i vettori caratteristiche operazioni prof. a. sala uscita

I Vettori

• Caratteristiche

• Operazioni

Prof. A. SalaUscita

Caratteristiche dei vettori

• Teoria

• Esercizio guidato

• Esercizi

Prof. A. Sala

Vettore è una grandezza caratterizzata da

Punto di applicazione

Modulo o intensità

Direzione

Verso

Per indicare che la grandezza è un vettore si pone una

freccia sopra la lettera che lo definisce:

A

La lettera senza la freccia, cioè A, indica il modulo di

tale vettore

Un vettore viene rappresentato mediante un segmento orientato come quello

disegnato qui sotto

coda

testa o punta

Tale segmento non può essere disegnato a caso ma deve rispettare le quattro

caratteristiche del vettore che rappresenta:

• la coda del vettore viene fatta coincidere con il punto di applicazione;

• la lunghezza del segmento rappresenta, in scala, il modulo del

vettore;

• l’inclinazione del segmento rappresenta la direzione;

• la freccia del segmento rappresenta il verso.

A

La direzione ed il verso vengono definite contemporaneamente utilizzando un

angolo, come nel disegno sottostante:

A

Questo è il vettore A rappresentato nella precedente diapositiva

A

Nota bene: – la linea rossa tratteggiata deve • essere orizzontale • iniziare dalla coda del vettore • essere diretta verso destra – l’angolo è antiorario

Esercizio guidatoRappresentare i seguenti vettori:

A A= 120 N angolo 90°

B B = 120 N angolo 180°

C C = 120 N angolo 0°

D D = 120 N angolo 270°• Fissiamo per prima cosa un’opportuna scala di rappresentazione, in funzione delle dimensioni del foglio su cui dobbiamo disegnare i quattro vettori; • evitiamo di utilizzare il quadretto come unità di scala poiché risulta difficile misurare in quadretti un segmento inclinato.Utilizzando un foglio di formato A4, quello del vostro quadernone, scegliamola seguente scala: 20 N 1 cm

Con la seguente proporzione ricaviamo la lunghezza del vettore che andiamo a

rappresentare: 20 N : 1 cm = 120 N :

da cui = = 6 cmN

cmN

20

1120

Uscita

EserciziRappresenta i seguenti vettori:

A A = 20 N angolo 30°

B B = 40 N angolo 45°

C C = 30 N angolo 60°

E E = 50 N angolo 120°

F F = 65 N angolo 135°

G G = 72 N angolo 150°

H H = 32 N angolo 210°

I I = 36 N angolo 240°

L L = 25 N angolo 315°

M M = 30 N angolo 330°

Alle pagine successive troverai le soluzioni

Operazioni con i vettori

Prof.. A. Sala

• Somma di vettori

• Scomposizione di un vettore

• Moltiplicazione di un vettore per un numero

• Differenza di vettori

• Prodotto scalare di vettori

Somma di vettori

Vogliamo eseguire la seguente operazione:

A + B = R

Poiché i due addendi A e B sono vettori, l’operazione da eseguire deve tener conto

di tutte le caratteristiche dei vettori e non solamente delle quantità numeriche che

rappresentano il loro modulo.

I metodi grafici utilizzati sono:

• metodo del parallelogramma

• metodo punta - coda

Casi particolari

Metodo del parallelogramma

• Fase 1 : si rappresentano i due vettori da sommare con

• la medesima scala

• la coda in comune

A

B


• Fase 2 : dalla punta del vettore A si manda la parallela al vettore B

A

B


• Fase 3 : dalla punta del vettore B si manda la parallela al vettore A

A

B

Si è costruito così un parallelogramma, ossia un quadrilatero avente i lati opposti paralleli ed uguali


• Fase 4 : il vettore somma R = A + B unisce i vertici O e K del paralle =

logramma

A

B

O

KR


• Fase 5 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza

in cm per il relativo fattore di scala

A

B R


• Fase 6 : utilizzando un goniometro si misura l’angolo che indica la

direzione

ed il verso del vettore R

A

B R

Esercizio guidato

Esercizio guidato

Sono dati i seguenti vettori:


B B= 42 N angolo 45°

Determinare con il metodo del parallelogramma

R = A + B

Scegliamo la seguente scala di rappresentazione per entrambi i vettori:

10 N 1 cm

Ricaviamo la lunghezza A del vettore A da rappresentare con la seguente

proporzione

10 N : 1 cm = 60 N : A da cui A = ( 60 N • 1 cm ) : 10 N = 6 cm

Ricaviamo la lunghezza B del vettore B da rappresentare con la seguente

proporzione

10 N : 1 cm = 42 N : B da cui B = ( 42 N • 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm

Metodo punta - coda

• Fase 1 : si rappresentano i vettori da sommare

• con la medesima scala

• la punta del primo vettore coincide con la coda del secondo vettore

A

B

Metodo punta - coda

• Fase 2 : il vettore R = A + B unisce la coda del primo vettore con la punta

dell’ultimo vettore disegnato

A

B

R

Metodo punta - coda

• Fase 3 : si determina il modulo del vettore R moltiplicando la sua lunghezza

in cm per il relativo fattore di scala

A

B

R

Metodo punta - coda

• Fase 4 : utilizzando un goniometro si misura l’angolo che indica la

direzione

ed il verso del vettore R

A

BR

Esercizio guidato

Esercizio guidato

Sono dati i seguenti vettori:


B B= 42 N angolo 45°

Determinare con il metodo punta - coda

R = A + B

Scegliamo la seguente scala di rappresentazione e per entrambi i vettori:

10 N 1 cm

Ricaviamo la lunghezza A del vettore A da rappresentare con la seguente proporzione

10 N : 1 cm = 60 N : A da cui A = ( 60 N • 1 cm ) : 10 N = 6 cm

Ricaviamo la lunghezza B del vettore B da rappresentare con la seguente proporzione

10 N : 1 cm = 42 N : B da cui B = ( 42 N • 1 cm ) : 10 N = 4,2 cm

• Somma di più vettori

• Somma di vettori equiversi

• Somma di vettori di verso opposto

• Somma di vettori paralleli equiversi

• Somma di vettori paralleli di verso opposto

Casi particolari

Somma di più vettori

Se i vettori da sommare sono più di due viene utilizzato il metodo punta - coda.

Si dispongono i vettori, tutti con la medesima scala di rappresentazione, uno di

seguito all’altro: il vettore somma R unisce la coda del primo vettore con la

punta dell’ultimo.

A

B

C

D

R

R = A + B + C + D

Somma di vettori equiversi con medesimo punto di applicazione

Due vettori si dicono equiversi se hanno medesimo angolo.

Dati i vettori: A A = 10 N angolo 0°


ricaviamo il vettore R = A + B

Utilizziamo il metodo punta - coda:

A B N.B.: il vettore R è sovrapposto

ai due vettori A e B

2 N

R

Si può quindi affermare che il vettore R ha

• per modulo la somma dei moduli, ossia R = A + B = 10 N + 5 N = 15 N

• lo stesso angolo dei due vettori A e B, cioè 0°

A B

Somma di vettori di verso opposto e con medesimo punto di applicazione

Dati i vettori: A A = 10 N angolo 0°


ricaviamo il vettore R = A + B

Utilizziamo il metodo punta - coda:

A

B

N.B.: i vettori R e B sono

sovrapposti ad A

1 N

R

Si può quindi affermare che il vettore R ha

• per modulo la differenza dei moduli, ossia R = |A - B| = 10 N - 5 N = 5 N

• l’angolo del vettore che ha modulo maggiore, cioè 0°

A

B

Somma di vettori paralleli equiversi

Sono dati i seguenti vettori paralleli:



posti a distanza: d = 60 cm

determinare R = A + B

Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo

punta - coda.

La risultante R ha le seguenti caratteristiche:

• modulo uguale alla somma dei moduli; cioè R = A + B = 30 N

• angolo uguale a quello dei vettori A e B, cioè 270°

• punto di applicazione

Il vettore R è posizionato tra i due vettori A e B ad una distanza inversamente

proporzionale ai moduli dei vettori stessi

5 N d = 60 cm

xd - x

A

R

B

B • x = A • ( d - x ) B • x = A • d - A • x B • x + A • x = A • d ( B + A ) • x = A • d ( 20 N + 10 N ) • x = 10 N • 60 cm 30 N • x = 600 N•cm x = 600 N•cm : 30 N = 20 cm

Somma di vettori paralleli di verso opposto

Sono dati i seguenti vettori paralleli:



posti a distanza: d = 60 cm

determinare R = A + B

Risultano inapplicabili sia il metodo del parallelogramma che il metodo punta -

coda.

La risultante R ha le seguenti caratteristiche:

• modulo uguale alla differenza dei moduli; cioè R = |A - B| = |10N - 20N| = 10N

• angolo uguale a quello del vettore di modulo maggiore , cioè 90°

• punto di applicazione

Il vettore R non si trova tra i due vettori A e B ma è posizionato dalla parte del

vettore di modulo maggiore , ad una distanza inversamente proporzionale ai

moduli dei vettori stessi

5 N

d = 60 cm

xd + x

A

B

B • x = A • ( d + x ) B • x = A • d + A • x B • x - A • x = A • d ( B - A ) • x = A • d ( 20 N - 10 N ) • x = 10 N • 60 cm 10 N • x = 600 N•cm x = 600 N•cm : 10 N = 60 cm

R

Scomposizione di un vettore secondo due direzioni

• Fase 1 : si rappresenta in scala il vettore A da scomporre e si tracciano, par =

tendo dalla sua coda, le due semirette di direzione assegnata

A

1

2

Scomposizione di un vettore

• Fase 2 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 1

A

1

2


• Fase 3 : a partire dalla punta del vettore A si traccia la parallela alla direzione 2

A

1

2


• Fase 4 : si è costruito così un parallelogramma di vertici O H K L.

A

1

2

O

H K

L


• Fase 5 : la componente del vettore A secondo la direzione 1, ossia A1, unisce i

vertici O L; la componente del vettore A secondo la direzione 2, ossia

A2, unisce i vertici O H .

A

1

2

O

H K

LA1

A = A1 + A2

A2


• Fase 6 : si determina il modulo A1 del vettore A1 moltiplicando la sua lunghezza

1 in cm per il relativo fattore di scala; si determina il modulo A2 del

vettore A2 moltiplicando la sua lunghezza 2 in cm per il relativo fattore

di scala.

A

A1

A2

1 Esercizio guidato

2

Moltiplicazione di un vettore per un numero

Dato il vettore A di modulo A=20 N e angolo 0°, determinare :

B = 2 • A e C = ( -2 ) • A

Numero positivo Numero negativo 5 N

A A

B C

• Modulo

B = 2 • A = 2 • 20N = 40N C = | -2 | • A = | - 2 | • 20N = 40N

• Angolo

Medesimo angolo del vettore A Stessa direzione del vettore A ma

cioè 0° verso opposto, angolo di 180°

Differenza di vettori

La differenza tra due vettori si esegue sommando al primo vettore l’opposto del

secondo, ossia: A - B = A + ( - B)

Dati i vettori : A A = 10N angolo 0° e B B = 5N angolo 90°

determinare D = A - B

Dato che il vettore - B = ( - 1 ) • B, esso avrà le seguenti caratteristiche:

- B modulo - B = 5N angolo 270°

Applicando il metodo punta - coda si determina il vettore D :

1N

A

- B

D

Prodotto scalare di vettori

Il prodotto scalare di due vettori A x B ( si legge A scalar B ) da come risultato

una grandezza scalare :

A x B = C

Il valore di C si ricava applicando la seguente formula

C = AB • B

dove AB è il modulo della componente del vettore A secondo la direzione di B.

• AB si considera positivo se il verso di AB coincide con il verso di B

• AB si considera negativo se il verso di AB è opposto al verso di B Esercizi guidati

Esercizi guidati

1) Dati i vettori: A A = 5N angolo 0° , B B = 3m angolo 0°

determinare : C = A x B

La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi AB = A;

il verso del vettore AB coincide con quello del vettore B, quindi AB = 5N

C = AB x B = 5N • 3 m = 15 N•m

2) Dati i vettori: A A = 5N angolo 180° , B B = 3m angolo 0°

determinare : C = A x B

La direzione del vettore A coincide con quella del vettore B, quindi AB = A;

il verso del vettore AB è opposto a quello del vettore B, quindi AB = - 5N

C = AB x B = ( - 5N ) • 3 m = - 15 N•m

Esercizi guidati

3) Dati i vettori: A A = 5N angolo 90° , B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B La componente del vettore A lungo il vettore B è nulla, quindi AB = 0

C = AB x B = 0 • 3 m = 0

4) Dati i vettori: A A = 5N angolo 45° , B B = 3m angolo 0° determinare : C = A x B Si scompone il vettore A secondo due componenti: la prima parallela al vettore B, la seconda perpendicolare a B.

1 N

A

AB

A |

3,5 cm

AB = 3,5 cm • 1 N = 3,5 N 1 cm

1 cm

Il verso del vettore AB coincide con quello del vettore B, quindi AB = 3,5N

C = AB x B = 3,5N • 3 m = 10,5 N•m

i vettori caratteristiche operazioni prof. a. sala uscita

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