Cours de Statique 3me anne INSA LYON Dpartement Gnie Civil et Urbanisme

F2 F3 F1

B A

Jean-Franois GEORGIN

SommaireCHAPITRE I CINEMATIQUE DU SOLIDE 1. INTRODUCTION SUR LE SOLIDE INDEFORMABLE 2. CONDITIONS DE LIAISON (SUPPOSEES PARFAITES) 2.1 LIAISON PONCTUELLE 2.2 LIAISON LINEIQUE RECTILIGNE 2.3 LIAISON LINEIQUE ANNULAIRE 2.4 LIAISON ROTULE 2.5 APPUI PLAN 2.6 LIAISON PIVOT 2.7 LIAISON GLISSIERE 2.8 LIAISON ENCASTREMENT 3. TORSEUR CINEMATIQUE 4. ANALYSE CINEMATIQUE DES STRUCTURES 4.1 ANALYSE RIGOUREUSE : 4.2 ANALYSE DITE INGENIEUR OU METHODE GRAPHIQUE : CHAPITRE II STATIQUE 1. BILAN STATIQUE DUN SOLIDE INDEFORMABLE 2. CONDITIONS DE LIAISON 1.1 LIAISON PONCTUELLE 1.2 LIAISON ARTICULEE 1.3 LIAISON ENCASTREMENT 3. LE TORSEUR DES EFFORTS 4. EQUILIBRE STATIQUE DUN SOLIDE 4.1 BILAN 1 4.2 BILAN 2 4.3 BILAN 3 5. ANALYSE STATIQUE DES STRUCTURES 6. NOTION DE STABILITE 7. DEFINITION DU FUNICULAIRE DE FORCE 7.1 CONSTRUCTION DU FUNICULAIRE DE FORCE : 7.2 CAS DUNE CHARGE RPARTIE CHAPITRE III SYSTEMES RETICULES 1. 2. 3. 4. INTRODUCTION METHODE DES NUDS METHODE DE RITTER METHODE GRAPHIQUE DU CREMONA 3 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 9 10 14 16 16 16 17 17 18 18 19 20 20 21 23 24 27 28 30 31 31 32 32 32

2

Chapitre I Cinmatique du solide1. Introduction sur le solide indformablePour analyser un solide, il est possible de considrer en premire approximation celui-ci comme indformable. Alors, le mouvement de ce solide peut tre dfini comme suit :

0

x tat initial A B

y

vA

AuA

tat final

Le mouvement dun solide indformable se compose de deux transformations caractristiques, par rapport un repre donn (x0y) :

r .1. Un mouvement de translation de corps rigide, dfini par le vecteur U = (u A , v A ) r r .2. Un mouvement de rotation de corps rigide, dfini par le vecteur rotation = kRemarque : Par la suite, lorsque le solide ne sera plus considr comme indformable, une troisime transformation viendra sajouter aux deux dfinies prcdemment et concernera le mode de dformation propre du solide. Cette dformation sera soit gnrale (Voir cours de Mcanique des Milieux Continus), soit particulire (Voir cours de Thorie des Poutres, des Plaques, )

2. Conditions de liaison (supposes parfaites)Tout solide est en interaction avec son environnement et/ou avec dautres solides. Ces interactions sont dfinies par des modles de liaison particuliers numrs ci-aprs dont on dfinit clairement pour chacune les mouvements relatifs ou absolus que la liaison autorise ainsi que sa schmatisation.

3

2.1 Liaison ponctuellez

symbole plan (S1)

O

y

P (S2)x

2.2 Liaison linique rectilignez

(S1)

O

y

P (S2)x

4

2.3 Liaison linique annulairez

Symbole plan (S1)

O

y

(S2)

x

2.4 Liaison rotulez

symbole plan

(S1)

y

(S2)

5

2.5 Appui planz

(S1)

O

y

P (S2)x

2.6 Liaison pivotz

(S1)

O

y

(S2)

x

6

2.7 Liaison glissirez

(S1)O y

(S2)x

2.8 Liaison encastrementz

symbole plan

(S1)

y

(S2)

7

3. Torseur cinmatiquePour reprsenter le mouvement dun solide indformable S par rapport une rfrence R que la condition de liaison autorise, on dfinit un objet mathmatique appel Torseur cinmatique r & du mouvement dont les composantes sont le vecteur angulaire et le vecteur dplacement r & U :

r & {C }A = r & U A A

rsul tan te moment

(Eq. 3.1)

Par la suite, on considrera des transformations infinitsimales et par consquent on pourra donc utiliser une dclinaison du torseur cinmatique dont la rsultante est le vecteur rotation r r infinitsimale et dont le moment est le vecteur dplacement infinitsimal U .

r {C }A = r UA AFormule de transport

(Eq. 3.1bis)

{C }B =

r U B = U A + AB = U A + BA B

(Eq. 3.2)

On dfinit laxe central

On dfinit comme axe central laxe passant par le point I pour lequel le torseur cinmatique se rduit comme suit :

{C }I =

r UI = 0 I

(Eq. 3.3)

Dans le plan, il sagit dun centre instantan de rotation Dans toute transformation de rotation de corps rigide, on dfinit le centre instantan de rotation comme le point I. Tout point A a un dplacement par rapport I tel que :

{C }A =

r U AI = + 0 A A

I est forcment sur lorthogonale de la droite porte par U A

8

0

x B UB A y UA

I

{C }B =

r U B = U I + IB B

(Eq. 3.4)

U B = IB sin(k , IB)) = IB

(Eq. 3.5)

Remarque : Le mouvement de translation de corps rigide est dfini par un torseur cinmatique de la forme :

{C }M =M

=0 r UM

(Eq. 3.6)

Cela implique que tout point M quelconque du solide indformable subit un dplacement identique U M .

4. Analyse cinmatique des structuresIl sagit de faire une analyse dune structure compose dun ensemble de solides considrs comme indformables et lis entre eux et/ou avec lenvironnement. Pour se faire, les notions cinmatiques introduites dans ce chapitre sont utiles. Deux approches sont possibles ; une approche base sur lcriture explicite des conditions de liaisons relatives ou absolues, et une deuxime approche base sur une analyse dite ingnieur permettant de dfinir lexistence ou non de mcanisme au sein dune structure. La premire est utilise dans le cadre de ce cours pour poser les principes et les ides qui sont utiles lanalyse des structures. La seconde quant elle est la mthode servant doutil lingnieur Gnie Civil.

9

F P B

( )y

hA

Lx

4.1 Analyse rigoureuse :Pour dterminer si cette structure prsente un mcanisme, c'est--dire que le mouvement dune partie de la structure ou de lensemble est possible, il est ncessaire de considrer les conditions cinmatiques imposes par toutes les conditions de liaison. Ici, il sagit de lappui simple en A et de larticulation en B. Pour ce faire, on exprime respectivement le torseur cinmatique associ chaque condition de liaison en un point choisi arbitrairement que lon appellera le ple P. 1) Appui simple en A : Lappui simple en A conditionne que le dplacement du point A dans la direction ( ) est nul. Le torseur cinmatique associ cette condition de liaison scrit :

{C }lA =A

r U A = u A i + vA j A

(Eq. 4.1)

Avec la relationu A cos( ) + v A sin ( ) = 0

(Eq. 4.2)

Le torseur cinmatique associ la liaison en A exprim au ple P scrit daprs la relation de transport :

10

{C }lP =A

r U P = U A + AP P

(Eq. 4.3)

On a donc :

u P u A 0 x P x A U P = v P = v A + 0 y P y A w 0 z z A P pDo on obtient :

(Eq. 4.4)

uP = u A ( yP y A ) = u A h v P = v A + (x P x A ) = v A

(Eq. 4.5) (Eq. 4.6)

En substituant les dplacements du point A dans la relation (4.2), on obtient :

(u P + h) cos( ) + vP sin( ) = 02) Articulation en B :

(Eq. 4.7)

Larticulation en B conditionne que le dplacement du point B est nul. Le torseur cinmatique associ cette condition de liaison scrit :

{C }lB =B

r UB = 0 B

(Eq. 4.8)

Le torseur cinmatique associ la liaison en B exprim au ple P scrit daprs la relation de transport :

{C }lP =B

r U P = U B + BP P

(Eq. 4.9)

On a donc :

11

u P 0 0 x P x B U P = v P = 0 + 0 y P y B w 0 z z B P pDo on obtient :

(Eq. 4.10)

u P = ( y P y B ) = 0 v P = (x P x A ) = L3) Bilan cinmatique

(Eq. 4.11) (Eq. 4.12)

Pour faire le bilan cinmatique, il sagit dtudier la compatibilit des deux torseurs cinmatiques au ple P. Dun point de vue mathmatique, cela correspond ltude du champ des solutions du systme linaire suivant :

u P cos( ) + vP sin ( ) + h cos( ) = 0 uP = 0 v P + L = 0Qui peut scrire sous la forme matricielle suivante :m = nb ddl 64444 4 744444 8 cos( ) sin ( ) + h cos( ) u P 0 1 v = 0 n = nb CL 0 0 P 1 L 0 0

(Eq. 4.13)

(Eq. 4.14)

Soit

[C ] {U p } = {U X }

(Eq. 4.15)

Le systme admet une solution triviale si et seulement si le dterminant du systme est non nul, soit :

= h cos( ) L sin ( ) 0Ou encore la condition gomtrique :

(Eq. 4.16)

12

tg ( )

h . L

(Eq. 4.17)

Soit n le nombre de lignes (le nombre de conditions de liaisons) et m le nombre de colonnes (le nombre de degrs de liberts), trois cas se prsentent alors, correspondant chacun un type de structure :

n < m ; le nombre de conditions de liaison (CL) est infrieur au nombre de degr de libert (ddl). Il existe plusieurs configurations dplaces. La structure ne peut tre quilibre et le systme est dit hypostatique. n =m ; le nombre de conditions de liaison est gale au nombre de degr de libert. Il y a autant dinconnues que dquations, il y a donc une solution triviale si le dterminant du systme est non nul. Le systme est dit isostatique. n > m ; le nombre de conditions de liaison est suprieur au nombre de degr de libert. Il y a plus dquations(n) que dinconnues (m), il y a donc galement une solution triviale si le dterminant dau moins un sous-systme de rang m est non nulle. Le systme est dit hyperstatique.

Exemples :

F B P y

( )

hA

Lx On ajoute la condition u p = 0 mais les dterminants de rang 3 restent tous nuls

13

F B P

( )y

hA

Lx Il existe un dterminant non nul de rang 3.

4.2 Analyse dite ingnieur ou mthode graphique :

ivi ui

j

ui

vj

Translation

ij =

v j vi

ijRotation

l

14

Exemples de structures analyser :

Structure 1

Structure 2

15

Chapitre II Statique1. Bilan statique dun solide indformablePour une analyse statique dun solide indformable, il est ncessaire disoler dans un premier temps tout ou une partie seulement du solide et dans un deuxime temps de raliser un bilan des efforts sur la partie du solide isol.

0 Fi I

x

C iIC II

Fi II

C iII

A

I

B

y Il y a deux types de chargement :

Dtermin : le chargement impos (poids propre, charges dexploitation, charges de vent et de neige) Indtermin : les efforts de ractions qui rsultent des conditions cinmatiques imposes sur le solide

2. Conditions de liaisonTout solide est en interaction avec son environnement et/ou avec dautres solides. Ces interactions sont dfinies par des modles de liaison particuliers numrs ci-aprs dont on dfinit clairement pour chacune les efforts de raction externes et/ou internes quengendre la condition de liaison.

16

1.1 Liaison ponctuellez

O y

RA

1.2 Liaison articulez

HA

O y

VA

17

1.3 Liaison encastrementz

HA

O y

MA

VA

3. Le torseur des effortsUn objet mathmatique appel torseur des efforts permet de reprsenter le champ des forces et des moments appliqus un solide isol. Ce torseur des efforts scrit en un point M quelconque en fonction de la rsultante des efforts et de la rsultante des moments et des couples:

{ F }M =M

M = Ci + F i MiM

R = Fi

On peut mettre en vidence quelques proprits des torseurs :a) Formule de transport

{F }B =

R M B = M A + R AB B

b) Axe central On dfinit comme axe central laxe passant par le point A pour lequel le torseur de force se rduit comme suit

{F }A =

R MA =0 A18

Le moment induit par une force agissant en A par rapport un point B se dduit de la formule de transport :

{F }B =

R M B = 0 + BA R B

M B = BA R sin BA, R = (bras de levier) R

(

)

R

A

B

4. Equilibre statique dun solide

Un solide ou une partie de solide est en quilibre si et seulement si le torseur des efforts et des moments agissant sur la partie du solide ou le solide entier isol est nul. Ce torseur peut tre exprim en un point quelconque M

{F }M =M

R=0 MM =0

19

4.10

Bilan 1x

C iIC II

Fi II

C iII

Fi I

I RB, MB RA, MA yI II = + R F F i i + R A + RB = 0 ( I + II ) {F }M = M =0 M

Avec

r r I II M = Ci + Ci + M A + M B + I i II M iM + F i M iM + R A AM + R B BM

F 4.20

Bilan 2x

C iIRC, MC

Fi I

I y RA, MA

{ }Avec

(I ) F M

I R = Fi + R A + R C = 0 = M =0 M

20

r r I I + M = F i M iM + R A AM + R C CM Ci + M A + MC

4.30

Bilan 3Fi IIRC, MC II

x

C iII

RB, MB yII R = F i + RC + R B = 0 ( II ) { F }M = M =0 M

Avec

r r II II + M = Ci + M B + M C F i M iM + R B BM + RC CM

Remarque 1 :

Les bilans 1, 2 et 3 dmontrent le principe de laction / raction, c'est--dire que :

R C = R C r r = M C MCRemarque 2 :

Cela implique donc en particulier que pour un solide en configuration plane, la somme des efforts horizontaux, la somme des efforts verticaux et la somme des moments par rapport un point quelconque sont respectivement nulles.

21

Exemple de la poutre isostatique : X F

HA Y VA VB

Les quations dquilibre conduisent au systme suivant :

Somme des forces horizontales HA=0

Somme des forces verticales VA + VB + F = 0 Somme des moments par rapport au point M -VA* L/2 + VB* L/2 = 0

22

5. Analyse statique des structuresF P B HB

( )A RA VB

Les quations dquilibre conduisent au systme suivant :

Somme des forces horizontales

RA cos( ) + HB =0 RA sin ( ) + VB - F = 0

Somme des forces verticales

Somme des moments par rapport au point P RA h cos( ) + VB L - F

L =0 2

Ce systme dquations linaires peut scrire sous la forme matricielle suivante :n= nb CL 644 4 744 4 8 cos( ) 1 0 RA 0 sin ( ) 0 1 H = F m = nb ddl B FL h cos( ) 0 L VB 2

Soit

23

[S ] {RX } = { FP }Le systme admet une solution triviale si et seulement si le dterminant du systme est non nul, soit :

= h cos( ) L sin ( ) 0On retrouve la condition gomtrique tg ( ) h , dj identifie dans lanalyse cinmatique. L

Soit n le nombre de colonnes (le nombre de conditions de liaisons) et m le nombre de lignes (le nombre de degrs de liberts), trois cas se prsentent alors, correspondant chacun un type de structure : n < m ; le nombre de conditions de liaison (CL) est infrieur au nombre de degr de libert (ddl). Lquilibre est impossible et le systme est dit hypostatique. n =m ; le nombre de conditions de liaison est gale au nombre de degr de libert. Il y a autant dinconnues que dquations, il y a donc une solution triviale si le dterminant du systme est non nul. Le systme est dit isostatique. n > m ; le nombre de conditions de liaison est suprieur au nombre de degr de libert. Il y a plus dinconnues que dquations, le problme est statiquement indtermin. Le systme est dit hyperstatique.

6. Notion de stabilitDans le cas o on suppose le solide comme indformable, le travail des efforts extrieurs est nul et scrit de manire gnrale ainsi :

{U X }T {RX } + {U P }T {FP } = 0Les formalismes des analyses cinmatique et statique aboutissent aux deux systmes suivants :

[C ] {U p } = {U X } [S ] {RX } = { FP }Soit:

{U X }T = {U p }T [C ]T24

Par consquent, lquation prcdente devient :

{U P }T [C ]T {X } {U P }T [S ]{X } = 0Soit :

{U P }T ([C ]T [S ]){X } = 0Dont on peut dduire que, quelque soit le ple P arbitrairement choisi, on a :

[C ]T = [S ]Une dfinition de la stabilitUne structure est dite stable sil y a quune gomtrie du systme qui conserve la fois la gomtrie des lments et la conformit des liaisons inter - lments ou des liaisons avec lextrieur. (cinmatiquement dtermin) si les actions de liaison sont en mesure dassurer les conditions dquilibre. (statiquement dtermin)

Dun point de vue pratique, il suffit de faire une analyse cinmatique graphique pour dterminer lexistence ou non de la stabilit dune structure. Dans le cas o la stabilit est confirme, lanalyse statique peut alors tre commence.

Critre de stabilit ? Si n < m cest une condition suffisante pour dmontrer la caractre instable Si n = m, il y a prsomption de stabilit mais cela dpend de la valeur du dterminant du systme Si n > m, il y a galement prsomption de stabilit et cela dpend galement de la valeur du dterminant.

25

7. Principe du travail VirtuelUne mthode plus sophistique permettant de dterminer les inconnues statiques repose sur le principe du travail virtuel. Comme illustration, on considre le portique isostatique suivant, soumis une force horizontale F : L F

H

HA

A

B

VA

VB

Si on veut dterminer linconnue de raction VB, on libre la condition de liaison associe cette inconnue de raction. On applique alors le principe selon lequel le travail des efforts externes appliqus sur le solide, considr comme indformable, est nul. Ce principe est vrai quelque soit le champ de dplacement virtuel du solide indformable. Ici, on peut considrer la rotation de mouvement de corps rigide telle que reprsente sur la figure suivante : UF

UB

26

Le travail scrit donc : Wext = F UF - VB UB = 0 Soit : F H - VB L = 0 On trouve ainsi la raction verticale en B : VB = H F L

8. Dfinition du funiculaire de forceSoit une brche dont ltendue est dfinie par les deux points extrmes A et B distants de la longueur l . Une structure (S) est dfinie dans le but de supporter un systme de force dfini par plusieurs charges Fi ponctuelles de direction et dintensit connues.

F2 F3 F1

B A

On peut dfinir la rsultante R du systme de forces Fi . Il est alors ais de dterminer graphiquement les forces de ractions en A et en B, respectivement R A et R B en exprimant graphiquement que la somme des forces est gale zro (polygone de force) et que la somme des moments est galement gale zro (trois forces concourantes en un mme point).

27

7.1 Construction du funiculaire de force :Chercher le funiculaire de force consiste dterminer la ligne moyenne (f) de la matire telle que chaque tronon de matire soit quilibr par des forces uniquement de compression et dont la direction est constamment tangentielle (f). R=Fi

RB RA (S) B A RA R=Fi

RB Polygone de forces

28

F2 F3 F1

B A Funiculaire de force

29

7.2 Cas dune charge rpartie

q F2 y F1 C2 C1 B A x1 x2 x

A F1 F2 P

1 2 SB

Sur un tronon lmentaire de structure de longueur projete horizontale dx, la charge supporte est qdx. On retrouve cette valeur sur le polygone de force par la longueur du segment F1 F2 . Si lon considre y ( x ) comme tant la courbe reprsentative du funiculaire, on peut noter que les tangentes au funiculaire en F1 et F2 sont respectivement y ( x1 ) et y ( x 2 ) . De mme, les valeurs de ces drives se retrouvent sur le polygone de force respectivement par les angles 1 et 2 . On a : F1 F2 = F1 S F2 S = H ( y ( x1 ) y ( x 2 )) On en dduit donc que : dy = Do : 30 q dx H

d2y q = 2 H dx

La solution cette quation diffrentielle du deuxime ordre, combine aux conditions limites est une parabole. Remarques On peut noter que la distance entre le funiculaire et la ligne moyenne de la structure CF dfinit le moment que doit tre en mesure de reprendre la section courante de la structure. On peut imaginer construire une structure dont la gomtrie est confondue avec le funiculaire. Alors celle-ci serait soumise uniquement un effort de compression (pont en arche) ou de traction (pont suspendu).

Chapitre III Systmes rticuls1. IntroductionUn systme rticul est constitu par assemblage de barres soumises exclusivement un effort de compression ou de traction. Les extrmits de ces barres sont constitues darticulation. Le chargement est appliqu seulement aux nuds.

B A B NAB

Une fois orient chaque lment de barre, on dfinit leffort normal N comme tant laction de la gauche sur la droite.

31

Exemples de systmes rticuls (voir photos de cour)

La relation suivante entre le nombre de barres b et le nombre de nuds n ; b = 2n 3 est une condition ncessaire mais pas suffisante pour assurer la stabilit isostatique dun systme rticul.

2. Mthode des nudsCette mthode consiste raliser lquilibre de tous les nuds de manire successive.

3. Mthode de RitterCette mthode consiste raliser des coupures successives du systme rticul dans le but dobtenir chaque coupure, la valeur de leffort normal dans une barre partir dune quation de moment.

4. Mthode graphique du CrmonaCette mthode consiste raliser lquilibre de tous les nuds du systme rticul de manire graphique. Le graphique reprsentant lensemble de tous les efforts normaux constitue le Crmona.

32