Software para análisis matemático

  

 

 

El proyecto Descartes es una experiencia del CNICE, antes PNTIC (Programa de Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación) del MEC que nace en 1998, basado en una aplicación de José Luis Abreu, el autor de los programas Calcula y Cónicas, llamada Descartes y que permite generar materiales interactivos de carácter visual y dinámico, compatible con el lenguaje HTML, y por tanto utilizables en Internet, utilizando applet de JAVA.  

Descartes   introduce como novedad  la   facilidad  para  la  confección de  las  escenas,  a  modo de pizarras electrónicas interactivas y dinámicas, y su inclusión en páginas  web, de forma que una unidad didáctica será una o más páginas html, con todas las facilidades de creación y modificación que permiten los programas editores que hay en el mercado para confeccionar páginas de este tipo.

  

Existen en Internet numerosos applets, algunos son interactivos, es decir que permiten al usuario modificar   algún  parámetro   y  observar   el   efecto  que   se  produce  en   la   pantalla,   pero   lo   que caracteriza a Descartes es que, además, es configurable, es decir, que los usuarios (profesores) pueden programarlo para que aparezcan diferentes elementos y distintos tipos de interacción. No 

hay  que olvidar,   también,   su  finalidad  educativa.  En  particular,  el  applet  Descartes  tiene  una programación  muy matemática  para  que a  los  profesores  de  esta materia   les   resulte   fácil   su aprendizaje y utilización.

  

Básicamente, Descartes es un sistema de referencia cartesiano interactivo, en el que se pueden configurar y emplear todos los elementos habituales: Origen, ejes, cuadrantes, cuadrícula, puntos, coordenadas, vectores, etc. Permite representar curvas y gráficas dadas por sus ecuaciones, tanto en forma explícita como implícita; en particular permite representar las gráficas de todas las funciones que habitualmente se utilizan en la enseñanza secundaria, tanto en coordenadas cartesianas como en paramétricas o polares. Los elementos que interviene en la definición de las expresiones y ecuaciones pueden ser parámetros modificables por el usuario, lo que hace que las gráficas que se muestran cambien al modificar esos parámetros.   Dispone también de una poderosa herramienta de cálculo que permite evaluar cualquier expresión matemática y escribir el resultado en la escena. Como ocurre en las representaciones gráficas, los elementos que interviene en los cálculos pueden ser parámetros modificables por el usuario, lo que hace que los resultados que se muestran cambien al modificar esos parámetros.  

También se pueden representar los elementos geométricos elementales, tanto en el plano como en el espacio: puntos, segmentos, arcos, etc., lo que permite hacer numerosas representaciones geométricas. Como en los casos anteriores, estos elementos pueden depender de parámetros, de forma que la representación cambia cuando el usuario los modifica.

  

En estos últimos años un numeroso equipo de profesores ha realizado cientos de aplicaciones y desarrollado   un   buen   número   de   unidades   didácticas   que   recorren   la   práctica   totalidad   del currículo de la ESO y Bachillerato.

  

Estas aplicaciones están disponibles  en el  servidor de  Internet del  CNICE (Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa).   En este servidor se pueden encontrar   los siguientes apartados:

  

Unidades Didácticas: acceso a la relación de Unidades Didácticas desarrolladas en el PNTIC con el nippe Descartes que están clasificadas por niveles y cursos; aunque también ofrece un   buscador   que   permite   acceder   a   las   páginas   por   su   contenido,   lo   que   facilita   la localización de unidades que tratan un determinado tema. 

  

Aplicaciones: esta es la zona destinada a las aplicaciones desarrolladas por los profesores que quieran publicar sus trabajos. Hay que resaltar la calidad de los trabajos realizados por 

los alumnos de los cursos, ya que no se han limitado a hacer el ejercicio final que se les pedía, como aplicación de programación del applet Descartes, sino que, en muchos, casos han realizado Unidades Didácticas muy completas y con una presentación excelente. 

  

Experiencias: se recogen, en esta zona, las experiencias llevadas a cabo por los profesores en el aula, con sus alumnos. 

Buscador: Permite localizar en Descartes las aplicaciones relacionadas con un tema dado.   

Descarga: Se dan instrucciones para descargar las Unidades Didácticas y las Aplicaciones en el ordenador local, de forma que puedan utilizarse todas las Unidades Didácticas y las Aplicaciones sin necesidad de estar conectados a la red. 

  

Formación:   Se  accede a  las  páginas  del  curso  de  autoformación,  que consta  de  cinco prácticas y el desarrollo de una aplicación. 

 

  

  

Valoración didáctica  

El   Proyecto   Descartes   es   una   herramienta   de   primer   orden   para   visualizar   conceptos   y procedimientos y técnicas matemáticas, de una forma dinámica y activa. Descartes es de hecho un libro   electrónico   interactivo   que   abarca   todo   el   currículo   de   la   ESO   y   los   bachilleratos.     Es especialmente  interesante para  los temas de geometría y de análisis,  aunque también existen unidades y aplicaciones de álgebra, aritmética, probabilidad y estadística. 

  

Hasta ahora muchos profesores han rechazado esta herramienta por pensar que se necesitaba estar conectado a Internet para poder utilizarla con los alumnos. Está claro que se puede utilizar así, on-line, pero no es necesario estar conectado. El profesor y los alumnos pueden descargar a los ordenadores locales o a disquetes, aplicaciones, unidades didácticas enteras y experiencias, modificarlas y trabajar con sus alumnos sin necesidad de estar conectado a Internet. Para poder trabajar de este modo basta con descargar el motor de Descartes y los ficheros comunes y guardarlos en el disco duro del ordenador.   

Las ventajas del proyecto se resumen en los siguientes aspectos:

Es controlable por el profesor en un tiempo razonable 

Es fácil de usar para los alumnos, que no tienen que emplear demasiado tiempo en su aprendizaje 

Ofrece todos los contenidos del currículo correspondiente al curso donde se vaya a usar. 

Favorece metodologías activas y de aprendizaje por descubrimiento.  Potencia un aprendizaje cooperativo, el trabajo en equipo es esencial  Sirva para la atención a la diversidad, permitiendo que los materiales sean flexibles para 

poder modificarlos tanto cuanto se quiera. 

  

Contenidos  

Unidades didácticas  

Más de 140 unidades didácticas correspondientes a: Primer ciclo de la ESO  3º de ESO  4º de ESO (Opción A)  4º de ESO (Opción B)  Taller de Matemáticas  1º de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico  2º de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico  1º de Bachillerato de HH. y CC. SS.  2º de Bachillerato de HH. y CC. SS.  Otros niveles 

  

  En cada curso podemos encontrar entre 10 y 20 unidades didácticas desarrolladas completamente, con applets animados, introducción teórica y ejercicios de aplicación.  

  

Unidad: Complejos. 1º de Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y la Salud

  

  Unidad Funciones. 4º de ESO

  

  

  Aplicaciones:

  

Incluye un catálogo de todas las aplicaciones (más de 160) seleccionadas por bloques temáticos: álgebra, geometría, análisis, estadística; nivel educativo y autor.    

Experiencias:

En este apartado se incluyen las más de 50 experiencias de aula realizadas por profesores y alumnos.   

Aplicación de alumnos de 1º de Bachillerato   

  

  

Metodología  Las aplicaciones de Descartes se pueden utilizar de varias maneras. Se pueden utilizar tanto con la clase completa en el aula de informática trabajando todos los alumnos en equipos de dos, con la misma aplicación o con aplicaciones distintas o bien en el aula ordinaria como pizarra electrónica con un portátil de uso individual para el profesor o un alumno  Para el alumno. La forma más sencilla de usar  Descartes  es utilizar las páginas donde se hayan insertado   las  escenas.   Es   la  que  utilizarán  generalmente   los   alumnos,  o   las  personas  que   se acerquen por primera vez a esta aplicación. No se requiere tener ningún conocimiento previo. Bastará con las indicaciones que se hagan en la propia página en la que se habrán señalado las actividades que se deben realizar.

  

Para el profesor.  En este caso se necesita tener experiencia con algún editor de páginas web, puede ser un procesador de textos que permita editar este tipo de páginas. El profesor puede editar las páginas que le interesen y modificar la propuesta de actividades, quitando, corrigiendo o añadiendo actividades;  esto no requiere más conocimientos  que saber usar un procesador  de textos. Si además ha practicado con las herramientas de configuración del  nippe puede efectuar con facilidad pequeños cambios: colores, poner o quitar ecuaciones, puntos, segmentos, etc.

  Las escenas interactivas que permiten a los alumnos:

  

investigar propiedades  adquirir y relacionar conceptos  aventurar hipótesis y comprobar su validez  hacer deducciones  establecer propiedades y teoremas  plantear y resolver problemas 

  Alguien puede pensar que material tan amplio y con un potencial didáctico tan grande debe ocupar mucho espacio y que las descargas se pueden eternizar. No es el caso. El motor que permite visualizar los applets y los archivos comunes con todos los índices no ocupa más de 200 K y una unidad didáctica completa está alrededor de los 30 K. Es decir en un simple disquete podemos incorporar unas cuantas unidades y aplicaciones. Los tiempos de descarga no llegan al minuto.  

 

 

Wiris 

 

Requisitos del ordenador del usuario: Ordenador con navegador que admita Java 1.1 o superior (por ejemplo Netscape Navigator 4, Internet Explorer 4 o versiones superiores).  

Se trata de una aplicación multiplataforma on line (Windows, Linux, Mac, ...)

Aplicación desarrollada por Maths for More dentro del programa Innova de la UPC.

Es de acceso libre y gratuito.

  

  

  

Es   una   plataforma   de   cálculo  matemático   que   funciona   exclusivamente   on   line   a   través   de cualquier navegador de Internet utilizando un applet de JAVA. Varias CC.AA. la tienen incorporada en sus servidores educativos, entre ellas la CAM, en su servidor www.educamadrid.org

  

El motor matemático reside en el servidor y no en el ordenador del usuario. Las peticiones de cálculo se realizan vía el protocolo HTTP-POST y CGI. Esto consiste en ejecutar un programa que

se comunica con la componente del motor Java y solicita cálculos y espera los resultados, que a la vez vuelve al cliente.  Los usuarios acceden al mismo mediante una interfaz que sirve para leer, presentar y editar documentos y materiales ya existentes, para entrar directamente las expresiones que se quieren calcular, para mostrar los resultados de los cálculos, y para guardar un documento, en formato estándar, para ser usado posteriormente. Incorpora un lenguaje matemático próximo al utilizado en clase de matemáticas.  

Wiris permite abordar todos  los bloques de la ESO y del  bachillerato:  el  cálculo,  el  análisis,   la geometría,   el   álgebra,   la   combinatoria,   etc.   También   incluye   el   tratamiento   de   unidades   de medida, y representación gráfica de calidad e interactiva.

  

  

Contenidos y herramientas:  

         Aritmética:   

Operaciones con números enteros, racionales, radicales, decimales, reales (incluyendo constantes como p y e ) y complejos.

Funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primos y factorización) con enteros. Funciones trascendentes de variable real (trigonométricas, exponenciales y logarítmicas). 

Sucesiones de números: progresiones aritméticas y geométricas. Series.

  

  

         Combinatoria:  

Cálculo del número de permutaciones, variaciones y combinaciones.

Listas y conjuntos. Unión, intersección y complementario de listas y conjuntos.

Factorial y números binomiales.

Generación de subconjuntos combinatorios.

  

         Álgebra: 

  Operaciones con polinomios con coeficientes numéricos (enteros, racionales, decimales y complejos) o simbólicos (parámetros); funciones de divisibilidad (mcm, mcd, primalidad y factorización). Fracciones algebraicas.Búsqueda de raíces de polinomios: raíces enteras, racionales, radicales, decimales y complejas. Solución de sistemas algebraicos (también con parámetros).

Resolución de sistemas generales de ecuaciones (no necesariamente lineales). Resolución numérica de sistemas de ecuaciones. Resolución de sistemas de inecuaciones en una variable. Simplificación de expresiones matemáticas generales.  

 

         Álgebra lineal:  

Álgebra de vectores y matrices. Coeficientes numéricos y simbólicos.

Producto escalar y vectorial.

Rango, determinante y traza.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con notación matricial (también con parámetros). Sistemas lineales dependientes de parámetros.

Álgebra lineal con vectores y matrices con coeficientes simbólicos (expresiones matemáticas formadas por composición de funciones elementales).

  

         Análisis  

Representación determinando dominio, asíntotas, máximos, mínimos, puntos singulares, puntos de inflexión, simetrías, etc.Dominio de funciones. Intervalos de monotonía. Asíntotas. Extremos absolutos y relativos. Puntos de inflexión.Límite de funciones.

Derivación simbólica. Polinomios de Taylor.

Cálculo simbólico de primitivas. Primitivas dependientes de parámetros. Integrales definidas.

  

         Geometría en el plano:  

Creación de figuras geométricas: puntos, vectores, segmentos, rectas, circunferencias, arcos, cónicas, triángulos, poligonales, curvas.

Representación de figuras geométricas del plano.

Propiedades del tablero: medida, color, zoom, ejes, etc.

Exportación a los formatos Portable Document Format de Adobe (pdf) y PostScript.

Operaciones con figuras geométricas: intersección, transformación afín, distancia,...

Conversión automática de ecuaciones a objetos geométricos.

Conversiones entre las diferentes ecuaciones de la recta: explícita, implícita, punto pendiente, ...

  

  

Valoración didáctica  

Es una herramienta matemática e carácter general muy similar en cuanto a sus prestaciones y posibilidades a las últimas versiones de Derive. Tiene el inconveniente de tener que trabajar conectado a Internet, lo que por otra parte supone también la ventaja de no tener que contar con el programa instalado en el ordenador. En el servidor de la CAM es de acceso libre y gratuito.

  

En cuanto a sus características didácticas son similares a las reseñadas para Derive y su tiempo de aprendizaje de funcionamiento es similar.

  

A pesar de trabajar on line el tiempo de respuesta de los cálculos es muy bajo funcionando casi con respuesta automática.

  

  

Metodología  

Se puede plantear tres posibilidades de uso del programa:

  

El trabajo con toda la clase en el aula de informática con equipos estables de dos alumnos por ordenador con prácticas guiadas. 

  

El  uso  como pizarra  electrónica  en   la  clase  ordinaria  por  parte  del  profesor  o  de   los alumnos   para   poner   de   manifiesto   resultados,   mostrar   situaciones   y   realizar comprobaciones. 

  

El uso  individual  y  en el  domicilio del alumno como herramienta de estudio, repaso y refuerzo. Esto exige una conexión ADSL. 

Hoja de cálculo. Excel y OpenOffice Calc  

 

La hoja de cálculo, de Microsoft Office o de Open Office, es una herramienta de primera magnitud para la adquisición de conceptos y destrezas matemáticas para el alumno de todos los cursos.

  

No se trata de que el alumno aprenda el funcionamiento de la hoja de cálculo como herramienta informática,   basta   con   que   conozca   sus   rudimentos.  No   es   necesario,   y   a   veces   ni   siquiera aconsejable ya que ello llevaría un exceso de tiempo del que habitualmente no disponemos, que el alumno construya sus propios modelos. 

  

Nuestra propuesta de actuación va   encaminada a la realización por el profesor de los modelos relacionados directamente con un concepto matemático, y proporcionar a los alumnos hojas de trabajo sobre ese mismo modelo. La ventaja principal es la posibilidad de simular experimentos con un número importante de datos, algo imposible de conseguir en una clase normal, elaborar conjeturas y comprobar y validar  las mismas y a partir de ahí construir y afianzar el concepto estudiado.

  

La   posibilidad  de   incorporar   a   la   simulación   gráficos   estadísticos   dinámicos   convierte   a   este material en imprescindible para el estudio del azar y la estadística. Pero su aplicación también se puede extender al estudio del álgebra y de la funciones.

  

La hoja de cálculo permite:

  

- -          Aproximar al alumno a los conceptos matemáticos a través de simulaciones próximas a la realidad.

  

- -           Obviar   la   realización  de   cálculos   repetitivos   y   tediosos   para   invertir  el  tiempo  en   la adquisición del concepto a través de la formulación y comprobación de conjeturas

  

- -          Comprobar hipótesis y conjeturas en la línea de laboratorio de matemáticas  

  

Aplicaciones en clase  

Algoritmos:

  

Este tipo de modelos constituye la aplicación ideal para una Hoja de Cálculo. Son modelos que dan vida a  los distintos algoritmos estudiados en clase.  Son muy  intuitivos los de tipo numérico y menos los algebraicos, aunque con ayuda también se pueden abordar.

  

Aritmética mercantil

  

Las hojas de cálculo se inventaron para este tipo de cálculos, por lo que es muy fácil preparar modelos para facturas, recibos, cuentas domésticas, presupuestos, cálculo de intereses, etc.

  

Aritmética y Álgebra: 

  

Aunque la Hoja de Cálculo no contiene un lenguaje simbólico, sus posibilidades de asignación de nombres, búsqueda de objetivos e iteración, permiten un uso restringido, y siempre complementario, en el aprendizaje de conceptos y técnicas algebraicas. Fundamentalmente se reducen a módulos que resuelven ecuaciones, inecuaciones o sistemas y verificadores de identidades, simplificaciones o soluciones de ecuaciones.  

Tipos de modelos

  

Manipulaciones algebraicas y simplificaciones:  modelos que comprueban valores numérico y si dos expresiones algebraicas con una o varias variables son equivalentes o no.

Adivinar un número: permite la práctica de la jerarquía de operaciones mediante la construcción de un modelo que adivine un número pensado usando las técnicas de despejar variables.

Comprobaciones:  Corrige las soluciones de una ecuación, dando simplemente la calificación de verdadero o falso.

Resoluciones de ecuaciones: Permite resolver una ecuación por tanteo o mediante búsqueda de objetivos. También puede comprobar resultados ya dados.

Sistemas: Clasifica un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y lo resuelve.

Inecuaciones:   Visualiza   los   valores   de   una   inecuación   en  un   intervalo   de   números,   a   fin   de descubrir los cambios de signo y encontrar las soluciones.

Ecuación de segundo grado:   Desarrolla   la   fórmula   correspondiente   destacando   el   papel   del discriminante en la distinción de casos.

  

  

Azar y estadística

  

La Hoja de Cálculo, mediante la generación de números aleatorios y su gran velocidad de procesamiento, permite simular experimentos y recogidas de datos que de otra forma requerirían mucho tiempo y trabajo. Lo normal será usar en clase un modelo confeccionado previamente.  

Los  modelos   están   fundados   en   simulaciones   de   experimentos   aleatorios   y   estadísticos   que permiten al alumno ver  la evolución de las probabilidades y de los parámetros estadísticos en situaciones próximas a la realidad.

  

Disponer de un modelo adecuado, en Hoja de Cálculo, permite poder insistir en los conceptos más que en los cálculos. El uso de estos modelos puede organizarse de forma que su confección sea simultánea con su uso y el aprendizaje de los temas.  

  

  Valoración didáctica  

La hoja de cálculo permite liberar al alumno de la aplicación rutinaria de cálculos laboriosos y de algoritmos repetitivos enfocando su atención a los conceptos y procesos matemático. Por otra parte constituyen un instrumento muy potente para realizar simulaciones próximas a la realidad.  

Enumeramos algunas de sus ventajas:

  

         Permiten liberar a los alumnos de los cálculos largos, orientando más bien los ejercicios a la toma de decisiones y análisis. 

         Con ellas se pueden resolver problemas mediante métodos muy distintos a los usados con los instrumentos tradicionales. 

         Son muy rápidos, lo que los hace útiles para cuestiones en las que lo importante es el planteo y no los cálculos. 

         Facilitan la investigación de casos y su generalización.           Los modelos constituyen tablas "vivas" de datos, en las que cualquier pequeño cambio 

se ve reflejado inmediatamente en las tablas, cálculos y gráficos, abriendo así un camino muy interesante a las investigaciones de tipo estadístico. 

         Son muy atractivos visualmente, pues se puede incluso reproducir cualquier tabla de datos de los libros o la prensa conservando la estética y dotándolas del cálculo automático del que carecen. 

         El trabajo de resumir una situación en variables, fórmulas y procesos es ya de por sí educativo, independientemente de la utilidad posterior del modelo.

         Se incide en las estrategias de resolución y no en los cálculos, con lo que se profundiza más en las cuestiones y se relativiza la importancia del dominio de los algoritmos. 

         Permiten planificar mejor las resoluciones, logrando también más orden en la cuestión tratada. 

         Se pueden abordar con ellos problemas más complejos, que de otra forma consumirían mucho tiempo de clase. 

         Es el único modo de acceder a muestras grandes en los centros de enseñanza.   

  Metodología  

Es   conveniente   organizar   las   prácticas   de   Hoja   de   Cálculo   de   forma   que   no   constituyan experiencias aisladas, sino que formen ciclos, para así aprovechar mejor el tiempo de aprendizaje previo que es inevitable.

  

El trabajo se realiza en equipos de dos personas por ordenador, el profesor suministra el modelo ya elaborado y la hoja de trabajo debiendo desarrollar cada equipo una parte o la totalidad de los ejercicios propuestos. En ocasiones las instrucciones de tareas a realizar están incorporadas en el propio modelo. La composición de los equipos podrá buscar la homogeneidad y clasificación por niveles o bien la compensación, uniendo alumnos de distinto nivel para su apoyo mutuo. Para organizar   los  progresos es conveniente  rellenar  algún tipo de ficha  indicando  los conceptos o técnicas que va dominando cada equipo, los trabajos realizados y las carencias observadas. Según los resultados se podrá cambiar la composición de los equipos.

  

También se puede utilizar un determinado modelo con un solo ordenador y cañón de proyección.

  

  

Actividades

  

Estarán recogidas en hojas de trabajo que pueden ser de dos tipos:

  

         Hojas de trabajo con el ciclo de Observar- Relacionar- Deducir con las que cada equipo alcance los objetivos adecuados a sus capacidades.

  

         Listas de tareas rápidas con comprobación de resultados, cuyo único objetivo será la ejercitación en técnicas rutinarias. Estarán formadas por baterías clasificadas por su dificultad.

 

 

 

 

Aritmética  

Buscador de números naturales 

 

 

 

  Es uno de los programas elaborados por el profesor Antonio Roldán como aplicaciones para el desarrollo de temas específicos del currículo de la ESO.Este programa es de libre difusión y se puede obtener en la página web del IES Salvador Dalí: http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1

  

Este programa busca y presenta en pantalla números naturales que cumplan ciertas condiciones. Es útil para verificación de conjeturas, recuentos, ecuaciones diofánticas, etc.   

Permite  encontrar  números  que verifican  ciertas  condiciones  entre  1  y  1.000.000.  Se  pueden imponer  hasta cinco condiciones acumuladas.    Las condiciones  implementadas  sobre números naturales   son:   par-impar,   primo,   múltiplo   de,   divisor   de,   triangular,   cuadrado,   perfecto, abundante, deficiente, capicúa; y números relacionados mediante una condición impuesta por una fórmula, por ejemplo: primo de la forma 4n+1 o una pauta.

  

En el   informe final se presenta una lista y un  informe de  los resultados obtenidos.  En la  lista aparecen los números encontrados y en el informe se puede consultar su suma, producto o otra variable.

  

Aplicaciones en clase  

Es un programa para realizar investigaciones de carácter abierto sobre relaciones y propiedades numéricas de aritmética elemental. 

 

El programa permite comprobar conjeturas como las siguientes: 

  

         Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que dos es suma de dos primos  

         El número 153 es suma de los cubos de sus cifras, 1, 5 y 3. ¿Hay otros números de tres cifras que cumplan lo mismo?

  

         El número 2025  es el cuadrado de 45, pero si se suman 20 y 25 también resulta 45.          ¿Hay otros números de cuatro cifras que tengan la misma propiedad?  

         Conjetura de Girard: Todo número primo de la forma 4n+1 es suma de dos cuadrados  

         ¿Qué números de tres cifras  al borrarles las centenas quedan divididos por cinco?  

         ¿Qué números son cuadrados y triangulares    a la vez?  

         ¿Cuánto suman los  números impares  que hay entre 240 y 370?  

         ¿De cuántas formas se puede descomponer el número 20     en tres sumandos mayores que 2?

  

         Encuentra los números de Mersenne  que hay menores que 10.000  

  

Valoración didáctica  

Es una herramienta ligera y a la vez de un gran valor didáctico. Permite abordar estudios sobre relaciones clásicas de números enteros: múltiplos, divisores, primos, poligonales...

El enfoque del programa es servir para constatar conjeturas y comprobar relaciones. Permite al profesor introducir en clase problemas históricos de gran valor educativo sin necesidad de realizar tediosos cálculos.

La posibilidad de introducir condiciones nuevas basadas en fórmulas algebraicas hace posible su utilización como introducción al lenguaje algebraico.  

  

Ventajas

  

         Permiten liberar a los alumnos de los cálculos largos, orientando más bien los ejercicios al análisis y elaboración de conclusiones. 

         Con él se pueden resolver problemas mediante métodos muy distintos a los usados con los instrumentos tradicionales. 

         Es muy rápido, lo que le hace útil para cuestiones en las que lo importante es el planteo y no los cálculos. 

         Facilita la investigación de casos y su generalización.   

  

Constituye una herramienta fabulosa para la clase de Taller de Matemáticas

  

Herramientas de cálculo 

Calc 3D Prof 

 

 

  

Se trata de un programa gratuito que contiene una colección de herramientas matemáticas que incluyen:

  

          editor   de   texto   con   funciones  matemáticas,   calculadora   activa   en   el   texto,   integral definida...

         representación de funciones en el plano y en el espacio,           gráficos y cálculos estadísticos,           geometría analítica en el plano y en el espacio: ecuaciones de rectas, planos, intersección 

de rectas, de planos, ángulos, distancias...           geometría   sintética   y   métrica:   polígonos   regulares,   medidas   de   sus   elementos, 

circunferencia y círculo           algoritmos de cálculo con: 

- -          números complejos (suma, resta, producto, división, raíces y potencias, y funciones de variable compleja) 

- -          vectores (suma, resta, producto por números, producto escalar, producto vectorial y producto mixto, módulos, ángulos)

- -          matrices y determinantes ((suma, resta, producto por números, roducto por vectores, producto de matrices cuadradas, determinante, rango, traza, matriz inversa...)

- -          resolución de sistemas lineales  

  

Valoración didáctica  

Es un programa muy interesante no tanto para la ESO sino sobre todo para el bachillerato ya que de   hecho   es   una   calculadora   gráfica   que   incluye   todas   las   herramientas   procedimentales 

contempladas en el currículo. Está especialmente indicado para los alumnos de 2º de bachillerato de Ciencias como herramienta de apoyo y de comprobación de ejercicios.

  

Con un planteamiento educativo diferente, donde no se primase la adquisición de algoritmos y técnicas específicas, sería un excelente auxiliar tanto para el alumno como para el profesor a la hora de fomentar un aprendizaje a través de la investigación. Cabe decir en su favor que nunca lo dejarán utilizar en los exámenes de las PAUs.

  

Para   el   profesor   puede   ser   un   instrumento   de   ayuda   para   preparar  materiales,   ejercicios, comprobar resultados...

  

  

  

LinCalc 

 

 

 

 

Programa gratuito. Herramienta más limitada y concreta que la anterior. Es una calculadora que permite realizar todas las operaciones habituales con vectores y matrices.  

  

Su presentación tiene una serie de limitaciones al utilizar sucesivas ventanas para definir objetos y presentar resultados, pero a cambio tiene la ventaja de su facilidad de manejo y de su pequeño tamaño.

  

Programa útil para alumnos de 4º de ESO y bachillerato como herramienta de comprobación de resultados y para la realización de cálculos rutinarios con vectores y matrices.

 

Winmat  

 

 

 

 

Otro   excelente   programa   de   cálculo   matricial.   Admite   hasta   20   filas   y   columnas.   Calcula determinantes de matrices cuadradas, rangos, trazas. Realiza operaciones con matrices, calcula inversas y resuelve ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones lineales. Calcula matrices de proyección,   reflexión  y   rotación   en   el   plano  y   el   espacio.   Permite   definir  matrices  mediante fórmulas   algebraicas.   Forma   parte   de   la   colección  de   software  matemático   conocido   con   el nombre   de   "Peanut   Software"   desarrollado   por   Rick   Parris   de   la   Phillips   Exeter   Academy Mathematics Department de Exeter. Descarga e información: http://math.exeter.edu/rparris/

  

Análisis. Estudio de funciones 

Este  tipo  de  programas   es  probablemente  el  mas   abundante   y   fueron   los  pioneros  entre   el software de matemáticas. Casi todos los programas de matemáticas de carácter general incluyen 

una aplicación de representación gráfica de funciones. Existen disponibles en Internet un sinfín de graficadores de funciones con un potencial cada vez más amplio.

  

Mostramos algunos de ellos a título de ejemplo.

  

Winplot 

 

Software gratuito de la colección de Peanut, desarrollado por Richard Parris de la Phillips Exeter Academy.

 

 

 

Descripción  

Se trata probablemente del programa más completo en la actualidad para el estudio de funciones, de curvas en el plano y en el espacio y de superficies.

  

Puede trabajar en 2D y en 3D.

  

En 2D permite trabajar las curvas definidas de forma explícita, implícita, en paramétricas y en coordenadas polares. Se pueden definir funciones definidas a trozos.  

Permite a través de la ventana inventario ver simultáneamente el aspecto algebraico (fórmula, dominio, derivada...) y el gráfico.

  

Dada una función nos dice los ceros, los extremos, dibuja la función derivada y calcula la integral definida   en  un   intervalo,   dibuja   integral   indefinida,   calcula   la   longitud  del   arco  de   curva,   el volumen del sólido de revolución sobre la recta que se fije, dibuja la superficie de revolución... también nos proporciona directamente una tabla de valores de la función.

  

Si   definimos  dos   funciones  nos  da   su   intersección  y   nos   ofrece   la  posibilidad  de   realizar   las operaciones habituales con ellas, dibujándola gráfica obtenida. 

 

 

Permite calcular el área encerrada entre dos curvas, el volumen del sólido de revolución generado al rotar.

La utilización de parámetros permite el estudio de las características globales de familias de funciones de forma ágil.

 

  

Se pueden anclar textos explicativos asociados a las curvas y cuenta con precisas herramientas de zoom y de desplazamiento de la ventana por las distintas regiones de la gráfica.  

También se puede trabajar directamente con puntos aislados u obtenidos de una lista elaborada con un tratamiento de texto u hoja de cálculo, con segmentos definiendo sus extremos y con rectas introduciendo los coeficientes de su ecuación general. Y calcula puntos de corte entre rectas.  

Cuenta con una aplicación didáctica interesante para el estudio de la función cuadrática y es la de encontrar la ecuación de parábolas generadas aleatoriamente.

  

Para los alumnos de bachillerato cuenta con la opción de trabajo en 3D para la representación de rectas, curvas, planos y superficies. 

  

Los planos se introducen mediante un punto y el vector normal. 

Las ecuaciones de las superficies se pueden introducir de cinco formas distintas: 

  

- -          Explícita- -          Implícita- -          Paramétricas- -          Coordenadas cilíndricas- -          Coordenadas esféricas

  

Tiene las mismas prestaciones que para el estudio de curvas en 2D

 

  

Valoración didáctica  

Es una excelente herramienta para el estudio de geometría analítica y sobre todo de funciones. Su versatilidad permite realizar estudios de las propiedades globales y locales de las funciones estudiadas en la ESO y los bachilleratos liberando al alumno y al profesor de la pesada tarea de representar en la pizarra gráficas a partir de tablas de valores.  Se puede utilizar tanto en el aula de informática para trabajo autónomo de los alumnos de todo un grupo en equipos como en el aula ordinaria utilizando una pizarra electrónica o un simple cañón de proyección.  Su utilización permite al profesor desviar el objetivo principal hasta ahora de que el alumno sepa representar curvas cada vez más complejas valiéndose primero de tablas y después de técnicas analíticas (puntos de corte con los ejes, extremos, intervalos decrecimiento, concavidad, puntos de inflexión..), hacia un enfoque más general de asociar propiedades de las curvas a sus fórmulas algebraicas, de asociar gráficas a fenómenos, objetos y enunciados, y a visualizar y descubrir conceptos, propiedades y aplicaciones del análisis de una forma ágil e intuitiva.  El reducido tamaño de la aplicación 1,3 MB y de los ficheros de aplicaciones que se pueden generar, 4 KB, cada uno, y el hecho de que pueda funcionar sin necesidad de instalación en el disco duro hace posible su utilización incluso con disquetes independientes lo que le hace fácilmente transportable y aplicable en cualquier equipo.     Metodología  

Se puede plantear tres posibilidades de uso del programa:

  

El trabajo con toda la clase en el aula de informática con equipos estables de dos alumnos por ordenador con prácticas guiadas o investigaciones y comprobaciones autónomas. 

  

El  uso  como pizarra  electrónica  en   la  clase  ordinaria  por  parte  del  profesor  o  de   los alumnos para poner de manifiesto resultados y propiedades, mostrar tipos de funciones y realizar comprobaciones. 

  

El   uso   individual   y   en   el   domicilio   del   alumno   como   herramienta   de   estudio,   de comprobación y de repaso o refuerzo. 

     

Funciones para Windows 

 

  Descripción  Este programa es una versión mejorada de uno de los premios del MEC en el concurso de programas educativos para ordenador, de 1993 convocado por el PNTIC.  Se trata de un pequeño programa en cuanto a su tamaño pero de una gran herramienta en cuanto a sus prestaciones.  Como su nombre indica sirve para realizar estudio de funciones. Presenta funciones definidas de forma explícita o mediante tabla de valores. Tiene una herramienta de estadística bidimensional para el estudio de regresión lineal, cuadrática, potencial, exponencial...

  Como afirma su autor, el profesor Jordi Lagares, autor de otros interesantes programas para funciones, permite estudiar, dada una función de una variable, casi todo lo que hay en las programaciones oficiales de la asignatura de Matemáticas, durante casi toda la enseñanza primaria, secundaria y primer ciclo universitario.  

El hecho de haber sido creado y desarrollado por un profesor de nuestro país en activo tiene  la ventaja   de   abordar   directamente   los   aspectos   vinculados   directamente   a   las   exigencias curriculares sin incorporar otros tipos de herramientas superfluas. Su principal objetivo es ayudar a los alumnos a adquirir y dominar una gran mayoría de los conceptos y procesos ligados con las funciones. 

  

Así, la mayoría de las opciones de los menús son referencias directas ligadas a éstos: 

  

Imagen, Antiimagen, Raíces, Discontinuidades aisladas, Máximos, Mínimos, Puntos de inflexión, Derivada en un punto, Integral definida, Integral de línea, Intervalos de crecimiento, Intervalos de decrecimiento,   Intervalos  de concavidad,   Intervalos  de convexidad,  Función  derivada,  Segunda derivada, Función integral, Cortes y Área encerrada entre dos funciones.

  

Puede representar hasta 6 funciones reales o numéricas. 

  

Con dos funciones nos permite calcular los puntos de corte y el área entre las funciones entre dos valores de x.

  

  

Valoración didáctica  

Tiene   las  mismas   ventajas   y   aplicaciones  didácticas   que  Winplot,   aunque   sus   prestaciones   y efectos de presentación sean más limitados. 

  

En   cambio   tiene   implementadas   todas   las   herramientas  matemáticas   para   poder   abordar   el desarrollo de los temas curriculares de Análisis de la ESO y del bachillerato de forma precisa y exhaustiva. Su manejo y aprendizaje es bastante simple y requiere poco tiempo.

  

Al incorporar la posibilidad de definir tablas de valores ha incorporado además de las herramientas estadísticas, la posibilidad de realizar interpolación y extrapolación lineal y polinómica.  

Es   un   instrumento   imprescindible   tanto   para   el   profesor   como  para   los   alumnos,   para   una utilización similar al programa anterior.

  

La posibilidad de exportar los gráficos a cualquier aplicación de windows lo convierte en una herramienta muy valiosa para la preparación de materiales impresos, ejercicios, exámenes...

  

  

FunGraph 

 

Existen en Internet muchos programas para representar y estudiar funciones similares al anterior. De hecho no es tan complicado fabricarse uno a la medida. Como muestra de ello presentamos este desarrollado íntegramente en el IES Salvador Dalí de Madrid por un alumno en la clase de Informática de bachillerato de Ciencias utilizando visualbasic.

 

Por supuesto es un programa gratuito que se puede bajar de Internet de la página del IES Salvador Dalí de Madrid. No necesita instalación y puede funcionar desde un disquete.

 

 

 

 

Descripción  

Realiza prácticamente las mismas funciones que el programa anterior.

  

Representa una o dos funciones, traza la gráfica de la derivada primera y segunda y la recta tangente a la curva en un punto.

  

Calcula los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad.

  

Encuentra los puntos singulares: cortes con los ejes, corte entre dos funciones, máimos, mínimos y puntos de inflexión.

  

Halla la integral definida entre dos valores de x y el área entre dos curvas. Calcula el volumen del sólido de revolución de la curva al girar sobre el eje OX.

  

  

Valoración didáctica  

Aunque más limitado en cuanto a herramientas y presentación que Funciones para windows, sirve perfectamente para abordar todos los items del estudio de funciones en los cursos de la ESO y del bachillerato.

  

Tiene el atractivo de su mínimo tamaño y su portabilidad ya que puede funcionar desde un disquete; y sobre todo el hecho de haber sido desarrollado por un alumno de bachillerato lo que garantiza la empatía hacia la herramienta de los alumnos.

  

Inconveniente: no se pueden guardar en ficheros las funciones estudiadas.

 

 

Programas de estadística y probabilidad 

Winstats 

Software gratuito de la colección de Peanut, desarrollado por Richard Parris de la Phillips Exeter Academy.

  

 

 

 

Winstats es una sencilla y a la vez completa herramienta para la realización de cálculos y representaciones estadísticas con una o dos variables. Incluye instrumentos de simulaciones y de cálculo de probabilidades de experimentos habituales.  

En el modo una variable tras introducir o importar los datos de un texto u hoja de cálculo nos da de forma automática todos los parámetros estadísticos:

  

Número de datos,  valor  mínimo,  cuartiles,  mediana,  máximo valor,  deciles,  percentiles,  media aritmética, rango, rango intercuartílico, desviación media, desviación típica, desviación standard...

  

Representa gráficamente los datos mediante diagramas de cajas, histogramas, ajuste a la normal...

  

En el modo de dos variables nos dibuja la nube de puntos y representa y calcula directamente la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. Admite regresiones polinómicas, exponenciales, logarítmicas...

  

Permite   interpolar,   extrapolar,   estimar   valores   en   función   de   una   de   las   variables,   calcula distancias de un punto a la recta de regresión, representa mínimos cuadrados.

  

En el  modo probabilidad trabaja con  la distribución binomial  B(n,p),  calcula  las  probabilidades prob[x=i]   prob[x<=i]     prob[i<x], y las presenta en forma de tablas, calcula las probabilidades de intervalos, representa la distribución, la ajusta con una normal.

Distribución normal: presenta por defecto N(0,1), pero permite cambiar los parámetros de una normal diferente tipificándola. Representa la curva, calcula las probabilidades de intervalos y nos ofrece tablas de probabilidades.

 

  

 

 

En el modo de simulación de experimentos aleatorios incluye varios casos tradicionales

  

Lanzamiento de dados. Se puede fijar el número de dados, el número de tiradas

 

 

 

Podemos estudiar estadísticas de la suma, de la diferencia, del mínimo y del máximo. Permite fijar condiciones  de   realización  del  experimento:  tiradas  hasta  obtener  un  determinado   resultado, obtenerlo un determinado número de veces...

  

Incluye   hasta   12   experimentos   distintos:   urnas   con   bolas   de   colores,   extracción   de   cartas, lanzamientos   de   agujas,   de   monedas,   dianas,   ruletas   numéricas,   generación   de   números aleatorios; realizando el estudio estadístico y la presentación de los resultados obtenidos.  

  

  Valoración didáctica  

Es  un auxiliar  ágil  y  atractivo para  los alumnos,  no sólo para  la  realización de cálculos de  los parámetros   estadísticos   de   una  o   dos   variables   sino   también  para   abordar   el   estudio  de   la probabilidad utilizando situaciones próximas a la realidad mediante simulaciones de experimentos familiares.

  

Las herramientas de cálculo directo de probabilidades de distribuciones binomiales y normales permiten hacer un enfoque práctico y visual de situaciones concretas.  

En clase utilizando el programa con un proyector permite mostrar experiencias simuladas de una forma sencilla  y  vistosa,   superando   las  presentaciones  de   situaciones  de  azar  muy  teóricas  y estáticas.

  

La   obtención   de   resultados   con   simulaciones   con   un   número   elevado   de   repeticiones   del experimento hace visible la aproximación de frecuencias relativas a la probabilidad y la extracción de conclusiones de una forma natural e intuitiva.

  

 

StadiS   

  

  

Se trata de un pequeño programa gratuito, creado por Jesús Plaza, fácil de utilizar, que consume pocos recursos y con el que podemos resolver todos los problemas de estadística de la ESO y los bachilleratos. El programa es en síntesis una poderosa calculadora estadística, calcula los principales parámetros con los que trabajamos en Estadística Descriptiva.   

Puede trabajar con una o dos variables (distribuciones unidimensionales o bidimensionales).Contempla variables estadísticas cualitativas y cuantitativas (discretas o continuas)Ordena los datos de forma ágil y variada, puede:

  

· Presentar las columnas de las frecuencias absolutas y relativas.· Presentar las columnas de las frecuencias absolutas y relativas acumuladas· Ordenar los datos (variable estadística cualitativa)· Realizar recuento de datos (acumulando en las frecuencias absolutas)· Mostrar la columna de marcas de clase (variable continua)· Generar todo tipo de columnas (hasta 41)

  

La tabla de la distribución permite que veamos las columnas necesarias para el cálculo de parámetros.

  

 Medidas de centralización,  calcula :

  

· Medias : aritmética, geométrica, cuadrática y armónica· Mediana y moda· Cuantiles : percentiles, cuartiles, quintiles y deciles

  

Parámetros de dispersión:

  

· Varianza, cuasivarianza y desviación típica· Desviación media, Desviación mediana.· Coef. Variación de Pearson y Coef. Variación Media.· Recorrido y recorrido remiintercuartílico.· Momentos respecto al origen y momentos centrales.

  

Medidas de la forma de la distribución:

  

· Coef. de Asimetría de Pearson· Coef. de Asimetría de Fisher· Curtosis

  

Distribuciones bidimensionales (X,Y):

· Coeficiente de correlación lineal de Pearson.· Covarianza.· Desviaciones marginales.· Momentos respecto al origen, momentos centrales. · Varianzas marginales· Coef. de regresión· Cálculo de valores (X ó Y) en las respectivas rectas de regresión.

  

Incorpora un pequeño tratamiento de texto que permite guardar el enunciado de los problemas y observaciones . 

  

En cuanto a los gráficos, StadiS permite representar diagramas de barras, de sectores, polígono de frecuencias, etc.. (para frecuencias absolutas).  

 

 

Valoración didáctica  

Es una práctica y potente herramienta tanto para el profesor como para los alumnos y para utilizar tanto en clase ordinaria como en el domicilio de los alumnos.

  

Se puede utilizar como sustituto de la calculadora científica y tiene la ventaja de cada momento de los cálculos nos recuerda las fórmulas empleadas. 

  

Es ideal para usarla en la clase con un ordenador portátil y un cañón de proyección.  

  

 

Programación lineal  

  

 

 

 

Se trata de otro de los programas útiles y sencillos de Jordi Lagares, creado con una finalidad exclusiva y sin más pretensiones: resolver problemas de programación lineal.

  

En el programa podemos definir las inecuaciones que representan las condiciones y la función entre las variables. Se pueden ajustar los intervalos y las unidades de los ejes. 

  

El gráfico nos muestra las regiones determinadas por las inecuaciones, sus intersecciones y nos permite evaluar las regiones que cumplen las condiciones y los puntos de corte de las rectas.

  

Valoración didáctica

  

Para el profesor es un valioso instrumento para explicar de forma gráfica las técnicas de resolución de problemas de programación lineal. La facilidad para cambiar parámetros, e inecuaciones y funciones permite realizar estudios comparados de las condiciones de un mismo problema de forma rápida y visual.

  

Ideal para utilizarlo en la clase con un solo ordenador y un mecanismo de proyección.