bacen2010 econometria barbosa cunha aula-3

CURSO ON-LINE – ECONOMETRIA PARA ANALISTA DO BACEN PROFESSORES: ALEXANDRE DE LIMA E ANDRÉ CUNHA

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PONTO DOS CONCURSOS

Econometria BACENAula 7

Alexandre Barbosa de Lima e André Cunha

08/01/2010

Este documento aborda os seguintes tópicos: distribuição dos estimadores de mínimos quadrados, Teorema de Gauss-Markov e Análise de Variância.


2

Alexandre/André www.pontodosconcursos.com.br BACEN 2k9


3


Conteúdo 1. Introdução ........................................................................................................ 4 2. O modelo de RLM ........................................................................................... 4 3. Pressupostos do modelo de RLM ............................................................. 5 4. Valores esperados de β1, β2,..., βk .......................................................... 6 5. Variâncias e Covariâncias ........................................................................... 7 6. O Teorema de Gauss-Markov .................................................................... 9 7. Análise de Variância (ANOVA) .................................................................. 9 8. Exercícios de Fixação .................................................................................. 11 9. Gabarito ........................................................................................................... 15 10. Resolução dos Exercícios de Fixação ................................................... 15 Complemento de Séries Temporais .................................................................. 24


4


1. Introdução

Nesta aula estenderemos o modelo de regressão linear simples, apresentado nas Aulas 3 e 5, para o modelo de regressão linear múltipla (RLM)

Sugerimos comparar as propriedades da RLM com as da RLS, posto que a segunda pode ser interpretada como um caso particular da primeira.

Ao final desta aula encontra-se um complemento sobre séries temporais que preparamos, junto com uma batelada de exercícios para fixação da matéria.

2. O modelo de RLM

O modelo de RLM é

ikikiii xxxy εββββ +++++= ...33221 , (1)

sendo:

• y é a variável dependente

• x2,...,xk são as variáveis independentes (ou explanatórias)

• β1 o intercepto

• βt, t ≥ 2, o coeficiente da variável xt

• εi os termos de erro.

• xti a i-ésima observação da variável xt

• (y1, x21, x31,..., xk1), ... , (yn, x2n, x3n,..., xkn) são as n k-uplas ordenadas que queremos ajustar ao modelo.

A vantagem do modelo de RLM sobre o de RLS é o fato de o primeiro permitir que a variável y dependa de mais de uma variável independente, como na maioria dos problemas do mundo real.

Quando k = 3 temos duas variáveis dependentes (três β`s para estimar) e o modelo gera o gráfico de um plano. Quando k ≥ 4 não é possível representar graficamente.

Ainda que não possamos sempre representar graficamente uma equação de RLM, continuaremos a chamar β1 de intercepto. β1 é o valor esperado de y quando todas as variáveis explanatórias são iguais a zero, e o encontro do plano com o eixo y no caso particular quando k = 3.


5


βt representa a variação estimada de y quando xt varia uma unidade, mantendo todos os outros x`s constantes.

3. Pressupostos do modelo de RLM

Os pressupostos do modelo de RLM são muito parecidos com os do modelo de RLS. São eles:

1. o valor de yi para cada valor de (x2i, x3i, ... , xki) é

ikikiii xxxy εββββ +++++= ...33221

2. não há relação linear exata entre duas ou mais variá-veis independentes

3. o valor médio do erro aleatório é

0)( =εE

pois admitimos que

kkk xxxyExxxyE ββββ ++++== ...][],...,,/[ 3322132

4. a variância do erro aleatório é

)var()var( 2 Y==σε

5. qualquer par de erros aleatórios iε e jε , i ≠ j, são

independentes, o que implica

0),cov(),cov( == jiji YYεε

6. (x2, x3, ... , xk) são variáveis não aleatórias.

7. A variável ε têm distribuição Normal

ε ~ ),0( 2σN

Se Y tem distribuição Normal e vice-versa.

O único pressuposto novo em relação ao modelo de RLS é o segundo, de que não há relação linear exata entre duas ou mais


6


variáveis independentes. Em outras palavras, o pressuposto afirma

que não existe (λ2,..., λk) ≠ (0, ... ,0) de forma que ∑=

=k

ttit x

2

0λ .

4. Valores esperados de β1, β2, ... , βk

Para calcular os β`s da equação (1), assim como fizemos para o caso de k = 2 (RLS), temos de minimizar a soma dos quadrados dos erros residuais. Posto de outra forma,

∑ ∑∑ −−−−−=−==i i

kikiiiiii

i xxxyyyeSQE 233221

22 )ˆ...ˆˆˆ(min)ˆ(minminmin ββββ

Vamos escrever n equações usando (1) e as n observações (y1, x21, x31,..., xk1), ... , (yn, x2n, x3n,..., xkn). Temos então:

⎪⎪⎩

⎪⎨⎪⎧

+++++=

+++++=+++++=

nknknnn

kk

kk

xxxy

xxxyxxxy

εββββ

εββββεββββ

...................................................................

......

33221

2232322212

1131321211

(2)

Ou em notação matricial: Y = Xβ + ε (3)

Onde:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ny

yy

Y...

2

1

,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

knn

k

k

xx

xxxx

X

...1............

...1

...1

2

222

121

,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kβ

ββ

β...

2

1

, e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nε

εε

ε...

2

1

, (4)

Mantendo a notação matricial, é facilmente verificável que

β̂ˆ XY = , (5)


7


onde

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kβ

ββ

β

ˆ...

ˆˆ

ˆ 2

1

e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ny

yy

Y

ˆ...ˆˆ

ˆ 2

1

é a matriz1 dos valores estimados pelo

modelo.

Sendo YY ˆˆ −=ε a matriz n x 1 dos resíduos e tε̂ sua transposta,

nosso trabalho agora é minimizar εεε ˆˆˆ1

2 tn

iiSQE == ∑

=

.

Prova-se, e não é trivial para quem não tem forte base matemática, que a matriz k x 1

)()(ˆ 1 YXXX tt −=β ,2 (6)

Onde A-1 denota a inversa da matriz A.

No caso de k = 3, o modelo fica iiii xxy εβββ +++= 33221 , e

aplicando (6) temos

∑ ∑∑∑∑∑∑−−−−−

−−⋅−−−−⋅−−= 2

33222

332

22

3322332

33222 )))((()()(

))(())(()())((ˆxxxxxxxx

xxxxyyxxxxyyxx

iiii

iiiiiiiβ

∑ ∑∑∑∑∑∑−−−−−

−−⋅−−−−⋅−−= 2

33222

332

22

3322222

22333 )))((()()(

))(())(()())((ˆxxxxxxxx

xxxxyyxxxxyyxx

iiii

iiiiiiiβ

33221 ˆˆˆ xxy βββ −−=

Não se preocupe em memorizar essas fórmulas. Nós as colocamos aqui apenas ilustrativamente, pois esperamos um mínimo de bom senso da banca examinadora em não cobrá-las. Normalmente as estimativas dos parâmetros da equação são fornecidas nas questões.

5. Variâncias e Covariâncias

1 Uma matriz que tenha apenas uma linha ou apenas uma coluna também recebe o nome de vetor. 2 Não acreditamos que o conhecimento da notação matricial será cobrado em prova. Entretanto, caso os dados sejam apresentados na forma matricial, acreditamos que estaremos já familiarizados com essa notação.


8


Usando a notação matricial de (4), prova-se que

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

)ˆvar(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(...............

)ˆ,ˆcov(...)ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆvar(

)(

321

333231

232221

131211

12

kkkk

k

k

k

t XX

βββββββ

βββββββββββββββββββββ

σ (7)

Mais uma vez, não é trivial a demonstração de (7) e nem esperamos que se exija o cálculo das variâncias. Veremos em questões de concursos passadas (na próxima aula) que a matriz (7), também chamada de matriz de variância-covariância, muitas vezes é fornecida pela questão.

Ilustrando para k = 3,

∑ −−=

)1()()ˆvar(

232

22

2

2 rxx i

σβ (8)

∑ −−=

)1()()ˆvar(

232

33

2

3 rxx i

σβ , (9)

Onde r23, o coeficiente de correlação amostral entre x2 e x3, é tal que

∑ ∑∑

−−

−−=

233

2 22

332223

)()(

))((

xxxx

xxxxr

ii

ii (10)

Repare que nas equações (8) e (9), se fizermos r23 = 1 anulamos seus denominadores. Isso mostra as consequências, para k = 3, da violação do pressuposto 2 do modelo de RLM. Quando há relação linear exata entre duas ou mais variáveis independentes ocorre o que chamamos de multicolinearidade exata, e o processo de mínimos quadrados não pode ser aplicado.

Para encerrar esse item, faltou mencionar o estimador não tendencioso de 2σ , s2. Demonstra-se que

knknSQE

kne

st

−=

−=

−== ∑ εεσ

ˆˆˆ2

22 ,

em que k é o número de parâmetros que queremos estimar, e n – k os graus de liberdade (gl) da SQE.


9


6. O Teorema de Gauss-Markov

O teorema de Gauss-Markov permanece válido para o modelo de RLM. Dessa forma, os k estimadores contidos na matriz β̂ de (5) são os de menor variância dentre todos os estimadores lineares possíveis não viesados para os elementos da matriz β. A demonstração deste teorema mais uma vez foge ao escopo deste trabalho.

7. Análise de Variância (ANOVA)

Inicialmente, SQT, SQE, SQR e o coeficiente de determinação R2 no modelo de RLM são definidos de forma idêntica à que vimos no modelo de RLS no item 7 da Aula 3. Reproduzimos abaixo alguns resultados, por conveniência.

SQT = SQE + SQR (11)

Onde

SQT = Soma dos quadrados total = Syy =

(ou variação total)

SQE = Soma dos quadrados dos erros = (12)

(ou variação residual)

SQR = Soma dos quadrados da regressão =

(ou variação explicada)

Definimos

SQTSQE

SQTSQRR −== 1 2 (13)


10


Da definição, 0 ≤ R2 ≤ 1

Assim como no caso da RLS, na RLM quanto mais R2 se aproxima de 1, mais a variação de y é explicada pela regressão e melhor é o ajuste à equação. De forma oposta, quanto mais R2 se aproxima de 0, menos a variação de y é explicada pela regressão e pior é o ajuste à equação.

Entretanto, uma característica indesejável de R2 é que ele pode ser aumentado artificialmente adicionando-se mais variáveis ao modelo, mesmo que essa adição não seja suportada pela teoria econômica. Quando se acrescenta uma variável explanatória ao modelo, SQE diminui ou permanece igual, desta forma o novo coeficiente de determinação é no mínimo igual ao do modelo sem essa variável.

Para resolver esse problema definimos agora o R2 ajustado, ou 2R , da seguinte forma:

)1/()/(12

−−

−=nSQT

knSQER (14)

A fórmula de 2R é muito parecida com a de R2, com a diferença que em 2R dividimos as somas dos quadrados por seus respectivos graus de liberdade, n – k e n – 1.

Prova-se facilmente que )()1()1(1 22

knnRR−−

−−= (15)

Nota 1: 2R não mais representa o percentual da variação explicada. Esse papel permanece com R2.

Nota 2: De (14) ou de (15), segue que, se k > 1, então 2R < R2.

Nota 3: 2R pode ser negativo. Este resultado corrobora a Nota 1.

Podemos montar agora tabela de ANOVA semelhante à que fizemos na Aula 5, e que é o ponto de partida para testes de hipóteses que estudaremos na próxima aula.

Retornemos aos graus de liberdade

a) SQR tem k - 1 graus de liberdade (número de variáveis explanatórias do modelo)

b) SQE tem n - k graus de liberdade (número de observações menos o número de parâmetros)


11


c) SQT tem n - 1 graus de liberdade (número de observações menos 1 porque tivemos de calcular a média)

Vale ainda a seguinte relação:

glSQT = glSQR + glSQE

Tabela de Análise de Variância

Fonte da variação

gl Soma Média da Soma

Estatística F

Regressão k - 1 SQR SQR/(k-1) )/()1/(

knSQEkSQR−−

Erros residuais n - k SQE SQE/(n-k)

Total n - 1 SQT

A estatística F constante da tabela será usada, como veremos, para testar a hipótese de que nenhuma variável explanatória ajuda a explicar a variação total SQT ou Syy. De forma equivalente, testar a hipótese conjunta β2= β3= ... = βk=0.

8. Exercícios de Fixação

Considere as seguintes informações para resolver as questões de números 1 e 2.

Uma das principais aplicações da Econometria tem sido sua utilização na obtenção de modelos que explicam a procura de produtos nos diversos setores da Economia. Por exemplo, em um determinado país, adotou-se o modelo zi = α + βxi + γyi + εi para avaliar a demanda per capita de um determinado produto, com base em observações nos últimos dez anos.

Dados:

• zi = ln(Qi), em que ln é o logaritmo neperiano (ln(e) = 1) e Qi um índice representando a demanda per capita do produto no ano i;

• xi = ln(Pi), em que Pi é o índice de preço do produto no ano i;

• yi = ln(Ri), em que Ri é a renda per capita do país no ano i;


12


• α, β e γ são parâmetros desconhecidos;

• εi é o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear múltipla.

Utilizando-se o método dos mínimos quadrados, obteve-se a equação do plano:

iii yxz 76,012,04ˆ +−=

Dados obtidos do quadro de análise de variância:

Soma dos quadrados referente à regressão: 0,6160

Variação residual: 0,0140

1. (Analista BACEN – 2006/FCC) Considerando a equação do plano obtida pelo método dos mínimos quadrados para esse país, o valor da previsão em um determinado ano do índice de demanda per capita Q do produto analisado em função do índice de preço P e uma renda per capita R (PxQ ≠ 0) pode ser obtido pela fórmula:

A) 76,012,0

4

RPeQ⋅

=

B) 76,012,0

4−− ⋅

=RP

Q

C) 76,012,0

4

−⋅=

RPeQ

D) 76,012,0

4lnRP

Q⋅

=

E) 76,012,0

4lnRP

Q⋅

= −

2. (Analista BACEN – 2006/FCC) Com relação à equação do plano ajustado pelo método dos mínimos quadrados e considerando o quadro de análise de variância correspondente, é correto afirmar que:

A) O coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla é inferior a 97%.

B) Para o teste de hipótese de existência de regressão, tem-se que o número de graus de liberdade a considerar referente à variação residual é 9.

C) Como na regressão linear simples, o coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla é igual ao quociente da divisão da variação residual pela variação explicada pela regressão.


13


D) A relação entre o número de graus de liberdade referente à variação residual e o número de graus de liberdade referente à variação explicada pela regressão é 3,5.

E) O valor da estatística F (F calculado) utilizado para a comparação com o F tabelado (variável F de Snedecor com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador, ao nível de significância α) é igual a 44.

Julgue as questões 3 e 4, considerando o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais

.,,1,22110 niuxxxy ikikiii KL =+++++= ββββ

3. (ANPEC – 2003) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendenciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos.

4. (ANPEC – 2003) A inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2.

Julgue as questões 5 e 6, considerando o modelo de regressão múltipla

uxxxy ++++= 3322110 ββββ ,

cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários.

5. (ANPEC – 2008) Se o R2 = 1, então y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.

6. (ANPEC – 2008) Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1β̂ é o estimador linear não viesado de β1

com menor variância possível.

Considerando o modelo de regressão múltipla

jkjkjjj XXXY εββββ +++++= K22110

julgue as afirmações das questões 7 a 10.


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7. (ANPEC – 1993) A análise de variância da regressão testa se todos os coeficientes estimados da regressão ( $β j) são significantes

simultaneamente.

8. (ANPEC – 1993) O vetor de soluções para os parâmetros β j é

expresso por $ ( ' ) 'β = −X X X Y1 .

9. (ANPEC – 1993) Para estimar os parâmetros β j da regressão é

necessário que as variáveis explicativas sejam independentes entre si.

10. (ANPEC – 1993) O coeficiente de determinação múltipla corrigido para graus de liberdade (R2 ) pode ser negativo.

Utilize o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial:

Y X= +.β ε , onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y => (n × 1); X => (n × k); β => (k × 1); e ε => (n × 1).

Então, julgue as seguintes afirmações:

11. (ANPEC – 1993) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com valores fixados em amostras repetidas.

12. (ANPEC – 1993) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação linear de outras variáveis independentes.

13. (ANPEC – 1993) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os coeficientes β da regressão (admitindo que β1 0≠ , ou seja, a regressão não passa pela

origem): Hipótese nula => H0: β β β2 3 0= = = =... k Hipótese alternativa => H1: Todos os βi ≠ 0 , para i = 2,

3,…, k.

14. (ANPEC – 1993) Os intervalos de confiança dos coeficientes da regressão podem ser calculados da seguinte maneira:


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( $ . ; $ . )$ $β ββ βi n k i n kt s t s

i i− +− −

onde $β i = estimativa do coeficiente βi ; tn k− = abcissa de uma

distribuição “t” com (n - k) graus de liberdade, fixado o grau de

confiança de intervalo; e si$β = erro padrão estimado de $β i .

9. Gabarito

1 – C

2 – D

3 – FALSO

4 – FALSO

5 – VERDADEIRO

6 – VERDADEIRO

7 – FALSO

8 – VERDADEIRO

9 – FALSO

10 – VERDADEIRO

11 – FALSO

12 – VERDADEIRO

13 – FALSO

14 – VERDADEIRO

10. Resolução dos Exercícios de Fixação

Considere as seguintes informações para resolver as questões de números 1 e 2.

Uma das principais aplicações da Econometria tem sido sua utilização na obtenção de modelos que explicam a procura de produtos nos diversos setores da Economia. Por exemplo, em um determinado país, adotou-se o modelo zi = α + βxi + γyi + εi para


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avaliar a demanda per capita de um determinado produto, com base em observações nos últimos dez anos.

Dados:

• zi = ln(Qi), em que ln é o logaritmo neperiano (ln(e) = 1) e Qi um índice representando a demanda per capita do produto no ano i;

• xi = ln(Pi), em que Pi é o índice de preço do produto no ano i;

• yi = ln(Ri), em que Ri é a renda per capita do país no ano i;

• α, β e γ são parâmetros desconhecidos;

• εi é o erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para o modelo de regressão linear múltipla.

Utilizando-se o método dos mínimos quadrados, obteve-se a equação do plano:

iii yxz 76,012,04ˆ +−=

Dados obtidos do quadro de análise de variância:

Soma dos quadrados referente à regressão: 0,6160

Variação residual: 0,0140

1. (Analista BACEN – 2006/FCC) Considerando a equação do plano obtida pelo método dos mínimos quadrados para esse país, o valor da previsão em um determinado ano do índice de demanda per capita Q do produto analisado em função do índice de preço P e uma renda per capita R (PxQ ≠ 0) pode ser obtido pela fórmula:

A) 76,012,0

4

RPeQ⋅

=

B) 76,012,0

4−− ⋅

=RP

Q

C) 76,012,0

4

−⋅=

RPeQ

D) 76,012,0

4lnRP

Q⋅

=

E) 76,012,0

4lnRP

Q⋅

= −

Resolução


17


yxz 76,012,04 +−=

Substituindo com as informações fornecidas:

)ln(76,0)ln(12,04)ln( RPQ +−= 76,012,0 lnln4)ln(76,0)ln(12,04)ln(76,0)ln(12,04 RPRPRP eeeeeeeQ ⋅⋅=⋅⋅==

−−+−

Usando a relação ,)ln( xe x =

76,012,0

476,012,04

−−

⋅=⋅⋅=

RPeRPeQ

GABARITO: C

2. (Analista BACEN – 2006/FCC) Com relação à equação do plano ajustado pelo método dos mínimos quadrados e considerando o quadro de análise de variância correspondente, é correto afirmar que:

A) O coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla é inferior a 97%.

B) Para o teste de hipótese de existência de regressão, tem-se que o número de graus de liberdade a considerar referente à variação residual é 9.

C) Como na regressão linear simples, o coeficiente de determinação (R2) da regressão linear múltipla é igual ao quociente da divisão da variação residual pela variação explicada pela regressão.

D) A relação entre o número de graus de liberdade referente à variação residual e o número de graus de liberdade referente à variação explicada pela regressão é 3,5.

E) O valor da estatística F (F calculado) utilizado para a comparação com o F tabelado (variável F de Snedecor com m graus de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador, ao nível de significância α) é igual a 44.

Resolução

Há 10 observações e 3 parâmetros estimados.

Logo, glSQE = n – k = 10 – 3 = 7

Há 2 variáveis independentes.


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Logo, glSQR = k – 1 = 3 – 1 = 2

Portanto, 5,327 ==

SQR

SQE

glgl

GABARITO: D

Julgue as questões 3 e 4, considerando o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais

.,,1,22110 niuxxxy ikikiii KL =+++++= ββββ

3. (ANPEC – 2003) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendenciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos.

Resolução

Antes de resolver essa questão, um alerta: Nós baseamos todas as fórmulas no modelo dado na equação (1), com k parâmetros e k-1 variáveis independentes. Na equação deste exercício, e isso pode acontecer na prova do BACEN, o modelo conta com k+1 parâmetros e k variáveis independentes. Essa diferença não tem importância neste exercício, mas com certeza teria em um no qual teríamos de calcular gl ou estatísticas F.

Vamos à questão agora.

Assim como no modelo de RLS, no modelo de RLM, para que os estimadores de mínimos quadrados sejam BLUE, a hipótese de normalidade dos erros é a única não necessária dentre as 7 enunciadas no item 3.

GABARITO: FALSO

4. (ANPEC – 2003) A inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2.


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Resolução

Vimos que ocorre exatamente o contrário: A inclusão de uma nova variável explicativa no modelo não reduzirá o coeficiente de determinação R2, podendo aumentá-lo ou não alterá-lo.

GABARITO: FALSO

Julgue as questões 5 e 6, considerando o modelo de regressão múltipla

uxxxy ++++= 3322110 ββββ ,

cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários.

5. (ANPEC – 2008) Se o R2 = 1, então y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.

Resolução

Se R2 = 1, então 100% da variação de y é explicada pelo modelo. Isso só ocorre se y for combinação linear das variáveis independentes.

GABARITO: VERDADEIRO

6. (ANPEC – 2008) Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1β̂ é o estimador linear não viesado de β1

com menor variância possível.

Resolução

A afirmação é o próprio enunciado do teorema.



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Considerando o modelo de regressão múltipla

,22110 jkjkjjj XXXY εββββ +++++= K

julgue as afirmações das questões 7 a 10.

7. (ANPEC – 1993) A análise de variância da regressão testa se todos os coeficientes estimados da regressão ( $β j) são significantes

simultaneamente.

Resolução

A estatística F dada na tabela de ANOVA serve para testar a hipótese conjunta H0: β2= β3= ... = βk=0. A hipótese alternativa é a de que pelo menos um (não todos) βi (que não o intercepto) seja diferente de 0, ou seja, significante.

GABARITO: FALSO

8. (ANPEC – 1993) O vetor de soluções para os parâmetros β j é

expresso por $ ( ' ) 'β = −X X X Y1 .

Resolução

É a equação (6).


9. (ANPEC – 1993) Para estimar os parâmetros β j da regressão é

necessário que as variáveis explicativas sejam independentes entre si.

Resolução

As variáveis explicativas podem estar correlacionadas. O que o pressuposto 2 do modelo de RLM exige é que não haja relação linear exata entre duas ou mais variáveis independentes.


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GABARITO: FALSO

10. (ANPEC – 1993) O coeficiente de determinação múltipla corrigido para graus de liberdade (R2 ) pode ser negativo.

Resolução

Ver Nota 3 do item 7.


Utilize o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial:

Y X= +.β ε , onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y => (n × 1); X => (n × k); β => (k × 1); e ε => (n × 1).

Então, julgue as seguintes afirmações:

11. (ANPEC – 1993) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com valores fixados em amostras repetidas.

Resolução

Pressuposto 6: (x2, x3, ... , xk) são variáveis não aleatórias.

Portanto, não estocásticas.

GABARITO: FALSO

12. (ANPEC – 1993) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação linear de outras variáveis independentes.

Resolução

Ver resolução da questão 9.



22


13. (ANPEC – 1993) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os coeficientes β da regressão (admitindo que β1 0≠ , ou seja, a regressão não passa pela

origem): Hipótese nula => H0: β β β2 3 0= = = =... k Hipótese alternativa => H1: Todos os βi ≠ 0 , para i = 2,

3,…, k.

Resolução

Testar a existência do modelo é testar se pelo menos uma variável independente é relevante. Em outras palavras, se pelo menos um βi

(que não o intercepto) é diferente de 0, não todos.

GABARITO: FALSO

14. (ANPEC – 1993) Os intervalos de confiança dos coeficientes da regressão podem ser calculados da seguinte maneira:

( $ . ; $ . )$ $β ββ βi n k i n kt s t s

i i− +− −

onde $β i = estimativa do coeficiente βi ; tn k− = abcissa de uma

distribuição “t” com (n - k) graus de liberdade, fixado o grau de

confiança de intervalo; e si$β = erro padrão estimado de $β i .

Resolução

Questão “antecipada” da Aula 8.

Se os pressupostos do modelo se verificam, inclusive o da normalidade dos erros, então prova-se que

is

t iikn

β

ββ

ˆ

ˆ −=− segue distribuição t com (n – k) graus de liberdade,

onde

isβ̂ é o desvio padrão amostral do estimador iβ̂ de iβ .


23


Seguindo o mesmo raciocínio do item 3 da Aula 5, concluímos que a afirmação é verdadeira.



24


PONTO DOS CONCURSOS

Econometria BACENComplemento de Séries Temporais

Alexandre Barbosa de Lima e André Cunha

08/01/2010

Este documento aborda o seguinte tópico: modelagem de séries temporais: construção do modelo e região de admissibilidade.


25


Conteúdo1. Modelagem de Séries Temporais ............................................................... 26

1.1. Construção do Modelo ......................................................................... 261.2. Estacionariedade e Invertibilidade.................................................. 29

2. Exercícios Extras .............................................................................................. 313. GABARITO ........................................................................................................... 344. Resolução dos Exercícios Extras ................................................................ 35


26


1. Modelagem de Séries Temporais

A modelagem de uma série temporal tx consiste na estimação de uma função invertível (.)h , denominada modelo de tx , tal que

(1) ,...),,,,(..., 2112 ++−−= tttttt hx εεεεε

em que IIDt ~ε (seqüência independente e identicamente distribuída)

e

(2) tttttt xxxxxg ε=++−− ,...),,,,(..., 2112

em que 1(.)(.) −= hg .

As Eqs. (1) e (2) estão ilustradas na Fig. 1.

O processo tε é a inovação no instante t e representa a nova

informação sobre a série que é obtida no instante t.

Na prática, o modelo ajustado é causal, ou seja,

(3) ,...),,( 21 −−= tttt hx εεε .

1.1. Construção do Modelo

A metodologia de construção de um modelo é baseada no ciclo iterativo ilustrado pela Fig. 2 [BOX94], [MOR04]:

Figura 1: modelagem de uma série temporal.


27


(a) uma classe geral de modelos é considerada para a análise (especificação);

(b) há a identificação de um modelo, com base em critérios estatísticos;

(c) segue-se a fase de estimação, na qual os parâmetros do modelo são obtidos. Na prática, é importante que o modelo seja parcimonioso. Diz-se que um modelo é parcimonioso quando o mesmo utiliza poucos parâmetros. A utilização de um número excessivo de parâmetros é indesejável porque o grau de incerteza no procedimento de inferência estatística aumenta com o aumento do número de parâmetros (Princípio da Parcimônia).

(d) finalmente, há o diagnóstico do modelo ajustado por meio de uma análise estatística da série tε̂ de resíduos ( tε̂ é compatível com um ruído branco?).

Postular a classe geral

do modelo

Identificaçãodo modelo

Estimação dos parâmetros

Diagnóstico

Não Sim


28


O processo tx de (3) é linear quando corresponde à convolução de um processo IIDt ~ε com uma seqüência determinística tx

(4) ∑∞

=−=∗=

0kktkttt hhx εε

...2211 +++= −− ttt hh εεε

tBhBh ε...)1( 2 21 +++=

tBH ε)(= .

em que o símbolo ∗ denota a operação de convolução e h0=1. A Eq. (4) também é conhecida como representação de média móvel de ordem infinita (MA(∞)) [BRO96].

A forma geral ARMA(p,q) de (4) é

(5) ∑∑=

−=

− −+=q

kktk

p

kktkt txx

11)( εθεφ .

A seqüência ht é denominada resposta impulsiva do modelo ARMA(p,q) (5).

Numa forma mais compacta, tem-se que

(6) tt BxB εθφ )()( =

em que )(Bφ é o operador auto-regressivo de ordem p

ppBBBB φφφφ −−−= ...1)( 2

21

e )(Bθ denota o operador de média móvel de ordem q

....1)( 2 21

qqBBBB θθθθ −−−=

O leitor mais atento deve ter percebido que o processo de inovação }{ tε foi definido simplesmente como uma seqüência IID.

Fizemos assim por que as definições apresentadas até o momento são bastante gerais: elas englobam, por exemplo, a classe das séries

Figura 2: ciclo iterativo Box-Jenkins.


29


ARMA(p,q) de variância infinita3. Daqui para frente, restringiremos }{ tε à classe dos processos IID com variância finita, e isto quer dizer

que a inovação tε passa a ser do tipo tε ~RB(0,σ2) (ruído branco de média zero e variância σ2)

1.2. Estacionariedade e Invertibilidade

Demonstra-se que um modelo ARMA(p,q) é estacionário e invertível se todas as raízes de )(Bφ e )(Bθ estão fora do círculo unitário (região de admissibilidade) [MOR04], [MOR08]

(7) ⎩⎨⎧

>=>=

1||,0)(1||,0)(

BBBB

θφ

Sendo assim, a região de admissibilidade de um modelo ARMA(1,1) é dada por

(8) ⎩⎨⎧

<<−<<−

1111

θφ

Como os modelos estimados na prática são invertíveis (ou seja, a condição (7) é válida), pode-se definir o operador inverso

(9) )()( 1 BHBG −=

e reescrever (4) na forma auto-regressiva de ordem infinita (AR(∞))

(10) tttt xgxgx ε+++= −− ...2211

tk

ktk xg ε+=∑∞

=−

1

Portanto, xt pode ser interpretado como uma soma ponderada de seus valores passados xt-1, xt-2, ..., mais uma inovação εt. O modelo equivalente AR(∞) sugere que pode-se calcular a probabilidade de um valor futuro xt+k estar entre dois limites especificados, ou seja, (9) afirma que é possível fazer inferências ou previsões de valores futuros da série.

3 Vide SAMORODNITSKY, G; TAQQU, M. S. Stable non-Gaussian random processes.London: Chapman & Hall, 1994.


30


Bibliografia

[BOX94] BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M.; REINSEL, G. C. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 3rd ed. Prentice Hall, 1994.

[BRO96] BROCKWELL, P. J.; DAVIS, R. A. An Introduction to Time Series and Forecasting. Springer-Verlag, 1996.

[BUE08] BUENO, Rodrigo de Losso da Silveira. Econometria de Séries Temporais. São Paulo: Cengage Learning, 2008.

[GUJ00] GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica, 3ª Edição. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.

[MOR04] MORETTIN, Pedro A.; TOLOI, Clélia M. C. Análise de Séries Temporais. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2004.

[MOR08] MORETTIN, Pedro A. Econometria Financeira – Um Curso em Séries Temporais Financeiras. São Paulo: Editora Blücher, 2008.

[PER93] PERCIVAL, Donald B.; Walden, Andrew T. Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge, 1993.

[SHU06] SHUMWAY, Robert H.; STOFFER, David S. Time Series Analysis and Its Applications with R Examples. Springer, 2006.

[TSA05] TSAY, Ruey S. Analysis of Financial Time Series. 2nd ed. Wiley-Interscience, 2005.

[ZIV03] ZIVOT, Eric; WANG, Jiahui. Modeling Financial Time Series with S-PLUS. Springer, 2003.


31


2. Exercícios Extras

Considere que o número de pousos e decolagens em um aeroporto siga um processo autorregressivo na forma

1121 5,05,05,1 −−− −+−= tttt aaZZZ , em que tZ representa o número observado de pousos e decolagens no tempo t ( ,...,3,2,1,0=t ) e ta

representa um ruído branco com média igual a zero e variância igual a 8. Com base nessas informações e considerando que 1−−= ttt ZZY ,

julgue os próximos itens.4 (Especialista em Regulação de Aviação Civil – Área 4 – ANAC/CESPE/2009)

1. A série temporal }{ tZ não é estacionária.

2. A série diferenciada }{ tY segue um ruído branco.

3. A variância do processo }{ tY é igual 8.

4. A autocorrelação entre tY e 1−tY é superior a 0,01.

5. A autocorrelação entre tY e 2−tY é igual a zero.

6. A variância do passeio aleatório ∑=

=t

kkt YS

1

é igual a 3

32t.

7. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Seja Z = {Z(t), t ∈ T} um processo estocástico, considere as seguintes condições

(i) E{Z(t)} = µ(t) = µ = constante, para todo t ∈ T;

(ii) E{Z(t)} = 0, para todo t ∈ T;

(iii) E{Z2(t)} < ∞, para todo t ∈ T;

(iv) E{Z2(t)} = t, para todo t ∈ T;

(v) Cov{Z(t1), Z(t2)} é um função de |t1-t2|

Dizemos que Z é estacionário de segunda ordem ou fracamente estacionário se e somente se estiverem satisfeitas as condições, além da (v)

A) (i) e (ii)

4 São 6 itens.


32


B) (ii) e (iv)

C) (i) e (iii)

D) (i) e (iv)

E) (ii) e (iii)

8. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) De um modo geral, a análise espectral de séries temporais estacionárias decompõe a série em

A) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionados.

B) um componente de tendência e uma componente sazonal.

C) uma componente polinomial, uma componente cíclica e uma componente sazonal.

D) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionados e componentes cossenoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.

E) componentes senoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.

9. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Seja Z = {Zt, t ∈ T} um processo AR(1) dado por Zt = φZt-1 + at, onde at é o ruído branco com média zero e variância um. Seja ρj, j ≥ 1 a função de autocorrelação do processo Zt. É correto afirmar:

A) ρ1=φ e ρj=0, se j≥2

B) ρj=φj, j≥1

C) ρj=1/(1-φj), j≥1

D) ρj=φj/(1-φj), j≥1

E) ρj=1/φj, j≥1

10.(MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006) Para o processo ARIMA(1,d,1), onde φ é o coeficiente autoregressivo e θ é o coeficiente de médias móveis, é correto afirmar:

A) a função de autocorrelação parcial só é diferente de zero no lag 1

B) a função de autocorrelação só é diferente de zero nos lags 1 e 2.

C) Se d=1, o processo é estacionário.

D) A região de admissibilidade é dada por |φ|<1 e |θ|<1

E) A função de autocorrelação é dominada por senóides amortecidas.


33


(Exame Nacional ANPEC/Prova de Estatística/2009) Julgue os itens a seguir.

11. A estatística de Dickey-Fuller para testar a presença de raiz unitária em séries temporais possui sempre distribuição Normal.

12. O teste t em regressões envolvendo variáveis não-estacionárias não será válido caso a regressão seja espúria.

13. No processo AR(1), ,110 ttt eYy ++= −φφ , em que |φ1|<1 e te é um ruído branco de média nula e variância σ2, a média de yt será igual a φ0.

14. O processo MA(1), ,1−+= ttt eey θ , em que te é um ruído branco de

média nula e variância constante, será estacionário mesmo que 1|| >θ .

15. (Adaptada) Seja a função de autocorrelação do processo AR(1) definido no item (13) dada por ρj. É correto afirmar que j

j 1φρ = .


34


3. GABARITO

1 – CERTO

2 – CERTO

3 – CERTO

4 – ERRADO

5 – CERTO

6 – ERRADO

7 – C

8 – E

9 – B

10 - D

11- FALSO

12 – VERDADEIRO

13 – FALSO

14 – VERDADEIRO

15 - VERDADEIRO


35


4. Resolução dos Exercícios Extras

Considere que o número de pousos e decolagens em um aeroporto siga um processo autorregressivo na forma

1121 5,05,05,1 −−− −+−= tttt aaZZZ , em que tZ representa o número observado de pousos e decolagens no tempo t ( ,...,3,2,1,0=t ) e ta

representa um ruído branco com média igual a zero e variância igual a 8. Com base nessas informações e considerando que 1−−= ttt ZZY ,

julgue os próximos itens5 (Especialista em Regulação de Aviação Civil – Área 4 – ANAC/CESPE/2009)

Comentários preliminares

Primeiramente, é preciso notar que há um erro tipográfico no enunciado, uma vez que aparece o termo 1a em vez de ta no lado direito da equação que define o modelo tZ . Lembre que um processo ARMA(p,q) tX de média nula é definido pela equação de

diferenças6

qtqttptptt XXX −−−− −−−+++= εθεθεφφ ...... 1111

em que pφφφ ,...,, 21 denotam coeficientes auto-regressivos, qθθθ ,...,, 21

representam parâmetros de médias móveis e tε ~RB(0,σ2) (ruído branco de média zero e variância σ2). Logo, não faz sentido definir o processo da forma como está no enunciado. Por este motivo, os seis itens que dependem deste enunciado deveriam ter sido anulados (não foram, até onde é do nosso conhecimento).

Não obstante, prossigamos com a questão, porque ela tem valor didático.

Nós já aprendemos que o operador auto-regressivo de ordem p é dado por

ppBBBB φφφφ −−−= ...1)( 2

21

e que o operador de médias móveis de ordem q é definido como

....1)( 2 21

qqBBBB θθθθ −−−=

5 São 6 itens. 6 Aula 4.


36


Deste modo, o modelo ARMA(p,q)

qtqttptptt XXX −−−− −−−+++= εθεθεφφ ...... 1111

pode ser escrito na forma compacta

tt BXB εθφ )()( = .

Observação: a definição

tt BXB εθφ )()( =

requer que os polinômios )(Bφ e )(Bθ não tenham fatores comuns[SHU06, pág. 95]. Explicaremos o que isto quer dizer por meio do Exemplo A abaixo.

Exemplo A. Considere um ruído branco ttX ε= . Também podemos defini-lo na forma equivalente 11 5,05,0 −− = ttX ε (para tal, basta i) aplicar o operador atraso unitário nos dois lados de ttX ε= e ii) multiplicar os

dois membros por 0,5). Subtraindo as duas representações obtemos

,5,05,0 11 −− −=− tttt XX εε

ou

,5,05,0 11 −− −+= tttt XX εε

que tem a aparência (enganosa!) de um processo ARMA(1,1). É claro que tX continua a ser um ruído branco, pois ttX ε= é a solução de

11 5,05,0 −− −+= tttt XX εε .

Diz-se que 11 5,05,0 −− −+= tttt XX εε é uma representação sobre-parametrizada ou com parâmetros redundantes do ruído branco

ttX ε= . Desta forma, demonstra-se que a sobre-parametrização

“mascara” a característica de ruído branco de Xt.

A forma compacta do modelo redundante é

.)5,01()5,01( tt BXB ε−=−

Se aplicarmos o operador 11 )5,01()( −− −= BBφ em ambos os lados do modelo acima obtemos


37


tttt BBXBBX εε =−−=−−= −− )5,01()5,01()5,01()5,01( 11

que é o modelo original.

Observe que o modelo tt BXB ε)5,01()5,01( −=− é redundante porque os polinômios )(Bφ e )(Bθ têm o fator comum )5,01( B− , o qual, diga-se de passagem, é o único fator presente. Se descartarmos o fator comum, tem-se que )(Bφ = )(Bθ = 1 e deduzimos que o modelo representa um ruído branco.

A consideração da sobre-parametrização é crucial para a estimação de modelos ARMA. O exemplo acima mostrou que é possível ajustar um modelo ARMA(1,1) para dados provenientes de um ruído branco e supor que as estimativas dos parâmetros são significativas. Se não estivermos cientes do fenômeno da redundância, estamos sujeitos a afirmar que os dados são correlacionados quando na verdade não são.

Assumiremos, para os 6 itens que se seguem, que o número de pousos e decolagens Zt seja modelado por

121 5,05,05,1 −−− −+−= ttttt aaZZZ

De acordo com os dados, tem-se que ta ~RB(0,8).

1. A série temporal }{ tZ não é estacionária.

Resolução

121 5,05,05,1 −−− −+−= ttttt aaZZZ

121 5,05,05,1 −−− −=+− ttttt aaZZZ

ttttt aaZZZ +−=+− −−− 112 5,05,15,0

tt aBZBB )15,0()15,15,0( 2 −−=+−

)2()15,0()2()15,15,0( 2 ×−−=×+− tt aBZBB

tt aBZBB )2()20,3( 2 −−=+−

Fatorando o polinômio do lado esquerdo da última equação acima, temos que

tt aBZBB )2()2)(1( −−=−−

e, assim, constatamos a presença do fator comum )2( −B nos dois lados da equação. Simplificando o modelo redundante, obtemos


38


tt aZB −=− )1(

ttt aZZ −=−−1

ttt aZZ += −1 ⇒ passeio aleatório.

O passeio aleatório é não estacionário porque possui uma raiz unitária. Logo, o item está CORRETO (supondo-se que

121 5,05,05,1 −−− −+−= ttttt aaZZZ ).

GABARITO: CERTO

2. A série diferenciada }{ tY segue um ruído branco.

Resolução

ttt aZZ += −1 ⇒ ttt aZZ =− −1 ⇒ tt aY = . Logo }{ tY segue um ruído branco e o item está CERTO (supondo-se que 121 5,05,05,1 −−− −+−= ttttt aaZZZ ).

Observe que o “gabarito oficial definitivo” do CESPE é ERRADO (tudo leva a crer que o examinador “enrolou-se” com a sua própria questão, tendo classificado }{ tY como um pseudo-ARMA(1,1)!).

GABARITO: CERTO

3. A variância do processo }{ tY é igual 8.

Resolução

tt aY = . Logo 8]var[]var[ == ttY a ⇒ CERTO. Observe que o “gabarito

oficial definitivo” do CESPE é ERRADO.

Suponha que você não tivesse identificado que o modelo é redundante. Como você calcularia a variância 0γ do pseudo-processo

ARMA(1,1)? Indo mais longe, como você determinaria a autocovariância de lag 1 ( 1γ ) do pseudo-processo ARMA(1,1)?

Cálculo de 0γ e 1γ de uma ARMA(1,1):

Seja o modelo ARMA(1,1)

11 −− −+= tttt aaYY θφ .

A autocovariância de lag 0, denotada por ][]var[0 ttt YYEY ==γ (pois a

média de Yt é nula) é dada por


39


][ 110 tttttt YaYaYYE −− −+= θφγ][][][ 110 tttttt YaEYaEYYE −− −+= θφγ][][][ 110 tttttt YaEYaEYYE −− −+= θφγ

Observe que 11 ][ φγφ =− tt YYE . Logo,

][][ 110 tttt YaEYaE −−+= θφγγ . Note que é preciso calcular as esperanças ][ ttYaE e ][ 1 tt YaE −θ (tratam-se de covariâncias cruzadas).

CÁLCULO DE ][ ttYaE :

][][][)]([][ 12

111 −−−− −+=−+= ttttttttttt aaEaEYaEaaYaEYaE θφθφ

mas 0][ 1 =−ttaaE (at é ruído branco) e 0][ 1 =−ttYaE , pois 1−tY só depende dos choques aleatórios passados },,{..., 123 −−− ttt aaa , ou seja, 1−tY não depende dos choques aleatórios futuros ,...},,{ 21 ++ ttt aaa . Sendo assim,

22 ][][ σ== ttt aEYaE

CÁLCULO DE ][ 1 tt YaE −θ :

])][][][)]([][ 21

21111111 −−−−−−−− −+=−+= ttttttttttt aEaaEYaEaaYaEYaE θθθφθφθθ

22221 )(0][ σθφθσθθθφσθ −=−×+=− tt YaE

Voltando ao cálculo da variância,

2210 )( σθφθσφγγ −−+= (1)

A autocovariância de lag 1 é dada por

][ 111211 −−−− −+= ttttt YaYaYE θφγ

][][][ 111211 −−−− −+= ttttt YaEYaEYEφγ θ

20

201 0 θσφγθσφγγ −=−+= (2)

Chegamos ao seguinte sistema de duas equações a duas incógnitas:

⎩⎨⎧

−=−−+=2

01

2210 )(

θσφγγσθφθσφγγ

cujas soluções são


40


22

2

0 121 σ

φθφθγ

−−+

=

e

221 1

))(1( σφ

θφφθγ−

−−= .

Agora, observe que

885,01

5,05,025,012

2

0 =×−

××−+=γ ⇒ o que confirma a resolução dada para a

questão e o problema da redundância do modelo.

GABARITO: CERTO

4. A autocorrelação entre tY e 1−tY é superior a 0,01.

Resolução

Como tY é um ruído branco, tem-se que 0][ =−τttYYE . Logo, a autocorrelação entre tY e 1−tY é nula ⇒ item ERRADO. Observe que o

“gabarito oficial definitivo” do CESPE é CERTO.

Podemos chegar ao mesmo resultado aplicando a fórmula

0

11 γ

γρ =

221 1

))(1( σφ

θφφθγ−

−−=

085,01

)5,05,0)(5,01(2

2

1 =×−

−−=γ ⇒ 01 =ρ ⇒ como 1−= ττ φρρ , 1>τ , então 0=τρ

para 1>τ ⇒ Yt é um ruído branco.

GABARITO: ERRADO

5. A autocorrelação entre tY e 2−tY é igual a zero.

Resolução

A questão aborda o tema da Identificação do modelo.


41


Os processos AR(p), MA(q) e ARMA(p,q) apresentam FAC com características especiais. Assim [MOR08]:

(i) Um processo AR(p) tem FAC que decai de acordo com exponenciais e/ou senóides amortecidas, infinita em extensão;

(ii) Um processo MA(q) tem FAC finita, pois é igual a zero para lag superior a q;

(iii) Um processo ARMA(p,q) tem FAC infinita em extensão, que decai de acordo com exponenciais e/ou senóides amortecidas após o lag q-p.

Estas observações são úteis no procedimento de identificação do modelo que será ajustado à série observada; calculando-se as estimativas das FAC que acreditamos reproduzir adequadamente as verdadeiras FAC desconhecidas e comparando seu comportamento com o descrito acima, para cada modelo, tentamos escolher um (ou mais) modelo(s) que descreva(m) a série dada.

Em particular, a FAC é útil para identificar modelos MA, dada a característica (ii) acima, não sendo útil para identificar modelos ARMA, que têm FAC complicada [MOR08].

Box, Jenkins e Reisel [BOX94] propuseram um procedimento alternativo de identificação baseado na função de autocorrelação parcial (FACP).

Pode-se demonstrar que, para os processos AR(p), MA(q) e ARMA(p,q), temos:

(i) Um processo AR(p) tem FACP 0≠kkφ , para pk ≤ e 0=kkφpara pk > ;

(ii) Um processo MA(q) tem FACP que se comporta de maneira similar à FAC de um processo AR(p): é dominada por exponenciais e/ou senóides amortecidas;

(iii) Um processo ARMA(p,q) tem FACP que se comporta como a FACP de um processo MA puro.

Segue-se que a FACP é útil para identificar modelos AR puros, não sendo tão útil para identificar modelos MA e ARMA.

Ora, a função de autocorrelação parcial (FACP) de um ruído branco é igual a zero para qualquer lag maior que zero ⇒ CERTO.


42


GABARITO: CERTO

6. A variância do passeio aleatório ∑=

=t

kkt YS

1

é igual a 3

32t.

Resolução

Seja um processo estacionário tY . A soma ∑=

=t

kkt YS

1

é denominada

tendência estocástica.

Se ),0(~ 2σRBYt então tS é conhecido como passeio aleatório,

pois

ttt YSS += −1 .

Demonstra-se que a variância do passeio aleatório é dada por

22 σσ tt = ⇒ logo o item está ERRADO.

GABARITO: ERRADO

7. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)Seja Z = {Z(t), t ∈ T} um processo estocástico, considere as seguintes condições

(i) E{Z(t)} = µ(t) = µ = constante, para todo t ∈ T;

(ii) E{Z(t)} = 0, para todo t ∈ T;

(iii) E{Z2(t)} < ∞, para todo t ∈ T;

(iv) E{Z2(t)} = t, para todo t ∈ T;

(v) Cov{Z(t1), Z(t2)} é um função de |t1-t2|

Dizemos que Z é estacionário de segunda ordem ou fracamente esta-cionário se e somente se estiverem satisfeitas as condições, além da (v)

A) (i) e (ii)

B) (ii) e (iv)

C) (i) e (iii)

D) (i) e (iv)

E) (ii) e (iii)

Resolução


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Um processo estocástico }),({ TttZ ∈ é fracamente estacionário ou estacionário de segunda ordem se e somente se

a) μμ == )()]([ ttZE , constante, para todo Tt∈ ; b) ∞<)]([ 2 tZE , para todo Tt∈ ; c) ),( 21 ttγ é uma função apenas do valor absoluto da defasagem

|| 21 tt − .

A primeira condição afirma que a média é igual para todo período, mesmo que a distribuição da variável aleatória vá se alterando ao longo do tempo. A segunda condição afirma apenas que o segundo momento não centrado deve ser finito, ainda que desigual em diferentes instantes. A terceira condição estabelece que a variânciaé sempre igual para todo instante de tempo e que a autocovariância não depende do tempo, mas apenas da distância temporal (defasagem) || 21 tt − entre as observações.

GABARITO: C

8. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)De um modo geral, a análise espectral de séries temporais estacionárias decompõe a série em

A) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionados.

B) um componente de tendência e uma componente sazonal.

C) uma componente polinomial, uma componente cíclica e uma componente sazonal.

D) componentes senoidais com coeficientes aleatórios correlacionados e componentes cossenoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.

E) componentes senoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.

Resolução

Primeiramente, é importante ressaltar que o tópico “Análise Espectral de Séries Temporais” não aparece de forma explícita no conteúdo programático da prova de Econometria do BACEN, o que nos leva a crer que a probabilidade desse assunto ser cobrado na prova é praticamente nula. Mas vamos à resolução, por via das dúvidas.

Vejam só o seguinte parágrafo da pág. 415 do livro de Morettin e Toloi [MOR04]:


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“De uma forma geral, a análise espectral de séries temporais estacionárias {Zt} decompõe a série em componentes senoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados. Juntamente com essa decomposição, existe a correspondente decomposição, em senóides, da função de autocovariância γ(t). Assim, a decomposição espectral de um processo estacionário é um análogo à representação de Fourier de funções determinísticas.”

A afirmação feita por Morettin e Toloi está baseada no Teorema da Representação Espectral de Cramér7. O Cap. 4 do livro [PER93] de Percival e Walden apresenta a motivação do Teorema e o discute em profundidade. Entretanto, a prova rigorosa do teorema não é dada8, pois ela é muito (mas muito mesmo) complicada!

Vamos analisar brevemente cada uma das alternativas.

(A) ⇒ está errada porque diz que os coeficientes aleatórios das senóides são correlacionados.

(B) ⇒ está errada porque refere-se a uma análise que pertence ao domínio do tempo (a questão trata da análise de séries no domínio da freqüência). (C) ⇒ está errada pelo mesmo motivo da alternativa acima.

(D) ⇒ está errada pelo mesmo motivo da alternativa (A).

(E) ⇒ correta, conforme explicado acima.

Enfim, para a prova, basta memorizar o enunciado do teorema da representação espectral.

Aproveitamos a oportunidade para apresentar a definição da função densidade espectral de um processo aleatório estacionário.

Seja )}({ tZ , ,...2,1,0 ±±=t , um processo estacionário com média zero e função de autocovariância )(τγ , em que τ denota lag. A função densidade espectral f(λ) ou, simplesmente, espectro de Zt, é definida como a transformada de Fourier de )(τγ , dada por

7 Cramér, H. (1942) On Harmonic Analysis in Certain Functional Spaces. Arvik för Matematik, Astronomi och Fysik, 28B, 1-7 8 Ela pode ser encontrada em: Priestley, M. B. (1981) Spectral Analysis and Time Series. London: Academic Press.


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∑∞

−∞=

−=τ

λττγπ

λ ief )(21)(

com λτλτλτ sincos +=ie e 1−=i . A definição dada acima está de acordo com a notação de Morettin e Toloi em [MOR04, pág. 416]. Percival e Walden [PER93] usam o símbolo S(f), em que f=λ/2π, para denotar o espectro de Z(t). Neste caso a definição de espectro fica na forma

∑∞

−∞=

−=τ

τπτγ fiefS 2)()(

Resumindo para a prova: a função de autocovariância )(τγ de Z(t) e a função densidade espectral de Z(t) possuem uma relação de Fourier (ou formam um par de Fourier)

)()( fS↔τγ .

A função de autocovariância )(τγ é uma caracterização de Z(t) no domínio do tempo. O espectro S(f) é uma caracterização (equivalente) que é feita no domínio da freqüência.

GABARITO: E

9. (MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)Seja Z = {Zt, t ∈ T} um processo AR(1) dado por Zt = φZt-1 + at, onde at é o ruído branco com média zero e variância um. Seja ρj, j ≥ 1 a função de autocorrelação do processo Zt. É correto afirmar:

A) ρ1=φ e ρj=0, se j≥2

B) ρj=φj, j≥1

C) ρj=1/(1-φj), j≥1

D) ρj=φj/(1-φj), j≥1

E) ρj=1/φj, j≥1

Resolução

Seja o processo AR(1) ttt aZZ += −1φ . Vimos na Aula 4 que podemos expressar a autocovariância de defasagem τ na forma

221 σ

φφ

γτ

τ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎝⎜⎛

−=


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em que 2σ denota a variância de at.

A FAC de um processo AR(1) satisfaz

,1−= ττ φρρ 0>τ .

Como 10 =ρ , temos que

,ττ φρ = 1≥τ .

Este resultado nos diz que o valor absoluto da FAC de um modelo estacionário AR(1) decai exponencialmente à taxa φ com valor

10 =ρ . O decaimento exponencial da FAC de um modelo AR(1) com φpositivo é monotônico. Por outro lado, o plot da FAC de um modelo AR(1) com φ negativo mostra que há dois decaimentos exponenciais alternados (um positivo e outro negativo) com taxa 2φ .

GABARITO: B

10.(MPE-PE/Analista Ministerial – Área Estatística/FCC/2006)Para o processo ARIMA(1,d,1), onde φ é o coeficiente autoregressivo e θ é o coeficiente de médias móveis, é correto afirmar:

A) a função de autocorrelação parcial só é diferente de zero no lag 1

B) a função de autocorrelação só é diferente de zero nos lags 1 e 2.

C) Se d=1, o processo é estacionário.

D) A região de admissibilidade é dada por |φ|<1 e |θ|<1

E) A função de autocorrelação é dominada por senóides amortecidas.

Resolução

As alternativas sugerem que a questão aborda os seguintes tópicos: procedimento de identificação e critérios de estacionariedade e invertibilidade (“região de admissibilidade”) de processos ARIMA(p,d,q).

Segue-se transcrição de parte do item 6.2 de Morettin e Toloi [MOR04].

O objetivo da identificação é determinar os valores de p, d e q do modelo ARIMA(p,d,q), além de estimativas preliminares dos parâmetros a serem usadas no estágio de estimação.

O procedimento de identificação consiste de 3 partes:


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(a) Verificar se existe necessidade de uma transformação na série original, com o objetivo de estabilizar sua variância.

(b) Tomar diferenças da série obtida no item (a), tantas vezes quantas necessárias para se obter uma série estacionária, de modo que o processo ΔdZ(t) seja reduzido a um ARMA(p,q). O número de diferenças, d, necessárias para que o processo se torne estacionário, é alcançado quando a FAC amostral de Wt = ΔdZ(t) decresce rapidamente para zero. Neste está-gio a utilização de um teste (como o teste tau de Dickey-Fuller) para verificar a existência de raízes unitárias no polinômio auto-regressivo, pode ser de grande utilidade.

(c) Identificar o processo ARMA(p,q) resultante, através da análise das autocorrelações e autocorrelações parciais estimadas, cujos comportamentos devem imitar os comportamentos das respectivas quantidades teóricas, conforme resumido pela Tabela abaixo:

(1,d,0) (0,d,1) ρk decaimento exponencial somente ρ1≠0 φkk somente φ11≠0 decaimento exponencial

dominante região de admissibilidade

-1<φ<1 (estacionariedade9)

-1<θ<1 (invertibilidade10)

(2,d,0) (0,d,2) ρk mistura de exponenciais

ou senóides amortecidassomente ρ1≠0 e ρ2≠0

φkk somente φ11≠0 e φ22≠0 dominada por mistura de exponenciais ou senóides amortecidas

região de admissibilidade

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+<−<<−

1111

12

12

2

φφφφφ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<+<−<<−

1111

12

12

2

θθθθθ

(1,d,1) ρk decai exponencialmente após o lag 1 φkk dominada por decaimento exponencial após o lag 1

região de admissibilidade

-1<φ<1-1<θ<1

Análise das alternativas:

(A) ⇒ errada. A FACP de uma ARIMA(1,d,1) é dominada por decaimento exponencial após o lag 1. 9 Qualquer processo AR(p) é invertível. 10 Qualquer processo MA(q) é estacionário.


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(B) ⇒ errada. A FAC de uma ARIMA(1,d,1) decai exponencialmente após o lag 1.

(C) ⇒ errada. Se d =1 o processo é integrado, logo é não estacionário.

(D) ⇒ certa, conforme a Tabela acima.

(E) ⇒ errada. A FAC decai exponencialmente após o lag 1

GABARITO: D

(Exame Nacional ANPEC/Prova de Estatística/2009) Julgue os itens a seguir.

11. A estatística de Dickey-Fuller para testar a presença de raiz unitária em séries temporais possui sempre distribuição Normal.

Resolução

Podemos testar a estacionariedade de uma série temporal por meio de um teste de raiz unitária. Suponha o modelo AR(1)

,1 ttt yy ερ += −

em que ρ é o coeficiente e tε denota a perturbação aleatória do

modelo, com média zero e variância 2εσ . Se 1=ρ , então temos o

passeio aleatório ttt yy ε+= −1 , que possui uma raiz unitária, pois 1=ρ(lembre que o modelo AR(1) acima é estacionário se 1|| <ρ ).

Podemos testar a estacionariedade do modelo ttt yy ερ += −1 , testando a hipótese nula de que 1=ρ , contra a alternativa de que 1|| <ρ , ou simplesmente 1<ρ . Coloca-se o teste em uma forma conveniente subtraindo-se 1−ty de ambos os membros do modelo, obtendo-se

ttttt yyyy ερ +−=− −−− 111

ttt yy ερ +−=Δ −1)1( , logo

ttt yy εγ +=Δ −1

em que 1−−=Δ ttt yyy e 1−= ργ . Então


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⎩⎨⎧

<↔<=↔=

0:1:0:1: 00

γργρ

aa HHHH

Nós já aprendemos que 1−−=Δ ttt yyy é a primeira diferença de ty . Se ty é um passeio aleatório, então 0=γ e

tty ε=Δ

é um ruído branco (processo estacionário).

O estimador de mínimos quadrados de ρ no modelo AR(1) mencionado anteriormente tem distribuição assintoticamente normal quando o modelo é estacionário. No caso de raízes unitárias, a aproximação normal não se aplica e a estatística t não possui distribuição t. Portanto, não podemos aplicar a distribuição t para o teste de hipóteses. Quando isto acontece, a estatística t passa a ser chamada de estatística τ (tau), a qual deve ser comparada com valores críticos tabelados. Originalmente, estes valores críticos foram calculados por Dickey e Fuller com base em simulações de Monte Carlo e o teste que usa esses valores críticos tornou-se conhecido como teste tau ou teste de Dickey-Fuller (DF). Note que, se a hipótese nula 1=ρ (passeio aleatório) for rejeitada, podemos usar o teste t (de Student) da forma usual.

A estatística τ é dada por

.ˆ

γ̂

γτs

=

Após ter calculado o valor de τ, consultamos a tabela de Dickey-Fuller para ver se a hipótese nula 1=ρ é rejeitada. O critério a ser usado é o seguinte: se o valor da estatística τ é menor que os valores críticos τc de DF, então a série é estacionária, ou seja, se τ < τc

⇒ série sob teste é estacionária. Se, por outro lado, τ for maior que o valor crítico τc de DF, então a série temporal não é estacionária, isto é, se τ > τc ⇒ série sob teste tem raiz unitária (é não estacionária do tipo I(1)).

O item é falso porque a estatística de Dickey-Fuller nunca tem distribuição Normal. Ela poderá ter distribuição t-Student caso a série seja estacionária.

GABARITO: FALSO


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12. O teste t em regressões envolvendo variáveis não-estacionárias não será válido caso a regressão seja espúria.

Resolução

Aprendemos na Aula 6 que os procedimentos de teste t e F não são válidos caso a regressão seja espúria ⇒ item verdadeiro.


13. No processo AR(1), ,110 ttt eYy ++= −φφ , em que |φ1|<1 e te é um ruído branco de média nula e variância σ2, a média de yt será igual a φ0.

Resolução

Tomando a esperança de ambos os membros de ,110 ttt eYy ++= −φφobtemos

][][ 110 −+= tt yEyE φφ ,

pois 0][ =teE . Como o modelo é estacionário, pois foi dito que |φ1|<1, tem-se que μ== − ][][ 1tt yEyE e portanto

μφφμ 10 += ou

01

0

1][ φ

φφμ ≠−

==tyE ⇒ portanto o item é FALSO.

GABARITO: FALSO

14. O processo MA(1), ,1−+= ttt eey θ , em que te é um ruído branco de

média nula e variância constante, será estacionário mesmo que 1|| >θ .

Resolução

Um processo MA(q) é estacionário por definição, pois 1−+= ttt eey θsempre será uma série limitada, ou seja, ∞<< Myt || . Contudo a série é não invertível se 1|| >θ .



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15. (Adaptada) Seja a função de autocorrelação do processo AR(1) definido no item (13) dada por ρj. É correto afirmar que j

j 1φρ = .

Resolução

Para o modelo AR(1) do item (13), vale ,1j

j φρ = 1≥j . O enunciado

não especificou a condição 1≥j . Apesar disso, não vemos motivo para considerar o item como sendo falso.


bacen2010 econometria barbosa cunha aula-3

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