2.2. Kiselmozdulások elmélete

Az alakváltozások általában kismértékűek, így a (2.4) szerinti közelítéseket

alkalmazhatjuk

Modell felvétel:

A szerkezet modelljét végtelen merev rudak (tárcsák) és a valódi kényszerek mellett

fiktív kapcsolatok (csuklók, vezetékek) alkotják. A tényleges alakváltozásokat (eltolódás,

elfordulás) a fiktív kapcsolatokba koncentráljuk. A fiktív kapcsolatok nem változtatják meg a

rendszer kinematikai szabadságfokát, hisz ott előre rögzített relatív elmozdulások

keletkeznek.

Fiktív kapcsolat Valódi kényszer

Elsődleges haladási irány: balról jobbra, lentről fölfelé.

Relatív elmozdulások: Elfordulás

pozitív, ha a jobboldali felső rudat az óramutató járásának

irányába tereli

Eltolódás

pozitív, ha a jobboldali felső rúdvég a koordináta pozitív

irányába tolódik el

Tényleges elmozdulások: Elfordulás: A tervezett és alakváltozás utáni rúdtengely által

bezárt szög

Eltolódás: A rúdtengely adott pontjának tervezett és az

alakváltozás utáni koordináta különbsége

Elfordulási középpont (pólus): A sík azon pontja, ahol a rúd mozgásai csak elfordulással

leírhatók.

1

uz

u u

uy

Relatív pólus: Rúdelem elfordulási középpontja, a szomszédos rúdelemhez

képest.

Koordináta rendszer:

A mechanikában szokásos globális koordináta rendszert alkalmazzuk. A vizsgálatainkat

síkbeli alakváltozásokra korlátozzuk. (Statikai feladatok megoldására készített számítógépes

programok más koordináta rendszert is használhatnak.)

A „B” pont elmozdulásai az „A” pontban csuklósan rögzített merev rúd φ elfordulása

hatására:

III. rendű elmélet szerint:

III. rendű elmélet szerint:

2

A rúdszerkezet elmozdulás síkja

z

y

x

y ez

ey

r

r

y=

zz=

A

B

B’e=

e1y

e1z

1

0

1elmozdulás előtt

elmozdulás után0Pólus

1

1

Bevezetve a (2.4.) közelítéseket

II. rendű elmélet szerint:

II. rendű elmélet szerint:

Láncolat mozgása

Az „n”-edik merev rúd abszolút elfordulása:

Az „n”-edik pont eltolódása:

Fentiek a csuklósan összekapcsolt rudakból álló láncolat kinematikai alapegyenletei. Abban

az esetben, ha a láncolat elmozdulási ismeretlenjeinek száma három, a három lineárisan

független egyenlet elegendő a láncolat összes mozgás elemének a meghatározásához. A fenti

esetben kinematikailag határozott láncolatról beszélünk.

A mozgáselemeket nem szükséges mindig elölről kezdve számolni, hisz a fentiekből n, eny,

enz ismeretében m > n levezethető:

3

eyi

ly

y

z

1

2

3

4

3

1

2 n

ezi

kz= zn–zi

lz

ky

I.

II.III.

IV.

A támaszok az elmozdulásokat az alábbi módon korlátozzák:

1. az alátámasztás síkjára merőleges irányú eltolódás 0 értékű

2. az eltolódások 0 értékűek

3. az eltolódások és elfordulás 0 értékűek

Az egyik végén rögzített láncolat megtámasztása a „3.” lehet, így az ismert abszolút

mozgáselemek: e0z= 0; e0y= 0;0= 0, amiből a többi pont elmozdulása

három alapegyenlet segítségével kiszámítható.

Ebben az esetben az „1” fiktív csukló mozdulatlan marad, a „2” rúd pólusa lesz.

1= 0 2= 1

e1y= 0 e2y=

e1z= 0 e2z= stb.

4

z

y0

1

2

1

2 y2–y1

z1–z0 z2–z1

Mindkét végén rögzített láncolat (A vizsgálatot az alábbi egyszerű példán szemléltetjük.)

[Pl-2.8]

eAz= 0

eAy= 0 ismert mozgásértékek

eBy= 0

A láncolat összes mozgáseleme így is meghatározható, hisz tudjuk, hogy „A” fix csukló

pólusa az „1” rúdnak, a független mozgáselemeink: A B eBz.

A három alapegyenlet felhasználásával: eBy= innen az ismeretlen

(A) meghatározható.

A többi ismeretlen a fentieknek megfelelően:

Az eredményül kapott mozgásértékek ezred–radiánban és mm-ben értendők.

A két végén rögzített láncolat alakja az alakváltozás előtt és után is egy sokszög, aminek a

belső szögei változtak ugyan, de a belső szögek összege nem.

Tehát:

5

A

B

0

1

2

= –0,04 ()= –40

1

y2–y1= 4,0 h

z1–z0= 4,0 z2–z1= 3,0

2

l= 7,0

''

'

'''

Amiből adódik:

Általánosítva: itt A és B terelőszögek.

6

–

A

1

+

B

+

Elmozdulások ábrázolása

Az elmozdulásokat nem az eredeti tartón, hanem a vetületi tengelyeken ábrázoljuk, a

bevezetésben részletezett előjelszabály alkalmazásával.

Eltolódások meghatározása szerkesztéssel

A szerkesztés technikáját az alábbi két példán mutatjuk be.

[Pl-2.9]

7

A1 2 3 4

1,5 1,3 2,4 0,4

5,6 4,1 2,8 0,4

–+

–+

e

8,731,418

6,198,27 8,44,012

6,88e y4

23,4

83,4

18 25 13

–22,86

17,14–+

–+

()

(ey)

– + – +

() (ez)

–22,86

91,44

68,56+17,14

– 40

+22,86

Először az ismeretlen A elfordulást „0”–nak tételezzük fel, majd megszerkesztjük a eAy= 0 és

eBy= 0 feltételt kielégítő semleges tengelyt.

A semleges tengelytől a fiktív csuklók eltolódásai

mérhetők.

A kiszámolt diagramban A–val eltoljuk a semleges tengelyt.

8

A

1,5 1,3 2,4 0,4

5,6 4,1 2,8 0,4

B

82,156,5

6,88A

–23,73 –20,91

+1,1

–+

–15,82

–15,82+18= 2,17 2,17+7= 9,17

9,17–12= –2,82

–+ ey

Összetett feladatok

Háromcsuklós tartó

[Pl-2.10]

A tartó zárt láncolatot alkot. A külső támaszok miatt eA= 0 és eB= 0. Az ismeretlen független

elmozdulás–komponensek: A B C, amit a három alapegyenlet

felhasználásával megoldhatunk.

ismeretlenek a A és a C

ismeretlenek a A és a C

Tehát a két egyenletből a A és a C meghatározható.

–32

510 A= –15,93

630 C= –19,69

Ezek után a hiányzó mozgáselemek kiszámíthatók, ábrázolhatók.

9

1

2

3

C

B

A

= 30

1,0

3,0

2,0

6,0

2,0 5,0

10

3

2

1– +– +

– +– +

–+

–+

ey

ez 1–2

ez 3

14,07

–5,61

28,14

14,0

7

–15,

93

–33,

76–4

7,88

–5,6

1

–33,

76

28,14

33,76

47,88

Kéttámaszú konzolos tartó

[Pl-2.11]

Feltételek: eA= 0 eBy= 0

A közelítő feltételeink értelmében „z”

irányú eltolódások nem keletkeznek. Az

A–B szakasz ismeretlen

mozgáskomponensei a konzol

elmozdulásaitól függetlenek.

A= –6

A konzolvég elfordulásának ismeretében

az alapegyenletek segítségével

könnyedén kiszámíthatjuk a hiányzó

elmozdulásokat.

Gerber tartó

[Pl-2.12]

A mozgások meghatározását a fix tartórész zárt láncolatán kell kezdeni.

A második mezőben, a B–C szakasz elmozdulásai meghatározhatók az előző példa szerint. A

B–D tartószakasz szintén zárt láncolat, ahol tudjuk: B= 12 eB= 0 eDy=0.

Ismeretlenek: C D értékek, amelyek a rendelkezésünkre álló két mozgásegyenlet

segítségével meghatározhatók.

11

4,0 2,0 0,5 1,0

A B

66

36A

–+ ey

ey

–+

–+

–6

126

16,5

–24

622,5

24

36

22,5

4,0 2,0 0,5 1,0A B C D

2,02,0

12

–+

–+

e

–6

1216,5

–0,125

–11,125

24

6

22,5 22,25

4,0 2,0 0,5 1,0 2,0 2,0