INDICE

Dedicatoria.. 4Introduccin.. 5A) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.. 61. EL SENO Y LA COSECANTE ............. 62. EL COSENO Y LA SECANTE . 73. LA TANGENTE Y LA COTANGENTE 7B) FUNCIONES HIPERBOLICAS 81. INTRODUCCION.. 82. DEFINICION Y GRAFICOS . 93. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES 114. FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSO 115. RELACION CON LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.. 116. DERIBADOS DE FUNCION HIPERBOLICAS . 12C) CIRCUNFERENCIA 121. DEFINICION . 122. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA.. 123. ECUACIONES DE LA TANGENTE . 134. LONGITUD DEL SEGMENTO DETERMINADO POR LS TSNGENTETRAZADO DESDE UN PUNTO EXTERIOR.. 145. EJE RADICAL . 146. FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS . 15D) RAICES IRRACIONALES.. 161. METODO DE APROXIMACION 162. METODO DE HORNER 18E) APLICACIN DE LA DERIVADA .. 201. FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE 202. VALORES EXTREMOS . 203. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA 204. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 215. ALGUNOS USOS DE LA ELECTRONICA .. 22CONCLUCION 27BIBLIOGRAFIA 28

Dedicatoria:

Primeramente a Dios por haberme permitido llegar hasta este punto y haberme dado salud, ser el manantial de vida y darme lo necesario para seguir adelante da a da para lograr mis objetivos, adems de su infinita bondad y amor.

A mi familia por haberme apoyado en todo momento, por sus consejos, sus valores, por la motivacin constante que me han permitido ser una persona de bien, pero ms que nada, por el amor que me brindan. Y a todos aquellos que contribuyeron directa o indirectamente a realizar este documento.

INTRODUCCION

El anlisis matemtico es una materia de importancia capital en la comprensin de los procesos reales de los que se ocupa cualquier ciencia aplicada, como pueden ser la Economa, el marketing y la Empresa. En este sentido el citado anlisis matemtico constituye una herramienta sumamente til para ayudarnos a controlar losprocesos mercantiles en el mundo cada vez ms interrelacionado y globalizado, donde los grandes volmenes de cifras complican enormemente el control de operaciones internacionales. Este libro es un mtodo didctico para ensear anlisis de forma AUTODIDACTA y sistemtica. Es un libro secuencial, es decir que conviene no avanzar excesivamente si no se tienen bien cimentados los conocimientos anteriores. El xito en este tipo de estudios pasa por hacer todos los problemas resueltos antes de hacer los propuestos en todos y cada uno de los captulos de que consta esta obra. Como este libro es continuacin del libro Introduccin de anlisis matemtico I, y dado que en general, los alumnos suelen tener una deficiente educacin matemticas, se ha repetido la exposicin de los diversos temas y en especial las derivadas parciales de forma sistemtica, es decir, separando las operaciones de derivacin de las simplificaciones, tratando de dejar stas lo ms claro posible en todos y cada uno de los pasos de que consta la resolucin de los problemas. Una vez dominado estos tipos de derivadas se pasa a complicarlas con el estudio de la diferencial total as como a los diversos problemas de las derivadas implcitas y la regla de la cadena.

A)FUNCIONESTRIGONOMTRICASUnafuncines PERIODICA con perodo P 0, si sudominiocontiene al nmero (x + P) siempre que contenga a x y si adems:f(x + P) = f(x) para todo xD(f).El mnimo nmero positivo P con estapropiedadse denomina: periodo primitivo de f. Son ejemplos de funciones peridicas las funciones trigonomtricas: seno, coseno, secante y cosecante, tienen periodo P = 2, mientras que las funciones tangente y cotangente tienen periodo P = .En efecto,Si f(x) = Sen x, entonces, f(x + 2) = Sen (x + 2) = Sen x = f(x).Si g(x) = Cos x, entonces, g(x + 2) = Cos (x + 2) = Cos x = g(x).Si h(x) = Tan x, entonces, h(x + ) = Tan (x + ) = Tan x = h(x).1. EL SENO Y LA COSECANTE:a. El Senof(x) = y = sen x:Funcin seno: funcin real de variable realDominio: Dom(sen(x))=RRango: [-1,1]Paridad: sen x = - sen(-x) [funcin impar]Periodo: 2mnimo)b. La cosecantef(x) = y = cosec x = 1/sen xFuncin cosecante: Funcin real de variable real:Dominio: Dom(cosec(x))= R-{x/x = k, k Z}Rango: R - Paridad: cosec x = -cosec(-x) [funcin impar]Perodo: 2(mnimo)

2. EL COSENO Y LA SECANTE:a. El cosenof(x) = y = cos xFuncin coseno: funcin real de variable realDominio: Dom(cos(x))=RRango: [-1,1]Paridad: cos x = cos(-x) [funcin par]Periodo: 2(mnimo)b. La secantef(x)= y = sec x = 1/cos xFuncin secante: Funcin real de variable real:Dominio: Dom(sec(x))=R-{x/x = (2k+1)/2, k Z}Rango: R - Paridad: sec x = sec(-x) [funcin par]Periodo: 2(mnimo)

3. LA TANGENTE Y LA COTANGENTEa. TangenteF(x) = y = tg x:Funcin tangente: funcin real de variable realDominio: Dom(tg(x))=R - {x/x = (2k+1)/2, k Z}Rango: RParidad: tg x = - tg(-x) [funcin impar]Periodo: (mnimo)

b.- La cotangente:f(x) = y = ctg x = 1/tg xFuncin cotangente: Funcin real de variable real:Dominio: Dom(ctg(x))= R -{x/x = k, k Z}Rango: RParidad: ctg x = - ctg(-x) [funcin impar]Periodo: (mnimo)

B) Funciones hiperblicas

1.- Introduccin

Al construir una circunferencia trigonomtrica (radio1), como en la figura 1, se pueden obtener las funciones circulares, siendo un caso especial lasfunciones trigonomtricas. La ecuacin de una circunferencia de radio 1 (y centro en el origen) es x2 + y2 = 1 y la ecuacin de una hiprbola equiltera de radio 1 (y centro el origen) es x2 - y2 = 1. Como se puede observar, ambas son muy parecidas, por lo que se definieron las funciones hiperblicas: Seno hiperblico: Sh(x) =BC/OA Coseno hiperblico: Ch(x) =OB/OA Tangente hiperblica: Th(x) =BC/OBDe la misma manera que en el caso de las funciones trigonomtricas habituales, el rea sombreada de la hiprbola que se corresponde con un ngulo 2 tomando OA como la unidad, es . Llamemos x al rea del sector de ngulo 2 (que hemos visto es igual a ).Entonces el sh = sh x = BC, ch = ch x = OB, th = th x = ADTambin se puede establecer la nocin de estas funciones hiperblicas en la grfica de una parbola, a partir de las coordenadas que posee, asignndole a las abscisas elvalordel coseno hiperblico y a las ordenadas el valor del seno hiperblico, lo cual se aprecia a continuacin:

2.- Definicin y grficasEn ciertas ocasiones las combinaciones de ex, e-x aparecen frecuentemente. En talesecuaciones, se acostumbra escribir elmodelomatemtico que le corresponde utilizando las funciones hiperblicas definidas como sigue:a. b. Seno hiperblico (senh)c. Coseno hiperblico (cosh)

d. Tangente hiperblica (tanh)

e. Cotangente hiperblica (coth)f. Cosecante hiperblica (csch)

Algunas observaciones de lasgrficas:1. senh(x) = 0, si x = 02. Son funciones impares, [f(-x) = - f(x)] y por tanto sus grficas son simtricas respecto al origen, las funciones: f(x) = senh x ; f(x) = tgh x; f(x) = cotgh x; f(x) = cosch x3. Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus grficas son simtricas respecto al eje y, las funciones:

f(x) = cosh x; f(x) = sech x

3.-Propiedades de las funciones hiperblicas:1. coshx - senhx = 12. sechx + tghx = 13. cotghx - coschx = 14. senh (x y) = senh x cosh y cosh x senh y5. cosh (x y) = cosh x cosh y senh x senh y6. senh (2x) = 2 senh x cosh x7. cosh (2x) = coshh + senhx8. senh a + senh b = 2 senh9. cosh a + cosh b = 2 cosh10. 2senh = cosh x - 111. 2cosh = cosh x + 112. (senh x + cosh x)n = senh (nx) + cosh (nx) , (Frmula de Moivre)4.- Funciones hiperblicas inversas:arcsenh(z) = ln( z +(z 2 + 1) )arccosh(z) = ln( z(z 2 - 1) )arctanh(z) = 1/2 ln( (1+z)/(1-z) )arccsch(z) = ln( (1+(1+z 2) )/z )arcsech(z) = ln( (1(1-z 2) )/z )arccoth(z) = 1/2 ln( (z+1)/(z-1) )

5.- Relaciones con las Funciones Trigonometricassenh(z) = -i sen(iz)csch(z) = i csc(iz)cosh(z) = cos(iz)sech(z) = sec(iz)tanh(z) = -i tan(iz)coth(z) = i cot(iz)

6.-Derivadasde F, hiperblicasLas frmulas de derivacin para las funciones hiperblciicas se deducen fcilmente aplicando las reglas de derivacin de la funcin exponencial ex.

Proposicin 1:Las funciones hiperblicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene:a. Si f(x) = senh x, entonces, f'(x) = cosh xb. c. Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = senh xd. Si f (x) = tgh x, entonces, f'(x) sechxe. Si f(x) = cotgh x, entonces, f' (x) = - coschxf. Si f(x) = sech x, entonces, f'(x) = - sech x tgh xg. Si f(x) = cosh x, entonces, f'(x) = - cosch x cotgh xEn virtud de esta proposicin y de la regla de la cadena, si u = u(x) es funcin diferenciable (respecto a la variable x) se obtiene el siguiente corolario:Corolario 1:Si u = u(x) es diferenciable, entonces:a. Dx (senh u) = cosh u. Dx(u)b. c. Dx (cosh u) = senh u. Dx(u)d. Dx (tgh u) = sech u. Dx(u)C) Circunferencia1.- DEFINICIN(Del latncircunferentia) Se llama circunferencia al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro

2.- ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

2.1 Ecuacin ordinariaSea P(x, y) un punto sobre la circunferencia, "r" el radio y C(h, k) el centro. Entonces partiendo de su definicin podemos afirmar que

Ejemplo: Si una circunferencia tiene por centro al punto C(2,4) y su radio es cinco, entonces su ecuacin ordinaria es: (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25.

2.2 Ecuacin cannicaEs un caso particular de la ecuacin ordinaria, cuando el centro es el eje coordenado, es decir, es (0,0):x2 + y2 = r2

2.3 Ecuacin generalPara hallar la ecuacin general, hay que desarrollar la ecuacin ordinaria:x2-2xh+h2+y2-2yk+k2-r2=0x2+y2-2xh-2yk+h2+k2-r2=0Haciendo: -2xh=D; -2yk=E; h2+k2-r2=F, se obtiene la ecuacin general de la circunferencia:x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 ; ( D 2 + E 2 4 F > 0 )Centro: Radio: Ejemplo 1:Ecuacin ordinaria de la circunferencia: ( x 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 25Ecuacin general de la circunferencia: x 2 + y 2 2 x 4 y 20 = 0

Casos particulares1 ) D 2 + E 2 4 F = 0 punto2 ) D 2 + E 2 4 F < 0 ningn lugar geomtrico

3.- ECUACION DE LA TANGENTE1 ) Dado el punto de contacto P ( x 0 , y 0 ) :a ) Dada la ecuacin ordinaria de la circunferencia, la ecuacin de la tangente en el punto P ( x 0 , y 0 ) de la circunferencia, es :( x 0 h ) ( x h ) + ( y 0 k ) ( y k ) = r 2b ) Dada la ecuacin general de la circunferencia, la ecuacin general de la tangente en el punto P ( x 0 , y 0 ) de la circunferencia, es :

2 ) Dada la pendiente m de la tangente:a ) Dada la ecuacin ordinaria de la circunferencia, las ecuaciones principales de las tangentes de pendiente m son:y = m ( x h ) + k + ry = m ( x h ) + k rEjemplo 2: Del ejemplo 1, ecuacin de la tangente en el punto P ( 5 , 1 ) : 4 x 3 y 23 = 0

Ejemplo 3: Del ejemplo 1, ecuaciones de las tangentes de m = 0,75: y = 0,75 x + 7,5; y = 0,75 x - 5

4.- LONGITUD DEL SEGMENTO DETERMINADO POR LA TANGENTE TRAZADA DESDE UN PUNTO EXTERIORa ) Dada la ecuacin ordinaria de la circunferencia, la longitud (d) del segmento que determina la tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x 1 , y 1 ) exterior a esta, es:

b ) Dada la ecuacin general de la circunferencia la longitud (d) del segmento que determina la tangente a la circunferencia, trazada desde el punto P ( x 1 , y 1 ) exterior a esta, es:

5.- EJE RADICALEl eje radical de dos circunferencias coplanares y no concntricas, es el lugar geomtrico de todos los puntos de ese plano, desde los cuales las tangentes a ellas, determinan segmentos de igual longitud.Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias no concntricas:x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0 ; (D 1 D 2 E 1 E 2)x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0la ecuacin general de su eje radical es:( D 1 - D 2 ) x + ( E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0Ejemplo 4:- Ecuacin general de la primera circunferencia: x 2+y 2 - 2 x- 4 y- 20 = 0- Ecuacin general de la segunda circunferencia: x 2+y 2- 24 x+2 y+129 = 0Ecuacin del eje radical: 22 x 6 y - 149 = 0Las distancias del punto Pa los puntos de tangencia son

6.-FAMILIADE CIRCUNFERENCIASDadas las ecuaciones generales de dos circunferencias secantes:x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 = 0x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 = 0La ecuacin dela familiade circunferencias que pasan por los puntos de interseccin de esas dos circunferencias secantes es:x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 + K( x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2) = 0 ; (K 1)Si K= 1, se tiene la ecuacin de la recta que contiene a la cuerda comn:(D 1 - D 2) x + (E 1 - E 2) y + F 1 - F 2 = 0Ejemplo 5:Sean las ecuaciones de las circunferencias secantes:x 2 + y 2 6 x 4 y 12 = 0; x 2 + y 2 4 y 24 = 0, la ecuacin de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de interseccin de las circunferencias anteriormente citadas:x 2 + y 2 6 x 4 y 12 + K( x 2 + y 2 4 y 24 ) = 0 ( K 1 )Ecuacin de la recta que contiene a la cuerda comn: x = 2

D) RAICES IRRACIONALESSi una ecuacin entera posee races irracionales, stas pueden determinarse por diversosmtodos. Dada una ecuacin entera con coeficientes racionales, primeramente aplicaremos elprocedimientodado para obtener las races racionales. Es decir, separaremos todas las races nulas y (o) racionales, y cualquier raz irracional existente la obtendremos de la ecuacin reducida. Si la ecuacin reducida es cuadrtica las races se obtienen fcilmente por medio de la frmula correspondiente. Por tanto, en el siguiente estudio supondremos que el grado de la ecuacin reducida es igualo mayor que 3.

1.-Mtodode aproximacin.-En este caso las races irracionales vendrn dadas en forma decimal, y el grado de precisin depende del nmero de cifras decimales obtenidas. Esteprocesoes, pues, esencialmente, un mtodo de aproximacin.

El mtodo de aproximacin se llama interpolacin lineal. Est fundado en lahiptesisde que un arco pequeo de una curva continua puede sustituirse por un segmento rectilneo sin introducir un error apreciable. Naturalmente esto es slo una aproximacin, pero tiene la ventaja de que es posible mejorarla disminuyendo la longitud del arco considerado.Para explicar el mtodo de interpolacin lineal vamos a considerar la grfica de una funcin polinomial f (x) con coeficientes reales. Sean a y b dos nmeros positivos muy prximos y tales que b > a. Supongamos que f(a) = h > O, para x = a y que f(b) = -k < O para x = b. Entonces f(x) tiene un cero entre a y b. Esto se representa grficamente en la figura, en donde P(a,h) y Q(b,-k) son dos puntos prximos de la curva. Los puntos A y B son respectivamente los pies de las perpendiculares bajadas de P y Q al eje X. Sea R el punto de interseccin de la prolongacin de P A con la recta que pasa por Q paralela al eje X. Supongamos ahora que el arco de la curva de la grfica de f(x) que une P y Q se sustituye por una lnea recta, y sea C, entre A y B el punto en que AB corta al eje X. Entonces la abscisa x1 del punto C es un valor aproximado del cero de f(x) situado entre a y b. Este valor de x1 puede calcularse fcilmente. En efecto: de lostringulossemejantesPACyPRQ,obtenemos la relacin

y comoRQ=AB=b-a, AP=h,YRP=h+k,obtenemos

Ya quea, b, hYkson cantidades conocidas,ACpuede calcularse. Aadiendo este valor aa,obtenemos el valor buscado de x1 o sea laprimeraaproximacin de la raz. Partiendo de esta primera aproximacin, podemos repetir el proceso para obtener una segunda aproximacin ms precisa. El proceso puede repetirse tantas veces como sea necesario hasta obtener el grado de precisin deseado.Ejemplo. Demostrar que la ecuacinf(x)=x8-5x2+2x+ 6 = Otiene una raz entre 1 y 2, Y calcularla con una cifra decimal.SOLUCION. Por divisin sinttica encontramosf( 1) = 4 Yf(2) = -2, lo que comprueba que la ecuacin (2) tiene una raz entre 1 y 2. En seguida trazamos la grfica correspondiente como semuestraen la figura 40(a), en la cual se han utilizado las mismas literales que en la figura anterior. Entonces, de la primera relacin tenemos

Nuestra primera aproximaci6n es, por tanto, x1 = 1 + 0.6 = 1.6.

Para asegurar la precisin de la raz buscada con una cifra decimal, repetimos el proceso para obtener una segunda decimal. As encontramosf(1.6)= 0.496 Yf(1.7)= -0.137, de modo que la ecuacin tiene una raz entre 1.6 y 1.7. La grfica correspondiente aparece en la figura 4O(b), en la cual se han utilizado de nuevo las mismas literales. AquRQ= 0.1,AP= 0.496 YRP= 0.137 + 0.496 = 0.633. Por tanto, por la relacin tenemos

Nuestra segunda aproximacin es, pues, x2 = 1.6 + 0.07 = 1.67. Por tanto, la raz buscada; correcta con una cifra decimal, es 1.7.NOTAS.1. Debe probarse cuidadosamente cada aproximacin para asegurarse de que la raz cae entre dosvaloresconsecutivos. Esto es especialmente importante en la primera aproximacin, ya que all es donde se considera el arco de mayor longitud y donde, por tanto, se obtiene menor precisin. As, por ejemplo, en un caso particular, la primera aproximacin puede indicar que hay una raz entre 1.6 y 1.7, pero la sustitucin directa puede mostrar que la raz verdadera est comprendida, por ejemplo, entre 1.2 y 1.3.2. Aunque el mtodo de interpolacin lineal nos da cada vez ms precisin al tomar aproximaciones sucesivas, es cierto que lasoperacionesaritmticas necesarias tambin aumentan considerablemente.Sin embargo, este mtodo tiene la ventaja muy apreciable de que puede utilizarse tambin para aproximar las races irracionales de ecuaciones no algebraicas, es decir, de ecuaciones trascendentes, tales como las ecuaciones trigonomtricas y logartmicas.El trabajoaritmtico puede reducirse en cierta medida utilizando tablas de funciones ymquinascalculadoras.

2.- METODO DE HORNER.-Ahora vamos a calcular las races irracionales por medio de un proceso conocido con el nombre demtodo de aproximacin de Horner. Este mtodo slo es aplicable a las ecuaciones enteras, pero tiene la ventaja de que los clculos necesarios son ms sencillos que los usados en el mtodo de la interpolacin lineal. La facilidad declculoes debida a que cada cifra de la raz se determina individualmente.El razonamiento fundamental del mtodo de Horner es muy sencillo. Supongamos que una ecuacin entera dada f(x) = 0 tiene una raz irracional que, correcta con 3 cifras decimales, es 2.124. Para determinar esta raz primeramente veremos que la ecuacin dada tiene una raz entera. Despus disminuiremos las races de f(x) = 0 en 2 unidades, obteniendo la nueva ecuacin f1(x1)= 0 que tiene la raz 0.124. Entonces hacemos ver quef1{Xl}= 0 tiene una raz entre 0.1 y 0.2 y disminuimos sus races en 0.1, obteniendo una nueva ecuacin f2(x2) = 0 que tiene la raz 0.024. Repitiendo el paso anterior, mostramos que f2(X2)= O tiene una raz entre 0.02 y 0.03 y disminuimos sus races en 0.02, obteniendo una nueva ecuacin f3(x3) = O que tiene la raz 0.004. Continuando este proceso, es posible obtener la raz con el nmero de cifras decimales correctas que se desee. Los detalles del mtodo los vamos a explicar en el ejemplo que sigue.Ejemplo. Demostrar que la ecuacin(1)f(x)= x3+ 5x2-x-9 = 0tiene una raz entre 1 y 2, Y calcularla con 3 cifras decimales por medio del mtodo de Horner.SOLUCION: Por divisin sinttica encontramosf(l)= -4 Yf(2)= 17 lo que significa que la ecuacin (1) tiene una raz entre 1 y 2. Ahora disminuimos las races de la ecuacin (1) en 1.

La ecuacin transformada(2)f(x)= x13+ 8x12 + 12x1 - 4= 0tiene una raz entre O y 1 que procederemos a determinar entre dos dcimas sucesivas. Ya que la raz de (2) es pequea, su cubo y cuadrado son an ms pequeos, por lo que, para una primera aproximacin, podemos despreciar los trminos enX13yX12,obteniendo as laecuacin modificada 12x1-4 = O que tiene la solucin X1 = 0.3+. Ya que esto es slo una aproximacin, debemos probarla en la ecuacin (2). Por divisin sinttica encontramosf1(0.3)= 0.347 Yf1(0.2)= -1.272. Por tanto, la ecuacin (2) tiene una raz entre 0.2 y 0.3. A continuacin disminuimos las races de la ecuacin (2) en 0.2. Al efectuar esta operacin conviene dejar espacio suficiente para las decimales necesarias, como se indica:

La ecuacin transformada: (3)f2(X2)=X23+8.6x22+15.32x2- 1.272 = O, tiene una raz entre O y 0.1 que procederemos a localizar entre dos centsimas sucesivas. De los ltimos dos trminos de (3), obtenemos la ecua cin modificada 15.32x2 - 1.272 = 0 que tiene la solucin x2 =0.08+. Por divisin sinttica encontramos f2(0.08)= 0.009152, f2(0.07)=-0.157117. Por tanto, la ecuacin (3) tiene una raz entre 0.07 y 0.08. Ahora disminuimos las races de (3) en 0.07:

La ecuacin transformada es(4) f3(x3)= x33+8.81x32+16.5387x3-0.157117= 0tiene una raz entre 0 y 0.01 la cual debemos localizar entre dos milsimas sucesivas. De los ltimos dos trminos de (4), tenemos la ecuacin modificada 16.5387X3 - 0.157117 = 0, con la, solucinX3 = 0.009+. Por divisin sinttica encontramos f3(0.009)= -10.007554361 y f3(0.01)= 0.009152. Por tanto, la ecuacin (4) tiene una raz entre 0.009 y0.011Ahora disminuimos las races de la ecuacin (4) en 0.009. Se deja como un ejercicio mostrar que la ecuacin transformada es(5) f4(x4)=x43 + 8.837x42+16.697523x4 - 0.007554361 = 0.De la ecuacin modificada16.697523x4.- 0.007554361 = O, obtenemos la solucinx4.= 0.0004+. En este punto, ya que la raz de (5) es muy pequea, la solucin de la ecuacin modificada es suficientemente precisa. Por: tanto, la raz buscada esx= 1 + 0.2 + 0.07 + 0.009 + 0.0004 = 1.2794y, con precisin de 3 decimales, es 1.279.NOTAS.1. Por motivos deexposicin, la resolucin del ejemplo anterior se ha descrito en forma ms extensa de lo necesario. En la prctica se puede hallar la solucin en forma ms breve, mostrando solamente las operaciones de disminucin de las races y omitiendo las ecuaciones transformadas de cuyos coeficientes ya se dispone.2. Es muy importante probar cada cifra sucesiva de la raz buscada para asegurarse de que la raz de cada ecuacin transformada est entre dos valores sucesivos.3. Conforme se avanza en la determinacin de aproximaciones por el mtodo de Horner, las races de las ecuaciones transformadas se hacen ms y ms pequeas por lo que las ecuaciones modificadas se hacen ms y ms precisas y a menudo pueden usarse para obtener cifras decimales adicionales.4. Para hallar una raz negativa def(x)= O por el mtodo de Horner, se calcula la raz positiva correspondiente def (-x)= O Y se le cambia el signo.

E) APLICACIONES DE LA DERIVADA

1.- Funciones crecientes y decrecientesCuando se tiene la grfica de una funcin continua resulta bastante fcil sealar en qu intervalo la funcin es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fcil decir en qu intervalo la funcin es creciente, decreciente o constante sin la grfica de la funcin. El uso de la derivada de una funcin puede ayudar a determinar si una funcin es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado.

1.1.Teorema:Sea f una funcin derivable en el intervalo (a,b). Luego,i) Si f(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).ii) Si f(x)f(x) para todo x en el intervalo [a,b].Si f(c) es el mximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto ms alto de la grfica. Valor mnimo o mnimo absoluto de f: si existe un nmero c en el intervalo [a,b] tal que f(c)0 entonces x = c es un mnimo relativo y la grfica de f es cncava hacia arriba.ii) si f"(c)