Professor: Carlos Alberto de Albuquerque

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Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

AULA

ONZE

DERIVADAS LATERAIS

Definição: Se a função y = f(x) está definida em

x1, então a derivada à direita de f em x1,

denotada por

caso este limite exista.

1

111

01

'

1

'

1

limlim

:

xx

xfxf

x

xfxxfxf

pordefinidaéxf

xxx

DERIVADAS LATERAIS

Definição: Se a função y = f(x) está definida em

x1, então a derivada à esquerda de f em x1,

denotada por

caso este limite exista.

1

111

01

'

1

'

1

limlim

:

xx

xfxf

x

xfxxfxf

pordefinidaéxf

xxx

DERIVADAS LATERAIS

Uma função é derivável em um ponto, quando

as derivadas à direita e à esquerda nesse

ponto existem e são iguais.

Quando as derivadas laterais existem e são

diferentes em um ponto x1, dizemos que este é

um ponto anguloso do gráfico da função.

DERIVADAS LATERAIS

Exemplo

Seja f uma função definida por:

a) Mostre que f é contínua em 2.

b) Encontre

.2,7

2,13

xsex

xsexxf

.22 ''

fef

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

SOLUÇÃO

DERIVADAS LATERAIS

Exercício 1:

Seja a função

Encontre

.2 xxxf

.00 ''

fef

SOLUÇÃO

Exemplo de determinação da existência da derivada através da análise gráfica.

Vamos discutir a existência da derivada no ponto

x =1 na função seguinte. Traçamos secantes

passando pelo ponto

x = 1 e por outro ponto

em sua vizinhança e

observamos sua

posição limite (posição

da tangente).

Exemplo de determinação da existência da derivada através da análise gráfica.

Quando as secantes não tem uma única posição

limite ou se tornam verticais, a derivada não

existe.

Nesse gráfico

percebemos que as

retas secantes

convergem para a

aposição vertical.

Exemplo de determinação da existência da derivada através da análise gráfica.

Dizemos que estamos diante de um ponto

cuspidal (ponto de reversão ou ponto anguloso).

Exemplo de determinação da existência da derivada através da análise gráfica.

Vamos discutir a existência da derivada no ponto

x =4 na função seguinte. Traçamos secantes

passando pelo ponto

x = 4 e por outro ponto

em sua vizinhança e

observamos sua

posição limite (posição

da tangente).

Exemplo de determinação da existência da derivada através da análise gráfica.

Para essa função, no ponto x = 4, pode-se

observar que as retas secantes assumem duasposições diferentes no seu

limite. Assim, estamos

diante da situação em que

as derivadas laterais existe,

mas são diferentes, portanto

a derivada não existe no

ponto x = 4. Estamos diante

de um ponto anguloso.

DERIVADAS LATERAIS

Exercício 2

Calcular as derivadas laterais nos pontos onde a

função não é derivável. Esboçar o gráfico.

32 xxf

SOLUÇÃO

DERIVADAS LATERAIS

Exercício 3

Calcular as derivadas laterais nos pontos onde a

função não é derivável. Esboçar o gráfico.

1,12

1,

xsex

xsexxf

SOLUÇÃO

FIM

DA AULA

ONZE