7/29/2012 nattawoot koowattanatianchai 1 - fin.bus.ku.ac.thfin.bus.ku.ac.th/01131591 financial...
TRANSCRIPT
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 1
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 2
Financial Research
ณฐวฒ ควฒนเธยรชย
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 3
Lecture 4
การจ าลองราคาสนทรพย
(Modeling Asset Prices)
ทบทวนความรเบองตน
ราคาสนทรพยมววฒนาการแบบสม
หมายความวา ราคาหน อตราดอกเบย อตราแลกเปลยน
เงนตราตางประเทศ และราคาสนคาโภคภณฑตางๆ ไม
สามารถพยากรณได
สวนมากแลวเราจะท าการวเคราะหผลตอบแทน
(การเปลยนแปลงของราคาสนทรพย) แทนการ
วเคราะหราคาสนทรพย เนองจากมความนง
(stationary) มากกวาราคาสนทรพย
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 4
ทบทวนความรเบองตน
เนองจากราคาสนทรพยมความสม (randomness)
เปนสวนประกอบ แบบจ าลองทางคณตศาสตรทใช
จ าลองราคาสนทรพยจงตองแสดงใหเหนถงความ
สมน และเราจะพยากรณราคาสนทรพยในอนาคต
ดวยการใชความนาจะเปน
การประเมนคาผลตอบแทนคาดหมาย (expected
returns) และความผนผวน (volatility) และ
ผลกระทบของมนตอราคาสนทรพยเปนสงส าคญใน
การตดสนใจทางการเงน
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 5
กระบวนการเฟนสม (stochastic
process) กระบวนการเฟนสม
การจดล าดบความตอเนองของคาสงเกต (sequence of
observations) ดวยการแจกแจงความนาจะเปน
ตวอยาง: การโยนเหรยญไปเรอยๆ ในชวงเวลา
เทาๆ กน
การแจกแจงจะเสถยรเนองจากผลลพธทเปนไปไดจะไม
เปลยนในการโยนแตละครง (การทเหรยญออกกอย 5
ครงตดตอกน ถงแมจะเปนไปไดนอย แตกไมไดท าให
ความนาจะเปนทเหรยญจะออกกอยอก 5 ครงถดไป
ตดตอกน เปลยนไป)
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 6
กระบวนการเฟนสม (stochastic
process) การสมเลอกไพจากกองออกมาโดยไมใสกลบเขา
ไป คอ ตวอยางของกระบวนการทมการ
เปลยนแปลงของการแจกแจง
การเคลอนทของราคาสนทรพยในความเปนจรง
เปนกระบวนการทมการเปลยนแปลงของการแจก
แจงความนาจะเปน ถงแมวาจะเปนการยากทจะระบ
เวลาทมการเปลยนแปลงการแจกแจงกตาม
การศกษาขอมลในอดตจะมประโยชนในประเดนน ไมใช
เพอการพยากรณอนาคต แตเพอดวาราคาสนทรพยใน
อนาคตควรมาจากการแจกแจงความนาจะเปนแบบใด
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 7
การเคลอนทแบบบราวน (Brownian
Motion) นยาม
เปนการเคลอนทแบบสมของอนภาคในของไหล
(ของเหลวหรอกาซ) คนพบโดยนกพฤกษศาสตร Robert
Brown เมอประมาณป ค.ศ.1827
กลไกของ Brownian Motion
ก าหนดให Zt เปนขอมลอนกรมเวลาซงตวเลขทกตวใน
อนกรมเวลานนถกสมมาจากการแจกแจงปกตมาตรฐาน
- N(0,1)
สมมตวา Wt เปนตวเลขหนง ณ ชวงเวลา t
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 8
การเคลอนทแบบบราวน (Brownian
Motion) กลไกของ Brownian Motion
Model 1: Wt+ dt = Wt + Zt+dt × dt
dt = ชวงเวลา (หนวยเปนป) ระหวาง t ถง t+dt
dt = 1/(60×24×365) ถาชวงเวลาระหวาง t ถง t+dt = 1 นาท
dt ปรากฏในแบบจ าลองเพอวดผลกระทบของการตระหนกทาง
สถต (statistical shocks) ถาขนาดความกวางของเวลาท
พจารณาตางกน (การตระหนกทางสถต ซงเปนตนเหตของ
ความสม นาจะมขนาดใหญเพมขนถามนถกกระจายไปใน
ชวงเวลาทยาวนานขน)
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 9
การเคลอนทแบบบราวน (Brownian
Motion) กลไกของ Brownian Motion
ถาตองการจ าลองการเคลอนทของราคาสนทรพยทมขน
ตลอดเวลา (continuously) dt จะตองมคาใกลเคยงศนย
Model 1 มปญหาเนองจากความแปรปรวนของ Wt+ dt (ค านวณ
ดวยการน า dt ไปยกก าลงสอง) จะมคาใกลเคยงศนยเชนกน
W จะไมใชตวแปรสมอกตอไป เนองจากมคาความแปรปรวน
นอยมาก
Model 2: Wt+ dt = Wt + Zt+dt × √dt
เวลาค านวณความแปรปรวนดวยการน า √dt ไปยกก าลงสอง
เราจะได dt
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 10
การเคลอนทแบบบราวน (Brownian
Motion) Wt จะเปน Brownian Motion ถา
W0 = 0
การเพมขนของ Wt เปนอสระจากกน
Wt - Ws เปนอสระจาก Wv - Wu ∀ s, t, u, v > 0 and u ≤ v ≤ s
≤ t
Wt - Ws ~ N(0,t - s) for s < t
⇒ Wt ~ N(0,t)
Brownian Motion ยงจ าลองการเคลอนทของราคา
หลกทรพยไดไมสมบรณแบบ เนองจากมนคาท
เปนไปไดอาจตดลบ
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 11
การเคลอนทแบบบราวน (Brownian
Motion)
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 12
Brownian Motion with W(0) = 0
Time-days
W
0 50 100 150 200 250
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
กระบวนการแบบวเนอร (Wiener
Process) กระบวนการแบบวนเนอร (Wiener Process) ตง
ใหเพอเปนเกยรตแก Norbert Wiener (1894-
1964)
dWt = Wt+ dt - Wt = Zt+dt × √dt as dt → 0
dWt ~ N(0,dt)
E(dWt ) = 0
E(dWt)2 = dt
ในการประเมนราคาตราสารอนพนธ เราจะสนใจ
กระบวนการของ dWt มากกวา Wt
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 13
การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ
การจ าลองราคาหน ความผนผวนของราคาหนมคณสมบตทส าคญดงน
ในระยะยาว ราคาหนจะเพม (รางวลจากการเสยง) ซง
เราเรยกวาราคาหน drift
ถงแมวา Wiener Process จะไม drift แตเราสามารถแปลง
กระบวนการนให drift ได
การเคลอนทของราคาหนเปนแบบสม
Wiener Process กเปนกระบวนการแบบสม แตเราตองแปลง
กระบวนการนใหแยกแยะถงความแตกตางของความผนผวน
ของหนแตละตว
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 14
การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ
การจ าลองราคาหน ความผนผวนของราคาหนมคณสมบตทส าคญดงน
การพยากรณราคาหนในอนาคตควรจะมความยาก
เพมขน
ความแปรปรวนของราคาหนในอนาคตอนแสนไกล ควรจะ
มากกวาความแปรปรวนของราคาหนในอนาคตอนใกล
ราคาหนไมมทางตดลบ
ผถอหนมความรบผดจ ากด (limited liability)
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 15
การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ
การจ าลองราคาหน ขนตอนการแปลงกระบวนการแบบวเนอร
คณสมบตของผลตอบแทนสามารถอธบายดวยคาเฉลย
(μ) และคาความแปรปรวน (σ2) ของมน ซงเราตองการ
ใหแบบจ าลองของเรามคาคาดหมายและความแปรปรวน
เทากบ μ และ σ2 ตามล าดบ
ก าหนด Rt = μ × dt + gt
Rt = ผลตอบแทนของหนตอชวงเวลา dt
μ × dt = ผลตอบแทนคาดหมายของหนในชวงเวลา dt =
คาคงท
gt = สวนประกอบทจ าลองการสมของผลตอบแทน (ขนอยกบ
ความแปรปรวนของผลตอบแทน)
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 16
การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ
การจ าลองราคาหน ขนตอนการแปลงกระบวนการแบบวเนอร
เราตองการใหแบบจ าลองของเรามคาคาดหมายเทากบ μ
ท าไดดวยการก าหนด E(gt) = 0
เราตองการใหแบบจ าลองของเรามความแปรปรวนตอป
เทากบ σ2 (ความแปรปรวนของผลตอบแทนตอชวงเวลา
dt = σ2 × dt)
ท าไดดวยการก าหนด var(gt) = σ2 × dt
เนองจากเราตองการให E(gt) = 0 และ var(gt) = σ2 dt
ดงนน gt = σ × dWt = σ × Zt × √dt
∴ Rt = μ × dt + σ × dWt
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 17
การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ
การจ าลองราคาหน ความแปรปรวนของราคาหนในอนาคต
St+dt = St(1 + Rt) = St(1 + μ × dt + σ × Zt × √dt )
ความแปรปรวนของ St+dt มากกวาความแปรปรวนของ St
เนองจาก dt จะมคาสงขนถาเราขามเวลาไปยงอนาคตไกลขน
แบบจ าลองทเราไดมา เรยกวา Geometric Brownian
Motion:
dSt = St+dt - St as dt → 0
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 18
tttt
t
t
tt
dWSdtSdS
dWdtS
dSR
Geometric Brownian Motion
คณสมบตเบองตน:
dSt/St = ผลตอบแทนของหนตอชวงเวลาสนๆ dt
μ × dt = ผลตอบแทนคาดหมาย
σ × dWt = สวนประกอบของผลตอบแทนทแสดงถง
ความสม
St ไมมทางตดลบ เนองจาก dSt = 0 เมอ St = 0
dSt/St ~ N(μ × dt , σ2 × dt)
dSt~ N(μ × St × dt , σ2 × S2t × dt)
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 19
Geometric Brownian Motion
ตวอยาง: พจารณาหนตวหนงทมความผนผวน (σ)
เทากบ 30% และใหผลตอบแทนคาดหมาย (μ)
15% ตอป จงหาการเพมขนของราคาหนหลงจาก
ผานไปหนงสปดาห ถาราคาหนตอนเรม (St) = 100
แบบจ าลองแบบชวงเวลาตอเนอง:
แบบจ าลองแบบชวงเวลาไมตอเนอง:
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 20
t
t
t dWdtS
dS
tZtS
S
t
t
Geometric Brownian Motion
ตวอยาง:
ถา X = μ + σZ แลว X ~ N(μ, σ2)
ดงนน การเพมขนของราคาหนตวนในหนงสปดาหจง
เปนตวแปรทสมมาจากการแจกแจงปกตทมคาเฉลย =
.288 และคาเบยงเบนมาตรฐาน = 4.16
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 21
ZS
ZS
t
t
16.4288.
1003.15.521
521
Geometric Brownian Motion
ตวอยาง: แสดงใหเหนวา ∆St/St ~ N(μ∆t , σ2∆t)
ถา X = μ + σZ แลว X ~ N(μ, σ2)
ดงนน ∆ St/St ~ N(μ ∆t , σ2 ∆t)
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 22
tZtS
S
t
t
Geometric Brownian Motion
เราสามารถใชเทคนคทางแคลคลสพสจนไดวา
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 23
tZtS
WtSS
ttSNS
WtSS
dWdtSd
tt
t
tt
tt
2
21
0
2
21
0
22
21
0
2
21
0
2
21
exp
exp
,ln~ln
lnln
ln
Geometric Brownian Motion
ตวอยาง: พจารณาหนตวหนงทมราคาตอนเรม =
40 คาคาดหมาย = 16% และคาความผนผวน =
20% จงหาการแจกแจงความนาจะเปนของลอการ
ทมของราคาหนตวน หรอ lnSt ในอก 6 เดอน
ขางหนา
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 24
02,.759.3~
5.)2(.,5.)2(.16.40ln~ln 22
21
5.0
N
NS
Simulating GBM evolution
การจ าลองการเคลอนทของราคาหนตาม GBM
แบบชวงเวลาไมตอเนอง สามารถท าได 2 วธ
ตวอยาง: จงจ าลอง (simulate) ราคาวนท 3 ของ
หนตวหนงทเคลอนทตามแบบ GBM หนตวนม
ราคาเรมตนท 100 มคาเฉลยของผลตอบแทน =
10% ตอป และมความผนผวน = 20% ตอป
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 25
tZtSS
StZtSS
2
21
01
001
exp)2(
)1(
Simulating GBM evolution
วธท 1:
∆t = 1/250
ราคาของหนตวนในวนแรก = 100
สมตวเลขจาก N(0,1) มา 3 ตว = .11656, -1.27768,
.244257 ตามล าดบ
ราคาของหนในวนถดไปเทากบ
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 26
99.98963.2442572.1.
99.986141.27768-2.1.
100.19100.116562.1.100
22501
2501
23
12501
2501
12
2501
2501
1
SSS
SSS
S
Simulating GBM evolution
วธท 2:
∆t = 3/250
ราคาของหนตวนในวนแรก = 100
สมตวเลขจาก N(0,1) มา 1 ตว = .11656
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 27
100.352
.116562.2.1.exp100
exp
2503
25032
21
2
21
03
tZtSS
Simulating GBM evolution
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 28
GBM daily price for 5 years
Time-days
Shar
e Pr
ice
0 200 400 600 800 1000 1200
7080
9010
011
012
013
0
S0 = 100, μ = .1, σ = .2
Estimating μ และ σ ของ GBM
ใชเทคนคทางคณตศาสตรทเรยกวา การประมาณ
คาความควรจะเปนสงสด (Maximum Likelihood
Estimation)
เรารวาการแจกแจงของผลตอบแทน (ถามองในแง
ของชวงเวลาไมตอเนอง) เปนแบบปกต
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 29
t
tNSSR tttt
2
21
2,~lnln
Estimating μ และ σ ของ GBM
ตวประมาณคา MLE ของ μ และ σ สามารถ
ค านวณไดดงน
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 30
2
1
22
1
ˆ2
1ˆˆ
ˆ1
ˆ
1ˆ
t
RtT
RT
T
t
t
T
t
t
Estimating μ และ σ ของ GBM
ตวประมาณคา MLE ของ α และ σ2 ไดแก คาเฉลย
ของผลตอบแทน และ 1/∆t × (คาเฉลยสวน
เบยงเบนก าลงสองของผลตอบแทน) ตามล าดบ
ตวอยาง: ใชขอมลผลตอบแทนรายวนของ Apple
∆t = 1/250
α^ = คาเฉลยของผลตอบแทน = 0.001208315
คาเฉลยสวนเบยงเบนก าลงสองของผลตอบแทน =
0.0005868717
σ2^ = 250 × 0.0005868717 = 0.1467179
μ^ = (0.001208315 × 250) + .5 × 0.1467179 =
0.3754376
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 31
Constant Elasticity of Variance
CEV ตงสมมตฐานวาราคาหนมววฒนาการดงน
μ, σ, β เปนคาคงท
ถา β = 2 CEV จะกลายเปน GBM
ถามองในแงของชวงเวลาไมตอเนอง
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 32
tttt dWSdtSdS 2
tZStSSS ttttttt 2
Constant Elasticity of Variance
เราสามารถใชเทคนคทางแคลคลสพสจนไดวา
ถามองในแงของชวงเวลาไมตอเนอง
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 33
tStSNR
tZStSSSR
tttt
ttttttttt
2222
21
2
2
22
21
,~
lnln
ttttdttt dWSdtSSSSd 2
2
22
21lnlnln
Simulating CEV
การจ าลองการเคลอนทของราคาหนตาม CEV
แบบชวงเวลาไมตอเนอง สามารถท าไดแควธเดยว
ตวอยาง: จงจ าลอง (simulate) ราคาวนท 3 ของ
หนตวหนงทเคลอนทตามแบบ CEV หนตวนมราคา
เรมตนท 100 ม μ = .1 σ = 1.2 และ β = .7
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 34
tZStSSS 2
0001
Simulating CEV
การจ าลอง CEV ตามตวอยาง
∆t = 1/250
ราคาของหนตวนในวนแรก = 100
สมตวเลขจาก N(0,1) มา 3 ตว = .11656, -1.27768,
.244257 ตามล าดบ
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 35
Simulating CEV
การจ าลอง CEV ตามตวอยาง
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 36
2501
2
7.
22501
223
2501
2
7.
12501
112
25012
7.
2501
1
.2442572.11.
1.27768-2.11.
.116561002.11001.100
SSSS
SSSS
S
Simulating CEV
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 37
CEV daily price for 5 years
Time-days
Shar
e Pr
ice
0 200 400 600 800 1000 1200
100
110
120
130
140
150
S0 = 100, μ = .1, σ = 1.2, β = .7
Estimating μ σ และ β ของ CEV
ตวประมาณคา MLE ของ μ σ และ β สามารถ
ค านวณไดจากการใชโปรแกรมทางสถตหาคา μ σ
และ β ทท าใหฟงกชนตอไปนมคาสงสด
ฟงกชนดานบน เรยกวา ฟงกชนลอการทมความควรจะ
เปนสงสด (log-likelihood function)
ฟงกชนดงกลาวเปนฟงกชนของ μ σ และ β
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 38
T
t t
ttT
t
ttS
tSRSt
T
122
222
21
1
2
2ln
2
22ln
2
Estimating μ σ และ β ของ CEV
ตวอยาง: ใชขอมลผลตอบแทนรายวนของ Apple
∆t = 1/250
μ^ = 0.3717376
σ^ = 5.1580956
β^ = 1.0062139
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 39
CEV VS GBM
Krongkajonsook, N. (2005), Evaluating the CEV and GARCH Option Pricing Model, MCA Thesis, Victoria University of Wellington.
ประเมนคาสมประสทธของแบบจ าลอง GBM และ CEV
จากขอมลจรง
ใชคาสมประสทธทประเมนได จ าลองววฒนาการของ
ราคาหนตาม GBM และ CEV
ตรวจสอบวาคณสมบตของราคาหนวาสอดคลองกบ
stylized facts ทเรยนมาหรอไม
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 40
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 417/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 41
4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 41
7/29/2012 Nattawoot Koowattanatianchai 42
Email:
Homepage:
http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm
Phone:
02-9428777 Ext. 1221
Mobile:
087- 5393525
Office:
ชน 9 ตกใหมคณะบรหารธรกจ