SONLU ELEMANLAR YNTEMPROF. DR. NAZMYE YAHNOLUnazmiye@yildiz.edu.tr www.yildiz.edu.tr/~nazmiye

KAYNAKLARJ.N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, Mc Graw-Hill Int. Ed.T.R. Chandrupatla and A.D. Belegundu, Introduction to Finite Elemnts in Engineering, Prentice-Hall Int.B. Nath (ev. D. Gnay) Mhendisler iin Sonlu Elemenalr Metodunun Temelleri, Sakarya n. Matbaas, Adapazar, 1993.G.R. Buchanan, Finite Element Analsis, Schaums Outlines.

YARALANDII DERSLER Matematik I - IV Lineer CebirAnalitik geometriNmerik AnalizBilgisayar Programlama

SONLU ELEMANLAR YNTEMSonlu Elemanlar Yntemi, eitli mhendislik problemlerine kabul edilebilir bir yaklamla zm arayan bir saysal zm yntemidir.Ele alnan mhendislik probleminin zm blgesi alt blgelere ayrklatrlr ve her alt blgede aranan fonksiyonun ifadesi polinom olacak ekilde seilir. Belirli ilemler dahilinde her alt blgede polinom olarak kabul edilen zmn katsaylar belirlenmeye allr.

TARHElk kullanm 1950li yllarda naat Mhendisliinde olduYntemin temeli Ritz Teknii (1909)Etkin kullanm bilgisayar teknolojisindeki gelimeler ile mmkn olduMatematiksel fizik ve mhendisliin hemen hemen her dalndaki problemlere uygulanyor (rn. Gerilme analizi, akkanlar mekanii, s iletimi, dalga yaylm, statik ve dinamik elastisite problemeri vb.

BAZI TANIMLARMhendislik problemleri matematiksel modeliSnr deer problemiBalang deer problemizm yntemleriAnalitik zm yntemleriSaysal zm yntemleri (SEY,Snr elem.vb)zmKesin/genel/klasik zmYaklak/genellemi/zayf zm

AVANTAJLARISonlu Elemanlar Yntemi (SEY) geometrisi karmak ekillerin incelenmesine olanak salar. zm blgesi alt blgelere ayrlabilir ve deiik sonlu elemanlar kullanlabilir. Gerektiinde baz alt blgelerde daha hassas hesaplamalar yaplabilir,SEY deiik ve karmak malzeme zellikleri olan sistemlerde kolaylkla uygulanabilir. rnein, anizotropi, nonlineer, zamana bal malzeme zellikleri gibi malzeme zellikleri dikkate alnabilir,Snr koullar, sistemin temel denklemleri kurulduktan sonra, olduka basit satr stun ilemleriyle denklem sistemine dahil edilebilir,SEY matematiksel olarak genelletirilebilir ve ok sayda problemi zmek iin ayn model kullanlabilir,Yntemin hem fiziksel anlam hem de matematiksel temeli mevcuttur

DEZAVANTAJLARIBaz problemlere uygulanmasnda baz zorluklar vardr,Elde edilen sonucun doruluu verilerin doruluuna baldr,Bir bilgisayara ihtiya duyar,Kabul edilebilir doru sonucun elde edilmesi iin blgenin ayrklatrlmas deneyim gerektirir,Dier yaklak yntemlerde olduu gibi, SEY ile elde edilen sonucun doruluu zerinde de dikkat edilmeli ve fiziksel problem iyi incelenmelidir. kabilecek sonu nceden kestirilmeli ve sonu ona gre test edilmelidir

SEY LEM ADIMLARIFiziksel problemin matematiksel modeli kurulur veya hazr alnr. Ele alnan probleme ait Varyasyonel fade (Formlasyon) kurulur,zm blgesi sonlu eleman ad verilen alt blgelere ayrklatrlr. Bu ileme ayrklatrma veya sonlu eleman a (mesh) ad verilir.

AYRIKLATIRMAki boyutlu problemlerBir boyutlu problemlerAyrklatrma hatas

AYRIKLATIRMA boyutlu problemlerDm Noktas (NOD)

SEY LEM ADIMLARI (devam)Her sonlu elemanda aranan fonksiyonun ifadesi polinom olarak kabul edilir. Bu fonksiyonlar Madde 2de verilen varyasyonel ifadede yerine yazlarak, her sonlu eleman iin verilen temel denklemler cebirsel denklemlere dntrlr. rnein e. sonlu eleman iin bu cebirsel denklemler, Sa taraf (kuvvet) vektrBilinmeyenleri ieren vektrKatsaylar (Stiffness)matrisi

SEY LEM ADIMLARI (devam)Bu sisteme snr koullar uygun satr/stun ilemleriyle dahil edilerek, indirgenmi sistem bulunur. Her sonlu eleman iin ayr ayr bulunan (1.1) denklemleri uygun ekilde birletirilerek btn sisteme ait cebrik denklemler takm elde edilir.

SEY LEM ADIMLARI (devam)Madde 5de elde edilen indirgenmi sistemin zlmesiyle her bir nodda aranan byklkler bulunur.Son olarak elde edilen zm, grafik, tablo veya fotoraf (hazr paket programlar iin geerli) eklinde kullancya sunulur.

MODEL PROBLEMProblem Datas:Aranan fonksiyonun kendisinin ve trevlerinin katsay fonksiyonlarDiferansiyel denklemein inhomojen ksmProblemin tanm blgesiSnr koullar

Dzgn datal problem !!!Kesin zm

VARYASYONEL FORMLASYON: GALERKN YNTEM lem Admlar:Hata fonksiyonu elde edilir,zm blgesi zerinde hata fonksiyonunun, test/deneme fonksiyonu ile arpmnn integrali sfra eitlenir,Ksmi integrasyon yardmyla aranan fonksiyon ile test fonksiyonu arasnda trev mertebesi eitlenir,Snr koullar ksmi integrasyondan gelen terimlere uygulanr.

MODEL PROBLEMN VARYASYONEL FORMLASYONUTest fonksiyonlar homojen snr koullarn salasn,Test fonksiyonlar integrallerini anlamsz yapmasn Varyasyonel ifade