lectura 1 - econometria ii

CCAAPPIITTUULLOO IIII

SERIES DE TIEMPO

1 INTRODUCCIN

La mayora de las empresas y agentes econmicos precisan realizar predicciones sobre el comportamiento de su evolucin y del entorno donde actan.

Estas predicciones se utilizan para tomar decisiones operativas y, a veces, estratgicas.

El conocimiento de acontecimientos futuros estar obviamente afectado de un alto grado de incertidumbre, lo que implica la utilizacin de probabilidades asociadas al proceso de prediccin, y de modelos estadsticos y economtricos.

1.1. REGRESIN ESPURIA

Este problema surge porque si las dos series de tiempo involucradas presentan tendencias fuertes (movimientos sostenidos hacia arriba o hacia abajo), el alto R2 observado se debe a la presencia de la tendencia y no a la verdadera relacin entre las dos. Por consiguiente es muy importante averiguar si la relacin entre las variables econmicas es verdadera o es espuria.

Como lo han sugerido Granger y Newbold : una buena regla prctica para sospechar que la regresin estimada sufre de regresin espuria es que R2 > D-W.

Cuando las series de tiempo son no estacionarias, no se debe depender de los valores "t" estimados. Si las series de tiempo estn cointegradas, entonces los resultados de la regresin estimada pueden no ser espurios y las pruebas "t" y "F" usuales son vlidas. Como lo afirma Granger: "Una prueba de cointegracin puede ser considerada como una prueba previa para evitar situaciones de regresin espuria".

Por ejemplo: Se tiene las series anuales (1936-1972) del PNB nominal en Estados Unidos (datos en miles de millones de dlares), y de la Incidencia del melanoma en la poblacin masculina (datos ajustados de edad) en el estado de Connecticut.

0

200

400

600

800

0

1

2

3

4

5

6

1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970

GNP MELANOMA

Observando los grficos, ambas series mantienen una relacin lineal. Conceptualmente resulta absurdo relacionarlas.

100

200

300

400

500

600

700

800

0 1 2 3 4 5 6MELANOMA

GNP

Dependent Variable: GNP Method: Least Squares Simple: 1936 1972 Included observations: 37

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 118.5659 23.72897 4.996675 0.0000 MELAMONA 118.9808 7.814147 15.22633 0.0000

R-squared 0.868836 Mean dependent var 443.6730 Adjusted R-squared 0.865088 S.D. dependent var 171.4417 Log likelihood -204.7517 F-statistic 231.8413 Durbin-Watson stat 0.879122 Prob(F-statistic) 0.000000

La estimacin de una regresin en donde el PNB acta como variable endgena y la incidencia de melanoma como variable explicativa nos muestra que: * Todos los coeficientes son estadsticamente significativos, y el R2 (86.7%) es

muy elevado. * El coeficiente estimado implica que, si aumentara la incidencia de melanoma

en un caso, cabra esperar un aumento del PNB de 119.000 millones de dlares.

Si relacionamos las variables en primeras diferencias, la tendencia suele desaparecer y, con ella, la relacin esprea.

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-60

-40

-20

0

20

40

60

1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970

D(MELANOMA) D(GNP)

Dependent Variable: D(GNP) Method: Least Squares Sample (adjusted): 1937 1972 Included observations: 36 after adjustments


C 16.56841 3.179332 5.211287 0.0000 D(MELAMONA) 0.706295 6.585765 0.107246 0.9152

R-squared 0.000338 Mean dependent var 16.65278 Log likelihood -155.0594 F-statistic 0.011502 Durbin-Watson stat 1.262415 Prob(F-statistic) 0.915224

-60

-40

-20

0

20

40

60

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0D(MELAMONA)

D(G

NP)

Consecuentemente, la relacin de regresin entre las variables transformadas no resulta significativa

1.2. TIPOS DE PREDICCIONES

Segn el horizonte de prediccin se clasifican:

1 Inmediato, hasta 3 mese, para decisiones operativas, control presupuestario. Por ejemplo: gestin de inventarios en establecimientos detallistas.

2 Corto Plazo de 3 a 12 meses, para tomar las decisiones operativas, control presupuestario o decisiones de compra. Por ejemplo: Compra de bienes de temporada para venta al por menor.

2 Medio Plazo, comprendidas entre 1 y 3 aos, para las decisiones estratgicas. Por ejemplo: Leasing de plantas y equipos, formacin de empleados para nuevos procesos.

3 Largo Plazo, de 3 a 10 aos, para las decisiones estratgicas incluyendo las de expansin. Por ejemplo: investigacin y desarrollo, compra de activos, adquisiciones y absorciones.

4 Muy Largo Plazo, mayor a 10 aos, para las decisiones estratgicas incluyendo aquellas de cambio de las caractersticas principales de la empresa. Por ejemplo: prediccin tecnolgica en apoyo de investigacin y desarrollo y planificacin estratgica.

1.3. CLASIFICACIN DE LAS TCNICAS DE PREVISIN

1 Histricas, la evolucin de una magnitud tiene inercia temporal, lo que permite construir un modelo basado en el anlisis de series temporales.

2 Causales, se basa en la interrelacin entre varias variables; en un modelo economtrico o en un modelo de variables latentes, algunas magnitudes son causa de las variaciones de otras, y se pueden usar como predictores.

3 Otros, como las encuestas de opinin a expertos, mtodo Delphi, previsiones por consumo y otras tcnicas subjetivas.

1.4. TIPO DE PREVISIN DE LOS MODELOS

Segn a las situaciones a las que se aplican tenemos:

1 Medios Escasos:

Corto Plazo.- La tcnica de alisado exponencial, Medias mviles, Modelos Nave y Desestacionalizacin.

Medio Plazo.- Ajuste de tendencia. Largo plazo.- Curva en S.

2 Medios Normales:

Corto Plazo.- ARIMA univariante, anlisis de intervencin, X-11 ARIMA y Funciones de transferencia.

Medio Plazo.- Modelos economtricos uniecuacionales, modelos economtricos de pequeo tamao y Modelos VAR.

Largo plazo.- Modelos con cambio estructural.

3 Medios Altamente Profesionalizados:

Corto Plazo.- Anlisis espectral, Modelos dinmicos y Filtros. Medio Plazo.- Modelos multiecuacionales de gran tamao, Simulacin y

Input/Output. Largo plazo.- Modelos con cambio estructural y Escenarios.

1.5. ANLISIS DE SERIES TEMPORALES

Una serie temporal est formada por un conjunto de observaciones medidas a lo largo del tiempo. Es frecuente que se observen varias magnitudes simultneamente, en cuyo caso se tiene una serie temporal multivariante.

1.6. OBJETIVO DEL ANLISIS DE UNA SERIE TEMPORAL

El objetivo bsico perseguido al realizar el anlisis de una serie temporal es la prediccin, es decir, la extrapolacin de valores futuros de la serie a partir de los datos disponibles.

Otro objetivo es la modelizacin, o conocimiento de la estructura temporal del proceso generador de los datos.

Un ltimo objetivo es la actuacin externa o control, sobre el sistema a partir de las predicciones sucesivas (ste es el caso tpico de un proceso de control de calidad industrial o de servicios).

1.7. FORMAS DE ANLISIS DE UNA SERIE TEMPORAL

Una serie temporal se puede analizar:

1 En el dominio del tiempo, consiste en construir un modelo economtrico dependiente del tiempo.

2 En el dominio de las frecuencias, o anlisis espectral, trata sobre la deteccin de posibles componentes cclicos y de la aportacin que realizan las distintas frecuencias en la variabilidad de la serie. El anlisis espectral no persigue la construccin de modelos de prediccin, sino simplemente investigar la estructura interna del proceso estocstico generador de una serie.

1.8. MTODOS USADOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

El anlisis en el dominio temporal se realiza generalmente usando dos tipos de tcnicas:

1 Los mtodos clsicos, como los de regresin, alisado exponencial, o medias mviles, empleados si el nmero de observaciones es pequeo (hasta 40).

2 Los mtodos de Box y Jenkins o utilizacin de modelos ARIMA, si se dispone de suficiente material estadstico. Existen otros modelos derivados o relacionados con esta metodologa.

1.9. TIPOS DE MODELOS DE SERIES TEMPORALES

En el enfoque inicialmente propuesto por Box y Jenkins, se suelen dividir cinco clases de modelos con un grado creciente de complejidad y que pueden denominarse:

1 Univariante,

Se enlaza con la ms clsica tradicin de tratamiento aislado de una serie temporal, cuya evolucin se explica por los valores pasados de dicha serie y un cierto trmino de error. Es decir:

2 Funcin de transferencia,

La funcin de transferencia del filtro es el cociente de los dos polinomiales de retardos definidos, , de la siguiente forma:

Con los mismos polinomiales de retardos definidos, de orden p y q, entonces puede definirse el modelo (simple) de funcin de transferencia, con ruido, como:

donde

Yt puede interpretarse, a su vez, como la salida de dos filtros lineales, uno sobre la variable de input y otro sobre la componente de ruido.

( ) ( ) Y ut t=

( )( )Y ut t=

( )( )

( )( )Y X ut t t= +

( )( )

Generalizando al caso de ms de una variable explicativa, con K cocientes distintos de polinomiales de retardos, uno por cada input; es:

3 Intervencin,

Cuando en el modelo de funcin de transferencia las variables X jt son ficticias.

4 Multivariantes,

Se trata de modelos de varias variables de salida, considerando que todos los polinomiales pueden ser distintos (tanto en orden como en valor de los parmetros) la expresin formal matricial condensada es:

representando m ecuaciones en retardos sobre las m series temporales con retardos tambin en m variables de error.

Puede considerarse que los polinomiales en posiciones de diagonal principal comienzan con la unidad, mientras que los restantes comienzan con una potencia de ; entonces cada uno de las ecuaciones se entiende que

explica el comportamiento de cada una de las variables Z jt.

5 Funciones de transferencia mutlivariante,

Obtenido como generalizacin del modelo de funcin de transferencia para un output nico.

Una posible expresin consiste en definir, para K variables de input (exgenas) y G variables output (endgenas), la matriz

( )V de G x K polinomiales del tipo

( )( )

ij

ij

, as como las matrices m x n de polinomiales

( ) y ( ) para los trminos de error, con lo que:

2 ANLISIS BSICO DE UNA SERIE DE TIEMPO

Definimos una serie temporal como un conjunto de mediciones de un determinado fenmeno repetidas de forma homognea con una frecuencia determinada. De forma genrica podemos representar una serie temporal de T observaciones como:

( )( )

( )( )Y X ut

j

jj

K

jt t= +=

1

( ) ( )H Z F Ut t =

( ) ( ) ( )Y V X Ut t t= + 1

),......,,( 21 Tt YYYY =

Una primera aproximacin al anlisis de las series se puede conseguir

mediante las medidas clsicas de posicin: la media, =

=

T

ttt YT

Y1

1 y la desviacin

tpica, ( )=

=

T

ttt YYT

DesY1

21.

Habitualmente las series econmicas presentan una evolucin generalmente creciente en el tiempo que hace que la media sea un valor poco representativo como se observa en el grfico.

400

800

1,200

1,600

2,000

2,400

2,800

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

CP @MEAN(CP,"1950q1 1988q1")

En el contexto de las series econmicas es frecuente acudir al anlisis de su dinmica temporal para obtener una descripcin ms adecuada del fenmeno.

El clculo de tasas de variacin suele ser el procedimiento ms habitual para analizar la dinmica de las series econmicas. El planteamiento ms simple de una tasa de variacin, expresada en % es el siguiente:

Cuando estamos analizando series temporales de frecuencia superior al ao podemos calcular distintas tasas de crecimiento alternativas.

Mensual Trimestral

Sobre el periodo anterior

Sobre el mismo periodo del ao anterior (interanuales)

Las tasas interanuales presentan un comportamiento mas suavizado y representan el movimiento tendencial de la variable, mientras que las tasas sobre el

100*1100*%11

1

=

=

t

t

t

ttt Y

YY

YYY

100*11

11

=

t

tt Y

YY 100*11

11

=

t

tt Y

YY

100*112

121

=

t

tt Y

YY 100*14

41

=

t

tt Y

YY

periodo anterior recogen la dinmica ms reciente y son ms voltiles.

-4

-2

0

2

4

6

-2

0

2

4

6

8

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

TPA TPAA

Para muchas aplicaciones economtricas es frecuente utilizar la transformacin logartmica. Esta transformacin no altera las propiedades dinmicas de la serie y reduce la volatilidad de la misma.

CP LOG(CP) Mean 1493.913 7.244159 Std. Dev. 528.3112 0.366872 Ratio Des./Media 35.36 % 5.06 % Observations 149 149

Si calculamos las diferencias de una serie transformada en logaritmos obtenemos un valor similar a la tasa de variacin.

-3

-2

-1

0

1

2

3

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

(LOG(CP)-LOG(CP(-1)))*100 TPA

La transformacin de Box-Cox se define como:

Se tiene los valores siguientes:

500

1000

1500

2000

2500

3000

6.4

6.8

7.2

7.6

8.0

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

CP LOG(CP)

22)( == paraYYCBW ttt

=

=

=

=

=

=

=

21

Y1

0,5Y1

0para)Ln(Y0,5Y2Y

t

t

t

2t

2t

2

2

1

t

t

Y

W

Graficando tenemos:

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

7000000

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

CP^2

24

28

32

36

40

44

48

52

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

SQR(CP)

6.4

6.6

6.8

7.0

7.2

7.4

7.6

7.8

8.0

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

LOG(CP)

.016

.020

.024

.028

.032

.036

.040

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

1/SQR(CP)

.0002

.0004

.0006

.0008

.0010

.0012

.0014

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

1/CP

.0000000

.0000004

.0000008

.0000012

.0000016

.0000020

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

1/CP^2

3 ANLISIS PRIMARIO DE UNA SERIE DE TIEMPO

Sobre una serie temporal Yt podemos identificar una serie de componentes bsicos que se denominan respectivamente como:

1 TENDENCIA: Tt Movimientos de larga duracin que se mantienen durante todo el periodo de observacin.

2 CICLO: Ct Oscilaciones alrededor de la tendencia producidos por perodos alternativos de prosperidad y depresin.

3 ESTACIONALIDAD: St Movimiento que se produce, dentro de un periodo anual, por motivos no estrictamente econmicos (climticos, sociales, etc.).

4 IRREGULARIDAD: It Movimientos errticos generados por causas ajenas al fenmeno econmico y no repetidos en el tiempo.

Otra forma de agrupar los componentes es:

1 Deterministico Tendencia, Estacionalidad.

2 Modelable Es posible hacer un modelo para reproducir una

estructura. El componente modelable es estocstico.

3 Irregulares Error, no se puede modelar ni deterministicamente ni estocsticamente.

Podemos plantear diferentes esquemas alternativos de descomposicin de una serie temporal:

1 ADITIVO:

2 MULTIPLICATIVO:

3 MIXTO:

Generalmente, el proceso de descomposicin de una serie se realiza, en el enfoque clsico, mediante un proceso secuencial de identificacin y separacin de componentes.

Por regla general el orden en el que se van identificando los sucesivos componentes es el siguiente (para estructura aditiva):

1 Estacionalidad

2 Tendencia

3 Ciclo

4 Componente irregular

3.1. DESESTACIONALIZACIN

Es frecuente antes de aplicar un proceso de desestacionalizacin realizar un anlisis de LABORALIDAD y efecto PASCUA (Semana Santa).

* LABORALIDAD: Correccin de los datos originales en funcin del nmero de das laborables de cada mes. Por ejemplo, una serie mensual se puede homogeneizar a meses de 30 das, multiplicando los datos de enero por 30/31, los de febrero por 30/28 o por 30/29 si el ao es bisiesto, etc. En este tratamiento previo, se aconseja realizar un grfico temporal de la serie.

* Efecto PASCUA: Correccin que se aplica a los meses de Abril o Marzo en funcin de las fechas de Semana Santa.

ttttt ISCTY +++=

ttttt ISCTY ***=

ttttt ISCTY +++= )1(*)1(*

)( tt YfS = ttt SYY 1 =)( 1tt YfT = ttt TYY 12 =)( 2tt YfC =

ttt CYI 2

=

A las series de las que se han eliminado estos efectos se les denomina SERIES CORREGIDAS DE CALENDARIO.

Las series temporales de datos econmicos presentan generalmente caractersticas estacionales cuando se observan a una frecuencia inferior a la anual, ya sea mediante datos trimestrales, mensuales, bimestrales o semanales.

Estas caractersticas se deben a que las decisiones tomadas por los agentes econmicos en un determinado trimestre (bimestre, mes, o semana) del ao puede estar correlacionado con las decisiones tomadas en el mismo trimestre (bimestre, mes o semana) de otros aos.

La identificacin del elemento estacional es importante cuando el objetivo es explicar el comportamiento de la variable endgena, dado que una parte de las fluctuaciones de esta se manifiesta por el solo hecho de encontrarse en una poca del ao.

Tambin es importante cuando el objetivo es predecir, puesto que las diferencias estacionales motivan que aun siendo idnticos los valores de las variables exgenas en cada parte del ao se deber predecir diferentes valores para la variable endgena.

Este fenmeno se puede detectar:

1 GRFICO DE BARRAS.- Nos interesa observar los picos que se dan en la serie y si estos picos se repiten todos los aos, podemos concluir que existe estacionalidad.

Realizando el grfico del Producto Bruto Interno Agrcola y del Consumo Personal Real:

20

30

40

50

60

70

92M01 92M07 93M01 93M07 94M01

PBIA

Observando los grficos se concluye que el Producto Bruto Interno Agrcola presenta indicios de estacionalidad porque presenta picos que se repiten en enero y octubre de cada ao; en cambio, en el Consumo Personal Real no presenta indicios de estacionalidad porque los picos no se repiten.

2 LINEAS APILADAS.- Nos interesa observar el comportamiento de cada mes o trimestre, si el comportamiento es diferente, entonces existe estacionalidad.

700

720

740

760

780

800

820

1950 1951 1952 1953

CP


20

30

40

50

60

70

Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

Means by Season

PBIA by Season

Observando los grficos se concluye que el Consumo Personal Real no presenta estacionalidad y el Producto Bruto Interno agrcola si presenta estacionalidad.

3 LINEAS SEPARADAS.- Nos interesa observar el comportamiento de cada mes o trimestre, si el comportamiento es diferente, entonces existe estacionalidad.


Observando los grficos se concluye que el Consumo Personal Real no presenta estacionalidad y el Producto Bruto Interno agrcola si presenta estacionalidad.

4 CORRELOGRAMA.-

Para analizar la estacionalidad de una serie introduciremos un concepto de gran inters en el anlisis de series temporales: la funcin de autocorrelacin.

La funcin de autocorrelacin mide la correlacin entre los valores de la serie distanciados un lapso de tiempo k.

La funcin de autocorrelacin es el conjunto de coeficientes de autocorrelacin rk desde 1 hasta un mximo que no puede exceder la mitad de

20

30

40

50

60

70

1992 1993 1994

JanFebMarAprMayJunJulAugSepOctNovDec

PBIA by Season

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

CP Means by Season

Q1 Q2 Q3 Q4

CP by Season

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

Q1Q2Q3Q4

CP by Season

los valores observados, y es de gran importancia para estudiar la estacionalidad de la serie, ya que si sta existe, los valores separados entre s por intervalos iguales al periodo estacional deben estar correlacionados de alguna forma. Es decir que el coeficiente de autocorrelacin para un retardo igual al periodo estacional debe ser significativamente diferente de 0.

Debemos obtener el correlograma considerando 25 retardos si la serie es mensual, 9 retardos si la serie es trimestral, etc.. Se tiene que observar los picos que se dan en el correlograma y si estos picos se repiten en el mismo periodo en los siguientes aos, podemos concluir que existe estacionalidad.

El correlograma del Producto Bruto Interno Agrcola se obtiene siguiendo la instruccin siguiente: Abrir el PBIA View Correlogram... se marca level y se escribe 25 lag OK y se muestra el siguiente resultado para el PBIA:

Sample: 1992M01 1995M12 Included observations: 30

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

. |***** | . |***** | 1 0.672 0.672 14.927 0.000 . |**. | ***| . | 2 0.234 -0.396 16.798 0.000 . *| . | .**| . | 3 -0.150 -0.222 17.596 0.001 ***| . | . *| . | 4 -0.350 -0.069 22.131 0.000 ***| . | . *| . | 5 -0.408 -0.141 28.534 0.000 ***| . | .**| . | 6 -0.398 -0.199 34.869 0.000 ***| . | . *| . | 7 -0.330 -0.127 39.414 0.000 .**| . | . *| . | 8 -0.247 -0.177 42.085 0.000 . | . | . |* . | 9 -0.024 0.160 42.112 0.000 . |**. | . |* . | 10 0.246 0.127 45.015 0.000 . |*** | . |* . | 11 0.458 0.115 55.594 0.000 . |**** | . | . | 12 0.484 0.031 68.113 0.000 . |*** | . | . | 13 0.330 0.001 74.278 0.000 . |* . | . | . | 14 0.095 -0.000 74.816 0.000 . *| . | . | . | 15 -0.133 -0.022 75.956 0.000 .**| . | . | . | 16 -0.245 0.045 80.088 0.000 .**| . | . | . | 17 -0.291 -0.023 86.322 0.000 .**| . | . | . | 18 -0.264 0.030 91.891 0.000 . *| . | . |* . | 19 -0.141 0.164 93.636 0.000 . | . | . *| . | 20 -0.027 -0.066 93.705 0.000 . | . | .**| . | 21 0.017 -0.216 93.735 0.000 . | . | . *| . | 22 0.047 -0.067 94.000 0.000 . | . | . *| . | 23 0.041 -0.186 94.235 0.000 . | . | . *| . | 24 0.000 -0.176 94.235 0.000 . | . | . | . | 25 0.000 0.033 94.235 0.000

Si observamos el correlograma del producto bruto interno agrcola se visualiza que el pico del retardo 5 se repite en el retardo 17, por lo tanto, podemos concluir que el producto bruto interno agrcola es estacional.

El correlograma del Consumo Personal Real se obtiene siguiendo la instruccin siguiente: Abrir el CP View Correlogram... se marca level y se escribe 9 lag OK y se muestra el siguiente resultado para el CP:

Sample: 1950Q1 1988Q1 Included observations: 153


.|*******| .|*******| 1 0.955 0.955 142.33 0.000 .|*******| .|. | 2 0.911 -0.014 272.69 0.000 .|*******| .|. | 3 0.868 -0.014 391.73 0.000 .|****** | .|. | 4 0.825 -0.012 500.15 0.000 .|****** | .|. | 5 0.786 0.008 599.06 0.000 .|****** | .|. | 6 0.747 -0.010 689.07 0.000 .|***** | .|. | 7 0.711 0.006 771.12 0.000 .|***** | .|. | 8 0.677 0.008 846.07 0.000 .|***** | .|. | 9 0.645 0.008 914.68 0.000

El comportamiento del coeficiente de autocorrelacin del consumo personal real no presenta picos, por lo tanto, concluimos que el consumo personal real no es estacional.

Los mtodos para cuantificar la estacionalidad y desestacionalizar la serie son:

1 REGRESIN CON VARIABLES DUMMY.-

En el mtodo de regresin se utiliza una serie de variables mudas para capturar los efectos estacionales:

ttkkt YDDY +++++= 1110 ..... donde cada variable Di toma valores 1 en el perodo que sta representa (p. e., enero de cada ao) y cero en cualquier otro perodo. El modelo puede ser extendido para incluir otras variables explicativas o un proceso ms complejo (aunque estacionario) para el error (p. e., un ARMA).

En la medida en que los coeficientes i sean estadsticamente significativos, habr componentes estacionales. Consecuentemente, la serie desestacionalizada SEtY se calcula como:

kktSE

t DDYY = .....110 donde i son los parmetros estimados para cada componente estacional que resulten significativos.

Como es evidente, al modelar la estacionalidad de esta manera se asume que el efecto estacional sea determinstico (o constante en valor esperado), es decir, que en cada ao el cambio en la variable por razones estacionales sea exactamente el mismo. Ello no es un supuesto adecuado para

muchas de las variables econmicas debido a que el comportamiento estacional se determina por numerosas y muy heterogneas fuentes, lo que sugiere que ste sea modelado como una variable aleatoria.

El uso de variables mudas para modelar estacionalidad en un anlisis de regresin presenta el problema de inducir correlaciones espurias entre las variables, en tanto que su uso para predecir variables en modelos de series de tiempo (p.e., ARIMA, VAR) produce predicciones fuera de muestra que son de peor calidad que las que se obtienen de otros mtodos (X-11 o la variacin en x-perodos), en especial en modelos multivariados.

No obstante, este mtodo satisface algunas caractersticas que son deseables en cualquier mtodo de remocin de estacionalidad: que se preserve el promedio de la serie original, que los componentes estacionales sean ortogonales entre s, y que al aplicar el mtodo a la serie desestacionalizada no se obtengan nuevos factores estacionales (idempotencia).

Aplicando este mtodo a la serie Consumo personal real tenemos:

Dependent Variable: CP Method: Least Squares Sample (adjusted): 1950Q2 1988Q1 Included observations: 152 after adjustments


C 0.940573 3.380101 0.278268 0.7812 @SEAS(1) 2.577797 2.784144 0.925885 0.3560 @SEAS(2) 1.529906 2.784490 0.549438 0.5835 @SEAS(3) 4.609948 2.784212 1.655746 0.0999

CP(-1) 1.006017 0.001863 539.9100 0.0000

R-squared 0.999496 Mean dependent var 1479.040

En la regresin ninguna de las variables dummy son significativas, por lo tanto el consumo personal real no presenta estacionalidad.

En GRETL se obtiene el mismo resultado:

Modelo 1: MCO, usando las observaciones 1950:2-1988:1 (T = 152) Variable dependiente: CP

Coeficiente Desv. Tpica Estadstico t Valor p Const 0,940573 3,3801 0,2783 0,78120 dq1 2,5778 2,78414 0,9259 0,35602 dq2 1,52991 2,78449 0,5494 0,58354 dq3 4,60995 2,78421 1,6557 0,09991 * CP_1 1,00602 0,0018633 539,9100

Log-verosimilitud -592,5497 Criterio de Akaike 1195,099 Criterio de Schwarz 1210,219 Crit. de Hannan-Quinn 1201,241 Rho 0,147941 h de Durbin 1,818406

Aplicndolo en Eviews para Producto bruto interno agrcola resulta:

Dependent Variable: PBIA Method: Least Squares Sample (adjusted): 1992M02 1994M06 Included observations: 29 after adjustments


C -11.66865 3.817922 -3.056282 0.0075 @SEAS(1) -3.149474 1.741879 -1.808090 0.0894 @SEAS(2) 4.600756 1.631591 2.819797 0.0123 @SEAS(3) 1.089949 1.591708 0.684767 0.5033 @SEAS(4) 8.744458 1.611761 5.425405 0.0001 @SEAS(5) 5.446288 2.162990 2.517944 0.0228 @SEAS(6) -4.584691 3.175343 -1.443841 0.1681 @SEAS(7) -8.288786 3.077233 -2.693585 0.0160 @SEAS(8) -21.88337 3.103516 -7.051155 0.0000 @SEAS(9) -9.241514 1.983766 -4.658570 0.0003 @SEAS(10) -4.739175 1.756342 -2.698321 0.0158 @SEAS(11) 2.503367 1.757713 1.424218 0.1736

PBIA(-1) 1.402257 0.122378 11.45837 0.0000

R-squared 0.986385 Mean dependent var 37.99448

En la regresin, siete de las variables dummy son significativas, por lo tanto el Producto bruto interno agrcola presenta estacionalidad. Entonces se aplica el mtodo aditivo para desestacionalizar.

2 MEDIA MVIL.- Se desestacionaliza transformando la serie original en la que las nuevas observaciones para cada periodo son un promedio de las observaciones originales. El orden de la media mvil indica el nmero de observaciones a promediar.

Mensuales Orden 12 Trimestrales Orden 4

Sin centrar

Centrada

Con = 0.5 para r=-6 y +6 y = 1 el resto.

Con = 0,5 para r = -2 y +2 y = 1 el resto.

=

=

11

0

12

121

r

rtt YYMM =

=

3

0

4

41

r

rtt YYMM

+

=

=

6

6

12

121

r

rtt YYMMc +

=

=

2

2

4

41

r

rtt YYMMc

Aplicando la media mvil sin centrar al consumo personal real nos dara los siguientes factores estacionales:

En el Eviews se sigue la instruccin siguiente:

Genr mvscp = @movav(cp,4) y se obtiene la serie desestacionalizada empleando la media mvil sin centrar.

Genr mvccp = (0.5*cp(-2)+cp(-1)+cp+cp(+1)+0.5*cp(+2))/4 y se obtiene la serie desestacionalizada empleando la media mvil central.

En Gretl se sigue la instruccin siguiente:

Marcamos CP Variable Filtrar Media Mvil simple marcar serie suavizada Aceptar, para obtener la media mvil sin centrar.

Marcamos CP Variable Filtrar Media Mvil simple marcar centrada y serie suavizada Aceptar, para obtener la media mvil centrada.

3 RATIO DE MEDIO MVIL.- Los pasos para obtener el ratio de promedio mvil son:

1) Se calcula el promedio mvil central de Yt como:

2) Se considera el ratio:

3) Calculamos el ndice estacional ( )im como el promedio del ratio de promedio mvil para ese mes o trimestre en el periodo analizado.

1) El factor estacional es el ratio entre el ndice estacional y la media geomtrica de los ndices estacionales, as:

X

Y Y Y Y Ymensual

Y Y Y Y Ytrimestral

t

t t t t t

t t t t t=

+ + + + + +

+ + + +

+ +

+ +

05 0512

05 054

6 5 5 6

2 1 1 2

. ... ... .

. .

rYXt

t

t

=

s

ii i i

mensuales

ii i i i

trimestres

m

m

=

1 2 1212

1 2 3 44

...


Abrir el CP Proc Seasonal Adjusment se marca Ratio to moving average - Multiplicative OK y se muestra el siguiente resultado para el CP:

Sample: 1950Q1 1988Q1 Included observations: 153 Ratio to Moving Average Original Series: CP Adjusted Series: CPSA

Scaling Factors:

1 1.000019 2 0.999470 3 1.000848 4 0.999663

4 DIFERENCIA DE PROMEDIO MVIL.- Los pasos para obtener la diferencia de promedio mvil son:

1.- Se calcula el promedio mvil central de Yt como:

2.- Se considera la diferencia:

3.- Calculamos el ndice estacional ( )im como el promedio de la diferencia de promedio mvil para ese mes o trimestre en el periodo analizado.

4.- El factor estacional es la diferencia entre el ndice estacional y el promedio de los ndices estacionales, as:


Abrir el CP Proc Seasonal Adjusment Difference from moving average - Additive OK y se muestra el siguiente resultado para el CP:

X

Y Y Y Y Ymensual

Y Y Y Y Ytrimestral

t

t t t t t

t t t t t=

+ + + + + +

+ + + +

+ +

+ +

05 0512

05 054

6 5 5 6

2 1 1 2

. ... ... .

. .

d Y Xt t t=

s i ij j=

Sample: 1950Q1 1988Q1 Included observations: 153 Difference from Moving Average Original Series: CP Adjusted Series: CPSA1

Scaling Factors:

1 -0.132086 2 -0.941545 3 1.444906 4 -0.371275

5 ALISADO.- Las tcnicas de alisado exponencial se utilizan en situaciones en las que existen pocos datos (muestra pequea), y si es necesario ir actualizando el modelo empleado cada vez que se obtiene un nuevo dato. Son muy simples en su aplicacin pero limitados.

El Modelo de Holt-Winters, para series con tendencia polinomial, ciclo estacional y componente aleatoria, tanto para tipo aditivo como multiplicativo.

El Alisado exponencial estacional con triple parmetro (Holt-Winters estacional-multiplicativo) es:

La prediccin es:

Vlido para series con tendencia lineal y estacionalidad. El factor estacional no es fijo en el ajuste a periodo muestral.


Abrir el PBIA Proc Exponential Smoothing Holt-Winters Multiplicativo OK y se muestra el siguiente resultado:

Sample: 1992M01 1994M06 Included observations: 30 Method: Holt-Winters Multiplicative Seasonal Original Series: PBIA Forecast Series: PBIASM

( ) ( )( ) ( )

( ) stt

tt

tttt

ttst

tt

sYY

s

bYYb

bYs

YY

+=

+=

++=

1

*1*

*1*

11

11

( ) kstttkt skbYY ++ += **

Parameters: Alpha 0.8700 Beta 1.0000 Gamma 0.0000

Sum of Squared Residuals 42.98890 Root Mean Squared Error 1.197065

End of Period Levels: Mean 49.38024 Trend 4.217104 Seasonals: 1993M07 1.406998 1993M08 1.032589 1993M09 0.865693 1993M10 0.758299 1993M11 0.807855 1993M12 0.810340 1994M01 0.735470 1994M02 0.848620 1994M03 0.874647 1994M04 1.113844 1994M05 1.338879 1994M06 1.406765

El Alisado exponencial estacional con triple parmetro (Holt-Winters estacional-aditivo) es:

La prediccin es:

Vlido para series con tendencia lineal y estacionalidad. El factor estacional no es fijo en el ajuste a periodo muestral.


Abrir el PBIA Proc Exponential Smoothing Holt-Winters Aditivo OK y se muestra el siguiente resultado:

Sample: 1992M01 1994M06 Included observations: 30 Method: Holt-Winters Additive Seasonal Original Series: PBIA Forecast Series: PBIASM1

Parameters: Alpha 0.9400 Beta 1.0000 Gamma 0.0000

Sum of Squared Residuals 54.46170

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) stttt

tttt

ttsttt

sYYs

bYYbbYsYY

+=

+=

++=

1*

*1*

*1*

11

11

kstttkt skbYY ++ ++= *

Root Mean Squared Error 1.347364

End of Period Levels: Mean 54.92442 Trend 6.410787 Seasonals: 1993M07 14.64229 1993M08 1.253542 1993M09 -4.815208 1993M10 -8.758958 1993M11 -6.982708 1993M12 -6.931458 1994M01 -9.250208 1994M02 -5.313958 1994M03 -4.442708 1994M04 4.013542 1994M05 12.04479 1994M06 14.54104

6 METODO X11.- Un procedimiento de estimacin de los componentes de una serie temporal es el desarrollo por J. Siskin en la Oficina del Censo de los Estados Unidos.

Este programa X11 se usa en numerosos organismos pblicos, as como en el sector financiero, y permite ajustar series mensuales y trimestrales mediante el mtodo aditivo, multiplicativo y mixto. Incluye numerosas opciones para tener en cuenta las fiestas, los das no laborables, e incluso para detectar y corregir automticamente los datos anormales.

Los resultados que muestra el mtodo son:

a.- Estimacin de la tendencia. b.- Determinacin de unos coeficientes estacionales. c.- Estimacin de la componente aleatoria, y d.- Varios contrastes para detectar la estacionalidad.

Dispone de numerosas opciones, en las que se proporcionan muy variadas y extensas tablas relativas a las componentes, en las distintas fases de la estimacin, ya que el procedimiento realiza varias iteraciones antes de estimar finalmente las componentes del modelo, incluido el modelo ARIMA para la componente aleatoria.

En unas iteraciones iniciales, se estiman las componentes de la serie y se corrigen los datos en funcin de los das laborables (si se elige esta opcin). Se identifican las observaciones extremas o anormales, y as se llega a unas estimaciones finales de las componentes.

En la primera iteracin, con una media mvil centrada de amplitud 12, se obtiene una estimacin inicial de la tendencia y ciclo, eliminando variacin estacional e irregular, que se estiman por diferencia o por cociente segn el tipo de modelo.

En la segunda etapa, se aplican medias mviles a la serie que incluye las componentes estacionales y la irregular, para estimar esta ltima, y se obtiene tambin su desviacin tpica mensual. De esta forma se estiman y corrigen los valores extremos, y con una nueva media mvil se estima la componente estacional. Los ndices estacionales se usan para obtener una primera aproximacin de la serie desestacionalizada, a partir de la cual, y mediante una media mvil ponderada, se obtienen una segunda estimacin de las componentes agregadas de tendencia y ciclo no estacional.

El mismo procedimiento se utiliza para obtener una segunda estimacin de la serie desestacionalizada y de la componente irregular, que es de nuevo corregida en sus valores extremos o anormales.

En una tercera y ltima iteracin, se estiman finalmente los ndices estacionales, y las componentes irregular y tendencial.

En el Eviews se tiene:

T representa la tendencia de la serie y los ciclos no estacionales. S componente estacional. I componente aleatoria o irregular.


Abrir el CP Proc Seasonal Adjusment X11 (Historical) Census X11-Multiplicative y se escribe en Factor: FEM OK.

7 CENSUS X12-ARIMA.- es un programa de cdigo abierto creado por el U.S. Census Bureau. Este es un programa de correccin estacional que incorpora algunas mejoras con respecto al programa X11-ARIMA (Statistics Canada) como el desarrollo de nuevas medidas de identificacin de modelos y de diagnstico de ajustes.

Adems es un programa de reajuste estacional. Tambin el Census X12-ARIMA es un mtodo basado en promedios mviles, los cuales se sustentan en el dominio del tiempo o en el de frecuencias. Census X12-ARIMA logra el ajuste estacional con el desarrollo de un sistema de los factores que explican la variacin estacional en una serie.

En aos recientes, el Census X12-ARIMA ha adquirido relevancia en vista de que entre sus innovaciones se encuentran procedimientos basados en modelos (model based) como el Seats, el cual supone un modelo ARIMA para cada uno de los componentes de la serie de tiempo de inters. Especficamente, considera los modelos RegARIMA, los cuales son modelos de regresin cuyos errores siguen un proceso ARIMA. Por lo anterior, este programa es muy utilizado en varios bancos centrales, as como en varias oficinas de estadstica como la de la Unin Europea (Eurostat) y la de Per.


Abrir el CP Proc Seasonal Adjusment Census X12 se marca Multiplicative, Final seasonally adjusted serie y Final seasonal factors OK.

8 TRAMO/SEATS.- las siglas de Tramo significan Time Series Regression with ARIMA Noise, Missing Observations, and Outliers y las de Seats Signal Extraction in ARIMA Time Series. Estos programas (que normalmente se usan juntos) han sido desarrollados por Vctor Gmez y Agustn Maravall del Banco de Espaa.

Tramo es un programa para estimar y pronosticar modelos de regresin con errores posiblemente no estacionarios como los ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) y cualquier serie de observaciones ausentes, tambin identifica y corrige observaciones atpicas como por ejemplo: el efecto Pascua, Calendario y el relacionado a formas de variables de intervencin. El programa es eficiente en el ajuste estacional de series, y ms en la extraccin de seales estocsticas. El ajuste de la serie con el programa Tramo, corresponde al procedimiento que realizaba SCA (Scientific Computing Associates).

Seats es un programa para la estimacin de los componentes no observados en series temporales, siguiendo el mtodo basado en modelos ARIMA. Se estima y se obtienen predicciones de la tendencia, el componente estacional, el componente irregular y los componentes cclicos. Adems se obtienen los estimadores con error cuadrtico medio mnimo (ECMM) de los componentes, as como sus predicciones tambin. Seats puede usarse para un anlisis profundo de series o para aplicaciones rutinarias masivas. La estimacin que realiza Seats corresponde a la metodologa que llevaba a cabo X11- ARIMA.

Citando la descripcin de Tramo/Seats dada en el sitio Web del Banco de Espaa1, Los programas estn dirigidos fundamentalmente al anlisis de series temporales econmicas y sociales, de frecuencia mensual o ms baja. Aunque estn estructurados para satisfacer las necesidades de un analista experto, pueden utilizarse tambin de forma totalmente automtica. Sus principales aplicaciones son prediccin, ajuste estacional, deteccin y correccin de observaciones atpicas, estimacin de efectos especiales, y control de calidad de los datos.

En conjunto, Tramo/Seats realiza la estimacin ARIMA y la descomposicin en componentes aditivos o multiplicativos; por lo que Tramo hace la estimacin, mientras que Seats hace la descomposicin. Asimismo se recomienda el uso de este programa para obtener un buen punto de partida al ajustar alguna serie.


Abrir el CP Proc Seasonal Adjusment Tramo/Seats se marca Seasonally adjusted y seasonal factor OK.

3.2. TENDENCIA

Es un movimiento de larga duracin que se mantiene durante el perodo de observacin. Una primera idea sobre la presencia de tendencia en la serie la obtendremos en su representacin grfica.

En general es difcil diferenciar entre el componente tendencial y el cclico y, habitualmente, se obtienen de forma conjunta eliminando de la serie desestacionalizada el componente irregular, obtenindose una nueva serie denominada de CICLO-TENDENCIA.

Se tiene los mtodos siguientes:

1 MEDIA MVIL CENTRADA.- Una forma sencilla de eliminar el componente irregular consiste en calcular una media mvil centrada de orden bajo (p.e. 3) sobre la serie previamente desestacionalizada.

El componente irregular se obtendra por diferencia (mtodo aditivo) entre la serie desestacionalizada y la de Ciclo-Tendencia, as:


Genr mvc3cp = (cp(-1)+cp+cp(+1))/3 y se obtiene el ciclo-tendencia siguiente:

Modified: 1950Q1 1988Q1 // mvc3cp = (cp(-1)+cp+cp(+1))/3 1950Q1 NA 730.8333 740.3667 749.9000 1951Q1 745.0667 747.5000 746.8000 751.6000 1952Q1 758.3667 765.1667 776.9333 787.5000 1953Q1 797.8333 802.2000 803.3667 804.5000 1954Q1 808.2333 816.2333 827.9667 841.6333 1955Q1 855.5667 867.4667 879.9333 888.6000

2 FUNCIONES DE TIEMPO.- se obtiene la nueva serie de componente tendencial ajustando los datos observados a una especificacin en funcin del tiempo, calculndose los parmetros de la funcin de tiempo forma que se minimicen las diferencias cuadrticas entre la serie original y la estimada. Es decir:

+

=

=

1

131

s

SEst

CTt YY

CTt

SEt

It YYY =

222 )(/),( tttt YYMintfYY ==

Se pueden plantear distintas especificaciones de la funcin:

Lineal

Parbola

Exponencial

Potencial

En Eviews se escribe la instruccin siguiente: LS CP C @TREND LINEAL LS CP C @TREND @TREND^2 PARBOLA LS LOG(CP) C @TREND EXPONENCIAL LS LOG(CP) C LOG(@TREND) POTENCIAL

Se obtiene el resultado siguiente:

Variable CP Included Observation 153 Equation Yt = 551.89 +11.976*t Yt = 689.46 +6.6505*t

+0.03458*t**2 Yt = 716.86 * (1.0085**t)

R-Squared 0.982551 0.995333 0.993978 R-Square Adjusted 0.999980 0.999990 0.961511 Sum Square Error (SSE) 760146.960164 203307.057636 0.024479

Adicionalmente tenemos los modelos que incorporan un componente cclico, como:

tbaYt *+=

Lineal

0102030405060

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20

2** tctbaYt ++=

Parbola

0

50

100

150

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 1415 1617 18 1920

( ) tdcYLnbaY

t

tt

*

*

+=

=

Exponencial

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 1415 16 1718 1920

( ) ( )tLndcYLntaY

t

bt

*

*

+=

=

Potencial

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 1516 1718 1920

1.- Modelo de tendencia senoidal simple.-

El modelo es:

donde w es el nmero de observaciones en un ao.

En Eviews, primero hay que generar el ngulo, as: GENR O = (2*3.14159*@TREND)/12 GENR O = (2*3.14159*@TREND)/4

y a continuacin se escribe la instruccin siguiente: LS CP C @TREND @SIN(O) @COS(O) @TREND*@SIN(O) @TREND*@COS(O)

Resulta:

Dependent Variable: CP Method: Least Squares Sample: 1950Q1 1988Q1 Included observations: 153


C 563.7933 11.56697 48.74167 0.0000 @TREND 11.97613 0.131602 91.00294 0.0000 @SIN(O) 6.007610 16.48854 0.364351 0.7161 @COS(O) 2.679173 16.22456 0.165131 0.8691

@TREND*@SIN(O) -0.080349 0.187892 -0.427635 0.6695 @TREND*@COS(O) -0.020915 0.184291 -0.113487 0.9098

R-squared 0.982576 Mean dependent var 1474.026 Adjusted R-squared 0.981984 S.D. dependent var 535.3530 S.E. of regression 71.85795 Akaike info criterion 11.42569 Sum squared resid 759044.1 Schwarz criterion 11.54453 Log likelihood -868.0650 F-statistic 1657.947 Durbin-Watson stat 0.033761 Prob(F-statistic) 0.000000

2.- Modelo de tendencia senoidal cuadrtico.-

El modelo es:

donde w es el nmero de observaciones en un ao.

Y t sent

w

t

wtsen

t

wt

t

wut t= + +

+

+

+

+

pi

pi

pi

pi0 1 2 3 4 5

2 2 2 2cos cos

Y t t sent

w

t

wtsen

t

w

tt

wt sen

t

wt

t

wu

t

t

= + + +

+

+

+

+

+

+

pi

pi

pi

pi

pi

pi

0 1 22

3 4 5

6 72

82

2 2 2

2 2 2

cos

cos cos

En Eviews, primero hay que generar el ngulo, as: GENR O = (2*3.14159*@TREND)/12 GENR O = (2*3.14159*@TREND)/4

y a continuacin se escribe la instruccin siguiente: LS CP C @TREND @TREND^2 @SIN(O) @COS(O) @TREND*@SIN(O)

@TREND*@COS(O) @TREND^2*@SIN(O) @TREND^2*@COS(O)

Obteniendo:

Dependent Variable: CP Method: Least Squares Sample: 1950Q1 1988Q1 Included observations: 153


C 696.2372 9.007112 77.29860 0.0000 @TREND 6.716405 0.273801 24.53023 0.0000

@TREND^2 0.034602 0.001744 19.84635 0.0000 @SIN(O) 0.011491 12.93618 0.000888 0.9993 @COS(O) -1.803156 12.52636 -0.143949 0.8857

@TREND*@SIN(O) 0.018841 0.393081 0.047933 0.9618 @TREND*@COS(O) 0.086830 0.380987 0.227907 0.8200 @TREND^2*@SIN(O) -0.000200 0.002504 -0.079986 0.9364 @TREND^2*@COS(O) -0.000709 0.002425 -0.292256 0.7705

R-squared 0.995339 Mean dependent var 1474.026 Adjusted R-squared 0.995080 S.D. dependent var 535.3530 S.E. of regression 37.55118 Akaike info criterion 10.14631 Sum squared resid 203053.1 Schwarz criterion 10.32457 Log likelihood -767.1926 F-statistic 3843.774 Durbin-Watson stat 0.104706 Prob(F-statistic) 0.000000

3 ALISADO.- Las tcnicas de alisado exponencial se utilizan en situaciones en las que existen pocos datos, y si es necesario ir actualizando el modelo empleado cada vez que se obtiene un nuevo dato. Son muy simples en su aplicacin pero limitados.

Alisado exponencial simple:

Prediccin:

Vlido para series sin tendencia. La prediccin no aporta informacin adicional.

( )( )

=

=

+=1

0

1

1*

*1*N

s

sts

t

ttt

YY

YYY

0 >=+ kYY tkt

En el Eviews se sigue la instruccin siguiente: Abrir el PBIA Proc Exponential Smoothing Single OK y se muestra el siguiente resultado:

Sample: 1992M01 1994M06 Included observations: 30 Method: Single Exponential Original Series: PBIA Forecast Series: PBIASM

Parameters: Alpha 0.9990 Sum of Squared Residuals 1345.407 Root Mean Squared Error 6.696782

End of Period Levels: Mean 69.42131

Alisado exponencial doble (Brown):

Prediccin:

Vlido para series con tendencia lineal. La prediccin es una recta con ordenada en el origen y pendiente .


Abrir el PBIA Proc Exponential Smoothing Double OK y se muestra el siguiente resultado:

Sample: 1992M01 1994M06 Included observations: 30 Method: Double Exponential Original Series: PBIA Forecast Series: PBIASM

Parameters: Alpha 0.8560 Sum of Squared Residuals 1320.795 Root Mean Squared Error 6.635247

End of Period Levels: Mean 69.53286 Trend 10.11279

( ) ( )( ) 11

11

*1*

*1*

+=

+=

ttt

ttt

YYY

YYY

( ) ( )

( ) ( )

+=

=

+

+=+

kYYYY

YkYkY

tttt

ttkt

1*2

*1

1*1

2

11

1

tt YY *21

( ) ( ) 11 tt YY

El Alisado exponencial lineal con doble parmetro (Holt-Winters) es:

Los valores iniciales pueden ser:

La prediccin es:

Vlido para series con tendencia lineal. La prediccin es una recta con ordenada en el origen y pendiente .

En el Eviews se sigue la instruccin siguiente: Abrir el PBIA Proc Exponential Smoothing Holt-Winters-No Seasonal OK y se muestra el siguiente resultado:

Sample: 1992M01 1994M06 Included observations: 30 Method: Holt-Winters No Seasonal Original Series: PBIA Forecast Series: PBIASM

Parameters: Alpha 1.0000 Beta 0.8100

Sum of Squared Residuals 1002.241 Root Mean Squared Error 5.779969

End of Period Levels: Mean 69.43000 Trend 9.713274

4 FILTRADO DE SERIES.- los medios ms utilizados para detectar y eliminar la tendencia de una serie se basan en la aplicacin de filtros a los datos. Un filtro no es ms que una funcin matemtica que aplicada a los valores de la serie produce una nueva serie con unas caractersticas determinadas.

Segn Baxter y King, un mtodo ptimo de extraccin de ciclos econmicos debe cumplir con 6 objetivos:

El filtro debe extraer un rango especfico de periodicidades, sin variar sus propiedades inherentes (la varianza, correlaciones y otras medidas exploratorias de los datos).

No debe producir un movimiento de fase (es decir, que no altere las

( ) ( )( ) ( ) 11

11

*1*

*1*

+=

++=

tttt

tttt

bYYbbYYY

0; 111 == bYY

( )12222 ; YYbYY ==

kbYY ttkt * +=+

1

tY tb

relaciones temporales de las series a ninguna frecuencia). Este aspecto y el anterior definen un promedio mvil ideal, con ponderaciones simtricas para rezagos y adelantos.

El mtodo debe ser una aproximacin ptima de un filtro ideal. Esto se puede determinar midiendo la diferencia de los resultados obtenidos con un filtro ideal y uno aproximado.

La aplicacin de un filtro debe producir una serie de tiempo estacionaria cuando se aplica a cifras que presentan tendencia.

El mtodo debe ser independiente de la longitud de la serie. El mtodo debe ser operacional, esto es, de fcil aplicacin y uso.

Los requisitos para el filtro ideal conllevan el establecer un equilibrio entre el estimar un filtro ptimo, lo cual implica agregar la mayor cantidad de rezagos y adelantos como explicativos de una variable y el perder observaciones al inicio y al final del perodo, lo cual reduce la cantidad de datos para el anlisis. Los autores recomiendan utilizar como mnimo 6 aos cuando se trabaja con datos trimestrales y anuales.

En la actualidad existen dos filtros:

1.- HODRICK-PRESCOTT.- partiendo del supuesto de que la serie est compuesta por un componente tendencial ms un componente cclico, se obtiene la nueva serie de componente tendencial que sea lo mas suave posible (penalizndose con el parmetro la volatilidad de la nueva serie) y que minimize las diferencias cuadrticas frente a la serie original. Tendramos:

Los propios autores proponen unos valores de para cada tipo de series: Anual = 100, Trimestral =:1600 y Mensual =14400.

En trminos matriciales podemos expresar el problema de minimizacin como:

Donde:

Igualando a cero la primera derivada y despejando la serie 2tY obtenemos:

)()()()'( 2222 tttttt YAYAYYYYMin +

=

2

23

22

21

2

*

12100000

000121000000121000000121

n

t

Y

YYY

YAM

L

MMMOMMMMM

L

L

L

112 )( tt YAAIY +=

( ) ( ) ( )( )==

++=

N

t

N

ttt tttttt

YYYYYYMinYT2

22222

1

221211

/

Posee una serie de caractersticas ideales segn los criterios de Baxter y King, por ejemplo:

Como el filtro es simtrico, no produce movimientos de fase. Aproxima bien a un filtro ideal cuando se utiliza un 1600= para

datos trimestrales. Produce series estacionarias, cuando stas estn integradas hasta el

orden cuarto. El mtodo es operacional.

Adolece de los problemas siguientes: Las ponderaciones van a depender del tiempo, por lo que el filtro

dejar de ser independiente del largo de la serie. Por construccin el filtro no perder ningn dato al inicio o al final

de la serie. Sin embargo, las propiedades de la serie filtrada en puntos iniciales y finales es significativamente distinta de un filtro ideal, no as en los valores intermedios de la misma.

Se relaciona con la eleccin un tanto arbitraria del parmetro . Para datos con periodicidad anual es una mala aproximacin de un filtro ideal, por cuanto incluye comportamientos cclicos que debera omitir y viceversa. Para datos anuales no existe consenso y la utilizacin del parmetro de suavizacin va desde = 10 hasta = 400.

En el Eviews se sigue la instruccin siguiente: Abrir CP Proc Hodrick-Prescott Filter OK y se muestra el siguiente resultado:

-80

-40

0

40

80

500

1000

1500

2000

2500

3000

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

CP Trend Cycle

Hodrick-Prescott Filter (lambda=1600)

2.- BAXTER-KING.- su objetivo es encontrar un mtodo til para medir ciclos econmicos y que ste sea ptimo, por ejemplo, que cumpla con las especificaciones sobre ciclos asignadas por el investigador.

Su procedimiento se resume en dos pasos: primero se mide el ciclo, para lo cual el investigador debe especificar ciertas caractersticas del mismo y posteriormente se le asla, aplicando promedios mviles a los datos.

Desarrolla 3 tipos de filtro lineal: low-pass, high-pass y bandpass.

Un filtro de tipo low-pass slo retendr los componentes que se mueven lento en los datos, esto es, que se producen con frecuencias muy bajas. Entre menor sea la frecuencia mayor va a ser la cantidad de perodos que abarca un ciclo.

Un filtro de tipo high-pass equivale a una frecuencia relativamente alta, por lo que se espera que incluya elementos ms frecuentes de la serie, como los irregulares o estacionales.

El filtro band-pass son los perodos mnimo y mximo a incluir en el ciclo, es un tipo de construccin de promedios mviles que asla los componentes peridicos de una serie de tiempo econmica que cae en una banda de frecuencias especfica.

La cantidad de rezagos a incluir en el filtro es muy importante, por cuanto estos definen la precisin de los ponderadores. Segn Baxter y King, no existe un nmero ideal de rezagos, pero s ocurre que entre ms rezagos se incorporen en el promedio mvil, mejor ser la aproximacin con el filtro ideal, a costa de una mayor prdida de datos por encima y por debajo del valor de inters, aspecto que cobra mayor importancia al final de la serie. Por ello, la eleccin de k depender en gran medida de la cantidad de datos disponibles y de lo necesario que sea aproximar el filtro al ideal.

Este filtro cumple con la mayora de las caractersticas:

es simtrico, por lo que no produce movimientos de fase. aproxima relativamente bien un filtro ideal. produce series estacionarias. es un mtodo operacional. es superior a otros en la medida que permite introducir la definicin

del investigador del ciclo econmico y no produce variacin en las propiedades de la variable al final de las series.

Habr una prdida de datos al inicio y al final de la serie igual a dos veces la cantidad de rezagos que el investigador incluya.

Se recomienda utilizar los siguientes valores de parmetros:

Series anuales upper =2 lower =8 nma =3 arpad =1 Series trimestrales upper =2 lower =32 nma =12 arpad =4 Series mensuales upper =2 lower =96 nma =12 arpad=12

Donde: Upper: nmero de perodos mnimos que se incluirn en el filtro,

correspondientes a frecuencias altas.

Lower: nmero de perodos mximos que se incluirn en el filtro, correspondientes a frecuencias bajas.

Nma: nmero de promedios mviles (o rezagos ) del filtro. Arpad: nmero de parmetros autorregresivos que se utilizarn para

sustituir los valores que se pierden al final de la serie, por la aplicacin de un promedio mvil truncado.

En el Eviews se sigue la instruccin siguiente: Abrir CP Proc Frecuency Filter Fixed length symmetric (Baxter-King), lag = 12, low = 2, high = 32 OK y se muestra el siguiente resultado:

-80

-40

0

40

80

500

1000

1500

2000

2500

3000

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

CP Non-cyclical Cycle

Fixed length symmetric (Baxter-King) filter

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

.0 .1 .2 .3 .4 .5

Actual Ideal

Frequency Response Function

cycles/period

3.- CHRISTIANO Y FITZGERALD.- es una variante al filtro Baxter-King, derivan una aproximacin ptima cuando la representacin de los datos tiene raz unitaria o es estacionario alrededor de una tendencia. Asimismo, desarrollan una variante cuyas ponderaciones son diferentes para cada observacin (asimtricas), la cual puede usarse para toda la muestra ya que no hay prdida de observaciones.

Este filtro de banda est basado en el proceso de generacin de los datos, el cual suponen que sigue un paseo aleatorio o Random Walk (RW). Aun el caso que esta representacin no sea verdadera, utilizando datos macroeconmicos para EE.UU., los autores referidos encuentran que el desempeo es satisfactorio.

Este filtro presenta ventajas cuando el inters es extraer componentes para datos de baja frecuencias (donde la eleccin adecuada de puede ser un problema) y estimar la tendencia y el ciclo en tiempo real, o sea hasta la ltima observacin. No obstante y al igual que el filtro Baster-King, la variante de Christiano-Fitzgerald no invalida el filtro Hodrick-Prescott particularmente para el anlisis estadstico del ciclo y los componentes de alta frecuencia para datos trimestrales.


Abrir CP Proc Frecuency Filter Fixed length symmetric (Ghristiano-Fitzgerald), lag = 12, low = 2, high = 32, I(1)-random walk

OK y se muestra el siguiente resultado:

-80

-40

0

40

80

500

1000

1500

2000

2500

3000

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

CP Non-cyclical Cycle

Fixed length symmetric (Christiano-Fitzgerald) filter

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

.0 .1 .2 .3 .4 .5

Actual Ideal

Frequency Response Function

cycles/period

3.3. CICLO

Para extraer y predecir el componente cclico se utiliza el ajuste de funciones peridicas.

Una funcin peridica es aquella que repite sus valores en el tiempo cada p periodos y puede venir expresada como:

donde:

A amplitud de la oscilacin. P perodo. desfase. N nmero total de observaciones.

A efectos de ajustar y predecir series cclicas podemos utilizar la expresin alternativa:

0 es lo que se denomina frecuencia bsica y es igual a N/*2 pi .

Paso 1: Identificar el nmero de mximos (mnimos) cclicos p y construir las series:

Paso 2: Ajustar mediante regresin el modelo:

+= pi

NpAYt

2cos*

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

A

T

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

DESFASE = PI/2

)**(*)**cos(* 00 tpsentpYt +=

)**/1416.3*2()**/1416.3*2cos( tpNsenSENPytpNCOSP tt ==

Paso 3: Calcular los errores (residuos) y si tienen comportamiento cclico repetir el proceso aadiendo nuevos trminos al modelo.

Para determinar el valor del periodo p, podramos utilizar, como primera aproximacin, el nmero de mximos (o mnimos) locales que presenta la serie a analizar.

4 ANLISIS EN EL DOMINIO DE FRECUENCIAS

Una funcin peridica se repite transcurrido T (perodo), por lo tanto presentar la mxima correlacin con el retardo T y sus mltiplos enteros. Puede demostrarse que la autocorrelacin de una funcin peridica es peridica, del mismo perodo que dicha funcin. Veamos los grficos:

Para visualizar la periodicidad de una serie, tenemos:

1.- EL PERIODOGRAMA.- se asimila a un sintonizador de un receptor de radio, as, la serie que observamos sera la seal emitida por una radio y el periodograma no sera mas que el dial que busca en que frecuencia se oye mejor la seal emitida.

Modelo que sigue la serie observada:

Asumimos que las frecuencias, i , denominadas Frecuencias de Fourier son:

Los parmetros, a y b, se pueden estimar por MCO o bien, de forma directa como:

Npi

ipi

2

=

ttt SENPCOSPY ** 21 +=

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-40 -20 0 20 40

FUNCION DE AUTOCORRELACION

=

++=k

itiiipt tbtaY

1)sencos(

kpi ,...,1= ( )

=

imparesNsiNparesNsiN

k2

12

=

=

N

t

t

NY

a1

0=

=

N

totp tpYN

a1

cos2

=

=

N

totp tpYN

b1

sen2

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

COS(2*PI*@TREND/(200/10))

Se calcula el periodograma I(w):

El periodograma mide aportaciones a la varianza total de la serie de componentes peridicos de una frecuencia determinada (w). Si el periodograma presenta un pico en una frecuencia, indica que dicha frecuencia tiene mayor importancia en la serie que el resto.

De izquierda. a derecha. aumenta la frecuencia (disminuye el perodo):

El periodograma est basado en una herramienta matemtica denominada Transformada de Fourier, segn la cual una serie, que cumpla determinados requisitos, puede descomponerse como suma de un nmero finito o infinito de frecuencias. Del mismo modo, a partir de la representacin frecuencial puede recuperarse la serie original a travs de la Transformada Inversa de Fourier.

Las series peridicas presenta un periodograma discreto, es decir, solo existe "masa" espectral en aquellas frecuencias contenidas en la serie, siendo stas un nmero discreto.

0

22

2)()(

ppp

baI

+=

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Tendencia Ciclo Estacionalidad (Ciclo anual) Irregular

0

1

2

3

4

0 50 100 150

Las series aperidicas presentan un periodograma contino, es decir, existe "masa" en un "infinito" nmero de frecuencias.

Las series estocsticas presentan densidad espectral en un rango contino de frecuencias.

2.- EL ESPECTRO.- o densidad espectral se define para procesos estocsticos estacionarios como la transformada de Fourier de la funcin de autocovarianza (teorema de Wiener-Khintchine). Su estimador natural es el periodograma, antes visto. Como hemos comprobado es un instrumento adecuado para la deteccin de procesos peridicos puros, sin embargo en el caso de procesos estocsticos presenta serias limitaciones, las ms importantes son la inconsistencia y la correlacin asintticamente nula entre ordenadas del periodograma. Esto implica que no converja al verdadero espectro cuando la muestra se amplia y que el periodograma muestre un comportamiento errtico.

Los mtodos paramtricos, parten de suponer conocido el PGD, y modelizado en general a travs de un proceso ARMA, a partir del cual se puede recuperar una estimacin del espectro.

Si la serie observada responde a un modelo ARMA (p,q):

El espectro equivale a:

qtqtttptpttt bbbYaYaYaY ++++=++++ ...... 22112211

-3

-2

-1

0

1

2

3

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

20

40

60

80

100

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

5

10

15

20

0 50 100 150

FREC

PER

DG

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 50 100 150

FREC

PER

DG

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 50 100 150

FREC

PERD

G

5 PROCESO ESTOCSTICO

Siempre que estudiamos el comportamiento de una variable aleatoria a lo largo del tiempo, estamos ante un proceso estocstico. En general, trabajamos con procesos estocsticos en cualquier caso en que intentamos ajustar un modelo terico que nos permita hacer predicciones del comportamiento futuro de un proceso.

Si podemos encontrar patrones de regularidad en diferentes secciones de una serie temporal, podremos tambin describirlas mediante modelos basados en distribuciones de probabilidad.

Tenemos las definiciones siguientes:

1.- La secuencia ordenada de variables aleatorias X(t) y su distribucin de probabilidad asociada.

2.- Es el modelo matemtico para una serie temporal. 3.- Es una coleccin {Yt; t = 1, 2, , T} de variables aleatorias ordenadas en

el tiempo. {Yt; t T} es un proceso continuo si < t < . Si T is finito, {Yt} es un proceso discreto.

Cualquier serie de tiempo puede ser generada por un proceso estocstico o aleatorio; y un conjunto concreto de informacin, puede ser considerado como una realizacin (particular) del proceso estocstico subyacente. La distincin entre un proceso estocstico y su realizacin es semejante o la distincin entre la informacin de corte transversal poblacional y muestral.

PROCESO ESTOCSTICO ESTACIONARIO

Un Proceso Estocstico Discreto (PED) es una sucesin de variables aleatorias { }ty

, donde t= -4, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... 4. Dos ejemplos de PED podran ser: El ruido blanco y el camino aleatorio.

Consideremos el PED {y-4, ...y1,...yT,...,y4} y centrmonos en dos de sus

miembros: yt y yt-k. Este PED se denomina estacionario de un tipo particular si determinadas propiedades estocsticas de yt y yt-k no dependen de t y t-k (su ubicacin absoluta en la secuencia) pero dependen slo de k (su separacin relativa en la secuencia).

Se tiene los tipos de estacionariedad siguiente:

1.- Estricta: Se verifica si las distribuciones de yt y yt-k (conjunta y marginal) no dependen de t pero slo de k.

pi

2...1

...1)(

2

2221

2221

ipp

ii

iqq

ii

Yeaeaea

ebebebh

++++

++++= pipi

Un proceso estocstico es estacionario en sentido estricto cuando su funcin de distribucin conjunta es invariante respecto a un desplazamiento en el tiempo.

Considerando que t1; t2; .... ; tk corresponden a periodos sucesivos de tiempo que denominamos como t; t + 1;.. ; t + k, entonces:

);...;;();...;;( 1mt1t mktmtktt yyyfyyyf +++++++ =

2.-Dbil: Se verifica cuando los dos primeros momentos de yt y yt-k dependen posiblemente de k pero no de t, i.e. E(yt) = E(yt-k) y Var(yt) = Var(yt-k) y Cov(ytyt-k) depende posiblemente de k pero no de t.

[ ]( )

( ) ( )( ) ( )1 2 1 22

1 2,

t Y

t Y

t t t Y t Y

E Y

Var Y

COV Y Y E Y Y t t

=

=

= =

En el caso que las series sean estacionarias en el sentido dbil, se podrn modelar a travs de un conjunto de especificaciones conocidas como los modelos AR, MA y ARMA. El objetivo de los mismos es explicar el componente cclico de la serie (o su componente estacionario) a travs de su pasado por medio de diferentes tipos de relaciones.

Una serie de tiempo es estacionaria si su distribucin es constante a lo largo del tiempo; para muchas aplicaciones prcticas es suficiente considerar la llamada estacionariedad dbil, esto es, cuando la media y la varianza de la serie son constantes a lo largo del tiempo. Muchas de las series de tiempo que se analizan en Econometra no cumplen con esta condicin, cuando tienen una tendencia.

5 PRUEBA DE ESTACIONARIEDAD

Existen varias pruebas para verificar estacionariedad y se clasifican en los tipos siguiente:

5.1. MTODO DE BOX - JENKINS

El procedimiento para verificar estacionariedad de la serie es:

1 El examen visual de la trayectoria de la serie a lo largo del tiempo puede dar una idea de si es o no estacionaria en media. Si existe algn valor en torno al cual la serie va oscilando pero sin alejarse de forma permanente de dicho valor, entonces se puede considerar que la serie es estacionaria en media.

2 Si los coeficientes de AC no decaen rpidamente sera un indicio claro de que la serie es no estacionaria.

3 El primer coeficiente de PAC es significativo (es decir, mayor o igual a 0.9)

entonces la serie es no estacionaria.

Si la serie es no estacionaria, la serie debera someterse a la primera diferencia, y se volvera a analizar siguiendo los pasos anteriores. De esta forma se continuara hasta obtener una serie diferenciada de orden d. En la prctica, es suficiente con tomar d = 1 o d = 2 para obtener una serie estacionaria en media.

EJEMPLO

1 Si observamos el ploteo del consumo personal agregado real se visualiza que no oscila alrededor de su media, por lo tanto es no estacionaria.

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

CP @MEAN(CP,"1950q1 1988q1")

2 Segn el correlograma del consumo personal agregado real cae lentamente, por lo tanto no es estacionaria.

Abrir la serie View Correlogram... se marca nivel y se escribe 12 lag OK y se muestra el siguiente resultado:



.|*******| .|*******| 1 0.955 0.955 142.33 0.000 .|*******| .|. | 2 0.911 -0.014 272.69 0.000 .|*******| .|. | 3 0.868 -0.014 391.73 0.000 .|****** | .|. | 4 0.825 -0.012 500.15 0.000 .|****** | .|. | 5 0.786 0.008 599.06 0.000 .|****** | .|. | 6 0.747 -0.010 689.07 0.000 .|***** | .|. | 7 0.711 0.006 771.12 0.000 .|***** | .|. | 8 0.677 0.008 846.07 0.000 .|***** | .|. | 9 0.645 0.008 914.68 0.000 .|***** | .|. | 10 0.616 0.011 977.69 0.000 .|**** | .|. | 11 0.590 0.012 1035.8 0.000 .|**** | .|. | 12 0.565 0.010 1089.5 0.000

3 Examinando el primer coeficiente de autocorrelacin parcial del consumo

personal agregado real es significativo (0.955 > 0.9), entonces el ingreso personal disponible no es estacionario.

Como el consumo personal agregado real no es estacionario, tenemos que examinar la primera diferencia de la serie y repetir el procedimiento de Box-Jenkins.

1 Si observamos el ploteo de la primera diferencia del consumo personal agregado real se visualiza que oscila alrededor de su media, por lo tanto es estacionaria.

-60

-40

-20

0

20

40

60

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

D(CP) @MEAN(D(CP),"1950q1 1988q1")

2 Obtenemos el correlograma de la primera diferencia del consumo personal agregado real se obtiene siguiendo la instruccin siguiente:

Abrir la serie View Correlogram... se marca 1st difference y se escribe 12 lag OK y se muestra el siguiente resultado:



.|** | .|** | 1 0.204 0.204 6.4803 0.011 .|** | .|* | 2 0.223 0.189 14.251 0.001 .|** | .|* | 3 0.217 0.153 21.681 0.000 .|* | .|* | 4 0.165 0.075 26.010 0.000 .|. | *|. | 5 0.021 -0.089 26.082 0.000 .|* | .|. | 6 0.077 0.013 27.021 0.000 .|. | .|. | 7 0.049 0.010 27.408 0.000 *|. | **|. | 8 -0.151 -0.193 31.104 0.000 .|. | .|. | 9 0.018 0.058 31.156 0.000 .|. | .|. | 10 -0.011 0.023 31.176 0.001 .|. | .|. | 11 -0.023 0.021 31.267 0.001 *|. | .|. | 12 -0.072 -0.046 32.134 0.001

De la observacin del grfico podemos deducir que la primera diferencia del consumo personal agregado real es estacionaria.

3 Examinando el primer coeficiente de autocorrelacin parcial de la primera

diferencia del consumo personal agregado real no es significativo (0.204 < 0.9), entonces la primera diferencia del consumo personal agregado real es estacionaria.

Por lo tanto, la primera diferencia del consumo personal agregado real es estacionaria.

5.2. PRUEBA DE RAZ UNITARIA

Las series de tiempo no estacionarias que presentan races unitarias son un caso muy especial de las series no estacionarias, tanto por su frecuencia en economa como por lo que se conoce de sus propiedades estadsticas; en los ltimos aos se ha realizado una gran cantidad de trabajos para el diseo de pruebas de hiptesis de que una serie tiene races unitarias.

Consideremos el siguiente modelo:

donde u es el trmino de error estocstico que sigue los supuestos clsicos, a saber:

tiene media cero, varianza constante ( 2

) y no est autocorrelacionada; es decir, el trmino de error es ruido blanco.

Si el coeficiente de Yt 1 es en realidad igual a 1, surge lo que se conoce como el problema de raz unitaria, o sea, una situacin de no estacionariedad. En econometra, una serie de tiempo que tiene una raz unitaria se conoce como un camino aleatorio. Por lo tanto, se estima la regresin:

y se encuentra que = 1 , entonces se dice que la variable estocstica Yt tiene una raz unitaria.

5.2.1. DICKEY FULLER NORMAL

De modo que podemos contrastar la hiptesis de no estacionareidad probando la hiptesis nula = 1 contra la alternativa || < 1 o simplemente < 1.

Si restamos Yt 1 en ambos miembros de la ecuacin ( 2 ), resulta:

sacando factor comn y definiendo

Y Y uY Y u

t t t

t t t

= +

= +

( )

1 11

Y Y ut t t= +1 ( 1 )

Y Y ut t t= + 1 ( 2 )

Y Y Y Y ut t t t t = + 1 1 1

Entonces, tendramos la siguiente implicacin con la prueba de hiptesis: H0 : = 1 H0 : = 0 H0 : < 1 H0 : < 0

Cuando las series en una regresin no son estacionarias, el uso del estadstico t para contrastar hiptesis = 0 es inadecuado pues este no sigue la distribucin t Student. Esta tabla es limitada, pero Mac Kinnon prepar tablas ms extensas, que estn incorporadas en el Eviews.

Adems de probar si una serie es una caminata aleatoria, Dickey y Fuller desarrollaron tambin valores crticos para la presencia de una caminata aleatoria con desplazamiento y con tendencia determinstica, es decir bajo tres distintas hiptesis nulas:

ttt

ttt

ttt

tYYYY

YY

+++=++=

+=

210

10

1

Series como tY , las cuales se convierten en estacionarias despus de tomar la primera diferencia, se conocen como integradas de orden 1 y se designa como I(1). Las series estacionarias son series integradas de orden 0, I(0).

En general, si una serie debe ser diferenciada d veces para alcanzar estacionaridad se dice que es integrada de orden d o I(d).

5.2.2. DICKEY FULLER AUMENTADO

Al realizar la prueba de DF se supuso que el trmino de error t no estaba correlacionado.

Dickey y Fuller, Said y Dickey (1984), Phillips y Perron (1988) y otros, desarrollaron modificaciones de las pruebas de Dickey y Fuller cuando t , no es ruido blanco. Se conocen con el nombre de pruebas aumentadas de Dickey y Fuller.

No todos los procesos de series de tiempo pueden ser representadas por un proceso autoregresivo de primer orden. Considerando un proceso autoregresivo de orden p, como:

y y y yt t t p t p t= + + + + + 0 1 1 2 2 ....

adicionando y sustrayendo el trmino p t py +1

, nos resulta:

y y yt t i t ii

p

t= + + + +=

0 1 12

donde,

=

=

p

ii

11

y =

=

p

ijji .

Donde t es un trmino de error puro con ruido blanco. El nmero de trminos de diferencia rezagados que se debe incluir, con frecuencia se determina de manera emprica, siendo la idea incluir los trminos suficientes para que el trmino de error no est serialmente relacionado.

Considerando las tres posibilidades tenemos:

y y y

y y y

y y y t

t t i t ii

p

t

t t i t ii

p

t

t t i t ii

p

t

= + +

= + + +

= + + + +

+=

+=

+=

1 12

0 1 12

0 1 12

2

En la DFA se sigue probando = 0 y adems esta prueba sigue la misma distribucin asinttica que el estadstico DF, por lo que se puede utilizar los mismos valores crticos.

Para elegir p se tiene los siguientes criterios:

1) Incluir retardos de tY hasta que el error sea ruido blanco. 2) Incluir retardos de tY significativos. 3) Utilizar AIC, SBC, etc. (information criteria), para elegir p.

Sin embargo, la prueba de Dickey-Fuller es frgil siempre hay que utilizar informacin adicional (inspeccin visual de la serie, sentido comn, historia, teora) antes de aceptar o rechazar lo que sugiere la prueba de Dickey-Fuller

Si hay variables innecesarias en la regresin, es ms difcil rechazar la hiptesis nula (existencia de raz unitaria) cuando en realidad es 0

ecuacin: Y Y tt t t= + + + 1

y modifica el t del coeficiente de modo que la correlacin serial no afecta la distribucin asinttica de la prueba estadstica. La prueba PP se basa en la estadstica:

( ) ( )( )sfsefT

ftt 210

002

1

0

0

2

~

=

donde ( )se es el error estndar de coeficiente , s es el error estndar de la regresin de la prueba, 0 es una estimacin consistente de la varianza del error (calculado como ( ) TskT /2 , donde k es el nmero de regresores) y 0f es un estimador del espectro residual en la frecuencia cero.

Hay dos opciones que usted tendr que hacer para realizar la prueba PP. En primer lugar, debe decidir si incluir una constante, una constante y una tendencia en el tiempo lineal, o ninguno, en la regresin de la prueba. En segundo lugar, usted tendr que elegir un mtodo para estimar 0f . Eviews apoya estimadores para 0f basados en el ncleo basado en suma-de-covarianzas, o sobre estimacin de la densidad espectral autorregresivos.

La distribucin asinttica de la relacin de PP es la misma que la de la estadstica de ADF.

La hiptesis nula del test de Phillips-Perron es la trayectoria de raz unitaria con tendencia y la alternativa la estacionariedad con tendencia, si el valor t-Student asociado al coeficiente de

Yt1 es mayor en valor absoluto al valor crtico de MacKinnon, se rechaza la hiptesis de existencia de raz. La distribucin asinttica de la prueba PP es la misma que la prueba DFA.

5.2.4. PRUEBA DE DICKEY FULLER CON ELIMINACION DE LA TENDENCIA (DFGLS)

En los test anteriores, se puede optar por incluir una constante, o una constante y una tendencia en el tiempo lineal, en la prueba de regresin ADF. Para estos dos casos, el ERS (1996) proponen una simple modificacin de las pruebas de ADF en el que los datos son sin tendencias a fin de que las variables explicativas son "sacadas" de los datos antes de ejecutar la prueba de regresin.

ERS define una cuasi-diferencia de tY que depende del valor que representa la alternativa punto concreto contra el que deseamos probar la hiptesis nula:

( )

>

=

=

11

1 tifaYYtifY

aYDtt

tt

Se considera una regresin de MCO de la cuasi-diferenciada de datos ( )aYD t sobre la cuasi-diferenciados ( )aXD t , es decir:

( ) ( ) ( ) ttt aaXDaYD += que tX contiene ya sea una constante, o una constante y la tendencia, y ( )a son las estimaciones de MCO de esta regresin.

Todo lo que necesitamos ahora es un valor para a . ERS recomienda el uso de aa = , cuando:

{ }{ }

=

=

=

tXifT

XifTat

t

,15.131171

Definimos ahora el GLS sin tendencia de datos dtY , utilizando las estimaciones relacionadas con a :

( )aXYY ttdt =

Entonces la prueba DFGLS consiste en calcular la ecuacin siguiente: t

dptp

dt

dt

dt YYYY ++++= .....111

Si bien el DFGLS que es el ratio t sigue una distribucin de Dickey-Fuller, en el caso de nica constante, la distribucin asinttica es diferente cuando se incluyen tanto una constante y tendencia. ERS simula los valores crticos de la estadstica de prueba en este escenario para { }= ,200,100,50T . La hiptesis nula es rechazada por los valores que caen por debajo de estos valores crticos.

5.2.5. PRUEBA DE KWIATKOWSKI, PHILLIPS, SCHMIDT, Y SHIN (KPSS)

La prueba KPSS (1992) difiere de las otras pruebas de raz unitaria, en que la serie se supone que es estacionaria bajo la hiptesis nula. La estadstica KPSS se basa en el los residuos de la regresin de MCO de tY en las variables exgenas tX :

ttt uXY +=

El estadstico LM es definido como:

( ) ( )=

=

T

t

fTtSLM1

022 /

donde 0f , es un estimador del espectro residual en la frecuencia cero y en caso de ( )tS es una funcin residual acumulativa:

( ) =

=

t

r

rutS1

sobre la base de los residuos ( )0 ttt XYu = . Se seala que el estimador de utilizado en este clculo difiere del estimador utilizado para GLS con eliminacin de la tendencia, ya que se basa en una regresin con los datos originales y no en la cuasi-datos diferenciados.

Para especificar la prueba KPSS, debe especificar el conjunto de regresores exgenos tX y un mtodo para la estimacin de 0f . Los valores reportados crtico

para la estadstica de prueba LM se basan en los resultados presentados en KPSS asinttica.

5.2.6. PRUEBA DE ELLIOT, ROTHENBERG, AND STOCK POINT OPTIMAL (ERS)

El estudio del punto ptimo de ERS se basa en la cuasi-regresin de diferenciacin que se define:

( ) ( ) ( ) ttt aaXDaYD +=

Definir los residuos de la ecuacin como ( ) ( ) ( ) ( )aaXDaYDa ttt = , y dejar que ( ) ( )

=

=

T

tt aaSSR

1

2 sea la suma de los residuos al cuadrado. El ERS (posible) el punto ptimo de la estadstica de prueba de la hiptesis nula que 1=a frente a la alternativa que aa = , es definido como:

( ) ( )( )0

1f

SSRaaSSRPT

=

donde 0f , es un estimador del espectro residual en la frecuencia cero.

Para calcular la prueba de ERS, debe especificar el conjunto de regresores exgenos tX y un mtodo para estimar 0f . Los valores crticos para la estadstica de prueba ERS se calculan por interpolacin de los resultados de la simulacin prevista por el ERS para { }= ,200,100,50T .

5.2.7. PRUEBA DE NG Y PERRON (NP)

Ng y Perron (2001) construye cuatro pruebas estadsticas que se basan en los datos del GLS sin tendencia dtY . Estas pruebas estadsticas modifican las formas del estadstico Phillips y Perron aZ y tZ , el estadstico Bhargava (1986) 1R y el estadstico ERS punto ptimo. En primer lugar, definimos el trmino:

( )=

=

T

t

dt TY

2

221 /

Las estadsticas modificadas puede escribirse como: ( )( ) ( )

( )( )( ) { }

( ) ( )( ) { }

=+

==

=

=

=

tXiffYTccXiffYTccMP

fMSBMSBMZMZ

fYTMZ

td

T

td

TdT

a

dt

dT

da

,1/11/

/

2/

0212

0212

21

0

021

donde: { }

{ }

=

=

=

tXifXif

ct

t

,15.1317

Las pruebas NP requieren una especificacin para tX y la eleccin de un mtodo para la estimacin de 0f .

5.2.8. CRTICAS DE LAS PRUEBAS DE RAZ UNITARIA

Existen varia

lectura 1 - econometria ii

Documents