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Lyce Pilote Bourguiba

Tunis

DEVOIR DE CONTROTE NO2

Exercice no L (3 points)On considre la fonction f dfinie par :-/ \ xz+x+bl)lx) -' *,- ; a. b deux rels

t 1) Trouvera etb sachant que :lim/(x) : 1 et f admet un extremum en 2x-++o

* Dresser le tableau O" rfuiution de fExercice 2 (6 points)

3*" anne Maths3,4, 5Mme MILIMme CHEIKHROUHOUMme GAALOUL0s102t20t3

Dans la figure ci-;qgrte, (O,,n est un repre orthonorm direct, I est le demi cercletrigonomtrique AA' et C est la courbe reprsentative d'une fonction f dfinie sur[-1,1]

1) a) Dterminer graphiquement :f (x)lrfil

-x-+-7* X + \

f (x)lrm

-x-+L-X-l

8f {x) - 3rElim

1xa-2

i1i

8x*4

b) Dterminer une approximation affine de f ( -0,4999)/ c) Dresser le tableau de variation de f.

/ rl Prouver que f est d'quation : y -- ,{1:/ 3) Soit M un point de I priv de A et A', d'abscisse x. On dsigne par H le projet'/ orthogonal de M sur (OA) et par A(x) l'aire du triangie AMH

Montrer que A(x):1t, - x)lT - x',^, P 4) Sachant que (x):A(x) pour xe]-1,1[fi\) Dterminer les coordonnes cartsiennes puis polaires du point Ms de I pour\r' que l'aire du triangle (AM0H0 ) soit maximale.

Quetle est cette.aire ?. Exercice no 3 (4 points)

1) Montrer par rcurrence que pour tout neN : 32n+1 + 2x 43n+t est divisible par 11

2) x, y deux entiers naturels.On considre l'quation (E) : 3x- 4y:14.a) Vrifier (6 ; 1) est uhe solution de l'quation (E).

@ U)

?etennirarors les couples (x;-v) d'.ti"r. out*.t. rolutions de (E).

Exercice rc 4 : (3,5 poinis)Soit A(x) : cos4x + 2cos2x + 1 ; xeR.

1) a) Vrifier que A(xf 2cos2 2x+ Zcas2xb) Rsoudre alors dans iR puis dans I-:,:l l'quation A(x):O

2) soitB(x): #ffi; xeiROn dsigne par E l'ensemble des rels x pour lesquels B(x) est dfiniea) Dterminer EJy'q Montrer que pour xeE, B(x)- 1c) Rsoudre dansl- Tr,!l l'ioquation :

B(x) < 2sin xExercice no 5 . (3,5 points)Le plan est muni d'un repre orthonorm direct (O,,i)On considre les points A, B et C tels que :A de coordonnes polaires (2,a); u t0,ilB le point du cercle trigonomtrique avec (O,0)= 2al2r) et C - g

1) a) Dterminer en fonction de a les coordonnes cartsiennes des points A et Bb) En dduire que C est de coordonnes (2cos a-cos 3a ;2sin a-sin 3a)a) Dterminer a pour que les points O, A et B soient alignsb) Montrer que O. Od:2cos 2q-1c) Dterminer alors d pour que ACOB soit un rectangle puis le construire