analisis matematico digitalizados
DESCRIPTION
Analisis I _Funciones, Enteros, Derivadas, Limite etc. my completo, teoria + ejemplos con resolucion de ej.TRANSCRIPT
PAGE 2-130
NMEROS REALES y DESIGUALDADES
El Sistema de Nmeros Reales, consiste en un conjunto R de elementos llamados NUMEROS REALES, y dos operaciones llamadas Adicin y Multiplicacin ( +, .).
Captulo 1 EJEMPLO
Si a y b son elementos del conjunto R entonces:
a + b Indica la suma de a y b
a . b Indica el producto de a y b
Las operaciones inversas, se definen mediante las siguientes ecuaciones:
a b = a + (- b)Donde b representa el negativo de b, tal que b + (-b) = 0a / b = a . b-1 Donde b-1 representa el recproco de b, tal que b . b-1 = 0
Positivo
Un Nmero real puede serNegativo
Cero
Racional
Cualquier nmero real se puede clasificar como
Irracional
Captulo 2 RACIONALES
Es cualquier nmero que se puede expresar como la razn de dos enteros.
Es decir, un nmero racional es un nmero de la forma p/q donde p y q son enteros y q es distinto de cero.
Los Nmeros Racionales Comprenden a:
Los Enteros ( positivos y negativos)
. . . , -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 ,2, 3, 4 , . . .
Las Fracciones ( positivas y negativas)
7/2 -5/4 57/8
Los Decimales Conmensurables (positivos y negativos)
2,36 = 236/100 -0.003251 = -3251/1000000
Los Decimales Inconmensurables Peridicos (positivos y negativos)
0.333 = 1/3 -0.549549549 = -61/111
Captulo 3 IRRACIONALES
Se denominan de esta manera a los nmeros Decimales Inconmensurables No peridicos.
Captulo 4 CONJUNTOS
Podemos decir que conjunto es una reunin de objetos, los cuales reciben el nombre de elementos del conjunto.
Si todo elemento de un conjunto S tambin es un elemento de un conjunto T, entonces S es un subconjunto de T.
En Anlisis nos ocuparemos del conjunto R, de los nmeros reales.
Captulo 5 SMBOLOS
Indica que un elemento especfico pertenece a un conjunto
Ejemplo: 8 N indica que 8 pertenece es un elemento de los nmeros naturales N
Se lee No es un elemento, no pertenece
Ejemplo:1/2 N
Llaves Utilizadas con palabras smbolos describen un conjunto. Si S es el conjunto de nmeros naturales menores que 5 podemos escribir
Ejemplo: 1, 2, 3, 4,
Tambin podemos escribirlo como:
x, tal que x es un nmero natural menor que 5
x Recibe el nombre de variable
/Tal que
Ejemplo:
x/x es un numero natural menor que 5
x/xR < 5
Se dice que:
Los conjuntos A y B son IGUALES, A = B, si A y B poseen elementos idnticos.
La UNIN de dos conjuntos A y B , es el conjunto de todos los elementos que se encuentran en A en B o en ambos.
La INTERSECCIN de A y B , es el conjunto de todos los elementos que se encuentran tanto en A como en B.
El conjunto VACIO es aquel que no tiene elementos 0.
EJEMPLO 1
Suponga que
Entonces:
Existe un ordenamiento para el conjunto R por medio de una relacin dada por los smbolos
DEFINICIN
Si a, b R
a < bSi y solo sib a es positiva
a > bSi y solo sia b es positiva
EJEMPLO 2
3 < 5 puesto que 5 3 = 2
positivo
-10 < -6puesto que 6 (-10) = 4
positivo
7 > 2 puesto que 7 2 = 5
positivo
-2 > -7 puesto que - 2 (-7) = 5
positivo
3/4 > 2/3 puesto que 3/4 2/3 = 1/12positivo
DEFINICIN
Si a, b R
a bsi y solo si a < b, o bien a = b
a bsi y solo si a > b, o bien a = b
NOTA
a < b,a > b, a b, a b, Se conocen como desigualdades
a < b,a > b,
Se llaman desigualdades estrictas
a b, a b
Se llaman desigualdades no estrictas
TEOREMA
a > 0si y solo si a es positivo
a < 0si y solo si a es negativo
NOTA
Un nmero x se encuentra entre a y b si a < x y x < b
Esto puede escribirse como Desigualdad Continua de la siguiente manera:
a < x < b
a x b
TEOREMA
Si a > 0 y b > 0
a + b > 0
Si a > 0 y b > 0
a . b > 0
La suma de dos nmeros positivos es positiva
El producto de dos nmeros positivos es positiva
TEOREMA
Si a, b, c R ySi a > b y b > c
entonces a > c
EJEMPLO
Si x < 5 y 5 < y entonces x < y
TEOREMA
Supngase que a, b, c R
Si a< b,
entoncesa + c < b + c
Si a< b, y c > 0entoncesa . c < b . c
Si a< b, y c < 0entoncesa . c > b . c
EJEMPLO
Si
x < y
x + 3 < y + 3
1 < 5
1 + 3 < 5 + 3
4 < 8
Si
x < yy c > 0
5x < 5y
1 < 5y c = 5
5.1 < 5 .5
5 < 25
Si
x < yy c < 0
x (-3) > y (-3)
4 < 6y c = -34(- 3) > 6(-3)
-12 > -18
INTERVALOS EN LA RECTA REAL
Los conjuntos mas frecuentes son los intervalos de la recta real
EJEMPLO
El intervalo abierto es el conjunto de nmeros reales mayores que a y menores que b, donde, a y b se llaman puntos terminales del intervalo.
Ntese que a y b No estn contenidos en el intervalo mayor que y menor que.
Los intervalos que incluyen los puntos terminales se llaman intervalos cerrados como por ejemplo .
Existen nueve tipos de intervalos bsicos a saber:
TIPONOTACIN DE INTERVNOT DE CONJUNTOGRAFICA
ABIERTO
( ) a b
CERRADO
[ ] a b
SEMI ABIERTO DER
[ ) a b
SEMI ABIERTO IZQ
( ] a b
INFINITOS
] | a b
) | a b
| ( a b
| [ a b
| | a b
EJEMPLO 1 (Larson pag 4)Describir los intervalos de la recta real que corresponden a los rangos de temperatura del agua (en grados Fahrenheit) en los estados a) liquido b) gaseoso.
a) El agua es lquida entre los 32 F y los 212 F luego:
| ( | | )
0 32 50 200 212
b)El agua esta en estado gaseoso desde los 212 F en adelante o sea que el intervalo es:
[ 212
EJEMPLO 2 (Larson)
Hallar el conjunto solucin de la igualdad 2x 5 < 7
2x 5 < 7
2x 5 + 5 < 7 + 5
2x < 12
2x < 12
x < 6
por lo tanto el conjunto solucin es el intervalo | )
0 6
Captulo 6 EJEMPLO 3 Interseccin de dos conjuntos solucin
Hallar la interseccin de los conjuntos solucin de las desigualdades:
Solucin
Podramos resolver ambos y luego hallar la interseccin, pero como la expresin 2 5x esta en ambos, conviene trabajar con los dos a la vez.
resto 2
divido por 5
Luego el intervalo es [-2,1]
Captulo 7 NOTA
Las desigualdades de los ejemplos 2 y 3 se refieren a polinomios de primer grado.
Para grados superiores se usa el principio de que un polinomio cambia de signo solo en sus ceros ( los valores que anulan el polinomio)
Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es, o siempre positivo o siempre negativo.
Ello significa que si se ordenan los ceros reales de un polinomio, dividen a la recta real en intervalos de prueba en los que el polinomio no cambia de signo.
EJEMPLO
x2 x 6 = (x 3)(x + 2)
Solo puede cambiar de signo en: x = -2y x = 3, y necesitamos un solo valor de cada intervalo de prueba para resolver la desigualdad.
Captulo 8 EJEMPLO 4 Resolviendo desigualdades
Hallar el conjunto solucin para la desigualdad
x2 < x + 6
Solucin:
x2 < x + 6
dato
x2 x 6 < 0
forma polinmica
(x 3)(x + 2) < 0
factorizada
Por lo tanto el polinomio tiene x = -2 y x = 3 como ceros y podemos resolver la desigualdad probando su signo en los intervalos:
x < -2,
-2 < x < 3,x > 3
Para probar un intervalo, escogemos un nmero en l y calculamos el signo de cada factor.
Por ejemplo, para cualquier x < -2, ambos factores (x 3) y (x + 2) son negativos , luego su producto es positivo y la desigualdad no satisface en el intervalo x < -2
El grfico sugiere como actuar durante la comprobacin
es (x 3)(x + 2) < 0?
(-)(-) > 0, (-)(+) < 0, (+)(+) > 0
( ) NO -2 SI 3 NO
-2 < x < 3
EJEMPLO 1 (Leithold pag 8)Hallar el conjunto solucin de la desigualdad: 2 + 3x < 5x + 8
Solucin
2 + 3x < 5x + 8
2 + 3x 2 < 5x + 8 2
3x < 5x + 6
3x 5x < 5x 5x + 6
-2x < 6
x > -3
Por lo tanto el conjunto solucin es ( | -3 0
EJEMPLO 2 (Leithold)Obtener el conjunto de soluciones de la desigualdad
Solucin
Sumamos 2 a cada miembro de la desigualdad
El conjunto solucin es (2,4] | ( ]
0 2 4
Captulo 9 EJEMPLO 3
Hallar el conjunto solucin de la desigualdad
Solucin:
Se trata de multiplicar por x ambos miembros de la desigualdad. Sin embargo, el sentido de la desigualdad que resulta depende de si x es positivo o negativo.
Si x < 0 entonces lo que contradice la desigualdad dada. Por lo tanto, solo debemos considerar x > 0
De la multiplicacin por x en ambos miembros de la desigualdad dada, tenemos.
7x > 2x
7/2 > x
x< 7/2
Como estos pasos son reversibles, el conjunto de soluciones de la desigualdad es:
lo que es lo mismo que es el intervalo (0,7/2)
( ) 0 7/2
EJEMPLO 4
Determinar el conjunto de soluciones de la desigualdad
Solucin
Para multiplicar por x 3 ambos miembros de la desigualdad debemos considerar dos casos:
Caso 1:
x 3> 0 ; es decir x > 3
x < 4x 12
x 4x < 4x 12 4x
-3x < -12
x > 4
As pues, el conjunto de soluciones del Caso1 es:
es decir el intervalo
Caso 2:
x 3 < 0 ; es decir x < 3
x> 4x 12
Esto resulta de la multiplicacin de ambos miembros de la desigualdad e invirtiendo el sentido de la desigualdad.
-3x > -12
-x < 4
Por lo tanto x debe ser menor que 4 y que 3. As el conjunto de soluciones es el intervalo .
Si los conjuntos de soluciones para los casos 1 y 2 se combinan, obtenemos:
| ) ( 0 3 4
Captulo 10 DEFINICIN DE VALOR ABSOLUTO
Si a es un nmero real, su valor absoluto es:
+ a si a
| a | =
- a si a
Captulo 11 NOTA
El valor absoluto de un nmero nunca puede ser negativo
EJEMPLO
Sea a = - 4
como 4 < 0 tenemos
| a | = | - 4 | = -(-4) = 4
Captulo 12 OPERACIONES CON EL VALOR ABSOLUTO
Si a , b son nmeros reales y n es un nmero entero, se verifican las siguientes propiedades:
1) | ab | = | a | . | b |
2)
3)
4)
DEMOSTRACINSe demuestra solo la propiedad 3
Como (+a)2 = a2 y (-a2) = a2, sabemos que +a y a son ambas races cuadradas de a2, adems como es una raz no negativa tenemos:
ya que
Captulo 13 DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
Si a , b son nmeros reales y k es un nmero positivo se verifica:
1)
2)
3)
4)Desigualdad triangular:
Captulo 14 DEMOSTRACIN
Se demuestra solo la propiedad 4
Usando la propiedad 1, se tiene que
y
Sumando las dos desigualdades tenemos
Por la propiedad 2 ( usando concluimos que
COORDENADAS Y RECTAS
Dos nmeros reales cualesquiera forman un par, y cuando el orden del par tiene importancia, se llama PAR ORDENADO.
Si x es el primer nmero real e y el segundo, este par ordenado se denota como (x, y).
Plano Numrico: es el conjunto de todos los pares ordenados de nmeros reales. Se denota como R2.
Punto del plano: es cada pareja ordenada (x, y).
Si tomamos una recta horizontal llamada eje x y una vertical llamada eje y, llamamos origen al punto de interseccin entre ambas.
Se establece que el sentido positivo de las x es hacia la derecha del origen y el sentido positivo de las y es hacia arriba del origen.
En el punto x del eje horizontal y en el punto y del vertical, se trazan rectas perpendiculares a los respectivos ejes. La interseccin de las dos lneas perpendiculares es el punto P asociado al par ordenado (x, y).
El primer nmero x del par recibe el nombre de abscisa ( o coordenada x) de P, el segundo nmero es la ordenada ( o coordenada y) de P.
ordenada y y y P(x,y)
0 abscisa x x xAbscisa(+) P a la derechadel eje yAbscisa(-) P a la izquierdadel eje yOrdenada(+) P arriba
del eje xOrdenada(-) P abajo
del eje xLos ejes x e y que se denominan ejes coordenados, dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes.
Segundo C Primer C
(-) (+)
Tercer C Cuarto C
(+) (-)
Captulo 15 DISTANCIA DIRIGIDA
Si A es el punto(x1, y1) y B es el punto (x2,, y1), es decir tienen la misma ordenada pero distinta abscisa, se llama distancia dirigida a:
AB = x2 x1Si C es el punto (x1,y1) y D es el punto (x1,y2) entonces la distancia dirigida C a D esta definida por:
CD = y2 y1Captulo 16 EJEMPLO
a) Si A es el punto (3, 4) y B es el punto (9, 4) entonces:
AB = 9 3 = 6
b) Si A es el punto (-8, 0) y B es el punto (6, 0) entonces
AB = 6 (-8) = 14
c)Si A es el punto (4, 2) y B es el punto (1, 2) entonces
AB = 1 4 = -3
A(3,4) B(9,4) B(1,2) A(4,2)
A B
| | | | | | | | | | |
3 9 -8 6 1 4 AB = 6 AB = 14 AB = - 3
Vemos que AB es positiva si B esta a la derecha de A y AB es negativa si B esta a la izquierda de A
Captulo 17 EJEMPLO
a)Si C es el punto (1, -2) y D es el punto (1, -8) entonces:
CD = -8 (-2) = - 6
b) Si C es el punto (-2, -3) y D es el punto (-2, 4) entonces:
CD = 4 (-3) = 7
-1 C (1,-2) D (-2,4) 4 -
-8 D (1,-8)
C (-2,-3) -3 -
Distancia Dirigida:Indica tanto una distancia como un sentido (positivo o negativo)
Distancia No Dirigida:Es solo la longitud del segmento entre los puntos P1 y P2 y se la representa como |P1 P2|.
Cuando se utiliza el trmino Distancia se entiende siempre distancia No Dirigida.
DISTANCIA NO DIRIGIDA ENTRE DOS PUNTOS
Para calcular la Distancia No Dirigida se utiliza el teorema de Pitgoras la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
2 = |P1 M|2 + |M P2|2
La frmula no lleva el signo puesto que se expresa como modulo(| |), es siempre un nmero no negativo.
y
P2(x2,y2)
y2-y1 P1(x1,y1) M(x2,y1)
x2-x1 x
TEOREMA
La distancia (No dirigida) entre dos puntos cualesquiera P1(x1 ,y1) y P2(x2, y2) esta dada por:
NOTA
Si P1 y P2 estn sobre la misma recta horizontal entonces y1 = y2 y por lo tanto
= |x2- x1| ya que = | a |
Si P1 y P2 estn sobre la misma recta vertical entonces x1 = x2 y por lo tanto
= |y2- y1| ya que = | a |
EJEMPLO
Demostrando que dos lados tienen la misma longitud, probar que el triangulo con vrtices en A (-2, 4), B (-5, 1) y C (-6, 5) es issceles:
Solucin
C (-6, 5)
= =
A (-2, 4)
= = B (-5, 1) | |
-5 -2
puesto que , el triangulo es issceles.
EJEMPLO 1 (Larson) Distancia entre dos puntos
Hallar la distancia entre los puntos (-2, 1) y (3, 4)
Solucin
d = = = =
EJEMPLO 2 (Larson)
Usar la frmula de la distancia para probar que los puntos (2, 1), (4, 0), (5, 7) son vrtices de un tringulo rectngulo
Solucin
d1 = = =
d2 = = =
d3 = = =
Como d12 + d22 = 45 + 5 = 50 = d32 , podemos aplicar el teorema de Pitgoras para concluir que es un triangulo rectngulo.
TEOREMA DEL PUNTO MEDIO
El punto medio del segmento rectilneo que une (x1 , y1) y (x2 , y2)es:
(x1,y1)
Demostracin
Ntese que las coordenadas del punto medio
de un segmento son sencillamente los promediosde las respectivas coordenadas de los puntos (x2,y2)
extremos
Probaremos que: d1 = d2 y d1 + d2 = d3
con lo cual queda demostrado que d1 = d2 y d1 + d2 = d3
RECTAS
Se pueden representar en forma conveniente muchas relaciones entre cantidades, mediante rectas.
Una de las caractersticas de la recta es su inclinacin.
Para medir la inclinacin de una recta, se utiliza la nocin de PENDIENTE
En el grfico, conforme se avanza
5 (4,5)
a lo largo de la recta L desde (2,1) hasta (4,5)
la coordenada x aumenta de 2 a 4 y la coordenada L cambio vertical =4
y aumenta de 1 a 5 2-
1 (2,1)
| | | | | |
1 2 3 4 5 6
cambio horizontal. = 2
La tasa promedio de variacin con respecto a x es la Razn.
Esto significa que a cada aumento unitario de x se tiene un aumento de dos unidades en y.
Por ello, la recta asciende de izquierda a derecha . Se dice que la pendiente de la recta es 2, Positiva.
DEFINICINSean (x1,y1) y (x2,y2) dos puntos sobre una recta en donde
La pendiente de la recta es el nmero dado por
Si x1 =x2 Es una recta vertical, el denominador es cero, No se define pendiente
Si y1 = y2Es una recta horizontal el numerador es cero, por lo tanto la pendiente es cero
RESUMEN
Pendiente Cero
Recta Horizontal
Pendiente Indefinida
Recta Vertical
Pendiente Positiva
Recta asciende de izquierda a derecha
Pendiente Negativa
Recta asciende de derecha a izquierda
PENDIENTE
Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos cualesquiera de la recta L y esta recta no es paralela al eje y, la pendiente l, llamada m, esta dada por:
y2 y1 = m(x2 x1)
EJEMPLO 3
Si l es una recta que pasa por los puntos P1(2, 3) y P2(4, 7) determinar m.
=
La pendiente m = 2
EJEMPLO 4 (Leithold)Obtener la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(6, -3) y B(-2, 3)
Solucin
Primero se calcula m
Usando la formula
y2 y1 = m(x2 x1)
y (-3) = -3/4 (x 6) = 4 (y + 3) = -3 (x 6) = 4y + 12 = -3x + 18
3x + 4y 6 = 0
tambin puede calcularse el punto B como P1 y obtendremos:
y 3 = -3/4(x + 2) = 4y 12 = -3x 6 = 3x + 4y - 6 = 0
NOTA
Conforme mayor es el valor absoluto de la pendiente, mas vertical es la recta. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente o son verticales.
FORMA PUNTO PENDIENTE
La forma punto pendiente de una ecuacin de la recta cuya pendiente es m y pasa por (x1,y1) se representa de la siguiente forma
y y1 = m (x x1)
EJEMPLO 2 (Heeusssler)Hllese la ecuacin de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto (1, -3)
m = 2
(x1, y1) = (1, -3)
y (-3) = 2 (x 1);y + 3 = 2x 2
2x y 5 =0
EJEMPLO 3 (Heeusssler)Obtener la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-3, 8) y (4, -2)
=
Eligiendo (-3, 8) como (x1, y1)en la forma punto pendiente se obtiene:
y 8 = -10/7 (x 3) ; y 8 = -10/7 (x + 3)
7y 56 = -10x 30 10x + 7y 26 = 0
FORMA PENDIENTE INTERCEPCINSi en la forma punto pendiente se selecciona el punto (0, b), esto es el punto donde la recta corta el eje de las y, como punto (x1, y1) se obtiene:
y b = m (x 0)
y = mx + b
El nmero b es la ordenada al origen y la ecuacin se llama Forma Pendiente Intercepcin.
NOTA
Otra forma de escribir la ecuacin de la recta es:
RESUMEN
FormaPunto-Pendiente:
y y1 = m (x x1)
Forma Pendiente-Intercepcin y:
y = mx + b
Forma Lineal general
ax + by + c = 0
Recta Vertical
x = a
Recta Horizontal
y = b
EJEMPLO 5 (Leithold)
Sea l1 la recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(3, -6) , y m1 la pendiente de l1. Sea l2 la recta que pasa por los puntos C(2, -5), D(-1, 7) y m2 la pendiente de l2.Hallar la ecuacin de las recta y hacer el grafico.
-4
-4
Puesto que m1 = m2, l1 y l2 son paralelas.
Dos puntos cualesquiera determinan una recta. Tres puntos distintos pueden o no encontrarse en la misma recta.
Si tres o mas puntos se localizan en la misma recta , se dice que son colineales. Por tanto, tres puntos A, B, y C son colineales si y solo si la recta que pasa por los puntos A y B es la misma que pasa por C y B.
Ya que la recta que pasa por A y B y la que pasa por B y C contienen ambas al punto B, son la misma recta si y solo si sus pendientes son iguales.
EJEMPLO 4 (Leithold)
Determinar por medio de las pendientes si los puntos A(-3, -4), B(2, -1) y C(7, 2) son colineales.
Solucin:
Si m1 es la pendiente de la recta que pasa por A y B y m2 es la pendiente de la recta que pasa por B y C entonces
m1 = m2 por lo tanto la recta que pasa por A y B y la que pasa por B y C tienen la misma pendiente y contienen al punto B. Por consiguiente, son la misma recta y en conclusin A, B y C son colineales.
TEOREMA
Dos rectas no verticales l1 y l2, cuyas pendientes son m1 y m2, respectivamente, son perpendiculares si y solo si m1 m2 = -1.
EJEMPLO 5 (Leithold)
Sea la ecuacin de la recta l5x + 4y 20 = 0
Obtener una ecuacin de esa recta a travs del punto (2, -3), a) paralela a l y b) perpendicular
Solucin:
Primero se determina la pendiente de l escribiendo su ecuacin en la forma pendiente-intercepcin.
Despejando y de la ecuacin tenemos:
4y = -5x + 20
y = -5/4x + 5
m = -5/4La pendiente m es el coeficiente xa) La pendiente de la recta paralela a l tambin es 5/4
Puesto que la recta requerida contiene al punto (2, -3) usamos la forma punto-pendiente.
y (-3) = -5/4 (x 2)
4y + 12 = -5x + 10
5x + 4y + 2 = 0
b) La pendiente de una recta perpendicular a l es el recproco de 5/4 que es 4/5
A partir de la forma punto-pendiente la ecuacin de una recta que pasa a travs de (2, -3) y cuya pendiente sea 4/5 es:
y (-3) = 4/5(x 2)
y + 3 = 4/5(x 2)
5y + 15 = 4x 8
4x 5y 23 = 0
EJEMPLOObtenga la pendiente de la recta cuya ecuacin es 6x + 5y 7 = 0
Solucin:
Se despeja y de la ecuacin
5y = -6x + 7
y = -6/5 x + 7/5
Esta ecuacin esta en forma de pendiente e intercepcin y con m = -6/5
CIRCUNFERENCIAS Y GRAFICAS DE ECUACIONES
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo.
Al punto fijo se le llama centro
A la distancia constante se la llama radio
Para obtener la ecuacin de la circunferencia con centro en C(h, k) y radio r, usamos la formula de la distancia.
El punto P(x, y) esta en la circunferencia, si y solo si, , esto se cumple, si y solo si
Elevando al cuadrado ambos trminos de la igualdad se obtiene, la ecuacin cannica del circulo.
ECUACIN CANNICA DEL CIRCULO
El punto (x, y) esta en el circulo de radio r y centro en (h, k) si y solo si:
Si el centro de una circunferencia corresponde al origen es decir h = 0 y k = 0 su ecuacin es:
x2 + y2 = r2
P(x,y) v
EJEMPLO 5 (Larson) Hallando la ecuacin de un circulo
El punto (3, 4) esta en un crculo de centro (-1, 2). Hallar la ecuacin del circulo
Solucin:
Su radio es la distancia (-1, 2) y (3, 4)
Por tanto y segn la ecuacin del crculo
(x + 1)2 + (y 2)2 = 20
x2 + 2x + 1 + y2 4y + 4 = 20
x2 + y2 + 2x 4y 15 = 0
Que es una ecuacin para el crculo escrita en forma general
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0, para A distinto de cero
La forma general de la ecuacin de un circulo es menos til que la cannica.
EJEMPLO 6 (Larson) Completando el cuadrado
Dibujar el crculo cuya ecuacin en forma general es:
4x2 + 4y2 + 20x 16y + 37 = 0
Solucin:
Para completar el cuadrado dividiremos por 4 de modo que el coeficiente de x2 e y2 sea 1.
Dividido por 4
(x2 + 5x ) + (y2 4y ) = 37/4
Agrupado por trminos
(x2 + 5x + 25/4) + (y2 4y + 4) = 37/4+ 25/4 + 4 Completando el cuadrado
(mitad)2 (mitad)2
que n multiplicado x 2 me da 5 que n multiplicado x 2 da 4
Forma Standard
(x + 5/2)2 + (y 2)2 = 1
Por tanto el crculo tiene centro en (-5/2, 2) y si radio es uno r = 1
EJEMPLO 7 (Larson) Un conjunto solucin con un nico punto
Discutir la grfica de: 3x2 + 3y2 + 24x 6y + 51 = 0
Solucin
Dividimos en primer lugar por tres obteniendo
x2 + y2 + 8x 2y + 17 = 0
Entonces escribimos
(x2 + 8x + ) + (y2 2y + ) = 17
(x2 + 8x + 16 ) + (y2 2y + 1 ) = - 17 + 16 + 1
(x + 4)2 + (y 1)2 = 0
La suma de la izquierda es cero solo si sus dos sumandos son cero.
Como esto ocurre solo cuando x = -4 e y = 1, la grafica consta de un solo punto, a saber (-4, 1)
Este ejemplo muestra que la ecuacin Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0, no siempre representa un crculo.
De hecho, puede incluso carecer de puntos solucin si al completar el cuadrado se llega a un resultado absurdo como por ejemplo
EJEMPLO 1 (Leithold)
Obtener la ecuacin de la circunferencia cuyo dimetro corresponde a los puntos extremos A(-2, 3) y B(4, 5)
Solucin
El punto medio del segmento de A a B es el centro de la circunferencia.
Si C(h, k) es el centro de la curva, entonces
C(1, 4)
El centro esta en C(1, 4). El radio puede calcularse como o si r = , entonces:
Por tanto una ecuacin de la circunferencia es:
(x 1)2 + (y 4)2 = 10
x2 +y 2x 8y + 7 = 0
EJEMPLO 2 (Leithold)
Obtener el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin es;
x2 + y2 + 6x 2y 15 = 0
Solucin
La ecuacin se puede escribir como
(x2 + 6x + ) + (y2 2y + ) = 15
Completando los cuadrados de los trminos entre parntesis y sumando 9 y 1 en ambos miembros de la ecuacin, se tiene:
(x2 + 6x + 9 ) + (y2 2y + 1 ) = 15 + 9 + 1
(x + 3)2 + (y 1)2 = 25
Puesto que la ecuacin corresponde a la forma de centro y radio el, centro es el punto (-3, 1) y el radio r = 5
FUNCIONES Y GRAFICAS
Una funcin es un tipo especial de relacin de entrada y salida, insumo y producto, que expresa cmo una cantidad ( la salida) depende de otra cantidad (la entrada).
Por Ejemplo: Cuando se invierte dinero a una tasa de inters, el inters I (salida), depende del tiempo T (entrada), en que el dinero se invierte.
O sea que I es funcin de T
Para ilustrar esto supngase que $ 100 producen un inters simple a una tasa anual del 6%.
Se puede demostrar que el inters y el tiempo estn relacionados mediante la formula
I = 100 (0.06)t
En donde I est en unidades monetarias y t en aos.
Por Ejemplo: Si t= entonces I = 100(0.06)() = 3
Podemos pensar que la frmula anterior define una regla: multiplicar t por 100(0.06)
Captulo 18 DEFINICIN
Una funcin es una regla que asigna a cada nmero de entrada exactamente un nmero de salida.
El conjunto de todos los nmeros de entrada a los cuales se aplica la regla se le denomina DOMINIO de la funcin.
Al conjunto de todos los nmeros de salida se lo llama AMBITO o CONTRADOMINIO.
A una variable que representa Nmeros de entrada para una funcin se la denomina VARIABLE INDEPENDIENTE.
A una variable que representa Nmeros de salida se la denomina VARIABLE DEPENDIENTE pues el valor depende del valor de la variable independiente.
EJEMPLO
y = x + 2Define a y como funcin de xExpresa la regla sumar 2 a x. Esta regla asigna a cada entrada x exactamente una salida x + 2 que es y.
Si x = 1 ; y = 3:
Si x = - 4 ; y = -2
No todas las ecuaciones en x e y definen a esta ltima como funcin de xPor Ejemplo Sea y2 = xSi x = 9 entonces y2 = 9 as que y = Por consiguiente la entrada 9 no le asigna un solo nmero de salida sino dos : 3 y 3.
Esto contradice la definicin de funcin y por lo tanto NO es funcin de x.
Por otra parte, algunas ecuaciones en dos variables definen a cualquiera de ellas en funcin de la otra.
Por Ejemplo: Sea y = 2xA cada entrada de x corresponde una salida de y, 2x por lo tanto y es funcin de x .
Despejando x = y/2
A cada entrada de y corresponde una salida de y/2 por lo tanto x es funcin de yCaptulo 19 NOTACIN
Por lo general se utilizan las letras f, h, g, F, H, G, para representar funciones.
Por Ejemplo:
y = x + 2define y como funcin de x, donde la regla consiste en sumar 2 a la entrada.
Supngase que se utiliza f para representar la regla f(x) = x + 2 entonces se dice que f es la funcin.
Para indicar que f asigna una entrada de 1 con una salida 3 se escribe:
f (1) = 3donde y = 3 para x = 1
f(x), que se lee f de x, asigna el nmero de salida en el mbito de f que corresponde al nmero de entrada x en el dominio
entrada
f(x)
salida
Por lo tanto f(x) = y, ya que y = x + 2 se puede escribir como f(x) = x + 2
Captulo 20 ADVERTENCIA
f(x) NO significa f multiplicada por x. F(x) es la salida que corresponde a la entrada xCaptulo 21 EJEMPLO
g(x)= x3 + x2para:
g(2)=23 + 22 = 12
g(-1)=(-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0
g(t)=t3 + t2g(x + 1)=(x + 1)3 + (x + 1)2Obsrvese que se remplaz a cada x en x3 + x2 Por el nmero de entrada (x + 1)
Cuando se hace referencia de la funcin g definida por g(x) = x3 + x2, debe saberse que es posible denominar funcin a la ecuacin misma.
Por ello, se habla de la funcin g (x) = x3 + x2 y de manera similar, de la funcin y = x3 +x2.
El dominio de una funcin consiste en todos los nmeros reales para los cuales la ecuacin tiene sentido y produce valores funcionales que son nmeros reales.
Captulo 22 DEFINICIN DE FUNCIN
Una funcin f de un conjunto X en otro Y es una correspondencia que asigna a cada elemento x de X exactamente un elemento y de Y.
Diremos que y es la imagen de x bajo f, denotado f(x).
El dominio de f es el conjunto X y su recorrido consta de todas las imgenes f(x) de los elementos x de X
X Y
f
Si a cada valor de su recorrido le corresponde exactamente un elemento de su dominio, la funcin se llama Inyectiva.
Adems si el recorrido de f es todo el conjunto Y, la funcin es Sobreyectiva
Captulo 23 EJEMPLO 1
Hallar el dominio de las siguientes funciones
a)
factorizando
x = 2, 1
El dominio de f abarca todo el campo de los nmeros Reales exceptuando 2 y 1
b)
No se pueden tener races cuadradas de nmeros negativos (imaginarios) por lo tanto 2t 1 debe ser
EMBED Equation.3
2t-1 ; 2t ; t
El dominio esta formado por todos los nmeros Reales t tales que ; t
Captulo 24 EJEMPLO 2
Sea
Encuntrese
a) g(z)
b)
3r2 r +5
c) g(x + h)
g(x + h) = 3(x + h)2 (x + h) + 5 = (3x2 + 6xh + 3h2) x h + 5 =
= 3x2 + 6xh + 3h2 x h + 5
Captulo 25 ADVERTENCIA
Se deben evitar confusiones en la notacin. En el Ejemplo anterior se determin g(x + h) reemplazando cada x en g(x) = 3x2-x + 5 por la entrada (x + h).
No se debe escribir la funcin y despus sumar h, es decir g(x + h) g(x) + h
g(x + h) 3x2-x + 5 + hTampoco se debe usar la Ley distributiva con g(x + h)
Este smbolo no es anlogo al de la multiplicacin
G(x + h) g(x) + g(h)
El dominio de una funcin puede describirse EXPLCITAMENTE junto con la funcin o bien estar IMPLCITO en la ecuacin que define la funcin.
El dominio Implcito es el conjunto de nmeros Reales para los que esta definida la funcin.
As pues, la funcin dada por
, tiene un dominio explcitamente definido como
Por su parte la funcin
tiene como dominio implcito
Otro dominio implcito es el que se utiliza para evitar races pares de nmeros negativos.
Por ejemplo la funcin:
tiene como dominio implcito
El Dominio y la Regla determinan el Rango
Por ejemplo
f(x) = x2 + 1
x2 + 1 = (regla)
El dominio es
El Rango es
OPERACIONES CON FUNCIONES
Considrese las funciones f y gSUMA
denotada por f + g es la funcin definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)
RESTA
denotada por f g es la funcin definida por (f - g)(x) = f(x) g(x)
PRODUCTOdenotado por f . g es la funcin definida por (f . g)(x) = f(x) . g(x)
COCIENTEdenotado por f / g es la funcin definida por (f / g)(x) = f(x) / g(x)
EJERCICIO 1.Para la funcin f definida como f(x) = x2 4x + 7 Evaluar:
a) f(3a)
b) f(b 1)c)
Soluciones:
Comenzamos expresando la ecuacin f como
f( ) = ( )2 - 4( ) + 7
Sustituimos x por el valor asignado
a) f(3a) = (3a)2 4(3a) + 7
= 9a2 12a + 7
b) f(b-1) = (b-1)2 4(b-1) + 7
= b2 2b + 1 4b + 4 + 7 = b2 6b + 12
c) = =
= = =
= =
EJERCICIO 2.Determinar el dominio y el recorrido de la funcin de x definida por:
Solucin: Como no esta definido si x 1 < 0 ( no esta definido dentro del campo de los nmeros reales) el dominio es
Para encontrar el recorrido observemos que 2
nunca es negativo. Ms an, al variar x en
el dominio, f(x) toma todos los valores no negativos 1
Luego el recorrido es
123
EJERCICIO 3.Una funcin definida por varias frmulas. Determinar el Dominio y el Recorrido de la funcin x dada por:
Solucin:
Puesto que x esta definida para y x 3 para x < -3.
As el dominio de h es [-3, 3] y el recorrido o contradominio es [0, 3].
EJEMPLO 1 (Leithold pag 46)
Dado que f es una funcin definida por f(x) = x2 + 3x 4
Encontrar: a) f(0) ; b) f(2) ; c) f(h) ; d) f(2h) ; e) f(2x)
f) f(x+h) ; g) f(x) + f(h)
Solucin
a) f(0)
= 02 + 3.0 4 = -4
b) f(2)
= 22 + 3.2 4 = 6
c) f(h)
= h2 + 3.h 4
d) f(2h) = (2h)2 + 3(2h) 4 = 4h2 + 6h 4
e) f(2x)
= (2x)2 + 3(2x) 4 = 4x2 + 6h 4
f) f(x + h)= (x + h)2 + 3(x + h) 4 = x2 + 2hx + h2 + 3x + 3h 4
= x2 +(2h + 3)x + (h2 + 3h 4)
g) f(x)+f(h)= (x2 + 3x 4) + ( h2 + 3h 4)
= x2 + 3x + ( h2 + 3h 8)
CLASIFICACINES Y COMBINACIONES DE FUNCIONES
ALGEBRAICAS
FUNCIONES ELEMENTALES
TRIGONOMTRICAS
LOGARTMICAS Y EXPONENCIALES
FUNCIONES ESPECIALES
Se definen de esta forma a las funciones que tienen formas y representaciones especiales
Captulo 26 FUNCIN CONSTANTE
Una funcin de la forma h(x) = C, en donde C es una constante, se denomina Funcin Constante
EJEMPLO:
Sea h(x) = 2 El dominio de h es todos los nmeros reales. Todos los valores funcionales son 2, h(10) = 2; h(-387) = 2
; h(x + 3) = 2
, etc.
Las funciones constantes pertenecen a una clase ms amplia de funciones, a las que se llama Funciones POLINOMIALES.
FUNCIN POLINOMICA
La clase mas frecuente de funciones elementales son las funciones polinmicas.
En general una funcin Polinomial de la forma
f(x) = Cnxn + Cn-1xn+1 + ....+C1x1 + C0se la denomina funcin polinomial (en x) donde:
n = Entero no negativo y se lo denomina Grado,
Cn = Coeficiente o constante 0 y se lo denomina Coeficiente inicial
Las funciones polinomiales de grado 1 o 2 se las denomina funciones lineales o cuadrticas.
GRADO 0 f(x) = a
Funcin Constante
GRADO 1 f(x) = ax + b
Funcin Lineal
GRADO 2 f(x) = ax2 + bx + c
Funcin Cuadrtica
GRADO 3 f(x) = ax3 + bx2 + cx +d
Funcin Cbica
GRAFICA DE FUNCIONES POLINOMICAS DE GRADO PAR
GRAFICA DE FUNCIONES POLINOMICAS DE GRADO IMPAR
EJEMPLO
a) f(x) = x3 + 6x2 + 7
es un polinomio (o funcin polinomial) de grado 3, y coeficiente 1.
b) f(x) =
es una funcin lineal con coeficiente principal 2/3.
c) f(x) =
No es una funcin polinomial. Como g(x) = x-3 el exponente de x no es un entero no negativo, por lo tanto esta funcin no tiene la forma apropiada para ser polinomio.
De manera similar g(x) = no es un polinomio ya que g(x) = x1/2FUNCIN RACIONAL
Es otro tipo de funcin en la que intervienen polinomios.
A una funcin que es cociente de funciones polinomiales se la denomina Funcin Racional.
EJEMPLO
a) Es una funcin racional puesto que tanto el numerador como el denominador son pilinomios
b) g(x) = 2x +3tambin es una funcin racional puesto que 2x + 3 = 2x +3/1. De hecho toda funcin Polinomial es una funcin Racional.
Captulo 27 FUNCIN COMPUESTA
1, si 0 siempre. As pues, los signos en cada cuadrante de x e y determinan los signos de las funciones trigonomtricas.
El uso de esta tabla se extiende a ngulos en otros cuadrantes distintos del primero mediante el concepto de ngulo de referencia, junto con el signo apropiado al cuadrante.
CUAD II CUAD I
CUAD III CUAD IV
CUAD II
CUAD III CUAD IV
Ang de REF
Ang de REF
Ang de REF
LIMITES Y SUS PROPIEDADES
Que entendemos por lmite?
Comnmente hablamos de velocidad lmite, el lmite de nuestra propia existencia, los lmites de la tecnologa moderna etc.
Todo esto sugiere que el lmite es una especie de cota que no puede ser superada.
La nocin matemtica de lmite la presentamos mediante un ejemplo. Supongamos que se nos pide dibujar la grfica de la funcin:
para
Para todo punto podemos usar las tcnicas estndar, pero en el punto x = 1 no sabemos que pasa.
Para tener una idea del comportamiento del grfico de f cerca de x = 1, podramos usar dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime al 1 por izquierda y otro por derecha.
Al marcar estos puntos vemos que el grfico de f es una parbola con un hueco en el punto (1, 3).
Aunque x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos cuanto queramos al 1 y como resultado f(x) se aproxima cuanto queramos a 3
x0.50.750.900.990.99911.0011.011.11.251.5
f(x)1.7502.3132.7102.9702.997?3.0033.0303.3103.8134.75
Usando notacin de lmites, decimos que el lmite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3 y lo denotamos como:
Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un nico nmero L cuando x se aproxima a C por ambos lados, decimos que el lmite de f(x) cuando x tiende a C es L
EJEMPLO 1 ( Estimacin del lmite con calculadora)
Evaluar en varios puntos prximos a x = 0 y usar el resultado para estimar el lmite.
2 -
x-0.1-0.01-0.001-0.000100.00010.0010.010.1
f(x)1.94871.99501.99951.9999?2.00012.00052.0052.04
= 2
DEFINICIN DE LMITE
El significa que para cada existe un tal que siempre que
Quiere decir que para cualquier valor (no solo para uno o alguno) de , existe un que cumple con las condiciones dadas.
EJEMPLO 6 (Hallando unpara un dado)
Dado el lmite
Hallar tal que = 0.01 siempre que
Es decir |(2x 5) 1|< 0.01 siempre que
Vamos a tratar de establecer una relacin entre los dos valores absolutos
|(2x 5) 1| = | 2x 5 1| = | 2x 6| = 2 | x 3|
ahora podemos poner
2 |x 3| < 0.01
| x 3| < 0.01/2 = 0.005 =
El hecho de haber encontrado un , no implica haber encontrado el lmite. Debemos encontrar un para cualquier .EJEMPLO 7 (Usando la definicin de - del lmite)
Usando la definicin de - de lmite probar que
Tenemos que probar que para cada > 0, existe un > 0 tal que siempre que .
Como nuestra eleccin de depende de , intentamos establecer una relacin entre ambos valores absolutos
|(3x 2) 4| = |3x 6| = |x 2|
3|x 2| 0 existe un tal que f(x) > M siempre que
La afirmacin
significa que para cada N < 0 existe un tal que f(x) 0
,L < 0
3.Cociente
propiedades similares valen si
EJEMPLO 5 (Calculando lmites)
Hallar los lmites de:
a)
Como el y Aplicando la propiedad 1 del teorema
b)
Puesto que y Aplicando la propiedad 3 del teorema = 0
c)
Como y Aplicando la propiedad 2 del teorema tenemos
LIMITES INFERIORES
Sea la funcin , funcin racional. Vemos que ocurre en el punto x = 0 y su vecindad.
Para x = 0, la funcin no esta definida. Cuando x se aproxima a cero, f(x) crece tanto como se quiera.
Es decir, dado un nmero M arbitrariamente grande, existe un nmero tal que:
para
En este caso no existe lmite f(x) para x que
tiende a cero, f(x) tiende a infinito.
NO EXISTE LIMITE
De este concepto se desprende que Infinito No es un nmero.
Aqu tampoco importa el valor de la funcin en un punto a, donde generalmente no esta definida, sino los valores en un entorno del punto a.
Anlogamente diremos que:
Cuando
En general se dice que:
cuando para cada nmero arbitrariamente grande>0 tal que:
para
VARIABLE INFINITA
Interesa, muchas veces, conocer el comportamiento de una funcin cuando x crece indefinidamente.
para cada corresponde un nmero tal que:
para todo x > H
EJEMPLO
=
| |
h x
De igual forma:
para cada corresponde un nmero tal que: para todo x < HEJEMPLOCalcular:
Ambos polinomios se anulan para x = 2. Dos es raiz de ambos polinomios, por lo tanto los podemos dividir a ambos por (x 2) aplicando la regla de Ruffini.
3 -8 0 1 2 24
1 3 -14 -1 18
2 6 -4 -8 -14 -24
2 2 10 -8 -18
3 -2 -4 -7 -12 0
1 5 -4 -9 0
3x4 2x3 4x2 7x 12
x3 + 5x2 4x - 9
= =
=
LIMITES INFINITOS
La forma practica de resolucin es dividiendo los trminos del Numerador y denominador por el trmino de mayor exponente.
EJERCICIOS
1.
= = = =0
2.
= =
3.
= 3
4.
= = =
= =
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = = = = =
5.
= =
6.
= = = = 3
7.
= =
=
8.
=
=
=
= = -4
9.
=
= = =
10.
11.
= =
= =
=
ASNTOTAS HORIZONTAL Y ABLICUACuando se estudian las graficas de las funciones del tipovemos que podemos trazar mas de una asntota a dichas curvas.
As por ejemplo para
Vemos que podemos trazar dos asntotas
a las curvas ya que cuando x 2 tenemos | |
la asntota vertical en x = 2
y si analizamos el lmite de la funcin
cuando x vemos que:
podemos trazar otra asntota
horizontal para y = 1
Es decir que para calcular las asntotas horizontales se calcula el lmite de f(x) cuando x
EMBED Equation.3 y cuando x- y si esos lmites son nmeros finitos dichos nmeros dan las ordenadas de las asntotas horizontales.
Para la asntota vertical x = 2 se observa que a medida que x se aproxima a 2 tanto por la derecha como por la izquierda los puntos de la curva se aproximan cada vez mas a la recta, estn a menor distancia de la asntota, las ordenadas que determinan la funcin crecen indefinidamente en valor absoluto.
Es decir:
la asntota = 2
O sea que para hallar las asntotas verticales se determinan los valores de x para los cuales los valores de la funcin tienden a .
EJEMPLO
Determinar las asntotas vertical y horizontales de la funcin
Asntotas horizontales:
podemos trazar la asntota
horizontal para y = 3
Asntotas verticales:
Son valores de x para los cuales la funcin tiende a , o sea son aquellos que anulan el denominador pero no el numerador.
podemos trazar la asntota
vertical para x = 1 y x = -1
ASNTOTAS OBLICUAS
Tanto para las asntotas oblicuas como par las horizontales, cuando x
EMBED Equation.3 la diferencia entre la ordenada (y) del punto de la grafica de la funcin y del correspondiente a la asntota tiende a cero, es decir es un infinitsimo. O sea:
y = px + b es
asntota de f(x)
Para determinar p (pendiente) se procede de la siguiente forma.
De acuerdo con la definicin de lmite es:
EMBED Equation.3 Se pasa el parntesis al segundo miembro
Se dividen ambos miembros por x
Se toma el lmite para x tendiendo a infinito
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 En el segundo miembro p es un nmero y los limites de los otros miembros son cero pues b es un nmero y cuando .
Luego:
Por lo tanto
Vale decir que para sacar la pendiente de la asntota, se divide la expresin de la funcin por x y luego se toma lmite para .
Si la asntota es oblicua, si es asntota horizontal, no hay oblicua.
Conocida la pendiente p para obtener b se parte de la igualdad anterior.
Se pasa px al primer miembro
Se toma lmite para
EMBED Equation.3 Como cuando resulta
Por lo tanto
EJERCICIO
Determinar las asntotas de:
Asntotas horizontalesNo hay pues:
Asntotas verticalesEstn dadas por los valores de x que anulan el denominador, es decir:
x-2 = 0 en x = 2 hay una asntota vertical
Asntotas oblicuas
Para obtener p se divide
=
=
Es decir que hay una asntota oblicua de pendiente = 2
Para obtener b se halla
f(x) px = =
=
Luego la ecuacin de la asntota es y = 2x + 3
EJEMPLOHallar las asntotas de la curva que es grfica de la funcin
x2y y 2x2 + x = 0Si bien la funcin esta dada en forma implcita, es fcil despejar y, y pasar a la forma explicita
y(x2-1) 2x2 + x = 0
Es decir 2
Asntotas horizontales
| | | | |
-2 -1 1 2
En y = 2 hay una asntota horizontal
Asntotas verticales
x2 1 = 0
x2 = 1 x = 1 ; x = -1
En x = 1 y x = -1 hay asntotas verticales
Asntotas oblicuas
=
=
p = 0 la pendiente es cero por lo tanto no hay asntota oblicua
Al ser p = 0 se ratifica la existencia de la asntota horizontal que ya hemos obtenido.
Determinamos b
=
b = 2 es decir la recta b = 0x + 2 y = 2 , que coincide con la asntota horizontal.
EJEMPLO
Asntotas horizontales
No hay asntotas horizontales
Asntotas verticales
x = -2
x2 x 6 = 0 x = 3
x = -2 y x = 3 son asntotas verticales
Asntotas oblicuas
EMBED Equation.3
=
En p = 1 hay una asntota oblicua de pendiente 1
f(x) px = =
=
b = 1 luego la asntota oblicua es y = x + 1
EJEMPLO
El resultado de la raz cuadrada debe ser un nmero real y adems distinto de cero porque esta en el denominador, por lo tanto el radicando debe ser positivo.
x2 1 > 0
x2 > 1
-1 > x > 1
Es decir que: en el dominio de la funcin quedan excluidos los puntos del intervalo [-1, 1].
Por lo tanto, al tratar las asntotas horizontales y las oblicuas hay que considerar a la derecha de 1 y a la izquierda de 1.
Asntotas horizontales
=
No hay asntotas horizontales
Asntotas verticales
El denominador se anula cuando
x = -1
x2 1 = 0 x2 = 1 x = 1
x = -1 y x = 1 son asntotas verticales
Asntotas oblicuas
EMBED Equation.3
=
se divide el numerador y el denominador por x
=
En p = 1 hay una asntota oblicua de pendiente 1
f(x) px = =
Se introdujo x en el radical.
Al tomar limite, para evitar la indeterminacin, se multiplica y divide el segundo miembro por el conjugado del numerador
=
=
=
=
=
=
b = 0 por lo tanto la asntota oblicua a la derecha de 1 es y = xPara obtener la asntota a la izquierda de x = -1, hay que tomar limite para
= =
=
En p = -1 hay una asntota oblicua de pendiente 1
f(x) px = =
Se divide por x el numerador y denominador
f(x) px =
Se multiplica y divide el segundo miembro por el conjugado del numerador
f(x) px =
EMBED Equation.3 =
=
EMBED Equation.3 = 0b = 0 por lo tanto la asntota oblicua a la izquierda de -1 es y = -x
NOTA
As. Horizontal: reemplazo debe dar un R Ej .2
As. Vertical:reemplazo R Ej .2 debe dar
| |
As. Oblicuas
;
;
EJEMPLO
El dominio esta determinado por los valores de x tales que como races de la ecuacin son resulta que el dominio es el conjunto de los nmeros Reales excluidos los del intervalo abierto (-0.8, 0.3).
Para determinar las asntotas hay que considerar para a la derecha de x = 0.3 y para a la izquierda de x = -0.8
Asntotas horizontales
=
No hay asntotas horizontales
Asntotas verticales
No hay asntotas verticales pues para ningn nmero real los valores de la funcin tienden a infinito.
Asntotas oblicuas
Para obtener las asntotas oblicuas, es cmodo extraer x fuera del radical, as:
=
Para obtener la asntota a la derecha de 0.3 se toma el lmite para
=
EMBED Equation.3 = 2
En p = 2 hay una asntota oblicua de pendiente 2
b = f(x) px =
Para calcular el lmite se multiplica y divide por el conjugado
b = f(x) px = =
= = =
=
=
Ahora se divide por x el numerador y el denominador.
EMBED Equation.3 = = b =
Por lo tanto a la derecha de 0.3 la asntota es y = 2x +
Para determinar la asntota a la izquierda de 0.8 se toma lmite para
=
EMBED Equation.3 =
=
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 = -2
En p = -2 hay una asntota oblicua de pendiente -2
b = f(x) px =
=
EMBED Equation.3 Como para queda indeterminado para evitar dicha indeterminacin se multiplica y divide por el conjugado.
=
=
=
Ahora se divide por x el numerador y el denominador.
EMBED Equation.3 = = - b = -
Por lo tanto a la izquierda de 0.8 la asntota es y = -2x -
EJERCICIOS
Determinar el dominio y las asntotas de las graficas de la siguiente funcin dibujando las mismas.
DERIVADA
CALCULO DE DERIVADA
I )
La derivada de una constante es nula ySi es y = c resulta cualquiera sea c
Por lo tanto el cociente y su limite tambin es 0
Grficamente, se confirma el hecho evidente de que,
siendo la Tg a la recta y = c ella misma , el ngulo
xque forma con el semieje positivo de las x es nulo y por consiguiente, y= tg = 0
II )La derivada de la variable independiente es la unidad
Si y = x, resulta y= 1. En efecto por ser y = x es
; el cociente incremental
es constantemente igual a la unidad por lo tanto,
y, que es su lmite, tambin es 1,
Grficamente, este resultado es evidente, pues la tg a la recta y = x es la bisectriz del primer y tercer cuadrante, que forma con el eje positivo de las x un ngulo constante = 45.
Por ello y= tg 45 = 1
III )La derivada de y =xn (con n entero y positivo) es y= nxn-11. Consideramos x1 = x0
2. Calculamos el valor
3. Calculamos el incremento
4. Calculamos el cociente incremental recordando que
=
5. Cuando, y, como hay n sumandos, la derivada
y = =
III)La derivada de es
Esto significa que la regla III) vale an si n es entero cualquiera, pues se podr escribir, entonces,, .
En efecto es:
Cuando e acuerdo a III) el primer factor tiende a y el segundo factor a por consiguiente resulta
y = = -. =
IV )La derivada de es
1.
2.
3.
Para facilitar el cuarto paso multiplicamos y dividimos la expresin anterior por su conjugado, con lo que resulta:
= =
4. El cociente incremental resulta:
= . =
5. La derivada es el lmite del cociente incremental.
y = = =
Esta regla tambin vale para ya que :
=, y =
V)La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones sumadas.
En smbolos: si y = u(x) v(x) + w(x)
esy= u(x) v(x) + w(x)
en efecto, a un incremento de la variable independiente corresponden sendos incrementos , que sumados algebraicamente dan
Dividiendo por y pasando al lmite se tiene:
= - +
Por tanto:
y= u v + w
VI)La derivada del producto de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la derivada de la funcin.
Si y =K f (x), resulta y= F f(x), pues, si a un incremento le corresponde un incremento de la funcin f(x), a la funcin K f (x) le corresponde un incremento K. Dividiendo por y pasando al lmite se tendr:
= = = K f(x)
En base a estos dos ultimos teoremas resultan todos los dems
VII)La derivada de una combinacin lineal defuncionesy = K1 f1(x) + K2 f2(x) + . . . +Kn fn(x)
Con K1 , K2 , K3 , . . . , KN , constantes es:
En particular, la funcin derivada de un polinomio de grado n
Es otro polinomio
de grado (n-1)
VII)La derivada de un producto de dos funciones u(x).v(x), es igual a la derivada de la primer funcin por la segunda sin derivar, ms la primer funcin por la derivada de la segunda.
En smbolos: si y = u(x).v(x)
esy= u(x) . v(x) + u(x) . v(x)
En efecto, al incremento de la variable corresponden los incrementos y de las funciones.
El incremento del producto ser:
=
y el cociente incremental ser:
siendo las funciones u(x) y v(x) derivables (y por consiguiente, continuas) cuando, tambin y .
Por tanto el lmite de la ltima igualdad resulta:
y = u.v+u.v+ u.0 = uv + vu
IX)La derivada de un cociente de dos funciones u(x)/v(x), es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, dividida esta diferencia por el cuadrado del denominador.
En smbolos, si:
es:
en efecto siendo el cociente incremental:
Cuando, tambin y y pasando al lmite tenemos:
X)La derivada del logaritmo neperiano de x es igual al recproco de x.
Si y = ln x
Es
El incremento de la funcin es igual a la funcin incrementada en menos la funcin sin incrementar.
= = =
El cociente incremental ser, multiplicando y dividiendo por x.
=
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 =
EMBED Equation.3 Si hacemos = t cuando , tambin . Adems ser =
Consideremos valores positivos de x, pues solo para ellos est definida la funcin logartmica.
El lmite del cociente incremental ser:
= =
Tratndose de un logaritmo de una funcin continua, el lmite buscado ser el logaritmo del lmite y como es
Resulta entonces
X)La derivada del logaritmo en base a de x es igual al recproco de x por el logaritmo decimal de e.
Por ser
, y siendo una constante, se tiene de acuerdo a la regla VI.
X)En particular la derivada del logaritmo decimal de x es igual al recproco de x por el logaritmo decimal de e.
Como es Resulta
EJEMPLOS1. y = x lnx
u = x
v = lnx
=
= 1 + lnx
2.
u = x2
v = lnx
w = 3x
EJERCICIOS
1.
u =2x3
=6x2v = 3x2
= 6x2 6x = 6x(x 1)
2.
=
=
v =
= x3
= x3 + x = x(x2+1)3.
u = mt4
EMBED Equation.3
v = 2nt2
= 4mt3 4nt = 4t(mt2 n)
4.
u=1
v =x2
= 1 2x
5.
y=u(x) + v(x) 0
u =6x2
=
=
= 12x + 6
v = 7x
y=u(x) + v(x) 0 = 12x + 7
6.
y = 26x + 65 x3y = u(x) + v(x)
u = 26x
v = 65x3
y = u + v = 26 + 195x27.
y = x3 6x2 + 11x 6
y = u(x) v(x) + w(x)
u = x3
v = 6x2
w = 11x
y = u v + w = 3x2 12x + 118.
y =u(x).v + u.v(x)
u = x2
v = -25x4
EMBED Equation.3
= 2x(1 + 50x2 - 75x4)
9.
u = 1
v = 1
y = 1x 1(x + 2)/ x2 = x x 2 / x2 =
10.
y = u vu =
v = 1; derivada de una constante = 0
11.
La derivada de una constante es cero
u = 3x
v = 2x
12.
La derivada de una constante es cero
u = 1
v = -1
PENDIENTE E INCREMENTOS
La representacin grfica de la funcin lineal y = mx + b en un sistema de ejes cartesianos, es una recta.
y1 ......................
y0
y0 ....
y1
a) b) c)
Si el sistema es ortogonal y se ha adoptado la misma unidad de medida en ambos ejes, el parmetro m mide la pendiente de la recta, es decir, la tangente trigonomtrica del ngulo (inclinacin) que la recta forma con el eje positivo de las x.
Cuando del valor x0 pasamos a un valor x1 decimos que esta variable ha experimentado un incremento .
= x1 x0Correspondientemente, la ordenada ha pasado del valor y0 a y1 y el incremento es .
= y1 y0Es fcil ver que a un incremento positivo corresponde un incremento , que es positivo si m es positiva y negativo si m es negativa.
= y1 y0= (mx1 + b) (mx0 + b) = m(x1 x0) = m
Lo caracterstico de la funcin lineal es que la relacin incremental es constantemente igual a la pendiente m cualquiera sea el punto x. Esto no ocurre con las otras funciones.
Captulo 41 EJEMPLO
y = x2
y1 = x21
= y1 y0 = x21 x20 = (x1 x0) (x1 + x0) = (x1 + x0)
y0 = x20El cociente incremental = x1 + x0 = 2x0+
Es variable y crece a medida que aumenta x0Captulo 42 DERIVADA DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO
Sea y = f(x) una funcin continua en un intervalo (a , b) y sea x0 un punto interior a ese intervalo.
El punto P correspondiente a la curva tiene una ordenada y0.
Como medir la pendiente de la curva en P ?
Debemos dar a x0 un incremento , obteniendo
as un punto x1, al cual corresponde en la curva
el punto Q de ordenada y1.
0 a x0 x1 b
La ordenada ha variado, pues el valor y0 ha pasado a otro valor y1, que puede ser mayor, igual o menor a y0.
El incremento de la funcin es = y1 y0 y la relacin incremental
mide la pendiente de la recta PQ, es decir, es igual a la tangente trigonomtrica del ngulo , que forma la secante PQ con el semieje positivo de las x.
Captulo 43 DEFINICIN
Llamaremos Derivada de una funcin y =f(x) pendiente de la curva correspondiente en un punto P(x0 , y0) al lmite del cociente incremental cuando
Cuando el punto Q tiende al punto P y la posicin lmite de la recta secante PQ es la recta tangente PT, que forma con el semieje positivo de las x un ngulo .
a x0 x1 b
Este ngulo , lmite de los ngulos que forman las diversas secantes PQ cuando , es la inclinacin de la curva en el punto P, y la tangente del ngulo es la pendiente de la curva en ese punto.
La derivada se escribe con distintas notaciones:
; DY ; f(x) ; [f(x)] ; Df(x) ; Dxf(x) ; ; yTambin se designa el incremento con la letra h y el incremento con la letra k.
Resulta entonces:y = = =
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
Siendo el = y se puede escribir = y+, siendo un infinitsimo, o lo que es lo mismo .
Por lo tanto, si , , es decir si una funcin es derivable, es continua.
La proposicin recproca no es cierta; hay funciones continuas que no son derivables, o, en trminos geomtricos hay curvas que no tienen tangente.
TCNICA DE LA DERIVACIN
1. Dar a la variable x un incremento (positivo o negativo) , a partir de x0, con lo que se obtiene x1 = x0 + .
2. Calcular el valor y1 correspondiente a x1.3. Calcular el incremento = y1 y0
4. Formar el cociente incremental. En esta expresin tratar de eliminar todos aquellos factores que hacen que el cociente tienda a 0/0
5. Calcular el cociente incremental cuando
EJEMPLO
Calcular la derivada de y = x2y + = (x + )2
= (x + )2 y
= (x + )2 x2 = x2 + 2x + 2 x2 = 2x + 2
= = 2x +
y = = = 2x
EJERCICIOS1. Calcular la derivada de y = ax2 en el punto de abscisa x0, es decir, en un punto cuyas coordenadas son (x0, ax20)
A la variable x le damos un incremento , es decir, consideramos un punto
x1 = x0 +
Calculamos el valor correspondiente a este punto x1
y1 = a(x0 + )2 Calculamos el incremento = y1 y0
= y1 y0 = a(x0 + )2 ax20 = a(x20 + 2x0+2) - ax20 =
= 2ax0+ a()2Formamos el cociente incremental
= = 2ax0 +a
Calculamos la derivada y, es decir, el lmite de este cociente incremental, cuando
y = = = 2ax0
2. Calcular la derivada de en el punto de abscisa
x1 = x0 +
El valor de la funcin en x1 es:
=
El incremento experimentado por la funcin es:
= y1 y0 = - = =
El cociente incremental es:
=
La derivada y es el lmite del cociente incremental
y = =
EMBED Equation.3 =
3.Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) = x2 en el punto (2, 4).
y = =
y = = =
y = = = 4
4.Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y =f(x) = x2 + 2x + 2 en los puntos con coordenadas x de 1 , , 2 y 3.
En vez de hacer cuatro clculos separados, se puede calcular la pendiente de la abscisa x y obtener despus las cuatro respuestas deseadas por sustitucin.
y = =
y = =
y = =
y = ==
y = = -2x + 2
Reemplazando x por los puntos de coordenadas dados tenemos 4, 1, -2, -4
5. Encuentre la ecuacin de la tangente a la curva y = 1/(2x) en (1/2, 1).
y = =
y = =
y = =
y = = === -2
Conociendo la pendiente de la recta (m = -2) y el punto (1/2,1) de ella, se puede escribir la ecuacin usando la forma punto pendiente.
y y0 = m(x-x0)
y 1 = -2 (x )
y = -2x + 2
6. Demostrar que la derivada de y = ax3 en el punto de abscisa x0 es y= 3ax207. Demostrar que la derivada de la funcin en el punto de abscisa es igual a .
8. Demostrar que la derivada de y = ax2 + bx +c en el punto de abscisa x0 es y = 2ax + b.9. Sea f(x) = 13x 16 encuentre la derivada f(4).
f(4) = ==
== 13
10. Si f(x) = x3 + 7x, encuentre f(c)
f(c) = ==
= ==
= = 3c2 + 7
11. Si f(x) = 1/x encuentre f(x).
f(x) = = =
= = =
= = =
12. Encuentre la derivada de F si f(x) = , para x > 0
f(x) = = =
= ==
= = =
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
1. Dx (senx)=Cosx2. Dx (cosh)=-Senx3. Dx (tgx)=Sec2x
=
Sec2x
4. Dx (cotgx)=-Csc2x5. Dx (secx)=Secx.tgx6. Dx (cscx)=-Cscx CotgxDEMOSTRACION DE LA DERIVADA DE LA FUNCIN SenxPara demostrar que la funcin seno tiene una derivada, aplicamos la identidad trigonomtrica
Sen (a + b) = Sen a Cos b + Cos a Sen b
(1)
Sea f una funcin definida por:
f(x) = Sen x
de la definicin de derivada
=
=
se usa la frmula (1) para a fin de obtener:
=
=+ =
=
EMBED Equation.3 +
EMBED Equation.3
Sustituyendo:
Captulo 44
Captulo 45 NOTA
Sacando factor comn queda:
EJEMPLODada
Hallar
= =
=
REGLA DE LA CADENA
Imagnese que se trata de encontrar la derivada de:
Para empezar, tendra que multiplicar entre si 60 veces el polinomio y luego derivar el polinomio resultante de grado 120.
Aplicando la regla de la cadena se resuelve el problema rpidamente.
LA NOTACIN DxCuando el problema implica ms de una variable, ayudar para indicar cual variable se considera en un momento determinado.
EJEMPLO
Y = s2x3y queremos tratar a x como variable independiente y a S como constante,
DxY = Dx(s2x3) = s2Dx(x3) = s23x2El smbolo DxY se lee, derivada de y con respecto a xEJEMPLOSupngase y = u60 y u = 2x2 4x + 1 entonces:
DuY = 60u59 y DxU = 4x 4
Pero advirtase que al sustituir u = 2x2 4x + 1 en y = u60 se obtiene:
y =(2x2 4x + 1)60As tiene sentido preguntar por DxY. Cual es DxY y cmo se relaciona con DuY y DxU
TEOREMA
Sea y = f(u) y u = g(x) que determinan una funcin compuesta
y = f(g(x)) = (fg)(x)
Si g es diferenciable en x y f es diferenciable en u = g(x), entonces fg es derivable en x, y por tanto:
(fg)(x) = f(g(x))g(x)
o sea:
DxY = DuY. DxU
EJEMPLO
Si encuentre DxY
y = u60 y u = 2x2 4x + 1
DxY = DuY. DxU
= (60u59)(4x 4)=
= 60(2x2 4x + 1)59(4x 4) EJEMPLO
Si encuentre DxY
DxY = DuY. DxU
= (-3u-4)(10x4) =
=
EJEMPLO
Si encuentre DxY
DxY = DuY. DxU
= (Cosu)(3x2 3) =
=[Cos(x3 3x)]( 3x2 3)
EJEMPLO
Encuentre
DtY = DuY. DtU
= =
=
Captulo 46 EJEMPLOS
Dx (cos 3x)=(-sen 3x) 3=-3 sen 3x
Dx (x3+ senx)6=6(x3+ senx)5(3x2+ cosx)
=
=
=
Captulo 47 REGLA DE LA CADENA COMPUESTA
Suponga que:
y = f(u)u = g(v)v = h(x)
entonces
DxY = DuY DvU DxV
Captulo 48 EJEMPLO
Encuentre Dx [sen3(4x)]
y = u3
u = senvv = 4x
entonces
DxY = DuY DvU DxV
= 3u . Cosv . 4 =
= 3sen2(4x) . cos(4x) . 4 =
= 12 sen2(4x) . cos(4x)
Captulo 49 EJEMPLO
Encuentre Dx {sen[cos(x2)]}
Dx {sen[cos(x2)]} = cos[cos(x2)] . [-sen(x2)] . 2x u v h
DIFERENCIAL DE UNA FUNCION
Definiremos como diferencial de una funcin y = f(x), y la denotaremos dy, al producto de la derivada y por el incremento de la variable.
En smbolos
dy = y
puesto que la derivada y mide la tangente trigonomtrica del nguloque forma la recta tangente con el semieje positivo de las x, resulta:
, o sea, SR = y
Por consiguiente, SR es la diferencial de la funcin
y y y
x x x
a) b) c)
Como se ve en las tres figuras, la diferencial SR puede ser mayor, igual o menor que el incremento de la funcin QR = .
Sin embargo es fcil demostrar que cuando , dy y son infinitsimos equivalentes es decir su cociente tiende a 1.
En efecto, siendo dy = y resulta:
NOTA
Siempre el valor desde la horizontal hasta la curva es
Y desde la horizontal hasta la recta tangente es dy
EXPRESIN DE LA DERIVADA COMO COCIENTE DE DIFERENCIALES
Puesto que por definicin, es, dy = y resulta por ejemplo:
d(senx) = cosx
d(x3) = 3x2
d(x) = 1 =
La ltima identidad nos permite reemplazar en la definicin de diferencial, por dx con lo que resulta:
dy = y dx sea
Esta notacin de la derivada, debida a LEIBNIZ, es extremadamente til y susceptible de generalizacin.
INVARIANZA DE LA DIFERENCIAL
Hemos visto que dy = y dx para la funcin y = f(x), donde x es la variable independiente e y es la funcin.
Pero si x no es la variable independiente sino funcin de otra variable z, por ejemplo; la expresin anterior sigue siendo vlida.
As de y = x2Deducimos
dy =2x dx
Pero si
x = senz, resulta
y = sen2z
y la diferencial esdy = 2senz cosz dzque se puede escribir como antes
dy =2x dx
en definitiva, la diferencial dy = f (x)dx, es invariante ( es decir, conserva la forma) cuando la variable x es una funcin de otra variable z: x = g(z), con tal de reemplazar dx por g(z) dz.NOTA
2 sen 15 cos15 = 2(0.258)0.965 = 0.5
2 sen 15 = 0.5
DERIVACIN DE FUNCIONES DADAS IMPLCITAMENTE
Cuando las variables x e y estn vinculadas por la relacin F(x,y) = 0. Bajo ciertas condiciones resulta y definida en funcin de x y el conjunto de puntos x e y definen una curva.
Para calcular la pendiente de esa curva es necesario conocer la derivada de y respecto de x.
Aplicando formalmente las reglas de diferenciacin y formando el cociente se obtiene la derivada buscada.
NOTALa justificacin de este procedimiento exige el estudio de diferenciales de funciones de dos variables.
EJEMPLOS
1. Trazar la recta tangente a la circunferencia definida por la relacin x2 + y2 = r2, en el punto P(x0, y0).
Diferenciando se tiene
2xdx + 2ydy = 0
puesto que r es una constante
despejando:
=
La pendiente P ser
La recta tangente en P es, entonces
y y0 = (x x0)
o sea:
yy0 y02 = xx0 + x02que se puede escribir
xx0 + yy0 = r2porque x02 + y02 = r2 dado que las coordenadas de P satisfacen la ecuacin de la circunferencia
2. Trazar la tangente a la elipse de semiejes a y b en P(x0, y0).
Diferenciando la relacin
resulta
o sea
la tangente a la recta ser:
y y0 = (x x0)
o sea
pues
La recta normal a la elipse en el mismo punto P resulta por consiguiente
EJERCICIOS DE MAX - Min - PUNTOS DE INFLECCIN Y CONCAVIDAD
LARSON Cap 4 Pag 181
Captulo 50 DEFINICIN DE EXTREMOS RELATIVOS
1. Si existe un intervalo abierto en el que f (c) tiene un MAX, entonces f (c) se llama Mximo Relativo de f.
2. Si existe un intervalo abierto en el que f (c) tiene un min, entonces f (c) se llama Mnimo Relativo de f.
EJEMPLO 2 Una propiedad de los lmites relativosHallar el valor de la derivada en los extremos relativos indicados en las figuras a, b y c.
| | | | | | | | | 2 4 -2 -1 1
a) b) c)
a) La derivada de esta funcin es:
=
as pues en el punto (3, 2) el valor de la derivada es:
b) En x = 0 la derivada de f (x) = | x | no existe por que los siguientes lmites laterales son distintos
= por IZQ
= por DER
c) Como f(x) = cosx; tenemos que:
CONCAVIDAD DEFINICIN
Sea f derivable en un intervalo abierto. Diremos que la grfica de f es cncava hacia arriba si f es creciente en ese intervalo y cncava hacia abajo si f es decreciente en el intervalo.
CRITERIO DE CONCAVIDADSea f una funcin cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si f (x) >0 para todo x en I, la grfica de f es cncava hacia arriba.
2. Si f (x)