1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAFecha: 2007- 09- 06Anlisis de la regresin mltiple: problema de la estimacinSe analiza el modelo de tres variables: una dependiente y dos explicativas; y con modelos lineales en los parmetros, que puedan ser o no lineales en las variables. Cabe anotar que el texto de Damodar Gujarati, posee un diferenciacin con lanotacin universal.Modelo de tres variables: notacin y supuestosLa FRP: Yi 0 1 X 1i 2 X 2i ui en donde 1 y 2 son los cocientes de regresin parcial. Los supuestos fundamentales son: Supuesto 1: El valor medio de las perturbaciones u i es igual a cero.E(u iX 1i , X 2i ) = 0 Se habla de las perturbaciones, es decir distancias.Supuesto 2: No existe autocorrelacin entre las distribuciones u i . Cov(uiu j ) = 0 Cuando se habla de distribuciones queremos referirnos a unacurva de distribuciones. Supuesto 3: Homoscedasticidad o igual varianza en las distribuciones de u i . Var (ui ) = 2 Supuesto 4: La covarianza entre la distribucin u i y cada variable X es igual acero.Cov(ui , X 1i ) = Cov(ui , X 2i ) = 0 Supuesto 5 El modelo de regresin est correctamente especificado Supuesto 6 No hay multicolinealidad perfecta entre X 1 y X 2 . Cuando hay multicolinealidad, el software no nos proporciona un resultadoEn matrices para obtener los reagresores hay que dividir para losdeterminares de esa matriz.Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 1 31/01/2008

2. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Linealmente Independientes: v1 v2v1??? v2Linealmente Dependientes: Cuando dos vectores utilizan la misma lnea de accin los dos son linealmentedependientes.v2 v1v2 2v1 v2 2v1 0Multicolinealidad perfecta existe cuando las variables X 1 y X 2 son linealmentedependientes.1 X 1i 2 X 2i 0 X 1i 2 X 2i 1Por ejemplo: si X 2i 2 X1i Yi 0 1 X 1i 2 2 X 1i i Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 231/01/2008 3. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAYi 0 1 X 1i 2 2 X 1i i Yi 0 1 2 2 X 1i i Yi 0 X 1i i Donde 1 2 2 , no hay forma de estimar la influencia separada de X 1i y X 2i sobre Y.En la prctica, en los datos para el anlisis emprico siempre habr un nivel de correlacin entre las variables explicativas; lo que re requieres es que no sean exactas. Fecha: 2007- 09-11Estimacin de los Coeficientes de Regresin ParcialTraer el ejercicio de la tabla 6.4La FRP en este caso es la siguiente: Yi 0 1 X 1i 2 X 2i uiNotacin Universal: 1 y 2 corresponden a la primera y segunda variable respectivamente. En el texto de Damodar Gujarati existe una diferencia, en cuanto a la notacin.La FRM es la siguiente: Yi 0 1 X 1i 2 X 2i ui , donde Yi 0 1 X 1i 2 X 2i ,yui Yi Yi .Entonces, mediante la utilizacin del mtodo de Gauss: (u ) (Y Y ) (Y X X 2iii2i 01 1i 2 2i )2 (u ) 2 2 (Y X X )(1) 0 i Es necesario igualar a cero. i 01 1i2 2i0 (Y X X ) 0i0 1 1i2 2i Y n X Xi01 1i 2 2i 0 Y n X Xi 011i 2 2i Primera Ecuacin Normal Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 3 31/01/2008 4. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA (u i2 ) 2 (Yi 0 1 X 1i 2 X 2i )( X 1i ) 0 1 (Y X X )( X ) 0 i 0 11i 2 2i 1i Y X X X X i 1i0 1i 1 21i 2 2i X 1i 0 Y X X X X i 1i0 1i 12 1i2 2i X 1iSegunda Ecuacin Normal (u i2 ) 2 (Yi 0 1 X 1i 2 X 2i )( X 2i ) 0 2 (Y X X )( X ) 0 i 0 11i 2 2i 2i Y X X X X X i2i 0 2i 11i 2i 222i 0 Y X X X X X i2i02i11i2i 222iTercera Ecuacin NormalResolviendo el sistema de ecuaciones llegamos a:En el semestre pasado tenamos dos ecuaciones con dos incgnitas, ahora tenemos tres ecuaciones y tres incgnitas su resolucin es imposible. Para resolver se debe hacer desviaciones con respecto a la media. 0 Y 1 X 1 2 X 2 y x x y x x2 x 2i 1 i 1i 2ii 2i1i x x x x 2 1i 2 2i1i2i2 y x x y x x2 x 2i 2 i2i1i i 1i 1i x x x x 2 1i 2 2i1i2i2 Varianzas y errores estndar de los coeficientes de regresin parcialVar ( 0 ) 1 X1 2 x X x 2 X X x22i2221i12 1i x 2i 2 n x x x x 21i 2 2i 1i 2i2 Var ( 1 ) x 2 2i 2 x22i va a ser pasado a dividir. x x x x 2 1i22i 1i 2i2 x1i x2i 2 r 212 x12i x2i 2 Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 431/01/2008 5. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 2 2 Var ( 1 ) x x x 2 x1i x2i 2 1i 2i x12i * 1 x 2 x 2 x 21i21i 1i 2i 2 ) Var ( 1 x 2 1 r 2 1i12 Var ( 2 ) x 2 1i 2 x x x x 21i 2 2i 1i 2 i 2 2 Var ( 2 ) x 2 1 r 2 2i12 r12 22 , ) Cov( 1 2 (1 r 2 ) 12 x1i 2 1/ 2 x 2 1/ 2 2i 2 u 2 i Es 3 por que tenemos tres regresores.(n 3)Propiedades de los estimadores de MCO1.La recta de regresin pasa por las medias de Y , X 1 , X 2 ; en general: Yi 0 1 X 1i 2 X 2i ... k X ki ui 0 Y 1 X 1 2 X 2 ... k X k2.La media de Y es igual a la media de los Y observados Y . Yi 0 1 X 1i 2 X 2i Yi (Y 1 X 1 2 X 2 ) 1 X 1i 2 X 2i Yi Y 1 X 1i X 1 2 X 2i X 2 Yi Y 1 x1i 2 x2i Yi nY x 1 1i 2 x 2i Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 5 31/01/2008 6. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAx 1i 0 x2i 0Yi nY1n Yi Y Nota:Y Y xi 1 1i 2 x 2i yi 1 x1i 2 x2i yi yi ui yi 1 x1i 2 x2i ui 3. La media de los residuos ui es cero. 2 i2 Yi Y i Yi 0 1 X 1i 2 X 2i i2 2 Y X X 1 0 i 0 1 1i 2 2i 0 Yi 0 1 X 1i 2 X 2i Yi Yi 0 u i0 Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 6 31/01/2008 7. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 4. Los residuosui no estn correlacionados con los residuos X 1i y X 2i 2 u i 2 Y X X X 0 i 0 1 1i 2 2i 1i 1 Y i 0 1 X 1i 2 X 2i X 1i 0 Y i Y i X 1i 0 u X i 1i0 2 u i 2 Y X X X 0 i 0 1 1i 2 2i 2i2 Y i 0 1 X 1i 2 X 2i X 2i 0 Y i Y i X 2i 0 u i X 2i 0 5. Los residuos ui no estn correlacionados con yi Yi yi 1 x1i 2 x2i yi i 1 x1i 2 x2i i y i i 1 x1i 2 x2i 1 x1i 0 Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 7 31/01/2008 8. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 2 x2i 0 yi i 06. De las ecuaciones para obtener las varianzas de 1 , 2 se observa que a medida que r12 se 2 acerca a 1, las varianzas aumentan y tienden hacia el infinito, que es el caso de lamulticolinealidad perfecta.Fecha: 2007- 09-15Coeficiente de Determinacin R2: Mide el porcentaje de explicacin de las variables independientes sobre la dependiente, es decir indica cun cerca est Y de Y: STC = SEC +SRC y y u2 i2 i2i R 2 SEC y 2iSTC y 2iSi SRC = 0 SEC = STCR 2 1 Ajuste perfecto.Si SRC 0 SEC < STCR 2 1 Porcentaje de ajuste.0 R2 1 R 2 STC SRC 1SRC 1 ui 2 STCSTC yi2 2u2 iu 2 (n 3) 2 (n 3) i Sy 2 y 2 iy 2 (n 1)Sy 2 (n 1) i(n 3) 2 R2 1 (n 1) Sy 2La raz cuadrada de R2 es el coeficiente de correlacin, que es una medida del grado de asociacin entre Y, y todas las variables explicativas conjuntamente, que en la prctica tiene poca importancia. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 8 31/01/2008 9. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA El R2 ajustado ( R 2 )Una propiedad importante del R2 es que a medida que aumenta el nmero de variables explicativas, aumenta casi invariablemente hacia 1.R2 1 SRC 1 ui2 STC yi2 y Y Y 22 Laii , es independiente del nmero de variables explicativas; es decir si en un modelo aumenta, la yi2 permanece constante. Pero la u 2 i a medida que aumenta el nmero de variables explicativas, disminuye.Para comparar dos R2 se debe tomar en cuenta el nmero de variables explicativas en el modelo; esto se puede hacer con el R2 ajustado ( R 2 ).R 2 1 u 2i /( n k ) yi2/( n 1) Donde k es igual al nmero de regresores en el modelo incluyendo la interseccin. El trmino ajustado significa ajustado por los grados de libertad.2 R 2 1 Sy 2Donde 2 es la varianza homocedstica de la regresin y Sy 2 es la varianza muestral de Y.SRC /( n k )( STC SEC ) /( n k ) R 2 1 1 STC /( n 1)STC /( n 1) SEC n 1 R 2 1 1 STC n k R 2 1 1 R2n 1 n k Si k=1es decir el modelo sin interseccin de la regresin simple (1 0); R 2 R 2Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 9 31/01/2008 10. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Si k>1 a medida que aumenta el nmero de variables explicativas el R 2 aumenta menos que el R2.En trminos generales, la finalidad de un modelo de regresin no es maximizar el R2. Un R2 elevado no es evidencia en favor del modelo, y un R2 bajo no es evidencia en su contra.Ejemplo: Considerando la informacin de la tabla 6.4:EQ01: MI C PIB TAFMI = 263,6416 0,005647PIB 2,231586TAF(11,59318) (0,002003)(0,209947) 22,74109-2,818703-10,62927R2 = 0,707665 R 2 = 0,698081Incrementos en el PIB y en el TAF ejercen impactos negativos en la MI. Si el PIB se incrementa en 100usd, manteniendo a la TAF constante, el nmero de muertes de nios menores de 5 aos se reducir 5,6 por cada 1000 nacimientos vivos.Si la TAF sube en un 1% manteniendo al PIB constante, el nmero de muertes de nios menores de 5 aos disminuiran a 2,23 por cada 1000 nacimientos vivos. 1 y 2 se conocen como los coeficientes de regresin parcial, veamos como se puede visualizar.Eliminemos la influencia que TAF ejerce sobre la mortalidad infantil y el PIB.EQ02: MI C TAFMI = 263,8635 2,390496TAF(12,22499) (0,213263) 21,58395-11,20917R2 = 0,669590 R 2 = 0,664261 EQ03: PIB C TAFPIB = -39,30328 + 28,14268TAF (734,9526) (12,82111)-0,053477 2,195027R2 = 0,072108 R 2 = 0,057142Si ahora se hace la regresin de R02 SOBRE R03, que estn purificadas de la influencia de TAF. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 1031/01/2008 11. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAEQ04: R02 R03R02 = -0,005647R03 (0,001971) -2,864538R2 = 0,115238 R 2 = 0,115238Que es el regresor del PIB en la regresin multivariada (EQ01). Por otro lado, eliminando la influencia que el PIB ejerce sobre la MI y TAF.EQ05: MI C PIBMI = 157,4244+ 0,011364PIB (9,845583) (0,003233) 15,98935 -3,515661R2 = 0,166217 R 2 = 0,152769 EQ06: TAF C PIBTAF = 47,59716 + 0,002562PIB(3,555330) (0,001167) 13,38755 2,195027R2 = 0,072108 R 2 = 0,057142 EQ07: R05 R06R05 = -2,231586 R06 (0,206588) -10,80212R2 = 0,649388 R 2 = 0,649388Que es el regresor de la TAF en el caso multivariado. Ya que la regresin de R05 sobre R06 estn purificadas de la influencia del PIB. Fecha: 2007- 09 -18 Si realizamos el modelo con varaibles estandarizadas con el ejercicio 7.1, tenemos:series mi1=(mi-@mean(mi))/@stdev(mi) series pib1=(pib-@mean(pib))/@stdev(pib) series taf1=(taf-@mean(taf))/@stdev(taf)Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 1131/01/2008 12. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAEQ08: mi1 pib1 taf1mi1= -0,0202570pib1 0,76388taf1(0.071285) (0.071285) -2.841713 -10.71604R2 = 0.707665 R 2 = 0.702950Si TAF permanece constante, un incremento de una desviacin estndar del PIB, propicia una disminucin de 0.02026 desviaciones estndar de MI, si PIB permanece constante; un incremento de una desviacin estndar de TAF propicia una disminucin de 0.7639 desviaciones estndar de MI.Volviendo a la regresin original EQ01. (n 3) 2 61(41.74780) 2 R2 1 1 (n 1) Sy 26375.97807 2 El numerador viene del S.E. of regresios y el denominador S.D.Dependent var. Examen con 5 cifras decimales.R 2 0.707665 2 2(41.74780) 2 R 1 2 1 Sy(75.97807) 22 R 0.698081 (n 1) 2 R 1 1 R2 63 1 1 0.707665 61 (n k ) 2R 0.698081 . Cobb Douglas, es una relacin entre la remuneracin del trabajador y la inversin en activos fijos La nica manera de obtener la elasticidad, es mediante la utilizacin de las funciones Cobb Douglas.Introduccin al sesgo de especificacin: Control de lectura Comparacin de dos valores de R2: Control de lectura, incluyendo el ejemplo 7.2 La funcin de produccin COBB-DOUGLAS:Yi AX 11 X 2i2 eii Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 1231/01/2008 13. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA En donde Y= producto, X 1 = trabajo, X 2 = capital, perturbacin estocstica y e= base del logaritmo natural. Y X 1 Y X 1 EYX1 / *Y XX 1 YA1 X 11 1 X 2i2 e i X 1i i 1AX 11 X 2i2 e iiYY X 2 EYX 2 Y *X 2 X 2 Y X2 AX 11 * 2 X 2i21 * eui X 2i i 2AX 11 * X 2i21 * eui X 2i i ln Yi ln A 1 ln X 1i 2 ln X 2i uiln Yi 0 1 ln X 1i 2 ln X 2i ui 1 es la elasticidad del producto respecto al insumo trabajo; mide el cambio porcentual en la produccin debido a una variacin del 1% en el insumo trabajo, manteniendo el insumo capital constante. 2 es la elasticidad del producto respecto al insumo capital, manteniendo constante al insumo trabajo. Por otro lado, si ( 1 + 2 )1, rendimientos crecientes.Ejemplo: Consideremos la informacin de la tabla 7.3.Y = 4874.204, X1 = 14.80656, X2 = 7335.481EQ01: LY C LX1 LX2LY = -3.337389 + 1.498783 LX1 + 0.48975 LX2(2.453107) (0.540596) (0.102193)-1.360474 2.7724654.79231R2 = 0.888713 R 2 = 0.870165En el sector agrcola taiwanes, manteniendo constante el capital, un aumento del 1% en el trabajo condujo a un incremento de 1.5% del producto. De igual manera con el capital. La suma de las elasticidades es 1.9885. lo que ubica a Taiwn en la regin de rendimientos crecientes. Modelos de regresin polinomial: Control de lectura, incluyendo los ejemplos 7.4 y 7.5.Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 1331/01/2008 14. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA FECHA: 2007- 09- 20Coeficientes de Correlacin ParcialRecordemos que el coeficiente de correlacin es una medida del grado de asociacin lineal entre dos (2) variables. En el modelo con tres variables se pueden obtener tres coeficientes de correlacin:- r01 , entre Y y X 1 (Y es la variable 0 y X 1 la variable1) - r02 , entre Y y X 2 (Y es la variable 0 y X 2 la variable2) - r12 , entre X 1 y X 2Si la definicin es grado de definicin es de forma binaria tengo tres coeficientes de correlacin.Indicadores que se denominan coeficientes de correlacin simple o de orden cero. Los coeficientes de correlacin de orden cero pertenecen a la correlacin simple. Los cuales permiten el clculo de los coeficientes de correlacin de primer orden (u rdenes mayores). Los coeficientes de correlacin de orden cero poseen una utilidad prctica. r01 r02 r12 r01.2 (1 r 202 )(1 r12 ) 2 1/ 2r02 r01r12 r02.1 (1 r 201 )(1 r12 ) 2 1/ 2r12 r01r02 r12.0 (1 r 201 )(1 r02 ) 2 1/ 2 r01.2 = coeficiente de correlacin parcial entre Y y X 1 manteniendo a X 2 constante r02.1 = coeficiente de correlacin parcial entre Y y X 2 manteniendo a X 1 constante r12.0 = coeficiente de correlacin parcial entre X 1 y X 2 manteniendo a Y constante Ejemplo.- consideremos la informacin de la tabla 7.30.822020 0.904117(0.697618) r01.2 0.624858 (1 0.817428)(1 0.486671)1 / 20.904117 0.822020(0.697618) r02.1 0.810445 (1 0.675718)(1 0.486671)1 / 20.486671 0.822020(0.904117) r12.0 0.187343 (1 0.675718)(1 0.817428)1 / 2En el examen final se debe hace grupo con el software e-views. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 14 31/01/2008 15. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Adems, se procede con:equation eq01.ls ly c lx2Dependent Variable: LY Method: Least Squares Date: 09/20/07 Time: 09:15 Sample: 1958 1972 Included observations: 15VariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb. C3.146467 0.911302 3.4527140.0043 LX2 0.687405 0.090102 7.6292000.0000R-squared 0.817428Mean dependent var 10.09660 Adjusted R-squared0.803384S.D. dependent var 0.207922 S.E. of regression0.092196Akaike info criterion -1.806242 Sum squared resid 0.110500Schwarz criterion -1.711835 Log likelihood15.54682F-statistic58.20470 Durbin-Watson stat0.539611Prob(F-statistic)0.000004 equation eq02.ls lx1 c lx2 Dependent Variable: LX1 Method: Least Squares Date: 09/20/07 Time: 09:16 Sample: 1958 1972 Included observations: 15Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 15 31/01/2008 16. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAVariableCoefficient Std. Error t-StatisticProb. C 4.326081 0.379931 11.386480.0000 LX20.131877 0.037564 3.5106850.0038R-squared0.486671Mean dependent var 5.659445 Adjusted R-squared 0.447185S.D. dependent var 0.051697 S.E. of regression 0.038437Akaike info criterion -3.556011 Sum squared resid0.019207Schwarz criterion -3.461604 Log likelihood 28.67008F-statistic12.32491 Durbin-Watson stat 0.514764Prob(F-statistic)0.003835Nociones Bsicas de Algebra Matricial (Leer el Apndice B)Operaciones con vectores: 1.Dado un vector columna u de (m,1) el producto uu es la suma de cuadrados de loselementos de u.Ejemplo: los residuos de MCO. A la sumatoria de los residuos al cuadrado sacamos la primera derivada e igualamos a cero.2.Dado un vector columna u de (m, 1), el producto uu es una matriz simtrica de (m,m).Ejemplo: las perturbaciones estocsticas u. u1 u12 u1u 2 u1u n u 2 uu 2 * u1 u 2 ... u n 1 2uu u2 u 2u n 2 u n u1u n u 2u nun u1 u 2 2 22 uu = u 1 u 2 .... u n u 1u2 un u nPropiedades de la transpuesta: 1) (A )=A2) (A+B)= A+B3) (AB) = BA; (ABC)=CBA Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 1631/01/2008 17. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 4) Si A=A es una matriz simtrica.( A * B * C ) C * B * A( m,n )( N ,P) ( p ,q ) (q, p) ( p ,n ) ( n,m) Propiedades de la inversa: 1) A A 1 12) AB B 111 A1 ; ABC C 1 B 1 A13) A 1 ( A1 ) 4) Si una matriz no tiene inversa, se llama singular; el determinante de la matriz es igual a ceroporque sus vectores filas o columnas son linealmente dependientes. 5) Si una matriz tiene inverso, se llama, no singular; el determinante de la matriz es diferentede cero porque sus vectores filas o columnas son linealmente independientes.Vectores dependientes son los que estn en la misma lnea de accin. Vectores independientes cuando utilizan distintas lneas de accin. 6) La inversa es:1 A 1 (adj. A) det( A)Derivacin de matrices:Sea Y = a1 X 1 a2 X 2 an X n a1 X1 a X a 2 X 2 ( n ,1) ( n ,1) a n X n 1) Si Y = a X YY XXa a Y Y a a XX 2) Si Y=XXY X X 2 X X Y X X 2X XDaniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 17 31/01/2008 18. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Sea: a11 a12 a1n X 1 aa 22 a 2 n X 2 X AX ( X 1 , X 2 ,..., X n ) 21 aa m 2 a mn X n m1 3) Si Y = XAXA es simtrica : A = A Y ( AX ) X A X A' X A X A X A 2 X AX Y AX ( X A)' AX A' X AX AX 2 AXX FECHA: 2007- 09- 25Enfoque Matricial en el Modelo de Regresin LinealModelo de Regresin de k variables explicativasLa FRP con k variables explicativas: Yi 0 1 X 1i 2 X 2i ......... k X ki ui que es una expresin abreviada del siguiente conjunto de n ecuaciones simultaneas: Y1 0 1 X 11 2 X 21 ......... k X k1 u1 Y2 0 1 X 12 2 X 22 ......... k X k 2 u 2 .......................................................................... Yn 0 1 X 1n 2 X 2 n ......... k X kn unQue en forma matricial Esta matriz representa al sistema de ecuaciones. k n kn Donde k es el nmero de variables explicativas y (k+1) es el nmero de regresores. Y XE u (n 1) (n, k 1)(k 1,1) (n,1)Ejemplo: Con la muestra 1Si es que yo no incluyo la columna de unidades yo estoy haciendo un modelo que le estoy forzando a que pase por el origen. Si yo le quito la unidad. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 1831/01/2008 19. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 70 1 80 u1 65 1100 90 1120 95 1140 110 1 160 0 115 1180 1 120 1 200 140 1 220 155 1 240 150 1 260 u n (10,1) (10,2)(2,1)(10,1) (10,1)Supuestos del Modelo.1. El valor esperado del vector de perturbaciones u es cero.1 Algebraicamente: E (ui ) 0 La expectativa de E ( ui )=n ui Matricialmente:E (u) 0 u1 E (u1 ) 0 E (u ) E * u2 E (u2 ) 0 0 un E (un ) 0 Nota: u1 en el primer nivel de ingreso, u 2 en el segundo nivel de ingreso. El promedio de las perturbaciones estocsticas en todos los niveles de ingreso es igual a cero. Los promedios estn sobre la funcin de regresin poblacional, si tenemos un promedio igual a cero, ese punto est sobre la regresin de poblacin. 2. Ausencia de autocorrelacin entre las perturbaciones y presencia de la homoscedasticidad: Algebraicamente: Cov(ui ; u j ) E (ui ; u j ) 0 Var (ui ) E (ui2 ) 2Matricialmente:E (u, u' ) 2 I La varianza de las distribuciones de las perturbaciones se define como: Var (u) E u E (u) u E (u) ' E (u, u' ) Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 19 31/01/2008 20. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Var (u ) E (u , u ' ) u1 u12 u1u2 u1un u u uu 2 u 2u n 2 E (u , u ' ) E 2 u1 u2 un E 1 2 un u u 2 u 2u n u n 1 n E (u12 ) E (u1u2 ) E (u1un ) 2 0 0 E (u u ) E (u 2 ) E (u u ) 0 2 0 1 22 2 n E (u u ) E (u u ) E (u 2 ) 0 0 2 1 n 2 n n 1 0 00 1 0 2 I 2 00 1 Var (u ) E (u , u ' ) 2 IEs la matriz de varianza covarianza de las distribuciones de las perturbaciones.Es la matriz de var-cov de las distribuciones de las perturbaciones ui3. Se establece que la matriz X consta de nmeros fijos.4. Las columnas de la matriz X son linealmente independientes, es decir no hay multicolinealidadperfecta. Puede existir multicolinealidad casi perfecta. Estimacin del Modelo:Los regresores:La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas. En matrices, no se aplica el enunciado algebraico sobre el orden de los factores no altera al producto. Se debe mantener el orden de multiplicaciones. La funcin de regresin de la muestra con k variables explicativas: Yi 0 1 X1i 2 X 2i ... k X ki i Y X Y X Para obtener los regresores:Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 20 31/01/2008 21. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Alg: minimizar i2 Mat: minimizar ' ' Y X Y X ' ' Y ' X Y X ' Y ' ' X ' Y X Nota: el orden es importante, no equivocarse. ' Y Y Y X X Y X X ' '' ' ' ' uu (Y X ) X Y X X ( X X ) 0 X Y X Y X X X X 0 2 X Y 2 X X 0 X Y X X X X 1 X X X X 1 X Y I X X X Y 1 X X 1 X Y 1 Adj.( X X )( X Y )det( X X )La Matriz Var () El promedio de todos los es igual a . ( X X )1 ( X Y ) Y X uIdentidad ( X X )1 X X u ( X X )1 ( X X ) ( X X )1 X u Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 2131/01/2008 22. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA ( X X )1 X u E ( ) E ( X X ) 1 X u E ( ) E ( X X ) 1 X u O E ( ) ( X X )1 X E (u ) E ( ) E ( ) Var ( ) E E ( ) Var ( ) E ( X X ) X u ( X X ) X u 11 Var ( ) E ( X X )1 X u ( X X )1 X u Var E X X X UUX X X 1 1 Nota: X X X X X X 11 1 Var E X X X UUX X X 11 Var X X X E UUX X X 1 1 Var X X X X X X 1 2 1 Var X X X X X X 211 Var X X 21 ' 2nkDonde n es el nmero de observaciones y k es el nmero de regresores, no de variables explicativas, cambia la dimensin de la k.Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 22 31/01/2008 23. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Var 0 Cov 0 1 ... Cov 0 k Cov 0 1 Var 1 ... Cov 1 k Var Cov Cov ... Var 0 k 1 k k FECHA: 2007-09-27 Ejemplo: Con la muestra u ' u . 101700 1110 ( X X ) ( X Y ) 1700 32200 205500Det (XX)=3300001 322000 1.700 0.9757575 0.0051515 ( X X ) 330000 1.700 10 0.0051515 0.0000303 0.9757575 0.0051515 1110 24.457575 0 0.0051515 0.0000303 205500 0.508485 1 Y 24.457575 0.5085 X ' 337.2727 2 42.15909 6.493nk 8 0.9757575 0.0051515 41.13705 .0217183 var 42.45909 0.0051515 0.0000303 0.217183 0.001278 Var( ( o ) =41.13705ee ( o ) =6.413817Var( ( 1 ) =0.001278 ee ( 1 ) =0.035743 Cov ( 0 , 1 ) =0.217183 Propiedades de los residuos: Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 23 31/01/2008 24. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCALa FRP: Y X u La FRM: Y X uu Y X YXYX 1.- Los errores estimados son ortogonales (perpendiculares) a las variables explicativas.( X u) (u X ) 0 X u X (Y X ) X Y X X X Y ( X X )( X X ) 1 ( X Y ) X X X u Y Y X u 0 u X (Y X ) X (Y X ) X Y X X X uX Y X X X X Y ( X X ) Y X Y X X X ( X X ) 11 u X Y X Y X 0 2. SRC STC * SEC * STC * SEC * SRC Y X u Y u Y' Y (Y u) ' (Y u) Yu Y u Y' Y Y' Y Y'u u' Y u' u Y' u ( X ) u X u = 0 uY u X 0 YY Y Y u u3.-SRC = STC SEC STC = SEC + SRC Y X u Y XY Y X X u (Y Y ) u Y Y (Y Y ) Y Y Y Y u u Para el examen: Al final del apndice C, existe un ejercicio con tres variables. In sesgados quiere decir que son simtricos. 4) SRC STC SEC STC * SEC *Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 24 31/01/2008 25. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA _ _ _ _ ' (Y Y )' (Y Y ) (Y Y ) ' (Y Y ) (Y ' Y ' )(Y Y ) (Y ' Y ' )(Y Y ) _ _ _ _ _ _ _ _ Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y '' ' '' ' ' ' ' _ _ ' Y Y Y Y Y ' Y ' Y Y ' Y Y Y 'Y Y ' Y Y Y Y Y ' Y Y __ ''' _ _ ' Y 'Y Y ' Y ' Y Y ' u Y u X 0 Y u ( X )u ' X 'u 0 u u Y Y Y Y *NOTA: el orden es importante, no cambiarlo. Propiedades de los estimadores de MCO: 1.- Son lineales con la variable Y: Por definicin: ( X X ) 1 ( X Y )2.-Son insesgados: ( X X ) 1 X Y Y X u ( X X ) 1 X ( X u) ( X X ) 1 ( X X ) ( X X ) 1 X u ( X X ) 1 X u E E X ' X X ' X ' X X ' E E 0 E 3.-GAUSS MARKOV.- los estimadores de MCO son eficientes, es decir, tienen varianza mnimaSupongamos que * es cualquier otro estimador lineal de . * ( X ' X ) 1 X 'C YDonde C es una matriz de constantes, y recordando que Y X u * ( X ' X ) 1 X 'C X u * ( X ' X ) 1 X ' X ( X ' X ) 1 X ' u CX Cu * ( X ' X ) 1 X ' u CX CuDaniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 25 31/01/2008 26. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAPara que * sea un estimador insesgado de debe darse que CX=0 porque: E ( *) E ( X ' X ) 1 X ' u CX Cu E ( *) E ( ) E ( X ' X ) 1 X ' u E CX E Cu E ( *) ( X ' X ) 1 X ' E (u ) CXE ( ) CE (u ) E ( *) * ( X ' X ) 1 X ' u CuAhora se analiza la varianza Var ( *) E * E ( *) * E ( *)' Var ( *) E ( X ' X ) X ' u Cu 1 ( X ' X ) X ' u Cu ' 1 Var ( *) E ( X ' X ) X ' u Cu ( X ' X ) X ' u Cu ' 1 1 Var ( *) E ( X ' X ) X ' u Cu u ' X ( X ' X ) u ' C ' 1 1 Var ( *) E ( X ' X ) X ' uu ' X ( X ' X ) ( X ' X ) X ' uu ' C 'cuu ' X ( X ' X ) Cuu ' C ' 1111 Var ( *) ( X ' X ) X ' E (uu ' ) X ( X ' X ) ( X ' X ) X ' E (uu ' )C 'CE (uu ' ) X ( X ' X ) CE (uu ' )C '111 1 Var ( *) ( X ' X ) 1 X ' 2 X ( X ' X ) 1 ( X ' X ) 1 X ' 2C 'C 2 X ( X ' X ) 1 C 2C ' Var ( *) ' 2 ( X ' X ) 1 X ' X ( X ' X ) 1 ' 2 ( X ' X ) 1 X ' C '' 2CX ( X ' X ) 1 ' 2CC ' X ' C ' (CX )' 0 Var ( *) 2 ( X ' X ) 1 2CC ' Var ( *) Var ( ) 2CC ' Var ( *) Var ( ) SEGUNDA PARTEFECHA: 2007 - 10 - 02 Anlisis de regresin mltiple: el problema de la inferenciaAunque los conceptos desarrollados en los captulos anteriores pueden ser aplicados al modelo de regresin mltiple estos modelos poseen caractersticas adicionales que le son nicas. Se mantiene el supuesto que los i sigue la distribucin normal con media cero y varianza constante 2 . Con el supuesto de normalidad, se asegura que 0 , 1 , 2 tambin estn normalmente distribuidos. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 26 31/01/2008 27. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAPruebas de hiptesis: coeficiente individual de regresin parcialYi 0 1 X 1i 2 X 2i ... k X ki i i i ti ee i Lo que se desea probar es la hiptesis de que X i , manteniendo el resto de las variables explicativas constantes no tiene influencia alguna sobre Y:H 0 : 1 0H 1 : 1 0 i ti ee i Si t 2 : se rechaza H 0 , se acepta H 1Si t 2 : no se rechaza H 0 Prueba de significacin global de la regresin:Examina la significacin de todas las pendientes en conjunto, simultneamente; la interseccin, queda fuera de la prueba.Yi 0 1 X 1i 2 X 2i k X ki ui H 0 : 1 2 k 0 H 0 : 1 2 k 0SEC SECg.de.l. (k 1) F SRC SRCg.de.l. (n k )Donde k= #de regresoresSi F> valor crtico de de la tabal F, se rechaza H 0 y se acepta H 1 . Si F< valor crtico de de la tabal F se acepta H 0 .En otras palabras, la prueba F mide si Y est relacionada o no linealmente con X 1 y X 2 simultneamente. El valor P, tiene el mismo significado que en el caso de la t de Student.Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 2731/01/2008 28. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCASEC (n k )SEC (n k )SEC (n k ) STC FSRC (k 1) ( STC SEC )(k 1) SEC 1 (k 1) STC R2 (k 1) F(1 R 2 ) (n k ) La F tiene relacin con el R 2 , de donde se deduce que la prueba F tambin mide la significacin de R 2 ; en consecuencia:H0 : R2 0 H1 : R 2 0Si R 2 0F=0 Si R 2 = 1F= Cuanto mayor sea el R 2 , mayor ser el valor de la F. Lo anterior saca a relucir una importante observacin emprica respecto a los datos transversales, donde por lo general se obtiene un R 2 bajo; si pasa la prueba F no se debe preocupar.En una regresin con series de tiempo por lo general se tiene un R 2 alto, ah viene la importancia de esta prueba, si se hace la prueba F y si no pasa (por lo geneal no suele pasar por el problema de la auto correlacin). En los cortes transversales, por lo general el R 2 es bajo, si pasa la prueba F el R 2 est bien. La contribucin incremental de una var. Explic.En la mayora de las investigaciones empricas, el investigador no puede estar seguro si se justifica agregar una variable X al modelo. Lo que se desea es saber si al aadir una variable al modelo se aumenta la SEC (y por tanto R 2 ) significativamente en relacin con la SRC; es lo que se denomina la contribucin incremental tal de una var.explic.( SEC n SECV ) Fm SRC n(n k )Donde m= #de nuevas variables y (n-k)= g. de l. del nuevo modelo. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 2831/01/2008 29. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA SEC SEC STC n STCv F m STC SEC STC n (n k )( Rn Rv2 )2 F= m(1 Rn )2 (n k )Ejemplo: consideremos el caso de la M.IMI= 263.8635 2.390496(TAF) (12.22499) (0.213263)20.58395-11.20917R 2 = 0.669590 F=125.6455MI= 157.4244 0.011364(PIB)(9.845583) (0.003233) 15.98935 -3.515661R 2 =0.166217F=12.35987MI= 263.6416 0.005647(PIB) 2.231586(TAF) (11.59318) (0.002003)(0.209947)22.74109 -2.818703 -10.62927R 2 =0.7076650.707665498 F2=73.83254(1 0.707665498) 61 El valor crtico de la F al 95% con 2 y 6.1 g. de l. es 3,15; se aceptan H 1 . La contribucin incremental de TAF es:(0.707665498 0.166216985) F (1 0.707665498) 61 Que es justamente: (10.62927) 2 112.9814 La contribucin del PIB es:Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 2931/01/2008 30. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA(0.707665498 0.669589717) F 1 (1 0.707665498)61Que es justamente: (2.818703) 2 7.9451 En ambos casos, el valor crtico de la F al 95% con 61 g. de l. es 4,00; el aumento de la nueva variable es significativo.FECHA: 2007-10-09Pruebas de igualdad de los coeficientesYi 0 1 X 1i 2 X 2i 3 X 3i uiH 0 : 2 3 2 3 0H1 : 2 3 2 3 0Por ejemplo si Y= cantidad demandada de un bien, X 1 =precio del bien; X 2 =ingreso del consumidor y X 3 =riqueza del consumidor; la H 0 significa que los coeficientes de ingreso y riqueza son los mismos. Si Y y los X s estn expresadas en forma logartmica, la H 0 implicara que las elasticidades son iguales.Para probar la H 0 , recordemos que: i i i i ti ee i 2 1 Var i 2 3 2 3 2 3 t 1 1 2 2Var 2 3 Var 2 3 Var 2 3 = Var 2 + Var 3 -2cov 2 , 3 Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 3031/01/2008 31. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Si t 2 : se rechaza H 0 , se acepta H 1Se t 2 : no se rechaza H 0 Ejemplo: consideremos la informacin de la tabla 7.4:P = Produccin, CT= Costo TotalP2 = P^ 2P3 P ^3CT = 141.7667 + 63.47766(P) 12.96154( P 2 ) + 0.939588( P 3 ) (6.375322) (4.778607) (0.985665)(0.059106)22.2367813.28372 -13.15005 15.89677R 2 0.998339A medida que aumentan los regresores el R 2 tiene a 1t 12.96154 0.9395880.971535 0.003493 2 0.0576420.5 t = -12.81082Se rechaza H 0 , se acepta H 1 : son diferentes Dependent Variable: CT Method: Least Squares Date: 10/08/07 Time: 07:54 Sample: 1 10 Included observations: 10Variable CoefficientStd. Error t-Statistic Prob. C141.7667 6.375322 22.23678 0.0000P63.47766 4.778607 13.28372 0.0000P2-12.96154 0.985665-13.15005 0.0000P3 0.939588 0.059106 15.89677 0.0000R-squared 0.998339 Mean dependent var276.1000 Adjusted R-squared0.997509 S.D. dependent var65.81363 S.E. of regression3.284911 Akaike info criterion 5.505730 Sum squared resid 64.74382 Schwarz criterion 5.626764 Log likelihood -23.52865 F-statistic 1202.220 Durbin-Watson stat2.700212 Prob(F-statistic) 0.000000 Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 3131/01/2008 32. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Prueba sobre restricciones linealesYi AX 11 X 2i2 eii ln Yi ln A 1 ln X 1i 2 ln X 2i i ln Yi 0 1 ln X 1i 2 ln X 2i i No Restringida.Y= produccin X 1 trabajo X 2 capitalSi existe rendimientos constates a escala1 2 1 El mtodo de la prueba t:Se estima la regresin con MCO, lo que se llama regresin no restringida y se realiza la siguiente prueba de hiptesis:H 0 : 1 2 1 H 1 : 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 t 1 1 2 2 Var 1 2 Var 1 2 Var 1 2 Var 1 Var 2 2 cov 1 , 2 Si t 2 : se rechaza la H 0 , se acepta H 1 Si t 2 : no se rechaza H 0 . El mtodo de la prueba f:La idea es incorporar la restriccin en la estimacin de la regresin original:1 1 2 2 1 1ln Yi 0 (1 2 )lnX1i 2 ln X 2i u iln Yi 0 lnX1i 2 (lnX 2i ln X1i ) u i Restringida(ln Yi lnX1i ) 0 2 (lnX 2i ln X1i ) u iln(Yi /X 1i ) 0 2 ln (X 2i / X1i ) u i Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 3231/01/2008 33. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCADonde, (Yi /X1i ) es la razn producto/trabajo, que son indicadores econmicos importantes. Una vez que se estima 2 , 1 es de fcil acceso. Este procedimiento es conocido como mnimos cuadrados restringidos y tiene la cualidad de asegurar que la suma de las elasticidades es igual a 1. La suma total de cuadrados no tienes nada que ver con las variables explicativas. SRC R SRC NR F m SRC NR n k F STC SEC R STC SEC NR / m STC SEC NR / n k F STC SEC R STC SEC NR / m STC SEC NR / n k SEC NR SEC R / m F STC SEC NR / n k SECSEC STC STC / m F NRR SEC STC / n k 1 NR FR R / m 2 NR 2 R1 R /n k 2NR Donde RNR R 2 de la regresin no restringido.2RR R 2 de la regresin restringida 2 m=k de restricciones lineales (n-k)= g de l de la regresin no restringida Si F> valor crtico de la F, se rechaza H 0 , se acepta H 1 Si F< valor crtico de la F, se acepto H 0 (se confirma que la sumatoria de las 2 elasticidades es igual a 1) Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 3331/01/2008 34. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAFECHA: 2007-10-16Consideremos la informacin de la tabla 8.8:P= Producto interno bruto, T= trabajo, K= capitalLP = -1.652419 + 0.339732 (LT) + 0.845997 (LK) (0.606198) (0.185692) (0.093352) -2.7258731.8295489.062488 R2 = 0.995080 SRC = 0.013604(0.339732 0.845997) 1 t[0.034481 0.008715 2(0.017034)]1 / 2 t = 1.943981 equation eq01.ls lp c lt lkDependent Variable: LP Method: Least Squares Date: 10/15/07 Time: 07:26 Sample: 1955 1974 Included observations: 20VariableCoefficient Std. Errort-StatisticProb. C-1.652419 0.606198-2.725873 0.0144LT0.339732 0.185692 1.829548 0.0849LK0.845997 0.093352 9.062488 0.0000R-squared0.995080 Mean dependent var 12.22605 Adjusted R-squared 0.994501 S.D. dependent var 0.381497 S.E. of regression 0.028289 Akaike info criterion -4.155221 Sum squared resid0.013604 Schwarz criterion -4.005861 Log likelihood 44.55221 F-statistic1719.231 Durbin-Watson stat 0.425667 Prob(F-statistic)0.000000 Lo que quiere decir que no se rechaza la Ho; es decir, estadsticamente la suma de las dos elasticidades es 1. Existen rendimientos constantes a escala.lnP 0 1 ln T 2 ln K uilnP 0 (1 2 ) ln T 2 ln K ui Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 34 31/01/2008 35. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCANota= Mas adelante se revisar la prueba F, en ella hay un rango de tres a cinco, en caso de tener se tiene una gran nmero de observaciones caso contrario si es cercana a cinco hay nmero pequeo de observaciones.ln P o ln T 2 (ln K ln T ) ui(ln P ln T ) o 2 (ln K ln T ) uiln( P / T ) 0 2 ln( K / T ) uiLPT=log(P/T) LKT=log(K/T)LPT=-0.494718+1.015301(LKT) (0.121816) (0.036124) -4.061175 28.10564 R 0.977721 SRC=0.016629 2equation eq02.ls LPT C LKTDependent Variable: LPT Method: Least Squares Date: 10/16/07 Time: 09:27 Sample: 1955 1974 Included observations: 20Variable CoefficientStd. Error t-StatisticProb. C -0.4947180.121816 -4.061175 0.0007 LKT 1.0153010.03612428.10564 0.0000R-squared 0.977721 Mean dependent var 2.923680 Adjusted R-squared0.976483 S.D. dependent var 0.198200 S.E. of regression0.030395 Akaike info criterion -4.054470 Sum squared resid 0.016629 Schwarz criterion -3.954897 Log likelihood42.54470 F-statistic789.9271 Durbin-Watson stat0.306521 Prob(F-statistic)0.000000 Para la prueba F no podemos utilizar la relacin que involucra al R 2 porque la variable dependiente de la regresin no restringida es diferente a la de la restringida; por tanto, usamos la que involucra a las SRC.F 0.016629 0.013604 / 1 3.780138 0.013604 / 17El valor critico de la F con 1 g. de l en el numerador y 17 grados de libertad en el denominador es 4.45 al 96% de confianza. 5 pocas observaciones 3 muchas Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 35 31/01/2008 36. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA observaciones. En consecuencia, se acepta H 0 , estadsticamente la suma de las dos elasticidades es 1, existen rendimientos constantes a escala.Prueba F global: control de lecturaEconometra de series de tiempo: algunas ideas bsicas El Problema:1) El trabajo emprico como series de tiempo supone que stas son estacionarias; de noser el caso, las pruebas de hiptesis es una regresin Notas Extra: Estacionalidad= es un fenmeno que se encuentra persistentemente en fenmenos de cada ao, por ejemplolas ventas en febrero, mayo y las fechas de entrega de obsequios. No se debe confundir estacionalidad con estacionariedad. En el trabajo para la tercera nota debemos revisar ms de tres aos de informacin. El ao 2000 es el ao detransicin la informacin estadstica no sirve para nada. Desde el 2002 a la fecha se debe tomar en cuenta.El tercer parcial se debe hacer aplicaciones desde el tema del problema. La primera hora de clase del 2008debe ser entregado el trabajo. Se debe buscar informacin mensual de una empresa.2) La autocorrelacin se origina debido a que las series de tiempo involucradas son noestacionarias.3) En las regresiones con series de tiempo con frecuencia se obtiene un R2 muyelevado, superior a 0.9, aunque no haya una relacin significativa entre ellas.Situacin que se conoce como el problema de la regresin espuria.4) Los modelos de regresin con series de tiempo se utilizan para pronsticos; portanto se desea saber si tal prediccin es vlida, cunado dichas series son noestacionarias.Producto Interno Bruto (PIB) = 630.0349Ingreso Personal Disponible (IPD) = 477.3675Gasto Consumo Personal (GCP) = 463.1134Ganancias Corporativas despus de impuestos (GCP) = 463.1134Dividendos Corporativos Netos ( DIV) = 38.36447 En los exmenes se debe hacer ejercicios del GAN y el DIV. FECHA: 2007-10-23Procesos Estocsticos Un proceso estocstico es una coleccin de variables aleatorias ordenadas en el tiempo. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 36 31/01/2008 37. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCASi Y es una variable aleatoria continua se denota como Y(t ) ; ejemplo, un electrocardiograma. Si Y es una variable aleatoria discreta, se denota como Yt ; ejemplo el PIB. Si Y representa al PIB, entonces se tiene Y1, Y2 , Y3........Y87 , Y88 ; cada una de estas Y es una variable aleatoria.El PIB o cualquiera de las variables macroeconmicas, es un proceso estocstico porque cada valor de cada trimestre es la realizacin particular de una infinidad de posibilidades econmicas y polticas.La distincin entre un proceso estocstico y su realizacin es semejante a la diferencia entre poblacin y muestra en datos transversales. Si en datos transversales, la muestra sirve para inferir en la poblacin, de la misma forma, en las series de tiempo se emplea la realizacin para inferir respecto al proceso estocstico subyacente. Proceso Estocstico Estacionario Se dice que un proceso estocstico es estacionario si su media, su varianza y su autocovarianza (en los diferentes rezagos) permanecen iguales sin importar el momento en el cual se midan; caso contrario el proceso estocstico es no estacionario.Vamos a usar las imperfecciones de las series estacionarias para armar los modelos, posteriormente. La media y la varianza oscilan entren valores. Covarianza = correlacin. Autocovarianza = autocorrelacin.Sea Yt una serie de tiempo estocstica: Media: E Y(t ) u Varianza: Var Y(t ) E Y(t ) u 2 2Autocovarianza: k E Y(t ) u Yt k u Si k = 0, 0 2La autocovarianza es el producto de dos desviaciones con respecto a la media. Donde k , es la autocovarianza al rezago k, y es la covarianza entre los valores de Yt y Yt k ; es decir, entre dos valores Y que estn separados k periodos.El problema de las series de tiempo no estacionarias es que solo se puede estudiar su comportamiento durante ese periodo particular y no se puede generalizar para los otros periodos. Para propsitos de pronsticos, las series de tiempo no estacionarias tendrn un valor prctico insignificante. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 37 31/01/2008 38. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Un proceso puramente aleatorio o ruido blanco es aquel que tiene una media igual a cero, una varianza constante 2 y no est autocorrelacionada. Si el trmino de error ut del modelo de una regresin lineal es ruido blanco, se dice que dicha regresin no adolece de autocorrelacin y est correctamente estimada.Trabajo:1.-Antecedentes, descripcin de la variable macroeconmica, parte de que es.Explicacin de la variable (al menos dos pginas). En el caso de ser unaempresa se debe poner en contexto el marco de la empresa visin, misin,objetivos, entre otras.2.- Marco terico, todas las frmulas.3.-Marco emprico. No se escribe las frmulas. Cuadros y grficos analizados.La explicacin (muy importante). 4.- Conclusiones. Comparacin entre septiembre, octubre, noviembrecomparacin con el campo real. Diciembre, octubre y febrero proscripcin.Revisar captulo 21 y 22 para la realizacin del trabajo.Notas:Para le prueba hay un entrelazamiento entre el e-views y el Excel.Es mejor obtener la primera y segunda diferencia en el software Excel.Una serie no estacionaria es una serie que aumenta paulatinamente o quedisminuye paulatinamente.Si una serie va disminuyendo tambin es no estacionario. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 38 31/01/2008 39. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAEjemplo de una serie no estacionaria: 5200 4800 4400 4000 3600 3200 2800 70 72 74 76 78 80 8284 86 88 90PIBLa serie no estacionaria est plagada de autocorrelacin. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 39 31/01/2008 40. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAEjemplo de una serie estacionaria:120 80 40 0-40-80-1207072 74 76 78 80 8284 86 88 90D1PIBNo hay gran oscilacin de la media de los valores.Otra serie ms estacionaria: 120 80 40 0-40-80-1207072 74 76 78 80 8284 86 88 90D2PIBDaniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 40 31/01/2008 41. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Media70Q1-74Q4 75Q1-79Q4 80Q1-84Q4 85Q1-89Q4PIB3091,78 3527,213886,98 4555,94 D1PIB18,61 29,4118,98 32,27 D2PIB-0,010,99 1,04 -0,68VarianzaPIB161,24 219,46 152,23 211,8 D1PIB 32,7536,9550,03 17,53 D2PIB 43,9947,5255,0324,1 FECHA: 2007-10-25Pruebas de Estacionariedad:Prueba Grfica:El primer paso para analizar una serie de tiempo, es el grfico, lo cual, proporciona una clave inicial sobre naturaleza de esa serie. Funcin de autocorrelacin y correlograma:Una prueba sencilla de estacionariedad estla basada en la funcin de de autocorrelacin muestral.La ACF muestral al rezago K es:k k (Y Y )(Y Y ) auto cov arianzatt k 0 (Y Y )t2var ianzaDonde k = coeficiente de autocoerrelacin k = autocovarianza y 0 = varianza y Y = media muestral.PAC= Promedios mviles.Ejemplo:En el correlograma del PIB est plagada de barras grises es decir de autocorrelacin. Los d1 y d2 PIB, no existe correlacin. La primera es no estacionaria, mientras la segunda y tercera son estacionarias. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 41 31/01/2008 42. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Si se grafica k frente a k se obtiene el correlograma muestral. La eleccin del nmero de rezagos es totalmente emprica, una buena costumbre es escoger un valor entre el tercio o cuarto de la longitud de la serie de tiempo. En nuestro ejemplo, escogemos 25 que se encuentra entre 22 y 29. La significacin estadstica de cualquier k puede juzgarse mediante su error estndar.Segn Barlet los coeficientes de autocorrelacin muestrales son aproximadamente. k N (0, 1 N ) Donde u es el tamao de la muestra; al 95% del nivel de confianza. 1 1 1.96( 1 )2 k 1.96( 1 ) 2nn 1 1 1.96( 1 )2 k 1.96( 1 ) 288 88 0.209 k 0.209 H 0 : k 0 H1 : k 0 Si k esta dentro del intervalo se acepta H 0 ; no hay autocorrelacin. Si k est fuera del intervalo se acepta la H1 ; hay autocorrelacin.Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 42 31/01/2008 43. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 1.96 1 87 1 2 k 1.96 1 8712 0.210 k 0.210 1.96 1 86 1 2 k 1.96 1 8612 0.211 k 0.211 El coeficiente de Bartlett es la diferencia entre la lnea central y la lnea segmentada. Si la franja no cruza la lnea entrecortada no hay autocorrelacin. En la primera diferencia el coeficiente varia por que no disminuye en 1. En la segunda diferencia se pierden dos observaciones y por eso varia de nuevo el coeficiente de Bartlett.FECHA: 2007- 10 - 30Anlisis de LJUN-BOXSi se desea probar la hiptesis conjunta de que todos los k son simultneamente iguales a cero, se recurre al estadgrafo LJUN-BOX: k2 m QLB n(n 2) k 1 n k Donde n es el tamao de la muestra y m es la longitud del rezago. QLB es aproximadamente una distribucin 2 con g de l.H0: todos los k 0 H1: todos los k 0Si QLB > valor crtico de la tabla 2 , se acepta H1, la serie es no estacionaria.Si QLB < valor crtico de la tabla 2 , se acepta H0, la serie es estacionaria. - El PAC mide los promedios mviles.- El q stat es el Ljun Box. -Mientras se disminuye el valor deL Ljung Box sube el valor probabilstico deigual forma que con la F. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 4331/01/2008 44. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 25,95% 14.61142 QLBQLB PIB891.25 No estacionariaIPD 940.50 No estacionariaD(PIB)38.406 No estacionaria1era IPD28.130 No estacionaria D (PIB,2)54.861 No estacionaria2da IPD 65.266 No estacionariaLa diferencia entre 38.406 y 14.6114 es reducida. Por lo que podemos tener la idea de que tiene niveles de estacionariedad.En software e - views se visualiza de la siguiente manera en el caso del PIB: Prueba de Raz UnitariaDickey-Fuller desarrollaron la prueba de raz unitaria; el punto de inicio es el proceso estocstico de raz unitaria.Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 44 31/01/2008 45. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Yt Yt 1 ut Ytm=1 45 Yt-1 Si 1 se dice que Yt tiene problema de raz unitaria, y por tanto la serie es no estacionaria. Sin embargo, para concluir que 1 , el estadgrafo t no tiene una distribucin normal asinttico; por tanto, Mac-Kimmer construy el estadgrafo Tau ( ) a cuyos valores hay que referirse.H0: 1 H1: todos los 1Si crtico, se acepta Ho; hay problemas de raz unitaria y la serie es no estacionaria. Pero si hay la sospecha de que la serie es estacionaria, se sigue la prueba usual de la t de Student. EQ01 PIB PIB (-1)no estacionaraRPIB = PIB (-1) EQ02 D (PIB) D (PIB (-1))estacionara R1PIB = D (PIB (-1)) EQ03 D (PIB,2) D(PIB(-1),2)estacionara R2PIB = D (PIB(-1),2) EQ04 IPD IDP (-1)no estacionaria EQ05 D (IPD) D (IDP (-1))estacionaria EQ06 D (IPD, 2)D (IDP (-1),2) estacionaria FECHA: 2007-10-31Por razones tericas, Dickey y Fuller dan un paso adelante, se resta Yt 1 , en ambos lados de la ecuacin anterior.Yt Yt 1 ut(Yt Yt 1 ) Yt 1 Yt 1 utYt Yt 1 ut 1 Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 4531/01/2008 46. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Ho : 0 H1 : 0Si > crtico, se acepta la Ho : 0 , 1 hay problemas de raz unitaria y la serie es no estacionaria. Pero si se sospecha de que la serie es estacionaria se sigue la prueba de la t student.Hacer Grficos PIB RPIBD1PIB R1PIBD2PIB R2PIB Si se le obliga a pasar por el origen los mnimos cuadrados no se cumplen.Esa la razn para que la prueba de hiptesis este distorsionada.Se deben considerara los procesos no estocsticos que se debe incluir en elmarco terico de la investigacin.En el ejemplo: Analizando el PIB:d(pib) pib(-1) no estacionariaequation eq01.ls d(pib) pib(-1) Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:03 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustments Variable CoefficientStd. Error t-Statistic Prob. PIB(-1) 0.0057650.000994 5.7980770.0000 R-squared-0.015192 Mean dependent var22.93333 Adjusted R-squared -0.015192 S.D. dependent var35.93448 S.E. of regression36.20640 Akaike info criterion 10.02778 Sum squared resid 112737.7 Schwarz criterion 10.05612 Log likelihood -435.2083 Durbin-Watson stat1.340574 Vamos ahora a revisar la estacionariedad de la primera diferencia:d(pib,2) d(pib(-1)) Por lo tanto es estacionaria. Asi que -5.181149 es estadsticamente significativo, es decir verdadero y representa a la T student. No hay necesidad de irse al Unit Root Test. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 4631/01/2008 47. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAequation eq02.ls d(pib,2) d(pib(-1))Dependent Variable: D(PIB,2) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:13 Sample (adjusted): 1970Q3 1991Q4 Included observations: 86 after adjustmentsVariableCoefficient Std. Error t-StatisticProb.D(PIB(-1))-0.479621 0.092570 -5.181149 0.0000R-squared0.239996Mean dependent var0.206977 Adjusted R-squared 0.239996S.D. dependent var42.04441 S.E. of regression 36.65355Akaike info criterion 10.05246 Sum squared resid114196.1Schwarz criterion 10.08100 Log likelihood-431.2557Durbin-Watson stat2.192062Existe la sospecha de estacionariedad. Ahora a revisaremos la estacionariedad de la tercera diferencia:equation eq03.ls d(pib,3) d(pib(-1),2)Como el estadgrafo no es cero tenemos una t de Student.Dependent Variable: D(PIB,3) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:20 Sample (adjusted): 1970Q4 1991Q4 Included observations: 85 after adjustmentsVariableCoefficient Std. Error t-StatisticProb. D(PIB(-1),2) -1.396111 0.099348 -14.05278 0.0000R-squared0.701542Mean dependent var-0.770588 Adjusted R-squared 0.701542S.D. dependent var 70.42644 S.E. of regression 38.47489Akaike info criterion10.14958 Sum squared resid124346.7Schwarz criterion10.17832 Log likelihood-430.3573Durbin-Watson stat 2.113405Con respecto al IPD:equation eq04.ls d(IPD,2) IPD(-1) es no estacionaria. Dependent Variable: D(IPD) Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 47 31/01/2008 48. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAMethod: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:26 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustmentsVariableCoefficient Std. Errort-Statistic Prob.IPD(-1)0.006115 0.0010725.7059030.0000R-squared -0.026675Mean dependent var 17.89540 Adjusted R-squared-0.026675S.D. dependent var 27.92843 S.E. of regression 28.29847Akaike info criterion9.534920 Sum squared resid68869.09Schwarz criterion9.563264 Log likelihood-413.7690Durbin-Watson stat 2.054157Es no estacionaria. El delta es cero, por lo tanto es .Analizando con los calores crticos de MacKinnon. Advertimos que los valores crticosdependen de los valores de confianza. Con el UNIT ROOT TESTNull Hypothesis: IPD has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic 5.705903 1.0000 Test critical values: 1% level-2.591813 5% level-1.94457410% level-1.614315*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Con respecto al IPD2equation eq05.ls d(IPD,2) D(IPD(-1)) es estacionaria. Dependent Variable: D(IPD,2) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:31 Sample (adjusted): 1970Q3 1991Q4 Included observations: 86 after adjustmentsVariableCoefficient Std. Errort-Statistic Prob. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 48 31/01/2008 49. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAD(IPD(-1)) -0.745190 0.104404 -7.137588 0.0000R-squared 0.374723Mean dependent var-0.254651 Adjusted R-squared0.374723S.D. dependent var 40.66999 S.E. of regression32.15957Akaike info criterion9.790857 Sum squared resid 87910.24Schwarz criterion9.819396 Log likelihood -420.0069Durbin-Watson stat 2.112660 Con respecto al IPD3equation eq06.ls d(IPD,2) D(IPD(-1)) es estacionaria Dependent Variable: D(IPD,3) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:33 Sample (adjusted): 1970Q4 1991Q4 Included observations: 85 after adjustmentsVariable Coefficient Std. Error t-StatisticProb. D(IPD(-1),2)-1.502741 0.094321 -15.93217 0.0000R-squared 0.751357Mean dependent var0.110588 Adjusted R-squared0.751357S.D. dependent var70.92066 S.E. of regression35.36399Akaike info criterion 9.980960 Sum squared resid 105051.4Schwarz criterion 10.00970 Log likelihood -423.1908Durbin-Watson stat2.437722Por razones de inconsistencia en las dos pruebas de hiptesis anteriores Dickey y Fuller introducen dos cambios:1.-Inclusin de la interseccin: Yt 1 Yt 1 ut 2.- El acerca de la tendencia:Yt 1 2T Yt 1 utY para ambos casos:Ho : 0, 1Ho : 0 ; 1Si > crtico, se acepta la H 1 , no hay problemas de raz unitaria y la serie es estacionaria.Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 49 31/01/2008 50. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Si < crtico, se acepta la H 0 , hay problemas de raz unitaria y la serie es no estacionaria.Siguiendo con el ejemplo: equation eq07.ls d(pib) c pib(-1) se acepta la hiptesis nula, es decir la serie es no estacionara. Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:47 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustmentsVariable CoefficientStd. Error t-Statistic Prob.C 28.2054224.36532 1.1576050.2503 PIB(-1)-0.0013680.006242-0.2191650.8270R-squared 0.000565 Mean dependent var22.93333 Adjusted R-squared -0.011193 S.D. dependent var35.93448 S.E. of regression36.13503 Akaike info criterion 10.03512 Sum squared resid 110987.9 Schwarz criterion 10.09181 Log likelihood -434.5278 F-statistic 0.048033 Durbin-Watson stat1.351998 Prob(F-statistic) 0.827047 Null Hypothesis: PIB has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed) t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.219165 0.9310 Test critical values: 1% level -3.507394 5% level -2.89510910% level -2.584738*MacKinnon (1996) one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:47 Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4 Included observations: 87 after adjustmentsDaniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 5031/01/2008 51. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAVariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.PIB(-1) -0.0013680.006242 -0.219165 0.8270 C28.2054224.365321.157605 0.2503R-squared0.000565 Mean dependent var22.93333 Adjusted R-squared-0.011193 S.D. dependent var35.93448 S.E. of regression 36.13503 Akaike info criterion 10.03512 Sum squared resid110987.9 Schwarz criterion 10.09181 Log likelihood-434.5278 F-statistic 0.048033 Durbin-Watson stat 1.351998 Prob(F-statistic) 0.827047equation eq08.ls d(pib,2) c d(pib(-1)) es estacionaria. Dependent Variable: D(PIB,2) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:50 Sample (adjusted): 1970Q3 1991Q4 Included observations: 86 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb.C16.004984.3967173.640211 0.0005 D(PIB(-1))-0.6827620.102975 -6.630339 0.0000R-squared0.343552 Mean dependent var0.206977 Adjusted R-squared 0.335737 S.D. dependent var42.04441 S.E. of regression 34.26717 Akaike info criterion 9.929234 Sum squared resid98636.06 Schwarz criterion 9.986311 Log likelihood-424.9570 F-statistic 43.96140 Durbin-Watson stat 2.034425 Prob(F-statistic) 0.000000equation eq09.ls d(pib,3) c d(pib(-1),2) estacionaria Dependent Variable: D(PIB,3) Method: Least Squares Date: 10/31/07 Time: 09:54 Sample (adjusted): 1970Q4 1991Q4 Included observations: 85 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Error t-StatisticProb. C-0.2039504.198389 -0.048578 0.9614 D(PIB(-1),2)-1.3960640.099948 -13.96796 0.0000R-squared0.701550 Mean dependent var-0.770588 Adjusted R-squared 0.697955 S.D. dependent var 70.42644 Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 51 31/01/2008 52. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAS.E. of regression 38.70543 Akaike info criterion 10.17308 Sum squared resid124343.1 Schwarz criterion 10.23056 Log likelihood-430.3561 F-statistic 195.1039 Durbin-Watson stat 2.113539 Prob(F-statistic) 0.000000Analizando el IPD, tenemos: IPD no estacionaria. D(IPD) estacionaria. D(IPD,2) estacionaria. Continuando con el ejercicio:D(PIB) C T(-1) PIB(-1)PIBNo estacionaria. D (PIB)No estacionaria. D (PIB, 2) estacionaria. IPDNo estacionaria. D (IPD)No estacionaria. D (IPD, 2) No estacionaria.FECHA: 2007-11-06Si el trmino de error u t sigue autocorrelacionado, la ltima ecuacin se modifica y toma el nombre de Dickey-Fuller Aumentada. m Yt 1 2T Yt 1 i Yt 1 t i 1Yt 1 2T Yt 1 1Yt 1 tYt 1 2T Yt 1 1Yt 1 2 Yt 2 tEl nmero de trminos en diferencia rezagadas se determina empricamente hasta que el trmino de error sea ruido blanco. La prueba de hiptesis es la misma que la anterior. El Dikey F. es menor que todos los valores crticos de Mackinnon.En el ejercicio:Lag Length: 4 (Fixed)Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 52 31/01/2008 53. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAt-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-3.407420 0.0574 Test critical values: 1% level-4.073859 5% level-3.46554810% level-3.159372*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Quiere decir que existe hasta el 95% del nivel de confianza estacionariedadPIB:0-0.685320 10.085875 2-0.035363 3 -0.090404 4 -0.027794 * 2.735240Serie no estacionaria.D( PIB) 1 2 PIB(1) D( PIB(1)) 2 D( PIB(2)) 3 D( PIB(3)) 4 D( PIB(4))D (PIB):00.035932 1 -0.055398 2 -0.096699 3 -0.054741 40.000229 * 3,407420Estacionaria hasta el 90 % de confianza.D( PIB,2) 1 2 ( PIB(1)) D( PIB(1),2) 2 D( PIB(2),2) 3 D( PIB(3),2) 4 D( PIB(4),2)D (PIB, 2): 0 0.1135111 -0.009876 * 9.104147 estacionaria2 0.0115343 0.0334734 0.018194Estacionaria hasta el 90 % de confianza.D( PIB,3) 1 2 D( PIB(1),2) D( PIB(1),3)Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 5331/01/2008 54. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAFECHA: 2007-11-08EL PROBLEMA:1) Cmo se disea un modelo con una serie de tiempo estacionaria? 2) Cmo se utiliza el modelo para fines de pronstico?Enfoques para la prediccin econmica:- Modelos de alisamiento exponencial: ajustan una curva apropiado a datos histricos de una serie de tiempo. Este tipo de ecuaciones tiene aplicaciones microeconmicas.- Modelos uniecuacionales: Tienen el problema que los errores de prediccin aumentan rpidamente en el futuro. Es un modelo con una regresin. Solo sirve para obtener estadgrafos. No sirve para pronstico.- Modelos de ecuaciones simultneas: Tuve vigencia hasta la crtica de Lucas. Adems su apogeo perdur a lo largo de las dcadas de los sesenta y setenta.Cuando la economa se calienta = La tasa de inflacin al alza.Los parmetros de un modelo economtrico dependen de la poltica prevaleciente y cambiaran s hay un cambio de poltica los parmetros no son constantes ante cambios de poltica.La crtica de Lucas se pone en vigencia con los cambios estructurales.-Metodologa de Box-Jenkins: Sus propulsores son llamadas aterico. Tambin es conocida como ARIMA, enfatiza el anlisis de las propiedades probabilsticas de las series de tiempo bajo la filosofa de permitir que la informacin hable por si misma. Yt puede ser explicada por valores rezagados de si mismo y por trminos estocsticos de error (am) por esta razn, reciben el nombre de modelos a-tericos. Por enfatizar la estadstica.- Metodologa VAR: Propuesta por Cristopher Sims, que considera diversas variables endgenas de manera conjunta. ; pero cada variable endgena es explicada por sus valores agregados de las dems varables endgenas. No hay variables exgenas en el modelo.Enuncio acerca de: y=f(x)x=f(y) Adems critico al anlisis con la de t Student.Elaboracin de los modelos de Proceso autoregresivo:Elaboracin de los modelos Proceso autoregresivo (AR)Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 54 31/01/2008 55. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Si Yt es una serie de tiempo estacionaria y se puede modelar como:Yt 1 Yt 1 tDonde es la media de Yt y t es el vector de errores no correlacionados con media cero y varianza 2 (ruido blanco); entonces, Yt sigue un proceso autoregresivo de 1er orden, AR (1).Yt 1 1 1Yt 1 tSi Yt es una serie de tiempo estacionaria se puede modelar como: Yt 1Yt 1 2 Yt 2 tYt 1Yt 1 2Yt 2 2 utYt (1 1 2 ) 1Yt 1 2Yt 2 utEn general:(Yt ) 1 (Yt 1 ) 2 (Yt 2 ) p (Yt p ) utYt sigue un proceso autorregresivo de valores p,AR(p). Yt (1 1 2 p ) 1Yt 1 2Yt 2 pY p 1 ut Ejercicio de E views:D(PIB) k=1 k=8 k=8equation eq01.ls d(pib) c d(pib(-1)) d(pib(-8)) d(pib(-12)) (91 : 4 91 : 3) O 1 (91 : 3 91 : 2) 2 (89 : 4 89 : 3) 3 (88 : 4 88 : 3) (91 : 4) (91 : 3) (91 : 3 91 : 2) (89 : 4 89 : 3) (88 : 4 88 : 3)O 1 23 (92 : 1) (91 : 4) O 1 (91 : 4 91 : 3) 2 (90 : 1 89 : 4) 3 (89 : 1 88 : 4)(92:1)=4868.0+28.19371+0.342768(4868.0-4862.7)-0.299466(4880.8-4859.7)-0.264371(4809.8-4779.7)(92:1)=4883.734D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12)Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 5531/01/2008 56. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCADependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 11/08/07 Time: 09:35 Sample (adjusted): 1973Q2 1991Q4 Included observations: 75 after adjustmentsVariable CoefficientStd. Error t-Statistic Prob.C 28.193715.5767525.055578 0.0000 D(PIB(-1))0.3427680.0987943.469531 0.0009 D(PIB(-8)) -0.2994660.101599 -2.947523 0.0043 D(PIB(-12))-0.2643710.098582 -2.681742 0.0091R-squared 0.293124 Mean dependent var21.52933 Adjusted R-squared0.263256 S.D. dependent var36.55936 S.E. of regression31.38030 Akaike info criterion 9.782096 Sum squared resid 69915.33 Schwarz criterion 9.905695 Log likelihood -362.8286 F-statistic 9.813965 Durbin-Watson stat1.766317 Prob(F-statistic) 0.000017Variables significativas 3.469531 -2.947523 -2.681742 FECHA: 2007-11-13 EQUATION EQ01.LS D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12)Cambiamos la fecha: Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 5631/01/2008 57. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Dependent Variable: D(PIB) Method: Least Squares Date: 11/13/07 Time: 08:50 Sample (adjusted): 1973Q2 1991Q4 Included observations: 75 after adjustments Convergence achieved after 3 iterationsVariableCoefficientStd. Errort-Statistic Prob.C23.089362.9803567.7471810.0000 AR(1)0.3427680.0987943.4695310.0009 AR(8) -0.2994660.101599 -2.9475230.0043 AR(12)-0.2643710.098582 -2.6817420.0091R-squared0.293124 Mean dependent var21.52933 Adjusted R-squared 0.263256 S.D. dependent var36.55936 S.E. of regression 31.38030 Akaike info criterion 9.782096 Sum squared resid69915.33 Schwarz criterion 9.905695 Log likelihood-362.8286 F-statistic 9.813965 Durbin-Watson stat 1.766317 Prob(F-statistic) 0.000017Inverted AR Roots.92-.28i.92+.28i.61-.59i .61+.59i.31+.87i.31-.87i -.25+.88i-.25-.88i -.57-.59i -.57+.59i -.85+.28i-.85-.28iObservamos a las celdas vacas Last updated: 11/13/07 - 08:521970Q12872.8 1970Q22860.3 1970Q32896.6 1970Q42873.7 1971Q12942.9 1971Q22947.4 1971Q32966 1971Q42980.8 1972Q13037.3 1972Q23089.7 1972Q33125.8 1972Q43175.5 1973Q13253.3 1973Q23267.6 1973Q33264.3 1973Q43289.1 1974Q13259.4 1974Q23267.6 Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 57 31/01/2008 58. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 1974Q33239.1 1974Q43226.4 1975Q13154 1975Q23190.4 1975Q33249.9 1975Q43292.5 1976Q13356.7 1976Q23369.2 1976Q33381 1976Q43416.3 1977Q13466.4 1977Q23525 1977Q33574.4 1977Q43567.2 1978Q13591.8 1978Q23707 1978Q33735.6 1978Q43779.6 1979Q13780.8 1979Q23784.3 1979Q33807.5 1979Q43814.6 1980Q13830.8 1980Q23732.6 1980Q33733.5 1980Q43808.5 1981Q13860.5 1981Q23844.4 1981Q33864.5 1981Q43803.1 1982Q13756.1 1982Q23771.1 1982Q33754.4 1982Q43759.6 1983Q13783.5 1983Q23886.5 1983Q33944.4 1983Q44012.1 1984Q14089.5 1984Q24144 1984Q34166.4 1984Q44194.2 1985Q14221.8 1985Q24254.8 1985Q34309 1985Q44333.5 1986Q14390.5 1986Q24387.7 1986Q34412.6 1986Q44427.1Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 58 31/01/2008 59. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA 1987Q14460 1987Q24515.3 1987Q34559.3 1987Q44625.5 1988Q14655.3 1988Q24704.8 1988Q34734.5 1988Q44779.7 1989Q14809.8 1989Q24832.4 1989Q34845.6 1989Q44859.7 1990Q14880.8 1990Q24900.3 1990Q34903.3 1990Q44855.1 1991Q14824 1991Q24840.7 1991Q34862.7 1991Q44868 1992Q1 1992Q2 1992Q3 1992Q4 Y obtenemos una serie PIB F. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 59 31/01/2008 60. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA Hacemos un grupo con el PIB Y EL PIB F y completamos las cuatro predicciones.Nota: La aplicaciones de Dynamic son para convergencia. El test de convergencia no es infalible.En el static se utiliza los valores digitados. Segn Chistopher Sims el 1.79 es vlido EL CASO DEL ipd. El mejor es el promedio. D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12)D(PIB,2) C AR(1) AR(8) AR(12)D(IPD) C AR(25)D(IPD) C AR(5)D(IPD) C AR(21) AR(25)D(IPD) D(IPD,2)AR(25) AR(5)AR(21,25) AR(1) AR(20) AR(25) Q1 3566,306 3574,018 3561,018 Q2 3591,854 3599,857 3588,737 Q3 3618,695 3616,657 3601,634 Q4 3629,643 3638,328 3617,329Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 60 31/01/2008 61. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA D(PIB) D(PIB,2)AR(1,8,12) AR(1,8,12) Q1 4883,734 4877,902 Q2 4905,5064889,48 Q3 4936,774 4909,662 Q4 4986,392 4947,918 FECHA: 2007-11-20Proceso de Media MvilSi Yt es una serie de tiempo estacionaria, y se puede modelar como:Yt 0 ut 1ut 1Donde es una constante y ut es el vector de errores estocsticos, ruido blanco, se dice que Yt sigue un proceso de media mvil de primer orden, MA (1).Si Yt es una serie de tiempo estacionaria, y se puede modelar como:Yt 0 ut 1ut 1 2 ut 2Se dice que Yt sigue un proceso de media mvil de segundo orden MA (2).En general:Yt 0 ut 1ut 1 2 ut 2 ........ k ut kSe dice que Yt sigue un proceso de media mvil de q orden MA (q). EQ01: D(PIB) c MA(1) MA(8) MA(12)EQ02: D(PIB,2) c MA(1) MA(2) MA(8) MA(12) MA(24)EQ03: (PIB,2) c MA(1) MA(8) MA(24) FECHA: 2007-11-27Proceso Autorregresivo y de Media Mvil (ARMA)Se debe tomar en cuenta que el anlisis es al nivel cuando es estacionaria. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 61 31/01/2008 62. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAEn ocasiones una serie de tiempo Yt es estacionaria al nivel y puede tener caractersticas de AR y MA, simultneamente; entonces es un proceso ARMA.Si Yt es una serie de tiempo estacionaria al nivel y se puede modelar como:Yt 1Yt 1 0 ut 1ut 1Yt sigue un proceso autorregresivo de 1er orden y media mvil de 1er orden ARMA (1,1).En general, en un proceso ARMA (p, q) habr p trminos autorregresivos y q trminos de media mvil.Proceso Autorregresivo Integrado de Media Mvil (ARIMA)La diferencia entre el ARMA y el ARIMA consiste en que en el segundo se trabaja con la primera y la segunda diferencia.Se incerta la d, para conocer si se trata de la primera o la segunda diferencia.Si Yt es una serie de tiempo que en (d) diferencias se vuelve estacionaria, se dice que la original es ARIMA (p, d, q), un proceso autorregresivo integrado de media mvil donde p es el nmero de trminos autorregresivos, (d) es el nmero de veces que debe ser diferenciada para volverse estacionaria y (q) es el nmero de trminos de media mvil.El objetivo de Jenkins es identificar un modelo estadstico que pueda ser interpretado como generador de la informacin muestral.Si ese modelo se utiliza para prediccin, se debe suponer que sus caractersticas son estables o constantes en el tiempo, especialmente en el futuro.Si tenemos una serie descendente o ascendente es no estacionaria.Si la serie va ascendiendo sabemos que las caractersticas de cada trama son cambiantes, por lo tanto no podemos trabajar de ese modo. En el caso de que sea estacionara los estadgrafos probabilsticas son semejantes y las caractersticas en el futuro se van a mantener. FECHA: 2007-11-29Vectores Autorregresivos (VAR):En los modelos uniecuacionales y de ecuaciones simultneas las variables deben ser identificadas como endgenas o exgenas, decisin que segn Christopher Sims, a menudo es subjetiva y ms bien no debe haber ninguna distincin. Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 6231/01/2008 63. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAToda teora econmica responder a una decisin poltica. Las diferentes personas que trabaja en un tema pueden tener criterios encontradosEn los modelos VAR el trmino autorregresivo se refiere a la aparicin de los valores rezagados de la variable dependiente en el lado derecho de la regresin.Supongamos el caso de GCP e IPD.4 4 GCPt 1 i GCPt i i IPDt i u ti 1i 1 44 IPDt 2 i GCPt i i IPDt i u ti 1i 1 En los modelos VAR no cuenta la significacin individual (t de student), solamente la conjunta, es decir, la prueba F. Los valores crticos de la F, es de 3 a 5.En el ejemplo:VAR (GCP-IPD) Los modelos ARIMA son totalmente separados de los modelos autoregresivos.Con diez informaciones no se debe hacer un VAR, ya que con cinco grados libertad no se hace nada.Con veinte informaciones se hace con dos rezagos. Con ms de treinta se hace con cuatro rezagos.Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano. Pgina 6331/01/2008 64. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAGCPIPD PIBVar(GCP-IDP) VAR(GCP-IPD)VAR(IPD-PIB) Q13283,89 3558,1954884,667 Q2 3298,663 3574,4984897,425 Q3 3314,122 3590,7854911,712 Q4 3329,653 3607,2234926,612VAR(GCP-PIB) VAR(IPD-PIB)VAR(GCP-PIB) Q1 3286,835 3563,1514881,596 Q2 3302,772 3575,6424899,013 Q3 3315,812 3585,4084920,299 Q4 3331,637 3597,3784940,254En el caso del PIB: Nota Adicional:Friedman expone a las expectativas adaptativas. Sin embargo Sims realiza algunas modificaciones llegando a: Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 6431/01/2008 65. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL ECUADOR APUNTES DE ECONOMETRA II ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCAYi 0 1 X i (1) 2 X i (2) ... 3Yi (1) 2Yi (2) ... Daniel Carrasco. Felipe Lemarie. Jorge Salgado. Juan C. Serrano.Pgina 6531/01/2008