การวิจัยการดำเนินงานสำหรับวิศวกรpirun.ku.ac.th/~fengpppa/02206232/orbook.pdf ·...

การวจยการดำเนนงานสำหรบวศวกร

อ.ดร.ภทรพงษ ภาคภม

18 มนาคม พ.ศ. 2563

2

Copyright © 2019 ภทรพงษ ภาคภม

สารบญ

0.1 ประมวลการสอน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2 linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.3 probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 ระเบยบวธการดำเนนงานวจยเบองตน 151.1 แนะนำระเบยบวธการดำเนนงานวจยในการแกปญหาทางวศวกรรมอตสาหการ . . . . . . . . . . 15

1.1.1 OR Timeline [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Basic Optimization Problems 172.1 เทคนคการแกปญหาเชงกำหนด Techniques for solving deterministic problem . . . . . . . 172.2 แบบจำลองทางคณตศาสตร Mathematical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Multiple Optimal Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Infeasible LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3 A Diet Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.4 ปญหากำหนดการเชงเสนอนๆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 กำหนดการเชงเสน Linear programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 วธกราฟ graphical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 วธซมเพลกซ Simplex method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 ปญหาคควบ PrimalDual problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.1 ขอบเขตบนและขอบเขตลางของปญหา optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.2 ทฤษฎปญหาคควบ duality theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Some Discrete and Interative optimization problems 453.1 กำหนดการเชงไดนามกส Dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Dijkstra's Shortest Path Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.2 Dynamic Programming on 01 Knapsack Problem . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 กำหนดการเชงเสนผสมจำนวนเตม Mixed Integer linear programming . . . . . . . . . . . . 54

4 The Transportation and Assignment Problems 634.1 ปญหาการขนสงและสงผาน Transportation and transshipment problems . . . . . . . . . . 63

5 Network Optimization Models 755.1 แบบจำลองเครอขาย Network models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3

4 สารบญ

5.1.1 คำศพท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.1.2 ปญหาประยกตในอตสาหกรรม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.1.3 วธการ algotirhms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 ปญหาการมอบหมายงานและแบบจำลองพสดคงคลง Assignment problems and Inventory model 816.1 ปญหาการมอบหมายงาน Assignment problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2 แบบจำลองพสดคงคลง Inventory model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 การวเคราะหการตดสนใจ Decision Analysis 897.1 เทคนคการแกปญหาทไมเปนปญหาเชงกำหนด Decision Making Under Certainty AHP . . . . 897.2 การตดสนใจภายใตความเสยง decision making under risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3 แบบฝกหด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 ทฤษฎเกม Game theory 1058.1 คำตอบทดทสดของเกมทมผเลนสองคนผลลพธรวมเปนศนย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9 ความนาจะเปนและกระบวนการสโตแคสตก Probability and stochastic processes: Markov Chain 1099.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.1.1 nstep transition probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.2 Classification of States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.3 SteadyState Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10 ทฤษฎของแถวคอย Queuing theory 13710.1 องคประกอบของระบบแถวคอย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.2 Modeling Arrival and Service Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810.3 แบบฝกหด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

11 การใชแบบจำลองสถานการณเพอการตดสนใจ 14511.1 Monte Carlo SiMulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14511.2 แบบฝกหด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A Appendices 151A1 Revised Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A2 Second appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

B More appendices 159B1 คาทางสถต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159B2 Second appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

0.1. ประมวลการสอน 5

0.1 ประมวลการสอนประจำภาคปลาย ปการศกษา 2561

1. คณะ วศวกรรมศาสตร สาขาวชา วศวกรรมอตสาหการ

2. รหสวชา 02206232 ชอวชา การวจยการดำเนนงานสำหรบวศวกร (Operations Research for Engineers)

3. จำนวน 3 หนวยกต (บรรยาย 3 ชม. ศกษาดวยตวเอง 6 ชม.) นสตเขาเรยน 3 ชวโมงตอสปดาหและศกษาดวยตวเองนอกหองเรยนเปนเวลา 6 ชวโมงตอสปดาห

4. วชาทตองเรยนมากอน : 02206231

5. คำอธบายรายวชาแนะนำระเบยบวธการดำเนนงานวจยในการแกปญหาทางวศวกรรมอตสาหการ เทคนคการแกปญหาเชงกำหนดแบบจำลองทางคณตศาสตร กำหนดการเชงเสนตรง วธซมเพลกซ กำหนดการเชงไดนามกส กำหนดการเชงจำนวนเตม ปญหาคควบ แบบจำลองโครงขาย แบบจำลองพสดคงคลง ปญหาการขนสงและสงผาน ปญหาการ มอบหมายงาน เทคนคการแกปญหาทไมเปนปญหาเชงกำหนด การตดสนใจภายใตความไม แนนอนและความเสยง ทฤษฎเกมทฤษฎของแถวคอย ความนาจะเปนและกระบวนการสโตแคสตก การใชแบบจำลองสถานการณเพอการตดสนใจIntroduction to the methodology of operations research in industrial engineering problem solving.Techniques for solving deterministic problem. Mathematical models. Linear programming. Simplexmethod. Dynamic programming. Integer linear programming. Dual problems. Network models.Inventory model. Transportation and transshipment problems. Assignment problems. Techniquesfor solving nondeterministic problem. Decision making under uncertainty and risk. Game theory.Queuing theory. Probability and stochastic processes. Application of simulation model for decisionmaking.

6. หวขอวชา

(a) แนะนำระเบยบวธการดำเนนงานวจยในการแกปญหาทางวศวกรรมอตสาหการ Intro to OR

(b) เทคนคการแกปญหาเชงกำหนด Solving deterministic problems

(c) แบบจำลองทางคณตศาสตร Math models

(d) กำหนดการเชงเสนตรง Linear Programming

(e) วธซมเพลกซ Simplex method

(f) ปญหาคควบ dual problems

(g) กำหนดการเชงไดนามกส dynamic programming

(h) กำหนดการเชงจำนวนเตม Integer linear programming

(i) แบบจำลองโครงขาย network models

(j) ปญหาการขนสงและสงผาน transportation and transshipment problems

(k) ปญหาการมอบหมายงาน assignment problems

(l) แบบจำลองพสดคงคลง inventory models

6 สารบญ

(m) เทคนคการแกปญหาทไมเปนปญหาเชงกำหนด solving nondeterministic problems

(n) การตดสนใจภายใตความไมแนนอนและความเสยง decision making under uncertainty

(o) ทฤษฎเกม game theory

(p) ทฤษฎของแถวคอย queuing theory

(q) ความนาจะเปนและกระบวนการสโตแคสตก probability and stochastic processes

(r) การใชแบบจำลองสถานการณเพอการตดสนใจ simulation models

7. มาตรฐานผลการเรยนรจากหลกสตรสรายวชา

(a) คณธรรม จรยธรรม

i. มวนย ตรงตอเวลา รบผดชอบตอตนเองและสงคม เคารพกฎระเบยบและขอบงคบตาง ๆ ขององคกรและสงคมประเมนจากการตรงตอเวลาของนสตในการเขาเรยน การสงงานทไดรบมอบหมายตามกาหนดเวลาและการแตงกายทถกตองตามระเบยบมหาวทยาลย10% เกบคะแนนทกครงทมเรยนหรอใชวธสม

ii. มจรรยาบรรณทางวชาการและวชาชพ และมความรบผดชอบในฐานะผประกอบวชาชพ รวมถงเขาใจถงบรบททางสงคมของวชาชพวศวกรรมในแตละสาขา ตงแตอดตจนถงปจจบนความมวนยและความพรอมเพรยงของนสตในการเขารวมกจกรรมเสรมหลกสตร5% ลดคะแนนเมอขาดคณสมบต

(b) ความร

i. มความรและความเขาใจทางคณตศาสตรพนฐาน วทยาศาสตรพนฐาน วศวกรรมพนฐาน และ เศรษฐศาสตร เพอการประยกต ใชกบงานทางดานวศวกรรมศาสตรท เกยวของ และการสรางนวตกรรมทางเทคโนโลยประเมนผลสมฤทธทางการเรยนและการปฏบตของนสต เชน การทดสอบยอย การสอบกลางภาคการสอบปลายภาคสอบยอย 10 % สอบยอยโดยใชคอมพวเตอร 10 % กลางภาค 20 % ปลายภาค 30%

ii. มความรและความเขาใจเกยวกบหลกการทสาคญ ทงในเชงทฤษฎและปฏบต ในเนอหาของสาขาวชาเฉพาะดานทางวศวกรรม และทางดานโลจสตกส สามารถนาไปประยกตใชในการวางแผนและแกปญหาในกจกรรมดานโลจสตกสไดประเมนจากการสอบภาคทฤษฎและปฏบตในรายวชาทเกยวของประเมนจากรายงานของนสต และการนำเสนอหนาชนเรยนสอบปฏบต รายงาน นำเสนอหนาชนเรยน + กจกรรมกลม 15%

iii. สามารถวเคราะหและแกไขปญหา ดวยวธการทเหมาะสม รวมถงการประยกตใชเครองมอทเหมาะสมเชน โปรแกรมคอมพวเตอร เปนตนการประเมนจากรายงาน และการนาเสนอรายงานหนาชนเรยน

(c) ทกษะทางปญญา


i. สามารถคด วเคราะห และแกไขปญหาดานวศวกรรมไดอยางมระบบ รวมถงการใชขอมลประกอบการตดสนใจในการทำงานไดอยางมประสทธภาพประเมนผลจากการทำรายงาน

ii. สามารถสบคนขอมลและแสวงหาความรเพมเตมไดดวยตนเอง เพอการเรยนรตลอดชวต และทนตอการเปลยนแปลงทางองคความรและเทคโนโลยใหมๆการประเมนผลการเรยนรจากการศกษาคนควาดวยตนเอง

(d) ทกษะความสมพนธระหวางบคคลและความรบผดชอบ

i. สามารถวางแผนและรบผดชอบในการพฒนาการเรยนรทงของตนเอง และสอดคลองกบทางวชาชพอยางตอเนองประเมนจากการรายงานผลการดำเนนงานและการแกปญหา

ii. รจกบทบาท หนาท และมความรบผดชอบในการทำงานตามทมอบหมาย ทงงานบคคลและงานกลมสามารถปรบตวและทำงานรวมกบผอนทงในฐานะผนำและผตามไดอยางมประสทธภาพ สามารถวางตวไดอยางเหมาะสมกบความรบผดชอบประเมนจากผลงาน การนำเสนอผลงานและการแกปญหารวมกนของกจกรรมกลม

(e) ทกษะการวเคราะหเชงตวเลข การสอสาร และการใชเทคโนโลยสารสนเทศ

i. มทกษะในการใชคอมพวเตอร สำหรบการทำงานทเกยวของกบวชาชพไดเปนอยางดความถกตองของคาตอบทเกดจากการใชคอมพวเตอรในการประมวลผล

ii. มทกษะในการวเคราะหขอมลสารสนเทศทางคณตศาสตรหรอการแสดงสถตประยกต ตอการแกปญหาทเกยวของไดอยางสรางสรรคประเมนจากความสามารถในการอธบายผลทไดจากการวเคราะหขอมลทไดจากการคำนวณ

iii. สามารถใชเครองมอการคำนวณและเครองมอทางวศวกรรม เพอประกอบวชาชพในสาขาวศวกรรมทเกยวของไดประเมนจากความถกตองของคำตอบทไดจากการใชโปรแกรมทเกยวของในการแกปญหาเชงตวเลขจากงานทไดรบมอบหมายประเมนจากความสามารถในการอธบายถงขอจำกดและเหตผลในการเลอกใชเครองมอตางๆ จากงานทไดรบมอบหมาย

8. วธการสอนการบรรยาย อภปราย ศกษาคนควาดวยตนเอง การทำการบาน การทำงานกลม

9. อปกรณสอการสอน Slides, whiteboard, computer

10. การวดผลสมฤทธในการเรยน

(a) classroom and homework 40 %

i. CC การเขาเรยน 5 %

ii. IN classroom individual assignment 15 %

iii. GW classroom group work 20 %

8 สารบญ

(b) exams and quizzes 60 %

i. QU สอบยอย 10 %

ii. MID สอบกลางภาค 20%

iii. FIN การสอบไล 30 % (cumulative)

11. การประเมนผลการเรยน องกลมและองเกณฑดงน

(a) A 80+

(b) B 70+

(c) C 60+

(d) D 50+

12. เอกสารอานประกอบ(Required) Introduction to Operations Research, Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman, (10th Ed)2015

13. ชวโมงการสอน จนทร เวลา 13:0014:30 หอง 9501 และ พธ เวลา 16:0017:30 หอง 9202

14. แลปคอมพวเตอร พธ เวลา 16:0018:00 หอง 8302

15. office hours จนทรและพธ เวลา 89 และ พธ เวลา 15 16 (by appointment only นดเวลาเขาพบหลงเรยนเทานน) คำถามหรอขอสงสยตางๆ ทเกยวกบการเรยนการสอนใหถามโดยตรงกบอ.ผสอนระหวางเรยน หลงเรยนหรอทภาควชาเทานน

16. ตารางเรยนโดยประมาณ

(a) แนะนำระเบยบวธการดำเนนงานวจยในการแกปญหาทางวศวกรรมอตสาหการ Intro to ORสปดาหท 1

(b) เทคนคการแกปญหาเชงกำหนด Solving deterministic problemsสปดาหท 1

(c) แบบจำลองทางคณตศาสตร Math modelsสปดาหท 12

(d) กำหนดการเชงเสนตรง Linear Programmingสปดาหท 2

(e) วธซมเพลกซ Simplex methodสปดาหท 34

(f) ปญหาคควบ dual problemsสปดาหท 5

(g) กำหนดการเชงไดนามกส dynamic programmingสปดาหท 6


(h) กำหนดการเชงจำนวนเตม Integer linear programmingสปดาหท 7 (สอบกลางภาคสปดาหถดไป)

(i) ปญหาการขนสงและสงผาน transportation and transshipment problemsสปดาหท 8

(j) ปญหาการมอบหมายงาน assignment problemsสปดาหท 9

(k) แบบจำลองโครงขาย network modelsสปดาหท 10

(l) แบบจำลองพสดคงคลง inventory modelsสปดาหท 11

(m) เทคนคการแกปญหาทไมเปนปญหาเชงกำหนด solving nondeterministic problemsสปดาหท 11

(n) การตดสนใจภายใตความไมแนนอนและความเสยง decision making under uncertaintyสปดาหท 12

(o) ทฤษฎเกม game theoryสปดาหท 13

(p) ทฤษฎของแถวคอย queuing theoryสปดาหท 14

(q) ความนาจะเปนและกระบวนการสโตแคสตก probability and stochastic processesสปดาหท 15

(r) การใชแบบจำลองสถานการณเพอการตดสนใจ simulation modelsสปดาหท 15

10 สารบญ

review

0.2 linear algebra1. การคณกนของเมทรกซและคณสมบต

แบบฝกหด 0.2.1. จงหา A x B และ B x A และวจารณผลทไดโดยA =

[3 6

2 4

], B =

[3 2

4 3

], and C =

[1 2

2 3

]2. matrix determinant

แบบฝกหด 0.2.2. จงหา determinant of B

3. การหา inverse ของเมทรกซ ดวยวธการ Gaussian elimination

แบบฝกหด 0.2.3. จงหา inverse of A and B และบอกคณสมบตของ determinant กบ inverse

4. Inverting a 3x3 matrix using Gaussian elimination

แบบฝกหด 0.2.4. จงหา Gaussian elimination ของเมทรกซ Dโดย

D =

1 3 2

2 6 5

1 4 5

วธทำ D =

1 3 2

0 1 3

0 0 1

�

แบบฝกหด 0.2.5. จงหา inverse of E โดยวธ GaussJordanโดย

E =

1 0 2

0 1 0

0 1 1

วธทำ Hint:

E =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

�

11

12 สารบญ

แบบฝกหด 0.2.6. ใชวธการ Gauss–Jordan (matrix reduced rowechelon form) เพอหาคำตอบทงหมดของระบบสมการตอไปนหรอแสดงวาระบบสมการไมมคำตอบ:

2x1 + x2 + x3 = 7 (1a)3x1 + x2 + 2x3 = 11 (1b)x1 − x2 + x3 = 2 (1c)

0.3 probabilityrandom variable, pdf, and expected value

ให X เปน discrete random variable , expected value of X เปนE[X] =

∑x

xP (X = x)

แบบฝกหด 0.3.1. [4] สมเลอกลกบอล 2 ลกจากโถทมลกบอลสขาว 8 ลก สดำ 4 ลก และสสม 2 ลก ถาหากเลอกไดลกสดำจะไดเงนลกละ 2 ดอลลาร แตถาหากไดลกสขาวจะตองเสยเงนลกละ 1 ดอลลาร ให X แทนคาเงนทไดเสย จงหา

คาความเปนไปได (possible values) ของ X

คาความนาจะเปน (probability) ของแตละ event

และคาความคาดหวง E[X] (expectation) จากการสมในแตละครง

ถา X เปน continuous random variable ทม probability density function เปน f(x), expected value of X isE[X] =

∫ ∞

−∞xf(x)dx

แบบฝกหด 0.3.2. [4] จงหา E[X] เมอ density function ของ X คอ

f(x) =

2x, if 0 ≤ x ≤ 1

0, otherwise

และจงแสดงวา f(x) มคณสมบตเปน density function

ตวอยาง 0.3.1. ตวอยางการใช matrix และ probability กบสถานการณเสมอนจรงบนถนนทมแตรถบรรทกและรถยนต สามในสคนรถบรรทกจะตามดวยรถยนต หนงในหาคนรถยนตจะตามดวยบรรทก จะหาสดสวนของรถยนตและรถบรรทกบนถนนวธทำ ให Xn เปน state (สภาวะ) ของระบบทเวลา n ในทน มสอง states คอการเปนรถบรรทกหรอรถยนต สำหรบคนทn (คนท n+1 คอคนถดจากคนน คนท n1 คอคนกอนหนาน ความเปนไปไดทในสภาวะ n ไปยงสถาวะ n+1 มคาทแนนอนนนคอ

P =

[.25 .75

.2 .8

]เมอเราให pij มคาเปนความเปนไปไดตามปญหาน

p11 = คนท n+1 เปนรถบรรทก เมอคนท n เปนรถบรรทก p12 = คนท n+1 เปนรถยนต เมอคนท n เปนรถบรรทก p21 =คนท n+1 เปนรถบรรทกเมอ คนท n เปนรถยนต p22 = คนท n+1 เปนรถยนต เมอคนท n เปนรถบรรทก

0.3. PROBABILITY 13

ตารางท 1: matrix components representing probability

รถบรรทก รถยนตรถบรรทก p11 p12

รถยนต p21 p22

เราสามรถใชหลกการแกปญหา markov chain เมอ π =

[π1

π2

]เปน limiting probability ไดโดย

πP = π คณสมบตของ limiting probability (2a)∑i

πi = 1 คณสมบตของความเปน probability (2b)

�

แบบฝกหด 0.3.3. รานระบำเรอขายเบยรสามยหอเทานนคอ เบยรเสอดาว เบยรสงโต และเบยรกระทงดอง นกดมมกจะเปลยนไปดม เบยรอนๆในแตละเดอนใหม ตามหลกการดงน30% ของนกดมเบยรเสอดาวของเดอนน จะเปลยนไปดมเบยรสงโตเดอนหนา 1>2 20% ของนกดมเบยรเสอดาวของเดอนน จะเปลยนไปดมเบยรกระทงดองเดอนหนา 1>3 30% ของนกดมเบยรสงโตของเดอนน จะเปลยนไปดมเบยรกระทงดองเดอนหนา 2>3 30% ของนกดมเบยรกระทงดองของเดอนน จะเปลยนไปดมเบยรสงโตเดอนหนา 3>2 10% ของนกดมเบยรกระทงดองของเดอนน จะเปลยนไปดมเบยรเสอดาวเดอนหนา 3>1

จงหาสวนแบงการตลาดของเบยรทงสามของรานระบำเรอน

14 สารบญ

บทท 1

ระเบยบวธการดำเนนงานวจยเบองตน

1.1 แนะนำระเบยบวธการดำเนนงานวจยในการแกปญหาทางวศวกรรมอตสาหการ

1.1.1 OR Timeline [2]1. 1937 จดเรมตนของปญหาการเดนทางของเซลแมน travelling salesman problem Merrill M. Flood นำปญหา

TSP ท colleague แนะนำมาคดคนวธหาคำตอบ

2. 1939 KKT conditions 1939William Karush คนพบเงอนไขสำหรบคำตอบทเปนคำตอบทดทสด ของปญหากำหนดการทไมใชเชงเสน H. W.Kuhn, A. W. Tucker คนพบ conditions เดยวกนในป 1951

3. 1941 ปญหาการขนสงfirst statement of the classical transportation problem (the shipping of goods from supply origins todemand destinations at minimum cost) is due to Frank L. Hitchcock

4. 1947 LPA linearprogramming problem can be stated mathematically as follows: Minimize (or Maximize) cx,subject to Ax — b, where c is a (1 × n) row vector, x is a (n × 1) column vector, A is an (m × n)matrix, and b is a (m × 1) column vector. First stated in this form by George B. Dantzig

5. 1947 Simplex Methodinvented by George B. Dantzig as a solution procedure for solving linearprogramming (LP) problems

6. 1947 the definition of ORCharles Kittel (1947) Operations Research is a scientific method for providing executive departmentswith a quantitative basis for decisions.Charles Goodeve (1948) to read: “Operational Research is a scientific method of providing executivedepartments with a quantitative basis for decisions regarding the operations under their control.การวจยดำเนนการคอวธการทางวทยาศาสตรเพอการตดสนใจเชงปรมาณในการดำเนนการบรหารภายใตการตดสนใจตามหนาททม

15

16 บทท 1. ระเบยบวธการดำเนนงานวจยเบองตน

7. 1950 statistical decision theorydecision making under uncertainty

8. 1950 the prisioner's dilemmaThe story, first told by Albert W. Tucker to a group of psychology majors at Stanford University, isbased on a strategic game developed by Merrill Flood and Melvin Dresher of the RAND Corporation.Two men, charged with a joint violation of law, are held separately by the police. Each is told that(1) if one confesses and the other does not, the former will be given a reward of one unit and thelatter will be fined two units, (2) if both confess each will be fined one unit. At the same timeeach has good reason to believe that (3) if neither confesses, both will go clear. This situation givesrise to a simple symmetric twoperson game (not zerosum) with the following table of payoffs, inwhich each ordered pair represents the payoffs to I and II, in that order:

ตารางท 1.1: A TwoPerson Dilemma Payoff

confess not confessconfess (1,1) (1,2)not confess (2,1) (0,0)

Clearly, for each man the pure strategy “confess” dominates the pure strategy “not confess.”Hence, there is a unique equilibrium point given by the two pure strategies “confess.” In contrastwith this noncooperative solution one sees that both men would profit if they could form a coalitionbinding each other to “not confess.”

9. 1950 dynamic programmingdynamic programming is an optimization technique for multistage decision problems based on theprinciple of optimality: For any optimal policy, whatever the current state and current decision, theremaining decisions must constitute an optimal policy for the state that results from the currentdecision.

10. 1950 OR in agriculture

11. 1953 OR in railroad classification yards

12. 1953 revised simplex method

13. 1954 dual simplex method

14. 1955 stochastic programming

15. 1961 Little's Law

16. 1964 complementarity problems

17. 1982 GAMS

บทท 2

Basic Optimization Problems

2.1 เทคนคการแกปญหาเชงกำหนด Techniques for solving deterministicproblem

ปญหาเชงกำหนด (deterministic problem) คอปญหาทม assumption วาขอมลองคประกอบของปญหามความแนนอนเชน ราคาสนคาตอชนไมมความแปรปรวน (probability distribution) คาสงสนคา ปรมาณ demand and supply เปนตนดตวอยางประกอบ

ตวอยาง 2.1.1. [7] บรษท Giapetto’s Woodcarving ผลตของเลนไมสองอยางคอหนทหารและรถไฟ หนทหารขายในราคา 27 ดอลลาร ตอชนและใชวตถดบ 10 ดอลลาร การผลตหนแตละตวเพมตนทนแปรผนและ overhead 14 ดอลลารรถไฟขายในราคา 21 ดอลลารตอชนและใชวตถดบ 9 ดอลลาร การรถไฟแตละอนเพมตนทนแปรผนและ overhead 10ดอลลาร การผลตหนทหารและรถไฟใชแรงงานสองประเภทคอชางไมและชางตกแตง หนทหารแตละตวใชการตกแตง 2ชวโมง และแรงงานชางไม 1 ชวโมง รถไฟแตละตวใชการตกแตง 1 ชวโมง และแรงงานชางไม 1 ชวโมง ในแตละสปดาหบรษท Giapetto’s Woodcarving สามารถหาวตถดบไดอยางเพยงพอ แตมแรงงานตกแตง 100 ชวโมงและแรงงานชางไม80 ชวโมง รถไฟม demand ไมจำกดแตหนทหารขายไดไมเกน 40 ตวตอสปดาห บรษท Giapetto’s Woodcarving ตองการไดกำไรตอสปดาหทสงทสด (รายไดตนทน) จงเขยนโมเดลทางคณตศาสตรเปนกำหนดการเชงเสนจำลองสถานการณท บรษทGiapetto’s Woodcarving จะใชหากำไรทสงสด วธทำ ขอมลขางตนสามารถแบงตามลำดบไดดงน

1. หนทหารและรถไฟ

2. หนทหารขายในราคา 27 ดอลลาร ตอชนและใชวตถดบ 10 ดอลลาร การผลตหนแตละตวเพมตน 14 ดอลลาร

3. รถไฟขายในราคา 21 ดอลลารตอชนและใชวตถดบ 9 ดอลลาร การรถไฟแตละอนเพมตนทน 10 ดอลลาร

4. การผลตหนทหารและรถไฟใชแรงงานสองประเภทคอชางไมและชางตกแตง

5. หนทหารแตละตวใชการตกแตง 2 ชวโมง และแรงงานชางไม 1 ชวโมง

6. รถไฟแตละตวใชการตกแตง 1 ชวโมง และแรงงานชางไม 1 ชวโมง

7. บรษทสามารถหาวตถดบไดอยางเพยงพอ

8. แตมแรงงานตกแตง 100 ชวโมงและแรงงานชางไม 80 ชวโมง

17

18 บทท 2. BASIC OPTIMIZATION PROBLEMS

9. รถไฟม demand ไมจำกดแตหนทหารขายไดไมเกน 40 ตวตอสปดาห

10. บรษทตองการไดกำไรตอสปดาหทสงทสด

เรยบเรยงใหมเพอทำโมเดลทางคณตศาสตรดงน

1. หนทหารขายไดกำไรตวละ 3 ดอลลาร และ รถไฟขายไดกำไรตวละ 2 ดอลลาร

2. หนทหารแตละตวใชการตกแตง 2 ชวโมง รถไฟแตละตวใชการตกแตง 1 ชวโมง แตบรษทมแรงงานตกแตง 100 ชวโมง

3. หนทหารใชแรงงานชางไม 1 ชวโมง และรถไฟชางไม 1 ชวโมง แตบรษทมแรงงานชางไม 80 ชวโมง

4. หนทหารขายไดไมเกน 40 ตวตอสปดาห


�

Assumptions of linear programming problems

พจารณาคำตอบของแตละคำถามตอไปน คำตอบเหลานนคอสมมตฐานของกำหนดการเชงเสนทงสขอ

1. Proportionality assumptionถาขายหนทหารได 2 ตวจะมกำไรเทาได ถาขายได 10 ตวจะมกำไรเทาได

2. Additivity assumptionถาขายหนทหารได 2 ตว รถไฟได 3 ตว จะมกำไรเทาได

3. Divisibility assumptionถาขายหนทหารได 2.5 ตว จะมกำไรเทาได

4. Certainty assumptionคาพารามเตอรทงหมดของปญหาในตารางท 2.1 มความแนนอนก %

วธหนงในการแกปญหาในลกษณะนคอการสรางแบบจำลองทางคณตศาสตรแลวแกดวยวธทางกำหนดการเชงเสน ขนตอนแรกในการแกปญหาคอการสรางแบบจำลองทางคณตศาสตรสำหรบปญหานน

2.2 แบบจำลองทางคณตศาสตร Mathematical modelsจากตวอยาง 2.1.1 เราสามารถเขยนขอมลใหอยในรปตารางไดดงน

ตารางท 2.1: ขอมลปญหา Giapetto’s Woodcarving

กำไรตอตว งานตกแตง งานไม ขอจำกดหนทหาร $3 2 ชม 1 ชม demand ≤ 40

รถไฟ $2 1 ชม 1 ชมขอจำกด/ความตองการ max ≤ 100 ชม ≤ 80 ชม

เราสามารถกำหนดให x1 แทนจำนวนการผลตหนทหาร x2 แทนจำนวนการผลตหนรถไฟ

นยาม 2.2.1. x1 และ x2 เรยกวา ตวแปรตดสนใจ (decision variable) ของปญหา

2.2. แบบจำลองทางคณตศาสตร MATHEMATICAL MODELS 19

ขอมลจากตาราง 2.1 เราตองการ max 3x1+2x2 โดยทงานตกแตงและงานไมเปนไปตามขอกำหนด คอ 2x1+x2 ≤ 100

และ x1 + x2 ≤ 80 สวน demand ของหนทหาร คอ x1 ≤ 40 รวมกนทงหมดเปน แบบจำลองทางคณตศาสตร ดงน

รปท 2.1: รปแบบมาตรฐานของปญหากำหนดการเชงเสน (linear program)Standard form of LP

max z = 3x1 + 2x2 (ตองการกำไรสงทสด) (2.1a)s.t. 2x1 + x2 ≤ 100 (งานตกแตง) (2.1b)

x1 + x2 ≤ 80 (งานไม) (2.1c)x1 ≤ 40 (demand ของหนทหาร) (2.1d)

x1, x2 ≥ 0

นยาม 2.2.2. ฟงกชนของสมการ (2.1a) เรยกวา ฟงกชนวตถประสงค (objective function) ของปญหา

นยาม 2.2.3. (2.1b) (2.1d) เรยกวา สมการ (หรออสมการ) ขอจำกด (constraints) ของปญหา ซงรวมถง nonnegativity constraints, x1, x2 ≥ 0, ดวย

เราจะนำแบบจำลองทางคณตศาสตร นไปหาคำตอบทดทสดโดยวธการทางกำหนดการเชงเสน

แบบฝกหด 2.2.1. [7] บรษบ Leary Chemical ผลตสารเคมสามอยาง A, B, และ C โดยผลตผานสองกระบวนการ กระบวนการหนงและสอง การทำกระบวนการหนงเวลา 1 ชวโมง มตนทน $4 และให A สามหนวย B หนงหนวย และให C หนงหนวย การทำกระบวนการสองเวลา 1 ชวโมง มตนทน $1 และให A หนงหนวย B หนงหนวย เพอตอบสนองความตองการของลกคา บรษทจะตองผลต A อยางนอย 10 หนวย B อยางนอย 5 หนวย C อยางนอย 3 หนวยตอวน จงใชวธการทางกราฟเพอหาแผนการผลตทมตนทนตำทสดและตอบสนองความตองการของลกคา

แบบฝกหด 2.2.2. จากปญหาตวอยางท 2.2.1 จงยกตวอยางของสมมตฐานทงสขอของกำหนดการเชงเสน

แบบฝกหด 2.2.3. [7] โจนาตองการหาปรมาณพนททเหมาะสม ทจะปลกขาวโพดและธญพชสำหรบปการเพาะปลกน พนทปลกธญพช 1 เอเคอร ใหผลผลต 25 บชเชลและใชแรงงาน 10 ชวโมงตอสปดาห พนทปลกขาวโพด 1 เอเคอร ใหผลผลต 10บชเชลและใชแรงงาน 4 ชวโมงตอสปดาห ธญพช 1 บชเชลขายไดในราคา 4 ดอลลาร ขาวโพด 1 บชเชลขายไดในราคา 3ดอลลาร พนทเพาะปลกมอยทงสนอย 7 เอเคอรและมแรงงานอย 40 ชวโมงตอสปดาห รฐบาลกำหนดใหชาวสวนแตละรายตองมผลผลตขาวโพดอยางนอย 30 บชเชลในฤดกาลน ให x1 เปนปรมาณพนทเพาะปลกของขาวโพด และ x2 เปนปรมาณพนทเพาะปลกของธญพช ใชตวแปรตดสนใจนในการสรางกำนหดการเชงเสนทจะหา คำตอบใหกบโจนาเพอทจะหารายไดทสงทสดจากขาวโพดและธญพชนวธทำ เราสามารถนำขอมลขางตนมาเขยนลงมนตารางไดดงน

ตารางท 2.2: ขอมลปญหาโจนาชาวไร

ปรมาณปลก ผลผลต แรงงาน รายไดตอบชเชอรหนวย (เอเคอร) (บชเชล) (ชวโมง) (ดอลลาร)ขาวโพด x1 10x1 4x1 3ธญพช x2 25x2 10x2 4ขอจำกด/ความตองการ ≤ 7 10x1 ≥ 30 ≤ 40 max

จากตาราง 2.2 เราจะไดกำหนดการเชงเสนดงน


max z = 30x1 + 100x2 (ตองการรายไดสงทสด) (2.2a)s.t. x1 + x2 ≤ 7 (ขอจำกดทางพนท) (2.2b)

10x1 ≥ 30 (ผลผลตขาวโพดขนตำ) (2.2c)4x1 + 10x2 ≤ 40 (ขอจำกดทางแรงงาน) (2.2d)

x1, x2 ≥ 0 (2.2e)

�

นยาม 2.2.4. feasible solution ของปญหากำหนดการเชงเสนคอคำตอบหรอการตดสนใจทเปนไปตามขอจำกด (constraints)ของปญหา

infeasible solution คอ solution ทไมเปนไปตามขอจำกดใดขอจำกดหนง

แบบฝกหด 2.2.4. [7] จากแบบฝกหด 2.2.3 ขอใดตอไปนเปน feasible solution

1. (2,3)

2. (4,3)

3. (2,1)

4. (3,2)

วธทำ LTR �

เมอเปาหมายของการตดสนใจเปลยนไปจะทำใหคำตอบของปญหาเดมไมไดใหปรมาณทใชในการตดสนใจโดยตรง ในกรณนการเปลยนตวแปรหรอสรางตวแปรใหมจะทำใหไดปญหาทมคำตอบตรงตามวตถประสงคมากขน

แบบฝกหด 2.2.5. การเปลยนตวแปร [7] จากแบบฝกหด 2.2.3 ใหตวแปรตดสนใจ x1 เปนปรมาณบชเชลของขาวโพดทผลตไดและ x2 เปนปรมาณบชเชลของธญพชทผลตได จงสรางกำหนดการเชงเสนของโจนาใหม

วธทำ จากกำหนดการเชงเสน (2.2) เราเขยนใหมไดดงน

max z = 30y1 + 100y2 (ตองการรายไดสงทสด) (2.3a)s.t. y1 + y2 ≤ 7 (ขอจำกดทางพนท) (2.3b)

10y1 ≥ 30 (ผลผลตขาวโพดขนตำ) (2.3c)4y1 + 10y1 ≤ 40 (ขอจำกดทางแรงงาน) (2.3d)

y1, y2 ≥ 0

ให x1 = 10y1 และ x2 = 25y2 แลว (2.3) จะเปลยนเปน


max z =30

10x1 +

100

25x2 (2.4a)

s.t.1

10x1 +

1

25x2 ≤ 7 (2.4b)

x1 ≥ 30 (2.4c)4

10x1 +

10

25x1 ≤ 40 (2.4d)

x1, x2 ≥ 0

เปลยนใหอยในรปทสวยงามไดดงน

max z = 3x1 + 4x2 (2.5a)

s.t.1

10x1 +

1

25x2 ≤ 7 (ขอจำกดทางพนท) (2.5b)

x1 ≥ 30 (ผลผลตขาวโพดขนตำ) (2.5c)x1 + x2 ≤ 40 (ขอจำกดทางแรงงาน) (2.5d)x1, x2 ≥ 0

หรอเขยนตารางดวยขอมลทปรบใหมดงตาราง 2.3 แลวนำมาเขยนกำหนดการเชงเสนใหมกจะไดเชนเดยวกบ (2.5)

ตารางท 2.3: ขอมลปญหาโจนาชาวไรในรปปรมาณผลผลต

ผลผลต พนท แรงงาน รายไดหนวย บชเชล เอเคอรตอบชเชล ชวโมง ดอลลารตอบชเชลขาวโพด x1

110

4x1 3ธญพช x2

125

10x2 4ขอจำกด/ความตองการ x1 ≥ 30 ≤ 7 ≤ 40 max

�

แบบจำลองทางคณตศาสตรสามารถเขยนไดทงในรปสมการเชงเสนและในรปเมทรกซเชนตามตวอยางดงตอไปน

ตวอยาง 2.2.1. บรษท Dakota Furniture ผลตเฟอรนเจอร โตะกนขาว โตะเขยนหนงสอ และเกาอ โดยในการผลตเฟอรนเจอร แตละชนดตองใชไมและแรงงานสองประเภทคอชางไมและชางตกแตง ปรมาณทตองใชเปนไปตามตารางท 2.4

วตถดบและแรงงานทมอยในขณะนมจำนวนไมแผน 48 ฟต แรงงานชางตกแตง 20 ชวโมง และแรงงานชางไม 8 ชวโมง เกาอหนงตวขายในราคา $20 โตะกนขาวหนงตวขายในราคา $30 โตะเขยนหนงสอหนงตวขายในราคา $60

บรษททำการวเคราะหตลาดแลวพบวา demand ของโตะกนขาวมไมเกนหาตว สวนอกสองรายการม demand ไมจำกดเนองจากแรงงานและวตถดบมพรอมแลว บรษท Dakota Furniture จงตองการรายรบทสงสด

ใหตวแปรตดสนใจเปนดงตอไปนx1 = ปรมาณโตะเขยนหนงสอทผลต


ตารางท 2.4: Resource Requirements for Dakota Furniture

Resource Desk Table ChairLumber (board ft) 8 6.5 1.5Finishing hours 4 2.5 1.5Carpentry hours 2 1.5 0.5

x2 = ปรมาณโตะกนขาวทผลตx3 = ปรมาณเกาอทผลต

แบบจำลองเชงเสนแสดงการตดสนใจการผลตเพอรายไดสงสดจะเปนดงตอไปน

max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 (2.6a)s.t. 8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 (Lumber constr) (2.6b)

4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20 (Finishing constr) (2.6c)2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8 (Carpentry constr) (2.6d)

x2 ≤ 20 (Limit on table demand) (2.6e)x1, x2, x3 ≥ 0

สามารถเขยนใหอยในรป matrix ไดดงน

max z = c′x

s.t. Ax ≤ b

x ≥ 0

โดยท c =

603020

A =

8 6 1

4 2 1.5

2 1.5 0.5

b =

48208

แบบฝกหด 2.2.6. [7] Truckco ผลตรถบรรทกสองชนด ชนดท 1 และ ชนดท 2 การผลตรถแตละชนดตองผานกระบวนการทำสและกระบวนการประกอบ ถาหองทำสทำแตรถชนดท 1 อยางเดยวจะทำได 800 คน ถาหองทำสทำแตรถชนดท 2 อยางเดยวจะทำได 700 คน ถาหองประกอบทำแตรถชนดท 1 อยางเดยวจะทำได 1500 คน ถาหองทำสทำแตรถชนดท 2 อยางเดยวจะทำได 1200 คน รถบรรทกชนดท 1 มกำไร 300 ดอลลาร รถบรรทกชนดท 2 มกำไร 500 ดอลลาร จงเขยนโมเดลทางคณตศาสตรเปนกำหนดการเชงเสนจำลองสถานการณท Truckco จะใชหากำไรทสงสด

แบบฝกหด 2.2.7. [7] Dorian Auto ผลตรถยนตและรถกระบะระดบหรหรา บรษทเชอวากลมลกคาหลกคอหนมสาวรายไดสง เพอใหเขาถงลกคากลมน Dorian Auto จงลงโฆษณาโทรทศน และชอเวลาโฆษณา 1 นาทจากสองรายการ รายการตลกและรายการแขงขนฟตบอล ลงโฆษณาใน รายการตลก แตละรายการตลกจะมสาวรายไดสงรบชม 7 ลานคน หนมรายไดสงรบชม 2 ลานคน ลงโฆษณาใน รายการแขงขนฟตบอลแตละรายการจะมสาวรายไดสงรบชม 2 ลานคน หนมรายไดสงรบชม12 ลานคน คาลงโฆษณา 1 นาทในรายการตลกมราคา 50,000 ดอลลาร และ คาลงโฆษณา 1 นาทในรายการแขงขนฟตบอล


มราคา 100,000 ดอลลาร Dorian Auto ตองการลงโฆษณาใหมผชมสาวรายไดสง 28 ลานคน และหนมรายไดสง 24 ลานคน ใชกำหนดการเชงเสนหาวธการให Dorian Auto ลงโฆษณาตามกำหนดดวยตนทนทนอยทสด

แบบฝกหด 2.2.8. [7] บรษท Furnco ผลตโตะและเกาอ โตะแตละตวใชไม 4 หนวย เกาอใช 3 หนวย โตะใหกำไรตวละ $40เกาอใหกำไรตวละ $25 ขอจำกดทางการตลาดทำใหการผลตเกาอตองเปนอยางนอยสองเทาของการผลตโตะ ถามไมอย 20หนวย จงหากำหนดการเชงเสนเพอหากำไรสงสดของบรษท แลแกปญหาดวยวธการทางกราฟ

แบบฝกหด 2.2.9. [7] เจนเปนเกษตรกรทมทดนอย 45 เอเคอรเพอการปลกขาวโพดและขาวสาล แตละเอเคอรของขาวโพดใหกำไร $300 แตละเอเคอรของขาวสาลใหกำไร $200 สดสวนของแรงงานและปยทตองใชสำหรบการเพาะปลกเปนไปตามตารางท 2.5. โดยมแรงงานทงสน 100 คนและปย 120 ตน ใชกำหนดการเชงเสนเพอวางแผนการเพาะปลก เพอใหเจไดกำไรสงทสด

ตารางท 2.5: สดสวนของแรงงานและปยทตองใชสำหรบการเพาะปลกสำหรบหนงเอเคอร

Wheat CornLabor 3 workers 2 workersFertilizer 2 tons 4 tons

2.2.1 Multiple Optimal Solutionsปญหากำหนดการเชงเสนอาจมคำตอบทดทสดมากกวาหนงคำตอบ

แบบฝกหด 2.2.10. [7] บรษทผลตรถยนตและรถบรรทก โดยรถแตละคนจะตองผานกระบวนการพนสและการประกอบ ถาทำแตพนสรถบรรทกโดยอยางเดยว จะไดวนละ 40 คน ถาพนแตรถยนตจะไดวนละ 60 คน ถาทำการประกอบแตรถบรรทกโดยอยางเดยว จะไดวนละ 50 คน ถาประกอบแตรถยนตจะไดวนละ 50 คน รถบรรทกไดกำไรคนละ $300 รถยนตไดกำไรคนละ $200 ใชกำหนดการเชงเสนวางแผนการผลตใหไดกำไรสงสด

2.2.2 Infeasible LPปญหากำหนดการเชงเสนอาจไมมคำตอบทเปนไปได

แบบฝกหด 2.2.11. [7] สมมตวาดลเลอรตองการใหบรษทในตวอยางท 2.2.10 ผลตรถบรรทกอยางนอย 30 คน และรถยนตอยางนอย 20คน จงเขยนขอจำกดเพมเตมนจากปญหา 2.2.10 และวจารณคำตอบทจะไดจากกำหนดการเชงเสน

แบบฝกหด 2.2.12. [7] Boris Milkem ทำธรกจทางดานการแลกเปลยนเงนตราของฝรงเศษในสกล franc และอเมรกาในสกล dollar ในเวลาเทยงคน Boris สามารถซอ franc โดยจาย .25 dollars ตอ franc และซอ dollars โดยจาย 3 francsตอ dollar ให x1 = ปรมาณดอลลารทซอ (จายเปนฟรง) x2 = ปรมาณฟรงทซอ (จายเปนดอลลาร) ขอจำกดทเพยงอยางเดยวคอ ในเวลาเทยงคนหนงนาท Boris ตองมเงนฟรงและดอลลารทไมตดลบ หากำหนดการเชงเสนทใหปรมาณดอลลารทสงทสดจากการทำธรกรรมน

2.2.3 A Diet Problemหนงในปญหากำหนดการเชงเสนพนฐานคอปญหาการเลอกปรมาณและประเภทอาหารในการบรโภค

แบบฝกหด 2.2.13. [7] My diet requires that all the food I eat come from one of the four ``basic food groups''(chocolate cake, ice cream, soda, and cheesecake). At present, the following four foods are available for


consumption: brownies, chocolate ice cream, cola, and pineapple cheesecake. Each brownie costs 50 ¢,each scoop of chocolate ice cream costs 20 ¢, each bottle of cola costs 30 ¢, and each piece of pineapplecheesecake costs 80 ¢. Each day, I must ingest at least 500 calories, 6 oz of chocolate, 10 oz of sugar,and 8 oz of fat. The nutritional content per unit of each food is shown in Table 2. Formulate a linearprogramming model that can be used to satisfy my daily nutritional requirements at minimum cost.

ตารางท 2.6: Nutritional Values for Diet

Type of Food Calories Chocolate (Ounces) Sugar (Ounces) Fat (Ounces)Brownie 400 3 2 2Chocolate ice cream(1 scoop) 200 2 2 4Cola (1 bottle) 150 0 4 1Pineapple cheesecake(1 piece) 500 0 4 5

แบบฝกหด 2.2.14. [7] Peg and Al Fundy have a limited food budget, so Peg is trying to feed the family ascheaply as possible. However, she still wants to make sure her family members meet their daily nutritionalrequirements. Peg can buy two foods. Food 1 sells for $7 per pound, and each pound contains 3 units ofvitamin A and 1 unit of vitamin C. Food 2 sells for $1 per pound, and each pound contains 1 unit of eachvitamin. Each day, the family needs at least 12 units of vitamin A and 6 units of vitamin C.

1. Verify that Peg should purchase 12 units of food 2 each day and thus oversatisfy the vitamin Crequirement by 6 units.

2. Al has put his foot down and demanded that Peg fulfill the family’s daily nutritional requirementexactly by obtaining precisely 12 units of vitamin A and 6 units of vitamin C. The optimal solutionto the new problem will involve ingesting less vitamin C, but it will be more expensive. Why?

2.2.4 ปญหากำหนดการเชงเสนอนๆแบบฝกหด 2.2.15. [7] U.S. Labs manufactures mechanical heart valves from the heart valves of pigs.Different heart operations require valves of different sizes. U.S. Labs purchases pig valves from threedifferent suppliers. The cost and size mix of the valves purchased from each supplier are given in Table2.7. Each month, U.S. Labs places one order with each supplier. At least 500 large, 300 medium, and 300small valves must be purchased each month. Because of limited availability of pig valves, at most 700valves per month can be purchased from each supplier. Formulate an LP that can be used to minimizethe cost of acquiring the needed valves.

แบบฝกหด 2.2.16. [7] Goldilocks needs to find at least 12 lb of gold and at least 18 lb of silver to pay themonthly rent. There are two mines in which Goldilocks can find gold and silver. Each day that Goldilocksspends in mine 1, she finds 2 lb of gold and 2 lb of silver. Each day that Goldilocks spends in mine 2,she finds 1 lb of gold and 3 lb of silver. Formulate an LP to help Goldilocks meet her requirements whilespending as little time as possible in the mines. Graphically solve the LP.

2.3. กำหนดการเชงเสน LINEAR PROGRAMMING 25

ตารางท 2.7: Data for pig heart valve manufacture

Cost Percent Percent PercentSupplier Per Value ($) Large Medium Small1 5 40 40 202 4 30 35 353 3 20 20 60

2.3 กำหนดการเชงเสน Linear programmingกำหนดการเชงเสนคอวธการหาคำตอบทดทสดของแบบจำลองทางคณตศาสตรทมความสมพนธเชงเสน ในหนงสอเลมนจะกลาวถง การแกปญหานดวยรปแบบทตางๆกน ไดแก วธกราฟ วธซมเพลกซ และโดยวธปญหาและทฤษฎคควบ

2.3.1 วธกราฟ graphical methodสำหรบในกรณทเราสามารถสรางแบบจำลองในสองมตได เราสามาถใชวธกราฟ (graphical method) ในการหาคำตอบทดทสดได ดงตอไปน

1. พจารณา feasible region ทไดจากขอจำกดของปญหาโดยการเขยนกราฟจาก constraints

รปท 2.2: กราฟแสดง feasible region ของปญหา 2.1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

2x1 + x2 = 100

x1 + x2 = 80

x1 = 40

นยาม 2.3.1. feasible region คอเซตของ feasible solutions (พนทแรเงาตามรปท 2.2)

นยาม 2.3.2. extreme point หรอ CPF cornorpoint feasible solutoin คอจดสแดงตามกราฟรปท 2.2 คอเปนจดมมของ feasible region

นยาม 2.3.3. คำตอบทดทสดเรยกวา optimal solution คอ feasible solution ทดทสด


2. พจารณา Objective function แลววาดกราฟ isoprofit lines

(a) เลอกจดทนาสนใจจากกราฟ 2.2 เชน (40,40) (20,60) และ (40,20) แลวแทนคาลงใน Objective functionเพอทำเปนสมการเสนตรง

(b) จะไดสมการไมเกนจำนวนจดทเลอก ดงน

3x1 + 2x2 = 200 แทนคา (40,40) ลงใน 2.1a (2.8a)3x1 + 2x2 = 180 แทนคา (20,60) ลงใน 2.1a (2.8b)3x1 + 2x2 = 160 แทนคา (40,20) ลงใน 2.1a (2.8c)

(c) นำสมการ isoprofit ทไดไปวาดลงในกราฟ 2.2 จะไดดง 2.6

รปท 2.3: กราฟแสดง isoprofit line 2.8a ของปญหา 2.1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

3x1 + 2x2 = 200


รปท 2.4: กราฟแสดง isoprofit line 2.8b ของปญหา 2.1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

3x1 + 2x2 = 180

รปท 2.5: กราฟแสดง isoprofit line 2.8c ของปญหา 2.1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

3x1 + 2x2 = 160


รปท 2.6: กราฟแสดง 3 isoprofit lines ของปญหา 2.1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

3. คำตอบของปญหานคอ optimal solutoin x∗ = (20, 60) และ optimal value z∗ = 180 คอผลตหนทหาร20 ตว ผลตรถไฟ 60 ตว และไดกำไรทงหมด 180 ดอลลาร

รปท 2.7: กราฟแสดงภาพประกอบการหาคำตอบโดยวธกราฟของปญหา 2.1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

ทศของคาคำตอบทดทสด

นยาม 2.3.4. binding and nonbinding constraints คอ

ตวอยาง 2.3.1. จงแกกำหนดการเชงเสนดงตอไปนดวยวธกราฟ [1]


รปท 2.8: กราฟแสดงภาพประกอบการหาคำตอบโดยวธกราฟของปญหา 2.1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

2x1 + x2 = 100

x1 + x2 = 80

x1 = 40

3x1 + 2x2 = 200

3x1 + 2x2 = 180

ทศของคาคำตอบทดทสด

max z = 30x1 + 100x2 (2.9a)s.t. x1 + x2 ≤ 7 (2.9b)

x1 ≥ 3 (2.9c)4x1 + 10x2 ≤ 40 (2.9d)

x1, x2 ≥ 0 (2.9e)

วธทำ

1. เขยนกราฟแสดง feasible space

พจารณา feasible region ทไดจากขอจำกดของปญหาโดยการเขยนกราฟจาก constraints

feasible space ของปญหา 2.2


รปท 2.9: กราฟแสดง feasible region ของปญหา 2.2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

1

2

3

4

5

6

7

x2

x1

2. เพมเสน isoprofit ลงบนกราฟ

30x1 + 100x2 = 300 แทนคา (10,0) ลงใน 2.2a (2.10a)30x1 + 100x2 = 350 แทนคา (5,2) ลงใน 2.2a (2.10b)30x1 + 100x2 = 370 แทนคา (3,2.8) ลงใน 2.2a (2.10c)

feasible space ของปญหา 2.1.1

�

แบบฝกหด 2.3.1. จงแกกำหนดการเชงเสนดงตอไปนดวยวธกราฟ [1]

max z = 3x1 + 4x2 (2.11a)

s.t.1

10x1 +

1

25x2 ≤ 7 (2.11b)

x1 ≥ 30 (2.11c)x1 + x2 ≤ 40 (2.11d)x1, x2 ≥ 0

แบบฝกหด 2.3.2. เปรยบเทยบและวจารณคำตอบของตวอยาง 2.3.1 และแบบฝกหด 2.3.1


รปท 2.10: กราฟแสดง feasible region และเสน isoprofit ของปญหา 2.2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

1

2

3

4

5

6

7

x2

x1

กำหนดการเชงเสนตรงคอการแกแบบจำลองทางคณตศาสตร ทสามารถใหคำตอบหรอสามรถบอกไดวาปญหานนไมมคำตอบไดในระยะเวลาทจำกด หนงในกำหนดการเชงเสนตรงคอวธซมเพลกซดอาลต ในบทน เราจะแกกำหนดการเชงเสน (2.1) ดวยวธซมเพลกซดอาลต

รปท 2.11: เหตผลทไมใชการหา CPF เพอหาคำตอบทดทสด 1




2.3.2 วธซมเพลกซ Simplex method

วธซมเพลกซ Simplex method คอวธการหาคำตอบทดทสดของปญหากำหนดการเชงเสน โดยเรมจากจด extreme pointหนง และไปยงจด extreme point ถดไปทตดกน จนกวาจะไปถงจด optimal solution จากกำหนดการเชงเสน (2.1) เราสามารถเรยบเรยงใหมไดดงน


max Zs.t. Z −3x1 −2x2 = 0 (0)

2x1 +x2 +x3 = 100 (1)x1 +x2 +x4 = 80 (2)x1 + x5 = 40 (3)

Simplex Tableau stepsInitializationใส slack variables x3, x4, x5 ทำให constraints เปน equations as aboveให decision variables เปน NBVให slack variables เปน BV

Basic Coefficient of: RightVariable Eq. Z x1 x2 x3 x4 x5 Side

Z (0) 1 3 2 0 0 0 0x3 (1) 0 2 1 1 0 0 100x4 (2) 0 1 1 0 1 0 80x5 (3) 0 1 0 0 0 1 40

Optimality test: optimal เมอและตอเมอทกสมประสทธของ Eq.(0) เปนบวก ≥ 0

ถายงไม optimal pivot ไปยง iteration ถดไป

Iteration 0

1. เลอก entering BV จาก NBV โดยเลอกจาก negative coefficient variable with lowest index in (0) [ Blandes'Rule] (แลวใสกรอบไวเหมอนในตาราง) ในทนคอ x1

Basic Coefficient of: RightVariable Eq. Z x1 x2 x3 x4 x5 Side

Z (0) 1 3 2 0 0 0 0x3 (1) 0 2 1 1 0 0 100x4 (2) 0 1 1 0 1 0 80x5 (3) 0 1 0 0 0 1 40

2. เลอก leaving BV โดยใช minimum ratio test หาสดสวน(ท เปนจำนวนบวก)ของ RHS กบคาสมประสทธของentering basic variable (x1) ตวแปรทมคาสดสวนนอยทสดจะเปน leaving BV คอ x5

Basic Coefficient of: RightVariable Eq. Z x1 x2 x3 x4 x5 Side Ratio

Z (0) 1 3 2 0 0 0 0x3 (1) 0 2 1 1 0 0 100 50x4 (2) 0 1 1 0 1 0 80 80x5 (3) 0 1 0 0 0 1 40 40


3. pivot ทำ Gauss Jordan elimination process ใหตำแหนง enteringleaving variables เปน 1

Basic Coefficient of: RightIter. Variable Eq. Z x1 x2 x3 x4 x5 Side0 Z (0) 1 3 2 0 0 0 0

x3 (1) 0 2 1 1 0 0 100x4 (2) 0 1 1 0 1 0 80x5 (3) 0 1 0 0 0 1 40

1 Z (0) 1 0 2 0 0 3 120x3 (1) 0 0 1 1 0 2 20x4 (2) 0 0 1 0 1 1 40x1 (3) 0 1 0 0 0 1 40

Iteration 10. check optimality conditions: row 0 with negative value = nonoptimal1. เลอก entering variable: x2 first indexed with row 0 negative value2. เลอก leaving variable: ratio test = x3

3. pivot

Basic Coefficient of: RightVariable Eq. Z x1 x2 x3 x4 x5 Side Ratio

Z (0) 1 0 2 0 0 3 120x3 (1) 0 0 1 1 0 2 20 20x4 (2) 0 0 1 0 1 1 40 40x1 (3) 0 1 0 0 0 1 40

Basic Coefficient of: RightIter. Variable Eq. Z x1 x2 x3 x4 x5 Side0 Z (0) 1 3 2 0 0 0 0

x3 (1) 0 2 1 1 0 0 100x4 (2) 0 1 1 0 1 0 80x5 (3) 0 1 0 0 0 1 40

1 Z (0) 1 0 2 0 0 3 120x3 (1) 0 0 1 1 0 2 20x4 (2) 0 0 1 0 1 1 40x1 (3) 0 1 0 0 0 1 40

2 Z (0) 1 0 0 2 0 1 160x2 (1) 0 0 1 1 0 2 20x4 (2) 0 0 0 1 1 1 20x1 (3) 0 1 0 0 0 1 40


Basic Coefficient of: RightIter. Variable Eq. Z x1 x2 x3 x4 x5 Side Ratio0 Z (0) 1 3 2 0 0 0 0

x3 (1) 0 2 1 1 0 0 100 50x4 (2) 0 1 1 0 1 0 80 80x5 (3) 0 1 0 0 0 1 40 40

1 Z (0) 1 0 2 0 0 3 120x3 (1) 0 0 1 1 0 2 20 20x4 (2) 0 0 1 0 1 1 40 40x1 (3) 0 1 0 0 0 1 40

2 Z (0) 1 0 0 2 0 1 160x2 (1) 0 0 1 1 0 2 20x4 (2) 0 0 0 1 1 1 20 20x1 (3) 0 1 0 0 0 1 40 40

3 Z (0) 1 0 0 1 1 0 180x2 (1) 0 0 1 1 2 0 60x5 (2) 0 0 0 1 1 1 20x1 (3) 0 1 0 1 1 0 20

Iteration 30. check optimality conditions: row 0 มแตคาบวก = optimal

รปท 2.14: CPF corresponding to แตละ iteration ของ simplex method ปญหา 2.1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)0 1

2

3

Simplex Tableau สำหรบปญหา minimizationเราจะแกปญหา minimization จากวธ simplex ทม ไดสองวธ

1. เปลยน opjective function ใหตรงกนขามแลวทำ maximization หรอ


2. ปรบวธการ simplex tableau แบบเกาใหวธการเลอก entering variable จากตวแปรตดสนใจตวแรกทมคาสมประสทธในแถวท (0) เปนบวก ถาไมมแสดงวาคำตอบเปน optimal solution

Simplex Tableau สำหรบปญหาทจด origin ไม feasibleเราจะแกปญหา minimization ทจดเรมตน basic feasible solution หาไดยากโดยวธ simplex ไดดงน

1. ใช Big M method โดย (และ)

2. เรมจาก infeasible solution แลวนำตวแปรนนออกจาก basic variable

พจารณาตวอยาง 2.3.2 ดงตอไปน

ตวอยาง 2.3.2. ในกรณทมสมการขอจำกดทเปนสมการ จด origin อาจจะไม feasible

รปท 2.15: feasible region ของปญหาตวอยางทมขอจำกดทเปนสมการ

รปท 2.16: การสรางตวแปรเทยมเพอให origin เปน feasible solution

2.4. ปญหาคควบ PRIMALDUAL PROBLEMS 37

รปท 2.17: feasible region ผลลพธทไดจากการเพมตวแปรเทยม

รปท 2.18: การทำ tableau ตามวธการ simplex เพอใหได optimal solution

2.4 ปญหาคควบ PrimalDual problems2.4.1 ขอบเขตบนและขอบเขตลางของปญหา optimizationขอบเขตบนและขอบเขตลางของปญหาพจารณาโดยเปรยนเทยบกนคาคำตอบทดทสด optimal solution z∗

คาขอบเขตบน z คอคา ทสงกวาหรอเทากบคาคำตอบทดทสดคาขอบเขตลาง z คอคา ทตำกวาหรอเทากบคาคำตอบทดทสด

จะไดวา

1. z ≤ z∗ ≤ z


2. คา gap หรอ absolute gap = z − z

3. คา percentage gap = z−zz

∗ 100%ในขณะทคาทดทสดยงไมปรากฏ คำถามทพงมคอเราจะหาคาของเขตบนและขอบเขตลางไดอยางไร และจะหาคาของเขตบนและขอบเขตลางทดทสด (เทาทขอมลในขณะนนม) ไดอยางไร

1. lowerbound พจารณาปญหา GiapettoLP (2.12)

max z = 3x1 + 2x2 (ตองการกำไรสงทสด) (2.12a)s.t. 2x1 + x2 ≤ 100 (งานตกแตง) (2.12b)

x1 + x2 ≤ 80 (งานไม) (2.12c)x1 ≤ 40 (demand ของหนทหาร) (2.12d)

x1, x2 ≥ 0

คำตอบท feasible ของปญหากำหนดการเชงเสนทตองการหาคาทสงทสด (2.12) จากการทำวธซมเพลกตามกระบวนการขางตน ไดคำตอบเปน (0,0), (40,0), (40,20), และ (20,60) ตามลำดบ ซงคา optimal value เปน 0, 120,160, และ 180 ตามลำดบ คานเพมขนเรอยๆ จาก 0 ถง 180 ตามลำดบเวลา ใน iteration ท 0 ถง iteration ท 3

S.1 iteration 0 เราม z = 0 ดงนนมคาขอบเขตลางจงเปน 0 เพราะ z = 0 ≤ z∗




z = 180 ≤ z∗ (2.13)

2. upper bound ในปญหานเราสามารถประมาณขอบเขตบนไดดงน

(a) พจารณาขอจำกด 2x (2.12c) บวกกบขอจำกด (2.12d)

2x1 + 2x2 ≤ 160

x1 ≤ 40

เราจะได3x1 + 2x2 ≤ 200

เนองจากอสมการนเกดขนจากการรวมกนของสองขอจำกดของปญหา จงเปนขอจำกดหนงทปญหา imply ดงนนเราจะได 3x1 + 2x2 ≤ 200 ซงหมายถง max 3x1 + 2x2 = z∗ ≤ 200 = z

เพราะฉนนเราจงไดวา z = 200 เปนขอบเขตบน


(b) พจารณาขอจำกด (2.12b) บวกกบขอจำกด (2.12c)

2x1 + x2 ≤ 100

x1 + x2 ≤ 80

เราจะได3x1 + 2x2 ≤ 180

3x1 + 2x2 ≤ 180 ซงหมายถง

max 3x1 + 2x2 = z∗ ≤ 180 = z (2.16)

เพราะฉนนเราจงไดวา z = 180 เปนขอบเขตบน

เมอพจารณา (2.13) รวมกนกบ (2.16) เราจะไดวาชองวางเปนศนย gap = 0 ซงหมายถงคำตอบของปญหาคอ 180

z∗ = 180 (2.17)

ขอสงเกตขางตนสรปไดวาเราสามารถหาขอบเขตลางไดจากคาคำตอบทเปนไปได (feasible solution) และหาขอบเขตบนจากพชคณตของสมการขอจำกด

เราสามารถทำพชคณตปรบสมการขอจำกดเพอหาขอบเขตบนไดดงน พจารณาปญหา (2.18) ดงตอไปน

max z = c1x1 + c2x2 (2.18a)s.t. a11x1 + a12x2 ≤ b1 (2.18b)

a21x1 + a22x2 ≤ b2 (2.18c)a31x1 + a32x2 ≤ b3 (2.18d)

x1, x2 ≥ 0

ดงเชนตวอยาง (2.12) ทนำมาเขยนใหมเพอความสะดวก จะไดตามรปท 2.19 ดงน

หลกการคอ เราตองการเกลยขอจำกด (2.18b) (2.18c) (2.18d) ในปรมาณ y1 y2 y3 ตามลำดบ เราเรยกปรมาณนวา ตวคณ หรอ muliplier โดยท

1. ใหคาสมประสทธหลงจากเกลยกนแลวของ x1 และ x2 มคาไมนอยกวา c1 และ c2 และใหใกลเคยงทสด

เชนนเราจะได a11y1 + a21y2 + a31y2 ≥ c1 และa12y1 + a22y2 + a32y3 ≥ c2 เปน2y1 + y2 + y3 ≥ 3 และy1 + y2 ≥ 2


max z = 3x1 + 2x2 (2.19a)s.t. 2x1 + x2 ≤ 100 (2.19b)

x1 + x2 ≤ 80 (2.19c)x1 ≤ 40 (2.19d)

x1, x2 ≥ 0

รปท 2.19: Linear Programming Primal จากปญหา (2.12)

2. ใหคาผลรวมหลงจากเกลยกนแลวทางขวามอมคานอยทสด คานคอคา upper bound

นนคอ เราตองการให b1y1 + b2y2 + b3y3 ซงเปนคา upper bound มคานอยทสด= min 100y1 + 80y2 + 40y3

รวมกนแลวเราไดดงน

min w = b1y1 + b2y2 + b3y3 (2.20a)s.t. a11y1 + a21y2 + a31y3 ≥ c1 (2.20b)

a12y1 + a22y2 + a32y3 ≥ c2 (2.20c)y1, y2, y3 ≥ 0

ซงจากตวอยาง 2.19 จะไดตามรปท 2.20

min w = 100y1 + 80y2 + 40y3 (2.21a)s.t. 2y1 + y2 + y3 ≥ 3 (2.21b)

y1 + y2 ≥ 2 (2.21c)y1, y2, y3 ≥ 0

รปท 2.20: Linear Programming Dual จากปญหา (2.12)

จากโครงสรางของปญหาเราจะสงเกตไดวาคา x ใดๆท feasible กบปญหา primal (2.18) แลวใหคาสมการวตถประสงค zเทยบกนกบคา y ใดๆท feasible กบปญหา dual (2.20) แลวใหคาสมการวตถประสงค w เราจะไดวา z ≤ w ดงทฤษฎ(2.4.1) ดงตอไปน

2.4.2 ทฤษฎปญหาคควบ duality theoryทฤษฎ 2.4.1. ทฤษฎปญหาคควบแบบออน weak duality theoryถา x เปนคาตวแปรตดสนใจของ (2.18) ทใหคาสมการวตถประสงคเปน z และคาตวแปรตดสนใจ y ของ (2.20) ทใหคาสมการวตถประสงคเปน w จะไดวา


z ≤ w (2.22)

นนคอ cx ≤ by

พสจน. LTR

ตวอยาง 2.4.1. ในการเลอก feasible solution จากปญหา primal และ dual ใดๆทม optimal solution ให x เปนfeasible solution จากปญหา primal y เปน feasible solution จากปญหา dual จะไดความสำพนธ (2.22) เสมอ ตามทฤษฎ 2.4.1

เชนเมอให x = (40, 20) ซงเปนไปตามขอจำกดทงหมดของปญหา (2.19) จะมคาสมการวตถประสงค z = 160 เมอเทยบกนคา y = (1, 1, 0) ซงเปนไปตามขอจำกดทงหมดของปญหา (2.21) และมคาสมการวตถประสงค w เปน 180 จะไดตามความสำพนธ (2.22) นนคอ

160 = z ≤ w = 180

ทฤษฎ 2.4.2. ทฤษฎปญหาคควบแบบเขม strong duality theoryถา feasible solution x ของ (2.18) มคาสมการวตถประสงคเปน z และ feasible solution y ของ (2.20) มคาสมการวตถประสงคเปน w เราจะไดวา x is optimal to (2.18) และ y is optimal to (2.20) (นนคอ x = x∗ และ y = y∗)เมอและตอเมอ

z = w

(x∗ และ y∗ เปน optimal solution เมอและตอเมอ คาสมการวตถประสงคทไดมคาเทากนคอ z∗ = w∗ หรอ cx∗ = by∗)

พสจน. LTR

ตวอยาง 2.4.2. ตามตวอยางปญหาหลก (2.19) ตวแปรตดสนใจทดทสด x∗ = (20, 60) ใหคาสมการวตถประสงคเปนz∗ = 180 และปญหาคควบ (2.21) มคาตวแปรตดสนใจทดทสดเปน y∗ = (1, 1, 0) โดยคาสมการวตถประสงคเปนw∗ = 180 เราจะไดวา z∗ = 180 = w∗

ทฤษฎ 2.4.3. ทฤษฎปญหาเตมเตม complementarity theoryx∗ เปนคาตวแปรตดสนใจทดทสด ทม z∗ เปนคาสมการวตถประสงคทดทสดของ (2.18) และ y∗ เปนคาตวแปรตดสนใจทดทสด ทม w∗ เปนคาสมการวตถประสงคทดทสดของ (2.20)

เมอและตอเมอ

1. x∗ ⊥ (c− A′y∗)

นนคอ ทก i เราจะได (x∗)i · (c− A′y∗)i = 0 และ

2. y∗ ⊥ (b− Ax∗)

นนคอ ทก j เราจะได (y∗)j · (b− Ax∗)j = 0

พสจน. LTR


ตามตวอยางปญหาหลก (2.19) และปญหาคควบ (2.21) เราม

c =

[3

2

],

A =

2 1

1 1

1 0

,

b =

1008040

,

คาตวแปรตดสนใจทดทสดเปน x∗ =

[20

60

]

และ y∗ =

110

มคา slack ของสมการขอจำกด (c− A′y∗) เปน[3

2

]−

[2 1 1

1 1 0

]110

=

[0

0

]

และมคา slack ของสมการขอจำกด (b− Ax∗) เปน1008040

−

2 1

1 1

1 0

[20

60

]=

0

0

20

เราจะไดวา x∗ =

[20

60

]⊥

[0

0

]= (c− A′y∗) และ y∗ =

110

⊥

0

0

20

= (b− Ax∗)


แบบฝกหด 2.4.1. จงหา dual ของปญหาตอไปน




แบบฝกหด 2.4.4. จงแสดงโดยการใหตวอยางวาปญหาตอไปน เปนไปตาม weak duality theorem, strong dualitytheorem, และ complementary slackness condition

แบบฝกหด 2.4.5. จงจำลองการพสจน weak duality theorem โดยใชปญหาดงตอไปนเปนปญหา primal

บทท 3

Some Discrete and Interative optimizationproblems

3.1 กำหนดการเชงไดนามกส Dynamic programmingหลกการพนฐานของกำหนดการเชงไดนามกส มจากหลกการหาคำตอบของปญหาดงตวอยางตอไปนตอไปน

ตวอยาง 3.1.1. จงหาคาผลบวกดงตอไปน

1+1+1+1+1+1+1+1+1

จากนน จงหาคาผลบวกดงตอไปน

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

45

46 บทท 3. SOME DISCRETE AND INTERATIVE OPTIMIZATION PROBLEMS

3.1.1 Dijkstra's Shortest Path Algorithmตวอยาง 3.1.2. ปญหา Powercoพจารณาปญหาการสงไฟฟาของบรษท Powerco จากแหลงกำเนดไฟฟา (node 1) ไปยงเมอง 1 (node 6) โดยจะตองผานสถานยอย (node 25) ดงรปท 3.1 ทแสดง node 1 ถง 6 และระยะทางระหวางสถานยอย ซงคาสงสญญาณไฟฟาจะแปรผนตรงกยระยะทาง ดงนนถาเราตองการหาวธการสงสญญาณ จากแหลงกำเนดไฟฟา ไปยงเมอง 1 ใหมคาตนทนทตำทสดเราตองหาเสนทางทสนทสด

รปท 3.1: แผนผงระยะทางระหวางโรงงาน สถานยอย และเมอง สำหรบปญหา Powerco

1Plant 1

2

3

4

5

6 City 1

4

3

3

3

2

2

2

วธทำ วธการหาเสนทางทสนทสดโดยวธดจสตาเปนวธการทางกำหนดการเชงไดนามกส นนคอการหาคำตอบทดทสดของสวนยอยแลวคอยๆประกอบเขาดวยกน เปนคำตอบของปญหาในสวนทใหญขนเรอยๆ ในทน ระยะทางจากโรงไฟฟาท 1 ไปหาตวเองมคาเปน 0 และ เสนทางทสนทสดจากโรงไฟฟาท 1 ไปยงเมองทตดกนกบโรงไฟฟาท 1 มสถานยอยสองสถาน ไดแก2 และ 3

1. iteration 0

(a) เราไดคาเสนทางเรมตนเปน [0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞]

โดยทงหมดเปนระยะทางชวคราว

(b) จากนนเลอกคาทนอยทสดจากคาทงหมดทเปนคาชวคราว จะไดวา 0 นอยทสด จงเปลยนคานนเปนคาถาวรจะได[0∗ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞] โดยสแดงแสดงถงคาลาสดทเปลยนจากชวคราวมาถาวร และคาทม *แสดงถงคาถาวร

(c) จากนน update คาระยะทางชวคราวของเมองทถดไปจากทกเมองทมคาถาวร ซงตามรป 3.2 เรามเมองทถดไปจากเมองถาวรเปน node 2 และ 3 จะไดคาระยะทางชวคราว update ของ node 2 = min {0∗ + 4,∞} = 4

คาระยะทางชวคราว update ของ node 3 = min {0∗ + 3,∞} = 3

(d) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4 3 ∞ ∞ ∞]

จบ iteration ท 0

3.1. กำหนดการเชงไดนามกส DYNAMIC PROGRAMMING 47

รปท 3.2: ขนตอนท 0 Iteration 0 สำหรบปญหา Powerco

1

0∗

2

4

3

3

4

∞

5

∞

6

∞4

3

2. iteration 1

(a) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4 3 ∞ ∞ ∞] โดยคาทม * เปนคาถาวรทสนทสดจากโรงไฟฟาท1 ระยะทางทเหลอเปนระยะทางสนทชวคราว

(b) จากนนเลอกคาทนอยทสดจากคาทงหมดทเปนคาชวคราว จะไดวา 3 นอยทสด จงเปลยนคานนเปนคาถาวรจะได[0∗ 4 3∗ ∞ ∞ ∞] โดยสแดงแสดงถงคาลาสดทเปลยนจากชวคราวมาถาวร และคาทม *แสดงถงคาถาวร

(c) จากนน update คาระยะทางชวคราวของเมองทถดไปจากทกเมองทมคาถาวร node 1 และ node 3 ซงตามรป 3.3 เรามเมองทถดไปจากเมองถาวรเปน node 2 และ 5 จะไดคาระยะทางชวคราว update ของ node 2 = เทาเดมคาระยะทางชวคราว update ของ node 5 = min {3∗ + 3,∞} = 6

(d) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4 3∗ ∞ 6 ∞]


รปท 3.3: ขนตอน 1 Iteration 1 สำหรบปญหา Powerco

1

0∗

2

4

3

3∗

4

∞

5

6

6

∞4

3

2


3. iteration 2

(a) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4 3∗ ∞ 6 ∞] โดยคาทม * เปนคาถาวรทสนทสดจากโรงไฟฟาท1 ระยะทางทเหลอเปนระยะทางสนทชวคราว

(b) จากนนเลอกคาทนอยทสดจากคาทงหมดทเปนคาชวคราว จะไดวา 4 นอยทสด จงเปลยนคานนเปนคาถาวรจะได[0∗ 4∗ 3∗ ∞ 6 ∞] โดยสแดงแสดงถงคาลาสดทเปลยนจากชวคราวมาถาวร และคาทม *แสดงถงคาถาวร

(c) จากนน update คาระยะทางชวคราวของเมองทถดไปจากทกเมองทมคาถาวร node 1 node 2 และ node3 ซงตามรป 3.4 เรามเมองทถดไปจากเมองถาวรเปน node 4 และ 5 จะไดคาระยะทางชวคราว update ของ node 4 = min {4∗ + 3,∞} = 7

คาระยะทางชวคราว update ของ node 5 = min {3∗ + 3, 4∗ + 2} = 6

(d) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4∗ 3∗ 7 6 ∞]



1

0∗

2

4∗

3

3∗

4

7

5

6

6

∞4

3

3

3

2


4. iteration 3

(a) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4∗ 3∗ 7 6 ∞] โดยคาทม * เปนคาถาวรทสนทสดจากโรงไฟฟาท 1ระยะทางทเหลอเปนระยะทางสนทชวคราว

(b) จากนนเลอกคาทนอยทสดจากคาทงหมดทเปนคาชวคราว จะไดวา 6 นอยทสด จงเปลยนคานนเปนคาถาวรจะได[0∗ 4∗ 3∗ 7 6∗ ∞] โดยสแดงแสดงถงคาลาสดทเปลยนจากชวคราวมาถาวร และคาทม *แสดงถงคาถาวร

(c) จากนน update คาระยะทางชวคราวของเมองทถดไปจากทกเมองทมคาถาวร node 1 node 2 node 3และ node 5 ซงตามรป 3.5 เรามเมองทถดไปจากเมองถาวรเปน node 4 และ 6 จะไดคาระยะทางชวคราว update ของ node 4 = เทาเดมคาระยะทางชวคราว update ของ node 6 = min {6∗ + 2,∞} = 8

(d) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4∗ 3∗ 7 6∗ 8]



1

0∗

2

4∗

3

3∗

4

7

5

6∗

6

8

4

3

3

3

2

2


5. iteration 4

(a) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4∗ 3∗ 7 6∗ 8] โดยคาทม * เปนคาถาวรทสนทสดจากโรงไฟฟาท 1ระยะทางทเหลอเปนระยะทางสนทชวคราว

(b) จากนนเลอกคาทนอยทสดจากคาทงหมดทเปนคาชวคราว จะไดวา 7 นอยทสด จงเปลยนคานนเปนคาถาวรจะได[0∗ 4∗ 3∗ 7∗ 6∗ 8] โดยสแดงแสดงถงคาลาสดทเปลยนจากชวคราวมาถาวร และคาทม *แสดงถงคาถาวร

(c) จากนน update คาระยะทางชวคราวของเมองทถดไปจากทกเมองทมคาถาวร node 1 node 2 node 3node 4 และ node 5 ซงตามรป 3.6 เรามเมองทถดไปจากเมองถาวรเปน node 6 จะไดคาระยะทางชวคราว update ของ node 6 = min {7∗ + 2, 8} = 8 เทาเดม

(d) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4∗ 3∗ 7∗ 6∗ 8]



1

0∗

2

4∗

3

3∗

4

7∗

5

6∗

6

84

3

3

3

2

2

2


6. iteration 5

(a) เราไดคาเสนทางเปน [0∗ 4∗ 3∗ 7∗ 6∗ 8] โดยคาทม * เปนคาถาวรทสนทสดจากโรงไฟฟาท1 ระยะทางทเหลอเปนระยะทางสนทชวคราว

(b) จากนนเลอกคาทนอยทสดจากคาทงหมดทเปนคาชวคราว จะไดวา 8 นอยทสด จงเปลยนคานนเปนคาถาวรจะได[0∗ 4∗ 3∗ 7∗ 6∗ 8∗] โดยสแดงแสดงถงคาลาสดทเปลยนจากชวคราวมาถาวร และคาทม *แสดงถงคาถาวรคาระยะทางทงหมดเปนคาถาวร จบกระบวนการ ตามรป 3.7


1

0∗

2

4∗

3

3∗

4

7∗

5

6∗

6

8∗4

3

3

3

2

2

2

รปท 3.8: ขนตอน back tracking 1 เพราะ 6∗ + 2 = 8∗ สำหรบปญหา Powerco

1

0∗

2

4∗

3

3∗

4

7∗

5

6∗

6

8∗4

3

3

3

2

2

2

�



1

0∗

2

4∗

3

3∗

4

7∗

5

6∗

6

8∗4

3

3

2

2


1

0∗

2

4∗

3

3∗

4

7∗

5

6∗

6

8∗

3

3

2

แบบฝกหด 3.1.1. ตามรปท 3.11 จงหาเสนทางและระยะทางทสนทสดจาก node O ไป node T ดวยวธ Dijkstra

รปท 3.11: ตวอยางปญหา shortest path


แบบฝกหด 3.1.2. ตามรปท 3.12 จงหาเสนทางและระยะทางทสนทสดจาก node 1 ไป node 6 ดวยวธ Dijkstra

รปท 3.12: ตวอยางปญหา shortest path


3.1.2 Dynamic Programming on 01 Knapsack ProblemTBC

3.2 กำหนดการเชงเสนผสมจำนวนเตม Mixed Integer linear programmingปญหากำหนดการเชงเสนผสมจำนวนเตม มรปแบบเชนเดยวกบปญหากำหนดการเชงเสน แตเพมขอจำกดการเปนจำนวนเตมของตวแปรตดสนใจบางตว สามารถจดใหอยในรปแบบโดยทวไปไดดงรปท 3.1 ตอไปน

max z = c′x (3.1a)s.t. Ax ≤ b (3.1b)x ≥ 0, and xi integer for some i (3.1c)

รปท 3.13: แบบจำลองกำหนดการเชงเสนผสมจำนวนเตม

ตวอยาง 3.2.1. งบประมาณลงทน Capital Budgeting IP Stockco พจารณาการลงทนในย 4 โครงการ โครงการท 1 จะใหผลตอบแทนทคดเปน net present value (NPV) ได $16,000 โครงการท 2 ใหผลตอบแทน NPV คดเปน $22,000 โครงการท 3 ใหผลตอบแทน NPV คดเปน $12,000 และ โครงการท 4 ใหผลตอบแทน NPV คดเปน $8,000 ในแตละโครงการจะตองมการลงทนเรมตนคดเปน $5,000, $7,000, $4,000 และ $3,000 ตามลำดบของโครงการท 1 4 โดยทขณะเรมลงทนมงบประมาณลงทนทงสน $14,000 สรางแบบจำลองทางคณตศาสตรเพอหาคำตอบทดทสดใหกบ Stockco เพอใชหาการลงทนทได NPV จากการลงทนทสงทสด แลวแกกำหนดการเชงเสนจำนวนเตมทไดนดวยโปรแกรมออนไลน วธทำ ให xi ∈ {0, 1}เปนการเลอกลงทนในโครงการท i เมอ xi = 1

เราจะไดสมการวตถประสงคเปน 16000x1 + 22000x2 + 12000x3 + 8000x4 และสมการขอจำกดเปน 5000x1 +

7000x2 + 4000x3 + 3000x4 ≤ 14000 ซงประกอบกนเปนกำหนดการเชงเสนจำนวนเตมไดดงน

max w = 16000x1 + 22000x2 + 12000x3 + 8000x4 (3.2a)s.t. 5000x1 + 7000x2 + 4000x3 + 3000x4 ≤ 14000 (3.2b)

x1, x2, x3, x4 ∈ {0, 1}

เพอความสะดวก เราสามารถลดทอนปยหาไดเปน

max w = 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8x4 (3.3a)s.t. 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14 (3.3b)

x1, x2, x3, x4 ∈ {0, 1}

เราใช solver ในการแกปญหาโดยใช google sheet ไดดงน

�

3.2. กำหนดการเชงเสนผสมจำนวนเตม MIXED INTEGER LINEAR PROGRAMMING 55

รปท 3.14: ตวอยางการแกปญหา (3.2) โดย google sheet solver 01


ตวอยาง 3.2.2. ปรบแกสตรของ Stockco จากปญหา 3.2.1 เพอใหรวมถงขอจำกดดงตอไปน:

1. Stockco สามารถลงทนไดอยางมากสองโครงการ

2. ถา Stockco ลงทนในโครงการท 2 แลวจะตองลงทนในโครงการท 1 ดวย

3. ถา Stockco ลงทนในโครงการท 2 แลวจะไมสามารถลงทนในโครงการท 4 ได

ตวอยาง 3.2.3. บรษท Gandhi Cloth สามารถผลตเสอผาไดสามชนด ไดแก เสอเชต กางเกงขาสน และ กางเกงขายาว ในการผลตเสอผาในแตละชนดจะตองมเครองจกรตามแตละประเภท ซงจะตองเชาในอตราตอไปน เครองจกรผลตเสอ $200ตอสปดาห เครองจกรผลตกางเกงขาสน $150 ตอสปดาห เครองจกรผลตกางเกงขายาว $100 ตอสปดาห เสอผาทจะผลตแตละชนจะตองใชวตถดบและแรงงานตามตารางท 3.1 ในแตละสปดาหมแรงงานทงสน 150 ชวโมง ผา 180 หลา ตนทนแปรผนตอหนวยและราคาขายเปนไปตามตารางท 3.2 เขยนกำหนดการเชงเสนผสมจำนวนเตมเพอหาคำตอบของปญหาทใหกำไรตอสปดาหของ Gandhi สงทสด จากนนแกปญหาดวย Google Sheet Solver®




ตารางท 3.1: วตถดบสำหรบปญหา Gandhi

ชนด แรงงาน ผาเสอผา (ชวโมง) (หลา)

เสอเชต 3 4กางเกงขาสน 2 3กางเกงขายาว 6 4




ตารางท 3.2: รายไดและตนทนสำหรบปญหา Gandhi

ชนด ราคาขาย ตนทนแปรผนเสอผา (ดอลลาร) (ดอลลารตอชน)

เสอเชต 12 6กางเกงขาสน 8 4กางเกงขายาว 15 8

บทท 4

The Transportation and Assignment Problems

บทท 2 ไดเนนรปแบบของปญหาทเปนกำหนดการเชงเสน บทนจะขยายความการประยกตปญหาในรปแบบดงกลาว ปญหาแรกคอ ปญหาการขนสงและสงผาน Transportation and transshipment problems ซงกำเนดจากการหาวธการขนสงสนคาทดทสด ปญหาทสองคอปญหาการมอบหมายงาน Assignment problems ซงเปนปญหาในการเลอกคนใหเขากบงาน

4.1 ปญหาการขนสงและสงผาน Transportation and transshipment problemsปญหาการขนสงคอปญหาโครงขายทม demand และ supply ในแตละ node และมการขนยายจาก supply node ไปยงdemand node โดยมตนทนการขนสงตอหนวยทแตกตางกนของแตละ link ปญหาการสงผานคอปญหาการขนสงทม nodeระหวางกลางทม demand และ supply เปนศนย ดงตวอยางดงตอไปน

ตวอยาง 4.1.1. ปญหาตวอยางตนแบบ บรษท P&T ผลตถวกระปอง โดยผลตท โรงงานกระปองสามแหงแลวสง ไปยงwarehouse ทงสแหงดวยตนทนการขนสง demand และ supply ตามรปท 4.1

รปท 4.1 แสดงการสรปขอมลทไดจากปญหาท 4.1.1 ในรปแบบตาราง

รปท 4.1: สรปขอมลของปญหาท 4.1.1

63

64 บทท 4. THE TRANSPORTATION AND ASSIGNMENT PROBLEMS

รปท 4.2 แสดงตวแทนเครอขายในปญหาท 4.1.1

รปท 4.2: ตวแทนเครอขายของปญหา ท 4.1.1

4.1. ปญหาการขนสงและสงผาน TRANSPORTATION AND TRANSSHIPMENT PROBLEMS 65

รปท 4.3 แสดงแบบจำลองทางคณตศาสตรของปญหาท 4.1.1

รปท 4.3: แบบจำลองทางคณตศาสตรของปญหาท 4.1.1


รปท 4.4 แสดงเมตรกซสมประสทธของปญหาท 4.1.1 ทไดมาจากแบบจำลองทางคณตศาสตรตามรปท 4.3 การทเมตรกซ

รปท 4.4: เมตรกซสมประสทธของปญหาท 4.1.1

สมประสทธมลกษณะเชนนเรยกวามคณสมบต Unimodular คอทก submatrix ใดๆ จะมคา determinant 1 0 หรอ 1ทำใหปญหาเครอขายสามารถแกดวยไดโดยวธ Simplex (see Revised Simplex method ใน A1)


รปท 4.5 แสดงการกรอกชอง Microsoft Excel® เบองตนสำหรบการใช Solver

รปท 4.5: การกรอกชอง Microsoft Excel® เบองตนของปญหาท 4.1.1


รปท 4.6 แสดงการผกสตร สำหรบชอง Microsoft Excel®

รปท 4.6: การผกสตร สำหรบชอง Microsoft Excel® ของปญหาท 4.1.1


รปท 4.7 แสดงการเตมชองวาง fill in สำหรบปญหาทไดตามรปท 4.3

รปท 4.7: การเตมชองวาง fill in สำหรบปญหาท 4.1.1


รปท 4.8 แสดงคำตอบทดทสดของปญหาท 4.1.1 ทไดมาจาก Microsoft Excel Solver®

รปท 4.8: คำตอบทดทสดของปญหาท 4.1.1


รปท 4.9 แสดงคำตอบทดทสดของปญหาท 4.1.1 ทไดมาจาก Microsoft Excel Solver®

รปท 4.9: คำตอบทดทสดของปญหาท 4.1.1 2


พจารณาการหา BFS จากวธการ Northwest cornor ดงตวอยางดงตอไปน

รปท 4.10: Initial BF solution from the Northwest Corner Rule

แบบฝกหด 4.1.1. การจดการปญหาการขาดแคลน ปญหาอางเกบนำอางเกบนำสองแหงใชเพอกกเกบนำและสงใหกบเมอง สามเมอง แตละอางเกบนำสามารถสงนำได 50 ลานแกลลอนตอวนแตละเมองมความตองการนำ 40 ลานแกลลอนตอวน โดยในแตละ 1 ลานแกลลอนทไดรบนอยกวาความตองการจะมคาpenalty $20 ในเมองทหนง $22 ในเมองทสอง $23 ในเมองทสาม คาขนสงนำตอ 1 ลานแกลลอนจากแตละอางเกนนำไปยงแตละเมองมคาตามตารางท 4.1 จงเขยนตวแทนเครอขายของปญหาและสรางแบบจำลองเครอขายการขนสงท balancedทแสดงปญหานเพอหาคาผลรวมของคาขนสงกบคา penalty ทนอยทสด

ตารางท 4.1: คาขนสงนำตอ 1 ลานแกลลอน ของปญหาอางเกบนำ

ไปยงจาก เมองท 1 เมองท 2 เมองท 3

อางเกบนำท 1 $7 $8 $10อางเกบนำท 2 $9 $7 $8

จากนนนำแบบจำลองทางคณตศาสตรทไดไปแกปญหานดวย Microsoft Excel Solver®

แบบฝกหด 4.1.2. แบบฝกหดปญหาการขนสงและสงผาน

แบบฝกหด 4.1.3. แบบฝกหดปญหาการขนสงและสงผาน

ปญหาการสงผานคอปญหาทม node ทม demand และ supply หกลบกนเปนศนย (diverence = 0) โดยจะมตวอยางในบทท 5


รปท 4.11: ปญหาท 4.1.2 1

รปท 4.12: ปญหาท 4.1.2 2

รปท 4.13: ปญหาท 4.1.3

บทท 5

Network Optimization Models

5.1 แบบจำลองเครอขาย Network modelsเครอขาย (network) มหลายรปแบบและในหลากหลายสถานการณ ดงเชนการกระบวนการผลจ การขนสงและการกระจายสนคา การวางแผนโครงงาน การเลอกสถานทตงโรงงาน การจดการหวงโซอปทาน และการวางแผนทางการเงนเปนตนตวแทนเครอขาย network representation คอการแทนสถานการณดวยเครอขาย ชวยในการเขาใจรปแบบของปญหาและนำมาซงวธการหาคำตอบ การศกษาแบบจำลองเครอขายในทนจะศกษาทางดานวธการแกปญหาและการประยกต ปญหากำหนดการเพอหาคำตอบทดทสดของแบบจำลองเครอขายสวนใหญแกไดโดย กำหนดการเชงเสน

ปญหาเครอขายเปนปญหาทมสวนประกอบหลกๆคอ node และ link ระหวาง node โดยท แตละ node จะม demandหรอ supply และ link ระหวาง node มคาเดนทางระหวาง node และ capacity ของ link นน สามารถเขยนแบบจำลองโครงขายเปนแบบจำลองเชงเสนผสมจำนวนเตม ซงโครงสรางของปญหาโครงขายจะทำใหเราลดขอจำกดของจำนวนเตมลงไดโดยทฤษฏดงตอไปน

ทฤษฎ 5.1.1. ปญหาทมลกษณะดงตอไปนเปนปญหาทมคณสมบต total unimodularity

1.

2.

บทแทรก 5.1.1. ปญหาโครงขายมคญสมบต total unimodularity

บทแทรก 5.1.2. ปญหาโครงขายมคำตอบทดทสดทเปนจำนวนเตม

ปญหาโครงขายท balanced คอปญหาโครงขายทเราสราง dummy nodes เพมขนมากบ demand หรอ supply ททำใหผลรวมของทงสองเทากน

ปญหา Powerco 3.1.2 เปนปญหาโครงขาย คอม node และม link ระหวาง node เพอความสะดวก เรานำมาเขยนใหมดงน

ตวอยาง 5.1.1. ปญหา Powercoพจารณาปญหาการสงไฟฟาของบรษท Powerco จากแหลงกำเนดไฟฟา (node 1) ไปยงเมอง 1 (node 6) โดยจะตองผานสถานยอย (node 25) ดงรปท 5.1 ทแสดง node 1 ถง 6 และระยะทางระหวางสถานยอย ซงคาสงสญญาณไฟฟาจะแปรผนตรงกยระยะทาง ดงนนถาเราตองการหาวธการสงสญญาณ จากแหลงกำเนดไฟฟา ไปยงเมอง 1 ใหมคาตนทนทตำทสด

75

76 บทท 5. NETWORK OPTIMIZATION MODELS

เราตองหาเสนทางทสนทสด

รปท 5.1: แผนผงระยะทางระหวางโรงงาน สถานยอย และเมอง สำหรบปญหา Powerco

1Plant 1

2

3

4

5

6 City 1

4

3

3

3

2

2

2

เราสามารถเขยนแบบจำลองโครงขายโดยใหมตวแปรตดสนใจ xi,j มคาเปน 1 หากเสนทางจาก node i ไป node j ถกเลอกและ 0 ถาไมถกเลอก ทแตละ node มคา divergence เปนเสมอน demand และ supply ของแตละ node ในทน node1 ม divergence = 1 และ node 6 ม divergence = 1 สวน node ทเหลอม divergence = 0 และคา node incidentmatrix เปน aij เปน 1 เมอม link จาก i ไป j และ 0 ถาไมม และใหระยะทางระหวาง node เปน dij เราจะได แบบจำลองโครงขาย สำหรบปญหา 3.1 ดงน

min z =∑i,j

dijxij (5.1a)

s.t.∑j

aijxij −∑k

akixki = div(i) (5.1b)

0 ≤ xij ≤ 1 (5.1c)

min z = 4x12 + 3x13 + 3x24 + 2x25 + 3x35 + 2x46 + 2x56 (5.2a)s.t. x12 + x13 = 1 (node 1) (5.2b)

x24 + x25 − x12 = 0 (node 2) (5.2c)x35 − x13 = 0 (node 3) (5.2d)x46 − x24 = 0 (node 4) (5.2e)x56 − x25 − x35 = 0 (node 5) (5.2f)− x46 − x56 = −1 (node 6) (5.2g)0 ≤ xij ≤ 1 (5.2h)

ปญหาเครอขายหลกๆสามารถแบงตามลกษณะและวตถประสงคไดตามตวอยางดงตอไปน

5.1. แบบจำลองเครอขาย NETWORK MODELS 77

ตวอยาง 5.1.2. ปญหา SEERVADA PARKสวนซาฟาร SEERVADA เปดใหนกทองเทยวไดชมทวทศนและเดนปาในจำนวนทจำกด โดยมรถตะลยและรถจปคอยให

บรการไปตามถนนทแคบและโคงเพอเปนการสงวนสภาพธรรมชาต แผนทของถนนเปนไปดงรปท 5.2 (โดยไมไดแสดงความโคงของถนน)

รปท 5.2: ปญหาท 5.1.2

การเดนทางจะเรมตนทจด O ไปสจดชมววทจด T แลวกลบมายงจด O ปญหาหลกทมแบงเปนสามปญหาดงน

1. การหาเสนทางการเดนทางจะเรมตนทจด O ไปสจดชมววทจด T ทมระยะทางรวมนอยทสด ปญหาน เรยกวาshortest path problem

2. เพอการตดตอสอสารทางสายจงตองเดนสายโทรศพทใตตนตามเสนทางถนนเพอใหทกจดเชอมสามารถสอสารกนได ปญหาการเลอกเสนทาง การเดนสายเชอมทกตดทใชเสนทางรวมนอยทสดเรยกวา minimum spanning treeproblem

3. ปญหาทสามคอการพานกทองเทยวไปยงจดปลายทางใหมากทสด เนองจากเสนเชอมแตละเสนมาขดจำกดในการรองรบปรมาณการสงผาน ปญหานเรยกวา maximum flow problem

5.1.1 คำศพทpathdirected pathundirected pathdirected networkundirected networkcycletreespanning treearc capacitysupply nodedemand node


transhipment node

5.1.2 ปญหาประยกตในอตสาหกรรม1. shortest path problem

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

2. minimum spanning tree problem

(a) Design of telecommunication networks (fiberoptic networks, computer networks, leasedlinetelephone networks, cable television networks, etc.)

(b) Design of a lightly used transportation network to minimize the total cost of providing thelinks (rail lines, roads, etc.)

(c) Design of a network of highvoltage electrical power transmission lines

(d) Design of a network of wiring on electrical equipment (e.g., a digital computer system) tominimize the total length of the wire

(e) Design of a network of pipelines to connect a number of locations

3. maximum flow problem

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

the sink. Some Applications Here are some typical kinds of applications of the maximum flowproblem: 1. Maximize the flow through a company’s distribution network from its factories to itscustomers. 2. Maximize the flow through a company’s supply network from its vendors to itsfactories. 3. Maximize the flow of oil through a system of pipelines. Maximize the flow of waterthrough a system of aqueducts. 5. Maximize the flow of vehicles through a transportation network.

5.1. แบบจำลองเครอขาย NETWORK MODELS 79

5.1.3 วธการ algotirhms1. วธการสำหรบ shortest path problem ใชวธตามบทท 3.1

2. วธการสำหรบ minimum spanning tree

(a) Select any node arbitrarily, and then connect it (i.e., add a link) to the nearest distinct node.

(b) Identify the unconnected node that is closest to a connected node, and then connect thesetwo nodes (i.e., add a link between them). Repeat this step until all nodes have beenconnected.

3. วธการสำหรบ maximum flow problem

After some flows have been assigned to the arcs, the residual network shows the remaining arccapacities (called residual capacities) for assigning additional flows.

ทฤษฎ 5.1.2. Max Flow Min Cut theorem คำตอบทดทสดของปญหา maximum flow problem มคาเทากบคา minimal cut

บทท 6

ปญหาการมอบหมายงานและแบบจำลองพสดคงคลงAssignment problems and Inventory model

6.1 ปญหาการมอบหมายงาน Assignment problems

ปญหาการมอบหมายงานมลกษณะคลายกนกบปญหาโครงขาย เพยงแตปญหาการมอบหมายงานม flow เปน 1 และแบงnode เปนสองฝง คอ supply nodes กบ demand nodes ทม diverence เปน 1 กบ 1 ตามลำดบ

ตวอยาง 6.1.1. ปญหาการมอบหมายงานMachineco มเครองจกร 4 เครองทจะตองใชทำงาน 4 งานใหสำเรจ โดยจะตองใหหนงเครองทำงานหนงงาน เวลาทจะใชตงเครอง setup time เปนไปตามตารางท 6.1 Machineco ตองการใหผลรวมของเวลาตงเครองมคานอยทสด จงใชกำหนดการเชงเสนในการแกปญหาน

ตารางท 6.1: setup times สำหรบปญหา Machineco

เวลา(ช.ม.)เครองจกร งานท 1 งานท 2 งานท 3 งานท 4

1 14 5 8 72 2 12 6 53 7 8 3 94 2 4 6 10

81

82บทท 6. ปญหาการมอบหมายงานและแบบจำลองพสดคงคลง ASSIGNMENT PROBLEMS AND INVENTORY MODEL

M0

M1

M2

M3

J0

J1

J2

J3

ตวอยาง 6.1.2. ปญหาการมอบหมายงาน Machineco has four machines and four jobs to be completed. Eachmachine must be assigned to complete one job. The time required to set up each machine for completingeach job is shown in รปท 6.1. Machineco wants to minimize the total setup time needed to complete thefour jobs. Use linear programming to solve this problem.


ตวอยาง 6.1.3. ปญหาการมอบหมายงาน Appletree Cleaning has five maids. To complete cleaning my house,they must vacuum, clean the kitchen, clean the bathroom, and do general straightening up. The time ittakes each maid to do each job is shown in รปท 6.2. Each maid is assigned one job. Use the Hungarianmethod to determine assignments that minimize the total number of maidhours needed to clean myhouse.

ตวอยาง 6.1.4. ปญหาการมอบหมายงาน Five workers are available to perform four jobs. The time it takeseach worker to perform each job is given in รปท 6.3. The goal is to assign workers to jobs so as to minimizethe total time required to perform the four jobs. Use the Hungarian method to solve the problem.

6.2. แบบจำลองพสดคงคลง INVENTORY MODEL 83



6.2 แบบจำลองพสดคงคลง Inventory modelในทางธรกจการวดผลของการบรหารพสดคงคลงตอผลทางการเงนทำโดยการคำนวนสดสวน turnover ดงน

turnover ratio =ตนทนสคาในชวงระยะเวลา

ตนทนเฉลยพสดคงคลงในชวงเวลานน(6.1)

(6.1) แสดงปรมาณเทาตวของพสดคงคลงทขายไดในชวงเวลาทสนใจ กฏโดยทวไปคอปรมาณนทนอยกวา 1 บงบอกวามพสดคงคลงมากเกน ปรมาณทมากแสดงถงสภาพการขายทด แตถามากเกนไปจะบงบอกถงปรมาณ สดสวนสนคาคงคลงทนอยและอาจสงผลตอ loss sales ทเกดจากสนคาขาดสตอค

ปรมาณวดทคกบสดสวน turnover คอจำนวนวนในคลงสนคาดงตอไปน


จำนวนวนในคลงสนคา = 360

turnover ration (6.2)

แบบฝกหด 6.2.1. [6] The currentyear balance sheet of a company shows a beginning and end inventoriesof $90.4 million and $20.2 million, respectively. The net revenue from sales for the year is $210.3 millionand the gross profit is $30.4 million. The final report claims that the company’s average daysininventoryis about 4 months. Assess the company’s claim.

วธทำ Days in inventory = 112.31. Report is true. �

แบบฝกหด 6.2.2. [6] McBurger orders ground meat at the start of each week to cover the week’s demandof 300 lb. The fixed cost per order is $20. It costs about $.03 per lb per day to refrigerate and store themeat. (a) Determine the inventory cost per week of the present ordering policy. (b) Determine the optimalinventory policy that McBurger should use, assuming zero lead time between the placement and receiptof an order.

วธทำ (a) Total cost per week = $51.50 (b) Total cost per week = $50.20, y∗ = 239.05 lb. �

แบบฝกหด 6.2.3. [6] Two inventory policies have been suggested by the purchasing department of acompany: Policy 1. Order 150 units. The reorder point is 50 units, and the time between placing andreceiving an order is 10 days. Policy 2. Order 200 units. The reorder point is 75 units, and the time betweenplacing and receiving an order is 15 days. The setup cost per order is $20, and the holding cost per unitinventory per day is $.02.

วธทำ (a) Choose policy 1 because its cost per day is $2.17 as opposed to $2.50 for policy 2. (b) Optimalpolicy: Order 100 units whenever the inventory level drops to 10 units. �

แบบฝกหด 6.2.4. [6] An item is consumed at the rate of 30 items per day. The holding cost per unit perday is $.05, and the setup cost is $100. Suppose that no shortage is allowed and that the purchasingcost per unit is $10 for any quantity not exceeding 500 units and $8 otherwise. The lead time is 21 days.Determine the optimal inventory policy.

วธทำ Optimal policy: Order 500 units whenever level drops to 130 units. Cost per day = $258.50. �

A situation in which dynamic deterministic demand occurs is materials requirement planning (MRP). Theidea of MRP is described by an example. Suppose that the quarterly demands over the next year fortwo final models, M1 and M2, of a given product are 100 and 150 units, respectively. Deliveries of thequarterly lots are made at the end of each quarter. The production lead time is 2 months for M1 and 1month for M2. Each unit of M1 and M2 uses 2 units of a subassembly S. The lead time for the productionof S is 1 month. Figure 6.4 depicts the production schedules for M1 and M2. The schedules start with thequarterly demand for the two models (shown by solid arrows) occurring at the end of months 3, 6, 9, and12. Given the lead times for M1 and M2, the dashed arrows show the planned starts of each productionlot. To start the production of the two models on time, the delivery of subassembly S must coincidewith the occurrence of the dashed M1 and M2 arrows. This information is shown by the solid arrows inthe Schart, where the resulting Sdemand is 2 units per unit of M1 or M2. Using a lead time of 1 month,the dashed arrows on the Schart give the production schedules for S. From these two schedules, the


combined demand for S corresponding to M1 and M2 can then be determined as shown at the bottom of6.4. The resulting variable but known demand for S is typical of the situation where dynamic EOQ applies.

รปท 6.4: Example of dynamic demand generated by MRP

แบบฝกหด 6.2.5. [6] In Figure 6.4, determine the combined requirements for subassembly S in each of thefollowing cases: (a) Lead time for M1 is only one period. (b) Lead time for M1 is three periods. (extra)

วธทำ 500 units required at the start of periods 1, 4, 7, and 10. �

แบบฝกหด 6.2.6. [6] The demand for a product over the next five periods may be filled from regularproduction, overtime production, or subcontracting. Subcontracting may be used only if the overtimecapacity has been used. The following table gives the supply, demand, and cost data of the situation:

ตารางท 6.2: ขอมล

Production capacity (units)Period Regular time Overtime Subcontracting Demand

1 100 50 30 1532 40 60 80 2003 90 80 70 1504 60 50 20 2005 70 50 100 203

The unit production costs for the three levels in each period are $4, $6, and $7, respectively. The unitholding cost per period is $.50. Determine the optimal solution.

วธทำ Produce 173 units in period 1, 180 in period 2, 240 in period 3, 110 in period 4, and 203 in period 5.�


แบบฝกหด 6.2.7. [6] Consider Example 13.42. (a) Will x4 = 0 in the optimum solution? (b) For each of thefollowing two cases, determine the feasible ranges for z1, z2, z3, x1, x2, and x3. (You will find it helpful torepresent each situation as in Figure 13.10.) (i) x1 = 3 and all the remaining data are the same. (ii) x1 = 0,D1 = 5, D2 = 4, and D3 = 5.

วธทำ 1326. (a) Yes, because inventory should not be held needlessly at end of horizon. (b) (i) 0 ≤ z1 ≤5, 0 ≤ z2 ≤ 6, 0 ≤ z3 ≤ 6;x1 = 3, 1 ≤ x2 ≤ 6, 0 ≤ x3 ≤ 4. (ii) 5 ≤ z1 ≤ 14, 0 ≤ z2 ≤ 9, 0 ≤z3 ≤ 5;x1 = 0, 0 ≤ x2 ≤ 9, 0 ≤ x3 ≤ 5. �

แบบฝกหด 6.2.8. [6] Find the optimal solution for the following fourperiod inventory model:

ตารางท 6.3: ขอมล

Demand Setup cost Holding costPeriod i Di (units) Ki ($) hi ($)

1 5 5 12 2 7 13 3 9 14 3 7 1

The unit production cost is $1 each for the first 6 units and $2 each for additional units.

วธทำ z1 = 7, z2 = 0, z3 = 6, z4 = 0. Total cost = $33. �

แบบฝกหด 6.2.9. [6] Solve Example 13.43, assuming that the initial inventory is 80 units. You may useexcelWagnerWhitin.xls to check your calculations.

วธทำ Use initial inventory to satisfy the entire demand of period 1 and 4 units of period 2, thus reducingdemand for the four periods to 0, 22, 90, and 67, respectively. Optimal solution: Order 112 units in period2 and 67 units in period 4. Total cost = $632.

�

แบบฝกหด 6.2.10. [6] The demand for fishing poles is at its minimum during the month of December andreaches its maximum during the month of April. Fishing Hole, Inc., estimates the December demand at 50poles. It increases by 10 poles a month until it reaches 90 in April. Thereafter, the demand decreases by5 poles a month. The setup cost for a production lot is $250, except during the peak demand months ofFebruary to April, when it increases to $300. The production cost per pole is approximately constant at$15 throughout the year, and the holding cost per pole per month is $1. Fishing Hole is developing nextyear’s (January through December) production plan. How should it schedule its production facilities?

วธทำ Produce 210 units in January, 255 in April, 210 in July, and 165 in October. �

ตวอยาง 6.2.1. ปญหาพสดคงคลงSailco Corp ตองการหาจำนวนเรอใบทจะตองผลตในแตละ quarter ของทง 4 quarters เพอใหเปนไปตาม Demand ของทง 4 quarters ดงตอไปนคอ ใน quarter ท 1 ตองการเรอใบ 40 ลำ ใน quarter ท 2 ตองการเรอใบ 60 ลำ ใน quarter ท3 ตองการเรอใบ 75 ลำ และ ใน quarter ท 4 ตองการเรอใบ 25 ลำ การผลตจะตองทำใหการสงเรอใบเปนไปตามกำหนด


โดยทกอน quarter ท 1 มปรมาณ inventory อย 10 ลำ ในแตละ quarter บรษทสามารถผลตไดไมเกน 40 ลำ ดวยแรงงานปรกตทมตนทน $400 ตอลำ และ ถาใชพนกงาน overtime จะไดเรอใบในราคาตนทน $450 ตอลำ คาพสดคงคลง (holdingcost) ระหวางแตละ quarter คดเปน $20 ตอลำ ใชกำหนดการเชงเสนในการหาตารางการผลตเพอใหมตนทนทตำทสดสำหรบ 4 quarters น

แบบฝกหด 6.2.11. ลกคาตองการปรมานสนคา ใน 4 เดอน จำนวน 50 ชน 65 ชน 100 ชน และ 70 ชนตามลำดบ โดยหามbacklogging (หามสงของยอนหลง) คาผลตตอหนวยในแตละเดอนคดเปน $5, $8, $4, and $7 ตามลำดบ คาพสดคงคลงคดเปน $2 ตอหนวยในแตละเดอน โดยคดสนจำนวนพสดคงคลงทสนเดอน พสดคงคลงในเดอนสดทาย (เดอนท 4) สามารถขายไดในราคาชนละ $6 หากำหนดการเชงเสนทมคำตอบเปนการผลตและจดเกบ ใหไดตาม demand ของทง 4 เดอนน

แบบฝกหด 6.2.12. James Beerd อบชสเคกและ เคกแบลกฟอเรสต โดยในแตละเดอนเขาจะอบเคกไดไมเกน 65 กอนตนทนและ demand ทตองสงตรงเวลา เปนไปตามตาราง 6.4 โดยในแตละเดอนมคาเกบเคกตอกอนคดเปน 50¢สำหรบชสเคก และ 40¢สำหรบเคกแบลกฟอเรสต สรางกำหนดการเชงเสนเพอให James Beerd หาตนทนรวมตำสดเพออบเคกไดตามจำนวน demand ใน 3 เดอน

ตารางท 6.4: setup times สำหรบปญหา Machineco

เดอนท 1 เดอนท 2 เดอนท 3เคก demand ตนทน ($/เคก) demand ตนทน ($/เคก) demand ตนทน ($/เคก)

ซสเคก 40 3 30 3.4 20 3.8เคกแบลกฟอเรสต 20 2.5 30 2.8 10 3.4

บทท 7

การวเคราะหการตดสนใจ Decision Analysis

โลกแหงความเปนจรงขอมลสวนใหญมความไมแนนอน แตละปญหาทจะแกดวยกำหนดการเชงเสนมกจะใชวธการประมาณขอมลและสมมตใหมคาทแนนอน หรอในพจารณาปญหานนๆในชวงระยะเวลาสนๆ ซงจะทำใหขอมลมความแนนอนแมนยำมากยงขน

ในหลายปญหานน นอกจากขอมลมความไมแนนอนแลว ยงอาจจะขาดการพจารณาผลของอารามณความรสก ซงในกรณนวธการ analytic hierarchy process สามารถเปนวธการทเหมาะสมในการใชแกปญหา

7.1 เทคนคการแกปญหาทไมเปนปญหาเชงกำหนด Decision Making UnderCertainty AHP

เทคนคการแกปญหาทไมเปนปญหาเชงกำหนด Decision Making Under Certainty—Analytic Hierarchy Process (AHP)

The analytic hierarchy process has been used in many different fields as a multiattribute decision analysistool with multiple alternatives and criteria. AHP uses “pairwise comparisons” and matrix algebra to weightcriteria. The decision is made by using the derived weights of the evaluative criteria [5]. Importance ismeasured on an integervalued 19 scale, with each number having the interpretation shown in รปท7.1.

รปท 7.1: ความสมพนธระหวางคะแนนในเมตรกซเปรยบเทยบกบระดบความสำคญ

89

90 บทท 7. การวเคราะหการตดสนใจ DECISION ANALYSIS

ตวอยาง 7.1.1. [6] มารตนเปนนกเรยนอจรยะในชนมธยมศกษาปท 6 มมหาวยาลยสามแหงเสนอใหทนคอ U of A, U ofB, and U of C มารตนใชการตดสนใจเลอกโดยดจากทตงของมหาวยาลยและชอเสยงของมหาวยาลย โดยใหความสำคญของชอเสยงเปนหาเทาของคะแนนของทตง จงใหนำหนก 83% กบชอเสยง และ 17% กบทตง ซงจะใชกระบวนการทเปนระบบจดการลำดบมหาวทยาลยทงสามแหง จากมมมองของทตงและชอเสยง ตามตารางท 7.1 ดงตอไปน

ตารางท 7.1: สดสวนความสำคญเพอการตดสนใจสำหรบปญหาท 7.1.1

Percent weight estimates forCriterion U of A U of B U of C

Location 12.9 27.7 59.4Reputation 54.5 27.3 18.2

รปท 7.2: โครงสรางของปญหาท 6.1.2

โครงสรางสำหรบการตดสนใจปญหาเปนไปตามรปท 7.2 ปญหานมหนงระดบ (อำนาจการตดสนใจ) สองเกณฑ (ทตงและชอเสยง) และสามทางเลอก (U of A, U of B, and U of C) การจดลำดบเปนไปตามนำหนกรวมดงตอไปน

U of A = .17 * .129 + .83 * .545 = .4743U of B = .17 * .277 + .83 * .273 = .2737U of C = .17 * .594 + .83 * .182 = .2520

จากคะแนนดงกลางมารตนจะเลอกไป U of A เนอกจากเปนมหาลยทมคะแนนสงสด

ขอสงเกต โครงสรางของ AHP อาจมหลายระดบ (อำนาจการตดสนใจ) สมมตในตวอยางท 7.1.1 ใหเจนเปนแฝดของมารตนซงไดรบการเสนอทนจากมหาลยทงสามแหงดวย แตผปกครองของทงสองยนยนวาทงสองจะตองเลอกไปทเดยวกน รปท 7.3สรปโครงสรางของปญหาทมระดบการตดสนใจสองระดบ โดยใหคา p และ q เปนนำหนกถวงในระดบแรกของคะแนนการตดสนใจของมารตนและของเจนตามลำดบ ซงในทนควรจะเทากนตามสทธ นำหนก (p1, p2) and (q1, q2) ในระดบทสองเปนสดสวนนำหนกคะแนนของทตงและชอเสยงทมารตนและเจนตางคนตางใหกบทงสามสถาบน สดสวนนำหนกในสวนทเหลอมความสมพนธในทำนองเดยวกน จะสงเกตไดวา

7.1. เทคนคการแกปญหาทไมเปนปญหาเชงกำหนด DECISION MAKING UNDER CERTAINTY AHP 91

p+ q = 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1,

p11 + p12 + p13 = 1,

p21 + p22 + p23 = 1,

q11 + q12 + q13 = 1,

และ q21 + q22 + q23 = 1

ดานลางของภาพท 7.3 15.2 แสดงการคำนวนคะแนนรวมของ U of A

รปท 7.3: เพมโครงสรางของปญหาท 6.1.2

การหานำหนกของสดสวน การหานำหนกของสดสวนเปรยบเทยบเปนหวใจของวธการ AHP สมมตใหในระดบการตดสนใจระดบหนงมเกณฑในการตดสน n เกณฑ กระบวนการลำดบชนวเคราะหจะสราง n x n เมตรกซเปรยบเทยบ A แสดงการตดสนใจเลอกสดสวนนำหนก ของความสำคญของแตละเกณฑ

การเปรยบเทยบเกณฑในแตละค

A =(aij

)aij อยระหวาง 1 ถง 9 โดย 1 หมายถง i และ j มความสำคญเทยบเทากน และความสำคญของ i เทยบกบ j สงขนเรอยๆจนถงสงสดในระดบคะแนนเทากบ 9

ความคงเสนคงวาของการตดสนคะแนนสงผลให aij = 1aji

และ aii = 1

ตวอยาง 7.1.2. การคำนวนเมตรกซสดสวน A ในตวอยางท 7.1.1ารตนเลอกสดสวนนำหนกของลำดบการตดสนใจบนสดระหวางทตงและชอเสยงของสถาบน โดยให ชอเสยงของสถาบนมความสำคญกวาทตงอยางมาก คอให a21 = 5 จะไดวาa12 =

15

ดงน


A =

L R( )L 1 1

5

R 5 1

นำหนกสมพทธสามารถหาไดโดยการปรบเมตรกซ A ใหเปนบรรทดฐาน ไดเมตรกซ N ดวยการหารคาสมาชกแตละตวดวยคาคะแนนรวมของคอลมน คอ 1 + 5 = 6 ในคอลมนทหนงและ 1

5+ 1 = 1.2 ในคอลมนทสอง

นำหนกสมพทธทตองการคอ ωR และ ωL คำนวณไดจากคาเฉลยของแถวดงน

N =

L R( )L .17 .17

R .83 .83

Row averagesωL = .17+.17

2= .17

ωR = .83+.832

= .83

จะได ωL = .17 and ωR = .83 ซงถกนำไปใชในรปท 7.2 ความคงเสนคงวาไดตามทฤษฎสำหรบเมตรกซขนาด 2x2 แตมกจะไมไดในเมตรกซขนาดทสงๆขนไป

ความพงพอใจของมารตนตอแตละเกณฑการตดสนในรปแบบสมพทธสรปไดดงน

AL =

A B C A 1 12

15

B 2 1 12

C 5 2 1

AR =

A B C A 1 2 3

B 12

1 32

C 13

23

1

จะไดวา ผลรวมคอลมนเปน

AL − column sum = 18, 3.5, 1.72

AR − column sum = 11.83, 3.67, 5.52

เมตรกซปรบบรรทดฐานจะไดจากการหารสมาชกในแตละคอลมนดวยผลรวมของแตละคอลมนดงน

NL =

A B C A .125 .143 .118

B .250 .286 .294

C .625 .571 .588

Row averagesωLA = .125+.143+.118

3= .129

ωLB = .250+.286+.2943

= .277

ωLC = .625+.571+.5883

= .294

NR =

A B C A .545 .545 .545

B .273 .273 .273

C .182 .182 .182

Row averagesωLA = .545+.545+.545

3= .545

ωLB = .273+.273+.2733

= .273

ωLC = .182+.182+.1823

= .182

คา (ωLA, ωLB, ωLC) = (.129, .277, .594) แสดงถงนำหนกคะแนนสมพทธของทตงของ U of A, U of B, and U ofC ตามลำดบ


คา (ωRA, ωRB, ωRC) = (.545, .273, .182) แสดงถงนำหนกคะแนนสมพทธของชอเสยงของสามสถาบน คาเหลานไดถกนำไปใชในรปท 7.2.

ความคงเสนคงวาของเมตรกซเปรยบเทยบ Consistency of the comparison matrix. ในตวอยางท 7.1.2, ทกคอลมนของเมตรกซปรบฐาน normalized matrices N and NR มคาเทากน แตกตางจากใน NL ซงหมายความวา A และAR มความคงเสนคงวา แตAL ไมม

ความคงเสนคงวาบงบอกวาการตดสนคะแนนความสำคญ ใหดวยความคงเสนคงวา ในทางคณตศาสตรเมตรกซเปรยบเทยบจะมความคงเสนคงวาเมอทกๆ i, j, and k

aijajk = aik (7.1)

จะไดตามสมการ 7.1 ตอเมอทกคอลมน (และแถว) ของ AR linearly dependent ซงเปนจรงตามนยามในเมตรกซ 2 x 2แตมกไมเปนจรงในเมตรกซทมมตสงขนๆไป จงมการวดระดบความไมคงเสนคงวาทรบไดเพอวดความความคงเสนคงวาของเมตรกซเปรยบเทยบAAR ใหผลลพธเปนเมตรกซปรบฐานN ทมทกคอลมนเหมอนกนดงน

N =

ω1 ω1 . . . ω1

ω2 ω2 . . . ω2

. . . . . . . . . . . .

ωn ωn . . . ωn

จากเมตรกซปรบฐานN ทำกลบไดเมตรกซเปรยบเทยบA โดยการหารแตละคอลมน i ดวย ωi จะได

A =

1 ω1

ω2. . . ω1

ωnω2

ω11 . . . ω2

ωn

. . . . . . . . . . . .ωn

ω1

ωn

ω2. . . 1

คณเมตรกซเปรยบเทยบA ทางขวาดวย w = (ω1, ω2, . . . , ωn)

ᵀ จะได1 ω1

ω2. . . ω1

ωnω2

ω11 . . . ω2

ωn

. . . . . . . . . . . .ωn

ω1

ωn

ω2. . . 1

ω1

ω2

. . .

ωn

=

nω1

nω2

. . .

nωn

= n

ω1

ω2

. . .

ωn

ดงนนA จะคงเสนคงวาเมอA w = nw

สำหรบเมตรกซA ทไมคงเสนคงวา คานำหนกสมพทธ ωi ประมาณใหเทากบคาเฉลยของแถว i ของเมตรกซปรบบรรทดฐานN (ดตามตวอยางท 7.1.2) ให w เปนเวกเตอรคาเฉลย จะไดวา

Aw = nmaxw, nmax ≥ n

คา nmax ทใกลกบคา n จะแสดงถงระดบทใกลความคงเสนคงวา

จากขอสงเกตน คาสดสวนความคงเสนคงวา หาไดจาก

CR = CI/RI


ดชนความคงเสนคงวาของเมตรกซ A CI = (nmax − n)/(n− 1)

ความคงเสนคงวาสมของเมตรกซ A RI = 1.98 ∗ (n− 2)/n

คา CR ≤ .1 เปนคาทรบได ถาคาความไมคงเสนคงวาสงเกน อาจตองใหผประเมนปรบคาประเมนใหมใหมความสมควรมากขน

จาก

Aw = nmaxw∑nj=1 aijwi = nmaxwi ของทก i

เมอ ∑nj=1 wi = 1 จะไดวา∑n

i=1

∑nj=1 aijwi = nmax

∑ni=1 wi = nmax

นนคอ nmax เทากบผลรวมของคาเวกเตอรคอลมนAw

ตวอยาง 7.1.3. ในตวอยางท 7.1.2 เมตรกซ AL ไมคงเสนคงวาเพราะแตละคอลมนของNL ไมเหมอนกน

ในการทดสอบความคงเสนคงวาของNL เรมจากการหาคา nmax

จากตวอยางท 7.1.2 ได

ω1 = .129, ω2 = .277, ω3 = .594

ดงนน

ALw =

1 12

15

2 1 12

5 2 1

.129

.277

.594

=

nω1

nω2

. . .

nωn

nmax = .3863 + .8320 + 1.7930 = 3.0113

สำหรบ n = 3,

CI = (nmax − n)/(n− 1) = 3.0113−33−1

= .00565

RI = 1.98 ∗ (n− 2)/n = 1.98x13

= .66

CR = CI/RI = .00565.66

= .00856

เนองจากคา CR ทไดมคานอยกวา 0.1 ระดบความคงเสนคงวาจงอยในระดบทรบได


มนโปรเจค 7.1.1. ใหนสตทำมนโปรเจคนในกลมละสามคน โดยเลอกสถานการณทเหมาะสมเพอสรางแบบสำรวจดวยระบบAHP ทำการสำรวจและวเคราะหผล หาดชนความเนยน(คงเสนคงวา) ของเมตรกซเปรยบเทยบ จากนนปรบคะแนนการสำรวจในเมตรกซเปรยบเทยบใหคาดชนความเนยนอยในระดบทรบได (หรอลดลงถาระดบเดมอยในระดบทรบได) รายงานผลโดยจดทำใหอยในรปแบบมนโปรเจค


รปท 7.4: ตวอยางแบบสำรวจสำหรบระบบ AHP

7.2 การตดสนใจภายใตความเสยง decision making under riskตวอยาง 7.2.1. นสตไดรบเงนสำหรบการลงทนในตลาดหลกทรพย $10,000 เพอการซอหนบรษท A หรอ B หนบรษท A มความเสยงสง แตใหผลกำไร 50% (ตลาดกระทง “bull” market) แตถาตลาดหนมสภาพเปนตลาดหม (“bear” market)มลคาการลงทนจะหายไป 20% หนบรษท B ใหผลกำไร 15% ในตลาดกระทง “bull” market แตใหกำไรแค 5% ในตลาดหม “bear” market ทกการพยากรณคาดวา 60% ปนจะเปนตลาดกระทง “bull” market 40% จะเปนตลาดหม “bear”market นสตควรลงทนในหนตวใด

วธทำ ตนไมการตดสนใจเปนดงน

ปญหานสามารถสรปไดตามรปท 7.5 โดยใชรปแบบ nodes 2 แบบคอจตรส � แทนจดการตดสนใจ และวงกลม◦ แทนเหตการณทมโอกาสเกดขนตามคาความเปนไปได ดงนน ในจดท 1 เปนจดตดสนในการเลอกลงทนระหวางการซอหน บรษท

7.2. การตดสนใจภายใตความเสยง DECISION MAKING UNDER RISK 97

รปท 7.5: สรปขอมลของปญหาการตดสนใจ decision making tree ตวอยางท 7.2.1

A หรอ B จากนนในสองกงแทนเหตการณ 2 และ 3 แทน สภาพตลาดกระทง “bull” market และตลาดหม “bear” marketดวยความเปนไปไดของแตละเหตการณและคาตอบแทนจากรปท 7.6 คาคาดหวงการลงทนใน 1 ปคดเปนหนบรษท A = $5000 * .6 + 1 20002 * .4 = $2200หนบรษท B = $1500 * .6 + $500 * .4 = $1100นสตจงควรเลอกลงทนในหนบรษท A เพราะมคาคาดหวงจากการลงทนทสงกวาการลงทนในหนบรษท B

รปท 7.6: ตนไมการตดสนใจ decision making tree สำหรบปญหาตวอยางท 7.2.1

�

ตวอยาง 7.2.2. This example demonstrates how the expectedvalue criterion is modified to take advantageof posterior probabilities. In Example 7.2.1, the (prior) probabilities of .6 and .4 of a “bull” and a “bear”market are determined from available financial publications. Suppose that rather than relying solely onthese publications, you have decided to conduct a more “personal” investigation by consulting a friendwho has done well in the stock market. The friend quantifies a “for/ against” investment recommendationin the following manner: In a “bull” market, there is a 90% chance the recommendation is “for.” It dropsto 50% in a “bear” market. How does the additional information affect the decision?


วธทำ The friend’s statement provides conditional probabilities of the recommendations “for” and “against”given that the states of nature are “bull” and “bear” markets. Define

v1 = “For” vote v2 = “Against” vote m1 = “Bull” market m2 = “Bear” market

Thus, the friend’s statement may be written in the form of probability statements as P5v1 0 m16 = .9,P5v2 0 m16 = .1 P5v1 0 m26 = .5, P5v2 0 m26 = .5

With this representation, the decision problem is summarized as: 1. If the friend’s recommendation is“for,” would you invest in stock A or in stock B? 2. If the friend’s recommendation is “against,” wouldyou invest in stock A or in stock B? The decision tree in Figure 15.5 represents the problem. Node 1 isa chance event representing the “for” and “against” possibilities. Nodes 2 and 3 are decision points forchoosing between stocks A and B, given the “for” and “against” recommendations, respectively. Finally,nodes 4 to 7 are chance events representing the “bull” and “bear” markets. To evaluate the differentalternatives in Figure 15.5, it is necessary to compute the posterior probabilities P5mi 0 vj6 shown on them1 and m2branches of nodes 4, 5, 6, and 7. These posterior probabilities take into account the additionalinformation provided by the friend’s “for/ against” recommendation and are computed according to thefollowing general steps:

1.

2.

3.

4.

The given decisions are equivalent to saying that the expected payoffs at decision nodes 2 and 3 are$3110 and $731, respectively (see Figure 15.5). Thus, given the probabilities P5v16 = .74 and P5v26 = .26as computed in step 3, we can compute the expected payoff for the entire decision tree. (See Problem1530.) �

7.3. แบบฝกหด 99

7.3 แบบฝกหดแบบฝกหดท 7.3.1 ถง 7.3.5 สำหรบบทยอยท 7.1

แบบฝกหดท 7.3.6 ถง 7.3.9 สำหรบบทยอยท 7.2

รปท 7.7: แบบทดสอบ 1

แบบฝกหด 7.3.1.


แบบฝกหด 7.3.2. พจารณาขอมลสองระดบของปญหา 7.1.1 ใสขอมลนำหนกตามลำดบลงใน excelAHP.xls แลวพฒนาสตรสำหรบการหาคาคะแนนรวมของตวเลอกแรก U of A แลวคดลอกเซลลเพอทำเชนเดยวกนกบคะแนนของ U of A และU of C


แบบฝกหด 7.3.5. นกเขยนหนาใหมตงเกณฑ 3 อยางในการเลอกคายหนงสอ (สำนกพมพ) ไดแก royalty percentage (R),marketing (M), and advance payment (A) สำนกพมพ H and P ใหความสนใจเสนอตว ใชขอมลตามรปท 7.10 จดลำดบคะแนนสำนกพมพและหาคาความเนยน (ความคงเสนคงวา)

รปท 7.10: ขอมลแบบทดสอบขอท 7.3.5

แบบฝกหด 7.3.6. You have been invited to play the Fortune Wheel game on television. The wheel operateselectronically with two buttons that produce hard (H) or soft (S) spin. The wheel itself is divided into white(W) and red (R) halfcircle regions. You have been told that the wheel is designed to stop on white 30%of the time. The payoff of the game is

W RH $800 $200S $2500 $1000

Develop the associated decision tree, and determine a course of action based on the expected valuecriterion.

แบบฝกหด 7.3.7. Farmer McCoy can plant either corn or soybeans. The probabilities that the next harvestprices will go up, stay the same, or go down are .25, .30, and .45, respectively. If the prices go up, thecorn crop will net $30,000 and the soybeans will net $10,000. If the prices remain unchanged, McCoy will(barely) break even. But if the prices go down, the corn and soybeans crops will sustain losses of $35,000and $5000, respectively.

1. Represent McCoy’s problem as a decision tree.

2. Which crop should McCoy plant?

แบบฝกหด 7.3.8. You have the chance to invest your money in either a 7.5% bond that sells at face valueor an aggressive growth stock that pays only 1% dividend. If inflation occurs, the interest rate will go upto 8%, in which case the principal value of the bond will go down by 10%, and the stock value will godown by 20%. If recession materializes, the interest rate will go down to 6%. In this case, the principalvalue of the bond is expected to go up by 5%, and the stock value will increase by 20%. If the economyremains unchanged, the stock value will go up by 8% and the bond principal value will remain the same.Economists estimate a 10% chance of inflation and 5of recession. You are basing your investment decisionon next year’s economic conditions.

1. Represent the problem as a decision tree.


2. Would you invest in stocks or bonds?

แบบฝกหด 7.3.9. A fair coin is flipped three successive times. You receive $1.00 for each head (H) thatturns up and an additional $.25 for each two successive heads that appear (remember that HHH includestwo sets of HH). However, you give back $1.10 for each tail that shows up. You have the option to eitherplay or not play the game.

1. Draw the decision tree for the game.

2. Would you favor playing this game?

บทท 8

ทฤษฎเกม Game theory

ในบททผานมา การตดสนใจกระทำโดยผเดยวและไมสงผลตอคนอนหรอไมมคแขง แตในหลายๆสถาณการณจรงนน การตดสนใจใดๆจะสงผลตอการตดสนใจของผอนได เชนการตงราคาขายของผลตภณทหนงยอมสงผลตอยอดขายของทงตนเองและของคแขง [3]

ทฤษฎเกมชวยในการตดสนใจในกรณทผตดสนใจ (ซงในบททฤษฎเกมนจะเรยกวา ผเลน)หลายคนมผลประโยชนทบซอนกนซงเนอหาสวนใหญในวชานจะพจารณาใน กรณทมผเลนสองคน

ใหระบบนมผเลนสองฝาย ทงคมความฉลาด มผลประโยชนทขดแยงกนและตองการชนะฝายตรงขาม ตวอยางในทางธรกจเชนการลงโฆษณาหรอการเรมตนผลตภณฑ หรอการวางแผนในการรบ ผเลนสองฝายมตวเลอกหรอมแผนตางๆ แตละคของแผนตวเลอก (strategy) (ของทงสองฝาย)มรางวลผลตอบแทนหรอ payoff ซงฝายหนงไดรบจากฝายตรงขาม เรยกระบบนวาเกมทมผเลนสองคนผลลพธรวมเปนศนย (twoperson zerosum game) เพราะรางวลทจะไดหรอจายจะไดหรอจายจากฝายตรงขาม

เกมมกจะแทนโดยเมตรกซผลตอบแทน ดงเชนในรปท 8.1

รปท 8.1: เมตรกซผลตอบแทนของเกมทมผเลนสองคนผลลพธรวมเปนศนย

เมอผเลน A เลอกเลนแผน (strategy) i และผเลน B เลอกเลนแผน j จะมรางวลผลตอบแทนเปน aij กบผเลน A จาก ผเลน B (และผเลน B ไดรางวลผลตอบแทนเปน −aij จากผเลน A )

105

106 บทท 8. ทฤษฎเกม GAME THEORY

8.1 คำตอบทดทสดของเกมทมผเลนสองคนผลลพธรวมเปนศนยoptimal solution of TwoPerson, ZeroSum Games [6] คอจดทผเลนทงสองคนจะไมเปลยนไปเลอกแผนอนเพราะจะทำใหผลลพธทดอยกวาเดม

ตวอยาง 8.1.1. บรษท A และ B ขายยาแกไขของยหอ บรษท A ลงโฆษณาทาง youtube (A1), facebook (A2), google(A3)

บรษท B นอกจากจะลงโฆษณาทาง youtube (A1), facebook (A2), และ google (A3) แลว ยงลง IG (B4)

โฆษณาแตละทางดงสวนแบงการตลาดไปตามแตประสทธภาพของแตละโฆษณา

เมตรกซผลตอบแทนในรปท 8.2 แสดงสวนแบงการตลาดทไดหรอเสยโดยบรษท A:

รปท 8.2: แสดงสวนแบงการตลาดทไดหรอเสยโดยบรษท A ในปญหา 8.1.1

หลกทใชในการหาคำตอบทดทสดคอการหาแผนทดทสดของเหลาทแยทสดของแตละผเลน

ถาบรษท A เลอกแผน A1 โดยไมคำนงถงแผนบรษท B ผลทแยทสดคอ บรษท A จะเสยสวนแบงการตลาดใหบรษท B 3%ซงผลนคอคาตำสดของคาในแถวท 1

ในทำนองเดยวกนกบแผน A2 ผลทแยทสดคอ บรษท A จะไดสวนแบงการตลาดจากบรษท B 5% และแผน A3 มผลทแยทสดคอ บรษท A จะเสยสวนแบงการตลาดใหบรษท B 9%

ผลนเขยนเปนคาตำสดของแตละแถว(row min) เพอใหไดผลแยทสดทดทสด บรษท A จะเลอกแผน A2 เพราะคอคา

จากนนในการพจารณาเมตรกซผลตอบแทน บรษท B เลอกแผนทดทสดของเหลาทแยทสดตามหลกคา minimax ผลคอบรษท B จะเลอกแผน B2

คำตอบทดทสดของเกมนคอการเลอกแผน A2 และ B2 นนคอทงคเลอกลงโฆษณาทาง facebook ผลลพธจะเปนบวกกบบรษท A เพราะจะไดสวนแบงการตลาดทเพมขน 5% ในกรณนเรยกวาคาของเกมคดเปน 5% และ บรษท A และ B เลอกคำตอบทเปนคำตอบอานมา (pure saddlepoint solution)

คำตอบอานมาทำใหไมมการเลอกแผนอน เพราะไมทำใหไดผลทดขน เชนถาบรษท B เปลยนไปเลอกแผนอน (B1, B3, orB4) บรษท A สามารถเลอกแผนเดมแลวไดผลทดขน (6% หรอ 8%)

ในทำนองเดยวกนบรษท A จะไมเปลยนไปเลอกแผนอนเพราะบรษท B จะสามารถเปลยนไปเลอกแผน B3 ใหไดสวนแบงการตลาด 9% ถาบรษท A เลอกแผน A1 และ 3% ถาบรษท A เลอกแผน A3

ตวอยาง 8.1.2. ผเลนสองคน A และ B เลนเกมทอยเหรยญ โดยตางฝายตางไมรการเลอกเลนของฝงตรงขาม วาจะเลอกหวhead (H) หรอกอย tail (T) และทงคเปดผลทายพรอมกน ถาผลตรงกนคอหวทงคหรอกอยทงค (HH or TT) ผเลน A จะไดรบ $1 จากผเลน B นอกจากนน ผเลน A จะตองจาย ผเลน B $1

8.1. คำตอบทดทสดของเกมทมผเลนสองคนผลลพธรวมเปนศนย 107

เมตรกซผลตอบแทนสำหรบผเลน A เปนไปดงรปท 8.3 ตอไปน โดยใหคา rowmin และ columnmax ตามแผนการเลนของผเลนทงสอง

รปท 8.3: matrix problem 8.1.1

คา maximin และ minimax ของเกมคดเปน $1 and $1 ตามลำดบ เกมนไมมแผนการบรสทธ (Pure strategy) เพราะคาทงสองไมเทากน

นนคอถาผเลน A เลอก AH , ผเลน B สามารถเลอก BT เพอทจะไดรบ $1 จากผเลน A แตจากนน ผเลน A สามารถเลอกAT เพอเปลยนผลเปนไดรบ $1 จากผเลน B การทจะเปลยนแผนไปๆมาๆนแสดงถงวาไมมคำตอบทเปนแผนการบรสทธ(Pure strategy)

จงทำใหทงสองฝายตองผสมสมเลอกแผนการบรสทธ ผลคำตอบทดทสดจะมคาอยระหวางคา maximin และคา minimaxของเกม นนคอ

maximin (lower) value ≤ value of the game ≤ minimax (upper) value

ซงในเกมน คาของเกมจะอยระหวาง $1 ถง +$1 (ดแบบฝกหด 8.1.5) ประกอบ)

แบบฝกหด 8.1.1. เกม (a) และ (b) ใหเมตรกซผลตอบแทนสำหรบผเลน A เปนไปตามรปท 8.4 ดานลางน ในแตละเกมมคำตอบทเปนแผนการบรสทธ (Pure strategy solution) ในแตละกรณ หาแผนทเปนจดอานมาและหาคาของเกม


แบบฝกหด 8.1.2. เกม (a) และ (b) ใหเมตรกซผลตอบแทนสำหรบผเลน A เปนตามรปท 8.5 ดานลางน จงหาคาของ pและ q ททำให (A2, B2) เปนจดอานมา

แบบฝกหด 8.1.3. เกมดานลางน ใหเมตรกซผลตอบแทนสำหรบผเลน A เปนตามรปท 8.6 จงหาชวงของคาของเกมในแตละกรณ

108 บทท 8. ทฤษฎเกม GAME THEORY



แบบฝกหด 8.1.4. บรษทสองบรษทแขงกนขายสนคา ซงขณะนแตละผลตภณฑครองตลาดอย 50% จากการปรบปรงผลตภณฑในชวงทผานมา แตละบรษทจงตองการวางแผนทางการตลาดใหม โดยถาทงสองบรษทไมลงโฆษณา สวนแบงการตลาดจะยงคงอยท 50% แตถาฝายใดฝายหนางลงโฆษณาไดดกวากจะไดสวนแบงการตลาดเพม จากการสำรวจพบวาลกคา 50%เขาถงการโฆษณาทางทว ลกคา 30% เขาถงการโฆษณาทางหนงสอพมพ ลกคา 20% เขาถงการโฆษณาทางวทย

1. สรางปญหานใหเปนเกมทมผเลนสองคนผลลพธรวมเปนศนย หาสอการโฆษณาของแตละบรษท

2. หาพสยของคาของเกม เกมนจะมแผนบรสทธสำหรบบรษททงสองหรอไม

แบบฝกหด 8.1.5. ให aij เปนคาของตำแหนง (i, j) บนเมตรกซผลตอบแทนทม m แผน ของผเลน A n แผน ของผเลน Bผลตอบเปนของผเลน A จงพสจนวา max

imin

jaij ≤ min

jmax

iaij

บทท 9

ความนาจะเปนและกระบวนการสโตแคสตก Probabilityand stochastic processes: Markov Chain

กระบวนการ stochastic คอชดของตวแปรสม random variable ทมการเปลยนแปลงไปตามระยะเวลา ตวอยางหนงคอการพจารณาการเปลยนแปลงของตวแปรสมในแตละจดของเวลา โดยให XtXtXt เปนคณลกษณะของระบบในเวลา ttt

กระบวนการ stochastic แบบ discretetime คอความสมพนธของตวแปรสม X0, X1, X2, . . .X0, X1, X2, . . .X0, X1, X2, . . .

ตวอยาง 9.0.1. ความหายนะของนกเลงพนน ใหนกเลงพนนคนหนงมเงนตอนเรมตน 2 ดอลลาร ในแตละจดของเวลา 1, 2,3, . . . , I นกพนนคนนจะพนน 1 ดอลลาร โดยมความเปนไปไดทจะชนะเปน p และแพเปน 1− p เปาหมายของการพนนนคอมทนรวม 4 ดอลลาร ซงเปนการจบเกมส หรออกทางหนงคอหมดตว ถาให XtXtXt เปนทนทมอยในจดเวลา ttt เราจะสามารถมอง X0, X1, X2, . . .X0, X1, X2, . . .X0, X1, X2, . . . เปน กระบวนการ stochastic แบบ discretetime

เราจะไดวา X0X0X0 = $2 เปนคาทแนนอน แตคาอนๆ X1X1X1 และ XtXtXt หลงจากนเปนคาสม

เราเรยกสถาณการณในลกษณะนวา ความหายนะของนกเลงพนน gambler's ruin

109

110บทท 9. ความนาจะเปนและกระบวนการสโตแคสตก PROBABILITY AND STOCHASTIC PROCESSES: MARKOV CHAIN

ตวอยาง 9.0.2. การเลอกลกหนจากโถ เรมตนจากลกหน 2 ลก ไมทาสในโถ ในการเลอกสมลกหนจากโถทละลก

ถาไดลกทมส ใหโยนเหรยญ แลวทาเปลยนส ถาไดลกทไมมส ใหโยนเหรยญ

ถาออกหว จะเปลยนลกหนทไมทาสเปนสแดง

ถาออกกอย จะเปลยนลกหนทไมทาสเปนสดำ

ให ttt เปนจดเวลาแสดงสลกหนหลงการโยนเหรยญ จงหาคณลกษณะของระบบทพงจะเปน(สภาวะ)ทจะได กระบวนการstochastic แบบ discretetime

กระบวนการ stochastic แบบ continuoustime คอกระบวนการ stochastic ทสามารถมองลกษณะของระบบไดในทกระยะเวลา ตวอยางเชนจำนวนลกคาในราน super market

9.1. INTRODUCTION 111

9.1 Introductionกระบวนการ stochastic แบบ discretetime ทมลกษณะพเศษประเภทหนงเรยกวา Markov chain ในทนเราจะพจรณาMarkov chain ทมลกษณะพนฐานดงตอไปน

มจำนวน states สภาวะจำกด

มลกษณะ P (XXX t+1 = it+1|XXX t = it, . . . ,XXX1 = i1,XXX0 = i0) = P (XXX t+1 = it+1|XXX t = it)

และมลกษณะท P (XXX t+1 = j|XXX t = i) = pij

นนคอสมมตฐานความคงท(ของความนาจะเปนของสถานะจากคา i ไป j) stationary assumptionเราเรยก pij วาเปนความนาจะเปนของการเปลยนผาน transition probabilityสำหรบ Markov chain และนยมเขยนในรป matrix


ตวอยาง 9.1.1. ถาบนถนนทมแตรถบรรทกและรถยนต และสามในสคนรถบรรทกจะตามดวยรถยนต หนงในหาคนรถยนตจะตามดวยบรรทกจงหา state และ transition probability matrix ทเหมาะสมกบสถานการณน

วธทำ ให XXXn เปน state (สภาวะ) ของระบบทเวลา nในทน มสอง states คอการเปนรถบรรทกหรอรถยนต สำหรบคนท n (คนท n+1 คอคนถดจากคนน คนท n1 คอคนกอนหนาน) ความเปนไปไดทในสภาวะ n ไปยงสถาวะ n+1 มคาทแนนอน นนคอ

เมอเราให pij มคาเปนความเปนไปไดตามปญหานp11 = คนท n+1 เปนรถบรรทก เมอคนท n เปนรถบรรทกp12 = คนท n+1 เปนรถยนต เมอคนท n เปนรถบรรทกp21 = คนท n+1 เปนรถบรรทกเมอ คนท n เปนรถยนตp22 = คนท n+1 เปนรถยนต เมอคนท n เปนรถบรรทก


P =

[.25 .75

.2 .8

]

ตารางท 9.1: matrix components representing probability

รถบรรทก รถยนตรถบรรทก .25 .75รถยนต .2 .8

�


แบบฝกหด 9.1.1. จงหา transition matrix ของปญหาความหายนะของนกเลงพนน gambler's ruin

รปท 9.1: กราฟแสดงการเปลยนสภาวะของปญหาความหายนะของนกเลงพนน

$0 $1 $2 $3 $41

1− p

p

1− p

p

1− p

p

1


แบบฝกหด 9.1.2. หมบานแหงหนงมสภาพอากาศในแตละวนเปนวนทองฟาแจมใสหรอวนฟาครม ในวนทฟาครม จะมความเปนไปไดทวนรงขนจะเปนวนฟาครม 80% ในวนททองฟาแจมใส จะมความเปนไปไดทวนรงขนจะเปนวนททองฟาแจมใส90%จงแสดงปญหานในรปแบบ Markov chain


9.1.1 nstep transition probabilitiesmatrix P ของตวอยาง 9.1.1

P =

[.25 .75

.2 .8

]=[

14

34

15

45

]เปนความนาจะเปนของการเปลยนผานจากสถานะของระบบในหนงชวงเวลา (หางกน 1 คน)


ความนาจะเปนของการเปลยนผานในสองชวงเวลา (หางกน 2 คน) คดเปน

P 2 =

[.25 .75

.2 .8

]·

[.25 .75

.2 .8

]=[.2125 .7875

.21 .79

]

=

[14

34

15

45

]·

[14

34

15

45

]=[

1780

6380

21100

79100

]


และ ความนาจะเปนของการเปลยนผานในสามชวงเวลา (หางกน 3 คน) คดเปน

P 3 =

[.25 .75

.2 .8

]·

[.2125 .7875

.21 .79

]=[.210625 .789375

.2105 .7895

]

=

[14

34

15

45

]·

[1780

6380

21100

79100

]=[

3371600

12631600

4212000

15792000

]


และ ความนาจะเปนของการเปลยนผานในสชวงเวลา (หางกน 4 คน) คดเปน

P 4 =

[.2100531 .789469

.210525 .789475

]

=

[14

34

15

45

]·

[3371600

12631600

4212000

15792000

]=[

673732000

2526332000

842140000

3157940000

]


ความนาจะเปนของการเปลยนผานในหาชวงเวลา (หางกน 5 คน) คดเปน

P 5 =

[.2100527 .789474

.2105226 .789474

]

=

[14

34

15

45

]·

[673732000

2526332000

842140000

3157940000

]=[

134737640000

505263640000

168421800000

631579800000

]


ความนาจะเปนของการเปลยนผานใน 6 ชวงเวลา (หางกน 6 คน) คดเปน

P 6 =

[14

34

15

45

]·

[134737640000

505263640000

168421800000

631579800000

]=[

269473712800000

1010526312800000

336842116000000

1263157916000000

]=[0.21052632812 0.78947367187

0.2105263125 0.7894736875

]


ความนาจะเปนของการเปลยนผานในชวงเวลา n ≥ 6 ขนไป (หางกนหลายๆ คน) คดเปน

P n =

[.2100526 .789474

.2105226 .789474

]

9.2 Classification of Statesนยาม 9.2.1. ให state i และ j path หรอ เสนทาง จาก i ไป j คอการเดนทางในแตละขนตอนเรมจาก i ไปสนสดท j โดยแตละขนตอนมความเปนไปไดทเปนบวก

state j is reachable หรอ สามารถไปได จาก state i ถาม path หรอ เสนทาง จาก i ไป j

9.2. CLASSIFICATION OF STATES 123

นยาม 9.2.2. state i และ j is to communicate หรอ ตดตอกน ถา

state j is reachable หรอ สามารถไปได จาก state i และ

state i is reachable หรอ สามารถไปได จาก state j


นยาม 9.2.3. set S เปน closed set หรอ เซตปด

ถาไมม state j ขางนอก set S ท reachable หรอ สามารถไปได จาก state ใดๆใน set S ได

นยาม 9.2.4. state i เปน absorbing state หรอ state ดด ถา pii = 1


นยาม 9.2.5. state i เปน transient state ถาม state j ท reachable หรอ สามารถไปได จาก state i แต state i ไมreachable หรอ ไมสามารถไปได จาก state j


นยาม 9.2.6. ถา state i ไมเปน transient state จะเรยกวา recurrent state


นยาม 9.2.7. state i เรยกวา periodic ดวย period k > 1 ถา k คอจำนวนทนอยทสดทใชในการเดนทางจาก i แลวกลบมาทเดม

ถา state i ไม periodic เราจะเรยกวา state i วา aperiodic


นยาม 9.2.8. ถาทก state recurrent aperiodic และ communicate ซงกนและกน เราจะเรยก Markov chain นนวาergodic

ตวอยาง 9.2.1. Ergodic13

23

012

0 12

0 14

34


ตวอยาง 9.2.2. Nonergodic12

12

0 012

12

0 0

0 0 23

13

0 0 14

34


ตวอยาง 9.2.3. Ergodic14

12

14

23

13

0

0 23

13

9.3. STEADYSTATE PROBABILITY 131

9.3 SteadyState Probabilityให markov chain เปน ergodic

เมอ π =[π1 π2

]เปน limiting probability

จะมคณสมบตดงน

πP = π คณสมบตของ limiting probability (9.1a)∑i

πi = 1 คณสมบตของความเปน probability (9.1b)

[π1 π2

] [14

34

15

45

]=

[π1 π2

](9.2a)

π1 + π2 = 1 (9.2b)

π1

4+

1

5(1− π1) = π1 (9.3)

[π1 π2

]=

[419

1519

]=

[0.210526315789473684 0.789473684210526315

](9.4)

ใหP n =

[P11 P12

P21 P22

]n

:=

[P11(n) P12(n)

P21(n) P22(n)

](9.5)

จะไดวาlimn→∞

Pij(n) = πj (9.6)


แบบฝกหด 9.3.1. ถนฐานของครอบครวชาวอเมรกนสามารถแบงไดเปนในเมอง ชานเมอง และบานนอก ในแตละป 15%ของครอบครวชาวเมองจะยายไปอยชานเมอง และ 5% ยายไปอยบานนอก 6% ของครอบครวชานเมอง จะยายไปอยในเมองและ 4% ยายไปอยบานนอก 4% ของครอบครวบานนอก จะยายไปอยในเมอง และ 6% ยายไปอยชานเมอง

1. ความนาจะเปนของคนเมองในปนทอกสองปจะเปนชาวเมอง ชาวชานเมอง และคนบานนอก เปนเทาใด

2. ถาปนมครอบครวในเมอง 40 % ครอบครวชานเมอง 35% ครอบครวบานนอก 25% อกสองปจะมครอบครวชาวเมองคดเปนสดสวนเทาใด เราดรยก π0 =

[.4 .35 .25

]วาเปน initial probability

3. สดสวนในระยะยาวของถนฐานครอบครวชาวอเมรกนเปนเทาใด


แบบฝกหด 9.3.2. จากตวอยาง 9.0.1

1. หลงจากพนนไป 2 ครงแลว จะมความเปนไปไดเทาไหรทจะมทนอย $3




แบบฝกหด 9.3.3. ถาในตลาดมเครองดมโคลา 2 ชนดคอ coke และ pepsi จากการสำรวจพฤตกรรม คนทซอ coke จะเปลยนไปซอ pepsi ครงถดไปคดเปน 10 % และคนทซอ pepsi จะเปลยนไปซอ coke ครงถดไปคดเปน 20 %

1. ถาคนๆหนงซอ pepsi แลวจะซอ coke ในหนทสองถดจากหนนดวยความนาจะเปนเทาใด

2. ถาคนๆหนงซอ coke แลวจะซอ pepsi ในหนทสามถดจากหนนดวยความนาจะเปนเทาใด

3. วาด diagram แสดงทมาของคำตอบ


แบบฝกหด 9.3.4. จากตวอยาง 9.0.2 หา nstep transition probabilities ดงตอไปน

1. หลงจากลกหนออนสองลกโดนทาสเดยวแลว ความเปนไปไดทจะม state เปน [0 2 0]

2. หลงจากการทาลกหนออนสามครง ความเปนไปไดทจะม state เปน [0 1 1]

Hint:

บทท 10

ทฤษฎของแถวคอย Queuing theory

การรอคอยในแถวเปนกจกรรมททกคนเคยประสบและพบวาเวลาทใชไปเปนจำนวนมหาศาล ในบทนจะพฒนารปแบบทางคณตศาสตรสำหรบแถวคอย หรอคว

การศกษาในบทนจะชวยในการตอบคำถามหลายอยางของระบบแถวคอย เชนในตวอยางตอไปน

1. ผใหบรการ server วางงานในสดสวนเทาใด

2. คาคาดหวงของจำนวนลกคา customer ในแถวคอยเปนเทาใด

3. คาคาดหวงของเวลารอของลกคาในแถวคอยเปนเทาใด

4. การกระจายตวของความนาจะเปน probability distribution ของปรมาณลกคาในแถวคอยเปนเทาใด

5. probability distribution ของเวลารอคอยของลกคาเปนเทาใด

6. ถาผจดการธนาคารตองการใหลกคาทจะใชเวลารอนานกวา 5 นาทมเพยง 1% หรอนอยกวาจากจำนวนของลกคาทงหมด จะตองมพนกงานอยประจำกชองบรการ

ตวอยาง 10.0.1. [6] รานอาหารจานดวน McBurger มชองบรการสามชอง ผจดการ McBurger ตองการปรบปรงการขายใหเรวขน จงทำการศกษาความสมพนธระหวางจำนวนชองบรการและเวลารอคอยของลกคา ไดผลการศกษาดงตารางท 10.1

ตารางท 10.1: ขอมลจากการศกษาความสำพนธระหวางจำนวนชองบรการและเวลารอคอยของลกคาของราน McBurger

จำนวนชองบรการ 1 2 3 4 5 6 7

เวลารอคอยของลกคาโดยเฉลย 16.2 10.3 6.9 4.8 2.9 1.9 1.3

จากขอมลการศกษาดงกลาวจะพบวาเวลารอคอยของลกคาโดยเฉลยเปน 7 นาทเมอมชองบรการสามชอง และลดลงเหลอ 3นาทเมอมชองบรการหาชอง

10.1 องคประกอบของระบบแถวคอยผเลนหลกในระะบบแถวคอยคอลกคา customer และ ผใหบรการ server โดยมลกษณะทตองสงเกตดงน

1. The Input or Arrival Process กระบวนการเขาสระบบ

137

138 บทท 10. ทฤษฎของแถวคอย QUEUING THEORY

2. The Output or Service Process กระบวนการใหบรการ

3. Queue Discipline ลกษณะการใหบรการของแถวคอย

เวลาระหวางการมาของลกคา interarrival time และเวลาการใหบรการ service time มกจะมความไมแนนอน ขนาดของแถวคอย queue size เปนองคประกอบทสำคญของการศกษาระบบ โดยมลกษณะการใหบรการของแถวคอย QueueDiscipline เปนสวนประกอบสำคญในการวเคราะห ลกษณะหลกๆทมไดแก FIFO first in first out LIFO last in first outหรอ SIRO service in random order

10.2 Modeling Arrival and Service ProcessesModeling the Arrival Process รปแบบกระบวนการเขาสระบบ โดยมสมมตฐานวาการเขามาของลกคาเปน

stationary interarrival times โดยลกคาคนท i เขามาในระบบ ณ เวลาท ti (random variable) ระยะเวลาระหวางลกคาสองคนทตดกนใดๆ Ti = ti+1− ti มการกระจายตว distribution ในแบบเดยวกน โดยม random variable เปน A และdensity function เปน a(t) เราจะได

P (A ≤ c) =

∫ c

0

a(t)dt (10.1)

และ

P (A > c) =

∫ ∞

c

a(t)dt (10.2)

ให 1λ

เปน average interarrival time หรอ mean

1

λ=

∫ ∞

0

ta(t)dt (10.3)

λ คอ arrival rate

แบบฝกหด 10.2.1. หนวยของ arrival rate และ mean interarrival time เปนเทาใด

การเขามาของลกคามกจะเปนการสม โดย distribution ทนยมและเหมาสมในการวเคราะหระบบสำหรบ density functionA คอ exponential distribution

ซง exponential distribution with parameter λ ม density function เปน

a(t) = λexp (−λt) (10.4)

มคาเฉลยเปน

E(A) =1

λ(10.5)

10.2. MODELING ARRIVAL AND SERVICE PROCESSES 139

ดงนนในการอธบายระะบบแถวคอยทนยม จงใหการเขามาของลกคามเวลาระหวางลกคาเปน exponential distribution ทมอตรา arrival rate (ของการเขามาของลกคา) เปน λ หรอ mean interarrival time เปน 1

λ

varA =1

λ(10.6)

No Memory Property of the Exponential Distribution

และม memoryless property คอ

P (A > t+ h|A ≥ t) = P (A > h) (10.7)

ซง exponential distribution เปน distribution เดยวทมคณสมบตน

ตวอยาง 10.2.1. P (A > 9|A ≥ 5) = P (A > 7|A ≥ 3) = P (A > 6|A ≥ 2)

= P (A > 4|A ≥ 0) = P (A > 4)

Relation Between Poisson Distribution and Exponential Distribution

ทฤษฎ 10.2.1. Interarrival time are exponential with parameter λ กตอเมอ จำนวนการมาในระบบในชวงเวลา tเปน Poisson distribution with parameter λt

Poisson distribution with parameter λt

P (N = n) =exp (−λ)λn

n!n = 0, 1, 2, 3 (10.8)

ถา N เปน Poisson random variable E(N) = varN = λ

ให Nt เปนจำนวนการมาของลกคาในระยะเวลา t จะไดตามทฤษฎ 10.2.1 วา

P (Nt = n) =exp (−λt)(λt)n

n!n = 0, 1, 2, 3 (10.9)

Nt เปน Poisson distribution with parameter λt

λ คอปรมาณลกคาทเขามาในระบบเฉลยตอหนวยเวลา หรอ arrival rate อตราเขาของลกคา

ตวอยาง 10.2.2. ใหการเขามาในระบบของลกคาธนาคารเปนแบบสม โดยจำนวนการเขามาของลกคาในระยะเวลาหนงๆเปน Poisson distribution ทมพารามเตอรคาเฉลยเปน λ

λ จงเปนอตราการเขามาของลกคาตอหนวยเวลา

จากฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปน probability density function pdf ทมคาเปน

P (x = k) = exp (−λ)(λ)k

k!k = 0, 1, 2, . . .

ถาอตราการเขามาของลกคาเปน 10 คนตอชวโมงจะไดวา คาเฉลยของจำนวนลกคาทเขามาตอชวโมงเปน E(x) = λ =

10 คนตอชวโมง


ความนาจะเปนทจะไมมลกคาเขามาในชวง 15 นาทใดๆ จะหาไดจากการหาอตราการเขามาของลกคาใน 15 นาท =λ15 mins = 10/4 = 2.5

P (no arrival in 15 mins) = exp (−λ15 mins)(λ15 mins)0

0!

= exp (−2.5)2.50

0!=

ตวอยาง 10.2.3. รถเขามาเตมนำมนในสถานใหบรการในแบบสมดวยคาระหวางการเขามาเฉลย 2 นาท

ความนาจะเปนทคาระหวางการเขามาจะนอยกวา 1 นาทหาไดจาก

P (x ≤ A) =∫ A

0λexp (−λx)dx = −exp (−λx)|A0 = a− exp (−λA)

ในทนอตราการเขามาคดเปน λ = 12

ตอนาท แทนคา A = 1 ไดผลการศกษาดงตารางท

P (x ≤ 1) = 1− exp (12) = 0.3934

รปท 10.1: ตย

แบบฝกหด 10.2.2. Beer Orders

ใหจำนวนการสงเบยร(ขวด) เปนไปตาม Poisson distribution โดยมคาเฉลย 30 แกวตอชวโมง

1. หาความนาจะเปนทลกคาจะสงเบยรจำนวน 30 ขวดพอด ระหวาง 4 ทมถงเทยงคน

วธทำ parameter = 2*30

ความนาจะเปนทลกคาจะสงเบยรจำนวน 30 ขวดพอด ระหวาง 4 ทมถงเทยงคน คดเปน exp (−60)6060

60!�

2. หาคาเฉลย และ standard deviation ของจำนวนการสงระหวาง 3 ทมถงต 1

วธทำ λ = 30, t = 4 hours ใหคาเฉลย = 4(30) = 120 ขวด คา standard deviation เปน 12012 = 10.95

�


3. หาความนาจะเปนทเวลาระหวางการสงเบยรสองแกวอยระหวาง 1 ถง 3 นาท

วธทำ

ให X เปนเวลาระหวางการสง เบยรสองขวดในหนวยนาท คา เฉลยของปรมาณการสง เปน exponential withparameter (หรอ rate) 30

60= 0.5 ขวดตอนาท

probability density function ของเวลาการสงระหวางเบยรสองขวดเปน 0.5exp (−0.5t) ดงนน

P (1 ≤ X ≤ 3) =

∫ 3

1

0.5exp (−0.5t)dt = exp (−0.5)− exp (−1.5) = .38 (10.10)

�

แบบฝกหด 10.2.3. ใหเวลาระหวารถบสสองคนเปนไปตาม mass function ในตารางดงตอไปนเวลาระหวางคน ความนาจะเปน30 นาท 1

4

1 ชวโมง 14

2 ชวโมง 12

เวลาเฉลยในการรรอคอยเปนเทาใด

10.3 แบบฝกหด88.(a) Explain your understanding of the relationship between the arrival rate l and the average interarrivaltime. What are the units describing each parameter?(b) In each of the following cases, determine the average arrival rate per hour, l, and the average interarrivaltime in hours.*(i) One arrival occurs every 20 minutes.(ii) Two arrivals occur every 6 minutes.(iii) Number of arrivals in a 30minute period is 10.(iv) The average interval between successive arrivals is .5 hour.(c) In each of the following cases, determine the average service rate per hour, m, and the average servicetime in hours.*(i) One service is completed every 15 minutes.(ii) Two departures occur every 15 minutes.(iii) Number of customers served in a 30minute period is 5.(iv) The average service time is .3 hour.189. In Example 18.31, determine the following:(a) The average number of failures per day, assuming the service is offered 24 hours a day, 7 days a week.(b) The probability of at least one failure in a 3hour period.(c) The probability that the next failure will not occur within 4 hours.(d) If no failure has occurred 3 hours after the last failure, what is the probability that interfailure time is


at least 5 hours?1810. The time between arrivals at the State Revenue Office is exponential with mean value .04 hour.The office opens at 8:00 a.m.*(a) Write the exponential distribution that describes the interarrival time.*(b) Find the probability that no customers will arrive at the office by 8:15 a.m.(c) It is now 8:35 a.m. The last customer entered the office at 8:26. What is the probability that the nextcustomer will arrive before 8:38 a.m.? That the next customer will not arrive by 8:40 a.m.?(d) What is the average number of arriving customers between 8:10 and 8:45 a.m.? 1811. Suppose thatthe time between breakdowns for a machine is exponential with mean 5 hours. If the machine has workedwithout failure during the last 4 hours, what is the probability that it will continue without failure duringthe next 2 hours? That it will break down during the next hour?1812. The time between arrivals at the game room in the student union is exponential, with mean 10minutes.(a) What is the arrival rate per hour?(b) What is the probability that no students will arrive at the game room during the next 15 minutes?(c) What is the probability that at least one student will visit the game room during the next 20 minutes?1813. The manager of a new fastfood restaurant wants to quantify the arrival process of customers byestimating the fraction of interarrival time intervals that will be (a) less than 1 minutes, (b) between 1 and2 minutes, and (c) more than 2 minutes. Arrivals in similar restaurants occur at the rate of 20 customersper hour. The interarrival time is exponentially distributed.

*1814. Ann and Jim, two employees in a fastfood restaurant, play the following game while waiting forcustomers to arrive: Jim pays Ann 2 cents if the next customer does not arrive within 1 minute; otherwise,Ann pays Jim 2 cents. Determine Jim’s average payoff in an 8hr period. The interarrival time is exponentialwith mean 1.5 minute.

1815. Suppose that in Problem 1814 the rules of the game are such that Jim pays Ann 2 cents if thenext customer arrives after 1.5 minutes, and Ann pays Jim an equal amount if the next arrival is within1 minute. For arrivals within the range 1 to 1.5 minutes, the game is a draw. Determine Jim’s expectedpayoff in an 8hr period.

1816. In Problem 1814, suppose that Ann pays Jim 2 cents if the next arrival occurs within 1 minuteand 3 cents if the interarrival time is between 1 and 1.5 minutes. Ann receives from Jim 5 cents if theinterarrival time is between 1.5 and 2 minutes and 6 cents if it is larger than 2 minutes. Determine Ann’sexpected payoff in an 8hour period.

*1817. A customer arriving at a McBurger fastfood restaurant within 4 minutes of the immediatelypreceding customer will receive a 10% discount. If the interarrival time is between 4 and 5 minutes,the discount is 6%. If the interarrival time is longer than 5 minutes, the customer gets 2% discount. Theinterarrival time is exponential with mean 6 minutes.(a) Determine the probability that an arriving customer will receive the 10% discount.(b) Determine the average discount per arriving customer.

1818. The time between failures of a Kencore refrigerator is known to be exponential with mean value


9000 hrs (about 1 year of operation), and the company issues a 1year warranty on the refrigerator. Whatare the chances that a breakdown repair will be covered by the warranty?

1819. The U of A runs two bus lines on campus: red and green. The red line serves north campus,and the green line serves south campus with a transfer station linking the two lines. Green buses arriverandomly (exponential interarrival time) at the transfer station every 10 minutes. Red buses also arriverandomly every 7 minutes.(a) What is the probability distribution of the waiting time for a student arriving on the red line to get onthe green line?(b) What is the probability distribution of the waiting time for a student arriving on the green line to get onthe red line?

1820. Prove that the mean and standard deviation of the exponential distribution are equal.

บทท 11

การใชแบบจำลองสถานการณเพอการตดสนใจ

Application of simulation model for decision making [6]

11.1 Monte Carlo SiMulationแบบจำลองสถานการณทนยมใชคอ Monte Carlo experiment โดยเปนการทดลองทเนนการสมตวอยาง เชนในการประมาณคา integrate การประมาณคา π(= 3.14159) หรอการหาเมตรกซผกผน

ตวอยาง 11.1.1. จงใช Monte Carlo sampling ในการประมาณคาของพนทวงกลม:

(x− 1)2 + (y − 2)2 = 25 (11.1)

ทมรสม 5 ซม. และมจดศนยกลางท (x, y) = (1, 2).

step 1: วาดรปวงกลมตามรปท 11.1

รปท 11.1: กราฟของ (11.1) ในปญหาตวอยางท 11.1.1

145

146 บทท 11. การใชแบบจำลองสถานการณเพอการตดสนใจ

ตารางท 11.1: เลขสมระหวาง 0 ถง 1 เพอใชในการจำลองสถานการณ

เลขสมระหวาง 0 ถง 1

.0589 .3529 .5869 .3455 .7900 .6307

.6733 .3646 .1281 .4871 .7698 .2346

.4799 .7676 .2867 .8111 .2871 .4220

.9486 .8931 .8216 .8912 .9534 .6991

.6139 .3919 .8261 .4291 .1394 .9745

.5933 .7876 .3866 .2302 .9025 .3428

.9341 .5199 .7125 .5954 .1605 .6037

.1782 .6358 .2108 .5423 .3567 .2569

.3473 .7472 .3575 .4208 .3070 .0546

.5644 .8954 .2926 .6975 .5513 .0305

จากรปกราฟสเหลยมทได เลขสมจะถกนำไปสรางเปนจดๆหนงในพนทสเหลยมนน ซงจะไดเปนจดสม เมอมจดสมในพนทสเหลยมในปรมาณเหมาะสม (มากพอสมควรตามขอสงเกตดานลาง) การวเคราะหประมาณพนทวงกลมสามารถหาไดจากพนทสเหลยม คณดวย อตราสวนปรมาณจดในวงกลม หารดวยปรมาณจดทงหมด ตามสตรดงน

พนทวงกลม ≈ พนทสเหลยม × ปรมาณจดในวงกลมปรมาณจดทงหมด

(11.2)

การนำเลขสมไปสรางเปนจดในพนทสเหลยมสามารถทำไดโดยนำเลขสมสองตว (x, y) ไปสรางคอนดบ (f1(x), f2(y))

โดยขยายระยะความยาว 1 (เลขสมระหวาง 0 ถง 1) ใหเปนระยะความยาวเทากบความกวาง(แนวนอนแนวแกน x) ของรปสเหลยม ดวยการคณเลขสมตวแรกดวยระยะความกวางน จากนนบวกกบจด x0 แรกของสเหลยม จะไดสตร

f1(x) = x0 + ความกวางแนวนอนของรปสเหลยม × x (11.3)

ตวอยางเชน ในรปท 11.1 จะไดวา

เมอ x0 = −4 และ ความกวางแนวนอนของรปสเหลยม = 10

f1(x) = −4 + 10× x (11.4)

จากนนทำเชนเดยวกนกบแนวตง (แกน y)

แบบฝกหด 11.1.1. จงแสดงวาคอลมนแรกตามตารางท 11.1 สามารถนำไปสรางจดในพนทสเหลยมตามรปท 11.1 ได 5จดดงตอไปนคอ(3.411,3.733), (.799,6.486),(2.139,2.933),(5.341,1.218), และ (.527,2.644)แลวแสดงใหเหนวาจดทอยในวงกลมคอจดดงตอไปน(3.411,3.733), (.799,6.486),(2.139,2.933), และ (.527,2.644)

11.1. MONTE CARLO SIMULATION 147

ทำใหจากทงหมด 5 จด ม จดอยในวงกลม 4 จด

จงประมาณจากการทำ Monte Carlo simulation นไดวาพนทวงกลมคดเปนประมาณ ≈ 10× 10× 45= 90 หนวย


ขอสงเกต

1. เพมขนาดตวอยาง n เพอลดขนาดของ variance

2. ใชการทำซำ N รอบ

คำถาม

1. ขนาดของ n ควรเปนเทาไหร

2. ตองทำซำ N เทาไหร

จากขอสงเกตและคำถามดงกลาว การเพม n และ N จะทำใหขอบเขตทมนใจของคาพนทมความแคบขน (คาจรงทอยในชวงทแคบลงกคอการประมาณการนนดขน) ดวยคำอธบายดงตอไปน

ให A และ s เปนคา mean และ variance ของการทำซำ N รอบ ให α เปนคาระดบความมนใจ confidence level จะไดวาคาชวงความมนใจของพนทจรงของ A คดเปน

A− s√Ntα

2,N−1 ≤ A ≤ A+

s√Ntα

2,N−1 (11.5)

คาพารามเตอร tα2,N−1 หาจากตาราง tdistribution B1 เมอ ใหคาความมนใจ α และ องศาความอสระ degree of

freedom N − 1

11.2 แบบฝกหดแบบฝกหดท 11.2.1 ถง 11.2.6 สำหรบบทยอยท 11.1

แบบฝกหด 11.2.1. ใหสมการวงกลมเปนดงน

(x− 4)2 + (y + 3)2 = 25

จงหาคาฟงกชนการกระจายตว f(x) และ f(y) และแสดงการหาคาตวอยาง (x, y) โดยใชเลขสม (R1, R2) ทสมจากชวง(0, 1)

แบบฝกหด 11.2.2. ใชการสมตวอยางแบบ Monte Carlo เพอประมาณพนทของทะเลสาบในรปท 11.2 โดยใชเลขสมตามตารางท 11.1

รปท 11.2: ปญหาท 11.2.2


แบบฝกหด 11.2.3. พจารณาเกมทม เจนและจม เปนผเลนสองคน โดยผลดกนโยนเหรยญ ถาออกหว จมจะได $10 จากเจนไมฉนน เจนจะได $10 จากจม

1. จะจำลองสถานการณของเกมนดวยการทดลองแบบ Monte Carlo ไดอยางไร

2. ทำการทดลองซำ 5 รอบ โดยทอยเหรยญรอบละ 10 ครง โดยใชเลขสม 5 คอลมนแรกตามตารางท 11.1 ใชแตละคอลมนกบการจำลองซำ 1 รอบ

3. หาชวงความมนใจท 95% ของการชนะของเจน

4. เปรยบเทยบชวงความมนใจในขอ 3 กบคาคาดหวงทเจนจะชนะในทางทฤษฎ

แบบฝกหด 11.2.4. พจารณาการหาปฏพนธดงตอไปน ∫ 1

0

x4dx

1. พฒนาการทดลอง Monte Carlo เพอประมาณคาของปฏพนธน

2. โดยใชเลขสม 5 คอลมนแรกตามตารางท 11.1 เพอหาคาของปฏพนธนจากการทำซำ 4 รอบ รอบละ 5 ตว คำนวณหาชวงความมนใจ 95% แลวเทยบกบคาของปฏพนธจรง

แบบฝกหด 11.2.5. จำลองสถานการณของผลแพชนะในการเลนเกมปดงตอไปน ผเลนทอยลกเตา 2 ลก ถาได 7 หรอ 11จะได $10 นอกนนใหบนทกผลแลวทอยลกเตาจนกวาจะไดผลทบนทกนน แลวรบ $10 แตถาทอยได 7 กอนจะไดผลทบนทกจะเสย $10

แบบฝกหด 11.2.6. lead time ในการรบ order เปน 1 หรอ 2 วนดวยความนาจะเปนทเทากน demand ตอวนมคาเปน0, 1 หรอ 2 ดวยความนาจะเปน .2, .7 และ .1 ตามลำดบ

ใชเลขสมตามตารางท 11.1 โดยเรมจากคอลมนแรกเพอประมาณคาการแจกแจงรวม ของ demand และ lead time จากการแจกแจงรวม ประมาณ pdf ของ demand during ในระยะเวลา lead time (Hint: demand ในระยะเวลา lead timeมคาเปนจำนวนเตมระหวาง 0 ถง 4

Appendices

A1 Revised Simplex Methodวธการ Revised Simplex คอการทำวธซมเพลกในรปแบบเมตรกซ ซงเปนวธทคอมพวเตอรใชในการคำนวน และทำใหกระบวนการแกปญหากำหนดการเชงเสนสามารถรองรบปญหาใหญๆไดและทำไดดวยเวลาทรวดเรวขน

Assuming the LP has m constraints and n variables,

ตวอยาง A1.1. [7] บรษท Giapetto’s Woodcarving ผลตของเลนไมสองอยางคอหนทหารและรถไฟ หนทหารขายในราคา 27 ดอลลาร ตอชนและใชวตถดบ 10 ดอลลาร การผลตหนแตละตวเพมตนทนแปรผนและ overhead 14 ดอลลารรถไฟขายในราคา 21 ดอลลารตอชนและใชวตถดบ 9 ดอลลาร การรถไฟแตละอนเพมตนทนแปรผนและ overhead 10ดอลลาร การผลตหนทหารและรถไฟใชแรงงานสองประเภทคอชางไมและชางตกแตง หนทหารแตละตวใชการตกแตง 2ชวโมง และแรงงานชางไม 1 ชวโมง รถไฟแตละตวใชการตกแตง 1 ชวโมง และแรงงานชางไม 1 ชวโมง ในแตละสปดาหบรษท Giapetto’s Woodcarving สามารถหาวตถดบไดอยางเพยงพอ แตมแรงงานตกแตง 100 ชวโมงและแรงงานชางไม80 ชวโมง รถไฟม demand ไมจำกดแตหนทหารขายไดไมเกน 40 ตวตอสปดาห บรษท Giapetto’s Woodcarving ตองการไดกำไรตอสปดาหทสงทสด (รายไดตนทน) จงเขยนกำหนดการเชงเสนแลวหาจำนวนการผลตทไดกำไรทสงสดโดย revisedsimplex methodวธทำ เรยบเรยงใหมเพอทำโมเดลทางคณตศาสตรดงน

1. หนทหารขายไดกำไรตวละ 3 ดอลลาร และ รถไฟขายไดกำไรตวละ 2 ดอลลาร

2. หนทหารแตละตวใชการตกแตง 2 ชวโมง รถไฟแตละตวใชการตกแตง 1 ชวโมง แตบรษทมแรงงานตกแตง 100 ชวโมง

3. หนทหารใชแรงงานชางไม 1 ชวโมง และรถไฟชางไม 1 ชวโมง แตบรษทมแรงงานชางไม 80 ชวโมง

4. หนทหารขายไดไมเกน 40 ตวตอสปดาห


ตารางท A.1: ขอมลปญหา Giapetto’s Woodcarving

กำไรตอตว งานตกแตง งานไม ขอจำกดหนทหาร $3 2 ชม 1 ชม demand ≤ 40

รถไฟ $2 1 ชม 1 ชมขอจำกด/ความตองการ max ≤ 100 ชม ≤ 80 ชม

เราสามารถกำหนดให x1 แทนจำนวนการผลตหนทหาร x2 แทนจำนวนการผลตหนรถไฟ ขอมลจากตาราง A.1 เราตองการmax 3x1 + 2x2 โดยทงานตกแตงและงานไมเปนไปตามขอกำหนด คอ 2x1 + x2 ≤ 100 และ x1 + x2 ≤ 80 สวน

151

152 ภาคผนวก A. APPENDICES

demand ของหนทหาร คอ x1 ≤ 40 รวมกนทงหมดเปน แบบจำลองทางคณตศาสตร ดงน

max z = 3x1 + 2x2 (ตองการกำไรสงทสด) (A.1a)s.t. 2x1 + x2 ≤ 100 (งานตกแตง) (A.1b)

x1 + x2 ≤ 80 (งานไม) (A.1c)x1 ≤ 40 (demand ของหนทหาร) (A.1d)

x1, x2 ≥ 0

เราจะนำแบบจำลองทางคณตศาสตร นไปเขยนกราฟ ได ดงตอไปน

พจารณา feasible region ในกราฟ A.1 ทไดจากขอจำกดของปญหาโดยการเขยนกราฟจาก constraints ดงตอไปน

รปท A.1: กราฟแสดง feasible region ของปญหา A1.1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

จากกำหนดการเชงเสนในรป matrix

max z = c′x

s.t. Ax ≤ b

x ≥ 0

โดยท c =[3

2

], x =

[x1

x2

], A =

2 1

1 1

1 0

, b =

1008040

A1. REVISED SIMPLEX METHOD 153

เราสามารถเพม variables เพอใหเปนสมการไดดงน

max z = c′BxB + c′NxN (A.3a)s.t. BxB +NxN = b (A.3b)xN , xB ≥ 0

จาก A.3b,

xB +B−1NxN = B−1b (A.4)

ดงนน

xB = B−1b−B−1NxN (A.5)

แทน A.5 ใน A.3a จะได

z = cB(B−1b−B−1NxN) + cNXN (A.6a)

= cBB−1b+ (cN − cBB

−1NxN)XN (A.6b)

เราได reduced cost เปนrD := cN − cBB

−1NxN (A.7)

max z = 3x1 +2x2 (A.8a)s.t. 2x1 +x2 + x3 = 100 (A.8b)

x1 +x2 +x4 = 80 (A.8c)x1 + x5 = 40 (A.8d)x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

1. Iteration 1 เรมจาก BV = x3, x4, x5, and NBV = x1, x2 เพราะทำใหเราได feasible solution เสมอ(ในปญหาลกษณะน)เราได x =

[0 0 100 80 40

]ตามกราฟ A.2


cB =[0 0 0

], cN =

[3 2

]

, B =

1 0 0

0 1 0

0 0 1


รปท A.2: กราฟแสดง feasible region ของปญหา 2.1.1 และ basic feasible solution x

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

, N =

2 1

1 1

1 0

, b =

1008040

จาก (A.7)

rD := cN − cBB−1NxN =

[3 2

](A.9a)

เราเลอก first indexed variable ทมคา reduced cost มากกวา 0 ในทนคอ x1

กฎ A1.1. Blande's rule of choosing an entering variablefirst indexed variable ทมคา reduced cost มากกวา 0

เราเลอก leaving variable จาก ratio test

กฎ A1.2. เราเลอก leaving variable จาก ratio test โดยเลอก ratio บวกทมคานอยทสดจาก (A.5)

xB = B−1b−B−1NxN ≥ 0 (A.10a)

B−1b ≥ B−1NxN (A.11)

mini(B−1b)i/(B

−1NxN)i (A.12)


โดย xN คอ index ของ entering variable คอ x1 ใน iteration นเนองจาก B เปน identity matrix เราจงได

B−1b = b =

1008040

(A.13)

B−1NxN = NxN =

211

(A.14)

mini(B−1b)i/(B

−1NxN)i = mini{50, 80, 40} = 3 (A.15)

ดงนน x5 จงเปน leaving variable

2. Iteration 2

BV = x1, x3, x4, and NBV = x2, x5

เราได x =[40 0 20 40 0




−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

cB =[3 0 0

],

cN =[2 0

],


B =

2 1 0

1 0 1

1 0 0

,

N =

1 0

1 0

0 1

rD =

[2 −3

](A.16)

ดงนนเราจะไดวา x2 เปน entering variable

จาก ratio test

B−1b =

1002040

(A.17)

B−1NxN =

011

(A.18)

เราไดวา x3 เปน leaving variable

3. Iteration 3

BV = x1, x2, x4, and NBV = x3, x5

เราได x =[40 20 0 20 0



cB =[3 2 0

],

cN =[0 0

],

B =

2 1 0

1 1 1

1 0 0

,

N =

1 0

0 0

0 1

rD =

[−2 1

](A.19)

ดงนนเราจะไดวา x5 เปน entering variable



−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

จาก ratio test

B−1b =

402020

(A.20)

B−1NxN =

1

−2

1

(A.21)

เราไดวา x4 เปน leaving variable

4. Iteration 4

BV = x1, x2, x5, and NBV = x3, x4

เราได x =[20 60 0 0 20



cB =[3 2 0

],

cN =[0 0

],

B =

2 1 0

1 1 0

1 0 1

,

N =

1 0

0 1

0 0



−2 −1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x2 (x 10 ตว)

x1 (x 10 ตว)

rD =[−1 −1

](A.22)

ดงนนจงไมม entering variable คำตอบปจจบน optimized แลว

x∗ =[20 60 0 0 20

]และ z∗ = 180 นนคอการผลตหนทหาร 20 ตว รถไฟ 60 ตวตอสปดาห จะสงผล

ใหไดกำไรสงสดท 180 ดอลลารตอสปดาห

�

A2 Second appendix

More appendices

B1 คาทางสถตSTUDENT'S t PERCENTAGE POINTS

ν 60.0% 66.7% 75.0% 80.0% 87.5% 90.0% 95.0% 97.5% 99.0% 99.5% 99.9%

1 0.325 0.577 1.000 1.376 2.414 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.312 0.289 0.500 0.816 1.061 1.604 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.3273 0.277 0.476 0.765 0.978 1.423 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.2154 0.271 0.464 0.741 0.941 1.344 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.1735 0.267 0.457 0.727 0.920 1.301 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.8936 0.265 0.453 0.718 0.906 1.273 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.2087 0.263 0.449 0.711 0.896 1.254 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.7858 0.262 0.447 0.706 0.889 1.240 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.5019 0.261 0.445 0.703 0.883 1.230 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297

10 0.260 0.444 0.700 0.879 1.221 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.14411 0.260 0.443 0.697 0.876 1.214 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.02512 0.259 0.442 0.695 0.873 1.209 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.93013 0.259 0.441 0.694 0.870 1.204 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.85214 0.258 0.440 0.692 0.868 1.200 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.78715 0.258 0.439 0.691 0.866 1.197 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.73316 0.258 0.439 0.690 0.865 1.194 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.68617 0.257 0.438 0.689 0.863 1.191 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.64618 0.257 0.438 0.688 0.862 1.189 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.61019 0.257 0.438 0.688 0.861 1.187 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.57920 0.257 0.437 0.687 0.860 1.185 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.55221 0.257 0.437 0.686 0.859 1.183 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.52722 0.256 0.437 0.686 0.858 1.182 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.50523 0.256 0.436 0.685 0.858 1.180 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.48524 0.256 0.436 0.685 0.857 1.179 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.46725 0.256 0.436 0.684 0.856 1.178 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450∞ 0.253 0.431 0.674 0.842 1.150 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090

159

160 ภาคผนวก B. MORE APPENDICES

B2 Second appendix

บรรณานกรม

[1] ภทรพงษ ภาคภม. โปรแกรมโลจสตกสเบองตน. 2019.

[2] Saul I Gass and Arjang A Assad. An annotated timeline of operations research: An informal history,volume 75. Springer Science & Business Media, 2005.

[3] Frederick S. Hillier and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. McGrawHill, NewYork, NY, USA, tenth edition, 2015.

[4] Sheldon Ross. A First Course in Probability 8th Edition. Pearson, 2009.

[5] Thomas L Satty et al. The analytic hierarchy process, 1980.

[6] Hamdy A Taha. Operations Research An Introduction. © Pearson Education Limited 2017, 2017.

[7] Wayne L Winston and Jeffrey B Goldberg. Operations research: applications and algorithms, volume 3.Thomson Brooks/Cole Belmont, 2004.

161

การวิจัยการดำเนินงานสำหรับวิศวกรpirun.ku.ac.th/~fengpppa/02206232/orbook.pdf ·...

Documents