zavrsni rad

1. UVODTako dugo dok je materijal otporan na savijanje bio skup i osjetljiv na vremenske utjecaje, ili ga svijet jo nije poznavao, zidani luk je bio konstruktivni element koji se najvie koristio za premoenje, ak i malih otvora. Luk se pojavio jo u Mezopotamiji, a Etruani su prvi u Europi shvatili konstrukcijsku vrijednost luka. Rimljani su od Etruana preuzeli polukruni luk koji je primjenjivan zbog njegovih praktinih svojstava pri izvedbi, slike 1.1 i 1.2. Kod gotikih katedrala su karakteristini strmi lukovi i potpore potrebne za preuzimanje njihovih potisaka, slika 1.3. Svi ti lukovi su u statikom smislu bili upeti [1].

Slika 1.1. Dioklecijanov akvadukt; kraj III. - poetak IV.st. [1]

Slika 1.2. Konstantinov slavoluk, Rim; 312. [1]Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

1

Slika 1.3. Prva gotika katedrala St. Denis, Pariz; 1231.

Francuski inenjer Augustin Mesnager [1862.-1933.] prvi je primijenio armiranobetonske zglobove oko 1910. godine. On je unakrsnim polaganjem armature oblikovao dio u kome je, smanjivi krak izmeu elinih ipaka, bitno smanjio nosivost na savijanje, slika 1.4. To otkrie je stvorilo preduvjete za razvoj trozglobnih nosaa, odnosno trozglobnih lukova. To su statiki odreeni sustavi. Bitna im je znaajka da im je os krivocrtna. Trozglobni lukovi su relativno gipki i pod utjecajem promjena temperatura i slijeganja tla u njima se ne razvijaju visoka naprezanja na savijanje [2]. Na slici 1.5. prikazane su vrste lunih nosaa prema statikom sustavu.

Slika 1.4. Mesnager-ov zglob

Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

2

1.5. Vrste lunih nosaa

Usavravanjem tehnologije graenja trozglobnih lukova dolo se do toga da je zamijenio dotadanje upete i sline lukove. Trozglobni luk se zapoinje primjenjivati naroito kod mostova, kao statiki sustav, poetkom prologa stoljea. Ali se ubrzo odustaje od njega jer se uvidjelo da zglob u tjemenu i nije ba najbolje rjeenje. Pored primjene kod mostova, gdje je jedno odreeno vrijeme bio zanimljiv, koristi se kod izgradnje tvornikih hala, skladita, hangara za avione, itd. Na slici 1.6. dan je shematski prikaz trozglobnog luka kod mosta.

Slika 1.6. Trozglobni luk kod mosta [5]

Prvi most izraen od lijevanog eljeza iji je statiki sustav trozglobni luk prikazan je na slici 1.7.

Slika 1.7. Iron Bridge, rijeka Severn, Engleska, 1779. [4]


3

2. DEFINICIJA TROZGLOBNOG LUKATrozglobni luk predstavlja statiki odreenu konstrukciju ija je bitna znaajka da joj je os krivocrtna. Sastavljen je od dvaju diskova, koji mogu biti punostijeni ili reetkasti. Diskovi su medusobno povezani zglobom, a svaki je disk zglobno vezan i za podlogu. Najviu toku luka nazivamo tjeme luka. Leajni zglobovi mogu, ali i ne moraju biti na istoj visini. Kao konstrukcija primjenjuje se u onim situacijama gdje postoje uvjeti za dobar prihvat vertikalnih i horizontalnih sila na leajevima. Kod trozglobnih lukova uslijed djelovanja vertikalnog optereenja javljaju se i horizontalne reakcije, to nije sluaj kod greda. Karakteristika trozglobnog luka je to to u njima dominira tlana sila, dok su momenti savijanja, a samim time i progibi zanemarivi. Ova osobina omoguava izgradnju lunih konstrukcija velikih raspona od materijala koji imaju dobru otpornost na tlak, a slabu na vlak (kamen, beton, opeka, itd.). Poloaj, odnosno geometrijski oblik trozglobnog luka uvjetuje poloaj oslonaca i oblik dominantnog optereenja [3]. Opi oblik trozglobnog luka s potrebnim oznakama, prikazan je na slici 2.1.

Slika 2.1. Trozglobni luk


4

Raspon luka oznaen je s l, visina luka dana je strijelom f, dok se ukupna duljina luka oznauje s L. Kinematiku stabilnost i statiku odreenost dokazuje se za dva tijela u ravnini, lijevi i desni dio luka, vezanih sa po dvije veze u svakome zglobu A, B i C, tako da je broj stupnjeva slobode gibanja sustava u ravnini: S = nD 3 nz1 2 nL = 2 3 1 2 2 2 = 0 gdje je: S nD nL nz1 stupanj statike neodreenosti, broj diskova, broj leajnih reakcija, broj jednostrukih zglobova.

(2.1 .)

Nuan uvjet statike odreenosti je pokazan danim izrazom (2.1.). Dovoljan uvjet statike odreenosti je nepreklapanje veza, tj. zglobovi A, B i C nisu na istom pravcu [3].


5

3. PRIMJENA TROZGLOBNIH LUKOVAVrlo rasprostranjena i kroz gotovo svu graditeljsku povijest i suvremenost, za premotenje raspona, intenzivno primjenjivana nosiva struktura jesu luni nosai. Najee se primjenjuju kod hala kao krovni nosai i pogotovo kod mostova. U mostogradnji trozglobni lukovi su bili u masovnoj primjeni tijekom nekoliko prvih desetljea prologa stoljea. Meutim, nisu zaivjeli kroz due razdoblje jer se poloaj zgloba u tjemenu pokazao nepovoljnim. Raspon lukova se kree od 60 do 120 metara. Graeni su sa konstantnim poprenim presjekom, ali i uz stanjenja uz zglobove, a zadebljanja pri bokovima to prua vrlo zanimljive oblikovne iskorake. Trozglobni lukovi su vrlo povoljna rjeenja s obzirom na eliminaciju nepovoljnih dodatnih utjecaja (najee temperaturnih naprezanja) i jednostavnu mogunost reguliranja napona umetanjem prea [5]. Na slici 3.1. prikazan je most u vicarskoj preko kanjona Salgina koji je djelo slavnog graditelja Maillarta. Statiki sustav mosta je trozglobni luk raspona 90 m.

Slika 3.1. Most preko kanjona Salgina, vicarska, 1930.


6

Trozglobne lune krovne kontrukcije su ekonomine za pokrivanje srednjih i velikih raspona. Za izvoenje ovih kontrukcija je prije svega od znaaja efektivno osiguranje kontrukcije protiv izvijanja. Pouzdano prihvaanje horizontalnih komponenti leajnih reakcija kontrukcijski se mora osigurati izvoenjem odgovarajue leajne konstrukcije i temelja. Veliina horizontalnih sila moe se na pogodan nain regulirati visinom luka. Poveanje visine luka povoljno utjee na veliinu tlane sile, ali poveava beskorisnu duinu izvijanja luka. Kroz asimetrini raspored tjemenog zgloba moe se regulirati odnos reakcija leajeva. Gornji tlani pojas osiguran je najee s krovnim spregovima protiv djelovanja vjetra [6].

Slika 3.3. Tenis dvorana Makarska

U trozglobnim lukovima (i inae u svim lukovima) se u pravilu javljaju samo tlane unutarnje uzdune sile. Tek kada se spojnica rezultanti tih unutarnjih sila u svakom presjeku za djelovanja ne podudara s osi luka, pojavljuju se momenti savijanja [5]. Na slici 3.2. dan je zoran shematski prikaz tlane linije kroz dva ljudska tijela.

Slika 3.2. Shematski prikaz tlane linije kroz dva ljudska tijela [5]Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

7

Osnovni korak konstruiranja u prvom redu se svodi na optimalan odabir osi. Konstrukcijski optimalan oblik lake se postie ukoliko su promjenljiva djelovanja neznatnija u odnosu na stalna, jer tada i sumarna tlana linija neznatnije odstupa od one za stalna djelovanja. Drugo vano kontrukcijsko obiljeje lukova jest injenica da oni u osloncima prenose znatne horizontalne potiske pa zahtijevaju u tom smislu dobru nosivost tla. Trozglobni lukovi su osjetljivi na pomake, osobito zaokrete u petama pa je osobitu pozornost potrebno posvetiti pravilnom oblikovanju, dimenzioniranju i izvedbi temelja [5]. Lukovi se grade od razliitih materijala. Zbog injenice da su lukovi tlane strukture, prirodno su predodreeni na, u pravilu, jeftina gradiva dobro otporna na tlana naprezanja. To su razliite vrste prirodnog i umjetnog kamena, betona i armiranog betona. Takoer, lukovi se izvode od metala i drveta [5]. Armiranobetonski trozglobni lukovi prednost imaju u jednostavnijoj montai i izvoenju. Nakon montae mogu ostati statiki odreeni sustav ili se zglobovi mogu pretvoriti u krute veze. To omoguava eliminaciju utjecaja dodatnih optereenja uslijed montanih netonosti. Armiranobetonski trozglobni lukovi se kod krovnih konstrukcija ponekad koriste kao sastavni dio lunih vezaa. Luk formira gornji pojas nosivog sustava i povezan je sa donjim pojasom (zategom) vertikalnim ili dijagonalnim tapovima [6]. Na slikama 3.4. i 3.5. prikazani su armiranobetonski mostovi iji je statiki sustav trozglobni luk. Na slici 3.6. prikazan je armiranobetonski pjeaki most statikog sustava trozglobnog luka.


8

Slika 3.4. Twickenham most preko rijeke Temze, London; 1933.

Slika 3.5. Detalj zglobnog leaja Twickenham most preko rijeke Temze, London 1933.

Slika 3.6. Pjeaki most u Engleskoj [4]Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

9

elini trozglobni lukovi se izvode od segmenata punostijenih zavarenih, ravnih ili prostornih presjeka. Luni nosai sa ravnim ili prostornim reetkastim strukturama se sastavljaju od pojedinih tapnih elemenata i zavaruju. Lukovi se sastavljaju i povezuju na tlu i naknadno podiu [6]. Na slikama 3.7., 3.8. i 3.9. prikazani su elini mostovi statikog sustava trozglobnog luka.

Slika 3.7. Viaduc d`Austerlitz, Pariz; 1904.

Slika 3.8. Detalj pete luka na Viaduc d'Austerlitz, Pariz; 1904.


10

Slika 3.9. Pont Alexandre III, Pariz; 1896.-1900. [7]


11

Kontrukcijski drveni sustavi se izvode i kao trozglobni lukovi pri emu se horizontalne sile preuzimaju od ipkaste zatege ili leajeva. Veina svih lunih krovova se izvodi od lijepljenog lameliranog drva. Lijepljeno lamelirano drvo ima osjetno veu vrstou i krutost lunih profila od drva spojenog nekim drugim nainom [6]. Na slici 3.10. prikazana je zgrada ija se nosiva konstrukcije sastoji od trozglobnih lukova izraenih od lijepljenog lameliranog drva.

a) Vanjski izgled zgrade gimnazije

b) Detalj zglobnog leaja

c) Detalj srednjeg zgloba

Slika 3.10. Zgrada gimnazije, Anderson, Indiana [4]


12

Drveni lukovi se zbog jednostavnijeg izvoenja, po pravilu, biraju u krunom obliku. Vani sastavni dijelovi trozglobne lune konstukcije su unutarnji zglob i leajni zglobovi. Primjeri za njihovo kontrukcijsko izvoenje dani su na slici 3.11.

Slika 3.11. Primjeri konstrukcijskog izvoenja zglobova kod drvenih lukova [6]Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

13

4. PRORAUN TROZGLOBNIH LUKOVA4.1. Analitiki postupak Pri bilo kojem optereenju trozglobnog luka na osloncima se javljaju etiri nepoznate veliine. Osim tri jednadbe ravnotee koje se mogu postaviti za konstrukciju u cjelini, moe se pisati i etvrta na unutarnjem zglobu u kojem mora moment svih sila s jedne ili druge strane biti jednak nuli [3].

Slika 4.1. Reakcije trozglobnog luka

Analitikim putem reakcije oslonaca mogu se rastaviti na vertikalne komponente A0 i B0 i komponente koje se nalaze na spojnici oslonaca H1A i H1B. Iz ravnotenih uvjeta proizlazi sljedee:

M

B

=0q l 2

(4.1. )

l A0 l q l = 0 2

A0 =


14

M

A

=0q l 2

(4.2. )B0 =

l B0 l q l = 0 2

Moe se vidjeti da su vertikalne komponente A0 i B0 u osloncu trozglobnog luka iste kao i kod slobodno oslonjene grede na dva oslonca raspona l. Za odreivanje horizontalne komponente mogu se pisati jo dvije jednadbe:

H = 0H1A cos H1B cos H1A = H1B

(4.3 .)

M

L C

=0L MC hC

(4.4 .)

A H1 cos =

Horizontalna sila H se javlja iz razloga to oslonci sprjeavaju nosivu konstrukciju da se isprui. Ova sila povoljno djeluje u smislu smanjivanja momenta savijanja grede na mjestu x: Mx = A0 x q x2 HA y 2 (4.5 .) (4.6 .)

0 Mx = Mx H h(x)

gdje je: H0 Mx

A - horizontalna komponenta sila H1A i H1B, H = H1 cos ,

- moment savijanja ekvivalentne slobodno oslonjene grede na dva

oslonca,H h(x) - predstavlja afini lik, uvjetovan oblikom osi luka i horizontalnom silom luka.


15

Pri odreivanju unutarnjih sila u svakoj toki presjeka mijenjaju se sin i cos, gdje je kut nagiba tangente na mjestu poprenog presjeka u odnosu na horizontalu. Na slici 4.2. prikazane su unutarnje sile kod trozglobnog luka.

Slika 4.2. Unutarnje sile: a) lijevo; b) desno od unutarnjeg zgloba

T = T0 cos N0 sin

N = T0 sin N0 cos

(4.7 .)

T = T0 cos + N0 sin

N = T0 sin N0 cos

(4.8 .)

odnosno:Tx = Tx0 cosx + H1 sin( x ) Nx = Tx0 sinx + H1 cos( x ) (4.9.) (4.10. )

Na slici 4.3. prikazan je kvalitativni izgled dijagrama unutarnjih sila kod trozglobnog luka ija os prati krunicu.


16

Slika 4.3. Trozglobni luk: a) vertikalno optereenje; b) dijagram momenta savijanja, M ; c) dijagram poprenih sila T ; d) dijagram uzdunih sila N [3]x x x


17

Izbor osi trozglobnog luka Oblik osi luka utjee na veliinu momenta savijanja M i poprene sile T. Optimalnim odabirom osi trozglobnog luka mogue je postii smanjenje momenata savijanja i poprenih sila do te mjere da oni postaju nula. Uobiajeno je da kod trozglobnih lukova dominira optereenje vlastitom teinom. Stoga se oblik osi luka bira tako da momenti za dominantno optereenje budu u svim presjecima jednaki nuli. Tada je poloaj osi dan izrazom: h( x) =0 Mx H

(4.11)

Oblik osi luka je afin dijagramu momenata na slobodno oslonjenoj gredi na dva oslonca. U luku se javljaju sljedee unutarnje sile:

Mx=0, Tx=0, Nx = Tx0 sin + H1 cos( x )

(4.1 2)

U luku se javljaju samo uzdune tlane sile. Rezultanta unutarnjih sila uvijek prolazi kroz os presjeka. Ovaj sluaj optereenja odgovara obrnutoj lananici. Svejedno je gdje se nalazi srednji zglob, da li je luk trozglobni, dvozglobni, jednozglobni ili potpuno upet. Idealni oblik luka za konstantno raspodijeljeno vertikalno optereenje je kvadratna parabola, a ako je optereenje linearna funkcija, idealni oblik osi luka je kubna parabola i tako redom [3]. Promotriti emo simetrini parabolini trozglobni luk koji je optereen sa simetrinim jednolikim vertikalnim optereenjem iznosa q, koje je idealno optereenje za zadani oblik osi luka i asimetrino jednolikog iznosa p, kako je prikazano na slici 4.4. Kod simetrinih uspravnih djelovanja parabolini trozglobni luk dominantno prenosi sile putem uzdunih sila, a sporedno putem momenata savijanja i poprenih sila. Posebno u sluaju jednolikog optereenja momenti savijanja i poprene sile su nula. U sluaju antisimetrinih djelovanja trozglobni luk djeluje slino slobodno oslonjenoj gredi na dva oslonca gdje se pojavljuju momenti savijanja i poprene sile, dok zakrivljeni oblik osi donosi i uzdune sile.Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

18

Slika 4.4. Parabolini trozglobni luk [3]Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

19

4.2. Grafiki postupak Kako su oba leaja nepomina, poznate su samo toke u kojima djeluju reakcije, ali nisu poznate vrijednosti i pravci djelovanja. Prema tome, nepoznate su etiri veliine. Za poetak je dan primjer rjeavanja reakcija trozglobnog luka koji je optereen na samo jednom disku. Recimo da je optereen samo lijevi disk silom P, kao to je prikazano na slici 4.5.

Slika 4.5. Trozglobni luk optereen sa jednom silom [7]

Pravac na kojem djeluje jedna reakcija odrediti e se iz uvjeta ravnotee desnoga diska koji nije optereen. Na njega djeluju dvije sile, reakcija B u desnom leaju i unutarnja sila C u srednjem zglobu, kao to je to prikazano na slici 4.6. Da bi te dvije sile bile u ravnotei moraju djelovati na istom pravcu i imati iste vrijednosti, ali suprotnih predznaka. Pravac djelovanja reakcije B odreen je iz uvjeta da sile B i C moraju djelovati na istom pravcu. On mora proi kroz leaj B i zglob C. Sada je zadatak sveden na uravnoteenje triju sila od kojih sili P znamo pravac djelovanja i vrijednost, a sili B znamo samo pravac djelovanja (slika 4.6.). Ravnotea je mogua ako pravci djelovanja sve tri sile u planu poloaja prolaze istom tokom. S tim smo odredili pravac djelovanja sile A, koji mora proi sjecitem pravaca djelovanja sila P i B. Intenzitet djelovanja sila A i B e se odrediti iz uvjeta da trokut sila, u planu sila, mora biti zatvoren i da sile imaju isti smjer obilaenja [7].


20

Slika 4.6. Grafiki postupak odreivanja reakcija [7]

Kada su poznate reakcije mogu se odrediti sile u bilo kojem presjeku. Zamiljenim presjekom odvaja se dio nosaa pa unutarnje sile u presjeku moraju biti u ravnotei sa svim silama koje djeluju na promatrani dio. U prikazanom primjeru na dio lijevo od presjeka djeluje samo reakcija A, a za dio desno od presjeka treba se odrediti rezultanta zadane sile P i reakcije B (slika 4.7.). Navedena rezultanta ima istu vrijednost i pravac kao sila A, ali suprotnog predznaka. Intenzitet momenta savijanja M1 jednak je umnoku intenziteta rezultante koja djeluje na promatrani dio i udaljenosti d1 pravca njena djelovanja od teita presjeka, koja se jednostavno oitava.

Slika 4.7. Grafiki postupak odreivanja unutarnjih sila [7]


21

Ako vie sila djeluje na jedan disk postupak izrauna reakcija je identian jer sila P moe biti i rezultanta vie sila. Sada e se prikazati nain odreivanja reakcija grafikim putem ako sile djeluju na oba diska trozglobnog nosaa, kao to je prikazano na slici 4.8.

Slika 4.8. Trozglobni luk optereen na oba diska

Neka su sile R1 i R2 rezultante tih sila. U tim su silama obuhvaene i teine diskova. Postupak se provodi slino kao i kod trozglobnih sustava koji su optereeni samo na jednom disku. Prvo se uzima da na sustav djeluje samo sila R1, a desni disk je neoptereen, kao to je prikazano na slici 4.9.

Slika 4.9. Trozglobni luk gdje djeluje samo sila R1

Pri odreivanju reakcija u osloncima, kao to se vidi na slici 4.10., pretpostavlja se da su zglobovi uklonjeni, a njihovo djelovanje zamjenjuje se odgovarajuim reakcijama. U tom sluaju na desni disk djeluju dvije sile: vanjska reakcija B1 u desnom leaju i unutarnja reakcija C1 u srednjem zglobu. Te su dvije sile u ravnotei. Na lijevi disk djeluju tri sile: vanjska sila R1, kojoj je poznat pravac, smjer i intenzitet, reakcija lijevog leaja A1 i unutarnja reakcija C1 u srednjem zglobu, kojoj je poznat samo njezin pravac [8].


22

Slika 4.10. Reakcije trozglobnog luka kad sile djeluju samo na lijevi disk

Sile A1, C1 i R1 se nalaze u ravnotei i zbog toga se njihovi pravci djelovanja moraju sjei u jednoj toki i to u sjecitu sila R1 i C1. Time je odreen pravac djelovanja reakcije A1, pa se pomou izraza

u u u r u u r r A1 + R1 + C1 = 0

(4.11. )

dobije veliina i smjer sila A1 i C1. Zatim se pretpostavlja da je samo desni disk optereen silom R2, slika 4.11.

Slika 4.11. Trozglobni luk gdje djeluje samo sila R2

Analognim postupkom, kao da je samo lijevi disk optereen, dobiju se reakcije A2, C2 i B2, kao to se vidi na slici 4.12.


23

Slika 4.12. Reakcija trozglobnog luka kad sile djeluju samo na desni disk

Superpozicijom prvog i drugog stanja optereenja dobivamo stvarno optereenje zadanog nosaa, pa prema tome i reakcije u zglobovima A, B i C. Na taj nain dobiju se rezultantne reakcije u leajevima vektorskim zbrajanjem komponenata A1 i A2 s jedne strane, i B1 i B2 s druge strane, to daje traene reakcije A i B, kao na slici 4.13. Na taj nain moe se odrediti i sila C u srednjem zglobu, slika 4.14.

Slika 4.13. Odreivanje rezultantnih reakcija u leajevima

Slika 4.14. Odreivanje sile C u srednjem zglobu


24

Slika 4.15. Stvarna djelovanja trozglobnog luka

Da je metoda superpozicije u tom sluaju opravdana, moe se vidjeti iz sljedeeg razmatranja. U prvom stanju optereenja lijevi disk je u ravnotei pod djelovanjem sila A1, R1 i C1. U drugom stanju optereenja ona je u ravnotei pod djelovanjem vanjske reakcije A2 i unutarnje reakcije C2. Superponirati oba stanja optereenja za lijevi disk isto je to i dodati oba navedena sustava sila, od kojih je svaki za sebe jednak nuli,to znai da je rezultantni sustav sila jednak nuli. Prema tome, lijevi disk e biti u ravnotei u stvarnom stanju optereenja [8]. To vrijedi i za desni disk.


25

4.3. Princip superpozicije Kada na trozglobne lukove djeluju samo vertikalna optereenja mogue je momentni dijagram odrediti i principom superpozicije. Nedostatak ovog postupka je u tome to moe biti manje toan (manji broj znamenaka iza decimalnog zareza u vrijednostima momenta), ali tako nacrtani dijagram moe posluiti za laku i brzu kontrolu tonijega analitikog postupka. Pokazati e se da se momentni dijagram ovim postupkom moe nacrtati uvoenjem zamjenjujue grede [7]. Postupak se temelji na tome da se slobodno oslonjena greda na dva oslonca optereti istim optereenjem kao i trozglobni luk, kako je prikazano na slici 4.15.

Slika 4.15. Prikaz zamjenjujue grede [7]

Slobodno oslonjena greda na dva oslonca je istoga raspona kao trozglobni luk i sile djeluju u tokama s istim apscisama. Kao optereenje mogu biti zadani koncentrirani i distribuirani momenti. Naime, dijagram momenata savijanja na trozglobnom nosau za zadano optereenje nacrtati e se superponirajui momentni dijagram M0 na zamjenjujuoj gredi i dijagram momenata na trozglobnom nosau zbog komponente reakcija na spojnici leaja (slika 4.16.). Pritom taj drugi dijagram, MH, ne crtamo na osi nosaa, nego na njezinoj projekciji na horizontalnu os i to tako da ga preklopimo preko dijagrama M0 (slika 4.16.) [7].


26

Slika 4.16. Dijagrami M0 i MH [7]

Preklapanje dijagrama omoguava grafiko oduzimanje. Konane vrijednosti momenata savijanja oitati e se po ordinatama od krivulje dijagrama MH do krivulje dijagrama M0; drugim rijeima, krivulju dijagrama MH smatramo nultom linijom konanog dijagrama. Na kraju se crta konani dijagram na osi nosaa nanosei vrijednosti momenata okomito na nju (slika 4.17.) [7].

Slika 4.17. Momentni dijagram dobiven principom superpozicije [7]Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

27

5. NUMERIKI PRIMJERI5.1. Primjer 1 Zadan je trozglobni luk raspona 10 m i visine 3 m optereen s tri koncentrirane sile i koncentriranim momentom savijanja, slika 5.1. Potrebno je prvo proraunati reakcije na leajevima i sile u srednjem zglobu analitikim i grafikim postupkom. Nakon toga, potrebno je proraunati unutarnje sile u nosau te prikazati dijagrame unutarnjih sila

Slika 5.1. Statiki sustav


28

a) Odreivanje reakcija na leajevima i sila u srednjem zglobu analitikim postupkom Statiki sustav:

Podsustav I i II:

MI +II

2

=0

A 10 10 2,14 + 25 7+ 25 3+ 30 = 0 A = 25,86kN

MI + II

1

=0

C 10 + 30 25 7 25 3 10 2,14 = 0 C =24,14kNKontrola:

F = 0I + II y

25,84 +24,14 25 25= 0 Tijelo I:

MI

3

=0

25,86 5 + B 3 + 10 0,85 + 25 2 = 0 B =23,6kN


29

F = 0y I

25,86 25 F = 0 F = 0,86kN

F = 0x I

10+ 23,6 E = 0 E = 33,6kNTijelo II:

MII

3

=0

30 25 2 + 24,14 5 D 3 = 0 D = 33,6kNKontrole:

F = 0x II

33,6+ 33,6= 0

F = 0y II

24,14+ 25 0,86 0 =

Skica stvarnih djelovanja:


30

b) Odreivanje reakcija i sila u srednjem zglobu grafikim postupkom

5.2. Statiki sustav

Odreivanje rezultante sila za lijevi disk:

Reakcije za sluaj kada je optereen samo lijevi disk:

Odreivanje rezultante sila za desni disk:Zavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

31

Reakcije za sluaj kada je optereen samo desni disk:

Odreivanje ukupnih reakcija


32

Odreivanje sile u srednjem zglobu

Skica stvarnih djelovanja


33

c) Odreivanje unutarnjih sila Unutarnje sile odreene su koritenjem kompjuterskog programa SAP


Slika 5.3. Dijagrami unutarnjih sila


34

5.2. Primjer 2 Zadan je trozglobni luk raspona 12 m i visine 4 m i optereen je sa dvije koncentrirane sile te dva tipa kontinuiranog optereenja, kako je prikazano na slici 5.4. Za prikazani sustav potrebno je proraunati reakcije, sile u unutarnjem zglobu te unutarnje sile koritenjem kompjuterskog programa SAP.




35




36

Slika 5.8. Deformacija trozglobnog luka od zadanog optereenja


37

5.3. Primjer 3 U ovom primjeru analiziran je odnos optereenja i geometrije trozglobnog luka. Razmatran je trozglobni luk raspona l=200 m optereen kontinuiranim optereenjem q= 80 kN/m. Statiki sustav prikazan je na sljedeoj slici:

Varirana je visina luka h prema sljedeoj tablici: SLUAJ VISINA h [m] 1 40 2 50 3 60 4 70 5 80

Proraun reakcija i unutarnjih sila je proveden pomou kompjuterskog programa SAP.


38

Sluaj 1.

h=40 m, l=200m, q=80 kN/m




39

Slika 5.11. Reakcije u trozglobnom luku


40

Sluaj 2.

h=50 m, l=200m, q=80 kN/m




41

Slika 5.14. Reakcije u trzglobnom luku


42

Sluaj 3.

h=60 m, l=200m, q=80 kN/m




43



44

Sluaj 4.

h=70 m, l=200m, q=80 kN/m




45



46

Sluaj 5. h=80 m, l=200 m, q=80 kN/m


Slika 5.22. Dijagrami unutarnjih silaZavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

47


Iz provedene analize moe se vidjeti da se poveanjem visine trozglobnog luka uz konstantan raspon i optereenje poveavaju momenti savijanja i poprene sile u nosau, dok se uzdune sile smanjuju. Odnosi promjene visine i unutarnjih sila prikazani su na slikama 5.24., 5.25. i 5.26.

Slika 5.24. Odnos promjene visine trozglobnog luka h i momenta savijanja M


48

Slika 5.25. Odnos promjene visine trozglobnog luka h i poprene sile T

Slika 5.26. Odnos promjene visine trozglobnog luka h i uzdune sile N


49

5.4. Primjer 4 Oblik osi luka vrlo je vaan za raspodjelu unutarnjih sila u trozglobnom luku. Na sljedeem primjeru analiziran je utjecaj oblika osi luka na raspodjelu unutarnjih sila. Razmatran je trozglobni luk raspona l=100 m, visine h=50 m i optereen vertikalnim kontinuiranim optereenjem q=80 kN/m.

Potrebno je odrediti reakcije i unutarnje sile u trozglobnom luku za dva sluaja:2 a) Os luka je krunica sa jednadbom: ( x 50) + y2 = 502

b) Os luka je kvadratna parabola sa jednadbom: 0,02x2 + 2x = y


50

Sluaj 1h=50 m, l=100 m, q=80 kN/m, os trozglobnog luka je krunica sa jednadbom:2 ( x 50) 2 + y2 = 50




51

Slika 5.29. Dijagrami unutarnjih silaZavrni rad: Trozglobni luk Kolegij: Mehanika 1 Izradio: Daniel Skoibui, 0082037450

52

Sluaj 2.h=50 m, l=100 m, q=80 kN/m, os trozglobnog luka je kvadratna parabola sa jednadbom: 0,02x2 + 2x = y




53



54

U oba analizirana sluaja razmatran je trozglobni luk jednakog raspona i optereen jednakim kontinuiranim optereenjem, ali sa razliitim oblicima osi luka. Iz dobivenih dijagrama unutarnjih sila moe se vidjeti da je u sluaju trozglobnog luka sa osi luka koja prati kvadratnu parabolu (sluaj 2) dobivena znatno povoljnija raspodjela unutarnjih sila. Tako je u ovom sluaju dobiveno da su momenti savijanja i poprene sile jednaki nula. U ovom nosau se javljaju samo tlane sile, za razliku od trozglobnog luka ija os prati krunicu gdje se za isto optereenje javljaju sve tri komponente unutarnjih sila. Ovim primjerom je pokazana vanost odabira osi trozglobnog luka.


55

6. ZAKLJUAKTrozglobni lukovi su vrlo vani nosivi sustavi koji se koriste u razliitim tipovima konstrukcija, kao to su na primjer mostovi, tvornike hale, skladita, hangari za avione, itd. Izrauju se od armiranog betona, elika, drveta. U ovom radu navedeni su primjeri primjene trozglobnih lukova izraenih od razliitih vrsta materijala i za razliite namjene. Trozglobni lukovi su statiki odreene kontrukcije. Sastavljeni su od dva diska koji mogu biti punostijeni ili reetkasti. Diskovi su meusobno povezani zglobom, a svaki disk je zglobno vezan za podlogu. Kao konstrukcija trozglobni lukovi se primjenjuju u onim situacijama gdje postoje uvjeti za dobar prihvat vertikalnih i horizontalnih sila na leajevima. Kod trozglobnih lukova uslijed djelovanja vertikalnog optereenja javljaju se i horizontalne reakcije, to nije sluaj kod greda. Karakteristika trozglobnog luka je to to u njima dominira tlana sila, dok su momenti savijanja, a samim time i progibi zanemarivi. Ova osobina omoguava izgradnju lunih konstrukcija velikih raspona od materijala koji imaju dobru otpornost na tlak, a slabu na vlak (kamen, beton, opeka, itd.). Os trozglobnog lika je krivocrtna. Oblik osi luka vrlo je bitan kod raspodjele unutarnjih sila. Kod trozglobnih lukova je uobiajeno da dominira optereenje vlastitom teinom. Zato se oblik osi luka bira tako da momenti za dominantno optereenje budu u svim presjecima jednaki nuli. Idealni oblik luka za jednoliko kontinurano optereenje je kvadratna parabola, a ako je optereenje linearna funkcija, idealni oblik luka je kubna parabola. Kod simetrinog kontinuiranog optereenja parabolini trozglobni luk dominantno prenosi sile putem uzdunih sila, a sporedno putem momenata savijanja i poprenih sila. Posebno u sluaju jednolikog kontinuiranog opterenja momenti savijanja i poprene sile jednaki su nula. U sluaju antisimetrinih djelovanja trozglobni luk djeluje slino slobodno oslonjenoj gredi na dva oslonca gdje se pojavljuju momenti savijanja i poprene sile, dok zakrivljeni oblik osi donosi i uzdune sile. U radu je prikazan proraun trozglobnih lukova analitikim i grafikim postupkom. Rijeena su etiri numerika primjera. U prvom primjeru proraunate su reakcije i sile u srednjem zglobu trozglobnog luka analitikim i grafikim postupkom. U drugom primjeru proveden je proraun trozglobnog luka optereenog razliitim tipovima optereenja koritenjem kompjuterskog programa SAP.


56

Analiza utjecaja visine trozglobnog luka i veliine unutarnjih sila, to je prikazano u treem primjeru, provedena je na nain da je razmatrano pet sluajeva u kojima je raspon luka i intenzitet optereenja bio konstantan, a varirala se visina luka. Za svaki analizirani sluaj proraunate su reakcije i prikazani dijagrami unutarnjih sila. Na temelju ovih analiza moe se zakljuiti da se poveanjem visine luka poveavaju momenti savijanja i poprene sile, a smanjuje tlana sila, to je ilustrirano dijagramima odnosa visine luka i unutarnjih sila. Takoer, u radu je analiziran utjecaj tipa krivulje luka na raspodjelu unutarnjih sila, to je prikazano u etvrtom primjeru. Razmatran je sluaj kada je os luka krunica i sluaj kada je os luka kvadratna parabola. Trozglobni luk je u oba sluaja bio jednakog raspona i optereen istim jednolikim kontinuiranim optereenjem. Pokazano je da se u sluaju trozglobnog luka, ija je os kvadratna parabola, optereenje prenosi iskljuivo preko tlanih sila, dok su momenti savijanja i poprene sile jednaki nuli to potvruje ve ranije spomenutu vanost odabira osi trozglobnog luka.


57

7. LITERATURA[1] www.wikipedija.com [2] Salvadori, M.: Nosive konstrukcije u arhitekturi, UPI-2M, Zagreb, 1995. [3] Mihanovi, Trogrli: Graevna statika I [4] nisee.berkeley.edu [5] Radi, J.: Mostovi, Dom i svijet, Zagreb, 2002. [6] Mittag, M.: Graevinske konstrukcije, Graevinska knjiga, Beograd, 2003. [7] http://www.grad.hr/nastava/gs/bilj1/index.html [8] Bazjanac, D.: Tehnika mehanika Statika, Tehnika knjiga, Zagreb, 1963. [9] SAP2000 10


58

zavrsni rad

Documents