Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем...
DESCRIPTION
Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики. Мотив введения обыкновенных дробей. Не хватает чисел для выполнения простейших вычислений. Натуральные числа и число 0. Определение обыкновенной дроби. Основное свойство дроби. Равные обыкновенные дроби. Сравнение дробей. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Место темы Место темы «Обыкновенные дроби» «Обыкновенные дроби» среди других тем курса среди других тем курса
математикиматематики
Натуральные числа и число 0
Мотив введения
обыкновенных дробей
Не хватает чисел для выполнения
простейших вычислений
Определение обыкновенной дроби
Основное свойство дроби
Равные обыкновенные
дроби
Сравнение дробей
Сократимые дроби
Несократимые дроби
Способы доказательства
равенства дробей
Изображение на координатной
прямой
Действия с обыкновенными дробями
Действия со смешанными числами
Перевод в де-сятичную дробь Умножение Деление Сложение Вычитание
Нахож
дени
е
части
от
чи
сл
а
Разн
ые
способ
ы
ум
нож
ени
я
Законы
Нахож
дени
е
чи
сл
а п
о е
го
части
Распр
ед
ел
и-
тел
ьны
й
закон
Законы
сл
ож
ени
я
Рац
ионал
ьн
ые п
ри
ем
ы
вы
чи
тани
я
Рациональные числа
⅓⅓
⅔⅔⅛⅛
ООббыыккннооввеенннныыее ддррооббии
ООббыыккннооввеенннныыее ддррооббии
Итоговый урок по темеИтоговый урок по теме
⅝⅝⅜⅜
2
История История вопросавопроса
В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах...
13
...!?
Но с развитием Но с развитием цивилизациицивилизации
человеку человеку потребовались потребовались всё большие и всё большие и большие числа...большие числа...
35835810241024106620100
10100
Процесс этот Процесс этот продолжался продолжался
несколько столетийнесколько столетий
и потребовал и потребовал большого большого
умственного трудаумственного труда
С зарождением обменаС зарождением обмена
>><<??==??
Действия над числамиДействия над числами
==??
Развитие наукиРазвитие наукиВозникновению и развитию
науки арифметикиарифметики способствовало её
практическое применениемореплаваниемореплаваниеторговляторговлястроительствостроительство
Много вековМного вековв арифметике имели дело с относительно небольшими числами.Например, в системе счисления Древней Греции самыми боль-шим числом, которое имело название, была «мириада» - 10000.
Долгое времяДолгое время
для записи чисел люди для записи чисел люди пользовались только пользовались только
целыми числамицелыми числами
104104 2672675385388754
8754 970970
Но числа бывают и...Но числа бывают и...
дробными,дробными,
то есть то есть неполныминеполными
151577
8833
2211
Обыкновенной Обыкновенной дробьюдробью
называется
часть единицычасть единицыили несколько частей или несколько частей единицыединицы
22112211
44114411
4433
Название долей Название долей зависитзависит
от того, на сколько равных от того, на сколько равных частей разделена единица частей разделена единица
(предмет, фигура)(предмет, фигура)
44114411
8811
Пять шестых
Одна шестая
1166
5566
ОпределениеОпределение
ррппрп Число, показывающее, на
сколько долей разделена единица (целое),
называется знаменателем дроби
Число, показывающее количество взятых долей,
называется
числителем дроби
Если числитель меньше знаменателя (p < n), то
дробь называется
правильнойправильной
Если числитель не меньше знаменателя (p ≥ n), то
дробь называется
неправильнойнеправильной
Здесь p – целое число, n – натуральное число
Смешанное числоСмешанное число
Запись вида
np
a называется
смешанным числомсмешанным числом ,
где aa – целая часть, - дробная часть – целая часть, - дробная частьnp
Выделение целой Выделение целой части из части из
неправильной дробинеправильной дробиПусть дробь неправильная. n
b
b : n = a (остаток p)
nb
=
a
aa
p
pp
n
nn
Всякую дробь можно Всякую дробь можно отобразить на числовом отобразить на числовом
лучелуче
О 1
Х
Луч с заданным единичным отрезком называют числовымчисловым
О 1
Х
2 3 4
A P
Единичный отрезок
Р(3)Р(3)
AA((11))
Координата точки P равна 3
Координатный лучКоординатный луч
- второе название числового - второе название числового лучалуча
Отображение Отображение обыкновенных дробей на обыкновенных дробей на
числовом лучечисловом луче
О 1
ХA
Чтобы отобразить на числовом луче дробное число, единичный отрезок делят на части
6622
6655
3311
2211
Отображение Отображение обыкновенных дробей на обыкновенных дробей на
числовом лучечисловом луче
О 1
Х
2
6688
66
1111
3344
=331111
С помощью С помощью числового числового
(координатного) (координатного) лучалуча
можноможно
сравнивать дробные числасравнивать дробные числа
np
qt
>><<==?? выполнять выполнять
арифметические действияарифметические действия
++сложенисложени
ее
––вычитаниевычитание
××умножениумножени
ее
::делениеделение
Сравнение дробейСравнение дробейСравнение дробей выполняется Сравнение дробей выполняется по правилу:по правилу:
если числам соответствует одна и та если числам соответствует одна и та же точка числового луча, то числа же точка числового луча, то числа считаются равнымисчитаются равными
О 1
Х6622
3311
6622
==3311
Сравнение дробейСравнение дробейТеоремаТеорема
Для того чтобы две дроби были равны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство натуральных чисел.
п
pp==
q
tt, , еслиесли pq = ntpq = nt
Эквивалентные Эквивалентные дробидроби
Две дроби
п
pp
q
ttи
называются эквивалентнымиэквивалентнымикогда они выражают длину одного и того же отрезка
,
Несократимые Несократимые дробидроби
Если числитель и знаменатель дроби
п
pp
числа взаимно простые*, то дробь называется
несократимойнесократимой
* - взаимно простыми называются числа, не имеющие общего делителя
Несократимые Несократимые дробидроби
ТеоремаТеоремаДля любого положительного
рационального числа (т.е. для множества эквивалентных
дробей) найдется одна и только одна представляющая его
дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты.
Сравнение дробейСравнение дробейСравнение дробей выполняется Сравнение дробей выполняется по правилу:по правилу:
на числовом луче большему из двух на числовом луче большему из двух чисел соответствует точка, расположенная чисел соответствует точка, расположенная правееправее
О 1
ХA
3311
6655
6655
>>3311
Основное свойство Основное свойство дробидроби
Величина дроби не изменится, если её числитель и
знаменатель одновременно умножить (разделить) на одно и то же число, не равное нулю.
п
pp
n · a
p p ·· a a==
a ≠ 0a ≠ 0
п
pp
n :a
p p : : aa==
Арифметические Арифметические действия с дробямидействия с дробями
СложениеСложение
пп
pp++
пп
tt==
nn
pp ++ tt
ВычитаниеВычитание
────
n ≠ 0n ≠ 0
Арифметические Арифметические действия с дробямидействия с дробями
УмножениеУмножение
пп
pp··
tt==
nn
pp
··tt
ДелениеДеление
::
n ≠ 0n ≠ 0; ; q ≠ 0q ≠ 0
n ≠ 0n ≠ 0; ; q ≠ 0; t q ≠ 0; t ≠ ≠ 00
tt
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Дроби с одинаковыми Дроби с одинаковыми знаменателямизнаменателями
88
33
88
11==
88
33 11++ ++ ==
88
44==
22
11
Числители дробей складываютсяЧислители дробей складываются
Знаменатели остаются без изменения!Знаменатели остаются без изменения!
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями
++8833
118811
22 ==8833
22++ ++(( 11))8811
++ ==
== 338844 ==33
2211
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями
++8855
118855
22 ==8855
22++ ++(( 11))8855
++ ==
==33881100 ==44
4411
При получении в сумме неправильной При получении в сумме неправильной дроби из неё всегда выделяется целая дроби из неё всегда выделяется целая
частьчасть
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями
44
11
88
33++ ==????
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей
Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями
О 1
Х
О 1
Х
О 1
Х88
55
88
55
44
11
88
33++ ==????
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробейДроби с одинаковыми Дроби с одинаковыми
знаменателямизнаменателями
88
33
88
11==
88
33 11–– –– ==
88
22==
44
11
Из числителя уменьшаемого вычитается Из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемогочислитель вычитаемого
Знаменатели остаются без изменения!Знаменатели остаются без изменения!
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей
Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями
––8855
558822
22 ==
8855
55 ––
++
(( 22))
8822––
++
==338833
При невозможности выполнить вычитание дробных частей При невозможности выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел одну единицу целой части уменьшаемого смешанных чисел одну единицу целой части уменьшаемого
дробят и «присоединяют» к его дробной частидробят и «присоединяют» к его дробной части
(( ))
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей
Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями
88
77
44
11==
88
77 22–– ––
==88
55
88
77
88
22–– ==
Перед началом выполнения действия с дробями, Перед началом выполнения действия с дробями, имеющими разные знаменатели, необходимо имеющими разные знаменатели, необходимо
выполнить приведение дробей к одному знаменателювыполнить приведение дробей к одному знаменателю
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей
Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями
О 1
ХО 1
Х
О 1
Х88
33
88
33
88
55
44
11–– ==????
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на умножение дробейумножение дробей
88
55
33
22==
88
55 22·· ·· ==
2424
1010==
1122
55
Числители дробей перемножаютсяЧислители дробей перемножаются
Знаменатели дробей перемножаютсяЗнаменатели дробей перемножаются
Первое произведение делится на второеПервое произведение делится на второе
33··
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на умножение дробейумножение дробей
==88
5522··
88
55 22·· ==88
1010==
Умножение дроби на натуральное Умножение дроби на натуральное числочисло
nn
ррtt ==
nnpp tt
·· ··
44
1111
В этом случае достаточно умножить числитель на В этом случае достаточно умножить числитель на натуральное число и поделить произведение на знаменательнатуральное число и поделить произведение на знаменатель
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей
==88
5522::
88
55
22··==
16161616
5555
Деление дроби на натуральное Деление дроби на натуральное числочисло
nn
ррtt ==
nnnnpp
tt::
··
В этом случае достаточно умножить знаменатель на В этом случае достаточно умножить знаменатель на натуральное число и поделить числитель на произведениенатуральное число и поделить числитель на произведение
Взаимно обратные Взаимно обратные дробидроби
Дроби Дроби называются называются
взаимно взаимно обратными, обратными,
если их если их произведенипроизведени
е равно е равно единицеединице
nn
рр··
pp
nn==11
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей
Деление дроби на дробьДеление дроби на дробь
==
В этом случае достаточно заменить деление дробей В этом случае достаточно заменить деление дробей умножением делимого на дробь, обратную делителюумножением делимого на дробь, обратную делителю
nn
рр::
tt
nn
рр··
tt
tt
qq::
Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей
Деление дроби на дробьДеление дроби на дробь
==55
11::
44
33
55
11··
33
44
44
33:: ==
1155
44
Желающие могут Желающие могут проверить свои знания проверить свои знания
арифметических арифметических действий с действий с
обыкновенными дробямиобыкновенными дробями