la limitatezza, gli zeri di una funzione e i coefficienti di eulero-fourier

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LA LIMITATEZZA, GLI ZERI DI UNA FUNZIONE

E I COEFFICIENTI DI EULERO-FOURIER

Emilio Baiada (Palermo)

INTRODUZIONE E PRELIMINARI

1. - Gih altre volte ho proposto 1o sviluppo sistematico di una Geometria

delle serie di funzioni ortogonali, e, se altrove ho trattato del cambiamento del

sistema di riferimento, qui voglio attrarre l'attenzione su alcuni risultati forte-

mente suggestivi i quali potrebbero servire di fondamento a una Geometria glo-

bale, in contrapposto alla Geometria locale delle serie di Taylor.

I risultati in oggetto sono essenzialmente dovuti a Carath6odory e a Toeplitz,

notevoli contributi essendo stati poi dati da molti altri Autori, tra i quali F6jer

e Fisher.

In tempi pifa recenti ii problema, anche generalizzato a quello dei momenti,

stato ampiamente trattato, ma noi riporteremo soltanto i risultati di A. Ghizzetti

a causa della loro affinith con quelli di Carath6odory.

I risultati di cui ci occuperemo permettono di caratterizzare, a t t raversoi

propri coefficienti di Fourier, le funzioni limitate: noi li riporteremo con le ne-

cessarie aggiunte e affinandoli ulteriormente (per es. dando la caratterizzazione

delle funzioni essenzialmente positive e quindi delle funzioni crescenti in senso

stretto, e per contrapposto di quelle non negative, ma che anche si annullano in

qualche punto e di conseguenza delle funzioni crescenti in senso lato). Inoltre,

alcune osservazioni qui fatte saranno indispensabili per uno sviluppo della teoria

per le funzioni a pifa variabili.

Anteriormente, Hurwitz, in una notevolissima memoria, aveva dato un cri-

terio, alquanto singolare, per assicurare l'esistenza di zeri di una funzione reale

di variabile reale. Questo criterio faceva intervenire delle considerazioni sui coef-

ficienti di Fourier della funzione. Questo teorema di Hurwitz aveva permesso

9 2 E M I L I O B A I A D A

una notevole fioritura di applicazioni geometriche (per es. alia teoria degli ovali (i)

e ai cosi detto teorema di Blaschke).

I! risultato di Hurwitz, che appariva isolato, ~ stato qui ulteriormente com-

pletato, inquadrato e armonizzato con quelli di Carath6odory, ai quali, anche se

apparentemente lontano, /~ invece fortemente affine.

In successivi lavori vorremo presentare una ulteriore formulazione, ancor

pifl geometrica, dei suaccennati teoremi, nonch6 1o svi luppo in p i t variabili di

queste teorie: in questo svi luppo si vedranno meglio i caratteri globali delle

considerazioni svolte.

2. - lntroduciamo alcune definizioni le quali agevoleranno l 'esposizione.

Definizione I. - Diciamo intervallo di segno costanfe per una funzione reale

di una variabile reale, un intervallo del suo campo di definizione in cui i valori

della f ( x ) che sono diversi da zero hanno tutti io s tesso segno, posit ivo o ne-

gafivo. L'intervallo di segno costante si dir/t r ispet t ivamente positivo o negativo.

Definizione II. - Una funzione definita su un intervallo (a, b) si dir~ una

funzione H (secondo Hurwitz) se (a, b) si pub decomporre in un numero finito

di intervalli di segno costante, alternativamente positivi e negativi.

I~ bene avvisare che una tale decomposizione non /~ detto che debba essere

unica, infatti interi tratti di zeri di f ( x ) possono appartenere a l 'uno o l 'altro di

due tratti di costanza dei segno consecutivi.

CAPITOLO 1

I risultati di Carathdodory

I . - I~ noto che si pos sono dare delle condizioni necessarie e sufficienti

affinch~ i coefficienti di Eulero-Fourier d 'una funzione abbastanza regolare siano

quelli di una funzione limitata (inferiormente, o superiormente o entrambi). Tra

le varie propos te sono significative quella data da Carath~odory-Toepl i tz e quella

data da A. Ghizzetti, la prima e l 'ultima in ordine di data.

Riport iamo prima i risultati di Carath~odory-Toepl i tz e li modificheremo

oppor tunamente poi. Faremo pure alcune considerazioni che ci saranno utili in

seguito. I risultati in oggetto sono i seguenti : (~)

(~) Per altri risultati e una bibliografia su queste applicazioni vedere V. Checcucci: Dis- sertazione di Laurea (Pisa) 1940.

(~) Vedere C. Carath6odory: ~Jber den Variabiliti~tsbereich der Fourier'schen Konstanfen yon positiven harmonischen Funktion. Rendiconti dei Circolo Matematico di Palermo. Tomo XXXll (2 o semestre 1911), pp. 193-217.

LA L I M I T A T E Z Z A , G L I Z E R I DI UNA F U N Z I O N E E I C O E F F I C I E N T I DI E U L E R O - F O U R I E R 9 3

T e o r e m a I: La funzione armonica:

c o

1 ~-~r"(a. n O + b . sennO) U(r, O) = -2- + cos n ~ l

risulta regolare e non negativa per r < 1 solo se, per ogni n, il punto clello spazio

cartesiano 2n-dimensionale di coordinate:

a~, b~; as, be; . . . ; a . , b.

risulta inferno (o su l la f ront ie ra) al minimo corpo convesso, che indichiamo con

K . , il quale contenga la curva chiusa di equazioni parametriche :

X i ~ COS O,

Yt = sen O,

x s - c o s 2 0 , . . . , x . ~ - - - c o s n 0 ,

Ys = sen 2 0 , . . . , y , = s e n n 0.

0 < 0 < 2 n .

T e o r e m a II : ( T o e p l i t z ) (t). Se poniamo:

ak + i b, = ~k, ak - - i b~ = ~-k,

D,(%, a,, =.2, ..., ~,)=

0~--1 ~ '0 0~1 " " �9 ~ n - - I

O ~ 2 0~_ 1 5 0 �9 �9 . 0 ~ . _ 2

k = l , 2 , 3 , . . .

~ - - n ~- - (n- - l ) �9 �9 �9 5 0

allora i punti interni cli Ks sono indiv iduat i clalle disuguaglianze :

Dk(1, o%, ~ 2 , . . . , ~ k ) > 1 0 , ( k = l , 2, 3 , . . . , n - - l ) ,

D , ( 1 , ~ i , ~s, . . . , a , ) - - - - -0 .

T e o r e m a II I : C') Sia data la successione:

a~, b e; as, b s; . . . ; an, b,; . . .

(t) Vedere C. Carath6odory, nota sopra eitata, nonch~ O. Toeplitz: Liber die Fourier'schen Enlwickelung positiver Funktionen. Rivista citata, stesso volume, pp. 191-2.

(e) Per questo teorema, anche se effettivamente gi~. dato nella prima nora, conviene vedere il lavoro di C. Carath6odory e L. Fejer: l)ber den Zusammenhang der Extremen yon harmonischen Funktionen und fiber den Picard-Landau'schen Satz. Loe. tit. pp. 218-239.

94 E M I L I O B A I A D A

che sia tale che, per ogni n, il punto di coordinate:

a~, b~; as, b~; . . . ; a,, b,

appartenga al corpo convesso K, allora la serie : o o

nO o) ~- + cos + b, sen n n=l

converge per ogni 0 <~ r < 1 e rappresenta una funzione armonica non negativa.

Teorema IV: Se il punto di coordinate:

a~, b~; as, b~; . . . ; a,, b,

un punto del corpo convesso K, e inoltre uno dei determinanti di Toeplilz :

D,(1, r % , . . . , %) ( j = 1, 2, 3, . . . , n)

si annulla, allora si annullano tutti i successivi determinanti di Toeplitz ed esiste

una e una sola funzione armonica e positiva all'interno del cerchio unitario il cui

sviluppo del tipo : o o

1 ~- + ~ f (a, cos n 0 + b, sen n 0)

cominci con i coefficienti (ai, hi), (i = 1, 2, 3, . . . , n). Inoltre, se D, ~ il primo

dei determinanti che si annulla, la funzione armonica pud essere rappresentata

dalla somma : p

~]),js(Oj, r, 0),

clove ~. sono delle costanti positive e tutte distinte, la cui somma ~ uguale a uno,

mentre Oj sono tutte costanti distinte e tall che 0 ~ Oj < 27:. Inoltre ancora d :

1 - - fl s(0~.; r, 0) = 211 - - 2 r c o s ( 0 j - - 0) + f ] "

2. - Applichiamo i risultati precedenti alle funzioni reali di una variabile

reale.

Consideriamo a tale scopo una funzione f ( x ) reale di variabile reale, definita

in (0, 2~) che sia integrabile, con solo un'infinit~t numerabile di punti di discon-

tinuit~ di prima specie la quale, pensata periodica di periodo 2~, nei punti di

discontinuit~ assuma valore compreso tra i limiti a sinistra e a destra.

Supponiamo che:

1 / ~ f ( x ) d x = 1.

LA LIMITATEZZA~ GLI ZERI DI UNA FUNZIONE E I COEFFICIENTI DI EULERO-FOURIER ~

Consideriamo adesso la funzione:

co 1 U(r, O) = y -+- ~-~ f ( a ~ cos nO + b~ sen nO),

/ l = l

dove an e b~ sono i coefficienti di Eulero-Fourier della f(0). La serie che com-

pare al secondo membro ~ sempre convergente per 0 ~< r < 1.

Per una nota proposizione (~) sappiamo che:

lim U(r, O)=f (0) r.~l-o

net punti di continuit/l di f(0), men/re vale:

1 T if(0 + o) + .f(0 - o)]

net punti di discontinuit/t di prima specie.

Supposto, ora, che il punto di coordinate :

ai , b~; as, be; . . . ; a~, b~

~, per ogni n, non esterno al corpo convesso di Carath6odory K~, allora, per il

teorema III, la funzione U(r, 0) risulta non negativa. Di conseguenza anche la

f (x) risulta non negativa.

La f (x) ~ non negativa anche net punti di discontinuit/l, essendo i limiti a

sinistra e a destra non negativi e la funzione avendo ivi valore compreso tra

questi limiti.

Se la funzione f (x ) ~ a variazione limitata essa avrh solo discontinuith di

prima specie e in numero finito o ai pih un'infinith numerabile. Ammesso in

questo caso che la funzione in questi punti di discontinuith assuma valore com-

preso ira i limiti a sinistra e a destra, le ipotesi richieste per le nostre consi-

derazioni sono cost tutte verificate. Anche se la proposizione vale in cast pih generali not ci limiteremo a questo caso particolarmente importante.

Facciamo adesso un'osservazione che ci sara utile nel seguito. Supponiamo,

se fosse possibile, che, per qualche n, i l 'punto:

a~, bi; ai , b~; . . . ; an, b~

si trovi sulla frontiera del corrispondente corpo convesso K~.

In forza del teorema II dovrebbe, allora, essere per qualche k ~ n:

D, ( I , *ti, ~,~, . . . , ~t~)= O,

(~) Vedere, per esempio: L. Tonelli: Serie trigonometriche (Zanichelli), pag. 381.


e la funzione armonica U(r, O) si deve potere scrivere, in virtO del teorema IV,

mediante il seguente svi luppo:

P

U(r, O ) = ~ - ~ , ( O j ; r, 0), p ~ k , j = l

valido per r < 1 e dove ~. sono tutti distinti e positivi, mentre Oj sono compresi

tra 0 e 2 n e sono pure tutti distinti.

Osserviamo adesso che, essendo:

1 - - r ~

~(0j; r, 0) : 211 -- 2r cos (0j -- 0)+ r~] '

mentre

lim ,(0j; r, 0 ) = O, se 0 # 0j, r - . ~ l - - 0

I m /-2 lira z(Oi; r, Oj) = lim 2 ( 1 - r) 2 - - -+- oo.

r..~. 1 - - o

Per tanto, ricordando che i vari ~. sono tutti positivi, ~:

lim U(r, Oj) = + o% r - . ~ l - - O

mentre dovrebbe essere:

lim U(r, Oj)= 1 r- l-0 + 0) + f (0j - - 0)],

che ~, in virtfJ delle ipotesi, una quantit& finita, sia che 0j ~ un punto di conti-

nuit&, sia che esso ~ un punto di discontinuit&.

Riassumendo, si vede cosi che il punto di coordinate:

a~, bi; a~, b_o; . . . ; a n, b~

non pub, nelle ipotesi fatte suila f (x) , trovarsi sulla frontiera di K , , e cib per

qualunque n.

In definitiva si pub, allora, enunciare il seguente teorema:

Teorema V. Condizione necessaria e sufficiente affinchd una funzione f ( x )

reale, di una variabile reale, definita in (0, 2 n), integrabile e a variazione limitata,

la quale, pensata periodica, con periodo 2n, nei punti di discontinuit~ assuma

valore compreso tra i limiti a sinistra e a destra e di media integrale uguale a i

~ , sia sempre non negativa, ~ che, considerati i suoi coefficienti di Eulero-Fourier

ai, bi; a2, b2; . . . ; an, b~,

LA LIMITATEZZA~ GLI ZERI DI UNA FUNZIONE E I COEFFICIENTI D! EULERO-FOURIER 97

essi rappresentino un punto interno al corpo convesso K, di Carathdodory, qua-

lunque sia n.

Infatti, se f ( x ) ~ non negativa la funzione U(r, 0) relativa risulta pur essa

non negativa poich6, essendo armonica, assume minimo sulla frontiera del cerchio

unitario dove coincide con f ( x ) o con la media aritmetica dei valori iimiti a

sinistra e a destra. Per il teorema I, il punto di coordinate:

a , , hi; as, b2; . . . ; a, , b.

risulta cosi non esterno al corpo convesso K, , qualunque sia n. Per l 'osserva-

zione fatta sopra, non ~ possibile che questo punto si trovi sulla frontiera di

K,, e quindi dovr/l essere interno.

Questo dimostra la parte necessaria del teorema. La parte sufficiente ~ stata

dimostrata all'inizio del numero 2. II teorema V risulta cosi provato.

3. - Adoperando le notazioni e il risultato del teorema II di Toeplitz il

teorema V si pu6 enunciate anche nella forma seguente:

Ammesse le ipotesi del teorema V:

Condizione necessaria e sufficiente affinchd f (x) sia non negativa ~ che :

Dk(1, ~,, ~2 . . . . , ~k) > 0, (k = 1, 2, . . .) .

Infatti 6 questa la condizione che caratterizza i punti interni ai vari Kj.

Quest'ultima forma del teorema V ~ algebrica e fortemente suggestiva.

4. - Ii teorema V caratterizza, mediante i propri coefficienti di Eulero-Fourier,

le funzioni non negative, o, che ~ ovviamente equivalente, le funzioni limitate

inferiormente. E molto facile per6 trovare a partite da esso una caratterizzazione

delle funzioni limitate: per esempio quelle i cui valori siano compresi tra 0 e 1,

il caso pifi generale potendosi sempre ricondurre a questo.

Consideriamo, a questo fine, una funzione f (x) , la quale soddisfi alle ipotesi

del teorema V e costruiamo la funzione 1 - - f ( x ) . Questa funzione risulta anche

essa integrabile, a variazione limitata, ed il proprio valore, nei punti di discon-

tinuit/l, allorch~ venga pensata periodica di periodo 2~, risulta compreso t r a i l

limite a sinistra e il limite a destra. Inoltre ~:

1 /'2n 1 f2~ 1 1 ~-~J0 [1 - - f ( x ) ] d x = l - - - ~ j o f ( x ) a x = 1 2 - - 2 '

1 per tanto la funzione 1 - - f ( x ) ha media integrale ~-. Osserviamo che i coeffi-

cienti di Eulero-Fourier di 1 - - f ( x ) sono precisamente:

- - a i , - - b i ; - - a s , - - b ~ ; . . . ; - - a . , - - b . ; . . . 7 - R e n d . Circ . M a t e m . P a l e r m o , - - Serie I i - T o m o IV - Anna 1955.


Cosicch6, sempre per il teorema V, condizione necessaria e sufficiente affinch~

la funzione I - - f ( x ) risulti non negativa, ossia che f ( x ) sia non maggiore di 1,

che il punto di coordinate:

- - a i , --b~; - - a s , --b~; . . . ; - - a , , - - b ,

risulti interno al corpo convesso K , , e ci6 qualunque sia n.

Avremo cosi il seguente teorema:

Teorema VI. Ammesse le ipotesi e le notazioni del teorema V, condizione

necessaria e sufficiente affinch~ f ( x ) sia compresa tra 0 e 1 ~ che il punto di

coordinate:

ai, b~; a.,, b.,; . . . ; a, , b,

nonch~ il suo simmetrico rispetto all'origine risultino, entrambi, interni al corpo

convesso di CaratModory K , , qualunque sia n.

Adoperando anche qui il risultato algebrico di Toeplitz, il teorema VI si

pub mettere sotto la seguente forma:

Condizione necessaria e sufficiente affinchk f (x) sia compresa tra 0 e 1 ~ che:

D,(1, ~ , ~ , . . . , % ) > O,

Dk(1, - - ~l , - - a,z . . . . , - - ak) > 0,

qualunque sia k.

5 . - Ammett iamo in questo numero che f ( x ) risulti continua e sempre a

variazione limitata; supponiamo pure che:

1 f2~ 1 ,4j ~ / ( x ) d x = -2-,

e che f ( x ) sia sempre positiva sull ' intervallo chiuso (0, 2=).

Esister~ allora un numero positivo e tale c h e l a Iunzione [.f(x) - - e] risulta

pure essa positiva, e possiamo cosl determinare un numero k che risulter~

maggior di uno, con ia propriet~ di far si che:

t *2/g

k k[/(x)--eldx=l . g J o

l~ chiaro che i coefficienti di Eulero-Fourier della funzione k [ . f ( x ) - ~] risultano

essere :

ka i , kbi ; kaz , kbz; . . . ; k a , , kb , ; . . .

LA LIMITATEZZA, GLI ZERI DI UNA FUNZIONE E I COEFFICIENTI DI EULERO-FOUR1ER 99

Per tanto, in virth del teorema V, il punto di coordinate:

kal, kbt; kay, kb,~; . . . ; ka. , I~b,

deve risultare inferno al corpo convesso K,, qualunque sia n. Adoperando in-

vece la forma algebrica del teorema V si ottiene che, quando siano verificate le

ipotesi ammesse sulla f(x), esiste un k > 1, tale che

D,(1, k~i, k~e, . . . , k~,) > O,

qualunque sia n.

Viceversa, supponiamo che esista un numero k maggior di uno, tale che il

punto di coordinate:

kal, kb~; ka2, kb.z; . . . ; ka, , kb,,

risulti interno al corpo convesso K, , e cib qualunque sia n, e dove

a~, b~; as, b~; . . . ; a , , b,,; . . .

siano i coefficienti di Eulero-Fourier di una funzione f(x), definita e continua

in tutto l'intervallo chiuso (0, 2r162 a variazione limitata e di media integrale 1

uguale a 2" Risulta allora che pure la funzione kf (x) ~ integrabile e a varia- 1 1

zione limitata e la sua media integrale ~ uguale a ~-k > ~-.

I~ allora possibile determinare un numero positivo s, tale c h e l a media integrale

1 I ['2.~ 1 k [ y ( x ) - ]dx =

I coefficienti di Eulero-Fourier della funzione k [ f ( x ) - ~] sono, come 6 facile

rendersi ragione :

kax, kb~; kay, kb~; . . . ; ka, , kb,; . . .

ed, essendo il punto di coordinate:

kay, kb~; kae, kbz; . . . ; ka, , kb,

inferno a K. , la funzione k I f ( x ) ~ e] risulta non negativa. Se ne deduce che la

funzione f (x) ~ sempre positiva. Si ottiene cosl la seguente proposizione:

Teorema VII. Condizione necessaria e sufficiente affinchk una funzione reale,

continua in (0, 2 r.) ed ivi a variazione limitata, di media integrale ~ , definita e

sia positiva ~ che esista un numero k ~ 1, tale che se

D,( I , k ~ , k % . . . . . k~,) > 0

qualunque sia n. Ma, osservando che D, 6 un determinante di ordine n q- 1 e

che k ~ positivo, si ottiene la seguente forma del teorema:

1 0 0 E M I L I O B A I A D A

Nelle ipotesi del Teorema VI, condizione necessaria e sufficiente perchd f ( x )

risulti positiva ~ che esista un numero positivo h, minore di uno, per il quale sus-

sistono le seguenti relazioni:

D,,(h, ~i , a2, . . . . an) > O, n ~- 1, 2, 3, . . .

Osservazioni. I. - La parle sufficiente del teorema VII rimane vera anche

se si ammette che la f ( x ) sia soltanto integrabile, a variazione limitata, purch~

i valori nei salti risultino compresi tra il limite a sinistra e i l limite e destra,

pensando sempre che f ( x ) venga ripetuta periodicamente fuori dell ' intervallo

(o, 27:). II. - Dal teorema VII si pu6 dedurre, applicandolo ai coefficienti di Eulero-

Fourier della funzione derivafa, un teorema sulla caratterizzazione delle funzioni

sempre crescenti in senso stretto.

I I I . - I~ ovvio che se le condizioni del teorema sono verificate per un certo

k ~ 1 (h ~ 1), esse saranno, a fortiori, verificate per tutti i U(h ' ) con 0 ~ k ' ~ k

(0 ~ h ~ h ' ~ 1). Per rendersi conto di questo fatto basra ricordare che tutti

i corpi K n risultano convessi.

I V . - Seguendo la stessa linea di dimostrazione dei teoremi V I e VII, si

possono dare delle condizioni necessarie e sufficienti affinch6 f ( x ) sia compresa

tra 0 e 1, in senso stretto (t).

CAPITOLO 111.

I risultati di A. Ghizzetti

I.- Per esporre i risultati di A. Ghizzetti (.2), conviene, prima, premettere alcune

posizioni e notazioni.

Sia f ( x ) una funzione reale e definita nell ' intervallo (0, 270, definita fuori

di tale intervallo periodicamente di periodo 27~. Indichiamo con:

ao; a~, b~; a~, b~; . . . ; a , , b,; . . .

(l) Sono state date delle caratterizzazioni delle funzioni crescenti (in senso lato), attraverso i propri coefficienti di Fourier; vedere C. Carath6odory-L. Fejer memoria citata in (4); e attraverso altre funzioni (anche in senso stretto) vedere M. Pagni: Un'osservazione sui coefficienti di Fourier delle funzioni crescentL Rendiconti dell'Accademia dei Lincei. (8). Tomo IV, pp. 672-675. (1948).

(~) A. Ghizzetti: Sui coefficienti di Fourier di una funzione limitala compresa tra limiti asse- gnarl. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa (2) Tomo 9, pp. 215-223 (1940). Si pub consultare questo lavoro per una bibliografia su questo argomento.

LA L I M I T A T E Z Z A ~ G L I Z E R I D I U N A F U N Z I O . N E E I C O E F F I C I E N T I D I E U L E R O - F O U R I E R 101

i coefficienti-di Eulero-Four ier della f ( x ) . Poniamo

ck ---- ak + i bk, b o ~ O, (k -~ O, 1, 2 . . . . ).

Chiameremo funzione analitica associata alla f ( x ) la funzione definita daila re-

lazione

co

F(z ) = e-2=i~"ckz *, k = l

ehe risulta olomorfa per z complessa, in modulo minor di uno. Consideriamo,

ora, Io svi luppo in serie di potenze di F ( z ) del tipo seguente :

oo

F(z ) = 1 - - iei=c~ k. k = l

Si diranno coefficienti esponenziali della f ( x ) i numeri

So-- - - -2sen=c 0, s t , s~, . . . , sk, . . . ,

nonch~ quelli di indice negativo definite dal le:

s_k ----- sk. c_k = ck, k = 1, 2, . . .

I coefficienti esponenzial i si possono calcolare a partire dai coefficienti di

Fourier, mediante delle formole di r icorrenza che qui non riportiamo.

Consider iamo ora i determinant i :

O k

- - - -

S o S1 So . . . S k

S-1 So Sl - - . Sk-t

S-2 S-1 So ' ' ' S~-2

S - k S - k + 1 �9 . . S O

$1 S2 Sa . . . S k

So S1 S2 . . . S k _ l

S_~ S o S 1 . . . S~_ 2

. . . . . . . . . �9 . .

S k4_ 2 S k + 3 , . , S |


i quali, qualunque sia k sono delle ben determinate funzioni dei coefficienti di

Fourier della funzione f ( x ) .

Seguendo sempre A. Ghizzetti diremo funzione rettangolare di ordine n con

estremi sinistri x~. x~, . . . , x~ e con estremi destri y~, Y2, . . . , Y~ dove:

x~, y~, x~, y~, . . . , x~, y~, x~ + 2re

sono disposti in quest'ordine crescente, una qualunque delle funzioni che vale 1

negli intervalli del tipo (x~, y~)e 0 negli intervalli del tipo (y~_~, x), pensati

aperti, e a piaciment0 nei punti x~ e y e di separazione, in modo perb da risuI-

tare periodica con periodo 27r. II Olaizzetti perviene cosi ai seguenti due teoremi

fondamentali :

Teorema VIII. Dati n ~ l humeri co, c~, . . . , c~_~, (Co reale; c~, . . . , c~_~

complessi) tali che:

0 < C o < l

siano positivi e i successivi :

siano tutti nulli.

D~, D2, . . . , D~_I,

D~, D~_I .- .

Da cib segue che i coefficienti c~+1, c ,+~, . . , sono univocamente determinati

dai primi n -l- 1 coefficienti co, c~, . . . , c~. Inottre F~ ~ diverso da zero e la

funzione f ( x ) coincide quasi ovunque con una ben determinata funzione rettan-

golare di ordine n ed avente argF~ per somma degli estremi sinistri.

e

Di > 0 D 2 ~ 0 . . . . , D,_ 1 ~ 0

e prefissato ad arbitrio un numero ),, esiste una ed una sola funzione rettangolare

di ordine n la quale abbia come primi n coefficienti di Fourier i humeri Co, cl, . . . , c,_1

e i cui estremi sinistri x i , x~, . . . , xn abbiano come somma il dato numero ;~.

Teorema IX. Data una successione di humeri Xo, x l , . . . , x , . . . , (c o reale;

c~, G, . . . , c . . . . . complessi), condizione necessaria e sufficiente affinchd essi

siano i coefficienti di Eulero-Fourier di una funz ione f ( x ) verificante quasi-ovunque

la limitazione 0 - ~ < f ( x ) ~.< 1, ~ che, costruiti i corrispondenti determinanti Dk

(k ~- O, 1, 2 . . . . ) si verifichi uno dei seguenti tre casi:

1 ~ - Sia C o = O , oppure co----- 1 (cio~ Do-----0) e D ~ = 0 ( k = 1, 2, . . . ) e

quindi So ~ si = s~ . . . . . O, e ca ~ c~ . . . . . O.

2 0 . - S ia 0 < c o < 1 (ciob D o > 0 ) ed esista un intero n~>~ 1 tale che i

determinanti

LA LIMITATEZZA~ GLI ZERI DI UNA PUNZIONE E I COEFFICIENTI DI EULERO-FOURIER 1 0 3

3 o . - Sia 0 ( c o ( 1 (quindi D o ~ O) e D n ~ O qualunque sia n, f(x) non pub allora coincidere quasi ovunque con alcuna funzione rettangolare.

Da questi teoremi, se si volesse dedurre il comportamento di f (x) su tutto (0, 2 z~) e non soltanto quasi ovunque, occorrerebbe imporre a f (x) qualche con-

dizione di regolarit~ in modo da far si che la successione dei coefficienti di

Fourier individui in modo sufficientemente stretto la funzione generatrice.

Noi faremo due ipotesi diverse:

a). - La funzione f (x) risulti continua (e periodica) in (0, 2~).

Valendo il teorema IV la f (x) non solo soddisfa alla 0 ~ f (x) ~ 1 quasi-

dappertutto, ma ovviamente addirittura ovunque. 1~ per altro utile osservare che

la eventualit/~ 2 a in cui f (x) coincide quasi-ovunque con una funzione rettango-

lare viene preclusa, non essendo quest'ultima continua, e se si tralascia la even-

tualit/~ 1 a perch6 banale, non rimane possibile che solo la 3 a eventualit/t.

b). - La funzione f(x) risulti continua escluso un eventuale numero finito

di salti, il valore della funzione stessa in questi punti di discontinuit/~ dovendo

perb essere compreso tra i l limite sinistro e i l limite destro. Anche in questo

caso dal verificarsi della

o f ( x ) <_ 1

quasi ovunque, si deduce il suo sussistere dappertutto. Naturalmente in questo

caso non ha luogo di parlare di periodicitY. In questa seconda ipotesi pub ri-

prendere valore il secondo caso prospettato dal teorema.

2. - Vogliamo ora accennare a un confronto f r a i l metodo di Carath6odory

e quello di Ghizzetti.

Quanto a generalit/l delle condizioni di regolarit/l imposte alla funzione f (x) i due metodi si equivalgono, tutto dipendendo dai teoremi pih o meno potenti

adoperati per assicurare la convergenza d'una serie di Fourier alia sua funzione

generatrice.

Perb mentre per caratterizzare una funzione limitata tra 0 e 1 con il metodo

di Ghizzetti basta studiare una semplice successione di disuguaglianze, con il

metodo di Carath6odory ~ necessario studiarne due. I1 metodo di Ghizzetti d/t

anche un'informazione supplementare nel caso 2 ~

Siccome perb, per quanto ci servir/t he1 capitolo III, il metodo di Ghizzetti

non 6 adatto allo studio delle funzioni limitate da una parte sola, ~ opportuno

fare vedere come, con questo stesso metodo, ~ possibile dare una condizione

necessaria e sufficiente perch~ una funzione risulti non negativa.


Supponiamo dovere studiare la non negativit/l della funzione f(x) definita

in (0, 2n) e consideriamo la funzione:

F(x) = e -Irv ;

se f(x) non 6 negativa 6 semplice verificare the

0 -~< e -zv --_< 1.

Viceversa, se quest'ultima doppia disuguaglianza /~ verificata, si deduce

/ (x) >7 o.

Per tanto imporre a F(x) di essere compresa tra 0 e 1, equivale ad ammettere

che f(x) sia positiva, o almeno non negativa. II nostro scopo sar/l allora rag-

giunto se sapremo calcolare i coefficienti di Eulero-Fourier di F(x), noti che

siano quelli di f(x). Ci metteremo nel caso che si sappia che f(x) sia continua. Se indichiamo

con A, e B, i coefficienti di Eulero-Fourier di F(x), avremo:

A , , = --~jo e --trx~ cos n x d x, B,, = ~ J o e -yc~-' sen n x d x,

ossia:

I [--f(x)]k cos nxdx, A. : ~ - . ] o k=O kl

e anaiogamente per B. . NeIle ipotesi nelle quali ci siamo messi la serie che

compare sot[o il segno di integrale ~ uniformemente convergente e quindi:

oo 1 r 2 ~

A . = Z'~-C-~ / [--f(x)]*cosnxdx. k ~ 2 J 0

Osserviamo che l 'espressione:

'~./o [ - f(x)]* c~ nxdx

non /~ altro che il primo dei coefficienti di Eulero-Fourier di ordine n della po-

tenza k-esima della funzione - - f ( x ) . Questo coefficiente si pub calcolare appli-

cando ripetutamente la formula che fornisce i coefficienti di Eulero-Fourier del

prodotto di due funzioni, conosciuti che siano i coefficienti di entrambe ie due

funzioni (~). Questi coefficienti saranno daft da una formula ricorrente che qui

tralasciamo di scrivere.

(l) Vedere L. Tonelli: opera citata, pag. 335.

LA LIMITATEZZA, GLI ZERI DI UNA FUNZIONE E I COEFFICIENTI DI EULERO-FOURIER 1 0 5

CAPITOLO IV.

Gli zeri di una funzione e i l teorema di Hurwitz

1 . - Hurwitz ha dato il seguente teorema (i):

Se una funzione continua, a variazione limitata, definita su (0, 2 ~), ha i primi

n coefficienti di Eulero-Fourier tutti nulli, essa ha pib d i n zeri.

Sarh compito di questo capitolo di sviluppare e completare questo sorpren-

dente teorema aIla luce dei risultati dei due precedenti capitoli, inquadrandolo

cosi nel suo pifJ naturale ambiente.

Sia f ( x ) u n a funzione reale definita su (0, 2n), a variazione limitata, la

quale pensata prolungata periodicamente con periodo 2,-t, risulti assumere, nei

punti di discontinuith, valore compreso t r a i l limite sinistro e il limite destro.

Supponiamo che f ( x ) sia una funzione H e che i tratti di costanza del

segno siano n.

Si pu6 allora costruire un polinomio trigonometrico di grado al pifa n che

si annulli solamente nei punti Xr, ( r = 1, 2, . . . , n) i quail separano tratti con-

secutivi di costanza del segno.

Questi polinomi si costruiscono nella seguente maniera.

Distinguiamo il caso n pari dal caso n dispari. Detto allora m quello intero

tale che o n ~ 2m, oppure n = 2rn q- 1. lndichiamo con di, de, . . . , d2,,§ gli

intervalli di costanza del segno (supponiamo dz~+l = 0 se n ~ pari) e con xi_l,

xt gli estremi di dt. II polinomio trigonometrico:

m

P ( x ) ~ Po -]- ~--'~ (pr cos r x + qrsen rx),

ove si ponga:

| ~ t r x | z t r x e_irx), c o s r x - - - ~ [ e -q- e-i'~), s e n r x : ~ - [ e - -

si trasforma in un polinomio algebrico di grado al pifl 2 m in e ~. Si possono

allora determinare le (2m -q- 1) costanti (p~ e q,) in modo tale da far si che

questo polinornio si annulli soltanto nei punti x, . Negli intervaili di la funzione

(l) (7) A. Hurwitz: (fber die Fourier'schen Konstanten integrierbaren Funktionen. Mathema- tische Annalen. Band 57. (1903). pp. 425-446.

Vedere pure: Quelques applications g~omEtriques des s~ries de Fourier. Annales de l'Ecole Normale Sup~rieure T. 19. (1902).


P(x) mantiene costante il segno e in intervaili consecutivi il segno di P(x) cambia. Possiamo addirit tura supporre che P(x) abbia 1o stesso segno di f(x) in ogni intervallo dr, bastando, se cib non fosse, di moltiplicare P(x) per - - I

per ottenere quanto desiderato.

Consideriamo adesso il prodot to:

G (x) -~ f(x). P(x),

esso rappresenta una funzione definita in (0, 2~), continua ad esclusione di

eventuali salti interni ai tratti di costanza del segno: infatti se f(x) avesse un

salto in x,, P(x) essendo ivi continua e nulla, tale ~ pure il prodotto G(x). Osserviamo anche che G(x), negli eventuali salti, assume valore compreso tra

i limiti sinistri e destri.

Poss iamo cosi assicurare che G(x) 6 sempre non negativa, e soddisfa alle

ipotesi di regolarit/l richieste nel teorema V, poich~ essa risulta pure integrabile

e a variazione limitata.

Osserviamo inoltre che per i'ipotesi fatta che f (x) abbia n tratti di costanza

del segno, essa non si annulla identicamente e per tanto G(x) non si annulla

identicamente e risulta effetlivamente positiva su quaiche intervallo di (0, 2n).

Da quanto detto deduciamo:

1 ~ - L'integrale

P (x) a x

esiste ed /~ positivo; intatti se fosse hullo, f(x)P(x) risulterebbe quasi ovunque

nullo, perch~ ~ gi/l noto che non ~ mai negativo, ed essendo P(x) diversa da

zero in tutto (0, 2x), esclusi i punti x,, dovrebbe essere f(x) quasi ovunque

nulla e non potrebbe avere n tratti di costanza del segno.

2 ~ - Per un teorema di Parseval

(i t f (x)P(x)dx = ~aoPo q- (a,p, + b,q.) �9 r ~ l

quantit/t, questa, che ~ positiva per quanto visto in 1 ~ Conseguentemente moi-

tiplicando le costanti (p, , q,) per una stessa costante positiva, il che equivale

a moltiplicare P(x), possiamo tare sl che sia:

m 1

~aopo + ~-~(a,p, + q,b,) = 1.

LA LIMITATEZZAp GLI ZFJRI DI UNA FUNZIONE E I COEFFIC1ENTI DI EULERO-I~OURIER ] 0 7

Abbiamo indicato nella relazione precedente, visto che cib non porta a in-

convenienti di sorta, di nuovo con (p. , q.) i coefficienti di P ( x ) moltiplicati per

la costante positiva di cui 6 stato detto sopra.

D'altra parte la funzione f ( x ) P ( x ) ha per coefficienti di Eulero-Fourier (i)

i numeri co e (c,, d,), (u = 1, 2, . . . ) espressi dalle formule:

1 Co-~- -~-,

o o

' �89 c. = -2-aop. + [a.(p .... + p._.) + b.(q.~_. - - q._.)],

o o

1 1 d. = -2- a o q. q- -~ ~ [a, (q.+, q- q,_,) - - b, (p.§ - - P,-,)I.

r = l

( u = 1, 2 . . . . )

dove ~ stato posto p . = p_. e q. ~ q_..

La parte necessaria del teorema V ci assicura allora che, qualunque sia

l ' intero t, il punto di coordinate (c. , d.), (u = l, 2, . . . , /), risulta inferno al

corpo convesso Kt; ot teniamo cosi il seguente teorema:

Teorema X. Se f ( x ) ~ definita e reale in (0, 2r:), a variazione limitata e

integrabile con valore nei salti, allorquando sia pensata perioaica con periodo 2=,

compreso tra il limite destro e quello sinistro ; se indichiamo con o o

1 ~- ao -1- ~ (a, cos r x -q- b, sen r x )

il proprio sviluppo in serie di Fourier;

Se f ( x ) ammette n tratti di costanza del segno, allora esistono (2m + 1)

costanti Po; Pl, q~ ; P2, q2; .. �9 ; P , , qm, dove n = 2 m oppure n = 2 m -q- 1, tali che :

1 1 ~ 2-aoPo + ~ - ~ ( a . p . q - b.q.) = 1,

2 ~ il punto di coordinate:

1 c. = W a o p . -q- [a,(p,+, + p,_,) + b,(q,+, - - q,_.)],

d . = ~ a o q . q- [a.(q.+. -b q._.) - - b.(p.+. - - p._.)],

con u = 1, 2, . . . , t, e p , = p _ , , q , ~ - - q _ ~ ,

risulti inferno al corpo convesso Kt di Carathdodory, qualunque s i a t .

(~) Vedere per es. L. Tonelli, opera citata, pag. 335.

1 0 8 - . ~ x , . i o B A I A D A

Osservazione. Le sommatorie che compaiono in 2 0 nel teorema precedente

sono solo apparentemente infinite; esse, infatti, possono essere scritte nel modo

seguente : m

1 1 2") e,, ----- ~ p o a , -[- -~-~,[p,(a,,+, + a,,_,.) H- q , (b .+, - - b,_,)]

r ~ l

m 1 1

a. = -2- Po b. + 2- ~ [P, (Ou§ + O .... ) - - q, (a,+, - - a._,)] t'~-~l

con a ~ = a _ ~ e b ~ = - - b _ u , u = l , 2, . . . , t.

Basta a tale fine scambiare I'ordine dei fattori nel prodotto f ( x ) . P ( x ) p r i m a

di applicare le formule che danno i coefficienti di Eulero-Fourier del prodotto

di due funzioni.

2. - I1 teorema enunciato al numero precedente si pub mettere in una forma

diversa, la quale si accosta maggiormente all'enunciato originale del teorema

inverso di Hurwitz. 1~ quanto affermato dai seguente teorema:

Teorema XI. Ammesse le ipotesi di regolarit/l su f ( x ) di cui si parla nel

teorema precedente, allora:

Se f ( x ) ha non pitl d i n tratti di costanza del segno alternativamente diversi

e non sia quasi-ovunque nulla, allora esistono (2m + 1) costanti le quali forni-

scono mediante le formule 2 o 2" un punto interno al corpo K, di Carathdodory,

qualunque sia t.

lnfatti se f ( x ) avesse n'.~< n tratti di costanza del segno, si potrebbe tro-

rare, in base al teorema X, (2m" + 1) costanti, dove 2m" : n', oppure 2m" = n ' + 1,

le quail godono delle proprieth richieste nella tesi della precedente proposizione.

Baster• allora prendere ie altre costanti richieste dall'enunciato di sopra, tutte

uguale a zero. lnfatti la formula che appare in 1 ~ nel teorema X potrh essere

soddisfatta poich6 si 6 ammesso che f ( x ) non ~ quasi-ovunque nulla e le for-

mule che appaiono in 2 ~ e in 2 '~ non cambiano vaiore, rimanendo cosi inal-

terate le conseguenze.

3 . - Le proposizioni precedenti possono prendere la forma algebrica di

Toeplitz sfruttando la seconda forma del teorema V.

Se f ( x ) ammette n tratti di costanza del segno, allora esistono (2m + 1)

costanti Po, Pl, ql, . . . , P•, q• (dove n : 2m oppure n : 2m + 1), tali che,

mecliante esse, le formole 2 o 2' forniscono i n u m e r i c , e d~, i quali, alia loro

volta, posto : m

1 % = ~ aoP o -q- ~-~(a,p, + b,q,); ~. : c. q- id . ,

LA LIMITATEZZA~ CLI ZERI DI UNA FUNZlONE E I COEFFICIENTI DI EULERO-FOURIER 109

verificano la disuguaglianza :

D,(2%, %, % . . . . , %) > 0 per tutti i k.

Questa proposizione discende immediatamente dal teorema X, tanto che si

pu6 addirittura scegliere % : I ; la rimanente parte del teorema si deduce dalle

considerazioni di Toeplitz. 1

Va osservato per6 che non ~ affatto indispensabile che %-~-~- perch~ il

risultato richiesto dal teorema sia vero; i determinanti D~ risultano infatti fun-

zioni omogenee nelle variabili %.

Osservazione. II risultato del teorema X, messo sotto questa seconda forma,

permette di dare una ulteriore precisazione sui coefficienti Po, (Pu, %) e quindi

su %, (%). Infatti, ricordiamo che queste quantith sono i coefficienti di Eulero-

Fourier del prodotto f ( x ) G ( x ) i l quale risulta non negativo, ma non sempre

positivo, poich~ si annulla lh dove si annulla G(x) e quest'ultima funzione ha

certo n zeri. Per tanto non dovrh essere verificata la condizione, che sappiamo

essere sufficiente perch6 una funzione sia sempre positiva espressa dal teorema VII.

In altre parole: non deve esistere nessun k > 1 per il quale avvenga che:

qualunque sia n.

4. - Vogliamo adesso dare alle proposizioni dei numeri precedenti una forma

ancora pifl geometrica, forma che risulter/~t certo pih suggestiva.

Osserviamo, a questo fine, che le relazioni:

m 1

X0 ==_ ~-aoXo + E ( a r x r 2f- bry,) r=l

m 1 1

X . = ~auXo--~ "2 E[xr(au+r + a,-r) --~- Yr(bu+r - - bu_r)],

1 I m

[ x , (bo+ , + - y (ao+ - ao_r)].

u = l , 2, . . . , t

sono lineari nelle (2 m + 1) variabili xo, (x,, y,), ( r = 1, 2, . . . , m); mentre

le (2t + 1) variabili Xo, (X,, Yu), (u ----- 1, 2 . . . . . t) possono essere interpretate

come coordinate d'un punto in uno spazio cartesiano a (2t + 1) dimensioni, di


modo che le equazioni precedenti rappresentano una variet/l lineare a non pifl

di (2rn -[- 1) dimensioni in uno spazio cartesiano a (2t + 1) dimensioni.

I! teorema X, il quale assicura I'esistenza di un insieme di ( 2 m - / - 1 ) valori,

che forniscono, mediante le relazioni date, un punto non esterno a Kt , dice the

la varietd V~2~+1) che abbia per equazioni le relazioni test~ seritte, ha almeno un 1

punto a comune con il corpo convesso Kt posto sull'iperpiano Xo - - 2 , e risulta

per tanto non totalmente esterna ad esso.

Sarebbe percib desiderabile (~) fornire una topologizzazione dello spazio a

infinite coordinate cartesiane la quale permetta di parlare sinteticamente di un

corpo convesso K di Carath6odory il quale avesse per proiezioni sulle varie

variet/l coordinate i corpi convessi Kt.

Nello stesso modo come abbiamo ottenuto il teorema XI dal teorema X, le

proposizioni precedenti si estendono anche al caso ove anzich~ sapere c h e l a

funzione f ( x ) ha proprio n tratti di costanza del segno, ci si limita a conoscere

che essa ha non pib di n tratti di costanza del segno, con l'aggiunta perb che

non sia quasi ovunque nuIla.

5.- Particolarmente interessante, per le applicazioni, ~ l 'opposto del teorema X

e delle sue conseguenze, onde, altresi, metterlo nella forma pifJ adatta a con-

frontarlo con la proposizione di Hurwitz come ~ stata enunciata all'inizio di

questo capitolo. Questa proposizione pub enunciate nella forma seguente:

Teorema XII. Ammesse per f ( x ) le ipotesi di regolarit~ dette nel teorema X,

se f ( x ) non ~ quasi ovunque nulla ed ~ tale che, qualunque siano prese (2m -+- 1)

costanti po; Pl, ql ; P2, q2; �9 �9 �9 ; Pro, qm, avt, iene che: o o o

1 aoPo + ~ (a,p~ + b~q,)

t diverso da ~ , oppure il punto di coordinate:

c o

r ~ l

o o

d. = ~- ao q. + [a~ (q.+. + q.. 3 - - b. (p.+. - - p._.)], r ~ l

dove

P, ~ P - , , qk = - - q-k ;

(t) I~ quanto ci proponiamo di fare in un prossimo lavoro.

u ~ l , 2, . . . , t

LA LIMITATEZZA, GLI ZERI DI UNA FUNZIONE E I COEFFICIENTI DI EULERO-FOURIER 1 1 1

risulta estemo al corpo convesso Kt per qualche t, allora f ( x ) ha pitt di n tratti

di costanza del segno, con n = m oppure n ~ 2 m + 1.

lnfatti se f (x) , non quasi ovunque nulla avesse n o meno d i n tratti di

costanza del segno dovrebbero esistere (2 m + 1) costanti soddisfacenti sia

alla prima relazione del teorema X, sia al fatto che il punto Po, (P, , qo)

u ~ 1, 2, . . . , t risulta interno a Kt, qualunque s i a t e almeno uno di questi

fatti viene negato daile ipotesi.

Corollario. Se oltre alle condizioni dt regolarith ammesse, la f ( x ) fosse anche

continua, verificate the siano le ipotesi del teorema XII, f ( x ) dovendo avere pit

d i n tratti di costanza del segno dovrebbe avere allora pitt di n zeri.

Osservazioni. I . - II teorema precedente, attraverso il suo corollario, contiene

la proposizione di Hurwitz. Infatti se f ( x ) ~ quasi ovunque nulla essa ha ovvia-

mente pilh d i n zeri. Se i primi n coefficienti di Eulero-Fourier eli f ( x ) fossero

tutti nulli, allora, qualunque siano (2m -q- 1) costanti po, (p , , qo), sarebbe:

tn 1

Taopo + y'~(a,p, + b,q,) : O, r ~ l

ed essendo negata una delle due condizioni del teorema XII il corollario di detto

teorema assicura l'esistenza d i n zeri.

I1.- II teorema XII ~ pifa generale del teorema di Hurwitz e lo completa

opportunamente poich6 esso offre anche la possibilit/t della seconda alternativa,

mentre il teorema di Hurwitz, come ~ facile verificare, coincide invece con la prima clelle clue alternative.

Palermo, 30 Novembre 1954

la limitatezza, gli zeri di una funzione e i coefficienti di eulero-fourier

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