−k

Добиваме : ak an−(k−1)=a 1 a1qk−1qn−k=a1a1 qn−1=a1 an

Теорема: Секој член на геометриската прогресија (од n членови), освен

крајните, е геометриска средина од својот претходник и својот следбеник.

Доказ : Нека ak−1 , ak

и ak−1

се три последователни члена на геометриска прогресија.

Важи следново :

ak

ak−1

=ak+1

ak од каде што добиваме :

ak2=ak−1 ak+1 , k=2 ,. . .. n−1.

Сега, збирот на членовите на една конечна геометриска прогресија е:

Sn=a1+a2+a3+, .. .+an=a1+a1q+a1q2+. ..+a1qn−1

Ако двете страни на ова равенство ги помножиме со q:

qSn=a1 q+a1 q2+a1 q3+. ..+a1 qn

и го одземеме од претходното, добиваме:

9


(1−q ) Sn=a1(1+qn ) или

Sn=a1qn−1q−1

, q≠1

Пример: Во геометриска прогресија со непарен број членови, првиот член е 7,

средниот е 56, а збирот на сите членови е 889. Одреди го количникот.

Решение : Од asr

2 =a1 an следува :

an=asr

2

a1

=562

7,

т.е. an=448

.Ако двете страни на

равенството an=a1 qn−1

ги помножиме со q (q≠0 )

добиваме an q=a1 qn

Сега со формулата

Sn=a1qn−1q−1

=a1qn−a1

q−1=

anq−a1

q−1=448 q−7

q−1=889

,

следува : q=2

.

2.Гранична вредност на низа

Дефиниција: Ако c е даден реален број и ε е даден позитивен реален број, тогаш

интервалот (c-ε,c+ε) се вика ε-околина на бројот c.

Дефиниција: Точката a се вика точка на натрупување на низата (an), ако во секоја

нејзина ε-околина има безброј членови на низата, т.е. ако важи:

| an - a |<ε, за n> n0(ε).

Една низа може да има повеќе точки на натрупување. Така на пример, низата со

општ член :

10


а )

an=(−1)n n−1n

има две точки на натрупување : 1 и -1.

б)

an=sin( nπ2 )

има три точки на натрупување : 1,0 и -1.

Теорема: Секоја ограничена низа има барем една точка на натрупување.

На пример, низата an=

n−1n е ограничена, т.е. 0≤ an <1 за секој n∈N. Таа има само

една точка на натрупување: a=1.

Дефиниција: Бројот a се вика гранична вредност или граница на низата (an), ако за

секој произволно избран број ε>0 може да се определи број n0(ε), таков што за сите

членови на низата со индекс n>n0(ε), важи | an - a |<ε.

Тоа го запишуваме lim

n→∝ ¿an=a .

¿

Со други зборови: Точката a е точка на натрупување на низата (an), ако секоја нејзина ε-

околина содржи бесконечно многу членови на низата, а само конечно многу членови се

надвор од неа.

Пример : Да се покаже дека низата со општ член an=

n−1n има граница a=1

Решение : |an−a|=|n−1

n−1|=|−1

n|=1

n<ε

каде што ε (ε>0 ) е произволно избран број.

Добиваме : n>n0( ε )=1

ε

11


Тоа значи дека за секој број ε (ε>0 ) постои природен број n0(ε )>1

ε таков што за

сите членови на низата со индекс n>n0( ε ) важи |an−a|<ε

Конкретно ако ε=0 .1 добиваме n0(0 .1 )=10

Пример : Да се докаже дека низата 0.3,0.33,...,0.33,...3,... има граница

a=13

.

Решението е :

|an−a|=|0 .33. . .3−13|=| −1

3 x 10n|= 1

3 x 10n<ε .

и следи дека : n>n0( ε )=−log 3 ε

.

2.1.Конвергентни и дивергентни низи

Дефиниција: Низа која има гранична вредност се вика конвергентна низа.

12


Ако a е гранична вредност на низата (an), тогаш велиме дека низата конвергира кон a

или се стреми кон a.

Дефиниција: Низа која нема гранична вредност се вика дивергентна низа.

Својства на конвергентните низи:

Теорема: Ако (an) е конвергентна низа, тогаш нејзината граница е еднозначно

определена.

Теорема: Секоја конвергентна низа е ограничена.

Обратното тврдење не важи т.е. има неограничени низи што не се конвергентни.

Таква е на пример низата со општ член : an=(−1)n n

n+1.

Таа е ограничена бидејки сите нејзини точки припаѓаат на интервалот (-1,1) но не е

конвергентна бидејки има две точки на натрупување.

Теорема : Секоја монотона и ограничена низа е конвергентна.

Пример: Членовите на низата: 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . . се добиваат според

постапката за пресметување квадратен корен од 2. Тие постојано се зголемуваат, но

остануваат помали од еден број, на пример 1.5. Според тоа, оваа низа е конвергентна

со гранична вредност √2.

2.2 Некои карактеристични низи

13


Дефиниција: За низата (an) велиме дека неограничено расте (се стреми кон ∞), ако за

секој реален број M>0 постои природен број n0(M) така што n>n0(M) ⇒ an>M

Пишуваме: lim

n→∝ ¿an=¿

¿

Пример: Низата на непарните природни броеви.

Дефиниција: За низата (an) велиме дека неограничено опаѓа (се стреми кон -∞), ако

за секој реален број M<0 постои природен број n0(M) така што n>n0(M) ⇒ an<M.

Пишуваме: lim

n→∝ ¿an=−¿

¿

Пример: (-n2) : -1, -4, -9, -16, -25, . . ..

Дефиниција: За низата (an) велиме дека неограничено расте по апсолутна вредност,

ако за секој реален број M>0 постои природен број n0(M) така што n>n0(M) ⇒ | an |>M.

Пишуваме:limn→1

|an|=¿

Пример: ((-1)n2n): -1, 4, -8, 16, -32, 64, . . .

Низите чиишто членови неограничено растат се примери на т.н. бесконечно големи

величини. Наспроти нив, постојат низи чиишто гранични вредности се еднакви на 0 и

нив ги викаме бесконечно мали величини или нула - низи.

Пример : ((−1)n

n2):−1 ,

14

,−19

,1

16,− 1

25,. . .

Бројот e се јавува како основа на природните логаритми (ln - logaritmus naturalis).

Пример : Определи ја граничната вредност на низата со општ член :

14


an=2n+2−n

2n−2−n.

Решение е :

lim

n→∝ ¿2n+ 2−n

2n−2−n= lim

n→∝¿

2n

+ 1

2n

2n

− 1

2n

= lim

n→∝¿

22n

+1

2n

22 n

−1

2n

= lim

n→∝¿ 4n

+1

4n

−1

= lim

n→∝¿

4n

( 1+ 1

4n

)

4n

( 1− 1

4n

)

=

lim

n→∝¿ ( 1+ 1

4n

)

lim

n→∝¿ ( 1+ 1

4n

)

=1+ 01−0

=1¿ ¿

¿

¿

¿

¿

¿

Без доказ ке сметаме дека е точно :

limn→∝ ¿(1+ 1

n)n=e

¿

(e=2 .7182818 . .. )

2.3 Операции со конвергентни низи

Теорема : Ако (an) и (bn) се две конвергентни низи при што lim

n→∝ ¿an=a

¿ и

limn→∝ ¿b

n=b

¿

тогаш важи :

а)

limn→∝ ¿(a

n+−

bn)= lim

n→∝ ¿a

n+

−lim

n→∝ ¿b

n=a +

−b

¿

¿¿

б)

limn→∝ ¿(a

n⋅b

n)= lim

n→∝ ¿an

⋅ lim

n→∝ ¿ b

n=a⋅b

¿

¿¿

в)

lim

n→∝ ¿an

bn=

limn→∝¿a

nlim

n→∝¿b

n

=ab

,b≠0. ¿¿

¿

15


Содржина :

1.Низа од реални броеви...........................................3,4 стр

1.1.Аритметичка прогресија. Збир на првите n членови на

аритметичка прогресија...........................................5,6,7 стр

1.2 Геометриска Прогресија. Збир на првите n членови на геометриска

прогресија...................................................................7,8,9 стр

2.Гранична вредност на низа...................................10,11 стр

2.1.Конвергентни и дивергентни низи....................12 стр

2.2 Некои карактеристични низи............................13,14 стр

2.3 Операции со конвергентни низи.......................14 стр

16


Користена Литература :

www.cnx.org

www.wikipedia.org

www.ii.edu.mk

www.lavica.fesb.hr

www.gdku.edu.mk

www.etf.edu.mk

http://makedonka.files.wordpress.com

http://matematika.gf.ukim.edu.mk

17

http://matematika.gf.ukim.edu.mk/

http://makedonka.files.wordpress.com/

http://www.etf.edu.mk/

http://www.gdku.edu.mk/

http://www.lavica.fesb.hr/

http://www.ii.edu.mk/

http://www.wikipedia.org/

http://www.cnx.org/

seminarska matematika

Documents