sugli zeri dei polinomi sferici ed ultrasferici

S u g l i z e r i d e i p o l i n o m i s f er i c i e d u l t r a s f e r i c i .

~ o t a di ~ C E S C O ~ . TR~COm (a Pasadena , Calif.).

Bunts. - Semplificazione di risultati reeentemente ottenuti da L. GATTESCI-II sull'argomento.

1. In un lavoro in questi stessi Annal i (~) feci recentemente vedere come da uno sviluppo asintotico di uua eerta funzione possano dedursi aualoghi sviluppi pei suoi zeri, e n e feci alcune applicazioni alle funzioni di BESSEL, alle funzioni ipergeometriche confluenti (~) e ai polinomi sferici di LEGEI¢DRE.

Ul t imamente L. G ~ . ~ s c ~ I (~) ha ripreso in esame ques t 'u l t ima applica. zione estendendola al caso dei polinomi ultrasferici ~,P(Z), nonchb portandovi l 'essenziale complemento di assegnare, sotto certe condizioni, un confine supe- riore del l 'errore commettibile calcolando gli zeri di P~) con la relativa formula asintotica. Precisamente GATTESCHI mostra che se si indiea con 0,. l ' r -esimo zero di ~_,,PV')tcos0)~ nell' intervano (0, ~), sotto certe condizioni di cui pifl sotto, si ha

(~)

dove

k(1 - - k)(n -¢- ), + 3) 2) eotg ~,. + p(n, k} o,. = ~,. + ~(~ 4- ~)(~ + ~ + 1)(n + ~ +

2r + ), - - 1 23.7 -~- 8.7C(),,9) (~) ~, . - - I p(n, ~)I < 2(n + k) ~ ' 24(n + k) ~

essendo in generale

(3) o(~, m ) = (tz - Y W ' < ~

) tg ~ ~, ~ k < 1

(m = 1, 2, 3, ...).

(i) Sugli zeri delle funzioni di cui si eonosce u~a rappresentazione asintotica, t. (1) 26 (194.8), tap. ~83.300.

(e) Colgo l 'oecasione per a v v e r t i r e ehe il mio r isut tato sugli zer i del le funzioni eonfluent i t rovavas i g i ~ i n HER~L SC~mDT, Ueber Existenz und Dctrstelhtng impliziter Funktionen bei singularen Anfangs~verten, ~ Math. Zeitsehr. ~, 48 (t938). pp. 533.552 (% form. (15) a p. 5~1) dove era utato ot tenuto con un metodo non pr ivo di pun t i di contatto col mio.

(3) Una for~nula asintotica per l'approssimazione degli zeri dei polinomi di Legendre, , Boll. Un ione Mat. I tal . ~), (3) ~ (19~9), pp. 240-250 e Approssimazione asintotica degli zeri dei l~olinomi ~ltrasferici, ¢ Rend. ~Iat. e App1. l~oma 'b (5) 8 (19~9)~ pp. 399411.

9~ F. G. 'T~.icoMi: Sug'li zer4 dei pal~tnomi sfer~ci etI u l2rasfe:rici

Quanto alle condizioni, altre 1' implicita condi~ione 0 ~ k ~ 1 e la limi- tazione

(dove le parentesi quadre denotano la parte intera del numero tra di esse) per l' indice r dello zero t he si considera, dev ~ essere n ~_ 10 e devono essere soddisfatte le tre disuguaglianze :

(A) 28.6 ÷ 65.7C()., 9) ~tl - - ).)7: 27(n -t- ).)~ < (n --b- ~ + 1) (n ÷ ). -I- 1/2)

V3+C(),, 1) 9V3 -+- (11 + V3)¢(),, 3) (B) 4(n -t- k} -I- 32(n -~- ).)~ < (1 -t- ~)7:

75 k(1 - - ).)= (C) 2'(n + ;~)3 < (n -t- )~ -~- 1)(n + ). + 1/2t}"

2. Come si vede, il risultato di GAT~ESC:gI ~ semplice ed elegante m a l e condizioni (A), (B) e (C) sono uu po' complicate e cib mi faceva molto esitare se accoglierlo o meno nella breve monografia sui polinomi ortogonali che sto a t tualmente compiiando pel B a t e ~ n Manuscript Project ('). Mi sono per- cib chiesto se tali condizioni non potessero eventualmente venir poste sotto una forma pifi semplice, accorgendomi cosi anzitutto the le condizioni (A) e (C) potevano fondersi nell ' unica

(5) v ~ - A(v + 1)(v + 1/~) > 0 ponendo

. /2s.6 + 6 5 . w ( ~ , 9) 75 ) (6) . + ~ = ~ , A = l , l ~ x [ ~ - - U ~ ' ~ ( 1 ~ ) ~ .

Meglio ancora, considerato t he il primo membro della (5) ~ (per v positivo) una funzione crescente f(v) che parte dal valore negativo - - A / 2 per v - - 0 per giungere a + oc per v - - + c~ e che inoltre i~

f ( A , = - - ~ A ( 3 A - ~ - I , . ~ O , f ( A + ~ ) = I ( A - ~ - ~ ) > O ,

ci si accorge c h e l a condizione (5) equivale a imporre the debba essere v ~ v 0 dove v0: l ' un i ca radice positiva del l 'equazione cubica f{v)=-0, ~ un certo numero compreso fra A ed A -+- 1/2. Conseguentemente le condizioni (A) e (C) possono, con lieve scapito di generalit/~, sostituirsi con la ben pifl semplice

condizione 1

(7) n ~ A + ~ -- ),

dove A ~ dato dalla seconda delle (6).

(~) Un'iniziativa del California Institute of TechnoZogy finanziata dall' Office of Naval Research degli U. S. A.

° F. G. Tr~ICOMI: Sugli ~e'~i dei pob owm, sfe,ri, oi ed ultra¢ferici 95

Resta la condizione (B) che ponendo

(8) V3 + c0,, 1} 9V3 + (11 + v~)c(x, 3) _ B' 8(1 + ),)7: = B, 32(1 + ~)~ - - - -

assume la forma v 2 - 2 B y - B' < 0

ed equivale quindi (per v positive) a porre

v ~ B + V B ~ + B ' eio~ :

(9) n > B* - - )`, B* == B + V~- + B'.

In conclusione, supposto 0 < X < 1 e soddisfatta la limitazione (4) per 1' indiee r dello zero ehe si considera, le formule {t)-(2) risultano valide sotto la sola condizione n > no(),) essendo no(),) it pii~ grande fra i ire numeri

1 10, A + 2 - )`' B*- - )`,

con 1' osservazione c h e s e non ~ no(X)~ B* ~ ), si pub porte anche n = no(), ). He volute calcolare numer icamente ng(),) per alcuni valori di )` trovando

i risultati seguenti

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

A -4- 1/2 - - ~ 28.94.10 ~ 336.66 5.996 7.071 16.179

B* - - ~ 5.60 0.745 0.004 - - 0.522 - - 0.757

no(), ) 28.94.10 ~ 336.66 10 10 16.179

Da questa rubella si vede ehe ~ sempre B * - - ~ < A-0- 1 /2 - - ) , clog ehe la condizione (B) ~ assorbiia dalla (7). Si vede inoltre facilmente che per

0.41 ~ )` ~ 0.8

le formule (1)-(2) sono cer tamente valide per n ~ 10, supposto beninteso ehe l ' indiee r dello zero che si eonsidera soddisfi alia condizione (4).

3. Se, r inunciando alla limitazione del l 'errore , si vuole solo un 'espres . sione asintotiea (per n ~ ~:~) degli zeri di P(~)(x) la formula (1) pub essere notevolmente semplifiea~a. Infatt i si ha

n-t- k + 3 1 ( : 3 ) ( ~)-~( X : I ) - ' ( ) , + 2 ) - ' (n .+_)~} (n+) ,+ l } (n+) `+2 i~ - 1+ )' 14- 1 + 14- =

111 ), + 3 - - ) ` - - (X + 1)--.()` + 2t ] 1(1 2~) = ~ + n + o ( n -'~) = ~ - - ~ + o ( n - ' )

96 F. G. TRIeoMT: Sug!i ze~i dei patinomi sfer~ci ed ul, tra,,vfcrici

e conseguen temen te , essendo al t resi ~ ~ O(n -4) possiamo scr ivere che

k ( 1 - ~)(1 ~-)cotg ~ + 0(n-4). (10) O,. ~ ~,. + 2n~.~ - -

Cor r i spondentemente , ponendo

COS 0 ; , " - - Xr, c o s 0",, ~ X, , (11)

si ha pure 2~

(12) X,. ~- [1 k ( 1 - k ) ( 1 2 n , z - - n ) ! X , . ÷ O(n-4).

Queste fo rmule valgono non solo per gli r soddisfacent i alla condizione (4) ma, pifi gene ra lmen te , sempre che I t - - n / 2 I t e s t a l imi ta to al c rescere di n, come p. es. succede se - - n u m e r a n d o gli zeri dal cenlro invece ehe dall ' e s t remo di des t ra - - si f iene fisso 1' indice al c rescere di n.

I n par t i eo la re per i - ---1/2 (easo dei pol inomi di LEGE~DRE) la (12) forn isce

[ 1 ( i - - 1 ) l x " + O ( n - * ) ' ( ) ' - - 2 ) (13) X,. == [1 - -

e cib sempl i f ica e re t t i f ica nel tempo stesso la fo rmula (44) del mio lavoro cir. (~) in cui e ra incorsa u n a svista (oppor tunamen te nota ta dat GA~T]~SC]tI) dovuta al fatto ehe, nell ' e segui re i re la t ivi calcoli avevo sbagliato il segno del la quan t i th colh deno ta ta con w:.

4. L ' e s t r e m a semplicith, delle fo rmule p receden t i fa sorgere l ' idea di cal. eolare il successivo t e rmine di esse, ma qui le cose si compl icano un pochino.

P ree i s amen te , se rvendos i del le stesse notazioni usa te nel mio tavoro ci- tato (l), si t rova sucees s ivamen te che

Go~ = ( - - t)"+~ 37' v3 G~ = (--21)~ )41 - - ~)n(v - - 1) eo~ , ~ ,

G~, ( - - 1)"*' i(1 -- 3,)(), q- 1)(2 - - ;~) ~ - f cos 2G,

G~0 - - (--3!1)")ql - - k)(), 4- 1)(k + 2)(2 - - X)(3 - - Z)( v - - 1)(v - - 2)(v - - 3)

~V o - -

cos 3G, ;

X {1 --- X) ),(1 - - ),)n~(n + 2), -- )3) sin 2G. v ( v - 1) n c o s @,., +v, = - - v~(v - - i ) ( v - - 2)

),(1 - - ),)()~ -+- 2)(X + 3) cos 3G. + O(n-~), w~ --~ 3n

w0 wo [1 ).(1 - - k) ] 2n sin 0,. - - 2n sin ~,. 2n. ~ cotg ~ G- "~" O(n- ~);

F. G. TRIcom: Sug'li ze~ dei pa~vmi sfar~ci ed u~traafe~ci 97

e r isutta cosi che

(14 ) (9 , . -~ , .+ 2n ~ i l - - n + ] ~ 2).(]9:(+1)-- ~ n ~ , . t cotg~, .+O(n-~) .

A questa formula potrebbe darsi, volendo, una forma analoga alla (12)ma qui la cosa ~ meno conveniente.

In partieolare nel caso dei polinomi di LEGENDI~E (), : 1/2) si ha

1 1)1 (15) 0,. --- ~,. -F 8n ~ 1 - - - n ÷ ~ 34 si ~i. eotg ~,. -I- O(n-5).

Fra l 'a l t ro queste formule pifi generali pongono bene in luce c h e l a condizione essenziale per la validit'h delle formule asintotiche del § 3 ~ che, al divergere di n, il comportamento del l ' indice r sia tale che l 'angolo 8,. definito dalla prima delle (2) non si avvicini mai n~ a 0 n~ a ~:.

Anna~i di Matematicc~ 13